Ένα από τα θέματα που απαιτεί τη μέγιστη προσοχή και επιμονή από τους μαθητές είναι η επίλυση των ανισοτήτων. Τόσο παρόμοια με τις εξισώσεις και ταυτόχρονα πολύ διαφορετική από αυτές. Γιατί η επίλυσή τους απαιτεί ειδική προσέγγιση.

Ιδιότητες που θα χρειαστούν για να βρεθεί η απάντηση

Όλα χρησιμοποιούνται για την αντικατάσταση μιας υπάρχουσας καταχώρισης με μια αντίστοιχη. Τα περισσότερα από αυτά είναι παρόμοια με αυτά που υπήρχαν στις εξισώσεις. Υπάρχουν όμως και διαφορές.

  • Μια συνάρτηση που ορίζεται στο ODZ, ή οποιοσδήποτε αριθμός, μπορεί να προστεθεί και στις δύο πλευρές της αρχικής ανισότητας.
  • Ομοίως, ο πολλαπλασιασμός είναι δυνατός, αλλά μόνο με μια θετική συνάρτηση ή αριθμό.
  • Εάν αυτή η ενέργεια εκτελείται με αρνητική συνάρτηση ή αριθμό, τότε το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντικατασταθεί με το αντίθετο.
  • Οι συναρτήσεις που δεν είναι αρνητικές μπορούν να αυξηθούν σε θετική ισχύ.

Μερικές φορές η επίλυση των ανισοτήτων συνοδεύεται από ενέργειες που παρέχουν εξωτερικές απαντήσεις. Πρέπει να εξαλειφθούν συγκρίνοντας τον τομέα DL και το σύνολο των λύσεων.

Χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Διαστήματος

Η ουσία του είναι να μειώσει την ανισότητα σε μια εξίσωση στην οποία υπάρχει ένα μηδέν στη δεξιά πλευρά.

  1. Προσδιορίστε την περιοχή όπου βρίσκονται οι επιτρεπόμενες τιμές των μεταβλητών, δηλαδή το ODZ.
  2. Μετασχηματίστε την ανισότητα χρησιμοποιώντας μαθηματικές πράξεις έτσι ώστε η δεξιά πλευρά να έχει μηδέν.
  3. Αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με «=» και λύστε την αντίστοιχη εξίσωση.
  4. Στον αριθμητικό άξονα, σημειώστε όλες τις απαντήσεις που λήφθηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης, καθώς και τα διαστήματα OD. Σε περίπτωση αυστηρής ανισότητας, τα σημεία πρέπει να σχεδιάζονται ως τρυπημένα. Εάν υπάρχει σύμβολο ίσου, τότε πρέπει να βαφτούν.
  5. Προσδιορίστε το πρόσημο της αρχικής συνάρτησης σε κάθε διάστημα που λαμβάνεται από τα σημεία του ODZ και τις απαντήσεις που το διαιρούν. Αν το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει κατά τη διέλευση από ένα σημείο, τότε περιλαμβάνεται στην απάντηση. Διαφορετικά, αποκλείεται.
  6. Τα οριακά σημεία για το ODZ πρέπει να ελεγχθούν περαιτέρω και μόνο τότε να συμπεριληφθούν ή όχι στην απάντηση.
  7. Η απάντηση που προκύπτει πρέπει να γραφτεί με τη μορφή συνδυασμένων συνόλων.

Λίγα λόγια για τις διπλές ανισότητες

Χρησιμοποιούν δύο ζώδια ανισότητας ταυτόχρονα. Δηλαδή, κάποια λειτουργία περιορίζεται από συνθήκες δύο φορές ταυτόχρονα. Τέτοιες ανισότητες επιλύονται ως σύστημα δύο, όταν το πρωτότυπο χωρίζεται σε μέρη. Και στη μέθοδο του διαστήματος, υποδεικνύονται οι απαντήσεις από την επίλυση και των δύο εξισώσεων.

Για την επίλυσή τους, επιτρέπεται επίσης η χρήση των ιδιοτήτων που αναφέρονται παραπάνω. Με τη βοήθειά τους, είναι βολικό να μειωθεί η ανισότητα στο μηδέν.

Τι γίνεται με τις ανισότητες που έχουν συντελεστή;

Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση των ανισώσεων χρησιμοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες και ισχύουν για μια θετική τιμή «a».

Εάν το "x" λάβει μια αλγεβρική παράσταση, τότε ισχύουν οι ακόλουθες αντικαταστάσεις:

  • |x|< a на -a < х < a;
  • |x| > a έως x< -a или х >ένα.

Αν οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές, τότε και οι τύποι είναι σωστοί, μόνο που σε αυτούς, εκτός από το μεγαλύτερο ή μικρότερο πρόσημο, εμφανίζεται και το «=».

Πώς λύνεται ένα σύστημα ανισοτήτων;

Αυτή η γνώση θα απαιτηθεί σε περιπτώσεις όπου δίνεται μια τέτοια εργασία ή υπάρχει εγγραφή διπλής ανισότητας ή εμφανίζεται μια ενότητα στην εγγραφή. Σε μια τέτοια κατάσταση, η λύση θα είναι οι τιμές των μεταβλητών που θα ικανοποιούσαν όλες τις ανισότητες στην εγγραφή. Εάν δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Το σχέδιο σύμφωνα με το οποίο πραγματοποιείται η επίλυση του συστήματος των ανισοτήτων:

  • λύστε το καθένα ξεχωριστά.
  • απεικονίζουν όλα τα διαστήματα στον άξονα αριθμών και προσδιορίζουν τις τομές τους.
  • γράψτε την απάντηση του συστήματος, η οποία θα είναι ένας συνδυασμός αυτού που συνέβη στη δεύτερη παράγραφο.

Τι να κάνουμε με τις κλασματικές ανισότητες;

Δεδομένου ότι η επίλυσή τους μπορεί να απαιτεί αλλαγή του πρόσημου της ανισότητας, πρέπει να ακολουθήσετε πολύ προσεκτικά και προσεκτικά όλα τα σημεία του σχεδίου. Διαφορετικά, μπορεί να λάβετε την αντίθετη απάντηση.

Η επίλυση κλασματικών ανισώσεων χρησιμοποιεί επίσης τη μέθοδο του διαστήματος. Και το σχέδιο δράσης θα έχει ως εξής:

  • Χρησιμοποιώντας τις περιγραφόμενες ιδιότητες, δώστε στο κλάσμα τέτοια μορφή που να παραμένει μόνο το μηδέν στα δεξιά του πρόσημου.
  • Αντικαταστήστε την ανίσωση με «=» και προσδιορίστε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση θα είναι ίση με μηδέν.
  • Κάνε τους ετικέτα άξονα συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα των υπολογισμών στον παρονομαστή θα διαγράφονται πάντα. Όλα τα άλλα βασίζονται στην συνθήκη της ανισότητας.
  • Προσδιορίστε τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου.
  • Σε απάντηση, γράψτε την ένωση εκείνων των διαστημάτων των οποίων το πρόσημο αντιστοιχεί σε αυτό στην αρχική ανισότητα.

Καταστάσεις που ο παραλογισμός εμφανίζεται στην ανισότητα

Με άλλα λόγια, υπάρχει μια μαθηματική ρίζα στη σημειογραφία. Από μέσα σχολικό μάθημαΣτην άλγεβρα, οι περισσότερες εργασίες αφορούν την τετραγωνική ρίζα, επομένως αυτό θα εξεταστεί.

Λύση παράλογες ανισότητεςκαταλήγει στην απόκτηση ενός συστήματος δύο ή τριών που θα είναι ισοδύναμο με το αρχικό.

Αρχική ανισότητακατάστασηισοδύναμο σύστημα
√ n(x)< m(х) m(x) μικρότερο ή ίσο με 0χωρίς λύσεις
m(x) μεγαλύτερο από 0

Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0

n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)

m(x) μεγαλύτερο ή ίσο με 0

n(x) > (m(x)) 2

Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0

m(x) μικρότερο από 0
√n(x) ≤ m(x)m(x) μικρότερο από 0χωρίς λύσεις
m(x) μεγαλύτερο ή ίσο με 0

Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0

n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)

m(x) μεγαλύτερο ή ίσο με 0

n(x) ≥ (m(x)) 2

Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0

m(x) μικρότερο από 0
√ n(x)< √ m(х)

Το n(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0

n(x) μικρότερο από m(x)
√n(x) * m(x)< 0

n(x) μεγαλύτερο από 0

m(x) μικρότερο από 0
√n(x) * m(x) > 0

n(x) μεγαλύτερο από 0

m(x) μεγαλύτερο από 0
√n(x) * m(x) ≤ 0

n(x) μεγαλύτερο από 0

n(x) ισούται με 0

m(x) - οποιοδήποτε
√n(x) * m(x) ≥ 0

n(x) μεγαλύτερο από 0

n(x) ισούται με 0

m(x) - οποιοδήποτε

Παραδείγματα επίλυσης διαφορετικών τύπων ανισοτήτων

Προκειμένου να προστεθεί σαφήνεια στη θεωρία για την επίλυση ανισοτήτων, δίνονται παραδείγματα παρακάτω.

Πρώτο παράδειγμα. 2x - 4 > 1 + x

Λύση: Για να προσδιορίσετε το ADI, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να εξετάσετε προσεκτικά την ανισότητα. Σχηματίζεται από γραμμικές συναρτήσεις, επομένως ορίζεται για όλες τις τιμές της μεταβλητής.

Τώρα πρέπει να αφαιρέσετε (1 + x) και από τις δύο πλευρές της ανισότητας. Αποδεικνύεται: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Αφού ανοίξουν οι αγκύλες και δοθούν παρόμοιοι όροι, η ανισότητα θα πάρει την εξής μορφή: x - 5 > 0.

Εξισώνοντάς το με το μηδέν, είναι εύκολο να βρεθεί η λύση του: x = 5.

Τώρα αυτό το σημείο με τον αριθμό 5 πρέπει να σημειωθεί στην ακτίνα συντεταγμένων. Στη συνέχεια ελέγξτε τα σημάδια της αρχικής λειτουργίας. Στο πρώτο διάστημα από το μείον το άπειρο έως το 5, μπορείτε να πάρετε τον αριθμό 0 και να τον αντικαταστήσετε στην ανισότητα που προκύπτει μετά τους μετασχηματισμούς. Μετά από υπολογισμούς προκύπτει -7 >0. κάτω από το τόξο του διαστήματος πρέπει να υπογράψετε ένα σύμβολο μείον.

Στο επόμενο διάστημα από το 5 έως το άπειρο, μπορείτε να επιλέξετε τον αριθμό 6. Τότε αποδεικνύεται ότι 1 > 0. Υπάρχει ένα σύμβολο «+» κάτω από το τόξο. Αυτό το δεύτερο διάστημα θα είναι η απάντηση στην ανισότητα.

Απάντηση: το x βρίσκεται στο διάστημα (5; ∞).

Δεύτερο παράδειγμα. Απαιτείται η επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων: 3x + 3 ≤ 2x + 1 και 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Λύση. Το ODZ αυτών των ανισοτήτων βρίσκεται επίσης στην περιοχή οποιωνδήποτε αριθμών, δεδομένου ότι έχουν δοθεί γραμμικές συναρτήσεις.

Η δεύτερη ανισότητα θα πάρει τη μορφή της ακόλουθης εξίσωσης: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Μετά το μετασχηματισμό: -x - 4 =0. Αυτό παράγει μια τιμή για τη μεταβλητή ίση με -4.

Αυτοί οι δύο αριθμοί πρέπει να σημειωθούν στον άξονα, απεικονίζοντας διαστήματα. Δεδομένου ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, όλα τα σημεία πρέπει να σκιάζονται. Το πρώτο διάστημα είναι από μείον άπειρο έως -4. Αφήστε τον αριθμό -5 να επιλεγεί. Η πρώτη ανισότητα θα δώσει την τιμή -3 και η δεύτερη 1. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το διάστημα δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση.

Το δεύτερο διάστημα είναι από -4 έως -2. Μπορείτε να επιλέξετε τον αριθμό -3 και να τον αντικαταστήσετε και στις δύο ανισώσεις. Στο πρώτο και στο δεύτερο, η τιμή είναι -1. Αυτό σημαίνει ότι κάτω από το τόξο "-".

Στο τελευταίο διάστημα από το -2 έως το άπειρο, ο καλύτερος αριθμός είναι το μηδέν. Πρέπει να το αντικαταστήσετε και να βρείτε τις τιμές των ανισοτήτων. Το πρώτο από αυτά παράγει έναν θετικό αριθμό και το δεύτερο ένα μηδέν. Αυτό το κενό πρέπει επίσης να εξαιρεθεί από την απάντηση.

Από τα τρία διαστήματα, μόνο ένα είναι λύση στην ανισότητα.

Απάντηση: το x ανήκει στο [-4; -2].

Τρίτο παράδειγμα. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Λύση. Το πρώτο βήμα είναι να προσδιοριστούν τα σημεία στα οποία εξαφανίζονται οι συναρτήσεις. Για το αριστερό ο αριθμός αυτός θα είναι 2, για το δεξί - 1. Πρέπει να σημειωθούν στη δοκό και να καθοριστούν τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου.

Στο πρώτο διάστημα, από μείον άπειρο έως 1, η συνάρτηση από την αριστερή πλευρά της ανισότητας παίρνει θετικές αξίες, και από τα δεξιά - αρνητικό. Κάτω από το τόξο πρέπει να γράψετε δύο σημάδια "+" και "-" δίπλα-δίπλα.

Το επόμενο διάστημα είναι από το 1 έως το 2. Σε αυτό, και οι δύο συναρτήσεις παίρνουν θετικές τιμές. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πλεονεκτήματα κάτω από το τόξο.

Το τρίτο διάστημα από το 2 έως το άπειρο θα δώσει το εξής αποτέλεσμα: η αριστερή συνάρτηση είναι αρνητική, η δεξιά συνάρτηση είναι θετική.

Λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια που προκύπτουν, πρέπει να υπολογίσετε τις τιμές ανισότητας για όλα τα διαστήματα.

Η πρώτη παράγει την εξής ανισότητα: 2 - x > - 2 (x - 1). Το μείον πριν από τα δύο στη δεύτερη ανισότητα οφείλεται στο γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι αρνητική.

Μετά τον μετασχηματισμό, η ανισότητα μοιάζει με αυτό: x > 0. Δίνει αμέσως τις τιμές της μεταβλητής. Δηλαδή, από αυτό το διάστημα θα απαντηθεί μόνο το διάστημα από το 0 έως το 1.

Στο δεύτερο: 2 - x > 2 (x - 1). Οι μετασχηματισμοί θα δώσουν την ακόλουθη ανισότητα: -3x + 4 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Το μηδέν του θα είναι x = 4/3. Λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της ανισότητας, προκύπτει ότι το x πρέπει να είναι μικρότερο από αυτόν τον αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το διάστημα μειώνεται σε ένα διάστημα από 1 έως 4/3.

Η τελευταία δίνει την εξής ανισότητα: - (2 - x) > 2 (x - 1). Ο μετασχηματισμός του οδηγεί στο εξής: -x > 0. Δηλαδή, η εξίσωση είναι αληθής όταν το x είναι μικρότερο του μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στο απαιτούμενο διάστημα η ανισότητα δεν δίνει λύσεις.

Στα δύο πρώτα διαστήματα, ο αριθμός ορίου ήταν 1. Πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά. Δηλαδή, αντικαταστήστε το στην αρχική ανισότητα. Αποδεικνύεται: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Η μέτρηση δείχνει ότι το 1 είναι μεγαλύτερο από το 0. Αυτή είναι μια αληθής πρόταση, επομένως ένα περιλαμβάνεται στην απάντηση.

Απάντηση: το x βρίσκεται στο διάστημα (0; 4/3).

Επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυο

Πριν λύσετε ανισότητες, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του τρόπου με τον οποίο λύνονται οι εξισώσεις.

Δεν έχει σημασία αν η ανισότητα είναι αυστηρή () ή μη αυστηρή (≤, ≥), το πρώτο βήμα είναι να λύσετε την εξίσωση αντικαθιστώντας το πρόσημο της ανισότητας με ισότητα (=).

Ας εξηγήσουμε τι σημαίνει η επίλυση μιας ανισότητας;

Αφού μελετήσει τις εξισώσεις, ο μαθητής παίρνει την ακόλουθη εικόνα στο κεφάλι του: πρέπει να βρει τιμές της μεταβλητής έτσι ώστε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης να λαμβάνουν τις ίδιες τιμές. Με άλλα λόγια, βρείτε όλα τα σημεία στα οποία ισχύει η ισότητα. Ολα είναι σωστά!

Όταν μιλάμε για ανισότητες, εννοούμε την εύρεση διαστημάτων (τμημάτων) στα οποία ισχύει η ανισότητα. Εάν υπάρχουν δύο μεταβλητές στην ανισότητα, τότε η λύση δεν θα είναι πλέον διαστήματα, αλλά ορισμένες περιοχές στο επίπεδο. Μαντέψτε μόνοι σας ποια θα είναι η λύση σε μια ανισότητα σε τρεις μεταβλητές;

Πώς να λύσετε τις ανισότητες;

Καθολικός τρόπος επίλυσης ανισώσεων θεωρείται η μέθοδος των διαστημάτων (γνωστή και ως μέθοδος διαστημάτων), η οποία συνίσταται στον προσδιορισμό όλων των διαστημάτων εντός των ορίων των οποίων θα ικανοποιηθεί μια δεδομένη ανισότητα.

Χωρίς να μπούμε στον τύπο της ανισότητας, σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι αυτό το θέμα, πρέπει να λύσετε την αντίστοιχη εξίσωση και να προσδιορίσετε τις ρίζες της, ακολουθούμενη από τον προσδιορισμό αυτών των λύσεων στον άξονα αριθμών.

Πώς να γράψετε σωστά τη λύση μιας ανισότητας;

Αφού προσδιορίσετε τα διαστήματα λύσεων για την ανισότητα, πρέπει να γράψετε σωστά την ίδια τη λύση. Υπάρχει μια σημαντική απόχρωση - περιλαμβάνονται τα όρια των διαστημάτων στη λύση;

Όλα είναι απλά εδώ. Εάν η λύση της εξίσωσης ικανοποιεί το ODZ και η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε το όριο του διαστήματος περιλαμβάνεται στη λύση της ανισότητας. Διαφορετικά, όχι.

Λαμβάνοντας υπόψη κάθε διάστημα, η λύση της ανισότητας μπορεί να είναι το ίδιο το διάστημα, ή ένα μισό διάστημα (όταν ένα από τα όριά του ικανοποιεί την ανισότητα), ή ένα τμήμα - το διάστημα μαζί με τα όριά του.

Σημαντικό σημείο

Μην νομίζετε ότι μόνο διαστήματα, μισά διαστήματα και τμήματα μπορούν να λύσουν την ανισότητα. Όχι, η λύση μπορεί να περιλαμβάνει και μεμονωμένα σημεία.

Για παράδειγμα, η ανισότητα |x|≤0 έχει μόνο μία λύση - αυτή είναι το σημείο 0.

Και η ανισότητα |x|

Γιατί χρειάζεστε έναν υπολογιστή ανισότητας;

Ο υπολογιστής ανισώσεων δίνει τη σωστή τελική απάντηση. Στις περισσότερες περιπτώσεις, παρέχεται μια απεικόνιση ενός άξονα ή ενός επιπέδου αριθμών. Είναι ορατό εάν τα όρια των διαστημάτων περιλαμβάνονται στη λύση ή όχι - τα σημεία εμφανίζονται ως σκιασμένα ή τρυπημένα.

Χάρη σε ηλεκτρονική αριθμομηχανήανισώσεις, μπορείτε να ελέγξετε αν βρήκατε σωστά τις ρίζες της εξίσωσης, τις σημειώσατε στον αριθμητικό άξονα και ελέγξατε την εκπλήρωση της συνθήκης ανισότητας στα διαστήματα (και τα όρια);

Εάν η απάντησή σας διαφέρει από την απάντηση της αριθμομηχανής, τότε πρέπει οπωσδήποτε να ελέγξετε ξανά τη λύση σας και να εντοπίσετε το λάθος.

Μετά την παραλαβή αρχικές πληροφορίεςγια τις ανισότητες με μεταβλητές, προχωράμε στο ζήτημα της επίλυσής τους. Θα αναλύσουμε τη λύση γραμμικών ανισώσεων με μία μεταβλητή και όλες τις μεθόδους επίλυσής τους με αλγόριθμους και παραδείγματα. Θα ληφθούν υπόψη μόνο γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή.

Τι είναι η γραμμική ανισότητα;

Πρώτα, πρέπει να ορίσετε μια γραμμική εξίσωση και να μάθετε την τυπική της μορφή και πώς θα διαφέρει από άλλες. Από το σχολικό μάθημα έχουμε ότι δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των ανισοτήτων, επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν αρκετοί ορισμοί.

Ορισμός 1

Γραμμική ανισότητα με μία μεταβλητή x είναι μια ανισότητα της μορφής a · x + b > 0, όταν χρησιμοποιείται οποιοδήποτε σύμβολο ανισότητας αντί για >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Ορισμός 2

Ανισώσεις a x< c или a · x >Το c, με το x να είναι μεταβλητή και το a και c να είναι κάποιοι αριθμοί, καλείται γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή.

Εφόσον δεν λέγεται τίποτα για το αν ο συντελεστής μπορεί να είναι ίσος με 0, τότε μια αυστηρή ανισότητα της μορφής 0 x > c και 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Οι διαφορές τους είναι:

  • μορφή σημειογραφίας a · x + b > 0 στην πρώτη, και a · x > c – στη δεύτερη.
  • παραδεκτό του συντελεστή a είναι ίσο με μηδέν, a ≠ 0 - στο πρώτο, και a = 0 - στο δεύτερο.

Πιστεύεται ότι οι ανισώσεις a · x + b > 0 και a · x > c είναι ισοδύναμες, επειδή λαμβάνονται με τη μεταφορά ενός όρου από το ένα μέρος στο άλλο. Η επίλυση της ανισότητας 0 x + 5 > 0 θα οδηγήσει στο γεγονός ότι θα πρέπει να λυθεί και η περίπτωση a = 0 δεν θα λειτουργήσει.

Ορισμός 3

Πιστεύεται ότι οι γραμμικές ανισώσεις σε μια μεταβλητή x είναι ανισότητες της μορφής α x + β< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0Και a x + b ≥ 0, όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί. Αντί για x μπορεί να υπάρχει ένας κανονικός αριθμός.

Με βάση τον κανόνα, έχουμε ότι 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 λέγονται αναγώγιμα σε γραμμικά.

Πώς να λύσετε γραμμική ανισότητα

Ο κύριος τρόπος επίλυσης τέτοιων ανισώσεων είναι η χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών για να βρεθούν οι στοιχειώδεις ανισώσεις x< p (≤ , >, ≥) , p που είναι ένας ορισμένος αριθμός, για a ≠ 0, και της μορφής a< p (≤ , >, ≥) για a = 0.

Για να λύσετε ανισότητες σε μία μεταβλητή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος ή να την αναπαραστήσετε γραφικά. Οποιοδήποτε από αυτά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ξεχωριστά.

Χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών

Για να λύσετε μια γραμμική ανίσωση της μορφής a x + b< 0 (≤ , >, ≥), είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν ισοδύναμοι μετασχηματισμοί ανισότητας. Ο συντελεστής μπορεί να είναι ή όχι μηδέν. Ας εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις. Για να το μάθετε, πρέπει να τηρήσετε ένα σχήμα που αποτελείται από 3 σημεία: την ουσία της διαδικασίας, τον αλγόριθμο και την ίδια τη λύση.

Ορισμός 4

Αλγόριθμος επίλυσης γραμμικής ανισότητας α x + β< 0 (≤ , >, ≥) για ένα ≠ 0

  • ο αριθμός b θα μετακινηθεί στη δεξιά πλευρά της ανισότητας με το αντίθετο πρόσημο, που θα μας επιτρέψει να φτάσουμε στο ισοδύναμο a x< − b (≤ , > , ≥) ;
  • Και οι δύο πλευρές της ανισότητας θα διαιρεθούν με έναν αριθμό όχι ίσο με 0. Επιπλέον, όταν το α είναι θετικό, το πρόσημο παραμένει· όταν το α είναι αρνητικό, αλλάζει στο αντίθετο.

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του αλγορίθμου για την επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα 1

Λύστε την ανίσωση της μορφής 3 x + 12 ≤ 0.

Λύση

Αυτή η γραμμική ανισότητα έχει a = 3 και b = 12. Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής a του x δεν είναι ίσος με μηδέν. Ας εφαρμόσουμε τους παραπάνω αλγόριθμους και ας το λύσουμε.

Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον όρο 12 σε άλλο μέρος της ανισότητας και να αλλάξετε το πρόσημο μπροστά του. Τότε παίρνουμε μια ανίσωση της μορφής 3 x ≤ − 12. Είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με 3. Το πρόσημο δεν θα αλλάξει αφού το 3 είναι θετικός αριθμός. Παίρνουμε ότι (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, που δίνει το αποτέλεσμα x ≤ − 4.

Μια ανισότητα της μορφής x ≤ − 4 είναι ισοδύναμη. Δηλαδή, η λύση για 3 x + 12 ≤ 0 είναι οποιαδήποτε πραγματικός αριθμός, που είναι μικρότερο ή ίσο με 4. Η απάντηση γράφεται ως ανίσωση x ≤ − 4, ή αριθμητικό διάστημα της μορφής (− ∞, − 4].

Ολόκληρος ο αλγόριθμος που περιγράφεται παραπάνω είναι γραμμένος ως εξής:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Απάντηση: x ≤ − 4 ή (− ∞ , − 4 ] .

Παράδειγμα 2

Υποδείξτε όλες τις διαθέσιμες λύσεις για την ανίσωση − 2, 7 · z > 0.

Λύση

Από τη συνθήκη βλέπουμε ότι ο συντελεστής a για το z είναι ίσος με - 2,7, και το b απουσιάζει ρητά ή ίσος με μηδέν. Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρώτο βήμα του αλγορίθμου, αλλά αμέσως να προχωρήσετε στο δεύτερο.

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον αριθμό - 2, 7. Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι αρνητικός, είναι απαραίτητο να αντιστραφεί το πρόσημο της ανισότητας. Δηλαδή, παίρνουμε ότι (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ας γράψουμε ολόκληρο τον αλγόριθμο σε σύντομη μορφή:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Απάντηση: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Παράδειγμα 3

Λύστε την ανίσωση - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Λύση

Σύμφωνα με την συνθήκη, βλέπουμε ότι είναι απαραίτητο να λύσουμε την ανίσωση με συντελεστή a για τη μεταβλητή x, που είναι ίση με - 5, με συντελεστή b, που αντιστοιχεί στο κλάσμα - 15 22. Είναι απαραίτητο να λύσουμε την ανισότητα ακολουθώντας τον αλγόριθμο, δηλαδή: μετακινήστε - 15 22 σε άλλο μέρος με το αντίθετο πρόσημο, διαιρέστε και τα δύο μέρη με - 5, αλλάξτε το πρόσημο της ανισότητας:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Κατά την τελευταία μετάβαση για τη δεξιά πλευρά, χρησιμοποιείται ο κανόνας για τη διαίρεση του αριθμού με διαφορετικά σύμβολα 15 22: - 5 = - 15 22: 5, μετά τον οποίο εκτελούμε τη διαίρεση κοινό κλάσμαστον φυσικό αριθμό - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Απάντηση: x ≥ - 3 22 και [ - 3 22 + ∞) .

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που a = 0. Γραμμική έκφραση της μορφής a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Όλα βασίζονται στον προσδιορισμό της λύσης της ανισότητας. Για οποιαδήποτε τιμή του x λαμβάνουμε μια αριθμητική ανισότητα της μορφής b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Θα εξετάσουμε όλες τις κρίσεις με τη μορφή αλγορίθμου για την επίλυση γραμμικών ανισώσεων 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Ορισμός 5

Αριθμητική ανισότητα της μορφής β< 0 (≤ , >, ≥) είναι αληθές, τότε η αρχική ανισότητα έχει λύση για οποιαδήποτε τιμή και είναι ψευδής όταν η αρχική ανισότητα δεν έχει λύσεις.

Παράδειγμα 4

Λύστε την ανίσωση 0 x + 7 > 0.

Λύση

Αυτή η γραμμική ανισότητα 0 x + 7 > 0 μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή x. Τότε παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής 7 > 0. Η τελευταία ανίσωση θεωρείται αληθής, που σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να είναι η λύση της.

Απάντηση: διάστημα (− ∞ , + ∞) .

Παράδειγμα 5

Βρείτε λύση στην ανίσωση 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Λύση

Όταν αντικαθιστούμε τη μεταβλητή x οποιουδήποτε αριθμού, προκύπτει ότι η ανίσωση έχει τη μορφή − 12, 7 ≥ 0. Είναι λάθος. Δηλαδή, 0 x − 12, 7 ≥ 0 δεν έχει λύσεις.

Απάντηση:δεν υπάρχουν λύσεις.

Ας εξετάσουμε την επίλυση γραμμικών ανισώσεων όπου και οι δύο συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.

Παράδειγμα 6

Να προσδιορίσετε την άλυτη ανισότητα από 0 x + 0 > 0 και 0 x + 0 ≥ 0.

Λύση

Όταν αντικαθιστούμε οποιονδήποτε αριθμό αντί του x, λαμβάνουμε δύο ανισώσεις της μορφής 0 > 0 και 0 ≥ 0. Το πρώτο είναι λάθος. Αυτό σημαίνει ότι 0 x + 0 > 0 δεν έχει λύσεις, και 0 x + 0 ≥ 0 έχει άπειρο αριθμό λύσεων, δηλαδή οποιονδήποτε αριθμό.

Απάντηση: η ανισότητα 0 x + 0 > 0 δεν έχει λύσεις, αλλά 0 x + 0 ≥ 0 έχει λύσεις.

Αυτή η μέθοδος συζητείται στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών. Η μέθοδος διαστήματος είναι ικανή να επιλύσει διάφορους τύπους ανισοτήτων, συμπεριλαμβανομένων των γραμμικών.

Η μέθοδος διαστήματος χρησιμοποιείται για γραμμικές ανισότητες όταν η τιμή του συντελεστή x δεν είναι ίση με 0. Διαφορετικά θα πρέπει να υπολογίσετε χρησιμοποιώντας διαφορετική μέθοδο.

Ορισμός 6

Η μέθοδος του διαστήματος είναι:

  • εισάγοντας τη συνάρτηση y = a · x + b ;
  • αναζήτηση μηδενικών για να χωρίσει τον τομέα ορισμού σε διαστήματα.
  • ορισμός σημείων για τις έννοιές τους κατά διαστήματα.

Ας συγκεντρώσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων a x + b< 0 (≤ , >, ≥) για ένα ≠ 0 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος:

  • βρίσκοντας τα μηδενικά της συνάρτησης y = a · x + b για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής a · x + b = 0 . Εάν a ≠ 0, τότε η λύση θα είναι μια ρίζα, η οποία θα λάβει τον προσδιορισμό x 0.
  • κατασκευή γραμμής συντεταγμένων με εικόνα σημείου με συντεταγμένη x 0, με αυστηρή ανισότητα το σημείο συμβολίζεται με διάτρητη, με μη αυστηρή ανισότητα – με σκιασμένη.
  • προσδιορίζοντας τα σημάδια της συνάρτησης y = a · x + b σε διαστήματα· γι 'αυτό είναι απαραίτητο να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία του διαστήματος.
  • επίλυση μιας ανισότητας με πρόσημα > ή ≥ στη γραμμή συντεταγμένων, προσθέτοντας σκίαση στο θετικό διάστημα,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Ας δούμε αρκετά παραδείγματα επίλυσης γραμμικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος.

Παράδειγμα 6

Λύστε την ανίσωση − 3 x + 12 > 0.

Λύση

Από τον αλγόριθμο προκύπτει ότι πρώτα πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης − 3 x + 12 = 0. Παίρνουμε ότι − 3 · x = − 12 , x = 4 . Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια γραμμή συντεταγμένων όπου σημειώνουμε το σημείο 4. Θα τρυπηθεί γιατί η ανισότητα είναι αυστηρή. Εξετάστε το παρακάτω σχέδιο.

Είναι απαραίτητο να προσδιορίζονται τα σημάδια κατά διαστήματα. Για να το προσδιορίσουμε στο διάστημα (− ∞, 4), είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη συνάρτηση y = − 3 x + 12 στο x = 3. Από εδώ παίρνουμε ότι − 3 3 + 12 = 3 > 0. Το πρόσημο στο διάστημα είναι θετικό.

Καθορίζουμε το πρόσημο από το διάστημα (4, + ∞) και μετά αντικαθιστούμε την τιμή x = 5. Έχουμε ότι − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Λύνουμε την ανισότητα με το σύμβολο > και η σκίαση εκτελείται στο θετικό διάστημα. Εξετάστε το παρακάτω σχέδιο.

Από το σχέδιο είναι σαφές ότι η επιθυμητή λύση έχει τη μορφή (− ∞ , 4) ή x< 4 .

Απάντηση: (− ∞ , 4) ή x< 4 .

Για να κατανοήσετε πώς να απεικονίσετε γραφικά, είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη 4 γραμμικές ανισότητες ως παράδειγμα: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 και 0, 5 x − 1 ≥ 0. Οι λύσεις τους θα είναι οι τιμές του x< 2 , x ≤ 2 , x >2 και x ≥ 2. Για να γίνει αυτό, ας σχεδιάσουμε τη γραμμική συνάρτηση y = 0, 5 x − 1 που φαίνεται παρακάτω.

Είναι ξεκάθαρο ότι

Ορισμός 7

  • επίλυση της ανίσωσης 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
  • η λύση 0, 5 x − 1 ≤ 0 θεωρείται ότι είναι το διάστημα όπου η συνάρτηση y = 0, 5 x − 1 είναι μικρότερη από το O x ή συμπίπτει.
  • η λύση 0, 5 · x − 1 > 0 θεωρείται διάστημα, η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από το O x.
  • η λύση 0, 5 · x − 1 ≥ 0 θεωρείται το διάστημα όπου το γράφημα πάνω από το O x ή συμπίπτει.

Εννοια γραφική λύσηανισότητες είναι να βρούμε τα διαστήματα, τα οποία πρέπει να απεικονίζονται σε ένα γράφημα. Σε αυτή την περίπτωση, βρίσκουμε ότι η αριστερή πλευρά έχει y = a · x + b, και η δεξιά πλευρά έχει y = 0, και συμπίπτει με O x.

Ορισμός 8

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x + b απεικονίζεται:

  • ενώ λύνουμε την ανίσωση a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
  • Κατά την επίλυση της ανισότητας a · x + b ≤ 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου το γράφημα απεικονίζεται κάτω από τον άξονα Ox ή συμπίπτει.
  • Κατά την επίλυση της ανισότητας a · x + b > 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου το γράφημα απεικονίζεται πάνω από το O x.
  • Κατά την επίλυση της ανίσωσης a · x + b ≥ 0, προσδιορίζεται το διάστημα όπου η γραφική παράσταση είναι πάνω από O x ή συμπίπτει.

Παράδειγμα 7

Λύστε την ανίσωση - 5 · x - 3 > 0 χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

Λύση

Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα γράφημα της γραμμικής συνάρτησης - 5 · x - 3 > 0. Αυτή η ευθεία είναι φθίνουσα επειδή ο συντελεστής x είναι αρνητικός. Για να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του με O x - 5 · x - 3 > 0, λαμβάνουμε την τιμή - 3 5. Ας το απεικονίσουμε γραφικά.

Επιλύοντας την ανισότητα με το σύμβολο >, τότε πρέπει να προσέξετε το διάστημα πάνω από το O x. Ας επισημάνουμε το απαιτούμενο μέρος του αεροπλάνου με κόκκινο χρώμα και ας το καταλάβουμε

Το απαιτούμενο κενό είναι μέρος O x κόκκινο. Αυτό σημαίνει ότι η ανοιχτή αριθμητική ακτίνα - ∞ , - 3 5 θα είναι μια λύση στην ανισότητα. Εάν, σύμφωνα με τη συνθήκη, είχαμε μια μη αυστηρή ανισότητα, τότε η τιμή του σημείου - 3 5 θα ήταν επίσης μια λύση στην ανισότητα. Και θα συμπίπτει με το O x.

Απάντηση: - ∞ , - 3 5 ή x< - 3 5 .

Γραφική μέθοδοςη λύση χρησιμοποιείται όταν η αριστερή πλευρά αντιστοιχεί στη συνάρτηση y = 0 x + b, δηλαδή y = b. Τότε η ευθεία θα είναι παράλληλη στο O x ή θα συμπίπτει στο b = 0. Αυτές οι περιπτώσεις δείχνουν ότι η ανισότητα μπορεί να μην έχει λύσεις ή η λύση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα 8

Να προσδιορίσετε από τις ανισώσεις 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Λύση

Η αναπαράσταση του y = 0 x + 7 είναι y = 7, τότε θα δοθεί επίπεδο συντεταγμένωνμε ευθεία παράλληλη στο O x και βρίσκεται πάνω από το O x. Άρα 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 0 x + 0 θεωρείται y = 0, δηλαδή η ευθεία συμπίπτει με την O x. Αυτό σημαίνει ότι η ανίσωση 0 x + 0 ≥ 0 έχει πολλές λύσεις.

Απάντηση: Η δεύτερη ανίσωση έχει λύση για οποιαδήποτε τιμή του x.

Ανισώσεις που μειώνονται σε γραμμικές

Η λύση των ανισοτήτων μπορεί να αναχθεί στη λύση γραμμική εξίσωση, οι οποίες ονομάζονται ανισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές.

Οι ανισότητες αυτές εξετάστηκαν στο σχολικό μάθημα, αφού αποτελούσαν ειδική περίπτωση επίλυσης ανισοτήτων, που οδήγησαν στο άνοιγμα παρενθέσεων και στη μείωση παρόμοιων όρων. Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Οι ανισώσεις που δίνονται παραπάνω ανάγονται πάντα στη μορφή μιας γραμμικής εξίσωσης. Μετά από αυτό, ανοίγουν οι αγκύλες και δίνονται παρόμοιοι όροι, που μεταφέρονται από διαφορετικά μέρη, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο.

Όταν μειώνουμε την ανισότητα 5 − 2 x > 0 σε γραμμική, την παριστάνουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει τη μορφή − 2 x + 5 > 0, και για να μειώσουμε τη δεύτερη παίρνουμε ότι 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Είναι απαραίτητο να ανοίξετε τις αγκύλες, να φέρετε παρόμοιους όρους, να μετακινήσετε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά και να φέρετε παρόμοιους όρους. Μοιάζει με αυτό:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Αυτό οδηγεί τη λύση σε μια γραμμική ανισότητα.

Αυτές οι ανισότητες θεωρούνται γραμμικές, αφού έχουν την ίδια αρχή επίλυσης, μετά την οποία είναι δυνατόν να μειωθούν σε στοιχειώδεις ανισότητες.

Για να λυθεί αυτός ο τύπος ανισότητας, είναι απαραίτητο να μειωθεί σε γραμμική. Θα πρέπει να γίνει με αυτόν τον τρόπο:

Ορισμός 9

  • Ανοιξε παρενθεση?
  • Συλλέξτε μεταβλητές στα αριστερά και αριθμούς στα δεξιά.
  • δώστε παρόμοιους όρους?
  • διαιρέστε και τις δύο πλευρές με τον συντελεστή x.

Παράδειγμα 9

Λύστε την ανίσωση 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Λύση

Ανοίγουμε τις αγκύλες και μετά παίρνουμε μια ανισότητα της μορφής 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Αφού μειώσουμε παρόμοιους όρους, έχουμε ότι 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Αφού μετακινήσουμε τους όρους από τα αριστερά προς τα δεξιά, βρίσκουμε ότι 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Επομένως, υπάρχει μια ανισότητα της μορφής 32 ≤ 0 από αυτή που προκύπτει με τον υπολογισμό του 0 x + 32 ≤ 0. Μπορεί να φανεί ότι η ανισότητα είναι ψευδής, πράγμα που σημαίνει ότι η ανισότητα που δίνεται από συνθήκη δεν έχει λύσεις.

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν πολλοί άλλοι τύποι ανισώσεων που μπορούν να αναχθούν σε γραμμικές ή ανισώσεις του τύπου που φαίνεται παραπάνω. Για παράδειγμα, 5 2 x − 1 ≥ 1 είναι εκθετική εξίσωση, που ανάγεται σε γραμμική λύση 2 x − 1 ≥ 0 . Αυτές οι περιπτώσεις θα ληφθούν υπόψη κατά την επίλυση ανισοτήτων αυτού του τύπου.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση λύσησχεδόν κάθε δεδομένη ανισότητα Σε σύνδεση. Μαθηματικός ανισότητες στο διαδίκτυονα λύσουν τα μαθηματικά. Βρείτε γρήγορα λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση. Ο ιστότοπος www.site σας επιτρέπει να βρείτε λύσησχεδόν κάθε δεδομένο αλγεβρικός, τριγωνομετρικήή υπερβατική ανισότητα στο διαδίκτυο. Όταν μελετάτε σχεδόν οποιοδήποτε κλάδο των μαθηματικών στο διαφορετικά στάδιαπρέπει να αποφασίσουν ανισότητες στο διαδίκτυο. Για να λάβετε μια απάντηση αμέσως, και κυρίως μια ακριβή απάντηση, χρειάζεστε έναν πόρο που σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό. Χάρη στον ιστότοπο www.site επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοθα χρειαστούν λίγα λεπτά. Το κύριο πλεονέκτημα του www.site κατά την επίλυση μαθηματικών ανισότητες στο διαδίκτυο- αυτή είναι η ταχύτητα και η ακρίβεια της απόκρισης που παρέχεται. Ο ιστότοπος είναι σε θέση να λύσει οποιαδήποτε αλγεβρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυο, και ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους στη λειτουργία Σε σύνδεση. Ανισότητεςχρησιμεύει ως μια ισχυρή μαθηματική συσκευή λύσεις πρακτικά προβλήματα. Με βοήθεια μαθηματικές ανισότητεςείναι δυνατό να εκφραστούν γεγονότα και σχέσεις που μπορεί να φαίνονται μπερδεμένα και περίπλοκα με την πρώτη ματιά. Άγνωστες ποσότητες ανισότητεςμπορεί να βρεθεί διατυπώνοντας το πρόβλημα στο μαθηματικόςγλώσσα στη μορφή ανισότητεςΚαι αποφασίζωέλαβε εργασία σε λειτουργία Σε σύνδεσηστον ιστότοπο www.site. Οποιος αλγεβρική ανισότητα, τριγωνομετρική ανισότηταή ανισότητεςπου περιέχει υπερφυσικόςχαρακτηριστικά που μπορείτε εύκολα αποφασίζω online και λάβετε την ακριβή απάντηση. Μελετώντας φυσικές επιστήμες, αντιμετωπίζετε αναπόφευκτα την ανάγκη λύσεις στις ανισότητες. Σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση πρέπει να είναι ακριβής και πρέπει να λαμβάνεται αμέσως στη λειτουργία Σε σύνδεση. Επομένως για επίλυση μαθηματικών ανισώσεων στο διαδίκτυοπροτείνουμε τον ιστότοπο www.site, ο οποίος θα γίνει ο απαραίτητος υπολογιστής σας επίλυση αλγεβρικών ανισώσεων στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητεςΣε σύνδεση, και υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυοή ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης διαδικτυακών λύσεων σε διάφορα μαθηματικές ανισότητεςπόρος www.. Επίλυση ανισότητες στο διαδίκτυομόνοι σας, είναι χρήσιμο να ελέγξετε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας διαδικτυακή λύσηανισότητεςστον ιστότοπο www.site. Πρέπει να γράψετε σωστά την ανισότητα και να λάβετε αμέσως διαδικτυακή λύση, μετά από την οποία το μόνο που μένει είναι να συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας στην ανισότητα. Ο έλεγχος της απάντησης δεν θα διαρκέσει περισσότερο από ένα λεπτό, είναι αρκετό επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοκαι συγκρίνετε τις απαντήσεις. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη απόφασηκαι διορθώστε την απάντηση εγκαίρως όταν επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυοείτε αλγεβρικός, τριγωνομετρική, υπερφυσικόςή ανισότηταμε άγνωστες παραμέτρους.

Οι ανισότητες ονομάζονται γραμμικέςτων οποίων η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι γραμμικές συναρτήσεις ως προς την άγνωστη ποσότητα. Αυτά περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, ανισότητες:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- Χ< x + 5 .

1) Αυστηρές ανισότητες: τσεκούρι +b>0ή τσεκούρι+β<0

2) Μη αυστηρές ανισότητες: τσεκούρι +b≤0ή τσεκούρι+β≫ 0

Ας αναλύσουμε αυτό το έργο. Μία από τις πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 7 cm. Πόσο πρέπει να είναι το μήκος της άλλης πλευράς ώστε η περίμετρος του παραλληλογράμμου να είναι μεγαλύτερη από 44 cm;

Αφήστε την απαιτούμενη πλευρά Χεκ. Στην περίπτωση αυτή, η περίμετρος του παραλληλογράμμου θα παριστάνεται με (14 + 2x) εκ. Η ανισότητα 14 + 2x > 44 είναι μαθηματικό μοντέλοπροβλήματα στην περίμετρο ενός παραλληλογράμμου. Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή σε αυτή την ανισότητα Χστον αριθμό 16, για παράδειγμα, λαμβάνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα 14 + 32 > 44. Σε αυτήν την περίπτωση, λένε ότι ο αριθμός 16 είναι μια λύση στην ανισότητα 14 + 2x > 44.

Επίλυση της ανισότηταςονομάστε την τιμή μιας μεταβλητής που τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ανισότητα.

Επομένως, καθένας από τους αριθμούς είναι 15,1. Το 20;73 λειτουργεί ως λύση στην ανίσωση 14 + 2x > 44, αλλά ο αριθμός 10, για παράδειγμα, δεν είναι η λύση της.

Λύστε την ανισότητασημαίνει να καθορίσει όλες τις λύσεις του ή να αποδείξει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Η διατύπωση της λύσης της ανισότητας είναι παρόμοια με τη διατύπωση της ρίζας της εξίσωσης. Και όμως δεν συνηθίζεται να προσδιορίζεται η «ρίζα της ανισότητας».

Οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων μας βοήθησαν να λύσουμε εξισώσεις. Ακριβώς οι ίδιες ιδιότητες αριθμητικές ανισώσειςβοηθούν στην επίλυση των ανισοτήτων.

Όταν λύνουμε μια εξίσωση, την αλλάζουμε σε μια άλλη, περισσότερο απλή εξίσωση, αλλά ισοδύναμο με το δεδομένο. Η απάντηση στις ανισότητες βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο. Όταν αλλάζουν μια εξίσωση σε μια ισοδύναμη εξίσωση, χρησιμοποιούν το θεώρημα για τη μεταφορά όρων από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην αντίθετη και για τον πολλαπλασιασμό και των δύο πλευρών της εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. Κατά την επίλυση μιας ανισότητας, υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ αυτής και μιας εξίσωσης, η οποία έγκειται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε λύση σε μια εξίσωση μπορεί να επαληθευτεί απλώς με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση. Στις ανισότητες, αυτή η μέθοδος απουσιάζει, αφού δεν είναι δυνατό να αντικατασταθούν αμέτρητες λύσεις στην αρχική ανισότητα. Επομένως, υπάρχει μια σημαντική έννοια, αυτά τα βέλη<=>είναι ένα σημάδι ισοδύναμων, ή ισοδύναμων, μετασχηματισμών. Ο μετασχηματισμός ονομάζεται ισοδύναμος,ή ισοδύναμος, εάν δεν αλλάξουν το σύνολο των λύσεων.

Παρόμοιοι κανόνες για την επίλυση ανισοτήτων.

Αν μετακινήσουμε οποιονδήποτε όρο από το ένα μέρος της ανισότητας σε ένα άλλο, αντικαθιστώντας το πρόσημο του με το αντίθετο, λαμβάνουμε μια ανισότητα ισοδύναμη με αυτήν.

Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο θετικό αριθμό, προκύπτει μια ανισότητα ισοδύναμη με αυτήν.

Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, αντικαθιστώντας το πρόσημο της ανισότητας με το αντίθετο, προκύπτει μια ανισότητα ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Χρησιμοποιώντας αυτά κανόνεςΑς υπολογίσουμε τις παρακάτω ανισώσεις.

1) Ας αναλύσουμε την ανισότητα 2x - 5 > 9.

Αυτό γραμμική ανισότητα, θα βρούμε τη λύση του και θα συζητήσουμε τις βασικές έννοιες.

2x - 5 > 9<=>2x>14(το 5 μετακινήθηκε στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο), μετά τα χωρίσαμε όλα με το 2 και έχουμε x > 7. Ας σχεδιάσουμε το σύνολο των λύσεων στον άξονα Χ

Αποκτήσαμε μια θετικά κατευθυνόμενη δοκό. Σημειώνουμε το σύνολο των λύσεων είτε με τη μορφή ανισότητας x > 7, ή με τη μορφή του διαστήματος x(7; ∞). Ποια είναι μια συγκεκριμένη λύση σε αυτήν την ανισότητα; Για παράδειγμα, x = 10είναι μια ιδιαίτερη λύση σε αυτήν την ανισότητα, x = 12- αυτή είναι επίσης μια ιδιαίτερη λύση σε αυτήν την ανισότητα.

Υπάρχουν πολλές επιμέρους λύσεις, αλλά το καθήκον μας είναι να βρούμε όλες τις λύσεις. Και συνήθως υπάρχουν αμέτρητες λύσεις.

Ας το τακτοποιήσουμε παράδειγμα 2:

2) Λύστε την ανισότητα 4a - 11 > a + 13.

Ας το λύσουμε: ΕΝΑμετακινήστε το στη μία πλευρά 11 μετακινήστε το στην άλλη πλευρά, παίρνουμε 3α< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 η ανισότητα έχει τη μορφή ένα<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3α< 24 <=>ένα< 8 .

Θα εμφανίσουμε επίσης το σετ ένα< 8 , αλλά ήδη στον άξονα ΕΝΑ.

Γράφουμε την απάντηση είτε με τη μορφή ανισότητας α< 8, либо ΕΝΑ(-∞;8), Το 8 δεν ανάβει.