Διαίρεση πολυωνύμου με διωνυμική αριθμομηχανή. Πώς να λύσετε πολυωνυμικές εξισώσεις στα μαθηματικά. Επιλογές εργαστηρίου

Ο αλγόριθμος του Euclid για πολυώνυμα.Ο αλγόριθμος του Euclid σάς επιτρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο πολυωνύμων, δηλαδή πολυώνυμο του μεγαλύτερου βαθμού, με το οποίο και τα δύο δεδομένα πολυώνυμα μπορούν να διαιρεθούν χωρίς υπόλοιπο.
Ο αλγόριθμος βασίζεται στο γεγονός ότι για δύο πολυώνυμα σε μία μεταβλητή, φά(Χ) και σολ(Χ), υπάρχουν τέτοια πολυώνυμα ε(Χ) και ρ(Χ), που ονομάζεται πηλίκο και το υπόλοιπο, αντίστοιχα, ότι

φά(Χ) = σολ(Χ)∙ε(Χ) + ρ(Χ), (*)

ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, το πολυώνυμο σολ(Χ), και, επιπλέον, σύμφωνα με τα δεδομένα πολυώνυμα φά(Χ) και σολ(Χ) το πηλίκο και το υπόλοιπο βρίσκονται μοναδικά. Εάν στην ισότητα (*) το υπόλοιπο ρ(Χ) είναι ίσο με το μηδέν πολυώνυμο (μηδέν), τότε λένε ότι το πολυώνυμο φά(Χδιαιρείται με σολ(Χ) χωρίς υπόλοιπο.
Ο αλγόριθμος αποτελείται από διαδοχική διαίρεση με το υπόλοιπο πρώτο από το πρώτο δεδομένο πολυώνυμο, φά(Χ), Στο δεύτερο, σολ(Χ):

φά(Χ) = σολ(Χ)∙ε 1 (Χ) + ρ 1 (Χ), (1)

τότε αν ρ 1 (Χ) ≠ 0, είναι το δεύτερο δεδομένο πολυώνυμο, σολ(Χ), από το πρώτο υπόλοιπο - από το πολυώνυμο ρ 1 (Χ):

σολ(Χ) = ρ 1 (Χ)∙ε 2 (Χ) + ρ 2 (Χ), (2)

ρ 1 (Χ) = ρ 2 (Χ)∙ε 3 (Χ) + ρ 3 (Χ), (3)

τότε αν ρ 3 (Χ) ≠ 0, - το δεύτερο υπόλοιπο για το τρίτο:

ρ 2 (Χ) = ρ 3 (Χ)∙ε 4 (Χ) + ρ 4 (Χ), (4)

και τα λοιπά. Δεδομένου ότι σε κάθε στάδιο ο βαθμός του επόμενου υπολοίπου μειώνεται, η διαδικασία δεν μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον, οπότε σε κάποιο στάδιο θα φτάσουμε σίγουρα σε μια κατάσταση όπου το επόμενο, ν + 1ο υπόλοιπο ρ ν +1 ισούται με μηδέν:

ρ ν–2 (Χ) = ρ ν–1 (Χ)∙ ε ν (Χ) + ρ ν (Χ),	(ν)
ρ ν–1 (Χ) = ρ ν (Χ)∙ ε ν+1 (Χ) + ρ ν+1 (Χ),	(ν+1)
ρ ν+1 (Χ) = 0.	(ν+2)

Στη συνέχεια, το τελευταίο μη μηδέν υπόλοιπο ρ ν και θα είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους πολυωνύμων φά(Χ) και σολ(Χ).
Πράγματι, εάν λόγω της ισότητας ( ν + 2) αντικαταστήστε το 0 για ρ ν + 1 (Χ) στην ισότητα ( ν + 1), τότε η προκύπτουσα ισότητα ρ ν – 1 (Χ) = ρ ν (Χ)∙ε ν + 1 (Χ) αντί ρ ν – 1 (Χ) - στην ισότητα ( ν), Τελικά φαίνεται πως ρ ν – 2 (Χ) = ρ ν (Χ)∙ε ν + 1 (Χ) ε ν (Χ) + ρ ν (Χ), δηλαδή ρ ν – 2 (Χ) = ρ ν (Χ)(ε ν + 1 (Χ) ε ν (Χ) + 1) κ.λπ. Στην ισότητα (2), μετά την αντικατάσταση, λαμβάνουμε σολ(Χ) = ρ ν (Χ)∙Ερ(Χ), και, τέλος, από την ισότητα (1) - ότι φά(Χ) = ρ ν (Χ)∙μικρό(Χ), όπου Ερκαι μικρό- μερικά πολυώνυμα. Με αυτόν τον τρόπο, ρ ν (Χ) Είναι ο κοινός διαιρέτης των δύο αρχικών πολυωνύμων, και το γεγονός ότι είναι ο μεγαλύτερος (δηλαδή, ο μεγαλύτερος δυνατός βαθμός) προκύπτει από τη διαδικασία του αλγορίθμου.
Εάν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο πολυωνύμων δεν περιέχει μεταβλητή (δηλαδή είναι αριθμός), τα αρχικά πολυώνυμα φά(Χ) και σολ(Χ) λέγονται σχετικά απλό.

Ορισμός. Εάν καθένα από τα δύο πολυώνυμα διαιρείται από το τρίτο χωρίς υπόλοιπο, τότε ονομάζεται κοινός διαιρέτης των δύο πρώτων.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) δύο πολυωνύμων ονομάζεται ο υψηλότερος κοινός διαιρέτης τους.

Το GCD μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο παραγοντοποίησης ή Ευκλείδειας.

Παράδειγμα 40Βρείτε πολυώνυμα GCD και
.

Απόφαση.Συνυπολογίζουμε και τα δύο πολυώνυμα:

Η αποσύνθεση δείχνει ότι το απαιτούμενο GCD είναι το πολυώνυμο ( Χ– 1).

Παράδειγμα 41Βρείτε το gcd των πολυωνύμων
και
.

Απόφαση.Ας υπολογίσουμε και τα δύο πολυώνυμα.

Για πολυώνυμα
ΧΧ- 1) σύμφωνα με το σχήμα του Horner.

Για πολυώνυμα
πιθανές λογικές ρίζες είναι οι αριθμοί 1, 2, 3 και 6. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση, διασφαλίζουμε ότι Χ\u003d 1 είναι η ρίζα. Διαιρέστε το πολυώνυμο με ( Χ- 1) σύμφωνα με το σχήμα του Horner.

Ως εκ τούτου, όπου η αποσύνθεση του τετραγωνικού τριανομικού
δημιουργήθηκε από το θεώρημα του Vieta.

Συγκρίνοντας την παραγοντοποίηση των πολυωνύμων, διαπιστώνουμε ότι το επιθυμητό gcd είναι το πολυώνυμο ( Χ– 1)(Χ– 2).

Ομοίως, μπορείτε να βρείτε το GCD για πολλά πολυώνυμα.

Ωστόσο, η μέθοδος εύρεσης του GCD μέσω factoring δεν είναι πάντα διαθέσιμη. Ο τρόπος εύρεσης του GCD για όλες τις περιπτώσεις ονομάζεται αλγόριθμος Euclid.

Το σχήμα του αλγορίθμου του Euclid έχει ως εξής. Το ένα από τα δύο πολυώνυμα διαιρείται από το άλλο, ο βαθμός του οποίου δεν είναι υψηλότερος από τον βαθμό του πρώτου. Περαιτέρω, για το μέρισμα, κάθε φορά που λαμβάνεται το πολυώνυμο που χρησίμευσε ως διαιρέτης στην προηγούμενη λειτουργία, και για τον διαιρέτη, λαμβάνεται το υπόλοιπο που λαμβάνεται στην ίδια λειτουργία. Αυτή η διαδικασία σταματά μόλις το υπόλοιπο είναι μηδέν. Ας δείξουμε αυτόν τον αλγόριθμο με παραδείγματα.

Εξετάστε τα πολυώνυμα που χρησιμοποιήθηκαν στα δύο προηγούμενα παραδείγματα.

Παράδειγμα 42Βρείτε το gcd των πολυωνύμων
και
.

Απόφαση.διαιρέστε
επί
"Γωνία":

Τώρα ας χωρίσουμε τον διαιρέτη
για το υπόλοιπο Χ– 1:

Χ+ 1

Δεδομένου ότι η τελευταία διαίρεση έγινε χωρίς το υπόλοιπο, το GCD θα είναι Χ- 1, δηλαδή το πολυώνυμο που χρησιμοποιείται ως διαιρέτης σε αυτό το τμήμα.

Παράδειγμα 43Βρείτε το gcd των πολυωνύμων
και
.

Απόφαση... Για να βρούμε το GCD, χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο Euclidean. διαιρέστε
επί
"Γωνία":

Ας κάνουμε τη δεύτερη κατηγορία. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να διαιρέσετε τον προηγούμενο διαιρέτη
για το υπόλοιπο
, αλλά από τότε
=
, για ευκολία θα διαιρέσουμε το πολυώνυμο
όχι
και συνεχίζει
... Αυτή η αντικατάσταση δεν αλλάζει τη λύση του προβλήματος, καθώς το GCD ενός ζεύγους πολυωνύμων καθορίζεται σε έναν σταθερό παράγοντα. Εχουμε:

Το υπόλοιπο αποδείχθηκε ίσο με το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ο τελευταίος διαιρέτης, δηλαδή, το πολυώνυμο

και θα είναι το επιθυμητό GCD.

Κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις

Οι ορισμοί και οι δηλώσεις για το 2.5 μπορείτε να βρείτε στο.

Μια κλασματική λογική συνάρτηση με πραγματικούς συντελεστές είναι μια έκφραση της φόρμας όπου
και
Είναι πολυώνυμα.

Μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση (στη συνέχεια θα την ονομάσουμε "κλάσμα") σωστόςεάν ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι αυστηρά μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή. Διαφορετικά, καλείται λανθασμένος.

Ο αλγόριθμος για τη μείωση ενός λανθασμένου κλάσματος σε ένα σωστό ονομάζεται "διαχωρισμός ολόκληρου του τμήματος".

Παράδειγμα 44Επιλέξτε ολόκληρο κλάσμα:
.

Απόφαση.Για να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος ενός κλάσματος, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του. Διαιρέστε τον αριθμητή αυτού του κλάσματος με τον παρονομαστή του "γωνία":

Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου που προκύπτει είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, η διαδικασία διαίρεσης έχει τελειώσει. Τελικά:

=
... Το προκύπτον κλάσμα
είναι σωστό.

Κλάσμα του είδους
ονομάζεται το απλούστερο εάν φ ( Χ ) Είναι ένα αμετάκλητο πολυώνυμο, και ο βαθμός
μικρότερο από το βαθμό φ ( Χ ).

Σχόλιο.Σημειώστε ότι συγκρίνονται οι βαθμοί του αριθμητή και του μη αναστρέψιμου πολυωνύμου στον παρονομαστή (εξαιρουμένου του βαθμού α).

Για κλάσματα με πραγματικούς συντελεστές, υπάρχουν 4 τύποι απλών κλασμάτων:

Οποιοδήποτε σωστό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα των απλούστερων κλασμάτων, των οποίων οι παρονομαστές είναι όλοι οι πιθανοί διαιρέτες
.

Αλγόριθμος για την αποσύνθεση ενός κλάσματος σε απλούστερο:

Εάν το κλάσμα είναι λανθασμένο, τότε επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος και αποσυνθέτουμε το προκύπτον σωστό κλάσμα στα πιο απλά.

Αφαιρέστε τον παρονομαστή του σωστού κλάσματος.

Γράφουμε ένα κανονικό κλάσμα ως άθροισμα των απλούστερων κλασμάτων με μη καθορισμένους συντελεστές.

Φέρτε το άθροισμα των κλασμάτων στη δεξιά πλευρά σε έναν κοινό παρονομαστή.

Βρίσκουμε απροσδιόριστους συντελεστές:

Είτε εξισώνοντας τους συντελεστές στους ίδιους βαθμούς αριστερά και δεξιά δεδομένων αριθμητών.

Ή αντικαθιστώντας συγκεκριμένες (συνήθως τις ρίζες του κοινού παρονομαστή τους) τιμές Χ.

Καταγράφουμε την απάντηση λαμβάνοντας υπόψη το ακέραιο μέρος του κλάσματος.

Παράδειγμα 45Αποσυνθέστε σε πρωτόζωα
.

Απόφαση.Δεδομένου ότι αυτή η κλασματική λογική συνάρτηση είναι λανθασμένη, επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος:

= 1 +
.

Αναπτύξτε το προκύπτον κλάσμα
στο απλούστερο. Πρώτον, συντελεστή του παρονομαστή. Για να το κάνουμε αυτό, βρίσκουμε τις ρίζες του χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο:

Ας γράψουμε την αποσύνθεση μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης σε στοιχειώδεις, χρησιμοποιώντας αόριστους συντελεστές:

Ας φέρουμε τη δεξιά πλευρά της ισότητας σε έναν κοινό παρονομαστή:

Συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώνοντας τους συντελεστές στους ίδιους βαθμούς στους αριθμητές του αριστερού και του δεξιού κλάσματος:

Απάντηση:
.

Παράδειγμα 46Αποσυνθέστε σε πρωτόζωα
.

Απόφαση.Δεδομένου ότι αυτό το κλάσμα είναι σωστό (δηλαδή, ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή), δεν είναι απαραίτητο να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος. Ας ξεχωρίσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος:

Ας γράψουμε την αποσύνθεση αυτού του κλάσματος σε στοιχειώδη χρησιμοποιώντας μη καθορισμένους συντελεστές:

Σύμφωνα με τη δήλωση, οι παρονομαστές των απλούστερων κλασμάτων πρέπει να είναι όλα τα είδηδιαιρέτες του παρονομαστή του κλάσματος:

... (2.2) Θα ήταν δυνατόν να συντεθεί ένα σύστημα εξισώσεων εξισώνοντας τους αριθμητές του αριστερού και του δεξιού κλάσματος, αλλά σε αυτό το παράδειγμα οι υπολογισμοί θα είναι πολύ δυσκίνητοι. Η ακόλουθη τεχνική θα σας βοηθήσει να τις απλοποιήσετε: αντικαθιστούμε τις ρίζες του παρονομαστή στους αριθμητές με τη σειρά.

Πότε x \u003d1:

Πότε Χ= ‑1:

Τώρα για να προσδιορίσετε τους υπόλοιπους συντελεστές ΚΑΙκαι ΑΠΟθα είναι αρκετό να εξισώσει τους συντελεστές στον υψηλότερο βαθμό και τους δωρεάν όρους. Μπορούν να βρεθούν χωρίς να επεκταθούν οι παρενθέσεις:

Η αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης περιέχει 0, καθώς ο αριθμητής του αριστερού κλάσματος στο (2.2) δεν περιέχει έναν όρο με , και στο σωστό κλάσμα του όρου με συντελεστής ΕΝΑ + ντο... Η αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης περιέχει 0, καθώς ο ελεύθερος όρος στον αριθμητή του αριστερού κλάσματος στο (2.2) είναι ίσος με μηδέν και ο ελεύθερος όρος στον αριθμητή του δεξιού κλάσματος στο (2.2) είναι (- ΕΝΑ + σι + ντο + ρε). Εχουμε:

Απάντηση:
.

Διαίρεση πολυωνύμων. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Ευκλείδης

§1. Διαίρεση πολυωνύμων

Κατά τη διαίρεση, τα πολυώνυμα αντιπροσωπεύονται σε κανονική μορφή και διατάσσονται σε μειωμένους βαθμούς οποιουδήποτε γράμματος, σε σχέση με τον οποίο καθορίζεται ο βαθμός μερίσματος και διαιρέτης. Ο βαθμός του μερίσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του διαιρέτη.

Το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι το μόνο ζεύγος πολυωνύμων - πηλίκο και υπόλοιπο, το οποίο πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Εάν ένα πολυώνυμο βαθμούn Pn (x ) είναι διαιρετή,

Βαθμός πολυωνύμουm Rk (x ) είναι διαιρέτης (n ³ m),

Το πολυώνυμο Qn - m (x ) - ιδιωτικό. Ο βαθμός αυτού του πολυωνύμου ισούται με τη διαφορά μεταξύ των βαθμών του μερίσματος και του διαιρέτη,

Πολυώνυμο βαθμούk Rk (x ) είναι το υπόλοιπο (κ< m ).

Αυτή η ισότητα

Pn (x) \u003d Fm (x) × Qn - m (x) + Rk (x) (1.1)

πρέπει να πληρούνται πανομοιότυπα, δηλαδή να παραμένουν σε ισχύ για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές του x.

Σημειώστε ξανά ότι ο βαθμός του υπολοίπουκ πρέπει να είναι μικρότερη από την ισχύ του διαιρέτηΜ ... Ο σκοπός του υπολοίπου είναι να ολοκληρωθεί το προϊόν των πολυώνυμωνFm (x) και Qn - m (x ) σε ένα πολυώνυμο ίσο με το μέρισμα.

Εάν το προϊόν των πολυώνυμωνFm (x) × Qn - m (x) ) δίνει ένα πολυώνυμο ίσο με το μέρισμα, μετά το υπόλοιποΡ \u003d 0. Σε αυτήν την περίπτωση, λένε ότι η διαίρεση πραγματοποιείται χωρίς υπόλοιπο.

Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο για τη διαίρεση πολυωνύμων χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Αφήστε το να διαιρέσετε το πολυώνυμο (5x5 + x3 + 1) με το πολυώνυμο (x3 + 2).

1. Διαιρέστε τον ανώτερο όρο του μερίσματος 5x5 με τον ανώτερο όρο του διαιρέτη x3:

Θα δείξει παρακάτω ότι αυτός είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου.

2. Ο διαιρέτης πολλαπλασιάζεται με τον επόμενο (αρχικά πρώτο) όρο του πηλίκου και αυτό το προϊόν αφαιρείται από το μέρισμα:

5x5 + x3 + 1 - 5x2 (x3 + 2) \u003d x3 - 10x2 + 1.

3. Το μέρισμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως

5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

Εάν στην πράξη (2) ο βαθμός της διαφοράς αποδειχθεί μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του διαιρέτη (όπως στο υπό εξέταση παράδειγμα), τότε με αυτή τη διαφορά επαναλαμβάνονται οι ενέργειες που αναφέρονται παραπάνω. Εν

1. Ο ανώτερος όρος της διαφοράς x3 διαιρείται με τον ανώτερο όρο του διαιρέτη x3:

Θα δείξει παρακάτω ότι με αυτόν τον τρόπο βρίσκεται ο δεύτερος όρος στο πηλίκο.

2. Ο διαιρέτης πολλαπλασιάζεται με τον επόμενο (τώρα, δεύτερο) όρο του πηλίκου και αυτό το προϊόν αφαιρείται από την τελευταία διαφορά

X3 - 10x2 + 1 - 1 × (x3 + 2) \u003d - 10x2 - 1.

3. Στη συνέχεια, η τελευταία διαφορά μπορεί να αναπαρασταθεί ως

X3 - 10x2 + 1 \u003d 1 × (x3 + 2) + (–10x2 +

Εάν ο βαθμός της επόμενης διαφοράς αποδειχθεί μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη (όπως όταν επαναλαμβάνεται στη δράση (2)), τότε η διαίρεση ολοκληρώνεται με ένα υπόλοιπο ίσο με την τελευταία διαφορά.

Για να επιβεβαιώσουμε ότι το πηλίκο είναι το άθροισμα (5x2 + 1), αντικαθιστούμε στην ισότητα (1.2) το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού του πολυωνύμου x3 - 10x2 + 1 (βλέπε (1.3)): 5x5 + x3 + 1 \u003d 5x2 (x3 + 2) + 1× (x3 + 2) + (- 10x2 - 1). Στη συνέχεια, αφού πάρουμε τον κοινό παράγοντα (x3 + 2) έξω από τα αγκύλη, τελικά φτάνουμε

5x5 + x3 + 1 \u003d (x3 + 2) (5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).

Ποιο, σύμφωνα με την ισότητα (1.1), θα πρέπει να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα του διαχωρισμού του πολυωνύμου (5x5 + x3 + 1) με το πολυώνυμο (x3 + 2) με το πηλίκο (5x2 + 1) και το υπόλοιπο (- 10x2 - 1).

Είναι συνηθισμένο να επισημοποιούνται αυτές οι ενέργειες με τη μορφή ενός σχεδίου που ονομάζεται "διαίρεση από μια γωνία". Επιπλέον, στο αρχείο του μερίσματος και των επακόλουθων διαφορών, είναι επιθυμητό να παραχθούν οι όροι του αθροίσματος σε όλες τις μειούμενες δυνάμεις του επιχειρήματος χωρίς κενό.

μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 + 10x2 5x2 + 1

x3 –10x2 + 0x + 1

X3 + 2

–10x2 + 0x - 1

θέση: σχετική ευρετήριο z: 1 "\u003e Βλέπουμε ότι ο διαχωρισμός των πολυωνύμων περιορίζεται σε μια διαδοχική επανάληψη ενεργειών:

1) στην αρχή του αλγορίθμου, ο ανώτερος όρος του μερίσματος, στη συνέχεια, ο ανώτερος όρος της επόμενης διαφοράς διαιρείται με τον ανώτερο όρο του διαιρέτη.

2) Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δίνει τον επόμενο όρο στο πηλίκο, με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο διαιρέτης. Το αποτέλεσμα που προκύπτει γράφεται κάτω από το μέρισμα ή την επόμενη διαφορά.

3) το κατώτερο πολυώνυμο αφαιρείται από το ανώτερο πολυώνυμο και εάν ο βαθμός της προκύπτουσας διαφοράς είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του διαιρέτη, τότε οι ενέργειες 1, 2, 3 επαναλαμβάνονται μαζί του.

Εάν ο βαθμός της λαμβανόμενης διαφοράς είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, τότε η διαίρεση είναι πλήρης. Σε αυτήν την περίπτωση, η τελευταία διαφορά είναι το υπόλοιπο.

Παράδειγμα # 1

θέση: απόλυτο; z-index: 9; αριστερά: 0px; margin-αριστερά: 190px; margin-top: 0px; πλάτος: 2px; ύψος: 27px "\u003e

4x2 + 0x - 2

4x2 ± 2x ± 2

Έτσι, 6x3 + x2 - 3x - 2 \u003d (2x2 - x - 1) (3x + 2) + 2x.

Παράδειγμα αρ. 2

A3b2 + b5

A3b2 a2b3

- a2b3 + b5

± a2b3 ± ab4

Ab4 + b5

- ab4 b5

Με αυτόν τον τρόπο , a5 + b5 \u003d (a + b) (a4 –a3b + a2b2 - ab3 + b4).

Παράδειγμα №3

θέση: απόλυτο; z-index: 26; αριστερά: 0px; margin-αριστερά: 132px; margin-top: 24px; πλάτος: 194px; ύψος: 2px "\u003e x5 - y5 x - ε

Χ5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

X3y2 - y5

X3y2 ± x2y3

Hu 4 - y 5

Έτσι, x5 - y5 \u003d (x - y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4).

Μια γενίκευση των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται στα παραδείγματα 2 και 3 είναι δύο τύποι συντετμημένων πολλαπλασιασμών:

(x + a) (x2 n - x2 n –1 a + x2 n –2 a 2 -… + a2n) \u003d x 2n + 1 + a2n + 1;

(x - a) (x 2n + x 2n - 1 a + x 2n - 2 a2 +… + a2n) \u003d x 2n + 1 - a2n + 1, όπου n Î Ν.

Γυμνάσια

Εκτελέστε ενέργειες

1. (- 2x5 + x4 + 2x3 - 4x2 + 2x + 4): (x3 + 2).

Απάντηση: - 2x2 + x +2 - πηλίκο, 0 - υπόλοιπο.

2. (x4 - 3x2 + 3x + 2): (x - 1).

Απάντηση: x3 + x2 - 2x + 1 - πηλίκο, 3 - υπόλοιπο.

3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2).

Απάντηση: x3 - x2 + x + 1 - πηλίκο, 2x - υπόλοιπο.

4. (x4 + x2y2 + y4): (x2 + xy + y2).

Απάντηση: x2 - xy + y2 - πηλίκο, 0 - υπόλοιπο.

5. (a 3 + b 3 + c 3 - 3 abc): (a + b + c).

Απάντηση: a 2 - (b + c) a + (b 2 - bc + c 2 ) - πηλίκο, 0 - υπόλοιπο.

§2. Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαχωριστή δύο πολυωνύμων

1. Ο αλγόριθμος του Euclid

Εάν καθένα από τα δύο πολυώνυμα διαιρείται από το ένα τρίτο χωρίς υπόλοιπο, τότε αυτό το τρίτο πολυώνυμο ονομάζεται κοινός διαιρέτης των δύο πρώτων.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) δύο πολυωνύμων ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους.

Σημειώστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός που δεν είναι μηδέν είναι ένας κοινός διαιρέτης οποιουδήποτε δύο πολυωνύμων. Επομένως, οποιοσδήποτε μη μηδενικός αριθμός ονομάζεται ασήμαντος κοινός διαιρέτης αυτών των πολυωνύμων.

Ο αλγόριθμος του Euclid προτείνει μια ακολουθία ενεργειών που είτε οδηγούν στην εύρεση του GCD δύο δεδομένων πολυωνύμων, είτε δείχνει ότι ένας τέτοιος διαιρέτης με τη μορφή πολυωνύμου του πρώτου ή μεγαλύτερου βαθμού δεν υπάρχει.

Ο αλγόριθμος του Euclid εφαρμόζεται ως ακολουθία διαιρέσεων. Στο πρώτο τμήμα, το πολυώνυμο θεωρείται περισσότερο ως μέρισμα και λιγότερο ως διαιρέτης. Εάν τα πολυώνυμα για τα οποία βρίσκεται το GCD έχουν τους ίδιους βαθμούς, τότε το μέρισμα και ο διαιρέτης επιλέγονται αυθαίρετα.

Εάν στην επόμενη διαίρεση το υπόλοιπο του πολυώνυμου έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο με 1, τότε ο διαιρέτης γίνεται διαιρετός και το υπόλοιπο γίνεται διαιρέτης.

Εάν στην επόμενη διαίρεση των πολυωνύμων το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε βρίσκεται το GCD αυτών των πολυωνύμων. Είναι ο διαιρέτης στο τελευταίο τμήμα.

Εάν, στην επόμενη διαίρεση πολυωνύμων, το υπόλοιπο αποδειχθεί μη αριθμός μηδέν, τότε για αυτά τα πολυώνυμα δεν υπάρχει GCD εκτός από ασήμαντα.

Παράδειγμα # 1

Μειώστε το κλάσμα .

Απόφαση

Βρείτε το GCD αυτών των πολυωνύμων χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Euclid

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

- x2 - 3x - 2

θέση: απόλυτο; z-index: 37; αριστερά: 0px; margin-αριστερά: 182px; margin-top: 28px; πλάτος: 121px; ύψος: 2px "\u003e2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2x - x - 4

3x2 + 9x + 6

Με αυτόν τον τρόπο,

θέση: απόλυτο; z-index: 49; αριστερά: 0px; margin-αριστερά: 209px; margin-top: 6px; πλάτος: 112px; ύψος: 20px "\u003e μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e Απάντηση: μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e 2. Δυνατότητες απλούστευσης των υπολογισμών του GCD στον ευκλείδη αλγόριθμο

Θεώρημα

Όταν πολλαπλασιάζετε το μέρισμα με μη μηδενικό αριθμό, το πηλίκο και το υπόλοιπο πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.

Απόδειξη

Αφήστε το P να είναι το μέρισμα, το F είναι ο διαιρέτης, το Q είναι το πηλίκο, το R Είναι το υπόλοιπο. Τότε,

P \u003d F × Q + R.

Πολλαπλασιάζοντας αυτήν την ταυτότητα με τον αριθμόa ¹ 0, παίρνουμε

a P \u003d F × (a Q) + a R,

όπου το πολυώνυμο a P μπορεί να θεωρηθεί μέρισμα και τα πολυώνυμαa Q και R - ως πηλίκο και το υπόλοιπο που λαμβάνεται διαιρώντας ένα πολυώνυμοa P από ένα πολυώνυμο F ... Έτσι, όταν πολλαπλασιάζετε το μέρισμα με τον αριθμόένα ¹ 0, το πηλίκο και το υπόλοιπο πολλαπλασιάζονται επίσης επία, η. δ.

Συνέπεια

Πολλαπλασιάζοντας έναν διαιρέτη με έναν αριθμόένα ¹ 0 μπορεί να θεωρηθεί ότι πολλαπλασιάζει το μέρισμα με έναν αριθμό.

Επομένως, όταν πολλαπλασιάζετε τον διαιρέτη με τον αριθμόένα ¹ 0 είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο πολλαπλασιάζεται επί.

Παράδειγμα αρ. 2

Βρείτε το πηλίκο Q και το υπόλοιπο R κατά τη διαίρεση πολυωνύμων

Μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e Απόφαση

Για να μεταβιβάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη σε ακέραιους συντελεστές, πολλαπλασιάζουμε το μέρισμα με το 6, το οποίο θα οδηγήσει σε πολλαπλασιασμό επί 6 του επιθυμητού πηλίκουQ και το υπόλοιπο R ... Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη επί 5, κάτι που θα οδηγήσει στον πολλαπλασιασμό του πηλίκου 6Q και το υπόλοιπο 6 R επί . Ως αποτέλεσμα, το πηλίκο και το υπόλοιπο που λαμβάνονται διαιρώντας τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές θα διαφέρουν κατά το χρόνο από τις επιδιωκόμενες τιμές του πηλίκουQ και το υπόλοιπο R επιτυγχάνεται διαιρώντας αυτά τα πολυώνυμα.

12y4 - 22xy3 + 18x2y2 - 11x3y + 3x4 2y2 - 3xy + 5x2

12y4 ± 18x3 30x2y2 6y2 - 2xy - 9x2 \u003d

- 4х3 - 12х2у2 - 11х3у + 3х4

± 4х3 6х2у2 ± 10х3у

- 18x2y2 - x3y + 3x4

± 18х222 27х3у ± 45х4

- 28х3 + + 48х4 \u003d μέγεθος γραμματοσειράς: 14,0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e Επομένως,

Απάντηση: , .

Σημειώστε ότι εάν βρεθεί ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των πολυωνύμων, πολλαπλασιάζοντας τον με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι μηδέν, λαμβάνουμε επίσης τον μεγαλύτερο διαιρέτη αυτών των πολυωνύμων. Αυτή η περίσταση καθιστά δυνατή την απλοποίηση των υπολογισμών στον ευκλείδη αλγόριθμο. Δηλαδή, πριν από την επόμενη διαίρεση, το μέρισμα ή ο διαιρέτης μπορεί να πολλαπλασιαστεί με αριθμούς που επιλέγονται με ειδικό τρόπο, έτσι ώστε ο συντελεστής του πρώτου όρου στο πηλίκο να είναι ακέραιος αριθμός. Όπως φαίνεται παραπάνω, ο πολλαπλασιασμός του μερίσματος και του διαιρέτη θα οδηγήσει σε αντίστοιχη αλλαγή στο μερικό υπόλοιπο, αλλά έτσι, ως αποτέλεσμα, το GCD αυτών των πολυωνύμων πολλαπλασιάζεται με κάποιο αριθμό ίσο με μηδέν, κάτι που είναι αποδεκτό.

Παράδειγμα αρ. 3

Μειώστε το κλάσμα .

Απόφαση

Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο του Euclid, παίρνουμε

θέση: απόλυτη; z-ευρετήριο: 59; αριστερά: 0px; περιθώριο-αριστερά: 220px; margin-top: 27px; πλάτος: 147px; ύψος: 2px "\u003e1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e 2) 2 (x4 + x3 - 3x2 + 4) \u003d 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2x x - 2

- 4x3 - 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x μέγεθος γραμματοσειράς: 14.0pt; ύψος γραμμής: 150% "\u003e 4

3x2 + 8x + 4

3) 3 (2x3 + 6x2 + 3x - 2) \u003d 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

Μέγεθος γραμματοσειράς 6x3: 14,0pt "\u003e Μέγεθος γραμματοσειράς 16x2: 14,0pt"\u003e 8x 2x +

1. Ο αλγόριθμος του Euclid

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) δύο πολυωνύμων ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους.

Εάν, κατά τη διάρκεια της επόμενης διαίρεσης, το υπόλοιπο του πολυωνύμου έχει βαθμό μεγαλύτερο από ή ίσο με 1, τότε ο διαιρέτης γίνεται διαιρετός και το υπόλοιπο γίνεται διαιρέτης.

Παράδειγμα # 1

Μειώστε το κλάσμα.

2. Δυνατότητες απλούστευσης των υπολογισμών του GCD στον ευκλείδη αλγόριθμο

Απόδειξη

Ας P - μέρισμα, F - διαιρέτης, Q - πηλίκο, R - υπόλοιπο. Τότε,

Πολλαπλασιάζοντας αυτήν την ταυτότητα με τον αριθμό 0, αποκτούμε

όπου το πολυώνυμο P μπορεί να θεωρηθεί μέρισμα και τα πολυώνυμα Q και R - ως πηλίκο και υπόλοιπο που λαμβάνονται διαιρώντας το πολυώνυμο P με το πολυώνυμο F. Έτσι, όταν πολλαπλασιάζουμε το μέρισμα με τον αριθμό 0, το πηλίκο και το υπόλοιπο πολλαπλασιάζονται επίσης με, p.t. ρε

Συνέπεια

Ο πολλαπλασιασμός του διαιρέτη με τον αριθμό 0 μπορεί να θεωρηθεί ότι πολλαπλασιάζει το μέρισμα με τον αριθμό.

Επομένως, όταν πολλαπλασιάζετε τον διαιρέτη με τον αριθμό 0, το πηλίκο και το υπόλοιπο πολλαπλασιάζονται επί.

Παράδειγμα αρ. 2

Βρείτε το πηλίκο Q και το υπόλοιπο R κατά τη διαίρεση πολυωνύμων

πολυωνυμικός αλγόριθμος διαίρεσης ευκλείδης

Για να μεταβιβάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη σε ακέραιους συντελεστές, πολλαπλασιάζουμε το μέρισμα με 6, το οποίο θα οδηγήσει σε πολλαπλασιασμό επί 6 του επιθυμητού πηλίκου Q και το υπόλοιπο R. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με 5, το οποίο θα οδηγήσει σε πολλαπλασιασμό του πηλίκου 6Q και το υπόλοιπο 6R κατά. Ως αποτέλεσμα, το πηλίκο και το υπόλοιπο που λαμβάνονται διαιρώντας τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές θα διαφέρουν κατά το χρόνο από τις ζητούμενες τιμές του πηλίκου Q και το υπόλοιπο R που λαμβάνεται διαιρώντας αυτά τα πολυώνυμα.

Ως εκ τούτου, ;

Η χρήση εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευή κτιρίων, ακόμη και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποίησε εξισώσεις στην αρχαιότητα και έκτοτε η εφαρμογή τους αυξήθηκε μόνο. Ένα πολυώνυμο είναι ένα αλγεβρικό άθροισμα προϊόντων αριθμών, μεταβλητών και των δυνάμεών τους. Ο μετασχηματισμός πολυωνύμων συνήθως περιλαμβάνει δύο είδη προβλημάτων. Η έκφραση πρέπει είτε να απλοποιηθεί είτε να παραγοντοποιηθεί, δηλαδή το αντιπροσωπεύουν ως προϊόν δύο ή περισσοτέρων πολυωνύμων ή ενός πολυωνύμου και ενός πολυωνύμου.

Για να απλοποιήσετε το πολυώνυμο, δώστε παρόμοιους όρους. Παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση \\ Εύρεση monomials με το ίδιο γράμμα. Διπλώστε τα. Γράψτε την προκύπτουσα έκφραση: \\ Έχετε απλοποιήσει το πολυώνυμο.

Για προβλήματα που απαιτούν factoring πολυώνυμο, βρείτε τον κοινό παράγοντα για αυτήν την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε πρώτα σε παρένθεση τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε όλα τα μέλη της έκφρασης. Επιπλέον, αυτές οι μεταβλητές πρέπει να έχουν τον μικρότερο δείκτη. Στη συνέχεια, υπολογίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη καθενός από τους συντελεστές του πολυωνύμου. Ο συντελεστής του προκύπτοντος αριθμού θα είναι ο συντελεστής του κοινού παράγοντα.

Παράδειγμα. Παράγοντα το πολυώνυμο \\ Factor out \\ as η μεταβλητή m περιλαμβάνεται σε κάθε όρο αυτής της έκφρασης και ο μικρότερος εκθέτης της είναι δύο. Υπολογίστε τον κοινό παράγοντα. Είναι ίσο με πέντε. Έτσι, ο κοινός παράγοντας αυτής της έκφρασης είναι \\ Ως εκ τούτου: \\

Πού μπορείτε να λύσετε την πολυωνυμική εξίσωση στο διαδίκτυο;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας https: // site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός επιλυτής θα σας επιτρέψει να λύσετε μια εξίσωση στο διαδίκτυο οποιασδήποτε πολυπλοκότητας μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο εργαλείο επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε μια οδηγία βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα πρόθυμοι να σας βοηθήσουμε.

Διαίρεση πολυωνύμου με διωνυμική αριθμομηχανή. Πώς να λύσετε πολυωνυμικές εξισώσεις στα μαθηματικά. Επιλογές εργαστηρίου

Κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις

Πού μπορείτε να λύσετε την πολυωνυμική εξίσωση στο διαδίκτυο;