Κατά τον μετασχηματισμό μιας κλασματικής αλγεβρικής παράστασης της οποίας ο παρονομαστής είναι γραμμένος παράλογη έκφραση, συνήθως προσπαθούν να αναπαραστήσουν ένα κλάσμα έτσι ώστε ο παρονομαστής του να είναι λογικός. Εάν τα A,B,C,D,... είναι μερικές αλγεβρικές εκφράσεις, τότε μπορείτε να καθορίσετε κανόνες με τη βοήθεια των οποίων μπορείτε να απαλλαγείτε από ριζικά σημάδια στον παρονομαστή των εκφράσεων της φόρμας

Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, η απελευθέρωση από τον παραλογισμό επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με έναν παράγοντα που επιλέγεται έτσι ώστε το γινόμενο του με τον παρονομαστή του κλάσματος να είναι ορθολογικό.

1) Για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος της μορφής . Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

Παράδειγμα 1. .

2) Στην περίπτωση των κλασμάτων της μορφής . Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν παράλογο παράγοντα

αντίστοιχα, δηλαδή στη συζυγή παράλογη έκφραση.

Το νόημα της τελευταίας ενέργειας είναι ότι στον παρονομαστή το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς μετατρέπεται σε διαφορά τετραγώνων, η οποία θα είναι ήδη μια ορθολογική έκφραση.

Παράδειγμα 2. Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή της έκφρασης:

Λύση, α) Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την παράσταση . Παίρνουμε (με την προϋπόθεση ότι)

3) Στην περίπτωση εκφράσεων όπως

ο παρονομαστής θεωρείται ως άθροισμα (διαφορά) και πολλαπλασιάζεται επί μερικό τετράγωνοδιαφορές (αθροίσματα) για να λάβετε το άθροισμα (διαφορά) των κύβων ((20.11), (20.12)). Ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται επίσης με τον ίδιο παράγοντα.

Παράδειγμα 3. Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή των εκφράσεων:

Λύση, α) Θεωρώντας τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως το άθροισμα των αριθμών και του 1, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το μερικό τετράγωνο της διαφοράς αυτών των αριθμών:

ή τέλος:

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ένας μετασχηματισμός της αντίθετης φύσης: να απελευθερωθεί το κλάσμα από τον παραλογισμό στον αριθμητή. Εκτελείται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Παράδειγμα 4. Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον αριθμητή ενός κλάσματος.

Σε αυτό το θέμα θα εξετάσουμε και τις τρεις ομάδες ορίων με παραλογισμό που αναφέρονται παραπάνω. Ας ξεκινήσουμε με όρια που περιέχουν αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$.

Αποκάλυψη αβεβαιότητας $\frac(0)(0)$.

Η λύση σε τυπικά παραδείγματα αυτού του τύπου συνήθως αποτελείται από δύο βήματα:

• Απαλλαγούμε από τον παραλογισμό που προκάλεσε αβεβαιότητα πολλαπλασιάζοντας με τη λεγόμενη «συζυγική» έκφραση.
• Εάν είναι απαραίτητο, συνυπολογίστε την έκφραση στον αριθμητή ή στον παρονομαστή (ή και στα δύο).
• Μειώνουμε τους παράγοντες που οδηγούν σε αβεβαιότητα και υπολογίζουμε την επιθυμητή τιμή του ορίου.

Ο όρος "συζευγμένη έκφραση" που χρησιμοποιείται παραπάνω θα εξηγηθεί λεπτομερώς στα παραδείγματα. Προς το παρόν δεν υπάρχει λόγος να σταθούμε σε αυτό λεπτομερώς. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να πάτε από την άλλη πλευρά, χωρίς να χρησιμοποιήσετε τη συζυγή έκφραση. Μερικές φορές μια σωστά επιλεγμένη αντικατάσταση μπορεί να εξαλείψει τον παραλογισμό. Τέτοια παραδείγματα είναι σπάνια στο πρότυπο δοκιμές, επομένως, για τη χρήση αντικατάστασης, θα εξετάσουμε μόνο ένα παράδειγμα Νο. 6 (δείτε το δεύτερο μέρος αυτού του θέματος).

Θα χρειαστούμε αρκετούς τύπους, τους οποίους θα γράψω παρακάτω:

\αρχή(εξίσωση) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(εξίσωση) \αρχή(εξίσωση) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(εξίσωση) \αρχή(εξίσωση) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(εξίσωση) \αρχή (εξίσωση) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end (εξίσωση)

Επιπλέον, υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τους τύπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Αν οι $x_1$ και οι $x_2$ είναι ρίζες τετραγωνικό τριώνυμο$ax^2+bx+c$, τότε μπορεί να παραγοντοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(εξίσωση)

Οι τύποι (1)-(5) είναι αρκετά επαρκείς για την επίλυση τυπικών προβλημάτων, στα οποία θα προχωρήσουμε τώρα.

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε $\lim_(x\έως 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Αφού $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ και $\lim_(x\ έως 3) (x-3)=3-3=0$, τότε στο δεδομένο όριο έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Η διαφορά $\sqrt(7-x)-2$ μας εμποδίζει να αποκαλύψουμε αυτήν την αβεβαιότητα. Για να απαλλαγούμε από τέτοιους παραλογισμούς, χρησιμοποιείται ο πολλαπλασιασμός με τη λεγόμενη «συζυγική έκφραση». Θα δούμε τώρα πώς λειτουργεί ένας τέτοιος πολλαπλασιασμός. Πολλαπλασιασμός $\sqrt(7-x)-2$ επί $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Για να ανοίξετε τις αγκύλες, εφαρμόστε το , αντικαθιστώντας τα $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ στη δεξιά πλευρά του αναφερόμενου τύπου:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Όπως μπορείτε να δείτε, αν πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με $\sqrt(7-x)+2$, τότε η ρίζα (δηλαδή ο παραλογισμός) στον αριθμητή θα εξαφανιστεί. Αυτή η έκφραση $\sqrt(7-x)+2$ θα είναι κλίνωστην έκφραση $\sqrt(7-x)-2$. Ωστόσο, δεν μπορούμε απλά να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με $\sqrt(7-x)+2$, γιατί αυτό θα αλλάξει το κλάσμα $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, το οποίο είναι κάτω από το όριο. Πρέπει να πολλαπλασιάσετε ταυτόχρονα τον αριθμητή και τον παρονομαστή:

$$ \lim_(x\έως 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Τώρα θυμηθείτε ότι $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ και ανοίξτε τις αγκύλες. Και αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και έναν μικρό μετασχηματισμό $3-x=-(x-3)$, μειώνουμε το κλάσμα κατά $x-3$:

$$ \lim_(x\έως 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\έως 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\έως 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\έως 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Η αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$ εξαφανίστηκε. Τώρα μπορείτε εύκολα να πάρετε την απάντηση αυτό το παράδειγμα:

$$ \lim_(x\έως 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Σημειώνω ότι η συζυγής έκφραση μπορεί να αλλάξει τη δομή της, ανάλογα με το είδος του παραλογισμού που πρέπει να αφαιρέσει. Στα παραδείγματα Νο. 4 και Νο. 5 (δείτε το δεύτερο μέρος αυτού του θέματος) θα χρησιμοποιηθεί ένας διαφορετικός τύπος συζυγούς έκφρασης.

Απάντηση: $\lim_(x\έως 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε $\lim_(x\έως 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Αφού $\lim_(x\έως 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ και $\lim_(x\έως 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, τότε εμείς αντιμετωπίζουν την αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ας απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή αυτού του κλάσματος. Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ στο έκφραση $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ συζευγμένη με τον παρονομαστή:

$$ \lim_(x\έως 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\αριστερά|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\έως 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Και πάλι, όπως στο παράδειγμα Νο. 1, πρέπει να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις για επέκταση. Αντικαθιστώντας τα $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ στη δεξιά πλευρά του αναφερόμενου τύπου, λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση για τον παρονομαστή:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ δεξιά)=\\ =\αριστερά(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Ας επιστρέψουμε στα όριά μας:

$$ \lim_(x\έως 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\έως 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Στο παράδειγμα Νο. 1, σχεδόν αμέσως μετά τον πολλαπλασιασμό με τη συζυγή έκφραση, το κλάσμα μειώθηκε. Εδώ, πριν από τη μείωση, θα πρέπει να παραγοντοποιήσετε τις εκφράσεις $3x^2-5x-2$ και $x^2-4$ και μόνο μετά να προχωρήσετε στη μείωση. Για να συνυπολογίσετε την έκφραση $3x^2-5x-2$ πρέπει να χρησιμοποιήσετε . Πρώτα ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \αρχή(στοίχιση) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Αντικαθιστώντας τα $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ σε , θα έχουμε:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Τώρα είναι ώρα να παραγοντοποιήσουμε την έκφραση $x^2-4$. Ας χρησιμοποιήσουμε , αντικαθιστώντας τα $a=x$, $b=2$ σε αυτό:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Ας χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε. Αφού $x^2-4=(x-2)(x+2)$ και $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, τότε:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Μειώνοντας κατά την αγκύλη $x-2$ παίρνουμε:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Ολα! Η αβεβαιότητα έχει εξαφανιστεί. Ένα ακόμη βήμα και φτάνουμε στην απάντηση:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\έως 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Απάντηση: $\lim_(x\έως 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Στο παρακάτω παράδειγμα, εξετάστε την περίπτωση όπου οι παραλογισμοί θα υπάρχουν και στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε $\lim_(x\έως 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Αφού $\lim_(x\έως 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ και $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, τότε έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $ \frac (0)(0)$. Δεδομένου ότι σε αυτήν την περίπτωση οι ρίζες υπάρχουν και στον παρονομαστή και στον αριθμητή, για να απαλλαγείτε από την αβεβαιότητα θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε με δύο παρενθέσεις ταυτόχρονα. Αρχικά, στην έκφραση $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ συζευγνύουμε με τον αριθμητή. Και δεύτερον, στην έκφραση $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ συζευγμένη με τον παρονομαστή.

$$ \lim_(x\έως 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\αριστερά|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\έως 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(στοιχισμένη) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(στοιχισμένο) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Για την έκφραση $x^2-8x+15$ παίρνουμε:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \αρχή(στοίχιση) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(ευθυγραμμισμένο)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Αντικατάσταση των επεκτάσεων που προκύπτουν $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ και $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ στο όριο υπό εξέταση, θα έχει:

$$ \lim_(x\έως 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\έως 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\έως 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Απάντηση: $\lim_(x\έως 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Στο επόμενο (δεύτερο) μέρος, θα εξετάσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα στα οποία η συζυγής έκφραση θα έχει διαφορετική μορφή από ότι στα προηγούμενα προβλήματα. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι ο σκοπός της χρήσης μιας συζυγούς έκφρασης είναι να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό που προκαλεί αβεβαιότητα.

Εκφράσεις, μετατροπή έκφρασης

Πώς να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή; Μέθοδοι, παραδείγματα, λύσεις

Στην 8η δημοτικού, κατά τη διάρκεια των μαθημάτων άλγεβρας, στα πλαίσια του θέματος μετασχηματισμός παράλογων εκφράσεων, μια συζήτηση στρέφεται σε απελευθέρωση από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε τι είδους μετασχηματισμός είναι αυτός, θα εξετάσουμε ποιες ενέργειες σας επιτρέπουν να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος και θα δώσουμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα με λεπτομερείς εξηγήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει να απελευθερωθείς από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος;

Πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι είναι ο παραλογισμός στον παρονομαστή και τι σημαίνει να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Σε αυτό θα μας βοηθήσουν πληροφορίες από σχολικά εγχειρίδια. Τα ακόλουθα σημεία αξίζουν προσοχής.

Όταν ο συμβολισμός ενός κλάσματος περιέχει ένα σύμβολο ρίζας (ριζική) στον παρονομαστή, τότε λέγεται ότι ο παρονομαστής περιέχει παραλογισμός. Αυτό οφείλεται πιθανώς στο γεγονός ότι οι αριθμοί που γράφονται με ρίζες είναι συχνά . Ως παράδειγμα, δίνουμε τα κλάσματα , , , προφανώς, οι παρονομαστές καθενός από αυτά περιέχουν το πρόσημο της ρίζας, άρα και τον παραλογισμό. Στο γυμνάσιο, είναι αναπόφευκτο να συναντήσετε κλάσματα, ο παραλογισμός στους παρονομαστές των οποίων εισάγεται όχι μόνο από τα σημάδια τετραγωνικές ρίζες, αλλά και σημάδια κυβικών ριζών, τέταρτων ριζών κ.λπ. Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: .

Λαμβάνοντας υπόψη τις παρεχόμενες πληροφορίες και τη σημασία της λέξης «δωρεάν», ο ακόλουθος ορισμός είναι πολύ φυσικός:

Ορισμός.

Απελευθέρωση από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματοςείναι ένας μετασχηματισμός κατά τον οποίο ένα κλάσμα με παραλογισμό στον παρονομαστή αντικαθίσταται από ένα πανομοιότυπα ίσο κλάσμα που δεν περιέχει σημεία ρίζας στον παρονομαστή.

Μπορείτε συχνά να ακούσετε ανθρώπους να λένε να μην απελευθερωθούν, αλλά να απαλλαγούν από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος. Το νόημα δεν αλλάζει.

Για παράδειγμα, αν μετακινηθούμε από ένα κλάσμα σε ένα κλάσμα του οποίου η τιμή είναι ίση με την τιμή του αρχικού κλάσματος και του οποίου ο παρονομαστής δεν περιέχει το σύμβολο της ρίζας, τότε μπορούμε να δηλώσουμε ότι έχουμε απαλλαγεί από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του το κλάσμα. Ένα άλλο παράδειγμα: αντικατάσταση ενός κλάσματος με ένα πανομοιότυπο κλάσμα υπάρχει μια απελευθέρωση από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος.

Έτσι, ελήφθησαν οι αρχικές πληροφορίες. Μένει να μάθουμε τι πρέπει να γίνει για να απελευθερωθούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος.

Τρόποι για να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό, παραδείγματα

Συνήθως, για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, χρησιμοποιούνται δύο στον παρονομαστή ενός κλάσματος. μετατροπές κλασμάτων: Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν μη μηδενικό αριθμό ή παράσταση και μετασχηματίζοντας την παράσταση στον παρονομαστή. Παρακάτω θα δούμε πώς αυτές οι μετατροπές κλασμάτων χρησιμοποιούνται με βασικούς τρόπους για να αφαιρέσουμε τον παραλογισμό από τον παρονομαστή ενός κλάσματος. Ας θίξουμε τις παρακάτω περιπτώσεις.

Στις απλούστερες περιπτώσεις, αρκεί να μετατρέψουμε την έκφραση σε παρονομαστή. Ένα παράδειγμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι η ρίζα του εννέα. Σε αυτήν την περίπτωση, η αντικατάστασή του με την τιμή 3 απαλλάσσει τον παρονομαστή από τον παραλογισμό.

Σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςπρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με κάποιον μη μηδενικό αριθμό ή έκφραση, η οποία στη συνέχεια σας επιτρέπει να μετατρέψετε τον παρονομαστή του κλάσματος σε μια μορφή που δεν περιέχει ριζικά σημεία. Για παράδειγμα, μετά τον πολλαπλασιασμό του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με , το κλάσμα παίρνει τη μορφή , και στη συνέχεια η έκφραση στον παρονομαστή μπορεί να αντικατασταθεί από μια παράσταση χωρίς πρόσημα των ριζών x+1. Έτσι, αφού απελευθερωθεί από τον παραλογισμό στον παρονομαστή, το κλάσμα παίρνει τη μορφή .

Αν μιλάμε για τη γενική περίπτωση, τότε για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος, πρέπει να καταφύγουμε σε διάφορους επιτρεπτούς μετασχηματισμούς, μερικές φορές αρκετά συγκεκριμένους.

Και τώρα αναλυτικά.

Μετατροπή μιας έκφρασης στον παρονομαστή ενός κλάσματος

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, ένας τρόπος για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος είναι να μετατρέψουμε τον παρονομαστή. Ας δούμε τις λύσεις στα παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος .

Λύση.

Ανοίγοντας τις παρενθέσεις στον παρονομαστή, φτάνουμε στην έκφραση . Στη συνέχεια σας επιτρέπουν να προχωρήσετε στα κλάσματα . Έχοντας υπολογίσει τις τιμές κάτω από τα σημάδια των ριζών, έχουμε . Προφανώς, στην προκύπτουσα έκφραση είναι δυνατό, το οποίο δίνει ένα κλάσμα ίσο με 1/16. Έτσι ξεφορτωθήκαμε τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Συνήθως η λύση γράφεται εν συντομία χωρίς εξήγηση, αφού οι ενέργειες που εκτελούνται είναι αρκετά απλές:

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Λύση.

Όταν μιλήσαμε για μετασχηματισμό παράλογων παραστάσεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ριζών, παρατηρήσαμε ότι για οποιαδήποτε παράσταση A με άρτιο n (στην περίπτωσή μας n=2) η παράσταση μπορεί να αντικατασταθεί από την έκφραση |A| σε ολόκληρο το ODZ των μεταβλητών για την αρχική έκφραση. Επομένως, μπορείτε να εκτελέσετε τον ακόλουθο μετασχηματισμό ενός δεδομένου κλάσματος: , που μας απαλλάσσει από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Απάντηση:

.

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη ρίζα

Όταν η έκφραση στον παρονομαστή ενός κλάσματος έχει τη μορφή , όπου η έκφραση Α δεν περιέχει σημάδια των ριζών, τότε ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή με σάς επιτρέπει να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Αυτή η ενέργεια είναι δυνατή επειδή δεν εξαφανίζεται στις μεταβλητές της αρχικής έκφρασης. Σε αυτήν την περίπτωση, ο παρονομαστής παράγει μια έκφραση που μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μορφή χωρίς ριζικά πρόσημα: . Ας δείξουμε την εφαρμογή αυτής της προσέγγισης με παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος: α) , β) .

Λύση.

α) Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με Τετραγωνική ρίζααπό τα τρία, παίρνουμε .

β) Για να απαλλαγείτε από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας στον παρονομαστή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με , και στη συνέχεια πραγματοποιήστε μετασχηματισμούς στον παρονομαστή:

Απάντηση:

α), β) .

Στην περίπτωση που ο παρονομαστής περιέχει παράγοντες ή , όπου m και n είναι κάποιοι φυσικοί αριθμοί, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν τέτοιο παράγοντα, ώστε μετά από αυτό η έκφραση στον παρονομαστή να μπορεί να μετατραπεί στη μορφή ή , όπου k είναι κάποιο φυσικό αριθμό, αντίστοιχα. Τότε είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε ένα κλάσμα χωρίς παραλογισμό στον παρονομαστή. Ας δείξουμε την εφαρμογή της περιγραφόμενης μεθόδου για την απαλλαγή από τον παραλογισμό στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος: α) , β) .

Λύση.

α) Ο πλησιέστερος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 3 και διαιρούμενος με το 5 είναι το 5. Για να γίνει ο εκθέτης του έξι ίσος με πέντε, η έκφραση στον παρονομαστή πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί. Κατά συνέπεια, η απελευθέρωση από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος θα διευκολυνθεί από την έκφραση με την οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν:

β) Προφανώς, ο πλησιέστερος φυσικός αριθμός που υπερβαίνει το 15 και διαιρείται με το 4 χωρίς υπόλοιπο είναι το 16. Για να λάβετε τον εκθέτη στον παρονομαστή να γίνει ίσος με 16, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την έκφραση εκεί με. Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με (σημειώστε, η τιμή αυτής της παράστασης δεν είναι ίση με μηδέν για οποιοδήποτε πραγματικό x) θα απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή:

Απάντηση:

ΕΝΑ) , β) .

Πολλαπλασιασμός με το συζυγές του

Η ακόλουθη μέθοδος για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος καλύπτει περιπτώσεις όπου ο παρονομαστής περιέχει εκφράσεις της μορφής , , , , ή . Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το λεγόμενο συζυγής έκφραση.

Μένει να μάθουμε ποιες εκφράσεις είναι συζευγμένες με τις παραπάνω. Για μια έκφραση, η συζυγής έκφραση είναι , και για μια έκφραση, η συζυγής έκφραση είναι . Ομοίως, για μια έκφραση το συζυγές είναι , και για μια έκφραση το συζυγές είναι . Και για μια έκφραση το συζυγές είναι , και για μια έκφραση το συζυγές είναι . Έτσι, η έκφραση συζυγής σε αυτήν την έκφραση διαφέρει από αυτήν κατά το πρόσημο μπροστά από τον δεύτερο όρο.

Ας δούμε τι έχει ως αποτέλεσμα ο πολλαπλασιασμός μιας έκφρασης με το συζυγές της. Για παράδειγμα, σκεφτείτε το έργο . Μπορεί να αντικατασταθεί από τη διαφορά των τετραγώνων, δηλαδή, από όπου μπορούμε στη συνέχεια να προχωρήσουμε στην έκφραση a−b, η οποία δεν περιέχει σημάδια των ριζών.

Τώρα γίνεται σαφές πώς ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με την έκφραση συζευγμένη με τον παρονομαστή σάς επιτρέπει να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος. Ας δούμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Φανταστείτε την παράσταση ως ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής δεν περιέχει ρίζα: α) , β) .

Λύση.

α) Η έκφραση συζυγής με τον παρονομαστή είναι . Ας πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτόν, κάτι που θα μας επιτρέψει να απελευθερωθούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος:

β) Το συζυγές της έκφρασης είναι . Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτόν, παίρνουμε

Ήταν δυνατό να αφαιρέσουμε πρώτα το σύμβολο μείον από τον παρονομαστή και μόνο μετά από αυτό να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την έκφραση που συζευγνύεται με τον παρονομαστή:

Απάντηση:

ΕΝΑ) , β) .

Σημειώστε: όταν πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με μια παράσταση με μεταβλητές συζευγμένες με τον παρονομαστή, πρέπει να προσέχετε να μην εξαφανίζεται για κανένα σύνολο τιμών των μεταβλητών από το ODZ για την αρχική έκφραση.

Παράδειγμα.

Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος.

Λύση.

Αρχικά, ας βρούμε το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών (APV) της μεταβλητής x. Καθορίζεται από τις συνθήκες x≥0 και , από τις οποίες συμπεραίνουμε ότι το ODZ είναι το σύνολο x≥0.

Η έκφραση συζευγμένη με τον παρονομαστή είναι . Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν, με την προϋπόθεση ότι , το οποίο στο ODZ είναι ισοδύναμο με τη συνθήκη x≠16. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε

Και στο x=16 έχουμε .

Έτσι, για όλες τις τιμές της μεταβλητής x από το ODZ, εκτός από το x=16, , και για x=16 έχουμε .

Απάντηση:

Χρησιμοποιώντας το άθροισμα των κύβων και τη διαφορά των τύπων κύβων

Από την προηγούμενη παράγραφο, μάθαμε ότι ο πολλαπλασιασμός του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με την έκφραση συζευγμένη με τον παρονομαστή πραγματοποιείται για να εφαρμόσουμε στη συνέχεια τη διαφορά των τετραγώνων και έτσι να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Σε ορισμένες περιπτώσεις, άλλοι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού είναι χρήσιμοι για να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, ο τύπος για τη διαφορά των κύβων a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2)σας επιτρέπει να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος περιέχει εκφράσεις με κυβικές ρίζες της μορφής ή , όπου Α και Β είναι κάποιοι αριθμοί ή εκφράσεις. Για να γίνει αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με το μερικό τετράγωνο του αθροίσματος ή με τη διαφορά, αντίστοιχα. Ο τύπος για το άθροισμα των κύβων χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Παράδειγμα.

Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος: α) , β) .

Λύση.

α) Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι σε αυτή την περίπτωση, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος των αριθμών και σας επιτρέπει να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή, καθώς στο μέλλον αυτό θα σας επιτρέψει να μετατρέψετε την έκφραση στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς κύβων:

β) Έκφραση στον παρονομαστή του κλάσματος μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή , από το οποίο φαίνεται καθαρά ότι πρόκειται για ένα ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ των αριθμών 2 και . Έτσι, εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με το άθροισμα, τότε ο παρονομαστής μπορεί να μετατραπεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των κύβων, που θα μας απαλλάξει από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος. Αυτό μπορεί να γίνει υπό την συνθήκη που είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη περαιτέρω x≠−8:

Και όταν αντικαθιστούμε x=−8 στο αρχικό κλάσμα έχουμε .

Έτσι, για όλα τα x από το ODZ για το αρχικό κλάσμα (στην περίπτωση αυτή είναι το σύνολο R), εκτός από x=−8, έχουμε , και για x=8 έχουμε .

Απάντηση:

Χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους

Σε πιο σύνθετα παραδείγματα, συνήθως δεν είναι δυνατό να απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή σε μία ενέργεια, αλλά πρέπει να εφαρμόζετε με συνέπεια μέθοδο μετά από μέθοδο, συμπεριλαμβανομένων αυτών που συζητήθηκαν παραπάνω. Μερικές φορές μπορεί να απαιτούνται κάποιες μη τυπικές λύσεις. Αρκετά ενδιαφέρουσες εργασίεςσχετικά με το υπό συζήτηση θέμα μπορεί να βρεθεί στο εγχειρίδιο που συντάχθηκε από τον Yu. N. Kolyagin. Βιβλιογραφία.

1. Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Αλγεβρακαι ξεκίνησε μαθηματική ανάλυση. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα / [Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; επεξεργάστηκε από A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.- 368 σελ. : άρρωστο - ISBN 978-5-09-022771-1.

Ντάνι Πέρικ Καμπάνα

Αλλο ένα ενδιαφέρον βιβλίογια μαθητές που ενδιαφέρονται για, δυστυχώς, μη μεταφρασμένο στα ρωσικά, αυτό είναι το βιβλίο «Οι Μαθηματικές Περιπέτειες του Ντάνιελ» (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) του Χιλιανού δασκάλου μαθηματικών Danny Perrich Campana, ενός πολύ ασυνήθιστου και ενδιαφέροντος ανθρώπου. Όχι μόνο διδάσκει παιδιά, αλλά γράφει τραγούδια και αναρτά διάφορα εκπαιδευτικά υλικά για τα μαθηματικά στο Διαδίκτυο. Μπορείτε να τα βρείτε στο YouTube και στον ιστότοπο http://www.sectormatematica.cl/ (φυσικά, όλα τα υλικά είναι στα ισπανικά).

Εδώ δημοσιεύω ένα κεφάλαιο από το βιβλίο του Danni Peric. Το βρήκα αρκετά ενδιαφέρον και χρήσιμο για μαθητές. Για να γίνει ξεκάθαρο για τι πράγμα μιλάμε, θα πω ότι ο Ντάνιελ και η Καμίλα δουλεύουν στο σχολείο, είναι δάσκαλοι.

Το μυστικό της απαλλαγής από τον παραλογισμό

«Καμίλα, αντιμετωπίζω πολλά προβλήματα τώρα όταν προσπαθώ να εξηγήσω γιατί χρησιμοποιείται αυτό που περνάμε στην τάξη», είπε ο Ντάνιελ.

- Δεν καταλαβαίνω πραγματικά για τι πράγμα μιλάτε.

— Μιλάω για αυτό που υπάρχει στον καθένα σχολικά εγχειρίδιαακόμη και βιβλία πανεπιστημιακού επιπέδου. Εξακολουθώ να έχω αμφιβολίες: γιατί πρέπει να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή; Και μισώ να λέω στους ανθρώπους αυτά που δεν έχω καταλάβει για τόσο καιρό», παραπονέθηκε ο Ντάνιελ.

«Επίσης δεν ξέρω από πού προέρχεται αυτό και γιατί χρειάζεται, αλλά πρέπει να υπάρχει κάποια λογική εξήγηση για αυτό.

— Κάποτε διάβασα σε ένα επιστημονικό περιοδικό ότι το να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή σας επιτρέπει να αποκτήσετε το αποτέλεσμα με μεγαλύτερη ακρίβεια, αλλά δεν το έχω ξαναδεί αυτό και δεν είμαι σίγουρος ότι αυτό είναι αλήθεια.

- Γιατί δεν το ελέγχουμε; - ρώτησε η Καμίλα.

«Έχεις δίκιο», συμφώνησε ο Ντάνιελ. — Αντί να παραπονιέστε, θα πρέπει να προσπαθήσετε να βγάλετε τα συμπεράσματά σας. Τότε βοήθησέ με...

- Φυσικά, τώρα με ενδιαφέρει αυτό ο ίδιος.

«Πρέπει να πάρουμε μερικές εκφράσεις και να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή, στη συνέχεια να αντικαταστήσουμε τη ρίζα με την αξία της και να βρούμε το αποτέλεσμα της έκφρασης πριν και μετά να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή και να δούμε αν αλλάξει κάτι».

«Φυσικά», συμφώνησε η Καμίλα. - Ας το κάνουμε.

«Πάρτε, για παράδειγμα, την έκφραση», είπε ο Ντάνιελ και πήρε ένα κομμάτι χαρτί για να γράψει τι συνέβαινε. - Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με και λάβετε .

«Θα είναι σωστό και μπορεί να μας βοηθήσει να βγάλουμε συμπεράσματα αν θεωρήσουμε άλλες παράλογες εκφράσεις ίσες με αυτήν», πρότεινε η Καμίλα.

«Συμφωνώ», είπε ο Ντάνιελ, «θα διαιρέσω τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το , και θα τα πολλαπλασιάσετε με το ».

- Κατάφερα . Και εσύ?

«Έχω», απάντησε ο Ντάνιελ. - Τώρα ας υπολογίσουμε την αρχική παράσταση και τις προκύπτουσες, αντικαθιστώντας την με την τιμή της με όλα τα δεκαδικά ψηφία που δίνει η αριθμομηχανή. Παίρνουμε:

«Δεν βλέπω κάτι ιδιαίτερο», είπε η Καμίλα. «Περίμενα κάποια διαφορά που θα δικαιολογούσε την απαλλαγή από τον παραλογισμό».

«Όπως σας είπα ήδη, κάποτε διάβασα για αυτό σε σχέση με την προσέγγιση. Τι λέτε αν το αντικαταστήσουμε με έναν λιγότερο ακριβή αριθμό, όπως ;

- Ας προσπαθήσουμε να δούμε τι θα γίνει.

Τοκάρεφ Κύριλλος

Η εργασία σας βοηθά να μάθετε πώς να εξάγετε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής και πίνακα τετραγώνων και να απελευθερώσετε τον παρονομαστή ενός κλάσματος από τον παραλογισμό.

Απελευθερώνοντας τον εαυτό σας από τον παραλογισμό του παρονομαστή ενός κλάσματος

Η ουσία της μεθόδου είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ενός κλάσματος με μια έκφραση που θα εξαλείψει τον παραλογισμό (τετραγωνικές και κυβικές ρίζες) από τον παρονομαστή και θα το κάνει πιο απλό. Μετά από αυτό, είναι ευκολότερο να μειωθούν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και τελικά να απλοποιηθεί η αρχική έκφραση.

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας με προσέγγιση σε ένα δεδομένο ψηφίο.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του φυσικός αριθμός 17358122, και είναι γνωστό ότι η ρίζα εξάγεται. Για να βρείτε το αποτέλεσμα, μερικές φορές είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα που περιγράφεται στην εργασία.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Ριζικό. Απελευθερώνοντας τον εαυτό σας από τον παραλογισμό του παρονομαστή ενός κλάσματος. Εξάγετε την τετραγωνική ρίζα με συγκεκριμένο βαθμό ακρίβειας. Μαθητής της τάξης 9Β του Δημοτικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Γυμνάσιο Νο. 7, Salsk Kirill Tokarev

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΕΡΩΤΗΣΗ: Είναι δυνατόν να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού με δεδομένο βαθμό ακρίβειας, χωρίς να έχουμε αριθμομηχανή και πίνακα τετραγώνων;

ΣΤΟΧΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ: Εξετάστε περιπτώσεις επίλυσης εκφράσεων με ρίζες που δεν έχουν μελετηθεί σε σχολικό μάθημαμαθηματικά, αλλά απαραίτητα για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΡΙΖΑΣ Το σύμβολο της ρίζας προέρχεται από το πεζό λατινικό γράμμα r (αρχικό στη λατινική λέξη radix - ρίζα), συγχωνευμένο με έναν εκθέτη. Παλιότερα, η υπογράμμιση μιας έκφρασης χρησιμοποιήθηκε αντί για την τρέχουσα αγκύλωση, επομένως είναι απλώς ένας τροποποιημένος αρχαίος τρόπος γραφής κάτι παρόμοιο. Αυτή η σημειογραφία χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Γερμανό μαθηματικό Thomas Rudolf το 1525.

ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΑΠΟ ΑΝΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΝΟΜΑΣΤΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ Η ουσία της μεθόδου είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ενός κλάσματος με μια έκφραση που θα εξαλείψει τον παραλογισμό (τετραγωνικές και κυβικές ρίζες) από τον παρονομαστή και θα τον κάνει πιο απλό. Μετά από αυτό, είναι ευκολότερο να μειωθούν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και τελικά να απλοποιηθεί η αρχική έκφραση. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΝΟΜΑΣΤΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ: 1. Διαιρέστε τον παρονομαστή του κλάσματος σε συντελεστές. 2. Εάν ο παρονομαστής έχει τη μορφή ή περιέχει έναν παράγοντα, τότε ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί. Εάν ο παρονομαστής είναι της μορφής ή περιέχει έναν παράγοντα αυτού του τύπου, τότε ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί ή επί, αντίστοιχα. Οι αριθμοί ονομάζονται συζυγείς. 3. Μετατρέψτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος, αν είναι δυνατόν, στη συνέχεια μειώστε το κλάσμα που προκύπτει.

α) β) γ) δ) = - Απελευθέρωση από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος.

ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΨΗΦΙΟ. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 Babyla 82) Για να λυθει το προβλημα δεδομένου αριθμούδιασπάται στο άθροισμα δύο όρων: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, ο πρώτος από τους οποίους είναι Τέλειο τετράγωνο. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο. Αλγεβρικός τρόπος:

ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΨΗΦΙΟ. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6, 6 0 3

Βιβλιογραφία 1. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια, επιμέλεια Μ.Ι.Σκανάβη. V. K. Egerev, B. A. Kordemsky, V. V. Zaitsev, “ONICS 21st αιώνα”, 2003 2. Άλγεβρα και στοιχειώδεις συναρτήσεις. R. A. Kalnin, «Science», 1973 3. Μαθηματικά. Υλικά αναφοράς. V. A. Gusev, A. G. Mordkovich, εκδοτικός οίκος "Prosveshcheniye", 1990. 4. Μαθητές για τα μαθηματικά και τους μαθηματικούς. Συντάχθηκε από τον M.M. Liman, Διαφωτισμός, 1981.