Μάθημα: Πώς να κατασκευάσετε μια παραβολή ή μια τετραγωνική συνάρτηση;
ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ
Η παραβολή είναι μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που περιγράφεται με τον τύπο ax 2 +bx+c=0.
Για να φτιάξετε μια παραβολή πρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1) Τύπος παραβολής y=ax 2 +bx+c,
Αν α>0τότε κατευθύνονται οι κλάδοι της παραβολής πάνω,
διαφορετικά οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται κάτω.
Δωρεάν μέλος ντοΑυτό το σημείο τέμνει την παραβολή με τον άξονα OY.
2), βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο x=(-b)/2a, αντικαθιστούμε το ευρεθέν x στην εξίσωση της παραβολής και βρίσκουμε y;
3)Συναρτήσεις μηδενικάή, με άλλα λόγια, τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα ΟΧ, ονομάζονται και ρίζες της εξίσωσης. Για να βρούμε τις ρίζες εξισώνουμε την εξίσωση με 0 ax 2 +bx+c=0;
Τύποι εξισώσεων:
ένα ολόκληρο τετραγωνική εξίσωσημοιάζει με ax 2 +bx+c=0και λύνεται από το διακριτικό?
β) Ημιτελής δευτεροβάθμια εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 2 +bx=0.Για να το λύσετε, πρέπει να βγάλετε το x από αγκύλες και, στη συνέχεια, να εξισώσετε κάθε παράγοντα με 0:
τσεκούρι 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 και ax+b=0;
γ) Ημιτελής δευτεροβάθμια εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 2 +γ=0.Για να το λύσετε, πρέπει να μετακινήσετε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη. x =±√(c/a);
4) Βρείτε πολλά επιπλέον σημεία για να κατασκευάσετε τη συνάρτηση.
ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ
Και έτσι τώρα, χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, θα αναλύσουμε τα πάντα βήμα προς βήμα:
Παράδειγμα #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=3. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτάζουν προς τα πάνω αφού a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 κορυφή βρίσκεται στο σημείο (-2;-1)
Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 +4x+3=0
Χρησιμοποιώντας το διακριτικό βρίσκουμε τις ρίζες
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x = -2
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y=x 2 +4x+3 τιμές
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = -2
Παράδειγμα #2:
y=-x 2 +4x
c=0 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=0. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτούν προς τα κάτω αφού a=-1 -1 Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης -x 2 +4x=0
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0. Για να το λύσετε, πρέπει να βγάλετε το x από αγκύλες και μετά να εξισώσετε κάθε παράγοντα με 0.
x(-x+4)=0, x=0 και x=4.
Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y=-x 2 +4x τιμές
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = 2
Παράδειγμα Νο. 3
y=x 2 -4
c=4 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=4. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτάζουν προς τα πάνω αφού a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (0;- 4 )
Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 -4=0
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +c=0. Για να το λύσετε, πρέπει να μετακινήσετε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y= x 2 -4 τιμές
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=0
Εγγραφείτε στο κανάλι στο YOUTUBEγια να ενημερώνεστε για όλα τα νέα προϊόντα και να προετοιμαστείτε μαζί μας για εξετάσεις.
Η παρουσίαση «Συνάρτηση y=ax 2, η γραφική παράσταση και οι ιδιότητές της» είναι ένα οπτικό βοήθημα που δημιουργήθηκε για να συνοδεύσει την εξήγηση του δασκάλου για αυτό το θέμα. Αυτή η παρουσίαση εξετάζει λεπτομερώς την τετραγωνική συνάρτηση, τις ιδιότητές της, τα χαρακτηριστικά της γραφικής παράστασης και την πρακτική εφαρμογή των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων στη φυσική.
Παρέχοντας υψηλός βαθμόςσαφήνεια, αυτό το υλικό θα βοηθήσει τον δάσκαλο να αυξήσει την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας και θα δώσει την ευκαιρία για πιο ορθολογική κατανομή του χρόνου στο μάθημα. Με τη βοήθεια εφέ κινουμένων σχεδίων, τονίζοντας έννοιες και σημαντικά σημεία στο χρώμα, η προσοχή των μαθητών εστιάζεται στο αντικείμενο που μελετούν, επιτυγχάνοντας καλύτερη απομνημόνευσηορισμούς και την πορεία του συλλογισμού κατά την επίλυση προβλημάτων.
Η παρουσίαση ξεκινά με μια εισαγωγή στον τίτλο της παρουσίασης και στην έννοια τετραγωνική λειτουργία. Τονίζεται η σημασία αυτού του θέματος. Οι μαθητές καλούνται να θυμηθούν τον ορισμό της τετραγωνικής συνάρτησης ως συναρτητική εξάρτηση της μορφής y=ax 2 +bx+c, στην οποία είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή και είναι αριθμοί, με a≠0. Ξεχωριστά, στη διαφάνεια 4 σημειώνεται για να θυμόμαστε ότι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι ολόκληρος ο άξονας των πραγματικών τιμών. Συμβατικά, αυτή η δήλωση συμβολίζεται με D(x)=R.
Ένα παράδειγμα τετραγωνικής συνάρτησης είναι η σημαντική εφαρμογή της στη φυσική - ο τύπος εξάρτησης διαδρομής για ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνησηαπό τον χρόνο. Ταυτόχρονα, στα μαθήματα φυσικής, οι μαθητές μελετούν τύπους για διάφορα είδη κίνησης, άρα θα χρειαστούν την ικανότητα επίλυσης τέτοιων προβλημάτων. Στη διαφάνεια 5, υπενθυμίζεται στους μαθητές ότι όταν ένα σώμα κινείται με επιτάχυνση και στην αρχή του χρόνου μετράει η απόσταση που διανύθηκε και η ταχύτητα κίνησης είναι γνωστές, τότε η συναρτητική εξάρτηση που αντιπροσωπεύει μια τέτοια κίνηση θα εκφραστεί με τον τύπο S = (στο 2)/2+v 0 t+S 0 . Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα μετατροπής αυτού του τύπου σε μια δεδομένη τετραγωνική συνάρτηση εάν οι τιμές της επιτάχυνσης = 8, της αρχικής ταχύτητας = 3 και της αρχικής διαδρομής = 18. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση θα πάρει τη μορφή S=4t 2 +3t+18.
Η διαφάνεια 6 εξετάζει τη μορφή της τετραγωνικής συνάρτησης y=ax 2, στην οποία αναπαρίσταται. Αν =1, τότε η τετραγωνική συνάρτηση έχει τη μορφή y=x 2. Σημειώνεται ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης θα είναι παραβολή.
Το επόμενο μέρος της παρουσίασης είναι αφιερωμένο στην γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης. Προτείνεται να εξεταστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=3x 2 . Πρώτον, ο πίνακας υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των τιμών της συνάρτησης και των τιμών των ορισμάτων. Σημειώνεται ότι η διαφορά μεταξύ της κατασκευασμένης γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=3x 2 και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x 2 είναι ότι κάθε τιμή θα είναι τρεις φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη. Αυτή η διαφορά παρακολουθείται καλά στην προβολή πίνακα. Σε κοντινή απόσταση, στη γραφική παράσταση, φαίνεται καθαρά και η διαφορά στο στένεμα της παραβολής.
Η επόμενη διαφάνεια εξετάζει τη σχεδίαση της τετραγωνικής συνάρτησης y=1/3 x 2. Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα, πρέπει να υποδείξετε στον πίνακα τις τιμές της συνάρτησης σε ορισμένα σημεία της. Σημειώνεται ότι κάθε τιμή της συνάρτησης y=1/3 x 2 είναι 3 φορές μικρότερη από την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης y=x 2. Αυτή η διαφορά, εκτός από τον πίνακα, φαίνεται καθαρά και στο γράφημα. Η παραβολή του είναι πιο εκτεταμένη σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων από την παραβολή της συνάρτησης y=x 2.
Τα παραδείγματα σας βοηθούν να καταλάβετε γενικός κανόνας, σύμφωνα με το οποίο μπορείτε στη συνέχεια να κατασκευάσετε πιο απλά και γρήγορα τα αντίστοιχα γραφήματα. Στη διαφάνεια 9, επισημαίνεται ένας ξεχωριστός κανόνας ότι η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y=ax 2 μπορεί να κατασκευαστεί ανάλογα με την τιμή του συντελεστή τεντώνοντας ή περιορίζοντας το γράφημα. Αν a>1, τότε το γράφημα εκτείνεται από τον άξονα x κατά έναν παράγοντα. Αν 0 Το συμπέρασμα σχετικά με τη συμμετρία των γραφημάτων των συναρτήσεων y=ax 2 και y=-ax2 (στο ≠0) σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης επισημαίνεται ξεχωριστά στη διαφάνεια 12 για απομνημόνευση και εμφανίζεται καθαρά στο αντίστοιχο γράφημα. Στη συνέχεια, η έννοια της γραφικής παράστασης μιας τετραγωνικής συνάρτησης y=x 2 επεκτείνεται στη γενικότερη περίπτωση της συνάρτησης y=ax 2, δηλώνοντας ότι μια τέτοια γραφική παράσταση θα ονομάζεται επίσης παραβολή. Η διαφάνεια 14 συζητά τις ιδιότητες της τετραγωνικής συνάρτησης y=ax 2 όταν είναι θετική. Σημειώνεται ότι η γραφική παράσταση του διέρχεται από την αρχή και όλα τα σημεία εκτός από το άνω μισό επίπεδο. Σημειώνεται η συμμετρία του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων, προσδιορίζοντας ότι οι αντίθετες τιμές του ορίσματος αντιστοιχούν στις ίδιες τιμές συνάρτησης. Υποδεικνύεται ότι το διάστημα μείωσης αυτής της συνάρτησης είναι (-∞;0], και η αύξηση της συνάρτησης εκτελείται στο διάστημα. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης καλύπτουν ολόκληρο το θετικό μέρος του πραγματικού άξονα, είναι ίσο με το μηδέν στο σημείο και δεν έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Η διαφάνεια 15 περιγράφει τις ιδιότητες της συνάρτησης y=ax 2 εάν είναι αρνητική. Σημειώνεται ότι η γραφική παράσταση του διέρχεται επίσης από την αρχή, αλλά όλα τα σημεία του, εκτός από, βρίσκονται στο κάτω μισό επίπεδο. Το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα και οι αντίθετες τιμές του ορίσματος αντιστοιχούν σε ίσες τιμές της συνάρτησης. Η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης βρίσκονται στο διάστημα, είναι ίσο με μηδέν σε ένα σημείο και δεν έχει ελάχιστη τιμή. Συνοψίζοντας τα χαρακτηριστικά που εξετάστηκαν, στη διαφάνεια 16 συμπεραίνεται ότι οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω και προς τα πάνω. Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα και η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο σημείο τομής της με τον άξονα. Η κορυφή της παραβολής y=ax 2 είναι η αρχή. Επίσης, ένα σημαντικό συμπέρασμα σχετικά με τους μετασχηματισμούς παραβολής εμφανίζεται στη διαφάνεια 17. Παρουσιάζει επιλογές για τον μετασχηματισμό της γραφικής παράστασης μιας τετραγωνικής συνάρτησης. Σημειώνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ax 2 μετασχηματίζεται εμφανίζοντας συμμετρικά το γράφημα σε σχέση με τον άξονα. Είναι επίσης δυνατή η συμπίεση ή η επέκταση του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα. Η τελευταία διαφάνεια εξάγει γενικά συμπεράσματα σχετικά με τους μετασχηματισμούς του γραφήματος μιας συνάρτησης. Παρουσιάζονται τα συμπεράσματα ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης προκύπτει από έναν συμμετρικό μετασχηματισμό ως προς τον άξονα. Και το γράφημα της συνάρτησης λαμβάνεται συμπιέζοντας ή τεντώνοντας το αρχικό γράφημα από τον άξονα. Στην περίπτωση αυτή παρατηρείται εφελκυστική επέκταση από τον άξονα στην περίπτωση που. Συμπιέζοντας τον άξονα κατά 1/α φορές, σχηματίζεται η γραφική παράσταση στη θήκη. Η παρουσίαση «Συνάρτηση y=ax 2, η γραφική παράσταση και οι ιδιότητές της» μπορεί να χρησιμοποιηθεί από έναν δάσκαλο ως οπτικό βοήθημα σε ένα μάθημα άλγεβρας. Επίσης, αυτό το εγχειρίδιο καλύπτει καλά το θέμα, δίνοντας μια εις βάθος κατανόηση του θέματος, ώστε να μπορεί να προσφερθεί για ανεξάρτητη μελέτη από τους μαθητές. Αυτό το υλικό θα βοηθήσει επίσης τον δάσκαλο να δώσει εξηγήσεις κατά την εξ αποστάσεως εκπαίδευση. Θεωρήστε μια έκφραση της μορφής ax 2 + bx + c, όπου τα a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί και ο a είναι διαφορετικός από το μηδέν. Αυτή η μαθηματική έκφραση είναι γνωστή ως το τετραγωνικό τριώνυμο. Θυμηθείτε ότι ο άξονας 2 είναι ο κύριος όρος αυτού του τετραγωνικού τριωνύμου και το a είναι ο κύριος συντελεστής του. Αλλά ένα τετραγωνικό τριώνυμο δεν έχει πάντα και τους τρεις όρους. Ας πάρουμε για παράδειγμα την παράσταση 3x 2 + 2x, όπου a=3, b=2, c=0. Ας προχωρήσουμε στην τετραγωνική συνάρτηση y=ax 2 +in+c, όπου a, b, c είναι τυχόν αυθαίρετοι αριθμοί. Αυτή η συνάρτηση είναι τετραγωνική γιατί περιέχει έναν όρο δεύτερου βαθμού, δηλαδή x τετράγωνο. Είναι αρκετά εύκολο να κατασκευάσετε ένα γράφημα μιας τετραγωνικής συνάρτησης, για παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο απομόνωσης ενός τέλειου τετραγώνου. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής γραφήματος της συνάρτησης y ισούται με -3x 2 - 6x + 1. Για να γίνει αυτό, το πρώτο πράγμα που θυμόμαστε είναι το σχήμα για την απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου στο τριώνυμο -3x 2 - 6x + 1. Ας βγάλουμε -3 από αγκύλες για τους δύο πρώτους όρους. Έχουμε -3 φορές το άθροισμα x στο τετράγωνο συν 2x και προσθέτουμε 1. Προσθέτοντας και αφαιρώντας ένα σε παρένθεση, παίρνουμε τον τύπο του αθροίσματος στο τετράγωνο, ο οποίος μπορεί να συμπτυχθεί. Παίρνουμε -3 πολλαπλασιασμένο με το άθροισμα (x+1) στο τετράγωνο μείον 1 προσθέτοντας 1. Ανοίγοντας τις αγκύλες και προσθέτοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε την έκφραση: -3 πολλαπλασιασμένο με το τετράγωνο του αθροίσματος (x+1) προσθέστε 4. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης που προκύπτει μεταβαίνοντας σε ένα βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο με συντεταγμένες (-1; 4). Στο σχήμα από το βίντεο, αυτό το σύστημα υποδεικνύεται με διακεκομμένες γραμμές. Ας συσχετίσουμε τη συνάρτηση y ίση με -3x2 με το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων. Για ευκολία, ας πάρουμε τα σημεία ελέγχου. Για παράδειγμα, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Ταυτόχρονα, θα τα αφήσουμε στην άκρη στο κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων. Η παραβολή που προκύπτει κατά την κατασκευή είναι το γράφημα που χρειαζόμαστε. Στην εικόνα είναι μια κόκκινη παραβολή. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο απομόνωσης πλήρους τετραγώνου, έχουμε μια τετραγωνική συνάρτηση της μορφής: y = a*(x+1) 2 + m. Η γραφική παράσταση της παραβολής y = ax 2 + bx + c μπορεί να ληφθεί εύκολα από την παραβολή y = ax 2 με παράλληλη μετάφραση. Αυτό επιβεβαιώνεται από ένα θεώρημα που μπορεί να αποδειχθεί απομονώνοντας το τέλειο τετράγωνο του διωνύμου. Η έκφραση ax 2 + bx + c μετά από διαδοχικούς μετασχηματισμούς μετατρέπεται σε έκφραση της μορφής: a*(x+l) 2 + m. Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα. Ας κάνουμε μια παράλληλη κίνηση της παραβολής y = ax 2, ευθυγραμμίζοντας την κορυφή με το σημείο με συντεταγμένες (-l; m). Το σημαντικό είναι ότι x = -l, που σημαίνει -b/2a. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η ευθεία είναι ο άξονας του άξονα παραβολής 2 + bx + c, η κορυφή της είναι στο σημείο με την τετμημένη x μηδέν ίσο με μείον b διαιρούμενο με 2a και η τεταγμένη υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον δυσκίνητο τύπο 4ac - b 2 /. Αλλά δεν χρειάζεται να θυμάστε αυτόν τον τύπο. Εφόσον, αντικαθιστώντας την τιμή της τετμημένης στη συνάρτηση, παίρνουμε την τεταγμένη. Για να προσδιορίσετε την εξίσωση του άξονα, τη διεύθυνση των κλάδων του και τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής, λάβετε υπόψη το ακόλουθο παράδειγμα. Ας πάρουμε τη συνάρτηση y = -3x 2 - 6x + 1. Έχοντας συνθέσει την εξίσωση για τον άξονα της παραβολής, έχουμε ότι x = -1. Και αυτή η τιμή είναι η συντεταγμένη x της κορυφής της παραβολής. Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί η τεταγμένη. Αντικαθιστώντας την τιμή -1 στη συνάρτηση, παίρνουμε 4. Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο σημείο (-1; 4). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -3x 2 - 6x + 1 προέκυψε με παράλληλη μεταφορά της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = -3x 2, που σημαίνει ότι συμπεριφέρεται παρόμοια. Ο κύριος συντελεστής είναι αρνητικός, επομένως οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω. Βλέπουμε ότι για οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y = ax 2 + bx + c, η πιο εύκολη ερώτηση είναι η τελευταία ερώτηση, δηλαδή η διεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν ο συντελεστής α είναι θετικός, τότε οι κλάδοι είναι ανοδικοί και αν αρνητικός, τότε οι κλάδοι είναι προς τα κάτω. Η επόμενη πιο δύσκολη ερώτηση είναι η πρώτη ερώτηση, γιατί απαιτεί πρόσθετους υπολογισμούς. Και το δεύτερο είναι το πιο δύσκολο, αφού εκτός από υπολογισμούς χρειάζεται και γνώση των τύπων με τους οποίους το x είναι μηδέν και το y μηδέν. Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x 2 - x + 1. Καθορίζουμε αμέσως ότι το γράφημα είναι παραβολή, οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής που οδηγεί είναι 2, και αυτός είναι ένας θετικός αριθμός. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε ότι η τετμημένη x είναι μηδέν, ισούται με 1,5. Για να βρείτε την τεταγμένη, να θυμάστε ότι το y μηδέν ισούται με μια συνάρτηση 1,5· κατά τον υπολογισμό, παίρνουμε -3,5. Κορυφαίος - (1,5;-3,5). Άξονας - x=1,5. Ας πάρουμε σημεία x=0 και x=3. y=1. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία. Με βάση τρία γνωστά σημεία, κατασκευάζουμε το επιθυμητό γράφημα. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης ax 2 + bx + c χρειάζεστε: Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και σημειώστε τις στο σχήμα και μετά σχεδιάστε τον άξονα της παραβολής. Στον άξονα Ω, πάρτε δύο σημεία που είναι συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα της παραβολής, βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία και σημειώστε τα στο επίπεδο συντεταγμένων. Κατασκευάστε μια παραβολή μέσω τριών σημείων· εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να πάρετε πολλά ακόμη σημεία και να κατασκευάσετε ένα γράφημα με βάση αυτά. Στο παρακάτω παράδειγμα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης -2x 2 + 8x - 5 στο τμήμα. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο: a=-2, b=8, που σημαίνει x μηδέν είναι 2, και y μηδέν είναι 3, (2;3) είναι η κορυφή της παραβολής και x=2 είναι ο άξονας. Ας πάρουμε τις τιμές x=0 και x=4 και ας βρούμε τις τεταγμένες αυτών των σημείων. Αυτό είναι -5. Κατασκευάζουμε μια παραβολή και προσδιορίζουμε ότι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι -5 στο x=0, και η μεγαλύτερη είναι 3 στο x=2. Πρόσθετα υλικά Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την τάξη 8
Παιδιά, στα τελευταία μαθήματα κατασκευάσαμε μεγάλο αριθμό γραφημάτων, συμπεριλαμβανομένων πολλών παραβολών. Σήμερα θα συνοψίσουμε τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει και θα μάθουμε πώς να σχεδιάζουμε αυτή τη συνάρτηση στην πιο γενική της μορφή. Ας δούμε τη συνάρτηση $y=a*x^2+b*x+c$. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται "τετραγωνική" επειδή η υψηλότερη ισχύς είναι δεύτερη, δηλαδή ένα τετράγωνο. Οι συντελεστές είναι οι ίδιοι με αυτούς που ορίζονται παραπάνω. Στο τελευταίο μάθημα, στο τελευταίο παράδειγμα, εξετάσαμε τη γραφική παράσταση μιας παρόμοιας συνάρτησης. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας ένα πρόσθετο σύστημα συντεταγμένων. Στα μεγάλα μαθηματικά, οι αριθμοί είναι αρκετά σπάνιοι. Σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα πρέπει να αποδειχθεί στην πιο γενική περίπτωση. Σήμερα θα εξετάσουμε ένα τέτοιο στοιχείο. Παιδιά, μπορείτε να δείτε την πλήρη ισχύ της μαθηματικής συσκευής, αλλά και την πολυπλοκότητά της. Ας απομονώσουμε το τέλειο τετράγωνο από το τετραγωνικό τριώνυμο: Για να σχεδιάσετε το γράφημα $y=a(x+l)^2+m$, πρέπει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση $y=ax^2$. Επιπλέον, η κορυφή της παραβολής θα βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες $(-l;m)$. Παράδειγμα 1. Λύση. Λύση. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να απλοποιηθεί η κατασκευή γραφημάτων παραβολής. Παράδειγμα 3. Λύση. 
Παρουσίαση και μάθημα με θέμα:
"Γράφημα της συνάρτησης $y=ax^2+bx+c$. Ιδιότητες"
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Ένα εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο του Dorofeev G.V. Ένα εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο του Nikolsky S.M.
Ας δούμε το τετραγωνικό τριώνυμο $a*x^2+b*x+c$. Τα $a, b, c$ ονομάζονται συντελεστές. Μπορούν να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, αλλά $a≠0$. Ο $a*x^2$ ονομάζεται κύριος όρος, ο $a$ είναι ο κύριος συντελεστής. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές $b$ και $c$ μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή το τριώνυμο θα αποτελείται από δύο όρους και το τρίτο είναι ίσο με μηδέν.
Ας αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε τέτοια τετραγωνική συνάρτηση μπορεί να αναχθεί στη μορφή: $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Πήραμε αυτό που θέλαμε.
Οποιαδήποτε τετραγωνική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
$y=a(x+l)^2+m$, όπου $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Άρα, η συνάρτησή μας $y=a*x^2+b*x+c$ είναι μια παραβολή.
Ο άξονας της παραβολής θα είναι η ευθεία $x=-\frac(b)(2a)$ και οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, όπως μπορούμε να δούμε, υπολογίζονται με τον τύπο: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Για να υπολογίσετε τη συντεταγμένη του άξονα y της κορυφής μιας παραβολής, μπορείτε:
Πώς να υπολογίσετε την τεταγμένη μιας κορυφής; Και πάλι, η επιλογή είναι δική σας, αλλά συνήθως η δεύτερη μέθοδος θα είναι ευκολότερο να υπολογιστεί.
Εάν χρειάζεται να περιγράψετε ορισμένες ιδιότητες ή να απαντήσετε σε ορισμένες συγκεκριμένες ερωτήσεις, δεν χρειάζεται να δημιουργείτε πάντα ένα γράφημα της συνάρτησης. Θα εξετάσουμε τις κύριες ερωτήσεις που μπορούν να απαντηθούν χωρίς κατασκευή στο ακόλουθο παράδειγμα.
Χωρίς να σχηματίσετε γραφικά τη συνάρτηση $y=4x^2-6x-3$, απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:
α) Ο άξονας της παραβολής είναι η ευθεία $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
β) Βρήκαμε την τετμημένη της κορυφής πάνω από $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Βρίσκουμε την τεταγμένη της κορυφής με άμεση αντικατάσταση στην αρχική συνάρτηση:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
γ) Η γραφική παράσταση της απαιτούμενης συνάρτησης θα ληφθεί με παράλληλη μεταφορά του γραφήματος $y=4x^2$. Τα κλαδιά του κοιτούν προς τα πάνω, πράγμα που σημαίνει ότι οι κλάδοι της παραβολής της αρχικής συνάρτησης θα κοιτάζουν επίσης προς τα πάνω.
Γενικά, αν ο συντελεστής $a>0$, τότε οι κλάδοι κοιτάζουν προς τα πάνω, αν ο συντελεστής $a
Παράδειγμα 2.
Γράφημα τη συνάρτηση: $y=2x^2+4x-6$.
Ας βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Ας σημειωθεί η συντεταγμένη της κορυφής στον άξονα των συντεταγμένων. Σε αυτό το σημείο, σαν σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων, θα κατασκευάσουμε μια παραβολή $y=2x^2$.
Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: $y=-x^2+6x+4$ στο τμήμα $[-1;6]$.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, ας επιλέξουμε το απαιτούμενο διάστημα και ας βρούμε τα χαμηλότερα και υψηλότερα σημεία του γραφήματος μας.
Ας βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Στο σημείο με συντεταγμένες $(3;13)$ κατασκευάζουμε μια παραβολή $y=-x^2$. 
Ας επιλέξουμε το απαιτούμενο διάστημα. 
Το χαμηλότερο σημείο έχει συντεταγμένη -3, το υψηλότερο σημείο έχει συντεταγμένη 13.
$y_(όνομα)=-3$; $y_(μέγιστο)=13$.Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα
1. Χωρίς να σχηματίσετε γραφικά τη συνάρτηση $y=-3x^2+12x-4$, απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:
α) Προσδιορίστε την ευθεία που χρησιμεύει ως άξονας της παραβολής.
β) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής.
γ) Με ποια κατεύθυνση δείχνει η παραβολή (πάνω ή κάτω);
2. Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης: $y=2x^2-6x+2$.
3. Γράφημα τη συνάρτηση: $y=-x^2+8x-4$.
4. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: $y=x^2+4x-3$ στο τμήμα $[-5;2]$.
