Με αυτό ηλεκτρονική αριθμομηχανήμπορείτε να βρείτε την εξίσωση του αεροπλάνου που διέρχεται δεδομένο σημείοκαι παράλληλα με αυτό το επίπεδο. Δεδομένος αναλυτική λύσημε εξηγήσεις. Για να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου, πληκτρολογήστε τις συντεταγμένες του σημείου και τους συντελεστές της εξίσωσης του επιπέδου στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Επίλυση".
×
Προειδοποίηση
Διαγραφή όλων των κελιών;
Κλείσιμο Clear
Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.
Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι παράλληλο σε ένα δεδομένο επίπεδο - θεωρία, παραδείγματα και λύσεις
Ας δοθεί ένας βαθμός Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) και εξίσωση επιπέδου
Όλα τα παράλληλα επίπεδα έχουν συγγραμμικά κανονικά διανύσματα. Επομένως, να κατασκευαστεί ένα επίπεδο παράλληλο με το (1) που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) πρέπει να ληφθεί ως το κανονικό διάνυσμα του επιθυμητού επιπέδου, το κανονικό διάνυσμα n=(Α, Β, Γ) αεροπλάνο (1). Στη συνέχεια, πρέπει να βρείτε μια τέτοια τιμή ρε, σε ποιο σημειο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) ικανοποιήθηκε η εξίσωση επιπέδου (1):
Αντικατάσταση της τιμής ρεαπό (3) έως (1), παίρνουμε:
Η εξίσωση (5) είναι η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) και παράλληλα με το επίπεδο (1).
Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (1, −6, 2) και παράλληλα στο επίπεδο:
Αντικατάσταση συντεταγμένων σημείων Μ 0 και τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος στο (3), λαμβάνουμε.
Ας εξετάσουμε το επίπεδο Q στο χώρο. Η θέση του καθορίζεται πλήρως καθορίζοντας το διάνυσμα N κάθετο σε αυτό το επίπεδο και κάποιο σταθερό σημείο που βρίσκεται στο επίπεδο Q. Το διάνυσμα N κάθετο στο επίπεδο Q ονομάζεται κανονικό διάνυσμα αυτού του επιπέδου. Αν συμβολίσουμε με Α, Β και Γ τις προβολές του κανονικού διανύσματος Ν, τότε
Ας εξαγάγουμε την εξίσωση του επιπέδου Q που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και έχει ένα δεδομένο κανονικό διάνυσμα . Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα διάνυσμα που συνδέει ένα σημείο με ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο Q (Εικ. 81).
Για οποιαδήποτε θέση του σημείου M στο επίπεδο Q, το διάνυσμα MHM είναι κάθετο στο κανονικό διάνυσμα N του επιπέδου Q. Επομένως, το βαθμωτό γινόμενο Ας γράψουμε το βαθμωτό γινόμενο ως προς τις προβολές. Αφού το , και είναι διάνυσμα, λοιπόν
και ως εκ τούτου
Δείξαμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο Q ικανοποιούν την εξίσωση (4). Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων που δεν βρίσκονται στο επίπεδο Q δεν ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση (στην τελευταία περίπτωση). Κατά συνέπεια, έχουμε λάβει την απαιτούμενη εξίσωση για το επίπεδο Q. Η εξίσωση (4) ονομάζεται εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο. Είναι πρώτου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες
Έτσι, δείξαμε ότι κάθε επίπεδο αντιστοιχεί σε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς τις τρέχουσες συντεταγμένες.
Παράδειγμα 1. Γράψτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από σημείο κάθετο στο διάνυσμα.
Λύση. Εδώ . Με βάση τον τύπο (4) παίρνουμε
ή, μετά από απλοποίηση,
Δίνοντας στους συντελεστές A, B και C της εξίσωσης (4) διαφορετικές τιμές, μπορούμε να λάβουμε την εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου που διέρχεται από το σημείο . Το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο ονομάζεται δέσμη επιπέδων. Η εξίσωση (4), στην οποία οι συντελεστές A, B και C μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές, ονομάζεται εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων.
Παράδειγμα 2. Δημιουργήστε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία (Εικ. 82).
Λύση. Ας γράψουμε την εξίσωση για μια δέσμη επιπέδων που διέρχονται από το σημείο
Αυτό το άρθρο περιέχει τις απαραίτητες πληροφορίες για την επίλυση του προβλήματος της σύνθεσης της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία και ένα δεδομένο σημείο. Αφού λύσουμε αυτό το πρόβλημα σε γενική μορφή, θα παρουσιάσουμε λεπτομερείς λύσεις σε παραδείγματα σύνθεσης της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία και σημείο.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία και ένα δεδομένο σημείο.
Αφήστε το Oxyz να είναι σταθερό σε τρισδιάστατο χώρο, να δοθεί μια ευθεία α και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στην ευθεία α. Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον: να λάβουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την ευθεία a και το σημείο M 3.
Αρχικά, θα δείξουμε ότι υπάρχει ένα μόνο επίπεδο για το οποίο πρέπει να κατασκευάσουμε μια εξίσωση.
Ας θυμηθούμε δύο αξιώματα:
- ένα μόνο επίπεδο διέρχεται από τρία διαφορετικά σημεία στο διάστημα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
- αν δύο διακριτά σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο, τότε όλα τα σημεία αυτής της ευθείας βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.
Από αυτές τις δηλώσεις προκύπτει ότι ένα μοναδικό επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί μέσω μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτήν. Έτσι, στο πρόβλημα που θέσαμε, ένα μόνο επίπεδο διέρχεται από την ευθεία α και το σημείο Μ 3, και πρέπει να γράψουμε την εξίσωση αυτού του επιπέδου.
Τώρα ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία α και σημείο .
Εάν η ευθεία a δίνεται υποδεικνύοντας τις συντεταγμένες δύο διαφορετικών σημείων M 1 και M 2 που βρίσκονται πάνω της, τότε το καθήκον μας περιορίζεται στην εύρεση της εξίσωσης του επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία M 1, M 2 και M 3.
Αν η ευθεία a δίνεται διαφορετικά, τότε πρέπει πρώτα να βρούμε τις συντεταγμένες δύο σημείων M 1 και M 2 που βρίσκονται στην ευθεία a και μετά να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία M 1, M 2 και M 3, που θα είναι η επιθυμητή εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την ευθεία a και το σημείο M 3.
Ας μάθουμε πώς να βρούμε τις συντεταγμένες δύο διαφορετικών σημείων M 1 και M 2 που βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία α.
Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο χώρο, οποιαδήποτε ευθεία αντιστοιχεί σε ορισμένες εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο. Θα υποθέσουμε ότι η μέθοδος προσδιορισμού μιας ευθείας γραμμής a στη δήλωση του προβλήματος μας επιτρέπει να λάβουμε τις παραμετρικές της εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο της μορφής 
. Έπειτα, έχοντας αποδεχθεί, έχουμε το νόημα 
, ξαπλωμένος στη γραμμή α. Δίνοντας στην παράμετρο μια μη μηδενική πραγματική τιμή, από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας α μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 2, που βρίσκονται επίσης στην ευθεία α και διαφορετικές από το σημείο Μ 1.
Μετά από αυτό, θα πρέπει μόνο να γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία διαφορετικά και δεν βρίσκεται στα ίδια σημεία ευθείας γραμμής και, με τη μορφή 
.
Έτσι, έχουμε λάβει την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία a και ένα δεδομένο σημείο M 3 που δεν βρίσκεται στην ευθεία a.
Παραδείγματα σύνθεσης της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και μια ευθεία γραμμή.
Θα δείξουμε λύσεις σε πολλά παραδείγματα στα οποία θα αναλύσουμε την εξεταζόμενη μέθοδο εύρεσης της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από μια δεδομένη ευθεία και ένα δεδομένο σημείο.
Ας ξεκινήσουμε με την πιο απλή περίπτωση.
Παράδειγμα.
Λύση.
Ας πάρουμε δύο διαφορετικά σημεία στη γραμμή συντεταγμένων Ox, για παράδειγμα, και .
Τώρα παίρνουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία M 1, M 2 και M 3: 
Αυτή η εξίσωση είναι η επιθυμητή γενική εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τη δεδομένη ευθεία γραμμή Ox και το σημείο 
.
Απάντηση:
.
Εάν είναι γνωστό ότι το επίπεδο διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και μια δεδομένη ευθεία και πρέπει να γράψετε μια εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα ή μια κανονική εξίσωση του επιπέδου, τότε θα πρέπει πρώτα να λάβετε τη γενική εξίσωση του δεδομένου επιπέδου, και από αυτήν προχωρήστε στην εξίσωση του επιπέδου του απαιτούμενου τύπου.
Παράδειγμα.
Συνθέτω κανονική εξίσωσηαεροπλάνο που διέρχεται από τη γραμμή 
και περίοδος 
.
Λύση.
Αρχικά, ας γράψουμε τη γενική εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τις συντεταγμένες δύο διαφορετικών σημείων που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή . Παραμετρικές εξισώσειςαυτή η γραμμή έχει τη μορφή 
. Έστω το σημείο M 1 αντιστοιχεί στην τιμή και το σημείο M 2 -. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων M 1 και M 2: 
Τώρα μπορούμε να γράψουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο και άμεση :
Απομένει να ληφθεί η απαιτούμενη μορφή της εξίσωσης επιπέδου πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με έναν παράγοντα κανονικοποίησης 
.
Απάντηση:
.
Έτσι, η εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και μια δεδομένη ευθεία εξαρτάται από την εύρεση των συντεταγμένων δύο διαφορετικών σημείων που βρίσκονται σε μια δεδομένη ευθεία. Αυτή είναι συχνά η κύρια δυσκολία στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε τη λύση του παραδείγματος συνθέτοντας την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και μια ευθεία γραμμή, η οποία καθορίζεται από τις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων.
Παράδειγμα.
Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz δίνεται ένα σημείο και μια ευθεία γραμμή a, που είναι η γραμμή τομής δύο επιπέδων 
Και 
. Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την ευθεία α και το σημείο Μ 3.
Τρία σημεία στο χώρο που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ορίζουν ένα μόνο επίπεδο. Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία Μ 1 (Χ 1 ; στο 1 ; z 1), Μ 2 (Χ 2 ; στο 2 ; z 2), Μ 3 (Χ 3 ; στο 3 ; z 3). Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο στο αεροπλάνο Μ(Χ; στο; z) και συνθέτουν διανύσματα = ( x – x 1 ; στο– στο 1 ; z–z 1), = (Χ 2 - Χ 1 ; στο 2 – στο 1 ; z 2 – z 1), = (Χ 3 - Χ 1 ; στο 3 – στο 1 ; z 3 – z 1). Αυτά τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, επομένως είναι συνεπίπεδα. Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη της συνεπίπεδης τριών διανυσμάτων (το μεικτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν), παίρνουμε ∙ ∙ = 0, δηλαδή
= 0. (3.5)
Καλείται η εξίσωση (3.5). εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία.
Αμοιβαία τακτοποίησηαεροπλάνα στο διάστημα
Γωνία μεταξύ των επιπέδων
Ας δοθούν δύο αεροπλάνα
ΕΝΑ 1 Χ + ΣΕ 1 στο + ΜΕ 1 z + D 1 = 0,
ΕΝΑ 2 Χ + ΣΕ 2 στο + ΜΕ 2 z + D 2 = 0.
Πίσω γωνία μεταξύ των επιπέδωνπαίρνουμε τη γωνία φ μεταξύ οποιωνδήποτε δύο διανυσμάτων κάθετα σε αυτά (που δίνει δύο γωνίες, οξεία και αμβλεία, που αλληλοσυμπληρώνονται με το π). Δεδομένου ότι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων = ( ΕΝΑ 1 , ΣΕ 1 , ΜΕ 1) και = ( ΕΝΑ 2 , ΣΕ 2 , ΜΕ 2) είναι κάθετες σε αυτές, τότε παίρνουμε
cosφ = 
.
Συνθήκη για καθετότητα δύο επιπέδων
Αν δύο επίπεδα είναι κάθετα, τότε τα κανονικά διανύσματα αυτών των επιπέδων είναι επίσης κάθετα και το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν: ∙ = 0. Αυτό σημαίνει ότι η συνθήκη για την καθετότητα δύο επιπέδων είναι
ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + ΣΕ 1 ΣΕ 2 + ΜΕ 1 ΜΕ 2 = 0.
Συνθήκη για παραλληλισμό δύο επιπέδων
Αν τα επίπεδα είναι παράλληλα, τότε και τα κανονικά τους διανύσματα θα είναι παράλληλα. Τότε οι συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων με το ίδιο όνομα είναι ανάλογες. Αυτό σημαίνει ότι η προϋπόθεση για παράλληλα επίπεδα είναι
= = .
Απόσταση από το σημείοΜ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) Επάνω λωρίδα Ω + Wu + Cz + D = 0.
Απόσταση από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) στο αεροπλάνο Αξ + Wu + Cz + D= 0 είναι το μήκος της καθέτου που σύρεται από αυτό το σημείο στο επίπεδο και βρίσκεται από τον τύπο
d = 
.
Παράδειγμα 1. R(– 1, 2, 7) κάθετα στο διάνυσμα = (3, – 1, 2).
Λύση
Σύμφωνα με την εξίσωση (3.1) παίρνουμε
3(x + 1) – (y – 2) + 2(z – 7) = 0,
3Χ – στο + 2z – 9 = 0.
Παράδειγμα 2.Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο Μ(2; – 3; – 7) παράλληλα με το επίπεδο 2 Χ – 6στο – 3z + 5 = 0.
Λύση
Διάνυσμα = (2; – 6; – 3) κάθετο στο επίπεδο είναι επίσης κάθετο στο παράλληλο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι το επιθυμητό επίπεδο διέρχεται από το σημείο Μ(2; – 3; – 7) κάθετα στο διάνυσμα = (2; – 6; – 3). Ας βρούμε την εξίσωση του επιπέδου χρησιμοποιώντας τον τύπο (3.1):
2(Χ - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,
2Χ – 6στο – 3z – 43 = 0.
Παράδειγμα 3.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Μ 1 (2; 3; – 1) και Μ 2 (1; 5; 3) κάθετα στο επίπεδο 3 Χ – στο + 3z + 15 = 0.
Λύση
Διάνυσμα = (3; – 1; 3) κάθετο στο δεδομένο επίπεδο θα είναι παράλληλο στο επιθυμητό επίπεδο. Έτσι, το αεροπλάνο διέρχεται από τα σημεία Μ 1 και ΜΤο 2 είναι παράλληλο με το διάνυσμα.
Αφήνω Μ(Χ; y; z) αυθαίρετο σημείο του επιπέδου, μετά διανύσματα = ( Χ – 2; στο – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) είναι ομοεπίπεδα, που σημαίνει ότι το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν:
= 0.
Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα επεκτείνοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς:
(Χ – 2) – (στο – 3) + (z + 1) = 0,
10(Χ - 2) – (– 15)(y – 3) + (– 5)(z + 1) = 0,
2(Χ - 2) + 3(y – 3) – (z + 1) = 0,
2x + 3στο – z– 14 = 0 – εξίσωση επιπέδου.
Παράδειγμα 4.Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή που είναι κάθετη στα επίπεδα 2 Χ – στο + 5z+ 3 = 0 και Χ + 3στο – z – 7 = 0.
Λύση
Έστω το κανονικό διάνυσμα του επιθυμητού επιπέδου. Κατά συνθήκη, το επίπεδο είναι κάθετο σε αυτά τα επίπεδα, που σημαίνει και , όπου = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να πάρουμε ως διάνυσμα διανυσματικό προϊόνδιανύσματα και , δηλαδή = × .
= = – 14 + 7 + 7 .
Αντικατάσταση των συντεταγμένων του διανύσματος στην εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την αρχή Ω + Wu + Сz= 0, παίρνουμε
– 14Χ + 7στο + 7z = 0,
2Χ – στο – z = 0.
Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου
1 Γράψτε τη γενική εξίσωση του επιπέδου.
2 Τι είναι γεωμετρική σημασίασυντελεστές για Χ, y, z V γενική εξίσωσηεπίπεδο?
3 Γράψτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 ; y 0 ; z 0) κάθετα στο διάνυσμα = ( ΕΝΑ; ΣΕ; ΜΕ).
4 Γράψτε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα κατά μήκος των αξόνων και υποδείξτε τη γεωμετρική σημασία των παραμέτρων που περιλαμβάνονται σε αυτήν.
5 Γράψτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Μ 1 (Χ 1 ; στο 1 ; z 1), Μ 2 (Χ 2 ; στο 2 ; z 2), Μ 3 (Χ 3 ; στο 3 ; z 3).
6 Γράψτε τον τύπο που χρησιμοποιήθηκε για να βρεθεί η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων.
7 Να γράψετε τις προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό δύο επιπέδων.
8 Να γράψετε την συνθήκη της καθετότητας δύο επιπέδων.
9 Γράψτε τον τύπο που υπολογίζει την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.
Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση
1 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο Μ(2; – 1; 1) κάθετα στο διάνυσμα = (1; – 2; 3). ( Απάντηση: Χ – 2στο + 3z – 7 = 0)
2 Τελεία R(1; – 2; – 2) είναι η βάση της κάθετου που σύρεται από την αρχή στο επίπεδο. Γράψτε μια εξίσωση για αυτό το επίπεδο. ( Απάντηση: Χ – 2στο – 2z – 9 = 0)
3 Δίνονται δύο σημεία Μ 1 (2; – 1; 3) και Μ 2 (– 1; 2; 4). Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο ΜΤο 1 είναι κάθετο στο διάνυσμα. ( Απάντηση: 3Χ – 3στο – z – 6 = 0)
4 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία Μ 1 (3; – 1; 2), Μ 2 (4; – 1; – 1), Μ 3 (2; 0; 2). (Απάντηση: 3Χ + 3στο + z – 8 = 0)
5 Μ 1 (3; – 1; 2) και Μ 2 (2; 1; 3) παράλληλα με το διάνυσμα = (3; – 1; 4). ( Απάντηση: 9Χ + 7στο – 5z – 10 = 0)
6 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο Μ 1 (2; 3; – 4) παράλληλα με τα διανύσματα = (3; 1; – 1) και = (1; – 2; 1). ( Απάντηση: Χ + στο + 7z + 14 = 0)
7 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο Μ(1; – 1; 1) κάθετα στα επίπεδα 2 Χ – στο + z– 1 = 0 και Χ + 2στο – z + 1 = 0. (Απάντηση: Χ – 3στο – 5z + 1 = 0)
8 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Μ 1 (1; 0; 1) και Μ 2 (1; 2; – 3) κάθετα στο επίπεδο Χ – στο + z – 1 = 0. (Απάντηση: Χ + 2στο + z – 2 = 0)
9 Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων 4 Χ – 5στο + 3z– 1 = 0 και Χ – 4στο – z + 9 = 0. (Απάντηση: φ = arccos0,7)
10 Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο Μ(2; – 1; – 1) στο επίπεδο 16 Χ – 12στο + 15z – 4 = 0. (Απάντηση: ρε = 1)
11 Βρείτε το σημείο τομής τριών επιπέδων 5 Χ + 8στο – z – 7 = 0, Χ + 2στο + 3z – 1 = 0, 2Χ – 3στο + 2z – 9 = 0. (Απάντηση: (3; – 1; 0))
12 Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Μ 1 (1; – 2; 6) και Μ 2 (5; – 4; 2) και κόβει ίσα τμήματα στους άξονες ΩΚαι OU. (Απάντηση: 4Χ + 4στο + z – 2 = 0)
13 Βρείτε την απόσταση μεταξύ των αεροπλάνων Χ + 2στο – 2z+ 2 = 0 και 3 Χ + 6στο – 6z – 4 = 0. (Απάντηση: ρε = )
Διάλεξη 5. Επίλυση προβλημάτων με θέμα "Αναλυτική γεωμετρία στο διάστημα"
1. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 (1, -2, 5) παράλληλα στο επίπεδο 7 Χ-y-2z-1=0.
Λύση.Ας υποδηλώσουμε με R δεδομένο αεροπλάνο, ας R 0 – το επιθυμητό παράλληλο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (1, -2, 5).
Θεωρήστε το κανονικό (κάθετο) διάνυσμα 
επίπεδο R. Οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι οι συντελεστές των μεταβλητών στην επίπεδη εξίσωση 
.
Από το αεροπλάνο RΚαι R 0
είναι παράλληλες, τότε το διάνυσμα 
κάθετο στο επίπεδο R 0
, δηλ. 
- κανονικό διάνυσμα του αεροπλάνου R 0
.
Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 ,
y 0 , z 0) με κανονικό 
:
Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 0 και κανονικά διανύσματα 
στην εξίσωση (1):
Ανοίγοντας τις αγκύλες, παίρνουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου (τελική απάντηση):
2. Να συνθέσετε κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από σημείο Μ 0 (-2, 3, 0) παράλληλα στην ευθεία 
.
Λύση.Ας υποδηλώσουμε με μεγάλοδεδομένη ευθεία, ας μεγάλο 0 – την επιθυμητή παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (-2,3,0).
Οδηγός διάνυσμα 
ευθεία μεγάλο(μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν την ευθεία) είναι επίσης παράλληλο προς την ευθεία μεγάλο 0
. Επομένως, το διάνυσμα 
είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας μεγάλο 0
.
Συντεταγμένες διανυσμάτων κατεύθυνσης 
είναι ίσοι με τους αντίστοιχους παρονομαστές στις κανονικές εξισώσεις μιας δεδομένης ευθείας 
.
Κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 
{μεγάλο, Μ, n}
.
(2)
Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 0 και διάνυσμα κατεύθυνσης 
στην εξίσωση (2) και λάβετε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας:
.
Παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0) παράλληλο σε διάνυσμα μη μηδενικό 
{μεγάλο, Μ, n), έχουν τη μορφή:
(3)
Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 0 και διάνυσμα κατεύθυνσης 
στις εξισώσεις (3) και λάβετε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:
3. Βρείτε ένα σημείο 
, συμμετρικά ως προς το σημείο 
, σε σχέση με: α) ευθεία 
β) αεροπλάνα
Λύση.α) Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για το κάθετο επίπεδο Π, σημείο προβολής 
σε αυτή τη γραμμή:
Να βρω 
χρησιμοποιούμε την συνθήκη της καθετότητας της δεδομένης ευθείας και του προεξέχοντος επιπέδου. Άμεσο διάνυσμα 
κάθετη στο επίπεδο διάνυσμα 
είναι το κανονικό διάνυσμα 
στο επίπεδο Η εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου σε μια δεδομένη ευθεία έχει τη μορφή ή 
Ας βρούμε την προβολή Rσημεία Μστην ευθεία γραμμή. Τελεία Rείναι το σημείο τομής ευθείας και επιπέδου, δηλ. οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις εξισώσεις της ευθείας και την εξίσωση του επιπέδου. Ας λύσουμε το σύστημα:
.
Για να το λύσουμε, γράφουμε την εξίσωση της ευθείας σε παραμετρική μορφή:
Αντικατάσταση εκφράσεων για 
στην εξίσωση του επιπέδου, παίρνουμε:
Από εδώ βρίσκουμε Οι συντεταγμένες που βρέθηκαν είναι οι συντεταγμένες του μέσου Rευθύγραμμο τμήμα που συνδέει ένα σημείο
και ένα σημείο συμμετρικό με αυτό 
ΣΕ σχολικό μάθημαγεωμετρία διατυπώθηκε ένα θεώρημα.
Οι συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος είναι ίσες με το ήμισυ του αθροίσματος των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του.
Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου 
από τους τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:
Παίρνουμε: Λοιπόν, 
.
Λύση.β) Να βρεθεί ένα σημείο συμμετρικό σε ένα σημείο 
σε σχέση με ένα δεδομένο επίπεδο Π, ρίξτε μια κάθετη από το σημείο 
σε αυτό το αεροπλάνο. Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης 
, περνώντας από το σημείο
:
Η καθετότητα μεταξύ ευθείας και επιπέδου σημαίνει ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας είναι κάθετο στο επίπεδο 
. Στη συνέχεια η εξίσωση της ευθείας που προβάλλει το σημείο 
σε ένα δεδομένο επίπεδο, έχει τη μορφή:
Έχοντας λύσει τις εξισώσεις μαζί 
Και 
ας βρούμε την προβολή Rσημεία 
στο αεροπλάνο. Για να γίνει αυτό, ξαναγράφουμε τις εξισώσεις της ευθείας σε παραμετρική μορφή:
Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές 
στην εξίσωση του επιπέδου: Παρόμοια με το βήμα α), χρησιμοποιώντας τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου 
:
Εκείνοι. 
.
4. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται α) από ευθεία γραμμή 
παράλληλα με το διάνυσμα 
; β) μέσω δύο τεμνόμενων ευθειών
Και 
(έχοντας προηγουμένως αποδείξει ότι τέμνονται)? γ) μέσω δύο παράλληλων ευθειών 
Και 
; δ) μέσω απευθείας 
και περίοδος 
.
Λύση.α) Επειδή η δεδομένη ευθεία βρίσκεται στο επιθυμητό επίπεδο και το επιθυμητό επίπεδο είναι παράλληλο με το διάνυσμα 
, τότε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου θα είναι κάθετο στο διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας 
και διάνυσμα 
.
Επομένως, ως κανονικό διάνυσμα του επιπέδου, μπορούμε να επιλέξουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων 
Και 
:
Παίρνουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου 
.
Ας βρούμε ένα σημείο σε μια γραμμή. Εξίσωση των λόγων στις κανονικές εξισώσεις της ευθείας προς το μηδέν:
,
βρίσκουμε 
,
,
. Η δεδομένη ευθεία διέρχεται από το σημείο 
, επομένως, το αεροπλάνο περνά και από το σημείο 
. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στο διάνυσμα 
, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου , ή , ή, τέλος, 
.
Λύση.β) Δύο ευθείες στο διάστημα μπορούν να τέμνονται, να διασταυρώνονται ή να είναι παράλληλες. Δίνονται ευθείες γραμμές
Και 
(4)
δεν είναι παράλληλα, αφού τα διανύσματα κατεύθυνσής τους 
Και 
όχι συγγραμμικό: 
.
Πώς να ελέγξετε ότι οι γραμμές τέμνονται; Μπορείτε να λύσετε σύστημα (4) 4 εξισώσεων με 3 αγνώστους. Εάν το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, τότε λαμβάνουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών. Ωστόσο, για να λύσουμε το πρόβλημά μας - την κατασκευή ενός επιπέδου στο οποίο βρίσκονται και οι δύο ευθείες, δεν χρειάζεται το σημείο τομής τους. Επομένως, είναι δυνατόν να διατυπωθεί μια συνθήκη για την τομή δύο μη παράλληλων ευθειών στο χώρο χωρίς να βρεθεί το σημείο τομής.
Αν τέμνονται δύο μη παράλληλες ευθείες, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσης 
,
και σημεία σύνδεσης που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές 
Και 
διάνυσμα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. ομοεπίπεδο το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν:
. (5)
Εξισώνουμε τους λόγους στις κανονικές εξισώσεις των ευθειών με μηδέν (ή προς 1 ή οποιονδήποτε αριθμό)
Και 
,
και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων σε ευθείες γραμμές. Η πρώτη γραμμή περνά από το σημείο 
, και η δεύτερη ευθεία διέρχεται από το σημείο 
. Τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών είναι αντίστοιχα ίσα 
Και 
. Παίρνουμε
Η ισότητα (5) ικανοποιείται, επομένως, οι δεδομένες ευθείες τέμνονται. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα μόνο επίπεδο που διέρχεται από αυτές τις δύο γραμμές.
Ας περάσουμε στο δεύτερο μέρος του προβλήματος - συντάσσοντας την εξίσωση του επιπέδου.
Ως κανονικό διάνυσμα του επιπέδου, μπορείτε να επιλέξετε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης τους 
Και 
:
Συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου 
.
Το μάθαμε ευθέως 
περνάει μέσα από 
, επομένως, από αυτό το σημείο περνά και το επιθυμητό επίπεδο. Παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου, ή 
ή, τέλος, 
.
γ) Αφού είναι ευθείες 
Και 
είναι παράλληλα, τότε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους δεν μπορεί να επιλεγεί ως κανονικό διάνυσμα· θα είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.
Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των σημείων 
Και 
, από την οποία περνούν αυτές οι γραμμές. Αφήνω 
Και 
, Επειτα 
,
. Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος. Διάνυσμα 
βρίσκεται στο επιθυμητό επίπεδο και είναι μη γραμμικό με το διάνυσμα 
, τότε ως το κανονικό του διάνυσμα 
μπορείτε να επιλέξετε το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος 
και το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης ευθείας 
:
Ετσι, 
.
Το αεροπλάνο διέρχεται από τη γραμμή 
, που σημαίνει ότι περνά από το σημείο 
. Παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: , ή .
δ) Εξίσωση των λόγων στις κανονικές εξισώσεις της ευθείας προς το μηδέν 
, βρίσκουμε 
,
,
. Επομένως, η γραμμή διέρχεται από το σημείο 
.
Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος. Διάνυσμα 
ανήκει στο επιθυμητό επίπεδο, ως το κανονικό του διάνυσμα 
επιλέξτε το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας 
και διάνυσμα 
:
Τότε η εξίσωση επιπέδου έχει τη μορφή: , ή .
