Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων - Υπεραγορά γνώσης. Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. Αντιπαράγωγο της εκθετικής συνάρτησης σε εργασίες UNT Διαφοροποίηση των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων ρύγχους

Θέμα μαθήματος: «Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. Αντιπαράγωγο εκθετικη συναρτηση» σε αναθέσεις UNT

Στόχος : να αναπτύξουν τις δεξιότητες των μαθητών στην εφαρμογή της θεωρητικής γνώσης στο θέμα «Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. Αντιπαράγωγο της εκθετικής συνάρτησης» για την επίλυση προβλημάτων UNT.

Καθήκοντα

Εκπαιδευτικός: συστηματοποίηση της θεωρητικής γνώσης των μαθητών, εδραίωση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων σε αυτό το θέμα.

Εκπαιδευτικός:ανάπτυξη μνήμης, παρατήρησης, λογική σκέψη, μαθηματική ομιλία, προσοχή, αυτοεκτίμηση και αυτοέλεγχο των μαθητών.

Εκπαιδευτικός:συμβάλλει:

ανάπτυξη μιας υπεύθυνης στάσης απέναντι στη μάθηση μεταξύ των μαθητών·

ανάπτυξη βιώσιμου ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά·

δημιουργώντας θετικά εσωτερικά κίνητρα για τη μελέτη των μαθηματικών.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: λεκτική, οπτική, πρακτική.

Μορφές εργασίας:ατομική, μετωπική, ανά ζεύγη.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Επίγραμμα: «Το μυαλό δεν βρίσκεται μόνο στη γνώση, αλλά και στην ικανότητα εφαρμογής της γνώσης στην πράξη» Αριστοτέλης (διαφάνεια 2)

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου.

II. Επίλυση του σταυρόλεξου. (διαφάνεια 3-21)

Ο Γάλλος μαθηματικός του 17ου αιώνα Πιερ Φερμά όρισε αυτή τη γραμμή ως «Η ευθεία που βρίσκεται πιο κοντά στην καμπύλη σε μια μικρή γειτονιά του σημείου».

Εφαπτομένη γραμμή

Μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = log έναΧ.

Λογαριθμική

Μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = ΕΝΑΧ.

Ενδεικτικός

Στα μαθηματικά, αυτή η έννοια χρησιμοποιείται για την εύρεση της ταχύτητας κίνησης. υλικό σημείοκαι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Παράγωγο

Πώς ονομάζεται η συνάρτηση F(x) για τη συνάρτηση f(x), εάν η συνθήκη F"(x) =f(x) ικανοποιείται για οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα I.

Αντιπαράγωγο

Πώς ονομάζεται η σχέση μεταξύ X και Y, στην οποία κάθε στοιχείο του X συνδέεται με ένα μόνο στοιχείο του Y.

Παράγωγο μετατόπισης

Ταχύτητα

Μια συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = e x.

Εκθέτης

Εάν μια συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως f(x)=g(t(x)), τότε αυτή η συνάρτηση ονομάζεται...

III. Μαθηματική υπαγόρευση (διαφάνεια 22)

1. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης. ( ΕΝΑ x)" = ΕΝΑ x ln ένα

2. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής. (ε χ)" = ε χ

3. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου. (ln x)"=

4. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο μιας λογαριθμικής συνάρτησης. (κούτσουρο ένα x)" =

5. Να γράψετε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = ΕΝΑΧ. F(x)=

6. Να γράψετε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Ελέγξτε την εργασία σας (απαντήσεις στη διαφάνεια 23).

IV. Επίλυση προβλημάτων UNT (προσομοιωτής)

Α) Αρ. 1,2,3,6,10,36 στον πίνακα και στο τετράδιο (διαφάνεια 24)

Β) Εργασία σε ζευγάρια Νο. 19,28 (προσομοιωτής) (διαφάνεια 25-26)

V. 1. Εύρεση σφαλμάτων: (διαφάνεια 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4x), f "(x)=
.

VI. Παρουσίαση μαθητή.

Επίγραμμα: «Η γνώση είναι τόσο πολύτιμο πράγμα που δεν είναι ντροπή να την αποκτήσεις από οποιαδήποτε πηγή» Thomas Aquinas (διαφάνεια 28)

VII. Εργασία Νο 19,20 σελ.116

VIII. Δοκιμή (δέσμευση εργασίας) (διαφάνεια 29-32)

IX. Περίληψη μαθήματος.

«Αν θέλεις να συμμετέχεις μεγάλη ζωή, μετά γέμισε το κεφάλι σου με μαθηματικά όσο έχεις την ευκαιρία. Στη συνέχεια θα σας προσφέρει μεγάλη βοήθεια σε όλη σας τη ζωή» M. Kalinin (διαφάνεια 33)

Μάθημα Άλγεβρας στην 11η τάξη με θέμα: "Διαφοροποίηση και ολοκλήρωση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων"

Στόχοι μαθήματος:

Συστηματοποιήστε το υλικό που μελετήθηκε με θέμα «Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις».

Να αναπτύξει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων που περιλαμβάνουν διαφοροποίηση και ολοκλήρωση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων.

Εκμεταλλευτείτε τις ευκαιρίες Τεχνολογίες πληροφορικήςνα αναπτύξουν κίνητρα για μελέτη σύνθετων θεμάτων στη μαθηματική ανάλυση.

Αναφέρετε τις απαιτήσεις για την ολοκλήρωση της δοκιμαστικής εργασίας σε αυτό το θέμα στο επόμενο μάθημα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Οργανωτική στιγμή (1 – 2 λεπτά).

Ο δάσκαλος κοινοποιεί τους στόχους του μαθήματος.

Η τάξη χωρίζεται σε 4 ομάδες.

II. Έρευνα Blitz με χρήση τύπων (εργασία για το σπίτι).

Συνομιλία με τη μορφή διαλόγου με τους μαθητές.

Ας υποθέσουμε ότι καταθέσατε 10.000 ρούβλια σε μια τράπεζα με επιτόκιο 12% ετησίως. Σε πόσα χρόνια θα διπλασιαστεί η επένδυσή σας;

Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: , δηλαδή Πως?

Πρέπει να πάμε στη βάση 10, δηλαδή (χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή)

Έτσι, ο διπλασιασμός της εισφοράς θα επέλθει σε έξι χρόνια (λίγο παραπάνω).

Εδώ χρειαζόμασταν μια φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση. Ποιους τύπους που σχετίζονται με τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων γνωρίζετε; (όλοι οι τύποι προέρχονται από τις σελίδες του σχολικού βιβλίου, σελ. 81, σελ. 86).

Ερωτήσεις μεταξύ τους σε μια αλυσίδα.

Ερωτήσεις για τον δάσκαλο.

Ο δάσκαλος ζητά να αντλήσει 1–2 τύπους.

Σε ξεχωριστά μικρά κομμάτια χαρτιού υπάρχει μια μαθηματική υπαγόρευση για τη γνώση των τύπων. Σε εξέλιξη βρίσκεται αμοιβαίος έλεγχος. Οι ηλικιωμένοι στις ομάδες εμφανίζουν τη μέση αριθμητική βαθμολογία και την εισάγουν στον πίνακα.

Πίνακας δραστηριοτήτων

Είδος δραστηριότητας
1. Γνώση τύπων.
2. Ατομικές γνώσεις. Δουλέψτε σε ζευγάρια.
3. Προφορική εργασία.
4. Τεστ ελέγχου (αξιολόγηση υπολογιστή).
5. Ανεξάρτητη εργασία(υποχρεωτικές εργασίες επιπέδου).
6. Καθήκοντα αυξημένης πολυπλοκότητας.

III. Προφορική εργασία:

Προσδιορίστε τον αριθμό των λύσεων των εξισώσεων.

ΕΝΑ) ;

ΣΙ) ;

Αφού απαντήσουν οι μαθητές χρησιμοποιώντας τον προβολέα, εμφανίζονται γραφήματα στην οθόνη.

ΕΝΑ) 2 λύσεις

ΣΙ) 1 λύση

Επιπλέον ερώτηση:Εύρημα υψηλότερη τιμήλειτουργίες

Μια φθίνουσα συνάρτηση είναι μεγαλύτερη όταν ο δείκτης έχει μικρότερη τιμή.

(2 τρόποι)

IV. Ατομική δουλειά.

Κατά τη διάρκεια της προφορικής εργασίας, 2 άτομα από κάθε ομάδα εργάζονται σε ατομικές εργασίες.

1ος όμιλος:Το ένα εξερευνά τη συνάρτηση, το δεύτερο έχει ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης στον διαδραστικό πίνακα.

Επιπλέον ερώτηση:. Απάντηση: (Αριθμός μι? Βλέπε σελίδα 86 του σχολικού βιβλίου).

Ομάδα 2:Βρείτε μια καμπύλη που διέρχεται από το σημείο n (0, 2) εάν η κλίση της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης είναι ίση με το γινόμενο των συντεταγμένων του σημείου εφαπτομένης. Ενα είναι διαφορική εξίσωσηκαι βρίσκει μια γενική λύση, η δεύτερη βρίσκει μια συγκεκριμένη λύση χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες.

Απάντηση:

Επιπλέον ερώτηση:Γιατί η γωνία είναι ίσημεταξύ της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στο σημείο X=0 στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = μι x και x-άξονας. (45 o)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης ονομάζεται "εκθέτης" (Βρείτε πληροφορίες σχετικά με αυτό στο σχολικό βιβλίο και ελέγξτε το σκεπτικό σας με τις επεξηγήσεις στο σχολικό βιβλίο, σελίδα 86).

Ομάδα 3:

Συγκρίνω

Το ένα συγκρίνει χρησιμοποιώντας μικροαριθμομηχανή και το άλλο χωρίς.

Επιπλέον ερώτηση:Προσδιορίστε σε τι x0 είναι η ισότητα;

Απάντηση: x = 2 0,5.

Ομάδα 4:Αποδείξτε το

Απόδειξη με διαφορετικούς τρόπους.

Επιπλέον ερώτηση:Βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή μι 1.01. Συγκρίνετε την αξία σας με την απάντηση στο παράδειγμα 2 (σελίδα 86 του σχολικού βιβλίου).

V. Εργασία με το σχολικό βιβλίο.

Τα παιδιά καλούνται να εξετάσουν παραδείγματα από το παράδειγμα 1 - παράδειγμα 9 (σελίδες 81 - 84 του σχολικού βιβλίου). Με βάση αυτά τα παραδείγματα, εκτελέστε δοκιμές ελέγχου.

VI. Δοκιμές ελέγχου.

Εργασία στην οθόνη. Γίνεται μια συζήτηση. Επιλέγεται η σωστή απάντηση και παρέχεται αιτιολόγηση. Ο υπολογιστής δίνει βαθμολογία. Ο μεγαλύτερος στην ομάδα σημειώνει στον πίνακα τη δραστηριότητα των συντρόφων του κατά τη διάρκεια της δοκιμής.

1) Δίνεται μια λειτουργία f(x)= 2-e 3x . Προσδιορίστε σε ποια τιμή του C διέρχεται από το σημείο η γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου F(x)+C Μ (1/3;-μι/3)

Απάντηση: α) μι-1 ; β) 5/8; γ) -2/3; δ) 2.

2) Δίνεται μια λειτουργία f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Εύρημα φά"(2/3)

Απάντηση: α) -1; β) 45/13; γ) 1/3; δ) 2.

3) Ικανοποιεί η λειτουργία y = ε τσεκούριεξίσωση y" = αι.

Απάντηση: α) ναι. β) όχι? γ) όλα εξαρτώνται και από τα δύο. δ) είναι αδύνατο να πούμε με βεβαιότητα.

VII. Ανεξάρτητη εργασία.

Εργασίες υποχρεωτικού επιπέδου: Βρείτε ακραία σημεία συναρτήσεων.

		III ομάδα

Ο μεγαλύτερος στην ομάδα βάζει βαθμούς για αυτήν την εργασία στον πίνακα.

Αυτή τη στιγμή, ένα άτομο από κάθε ομάδα εργάζεται στον πίνακα με εργασίες αυξημένης πολυπλοκότητας.

		III ομάδα

Ο δάσκαλος δείχνει την πλήρη γραπτή τεκμηρίωση των εργασιών στην πορεία (προβάλλεται στην οθόνη, αυτό είναι πολύ σημαντικό για την ολοκλήρωση της επόμενης δοκιμαστικής εργασίας).

VIII. Εργασία για το σπίτι.

IX. Περίληψη μαθήματος:

Βαθμολογία λαμβάνοντας υπόψη τους βαθμούς που έλαβε Πρότυπα βαθμών για την επερχόμενη δοκιμαστική εργασία στο επόμενο μάθημα.

Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

1. Αριθμός ε. Συνάρτηση y = e x, οι ιδιότητές της, γράφημα, διαφοροποίηση

Ας εξετάσουμε μια εκθετική λειτουργία y=a x, όπου a > 1. Για διαφορετικές βάσεις a παίρνουμε διαφορετικές γραφικές παραστάσεις (Εικ. 232-234), αλλά μπορείτε να παρατηρήσετε ότι όλες περνούν από το σημείο (0; 1), όλες έχουν μια οριζόντια ασύμπτωτη y = 0 στο , όλα είναι κυρτά στραμμένα προς τα κάτω και, τέλος, όλα έχουν εφαπτόμενες σε όλα τα σημεία τους. Ας σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, μια εφαπτομένη γραφικάσυνάρτηση y=2x στο σημείο x = 0 (Εικ. 232). Εάν κάνετε ακριβείς κατασκευές και μετρήσεις, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι αυτή η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία 35° (περίπου) με τον άξονα x.

Τώρα ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 3 x, επίσης στο σημείο x = 0 (Εικ. 233). Εδώ η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα x θα είναι μεγαλύτερη - 48°. Και για την εκθετική συνάρτηση y = 10 x σε παρόμοια
κατάσταση παίρνουμε γωνία 66,5° (Εικ. 234).

Έτσι, εάν η βάση α της εκθετικής συνάρτησης y=ax αυξάνεται σταδιακά από 2 σε 10, τότε η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο x=0 και του άξονα x αυξάνεται σταδιακά από 35° σε 66,5 °. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι υπάρχει μια βάση α για την οποία η αντίστοιχη γωνία είναι 45°. Αυτή η βάση πρέπει να περικλείεται μεταξύ των αριθμών 2 και 3, αφού για τη συνάρτηση y-2x η γωνία που μας ενδιαφέρει είναι 35°, δηλαδή μικρότερη από 45°, και για τη συνάρτηση y=3 x ισούται με 48° , που είναι ήδη λίγο περισσότερο από 45 °. Η βάση που μας ενδιαφέρει συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα ε. Έχει διαπιστωθεί ότι ο αριθμός e είναι παράλογος, δηλ. αντιπροσωπεύει ένα άπειρο δεκαδικό μη περιοδικό κλάσμα:

e = 2,7182818284590...;

στην πράξη συνήθως θεωρείται ότι e=2,7.

Σχόλιο(όχι πολύ σοβαρό). Είναι σαφές ότι ο Λ.Ν. Ο Τολστόι δεν έχει καμία σχέση με τον αριθμό e, ωστόσο, γράφοντας τον αριθμό e, σημειώστε ότι ο αριθμός 1828 επαναλαμβάνεται δύο φορές στη σειρά - το έτος γέννησης του L.N. Τολστόι.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=e x φαίνεται στο Σχ. 235. Αυτή είναι μια εκθετική που διαφέρει από άλλες εκθετικές (γραφήματα εκθετικών συναρτήσεων με άλλες βάσεις) στο ότι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση στο σημείο x=0 και του άξονα x είναι 45°.

Ιδιότητες της συνάρτησης y = e x:

1)
2) δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός.
3) αυξάνει?
4) δεν περιορίζεται από πάνω, περιορίζεται από κάτω.
5) δεν έχει ούτε τις μεγαλύτερες ούτε τις μικρότερες τιμές.
6) συνεχής?
7)
8) κυρτό προς τα κάτω.
9) διαφοροποιήσιμο.

Επιστρέψτε στην § 45, κοιτάξτε τη λίστα των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης y = a x για a > 1. Θα βρείτε τις ίδιες ιδιότητες 1-8 (που είναι αρκετά φυσικό) και την ένατη ιδιότητα που σχετίζεται με
τότε δεν αναφέραμε τη διαφοροποίηση της συνάρτησης. Ας το συζητήσουμε τώρα.

Ας εξαγάγουμε έναν τύπο για την εύρεση της παραγώγου y-ex. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα χρησιμοποιήσουμε τον συνηθισμένο αλγόριθμο, τον οποίο αναπτύξαμε στην § 32 και ο οποίος έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία περισσότερες από μία φορές. Σε αυτόν τον αλγόριθμο, στο τελικό στάδιο είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το όριο και οι γνώσεις μας για τη θεωρία των ορίων είναι ακόμα πολύ, πολύ περιορισμένες. Ως εκ τούτου, θα βασιστούμε σε γεωμετρικές προϋποθέσεις, λαμβάνοντας υπόψη, ειδικότερα, το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μιας εφαπτομένης στο γράφημα της εκθετικής συνάρτησης χωρίς αμφιβολία (γι' αυτό καταγράψαμε με τόση αυτοπεποίθηση την ένατη ιδιότητα στην παραπάνω λίστα ιδιοτήτων - η διαφοροποίηση της συνάρτησης y = e x).

1. Σημειώστε ότι για τη συνάρτηση y = f(x), όπου f(x) =ex, γνωρίζουμε ήδη την τιμή της παραγώγου στο σημείο x =0: f / = tan45°=1.

2. Ας εισάγουμε τη συνάρτηση y=g(x), όπου g(x) -f(x-a), δηλ. g(x)-ex" α. Το σχήμα 236 δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = g(x): λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y - fx) μετατοπίζοντας κατά μήκος του άξονα x κατά |a| μονάδες κλίμακας Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = g (x) σε σημείο x-aείναι παράλληλη στην εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο x -0 (βλ. Εικ. 236), που σημαίνει ότι σχηματίζει γωνία 45° με τον άξονα x. Χρησιμοποιώντας γεωμετρική σημασίαπαράγωγο, μπορούμε να γράψουμε ότι g(a) =tg45°;=1.

3. Ας επιστρέψουμε στη συνάρτηση y = f(x). Εχουμε:

4. Έχουμε διαπιστώσει ότι για οποιαδήποτε τιμή του a η σχέση ισχύει. Αντί για το γράμμα a, μπορείτε φυσικά να χρησιμοποιήσετε το γράμμα x. τότε παίρνουμε

Από αυτόν τον τύπο λαμβάνουμε τον αντίστοιχο τύπο ολοκλήρωσης:

Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra 10η τάξη

Ημερολογιακός-θεματικός προγραμματισμός στα μαθηματικά, βίντεοστα μαθηματικά online, Λήψη μαθηματικών στο σχολείο

Περιεχόμενο μαθήματος σημειώσεις μαθήματοςυποστήριξη μεθόδων επιτάχυνσης παρουσίασης μαθήματος διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις αυτοδιαγνωστικά εργαστήρια, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες, γραφικά, πίνακες, διαγράμματα, χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, κόμικς, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα κόλπα για την περίεργη κούνια σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον λεξικό όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τμήματος σε ένα σχολικό βιβλίο, στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα, αντικατάσταση ξεπερασμένων γνώσεων με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματα ημερολογιακό σχέδιογια έναν χρόνο Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης

Διαφοροποίηση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

Συντάχθηκε από:

καθηγητής μαθηματικών, Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Γυμνάσιο Νο 203 KhEC

πόλη Νοβοσιμπίρσκ

Vidutova T.V.

Αριθμός μι.Λειτουργία y = ε Χ, τις ιδιότητές του, γράφημα, διαφοροποίηση

1. Ας δημιουργήσουμε γραφήματα για διάφορες βάσεις: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2η επιλογή) (1η επιλογή) " width="640"

Θεωρήστε την εκθετική συνάρτηση y = α Χ, όπου a είναι 1.

Θα χτίσουμε για διάφορες βάσεις ΕΝΑ γραφικά:

1. y=2 Χ

3. y=10 Χ

2. y=3 Χ

(Επιλογή 2)

(1 επιλογή)

1) Όλα τα γραφήματα περνούν από το σημείο (0; 1).

2) Όλα τα γραφήματα έχουν οριζόντια ασύμπτωτη y = 0

στο Χ  ∞;

3) Όλα είναι κυρτά στραμμένα προς τα κάτω.

4) Όλα έχουν εφαπτόμενες σε όλα τα σημεία τους.

Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2 Χ στο σημείο Χ= 0 και μετράμε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα Χ

Χρησιμοποιώντας ακριβείς κατασκευές των εφαπτομένων στα γραφήματα, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι αν η βάση ΕΝΑεκθετικη συναρτηση y = α Χη βάση αυξάνεται σταδιακά από το 2 στο 10 και στη συνέχεια η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο Χ= 0 και ο άξονας x αυξάνεται σταδιακά από 35' σε 66,5'.

Επομένως υπάρχει λόγος ΕΝΑ, για το οποίο η αντίστοιχη γωνία είναι 45’. Και αυτό είναι το νόημα ΕΝΑσυνάπτεται μεταξύ 2 και 3, επειδή στο ΕΝΑ= 2 η γωνία είναι 35', με ΕΝΑ= 3 ισούται με 48’.

Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδεικνύεται ότι αυτό το θεμέλιο υπάρχει· συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα μι.

Καθόρισε ότι μι – παράλογος αριθμός, δηλαδή, αντιπροσωπεύει ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα:

e = 2,7182818284590… ;

Στην πράξη συνήθως υποτίθεται ότι μι ≈ 2,7.

Γράφημα συνάρτησης και ιδιότητες y = ε Χ :

1) Δ(στ) = (- ∞; + ∞);

3) αυξάνει?

4) δεν περιορίζεται από πάνω, περιορίζεται από κάτω

5) δεν έχει ούτε το μεγαλύτερο ούτε το μικρότερο

αξίες;

6) συνεχής?

7) Ε(στ) = (0; + ∞);

8) κυρτό προς τα κάτω.

9) διαφοροποιήσιμο.

Λειτουργία y = ε Χ που ονομάζεται εκθέτης .

Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση y = ε Χ έχει παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο Χ :

(μι Χ ) = ε Χ

(μι 5x )" = 5e 5x

(μι x-3 )" = ε x-3

(μι -4x+1 )" = -4е -4x-1

Παράδειγμα 1 . Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = π.χ

Απάντηση:

Παράδειγμα 2 .

Χ = 3.

Παράδειγμα 3 .

Εξετάστε τη συνάρτηση ακραίου

x=0 και x=-2

Χ= -2 – μέγιστο σημείο

Χ= 0 – ελάχιστος βαθμός

Αν η βάση ενός λογαρίθμου είναι ένας αριθμός μι, τότε λένε ότι δίνεται φυσικός λογάριθμος . Για φυσικούς λογάριθμουςεισήχθη ειδική ονομασία ln (l – λογάριθμος, n – φυσικός).

Γράφημα και ιδιότητες της συνάρτησης y = ln x

Ιδιότητες της συνάρτησης y = lnx:

1) Δ(στ) = (0; + ∞);

2) δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός.

3) αυξάνεται κατά (0; + ∞);

4) δεν περιορίζεται?

5) δεν έχει ούτε τις μεγαλύτερες ούτε τις μικρότερες τιμές.

6) συνεχής?

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) κυρτή κορυφή.

9) διαφοροποιήσιμο.

0 ισχύει ο τύπος διαφοροποίησης "width="640".

Στην πορεία της μαθηματικής ανάλυσης αποδεικνύεται ότι για οποιαδήποτε τιμή x0ισχύει ο τύπος διαφοροποίησης

Παράδειγμα 4:

Υπολογίστε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο Χ = -1.

Για παράδειγμα:

Πηγές Διαδικτύου:

http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/
http://900igr.net/prezentatsii
http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Περίγραμμα μαθήματος

Θέμα: Άλγεβρα

Ημερομηνία: 04/2/13.

Τάξη: 11η τάξη

Δάσκαλος: Tyshibaeva N.Sh.

Θέμα: Διαφοροποίηση λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων. Αντιπαράγωγος της εκθετικής συνάρτησης.

Στόχος:

1) Διατυπώστε τύπους για παραγώγους λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων. διδάξτε πώς να βρείτε την αντιπαράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης

2) να αναπτύξουν τη μνήμη, την παρατήρηση, τη λογική σκέψη, τη μαθηματική ομιλία των μαθητών, την ικανότητα ανάλυσης και σύγκρισης, ανάπτυξη γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα.

3) αναφέρω επικοινωνιακή κουλτούραμαθητές, δεξιότητες συλλογικής δραστηριότητας, συνεργασίας, αλληλοβοήθειας.

Τύπος μαθήματος: επεξήγηση νέου υλικού και εμπέδωση αποκτηθεισών γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Εξοπλισμός : κάρτες, διαδραστικός πίνακας.

Τεχνολογία: διαφοροποιημένη προσέγγιση

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

1.Οργ. στιγμή .(2min) .

2. Επίλυση σταυρόλεξου (8 λεπτά)

1. Ο Γάλλος μαθηματικός του 17ου αιώνα Πιερ Φερμά όρισε αυτή τη γραμμή ως «Η ευθεία που βρίσκεται πιο κοντά στην καμπύλη σε μια μικρή γειτονιά του σημείου».

Εφαπτομένη γραμμή

2.Συνάρτηση, η οποία δίνεται από τον τύπο y =ένα x.

Ενδεικτικός

3.Συνάρτηση, η οποία δίνεται από τον τύπο y = logτσεκούρι.

Λογαριθμική

4. Παράγωγος μετατόπισης

Ταχύτητα

5.Πώς ονομάζεται η συνάρτηση F(x) για τη συνάρτηση f(x), αν η συνθήκη F"(x) =f(x) ικανοποιείται για οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα I.

Αντιπαράγωγο

6. Πώς ονομάζεται η σχέση μεταξύ X και Y, στην οποία κάθε στοιχείο του X συνδέεται με ένα μόνο στοιχείο του Y.

Λειτουργία

7. Αν η συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή f(x)=g(t(x)), τότε αυτή η συνάρτηση ονομάζεται...

Συγκρότημα

Κάθετη λέξη επώνυμο Γάλλου μαθηματικού και μηχανικού

Lagrange

3.Επεξήγηση νέου υλικού: (10 λεπτά)

Η εκθετική συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού έχει μια παράγωγο και αυτή η παράγωγος βρίσκεται από τον τύπο:

(.n a στον τύπο αντικαθιστούμε τον αριθμόκαι στο ε, παίρνουμε

(e x)" = e x_ τύπος παράγωγο της εκθετικής
Μια λογαριθμική συνάρτηση έχει μια παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο στο πεδίο ορισμού της και αυτή η παράγωγος βρίσκεται από τον τύπο:

(log a x)" = αντικαταστήστε τον αριθμό στον τύποκαι στο ε, παίρνουμε

Εκθετική συνάρτηση y =(ΕΝΑ σε οποιοδήποτε σημείο στον τομέα ορισμού έχει ένα αντιπαράγωγο και αυτό το αντιπαράγωγο βρίσκεται με τον τύπο F(x) =+ Γ

4. Ενοποίηση νέου υλικού (20 λεπτά)

Μαθηματική υπαγόρευση.

1.Γράψτε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης (αΧ )"

(a x)" = a x ln a

2. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής. (μιΧ )"

(e x )" = e x

3. Να γράψετε τον τύπο για την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

4. Γράψτε τον τύπο για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης (logα χ)"=;

(log a x)" =

5. Να γράψετε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = aΧ .