Ναι ναι: αριθμητική πρόοδος- αυτά δεν είναι παιχνίδια για σένα :)

Λοιπόν, φίλοι, αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, τότε το εσωτερικό καπάκι-απόδειξη μου λέει ότι δεν ξέρετε ακόμα τι είναι η αριθμητική πρόοδος, αλλά πραγματικά (όχι, έτσι: SOOOOO!) θέλετε να μάθετε. Επομένως, δεν θα σας βασανίσω με μεγάλες εισαγωγές και θα μπω κατευθείαν στο θέμα.

Πρώτον, μερικά παραδείγματα. Ας δούμε διάφορα σύνολα αριθμών:

  • 1; 2; 3; 4; ...
  • 15; 20; 25; 30; ...
  • $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Τι κοινό έχουν όλα αυτά τα σύνολα; Με την πρώτη ματιά, τίποτα. Αλλά στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι. Και συγκεκριμένα: κάθε επόμενο στοιχείοδιαφέρει από την προηγούμενη κατά τον ίδιο αριθμό.

Κρίνετε μόνοι σας. Το πρώτο σετ είναι απλώς διαδοχικοί αριθμοί, ο κάθε επόμενος είναι ένας περισσότερος από τον προηγούμενο. Στη δεύτερη περίπτωση, η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ήδη πέντε, αλλά αυτή η διαφορά παραμένει σταθερή. Στην τρίτη περίπτωση, υπάρχουν ρίζες συνολικά. Ωστόσο, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, και $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, π.χ. και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο απλώς αυξάνεται κατά $\sqrt(2)$ (και μην φοβάστε ότι αυτός ο αριθμός είναι παράλογος).

Άρα: όλες αυτές οι ακολουθίες ονομάζονται αριθμητικές προόδους. Ας δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό:

Ορισμός. Μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ακριβώς ποσό ονομάζεται αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο το ποσό κατά το οποίο διαφέρουν οι αριθμοί ονομάζεται διαφορά προόδου και τις περισσότερες φορές συμβολίζεται με το γράμμα $d$.

Σημείωση: $\left(((a)_(n)) \right)$ είναι η ίδια η πρόοδος, η $d$ είναι η διαφορά της.

Και μόνο μερικές σημαντικές σημειώσεις. Πρώτον, εξετάζεται μόνο η εξέλιξη διέταξεακολουθία αριθμών: επιτρέπεται να διαβαστούν αυστηρά με τη σειρά που είναι γραμμένα - και τίποτα άλλο. Δεν είναι δυνατή η αναδιάταξη ή η εναλλαγή των αριθμών.

Δεύτερον, η ίδια η ακολουθία μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε άπειρη. Για παράδειγμα, το σύνολο (1; 2; 3) είναι προφανώς μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδος. Αλλά αν γράψετε κάτι στο πνεύμα (1; 2; 3; 4; ...) - αυτό είναι ήδη μια άπειρη εξέλιξη. Η έλλειψη μετά τα τέσσερα φαίνεται να αφήνει να εννοηθεί ότι θα ακολουθήσουν αρκετοί ακόμη αριθμοί. Άπειρα πολλά, για παράδειγμα. :)

Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι οι προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται. Έχουμε ήδη δει αυξανόμενα - το ίδιο σετ (1; 2; 3; 4; ...). Ακολουθούν παραδείγματα φθίνουσας προόδου:

  • 49; 41; 33; 25; 17; ...
  • 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
  • $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ΕΝΤΑΞΕΙ ΕΝΤΑΞΕΙ: τελευταίο παράδειγμαμπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκο. Αλλά τα υπόλοιπα, νομίζω, τα καταλαβαίνεις. Επομένως, εισάγουμε νέους ορισμούς:

Ορισμός. Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται:

  1. αυξάνεται εάν κάθε επόμενο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.
  2. μειώνεται εάν, αντίθετα, κάθε επόμενο στοιχείο είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Επιπλέον, υπάρχουν οι λεγόμενες «στάσιμες» ακολουθίες - αποτελούνται από τον ίδιο επαναλαμβανόμενο αριθμό. Για παράδειγμα, (3; 3; 3; ...).

Μόνο ένα ερώτημα παραμένει: πώς να διακρίνουμε μια αυξανόμενη εξέλιξη από μια φθίνουσα; Ευτυχώς, όλα εδώ εξαρτώνται μόνο από το πρόσημο του αριθμού $d$, δηλ. διαφορές εξέλιξης:

  1. Εάν $d \gt 0$, τότε η εξέλιξη αυξάνεται.
  2. Εάν $d \lt 0$, τότε η πρόοδος είναι προφανώς φθίνουσα.
  3. Τέλος, υπάρχει η περίπτωση $d=0$ - σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η εξέλιξη μειώνεται σε μια ακίνητη ακολουθία πανομοιότυπων αριθμών: (1; 1; 1; 1; ...), κ.λπ.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά $d$ για τις τρεις φθίνουσες προόδους που δίνονται παραπάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρουμε οποιαδήποτε δύο γειτονικά στοιχεία (για παράδειγμα, το πρώτο και το δεύτερο) και να αφαιρέσουμε τον αριθμό στα αριστερά από τον αριθμό στα δεξιά. Θα μοιάζει με αυτό:

  • 41−49=−8;
  • 12−17,5=−5,5;
  • $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Όπως μπορούμε να δούμε, και στις τρεις περιπτώσεις η διαφορά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε αρνητική. Και τώρα που λίγο-πολύ καταλάβαμε τους ορισμούς, ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς περιγράφονται οι προόδους και ποιες ιδιότητες έχουν.

Όροι προόδου και τύπος επανάληψης

Δεδομένου ότι τα στοιχεία των ακολουθιών μας δεν μπορούν να αντικατασταθούν, μπορούν να αριθμηθούν:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \σωστά\)\]

Τα επιμέρους στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη μιας προόδου. Υποδεικνύονται με έναν αριθμό: πρώτο μέλος, δεύτερο μέλος κ.λπ.

Επιπλέον, όπως ήδη γνωρίζουμε, οι γειτονικοί όροι της προόδου σχετίζονται με τον τύπο:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Δεξί βέλος ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Εν ολίγοις, για να βρείτε τον όρο $n$th μιας προόδου, πρέπει να γνωρίζετε τον όρο $n-1$th και τη διαφορά $d$. Αυτός ο τύπος ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, επειδή με τη βοήθειά του μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε αριθμό μόνο γνωρίζοντας τον προηγούμενο (και μάλιστα όλους τους προηγούμενους). Αυτό είναι πολύ άβολο, επομένως υπάρχει ένας πιο πονηρός τύπος που μειώνει τυχόν υπολογισμούς στον πρώτο όρο και τη διαφορά:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\αριστερά(n-1 \δεξιά)d\]

Πιθανότατα έχετε ήδη συναντήσει αυτόν τον τύπο. Τους αρέσει να το δίνουν σε κάθε είδους βιβλία αναφοράς και βιβλία λύσεων. Και σε κάθε λογικό εγχειρίδιο μαθηματικών είναι από τα πρώτα.

Ωστόσο, σας προτείνω να εξασκηθείτε λίγο.

Εργασία Νο. 1. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$ αν $((a)_(1))=8,d=-5$.

Λύση. Έτσι, γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $((a)_(1))=8$ και τη διαφορά της προόδου $d=-5$. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που μόλις δόθηκε και ας αντικαταστήσουμε τα $n=1$, $n=2$ και $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\αριστερά(2-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\αριστερά(3-1 \δεξιά)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: (8; 3; −2)

Αυτό είναι όλο! Παρακαλώ σημειώστε: η πρόοδός μας μειώνεται.

Φυσικά, το $n=1$ δεν μπορούσε να αντικατασταθεί - ο πρώτος όρος είναι ήδη γνωστός σε εμάς. Ωστόσο, αντικαθιστώντας την ενότητα, πειστήκαμε ότι ακόμη και για τον πρώτο όρο η φόρμουλα μας λειτουργεί. Σε άλλες περιπτώσεις, όλα κατέληγαν σε μπανάλ αριθμητική.

Εργασία Νο. 2. Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου αν ο έβδομος όρος της είναι ίσος με −40 και ο δέκατος έβδομος όρος ίσος με −50.

Λύση. Ας γράψουμε την κατάσταση του προβλήματος με γνωστούς όρους:

\[((a)_(7))=-40;\τετράγωνο ((a)_(17))=-50.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \end(στοίχιση) \δεξιά.\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(στοίχιση) \σωστά.\]

Έβαλα το σύμβολο συστήματος γιατί αυτές οι απαιτήσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Τώρα ας σημειώσουμε ότι αν αφαιρέσουμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση (έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε αυτό, αφού έχουμε σύστημα), παίρνουμε αυτό:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι είναι εύκολο να βρεις τη διαφορά εξέλιξης! Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Για παράδειγμα, στο πρώτο:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((α)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(μήτρα)\]

Τώρα, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, μένει να βρούμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(στοίχιση)\]

Ετοιμος! Το πρόβλημα λύθηκε.

Απάντηση: (−34; −35; −36)

Παρατηρήστε την ενδιαφέρουσα ιδιότητα της προόδου που ανακαλύψαμε: αν πάρουμε τους όρους $n$th και $m$th και τους αφαιρέσουμε ο ένας από τον άλλο, θα έχουμε τη διαφορά της προόδου πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \αριστερά(n-m \δεξιά)\]

Απλό αλλά πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σίγουρα πρέπει να γνωρίζετε - με τη βοήθειά του μπορείτε να επιταχύνετε σημαντικά την επίλυση πολλών προβλημάτων εξέλιξης. Εδώ είναι ένα σαφές παράδειγμα αυτού:

Εργασία Νο. 3. Ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 8,4 και ο δέκατος όρος είναι 14,4. Βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Λύση. Επειδή $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ και πρέπει να βρούμε $((a)_(15))$, σημειώνουμε τα εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5δ. \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά από συνθήκη $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, άρα $5d=6$, από την οποία έχουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((α)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(στοίχιση)\]

Απάντηση: 20.4

Αυτό είναι όλο! Δεν χρειάστηκε να δημιουργήσουμε κανένα σύστημα εξισώσεων και να υπολογίσουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά - όλα λύθηκαν σε μερικές μόνο γραμμές.

Τώρα ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος - την αναζήτηση αρνητικών και θετικών όρων μιας εξέλιξης. Δεν είναι μυστικό ότι εάν μια εξέλιξη αυξάνεται και ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, αργά ή γρήγορα θα εμφανιστούν θετικοί όροι σε αυτήν. Και το αντίστροφο: οι όροι μιας φθίνουσας εξέλιξης αργά ή γρήγορα θα γίνουν αρνητικοί.

Ταυτόχρονα, δεν είναι πάντα δυνατό να βρεθεί αυτή η στιγμή «κατά μέτωπο» περνώντας διαδοχικά τα στοιχεία. Συχνά, τα προβλήματα γράφονται με τέτοιο τρόπο που χωρίς να γνωρίζουμε τους τύπους, οι υπολογισμοί θα χρειάζονταν πολλά φύλλα χαρτιού - απλώς θα κοιμόμασταν ενώ βρίσκαμε την απάντηση. Επομένως, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτά τα προβλήματα με πιο γρήγορο τρόπο.

Εργασία Νο. 4. Πόσοι αρνητικοί όροι υπάρχουν στην αριθμητική πρόοδο −38,5; −35,8; ...;

Λύση. Άρα, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, από όπου βρίσκουμε αμέσως τη διαφορά:

Σημειώστε ότι η διαφορά είναι θετική, άρα η εξέλιξη αυξάνεται. Ο πρώτος όρος είναι αρνητικός, οπότε όντως κάποια στιγμή θα πέσει πάνω σε θετικούς αριθμούς. Το μόνο ερώτημα είναι πότε θα συμβεί αυτό.

Ας προσπαθήσουμε να μάθουμε: μέχρι πότε (δηλαδή μέχρι τι φυσικός αριθμός$n$) η αρνητικότητα των όρων διατηρείται:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \δεξιά. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Δεξί βέλος ((n)_(\max ))=15. \\ \end(στοίχιση)\]

Η τελευταία γραμμή απαιτεί κάποια εξήγηση. Ξέρουμε λοιπόν ότι $n \lt 15\frac(7)(27)$. Από την άλλη πλευρά, ικανοποιούμαστε μόνο με ακέραιες τιμές του αριθμού (επιπλέον: $n\in \mathbb(N)$), επομένως ο μεγαλύτερος επιτρεπόμενος αριθμός είναι ακριβώς $n=15$ και σε καμία περίπτωση το 16 .

Εργασία Νο. 5. Σε αριθμητική πρόοδο $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Βρείτε τον αριθμό του πρώτου θετικού όρου αυτής της προόδου.

Αυτό θα ήταν ακριβώς το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο, αλλά δεν γνωρίζουμε $((a)_(1))$. Αλλά οι γειτονικοί όροι είναι γνωστοί: $((a)_(5))$ και $((a)_(6))$, οπότε μπορούμε να βρούμε εύκολα τη διαφορά της προόδου:

Επιπλέον, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον πέμπτο όρο μέσω του πρώτου και τη διαφορά χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα προχωράμε κατ' αναλογία με την προηγούμενη εργασία. Ας μάθουμε σε ποιο σημείο της ακολουθίας μας θα εμφανιστούν θετικοί αριθμοί:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Δεξί βέλος ((n)_(\min ))=56. \\ \end(στοίχιση)\]

Η ελάχιστη ακέραια λύση αυτής της ανισότητας είναι ο αριθμός 56.

Σημειώστε: στην τελευταία εργασία όλα κατέληξαν σε αυστηρή ανισότητα, επομένως η επιλογή $n=55$ δεν μας ταιριάζει.

Τώρα που μάθαμε πώς να λύνουμε απλά προβλήματα, ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα. Αλλά πρώτα, ας μελετήσουμε μια άλλη πολύ χρήσιμη ιδιότητα των αριθμητικών προόδων, η οποία θα μας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και άνισα κελιά στο μέλλον. :)

Αριθμητικός μέσος όρος και ίσες εσοχές

Ας εξετάσουμε αρκετούς διαδοχικούς όρους της αυξανόμενης αριθμητικής προόδου $\left(((a)_(n)) \right)$. Ας προσπαθήσουμε να τα σημειώσουμε στην αριθμητική γραμμή:

Όροι αριθμητικής προόδου στην αριθμητική γραμμή

Επισήμανα συγκεκριμένα αυθαίρετους όρους $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, και όχι κάποιους $((a)_(1)) ,\ ((α)_(2)),\ ((α)_(3))$, κ.λπ. Επειδή ο κανόνας για τον οποίο θα σας πω τώρα λειτουργεί το ίδιο για οποιαδήποτε "τμήματα".

Και ο κανόνας είναι πολύ απλός. Ας θυμηθούμε τύπος υποτροπήςκαι γράψτε το για όλα τα επισημασμένα μέλη:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(στοίχιση)\]

Ωστόσο, αυτές οι ισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν διαφορετικά:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, τι; Και το γεγονός ότι οι όροι $((a)_(n-1))$ και $((a)_(n+1))$ βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το $((a)_(n)) $ . Και αυτή η απόσταση είναι ίση με $d$. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τους όρους $((a)_(n-2))$ και $((a)_(n+2))$ - αφαιρούνται επίσης από το $((a)_(n) )$ στην ίδια απόσταση ίση με $2d$. Μπορούμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον, αλλά το νόημα φαίνεται καλά από την εικόνα


Οι όροι της προόδου βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο

Τι σημαίνει αυτό για εμάς; Αυτό σημαίνει ότι το $((a)_(n))$ μπορεί να βρεθεί εάν οι γειτονικοί αριθμοί είναι γνωστοί:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Καταλήξαμε σε μια εξαιρετική δήλωση: κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών όρων της! Επιπλέον: μπορούμε να υποχωρήσουμε από το $((a)_(n))$ προς τα αριστερά και προς τα δεξιά όχι κατά ένα βήμα, αλλά κατά $k$ - και ο τύπος θα εξακολουθεί να είναι σωστός:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Εκείνοι. μπορούμε εύκολα να βρούμε κάποια $((a)_(150))$ αν γνωρίζουμε $((a)_(100))$ και $((a)_(200))$, επειδή $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτό το γεγονός δεν μας δίνει τίποτα χρήσιμο. Ωστόσο, στην πράξη, πολλά προβλήματα είναι ειδικά προσαρμοσμένα για να χρησιμοποιούν τον αριθμητικό μέσο όρο. Ρίξε μια ματιά:

Εργασία Νο. 6. Βρείτε όλες τις τιμές των $x$ για τις οποίες οι αριθμοί $-6((x)^(2))$, $x+1$ και $14+4((x)^(2))$ είναι διαδοχικοί όροι του μια αριθμητική πρόοδο (με τη σειρά που υποδεικνύεται).

Λύση. Εφόσον αυτοί οι αριθμοί είναι μέλη μιας προόδου, ικανοποιείται η συνθήκη του αριθμητικού μέσου όρου για αυτούς: το κεντρικό στοιχείο $x+1$ μπορεί να εκφραστεί με όρους γειτονικών στοιχείων:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Αποδείχθηκε κλασικό τετραγωνική εξίσωση. Οι ρίζες του: $x=2$ και $x=-3$ είναι οι απαντήσεις.

Απάντηση: −3; 2.

Εργασία Νο. 7. Βρείτε τις τιμές των $$ για τις οποίες οι αριθμοί $-1;4-3;(()^(2))+1$ σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο (με αυτή τη σειρά).

Λύση. Ας εκφράσουμε ξανά τον μέσο όρο μέσω του αριθμητικού μέσου όρου γειτονικών όρων:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \δεξιά.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(στοίχιση)\]

Ξανά τετραγωνική εξίσωση. Και πάλι υπάρχουν δύο ρίζες: $x=6$ και $x=1$.

Απάντηση: 1; 6.

Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος καταλήξετε σε κάποιους βάναυσους αριθμούς ή δεν είστε απολύτως σίγουροι για την ορθότητα των απαντήσεων που βρέθηκαν, τότε υπάρχει μια υπέροχη τεχνική που σας επιτρέπει να ελέγξετε: λύσαμε σωστά το πρόβλημα;

Ας πούμε ότι στο πρόβλημα Νο. 6 λάβαμε τις απαντήσεις −3 και 2. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτές οι απαντήσεις είναι σωστές; Ας τα συνδέσουμε στην αρχική τους κατάσταση και ας δούμε τι θα συμβεί. Να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε τρεις αριθμούς ($-6(()^(2))$, $+1$ και $14+4(()^(2))$), οι οποίοι πρέπει να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Ας αντικαταστήσουμε το $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(στοίχιση)\]

Πήραμε τους αριθμούς −54. −2; 50 που διαφέρουν κατά 52 είναι αναμφίβολα μια αριθμητική πρόοδος. Το ίδιο συμβαίνει για $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(στοίχιση)\]

Και πάλι πρόοδος, αλλά με διαφορά 27. Έτσι το πρόβλημα λύθηκε σωστά. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ελέγξουν μόνοι τους το δεύτερο πρόβλημα, αλλά θα πω αμέσως: όλα είναι σωστά και εκεί.

Γενικά, λύνοντας τα τελευταία προβλήματα, συναντήσαμε ένα άλλο ενδιαφέρον γεγονός, το οποίο πρέπει επίσης να θυμόμαστε:

Εάν τρεις αριθμοί είναι τέτοιοι που ο δεύτερος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του πρώτου και του τελευταίου, τότε αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Στο μέλλον, η κατανόηση αυτής της δήλωσης θα μας επιτρέψει να «κατασκευάσουμε» κυριολεκτικά τις απαραίτητες προόδους με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Πριν όμως ασχοληθούμε με μια τέτοια «κατασκευή», θα πρέπει να δώσουμε προσοχή σε ένα ακόμη γεγονός, το οποίο προκύπτει άμεσα από όσα έχουν ήδη συζητηθεί.

Ομαδοποίηση και άθροιση στοιχείων

Ας επιστρέψουμε ξανά στον αριθμητικό άξονα. Ας σημειώσουμε εκεί αρκετά μέλη της προόδου, μεταξύ των οποίων, ίσως. αξίζει πολλά άλλα μέλη:

Υπάρχουν 6 στοιχεία σημειωμένα στην αριθμητική γραμμή

Ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την "αριστερή ουρά" μέσω των $((a)_(n))$ και των $d$, και τη "δεξιά ουρά" μέσω των $((a)_(k))$ και $d$. Είναι πολύ απλό:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα σημειώστε ότι τα ακόλουθα ποσά είναι ίσα:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ΜΙΚΡΟ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ΜΙΚΡΟ. \end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, αν θεωρήσουμε ως αρχή δύο στοιχεία της προόδου, τα οποία συνολικά είναι ίσα με κάποιον αριθμό $S$, και στη συνέχεια αρχίσουμε να βαδίζουμε από αυτά τα στοιχεία προς αντίθετες κατευθύνσεις (το ένα προς το άλλο ή το αντίστροφο για να απομακρυνθούμε), έπειτα τα αθροίσματα των στοιχείων που θα σκοντάψουμε θα είναι επίσης ίσα$S$. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί πιο ξεκάθαρα γραφικά:


Οι ίσες εσοχές δίνουν ίσες ποσότητες

Κατανόηση αυτό το γεγονόςθα μας επιτρέψει να λύσουμε τα προβλήματα σε ένα ουσιαστικά περισσότερο υψηλό επίπεδοδυσκολίες από αυτές που εξετάσαμε παραπάνω. Για παράδειγμα, αυτά:

Εργασία Νο. 8. Προσδιορίστε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην οποία ο πρώτος όρος είναι 66 και το γινόμενο του δεύτερου και του δωδέκατου όρου είναι το μικρότερο δυνατό.

Λύση. Ας γράψουμε όλα όσα γνωρίζουμε:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(στοίχιση)\]

Επομένως, δεν γνωρίζουμε τη διαφορά προόδου $d$. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η λύση θα χτιστεί γύρω από τη διαφορά, καθώς το γινόμενο $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(στοίχιση)\]

Για όσους βρίσκονται στη δεξαμενή: Πήρα τον συνολικό πολλαπλασιαστή 11 από τη δεύτερη αγκύλη. Έτσι, το επιθυμητό γινόμενο είναι μια τετραγωνική συνάρτηση σε σχέση με τη μεταβλητή $d$. Επομένως, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - η γραφική παράσταση της θα είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή αν επεκτείνουμε τις αγκύλες, παίρνουμε:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( δ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο συντελεστής του υψηλότερου όρου είναι 11 - αυτός είναι ένας θετικός αριθμός, επομένως έχουμε να κάνουμε πραγματικά με μια παραβολή με ανοδικούς κλάδους:


πρόγραμμα τετραγωνική λειτουργία- παραβολή

Σημείωση: αυτή η παραβολή παίρνει την ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της με την τετμημένη $((d)_(0))$. Φυσικά, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτήν την τετμημένη χρησιμοποιώντας το τυπικό σχήμα (υπάρχει ο τύπος $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), αλλά θα ήταν πολύ πιο λογικό να σημειωθεί ότι η επιθυμητή κορυφή βρίσκεται στη συμμετρία του άξονα της παραβολής, επομένως το σημείο $((d)_(0))$ απέχει ίση από τις ρίζες της εξίσωσης $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\τετράγωνο ((δ)_(2))=-6. \\ \end(στοίχιση)\]

Γι' αυτό δεν βιάστηκα ιδιαίτερα να ανοίξω τις αγκύλες: στην αρχική τους μορφή, οι ρίζες ήταν πολύ, πολύ εύκολο να βρεθούν. Επομένως, η τετμημένη ισούται με τη μέση τιμή αριθμητικοί αριθμοί−66 και −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Τι μας δίνει ο αριθμός που ανακαλύφθηκε; Με αυτό, το απαιτούμενο προϊόν παίρνει μικρότερη τιμή(παρεμπιπτόντως, ποτέ δεν υπολογίσαμε $((y)_(\min ))$ - αυτό δεν απαιτείται από εμάς). Ταυτόχρονα, αυτός ο αριθμός είναι η διαφορά της αρχικής εξέλιξης, δηλ. βρήκαμε την απάντηση. :)

Απάντηση: −36

Εργασία Νο. 9. Μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και $-\frac(1)(6)$ εισάγετε τρεις αριθμούς ώστε μαζί με αυτούς τους αριθμούς να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Λύση. Ουσιαστικά, πρέπει να φτιάξουμε μια ακολουθία πέντε αριθμών, με τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό να είναι ήδη γνωστοί. Ας υποδηλώσουμε τους αριθμούς που λείπουν με τις μεταβλητές $x$, $y$ και $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Σημειώστε ότι ο αριθμός $y$ είναι το "μέσο" της ακολουθίας μας - απέχει ίση απόσταση από τους αριθμούς $x$ και $z$ και από τους αριθμούς $-\frac(1)(2)$ και $-\frac (1)( 6)$. Και αν από τους αριθμούς $x$ και $z$ είμαστε μέσα αυτή τη στιγμήδεν μπορούμε να πάρουμε $y$, τότε η κατάσταση είναι διαφορετική με τα άκρα της εξέλιξης. Ας θυμηθούμε τον αριθμητικό μέσο όρο:

Τώρα, γνωρίζοντας το $y$, θα βρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς. Σημειώστε ότι το $x$ βρίσκεται μεταξύ των αριθμών $-\frac(1)(2)$ και του $y=-\frac(1)(3)$ που μόλις βρήκαμε. Να γιατί

Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική, βρίσκουμε τον υπόλοιπο αριθμό:

Ετοιμος! Βρήκαμε και τους τρεις αριθμούς. Ας τα γράψουμε στην απάντηση με τη σειρά που πρέπει να μπουν ανάμεσα στους αρχικούς αριθμούς.

Απάντηση: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Εργασία Νο. 10. Μεταξύ των αριθμών 2 και 42, εισαγάγετε αρκετούς αριθμούς που μαζί με αυτούς τους αριθμούς σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα του πρώτου, του δεύτερου και του τελευταίου από τους αριθμούς που εισάγονται είναι 56.

Λύση. Ακόμα περισσότερο δύσκολη εργασία, το οποίο όμως λύνεται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τα προηγούμενα - μέσω του αριθμητικού μέσου όρου. Το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε ακριβώς πόσοι αριθμοί πρέπει να εισαχθούν. Επομένως, ας υποθέσουμε με βεβαιότητα ότι μετά την εισαγωγή όλων θα υπάρχουν ακριβώς αριθμοί $n$, και ο πρώτος από αυτούς είναι 2 και ο τελευταίος είναι 42. Σε αυτήν την περίπτωση, η απαιτούμενη αριθμητική πρόοδος μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( α)_(n-1));42 \δεξιά\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Σημειώστε, ωστόσο, ότι οι αριθμοί $((a)_(2))$ και $((a)_(n-1))$ λαμβάνονται από τους αριθμούς 2 και 42 στις άκρες κατά ένα βήμα ο ένας προς τον άλλο, δηλ. στο κέντρο της ακολουθίας. Και αυτό σημαίνει ότι

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Αλλά τότε η έκφραση που γράφτηκε παραπάνω μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(στοίχιση)\]

Γνωρίζοντας τα $((a)_(3))$ και τα $((a)_(1))$, μπορούμε εύκολα να βρούμε τη διαφορά της προόδου:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\αριστερά(3-1 \δεξιά)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Δεξί βέλος d=5. \\ \end(στοίχιση)\]

Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τους υπόλοιπους όρους:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(στοίχιση)\]

Έτσι, ήδη στο 9ο βήμα θα φτάσουμε στο αριστερό άκρο της ακολουθίας - τον αριθμό 42. Συνολικά, χρειάστηκε να εισαχθούν μόνο 7 αριθμοί: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Απάντηση: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Προβλήματα λέξεων με προόδους

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μερικά σχετικά απλές εργασίες. Λοιπόν, τόσο απλό: για τους περισσότερους μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά στο σχολείο και δεν έχουν διαβάσει όσα γράφονται παραπάνω, αυτά τα προβλήματα μπορεί να φαίνονται δύσκολα. Ωστόσο, αυτοί είναι οι τύποι προβλημάτων που εμφανίζονται στο OGE και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, γι' αυτό σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με αυτά.

Εργασία Νο. 11. Η ομάδα παρήγαγε 62 εξαρτήματα τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα παρήγαγε 14 περισσότερα εξαρτήματα σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα εξαρτήματα παρήγαγε η ομάδα τον Νοέμβριο;

Λύση. Προφανώς, ο αριθμός των τμημάτων που παρατίθενται ανά μήνα θα αντιπροσωπεύει μια αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο. Εξάλλου:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 14. \\ \end(στοίχιση)\]

Ο Νοέμβριος είναι ο 11ος μήνας του έτους, επομένως πρέπει να βρούμε $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Επομένως, τον Νοέμβριο θα παραχθούν 202 ανταλλακτικά.

Εργασία Νο. 12. Το εργαστήριο βιβλιοδεσίας έδεσε 216 βιβλία τον Ιανουάριο και κάθε επόμενο μήνα έδεσε 4 περισσότερα βιβλία σε σχέση με τον προηγούμενο μήνα. Πόσα βιβλία δέσε το εργαστήριο τον Δεκέμβριο;

Λύση. Ολα τα ίδια:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\αριστερά(n-1 \δεξιά)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ο Δεκέμβριος είναι ο τελευταίος, 12ος μήνας του έτους, επομένως αναζητούμε $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Αυτή είναι η απάντηση - 260 βιβλία θα είναι δεμένα τον Δεκέμβριο.

Λοιπόν, αν έχετε διαβάσει ως εδώ, βιάζομαι να σας συγχαρώ: ολοκληρώσατε επιτυχώς το "μαθήματα νεαρών μαχητών" στις αριθμητικές προόδους. Μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στο επόμενο μάθημα, όπου θα μελετήσουμε τον τύπο για το άθροισμα της προόδου, καθώς και σημαντικές και πολύ χρήσιμες συνέπειες από αυτό.

Στα μαθηματικά, κάθε συλλογή αριθμών που διαδέχονται ο ένας τον άλλο, οργανωμένοι με κάποιο τρόπο, ονομάζεται ακολουθία. Από όλες τις υπάρχουσες ακολουθίες αριθμών, διακρίνονται δύο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: οι αλγεβρικές και οι γεωμετρικές προόδους.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Θα πρέπει να ειπωθεί αμέσως ότι η αλγεβρική πρόοδος ονομάζεται συχνά αριθμητική, καθώς οι ιδιότητές της μελετώνται από τον κλάδο των μαθηματικών - αριθμητική.

Αυτή η εξέλιξη είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενο μέλος διαφέρει από το προηγούμενο κατά έναν συγκεκριμένο σταθερό αριθμό. Ονομάζεται διαφορά μιας αλγεβρικής προόδου. Για βεβαιότητα, το συμβολίζουμε με το λατινικό γράμμα d.

Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας ακολουθίας θα μπορούσε να είναι το εξής: 3, 5, 7, 9, 11 ..., εδώ μπορείτε να δείτε ότι ο αριθμός είναι 5 περισσότερος αριθμόςΤο 3 είναι 2, το 7 είναι περισσότερο από το 5 είναι επίσης 2, και ούτω καθεξής. Έτσι, στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Ποια είναι τα είδη των αριθμητικών προόδων;

Η φύση αυτών των διατεταγμένων ακολουθιών αριθμών καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από το πρόσημο του αριθμού d. Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι αλγεβρικών προόδων:

  • αυξάνεται όταν το d είναι θετικό (d>0).
  • σταθερά όταν d = 0;
  • μειώνεται όταν το d είναι αρνητικό (δ<0).

Το παράδειγμα που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο δείχνει μια αυξανόμενη πρόοδο. Ένα παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας είναι η ακόλουθη ακολουθία αριθμών: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Μια σταθερή πρόοδος, όπως προκύπτει από τον ορισμό της, είναι μια συλλογή πανομοιότυπων αριθμών.

η θητεία προόδου

Λόγω του γεγονότος ότι κάθε επόμενος αριθμός στην εξεταζόμενη πρόοδο διαφέρει κατά μια σταθερά d από τον προηγούμενο, ο nος όρος του μπορεί να προσδιοριστεί εύκολα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε όχι μόνο το d, αλλά και το 1 - τον πρώτο όρο της προόδου. Χρησιμοποιώντας μια αναδρομική προσέγγιση, μπορεί κανείς να αποκτήσει έναν αλγεβρικό τύπο προόδου για την εύρεση του nου όρου. Μοιάζει με: a n = a 1 + (n-1)*d. Αυτή η φόρμουλα είναι αρκετά απλή και μπορεί να γίνει κατανοητή διαισθητικά.

Επίσης δεν είναι δύσκολο στη χρήση. Για παράδειγμα, στην εξέλιξη που δίνεται παραπάνω (d=2, a 1 =3), ορίζουμε τον 35ο όρο του. Σύμφωνα με τον τύπο, θα είναι ίσο με: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71.

Φόρμουλα για το ποσό

Όταν δίνεται μια αριθμητική πρόοδος, το άθροισμα των πρώτων n όρων της είναι ένα πρόβλημα που αντιμετωπίζεται συχνά, μαζί με τον προσδιορισμό της τιμής του nου όρου. Ο τύπος για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου γράφεται με την ακόλουθη μορφή: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, εδώ το εικονίδιο ∑ n 1 δηλώνει ότι αθροίζονται από το 1ο έως το η θητεία.

Η παραπάνω έκφραση μπορεί να ληφθεί καταφεύγοντας στις ιδιότητες της ίδιας αναδρομής, αλλά υπάρχει ένας ευκολότερος τρόπος να αποδειχθεί η εγκυρότητά της. Ας γράψουμε τους 2 πρώτους και τους τελευταίους 2 όρους αυτού του αθροίσματος, εκφράζοντάς τους με αριθμούς a 1, a n και d και παίρνουμε: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Τώρα σημειώστε ότι αν προσθέσουμε τον πρώτο όρο στον τελευταίο, θα είναι ακριβώς ίσος με το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου όρου, δηλαδή a 1 +a n. Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι το ίδιο άθροισμα μπορεί να ληφθεί προσθέτοντας τον τρίτο και τον προτελευταίο όρο κ.ο.κ. Στην περίπτωση ενός ζεύγους αριθμών στην ακολουθία, λαμβάνουμε n/2 αθροίσματα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με ένα 1 +a n. Δηλαδή, παίρνουμε τον παραπάνω τύπο για την αλγεβρική πρόοδο για το άθροισμα: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Για έναν μη ζευγαρωμένο αριθμό όρων n, προκύπτει ένας παρόμοιος τύπος εάν ακολουθήσετε τον περιγραφόμενο συλλογισμό. Απλώς θυμηθείτε να προσθέσετε τον υπόλοιπο όρο, ο οποίος βρίσκεται στο κέντρο της εξέλιξης.

Ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας απλής προόδου που εισήχθη παραπάνω (3, 5, 7, 9, 11 ...). Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα των πρώτων 15 όρων του. Αρχικά, ας ορίσουμε ένα 15. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο (δείτε την προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουμε ένα ενδιαφέρον ιστορικό γεγονός. Ο τύπος για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου αποκτήθηκε για πρώτη φορά από τον Carl Gauss (τον διάσημο Γερμανό μαθηματικό του 18ου αιώνα). Όταν ήταν μόλις 10 ετών, ο δάσκαλός του του ζήτησε να βρει το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100. Λένε ότι ο μικρός Gauss έλυσε αυτό το πρόβλημα σε λίγα δευτερόλεπτα, παρατηρώντας ότι αθροίζοντας τους αριθμούς από την αρχή και το τέλος της ακολουθίας σε ζευγάρια, μπορείτε πάντα να πάρετε 101, και επειδή υπάρχουν 50 τέτοια αθροίσματα, έδωσε γρήγορα την απάντηση: 50*101 = 5050.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Για να ολοκληρώσουμε το θέμα της αλγεβρικής προόδου, θα δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός άλλου ενδιαφέροντος προβλήματος, ενισχύοντας έτσι την κατανόηση του θέματος που εξετάζουμε. Έστω μια ορισμένη πρόοδος για την οποία είναι γνωστή η διαφορά d = -3, καθώς και ο 35ος όρος της a 35 = -114. Είναι απαραίτητο να βρεθεί ο 7ος όρος της προόδου a 7 .

Όπως φαίνεται από τις συνθήκες του προβλήματος, η τιμή του 1 είναι άγνωστη, επομένως δεν θα είναι δυνατή η απευθείας χρήση του τύπου για τον nο όρο. Η μέθοδος αναδρομής είναι επίσης άβολη, η οποία είναι δύσκολο να εφαρμοστεί χειροκίνητα και υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να γίνει λάθος. Ας προχωρήσουμε ως εξής: γράψτε τους τύπους για ένα 7 και ένα 35, έχουμε: a 7 = a 1 + 6*d και a 35 = a 1 + 34*d. Αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη παράσταση, παίρνουμε: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Ακολουθεί: a 7 = a 35 - 28*d. Απομένει να αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος και να γράψουμε την απάντηση: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Γεωμετρική πρόοδος

Για να αποκαλύψουμε πληρέστερα το θέμα του άρθρου, παρέχουμε μια σύντομη περιγραφή ενός άλλου τύπου προόδου - γεωμετρικής. Στα μαθηματικά, αυτό το όνομα νοείται ως μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά έναν ορισμένο παράγοντα. Ας υποδηλώσουμε αυτόν τον παράγοντα με το γράμμα r. Ονομάζεται παρονομαστής του υπό εξέταση τύπου εξέλιξης. Ένα παράδειγμα αυτής της ακολουθίας αριθμών θα ήταν: 1, 5, 25, 125, ...

Όπως φαίνεται από τον παραπάνω ορισμό, οι αλγεβρικές και γεωμετρικές προόδους είναι παρόμοιες στην ιδέα. Η διαφορά μεταξύ τους είναι ότι το πρώτο αλλάζει πιο αργά από το δεύτερο.

Η γεωμετρική πρόοδος μπορεί επίσης να είναι αυξανόμενη, σταθερή ή φθίνουσα. Ο τύπος του εξαρτάται από την τιμή του παρονομαστή r: εάν r>1, τότε υπάρχει μια αυξανόμενη πρόοδος, εάν r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Γεωμετρικοί τύποι προόδου

Όπως και στην περίπτωση της αλγεβρικής, οι τύποι μιας γεωμετρικής προόδου μειώνονται στον προσδιορισμό του nου όρου της και του αθροίσματος των n όρων. Παρακάτω είναι αυτές οι εκφράσεις:

  • a n = a 1 *r (n-1) - αυτός ο τύπος προκύπτει από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου.
  • ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι εάν r = 1, τότε ο παραπάνω τύπος δίνει αβεβαιότητα, επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, το άθροισμα των n όρων θα είναι ίσο με το απλό γινόμενο a 1 *n.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το άθροισμα μόνο 10 όρων της ακολουθίας 1, 5, 25, 125, ... Γνωρίζοντας ότι a 1 = 1 και r = 5, παίρνουμε: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Η τιμή που προκύπτει είναι ένα σαφές παράδειγμα του πόσο γρήγορα αυξάνεται η γεωμετρική πρόοδος.

Ίσως η πρώτη αναφορά αυτής της εξέλιξης στην ιστορία είναι ο θρύλος με τη σκακιέρα, όταν ένας φίλος ενός Σουλτάνου, έχοντας τον μάθει να παίζει σκάκι, ζήτησε σιτηρά για την υπηρεσία του. Επιπλέον, η ποσότητα του κόκκου θα έπρεπε να ήταν η εξής: ένας κόκκος πρέπει να τοποθετηθεί στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, διπλάσιος στο δεύτερο από το πρώτο, στον τρίτο διπλάσιος από το δεύτερο κ.ο.κ. . Ο Σουλτάνος ​​δέχτηκε πρόθυμα να εκπληρώσει αυτό το αίτημα, αλλά δεν ήξερε ότι θα έπρεπε να αδειάσει όλους τους κάδους της χώρας του για να κρατήσει τον λόγο του.

Ή αριθμητική είναι ένας τύπος διατεταγμένης αριθμητικής ακολουθίας, οι ιδιότητες της οποίας μελετώνται σε ένα μάθημα σχολικής άλγεβρας. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς το ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είδους εξέλιξη είναι αυτή;

Πριν προχωρήσουμε στην ερώτηση (πώς να βρούμε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου), αξίζει να καταλάβουμε για τι πράγμα μιλάμε.

Οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών που προκύπτει προσθέτοντας (αφαιρώντας) κάποια τιμή από κάθε προηγούμενο αριθμό ονομάζεται αλγεβρική (αριθμητική) πρόοδος. Αυτός ο ορισμός, όταν μεταφράζεται σε μαθηματική γλώσσα, έχει τη μορφή:

Εδώ εγώ - σειριακός αριθμόςστοιχείο της σειράς a i . Έτσι, γνωρίζοντας μόνο έναν αριθμό έναρξης, μπορείτε εύκολα να επαναφέρετε ολόκληρη τη σειρά. Η παράμετρος d στον τύπο ονομάζεται διαφορά προόδου.

Μπορεί εύκολα να φανεί ότι για την υπό εξέταση σειρά αριθμών ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Δηλαδή, για να βρείτε την τιμή του nου στοιχείου με τη σειρά, θα πρέπει να προσθέσετε τη διαφορά d στο πρώτο στοιχείο a 1 n-1 φορές.

Ποιο είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου: τύπος

Πριν δώσετε τον τύπο για το αναγραφόμενο ποσό, αξίζει να εξετάσετε μια απλή ειδική περίπτωση. Δεδομένης της προόδου των φυσικών αριθμών από το 1 στο 10, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι στην πρόοδο (10), είναι δυνατό να λυθεί το πρόβλημα κατά μέτωπο, δηλαδή να αθροιστούν όλα τα στοιχεία με τη σειρά.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Αξίζει να εξετάσουμε ένα ενδιαφέρον πράγμα: δεδομένου ότι κάθε όρος διαφέρει από τον επόμενο κατά την ίδια τιμή d = 1, τότε το άθροισμα κατά ζεύγη του πρώτου με το δέκατο, του δεύτερου με το ένατο και ούτω καθεξής θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Πραγματικά:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο 5 από αυτά τα αθροίσματα, δηλαδή ακριβώς δύο φορές λιγότερα από τον αριθμό των στοιχείων της σειράς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των αθροισμάτων (5) με το αποτέλεσμα κάθε αθροίσματος (11), θα καταλήξετε στο αποτέλεσμα που προέκυψε στο πρώτο παράδειγμα.

Αν γενικεύσουμε αυτά τα επιχειρήματα, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Αυτή η έκφραση δείχνει ότι δεν είναι καθόλου απαραίτητο να αθροιστούν όλα τα στοιχεία σε μια σειρά· αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου a 1 και του τελευταίου a n, καθώς και τον συνολικό αριθμό των όρων n.

Πιστεύεται ότι ο Gauss σκέφτηκε για πρώτη φορά αυτή την ισότητα όταν έψαχνε για μια λύση σε ένα πρόβλημα που έδωσε ο δάσκαλός του στο σχολείο: άθροισμα των πρώτων 100 ακέραιων αριθμών.

Άθροισμα στοιχείων από m έως n: τύπος

Ο τύπος που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο απαντά στο ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου (τα πρώτα στοιχεία), αλλά συχνά στα προβλήματα είναι απαραίτητο να αθροίσετε μια σειρά αριθμών στο μέσο της προόδου. Πως να το κάνεις?

Ο ευκολότερος τρόπος για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση είναι λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο παράδειγμα: ας είναι απαραίτητο να βρούμε το άθροισμα των όρων από το m-ο στο n-ο. Για να λύσετε το πρόβλημα, θα πρέπει να παρουσιάσετε το δεδομένο τμήμα από το m στο n της προόδου με τη μορφή μιας νέας σειράς αριθμών. Σε αυτήν την αναπαράσταση, ο mth όρος a m θα είναι ο πρώτος και το a n θα αριθμηθεί n-(m-1). Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζοντας τον τυπικό τύπο για το άθροισμα, θα ληφθεί η ακόλουθη έκφραση:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Παράδειγμα χρήσης τύπων

Γνωρίζοντας πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό παράδειγμα χρήσης των παραπάνω τύπων.

Παρακάτω δίνεται σειρά αριθμών, θα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των όρων του, ξεκινώντας από την 5η και τελειώνοντας με την 12η:

Οι αριθμοί που δίνονται υποδεικνύουν ότι η διαφορά d είναι ίση με 3. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το nο στοιχείο, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του 5ου και του 12ου όρου της προόδου. Αποδεικνύεται:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Γνωρίζοντας τις τιμές των αριθμών στα άκρα της αλγεβρικής προόδου που εξετάζουμε, καθώς και γνωρίζοντας ποιους αριθμούς στη σειρά που καταλαμβάνουν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το άθροισμα που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Θα αποδειχθεί:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η τιμή θα μπορούσε να ληφθεί διαφορετικά: πρώτα βρείτε το άθροισμα των πρώτων 12 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο, στη συνέχεια υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων 4 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο και, στη συνέχεια, αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο άθροισμα.


Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτή την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το διπλανό του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).

Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.

Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:


Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).

Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).


Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Δεν γνωρίζουμε όμως τη σημασία τους· μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα "κατά μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).


Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου



\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.


Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων.
Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των πρώτων στοιχείων \(n\).
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να γίνει μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Ας υπολογίσουμε...

\(n>65.333…\)

...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε;
Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).


Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Μερικοί άνθρωποι αντιμετωπίζουν τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ περίπλοκο όρο από τους κλάδους των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του ταξίμετρου (όπου υπάρχουν ακόμα). Και η κατανόηση της ουσίας (και στα μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό από την «κατανόηση της ουσίας») μιας αριθμητικής ακολουθίας δεν είναι τόσο δύσκολη, έχοντας αναλύσει μερικές στοιχειώδεις έννοιες.

Μαθηματική ακολουθία αριθμών

Μια αριθμητική ακολουθία ονομάζεται συνήθως μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.

a 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

και 2 είναι ο δεύτερος όρος της ακολουθίας.

και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.

και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.

Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του nου όρου σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό μέσω μιας σχέσης που μπορεί να διατυπωθεί ξεκάθαρα μαθηματικά. Με άλλα λόγια: η αριθμητική τιμή του nου αριθμού είναι κάποια συνάρτηση του n.

α είναι η τιμή ενός μέλους μιας αριθμητικής ακολουθίας.

n είναι ο αύξων αριθμός του.

Η f(n) είναι μια συνάρτηση, όπου ο τακτικός αριθμός στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.

Ορισμός

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:

a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.

ένα n+1 - τύπος του επόμενου αριθμού.

δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).

Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.

Στο παρακάτω γράφημα είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".

Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Καθορισμένη τιμή μέλους

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή οποιουδήποτε αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Αυτό μπορεί να γίνει με τον διαδοχικό υπολογισμό των τιμών όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι δεν είναι πάντα αποδεκτό εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πενταχιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυρίου όρου. Οι παραδοσιακοί υπολογισμοί θα χρειαστούν πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε όρου μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου όρου της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού όρου, μειωμένη κατά ένας.

Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου όρου

Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου.

Προϋπόθεση: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι 3.

Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.

Εργασία: πρέπει να βρείτε την τιμή 214 όρων

Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου όρου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

a(n) = a1 + d(n-1)

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Απάντηση: Ο 214ος όρος της ακολουθίας ισούται με 258,6.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.

Άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων

Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων από τα τμήματα της. Για να γίνει αυτό, δεν χρειάζεται επίσης να υπολογίσετε τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις προσθέσετε. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου όρου, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό του όρου n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του nου όρου αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:

Παράδειγμα υπολογισμού

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.

Η διαφορά είναι 0,5.

Το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιορισμό του αθροίσματος των όρων της σειράς από 56 έως 101.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του ποσού της προόδου:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 όρων της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Έτσι, το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου

Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα μιας αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η επιβίβαση σε ταξί (που περιλαμβάνει 3 χιλιόμετρα διαδρομής) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο πληρώνεται με τιμή 22 ρούβλια/χλμ. Η απόσταση ταξιδιού είναι 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.

1. Ας απορρίψουμε τα πρώτα 3 χιλιόμετρα, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.

30 - 3 = 27 χλμ.

2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.

Αριθμός μέλους - ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).

Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.

Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.

Διαφορά προόδου d = 22 r.

ο αριθμός που μας ενδιαφέρει είναι η τιμή του (27+1)ου όρου της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μέτρου στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου είναι 27.999... = 28 χλμ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Οι υπολογισμοί δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το αστέρι. Επιπλέον, διάφορες σειρές αριθμών χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους τομείς των μαθηματικών.

Ένας άλλος τύπος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική

Η γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερους ρυθμούς μεταβολής σε σύγκριση με την αριθμητική πρόοδο. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία και την ιατρική, για να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία εξελίσσεται σε γεωμετρική πρόοδο.

Ο Νος όρος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από τον προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, ο πρώτος όρος είναι 1, ο παρονομαστής είναι αντίστοιχα ίσος με 2, τότε:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - η τιμή του τρέχοντος όρου της γεωμετρικής προόδου.

b n+1 - τύπος του επόμενου όρου της γεωμετρικής προόδου.

q είναι ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).

Εάν το γράφημα μιας αριθμητικής προόδου είναι μια ευθεία γραμμή, τότε μια γεωμετρική πρόοδος δίνει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, η γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου όρου. Κάθε νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του πρώτου όρου και τον παρονομαστή της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:

Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Ας βρούμε τον 5ο όρο της προόδου

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του nου όρου της προόδου και του παρονομαστή του και του πρώτου όρου της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:

Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n όρων της υπό εξέταση σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:

Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής ορίζεται σε 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280