Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Συνάρτηση y=sin(x). Ορισμοί και ιδιότητες"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για βαθμό 10 από 1C
Λύνουμε προβλήματα στη γεωμετρία. Διαδραστικές εργασίες κατασκευής για τις τάξεις 7-10
Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical constructor 6.1"

Τι θα μελετήσουμε:

  • Ιδιότητες της συνάρτησης Y=sin(X).
  • Γράφημα συνάρτησης.
  • Πώς να φτιάξετε ένα γράφημα και την κλίμακα του.
  • Παραδείγματα.

ημιτονικές ιδιότητες. Y=sin(X)

Παιδιά, έχουμε ήδη συναντήσει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος. Τις θυμάστε;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη συνάρτηση Y=sin(X).

Ας γράψουμε μερικές ιδιότητες αυτής της συνάρτησης:
1) Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
2) Η συνάρτηση είναι περιττή. Ας θυμηθούμε τον ορισμό μιας περιττής συνάρτησης. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιττή αν η ισότητα είναι αληθής: y(-x)=-y(x). Όπως θυμόμαστε από τύπους φαντασμάτων: sin(-x)=-sin(x). Ο ορισμός ικανοποιείται, οπότε το Y=sin(X) είναι μια περιττή συνάρτηση.
3) Η συνάρτηση Y=sin(X) αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται στο διάστημα [π/2; π]. Όταν κινούμαστε κατά μήκος του πρώτου τετάρτου (αριστερόστροφα), η τεταγμένη αυξάνεται και όταν κινούμαστε κατά μήκος του δεύτερου τετάρτου, μειώνεται.

4) Η συνάρτηση Y=sin(X) οριοθετείται από κάτω και πάνω. Η ιδιότητα αυτή προέρχεται από το γεγονός ότι
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι -1 (για x = - π/2+ πk). Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι 1 (για x = π/2+ πk).

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες 1-5 για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση Y=sin(X). Θα φτιάξουμε το γράφημά μας διαδοχικά, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες μας. Ας αρχίσουμε να χτίζουμε ένα γράφημα στο τμήμα.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην κλίμακα. Στον άξονα τεταγμένων, είναι πιο βολικό να ληφθεί ένα μόνο τμήμα ίσο με 2 κελιά και στον άξονα της τετμημένης - ένα μόνο τμήμα (δύο κελιά) να λαμβάνεται ίσο με π / 3 (βλ. σχήμα).


Σχεδίαση της συνάρτησης sine x, y=sin(x)

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στο τμήμα μας:



Ας φτιάξουμε ένα γράφημα για τα σημεία μας, λαμβάνοντας υπόψη την τρίτη ιδιότητα.

Πίνακας μετατροπών για τύπους φάντασμα

Ας χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη ιδιότητα, η οποία λέει ότι η συνάρτησή μας είναι περιττή, που σημαίνει ότι μπορεί να αντανακλάται συμμετρικά ως προς την προέλευση:


Γνωρίζουμε ότι sin(x+ 2π) = sin(x). Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα [- π; Το γράφημα π] μοιάζει με το τμήμα [π; 3π] ή ή [-3π; - pi] και ούτω καθεξής. Απομένει να ξανασχεδιάσουμε προσεκτικά το γράφημα στο προηγούμενο σχήμα σε ολόκληρο τον άξονα x.



Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Y=sin(X) ονομάζεται ημιτονοειδές.


Ας γράψουμε μερικές ακόμη ιδιότητες σύμφωνα με το κατασκευασμένο γράφημα:
6) Η συνάρτηση Y=sin(X) αυξάνεται σε οποιοδήποτε τμήμα της μορφής: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], το k είναι ακέραιος και μειώνεται σε οποιοδήποτε τμήμα της μορφής: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], το k είναι ακέραιος.
7) Η συνάρτηση Y=sin(X) είναι συνεχής συνάρτηση. Ας δούμε το γράφημα της συνάρτησης και ας βεβαιωθούμε ότι η συνάρτησή μας δεν έχει διακοπές, αυτό σημαίνει συνέχεια.
8) Εύρος τιμών: τμήμα [- 1; ένας]. Αυτό φαίνεται καθαρά και από το γράφημα της συνάρτησης.
9) Η συνάρτηση Y=sin(X) είναι περιοδική συνάρτηση. Ας δούμε ξανά το γράφημα και ας δούμε ότι η συνάρτηση παίρνει τις ίδιες τιμές σε ορισμένα διαστήματα.

Παραδείγματα προβλημάτων με ημιτονοειδή

1. Λύστε την εξίσωση sin(x)= x-π

Λύση: Ας φτιάξουμε 2 γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης: y=sin(x) και y=x-π (βλ. σχήμα).
Τα γραφήματα μας τέμνονται σε ένα σημείο A(π; 0), αυτή είναι η απάντηση: x = π




2. Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=sin(π/6+x)-1

Λύση: Η επιθυμητή γραφική παράσταση προκύπτει μετακινώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=sin(x) κατά π/6 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδα προς τα κάτω.




Λύση: Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και ας θεωρήσουμε το τμήμα μας [π/2; 5π/4].
Το γράφημα της συνάρτησης δείχνει ότι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή επιτυγχάνονται στα άκρα του τμήματος, στα σημεία π/2 και 5π/4, αντίστοιχα.
Απάντηση: sin(π/2) = 1 είναι η μεγαλύτερη τιμή, sin(5π/4) = η μικρότερη τιμή.



Ημιτονοειδή προβλήματα για ανεξάρτητη λύση


  • Λύστε την εξίσωση: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
  • Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=sin(π/3+x)-2
  • Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=sin(-2π/3+x)+1
  • Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y=sin(x) στο τμήμα
  • Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης y=sin(x) στο τμήμα [- π/3; 5π/6]

Πώς να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y=sin x; Αρχικά, λάβετε υπόψη τη γραφική παράσταση του ημιτόνου στο διάστημα.

Παίρνουμε ένα μόνο τμήμα με μήκος 2 κελιά ενός σημειωματάριου. Σημειώνουμε τη μονάδα στον άξονα Oy.

Για ευκολία, στρογγυλοποιούμε τον αριθμό π/2 στο 1,5 (και όχι στο 1,6, όπως απαιτείται από τους κανόνες στρογγυλοποίησης). Σε αυτή την περίπτωση, ένα τμήμα μήκους π/2 αντιστοιχεί σε 3 κελιά.

Στον άξονα Ox, σημειώνουμε όχι μεμονωμένα τμήματα, αλλά τμήματα μήκους π / 2 (κάθε 3 κελιά). Αντίστοιχα, ένα τμήμα μήκους π αντιστοιχεί σε 6 κελιά, ένα τμήμα μήκους π/6 αντιστοιχεί σε 1 κελί.

Με αυτήν την επιλογή ενός μεμονωμένου τμήματος, το γράφημα που απεικονίζεται σε ένα φύλλο σημειωματάριου σε ένα πλαίσιο αντιστοιχεί στο γράφημα της συνάρτησης y=sin x όσο το δυνατόν περισσότερο.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τιμές ημιτόνου στο διάστημα:

Τα σημεία που προκύπτουν σημειώνονται στο επίπεδο συντεταγμένων:

Εφόσον το y=sin x είναι περιττή συνάρτηση, το ημιτονικό γράφημα είναι συμμετρικό ως προς την αρχή - σημείο O(0;0). Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, συνεχίζουμε να σχεδιάζουμε το γράφημα προς τα αριστερά και μετά τα σημεία -π:

Η συνάρτηση y=sin x είναι περιοδική με περίοδο T=2π. Επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης, που λαμβάνεται στο διάστημα [-π, π], επαναλαμβάνεται άπειρες φορές δεξιά και αριστερά.

Τώρα θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να σχεδιάσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλών γωνιών ωx, που ω είναι κάποιος θετικός αριθμός.

Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = αμαρτία ωxΑς συγκρίνουμε αυτή τη συνάρτηση με τη συνάρτηση που έχουμε ήδη μελετήσει y = αμαρτία x. Ας υποθέσουμε ότι σε x = x 0 λειτουργία y = αμαρτία xπαίρνει μια τιμή ίση με 0. Τότε

y 0 = αμαρτία Χ 0 .

Ας μετατρέψουμε αυτή την αναλογία ως εξής:

Επομένως, η συνάρτηση y = αμαρτία ωxστο Χ = Χ 0 / ω παίρνει την ίδια τιμή στο 0 , που είναι η συνάρτηση y = αμαρτία xστο x = Χ 0 . Και αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση y = αμαρτία ωxεπαναλαμβάνει τις αξίες του σε ω φορές πιο συχνά από τη συνάρτηση y = αμαρτία x. Άρα το γράφημα της συνάρτησης y = αμαρτία ωxπου προκύπτει με «συμπίεση» της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = αμαρτία x v ω φορές κατά μήκος του άξονα x.

Για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d αμαρτία 2xπου λαμβάνεται με «συμπίεση» του ημιτονοειδούς y = αμαρτία xδύο φορές κατά μήκος της τετμημένης.

Γράφημα συνάρτησης y \u003d αμαρτία x / 2 που λαμβάνεται με "τέντωμα" του ημιτονοειδούς y \u003d sin x δύο φορές (ή "συμπίεση" σε 1 / 2 φορές) κατά μήκος του άξονα x.

Από τη λειτουργία y = αμαρτία ωxεπαναλαμβάνει τις αξίες του σε ω φορές πιο συχνά από τη συνάρτηση
y = αμαρτία x, τότε η περίοδος του μέσα ω φορές μικρότερη από την περίοδο της συνάρτησης y = αμαρτία x. Για παράδειγμα, η περίοδος της συνάρτησης y \u003d αμαρτία 2xισοδυναμεί 2π / 2 = π , και την περίοδο της συνάρτησης y \u003d αμαρτία x / 2 ισοδυναμεί π / Χ / 2 = 4π .

Είναι ενδιαφέρον να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης y \u003d αμαρτία τσεκούριστο παράδειγμα του animation, το οποίο μπορεί να δημιουργηθεί πολύ εύκολα στο πρόγραμμα σφεντάμι:

Ομοίως, κατασκευάζονται γραφήματα για άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλών γωνιών. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της συνάρτησης y = cos 2x, το οποίο λαμβάνεται με «συμπίεση» του συνημιτόνου y = συν xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.

Γράφημα συνάρτησης y = cos x / 2 που λαμβάνεται με «τέντωμα» του συνημιτονοειδούς κύματος y = συν xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.

Στο σχήμα βλέπετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = tg 2x, που λαμβάνεται με «συμπίεση» της εφαπτομενικής y = tg xδύο φορές κατά μήκος της τετμημένης.

Γράφημα συνάρτησης y = tg Χ / 2 , που λαμβάνεται με «τέντωμα» της εφαπτομενικής y = tg xδύο φορές κατά μήκος του άξονα x.

Και τέλος, το animation που εκτελείται από το πρόγραμμα σφεντάμι:

Γυμνάσια

1. Κατασκευάστε γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και υποδείξτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής αυτών των γραφημάτων με τους άξονες συντεταγμένων. Προσδιορίστε τις περιόδους αυτών των συναρτήσεων.

ένα). y=αμαρτία 4x / 3 ΣΟΛ). y=tg 5x / 6 σολ). y = κοσ 2x / 3

σι). y= συν 5x / 3 μι). y=ctg 5x / 3 η). y=ctg Χ / 3

v). y=tg 4x / 3 μι). y = αμαρτία 2x / 3

2. Καθορισμός περιόδων συνάρτησης y \u003d αμαρτία (πx)και y = tg (πχ / 2).

3. Δώστε δύο παραδείγματα μιας συνάρτησης που παίρνει όλες τις τιμές από -1 έως +1 (συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο αριθμών) και αλλάζει περιοδικά με περίοδο 10.

4 *. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που παίρνουν όλες τις τιμές από το 0 έως το 1 (συμπεριλαμβανομένων αυτών των δύο αριθμών) και αλλάζουν περιοδικά με μια τελεία π / 2.

5. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που λαμβάνουν όλες τις πραγματικές τιμές και αλλάζουν περιοδικά με την περίοδο 1.

6 *. Δώστε δύο παραδείγματα συναρτήσεων που λαμβάνουν όλες τις αρνητικές τιμές και μηδέν, αλλά δεν λαμβάνουν θετικές τιμές και αλλάζουν περιοδικά με περίοδο 5.

"Yoshkar-Ola College of Service Technologies"

Κατασκευή και μελέτη της γραφικής παράστασης της τριγωνομετρικής συνάρτησης y=sinx σε υπολογιστικό φύλλοΚυρία προέχω

/μεθοδολογική ανάπτυξη/

Yoshkar - Ola

Θέμα. Κατασκευή και μελέτη της γραφικής παράστασης μιας τριγωνομετρικής συνάρτησηςy = sinx σε υπολογιστικό φύλλο MS Excel

Τύπος μαθήματος– ολοκληρωμένη (απόκτηση νέας γνώσης)

Στόχοι:

Διδακτικός στόχος - εξερευνήστε τη συμπεριφορά των γραφημάτων μιας τριγωνομετρικής συνάρτησηςy= sinxανάλογα με τους συντελεστές με χρήση υπολογιστή

Εκμάθηση:

1. Βρείτε την αλλαγή στη γραφική παράσταση της τριγωνομετρικής συνάρτησης y= αμαρτία Χανάλογα με τους συντελεστές

2. Δείξτε την εισαγωγή της τεχνολογίας των υπολογιστών στη διδασκαλία των μαθηματικών, την ολοκλήρωση δύο μαθημάτων: της άλγεβρας και της επιστήμης των υπολογιστών.

3. Να διαμορφώσει τις δεξιότητες χρήσης της τεχνολογίας των υπολογιστών στα μαθήματα των μαθηματικών

4. Ενισχύστε τις δεξιότητες έρευνας συναρτήσεων και σχεδίασης των γραφημάτων τους

Ανάπτυξη:

1. Αναπτύξτε το γνωστικό ενδιαφέρον των μαθητών για ακαδημαϊκούς κλάδουςκαι την ικανότητα να εφαρμόζουν τις γνώσεις τους σε πρακτικές καταστάσεις

2. Αναπτύξτε την ικανότητα ανάλυσης, σύγκρισης, επισήμανσης του κύριου πράγματος

3. Συμβολή στη βελτίωση του συνολικού επιπέδου ανάπτυξης των μαθητών

εκπαιδευτικούς :

1. Καλλιεργήστε την ανεξαρτησία, την ακρίβεια, την επιμέλεια

2. Καλλιεργήστε μια κουλτούρα διαλόγου

Μορφές εργασίας στο μάθημα -σε συνδυασμό

Διδακτικός εξοπλισμός και εξοπλισμός:

1. Υπολογιστές

2. Προβολέας πολυμέσων

4. Φυλλάδιο

5. Διαφάνειες παρουσίασης

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εγώ. Οργάνωση της έναρξης του μαθήματος

Χαιρετισμός μαθητών και καλεσμένων

· Προετοιμαστείτε για το μάθημα

II. Καθορισμός στόχων και πραγματοποίηση του θέματος

Χρειάζεται πολύς χρόνος για να μελετήσετε μια συνάρτηση και να δημιουργήσετε το γράφημά της, πρέπει να εκτελέσετε πολλούς δυσκίνητους υπολογισμούς, αυτό δεν είναι βολικό, οι τεχνολογίες υπολογιστών έρχονται στη διάσωση.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να δημιουργούμε γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο περιβάλλον υπολογιστικού φύλλου MS Excel 2007.

Το θέμα του μαθήματός μας είναι «Κατασκευή και μελέτη της γραφικής παράστασης μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης y= sinxσε υπολογιστικό φύλλο"

Από το μάθημα της άλγεβρας, γνωρίζουμε το σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή της γραφικής της παράστασης. Ας θυμηθούμε πώς να το κάνουμε.

διαφάνεια 2

Σχέδιο Μελέτης Συναρτήσεων

1. Τομέας συνάρτησης (D(f))

2. Περιοχή τιμών της συνάρτησης Е(f)

3. Ορισμός ισοτιμίας

4. Περιοδικότητα

5. Συναρτήσεις μηδενικά (y=0)

6. Διαστήματα σταθερού πρόσημου (y>0, y<0)

7. Διαστήματα μονοτονίας

8. Ακραίες συναρτήσεων

III. Πρωτοβάθμια αφομοίωση νέου εκπαιδευτικού υλικού

Ανοίξτε το MS Excel 2007.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y=sin Χ

Σχεδίαση σε υπολογιστικό φύλλοΚυρία προέχω 2007

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης θα χτιστεί στο τμήμα ΧЄ [-2π; 2π]

Θα πάρουμε τις τιμές του επιχειρήματος με ένα βήμα , για να γίνει πιο ακριβές το γράφημα.

Επειδή ο επεξεργαστής λειτουργεί με αριθμούς, ας μετατρέψουμε τα ακτίνια σε αριθμούς, γνωρίζοντας αυτό P ≈ 3,14 . (πίνακας μετάφρασης στο φυλλάδιο).

1. Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x \u003d -2P. Για τα υπόλοιπα, ο επεξεργαστής υπολογίζει αυτόματα τις αντίστοιχες τιμές συνάρτησης για τις αντίστοιχες τιμές του ορίσματος.

2. Τώρα έχουμε έναν πίνακα με τιμές ορίσματος και συναρτήσεων. Με αυτά τα δεδομένα, πρέπει να σχεδιάσουμε αυτή τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον Οδηγό γραφήματος.

3. Για να δημιουργήσετε ένα γράφημα, πρέπει να επιλέξετε το επιθυμητό εύρος δεδομένων, σειρές με τιμές ορίσματος και συναρτήσεις

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Γράφουμε τα συμπεράσματα σε ένα τετράδιο (Διαφάνεια 5)

Συμπέρασμα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της μορφής y=sinx+k προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=sinx χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα y κατά k μονάδες

Αν k >0, τότε το γράφημα μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά k μονάδες

Αν κ<0, то график смещается вниз на k единиц

Κατασκευή και μελέτη της συνάρτησης θέασηςy=κ*sinx,κ- συνθ

Εργασία 2.Στη δουλειά Φύλλο2συναρτήσεις σχεδίασης σε ένα σύστημα συντεταγμένων y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, στο διάστημα (-2π; 2π) και δείτε πώς αλλάζει το γράφημα.

(Για να μην ορίσουμε ξανά την τιμή του ορίσματος, ας αντιγράψουμε τις υπάρχουσες τιμές. Τώρα πρέπει να ορίσετε τον τύπο και να δημιουργήσετε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας τον πίνακα που προκύπτει.)

Συγκρίνουμε τα γραφήματα που προέκυψαν. Αναλύουμε μαζί με τους μαθητές τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης της τριγωνομετρικής συνάρτησης ανάλογα με τους συντελεστές. (Διαφάνεια 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , στο διάστημα (-2π; 2π) και δείτε πώς αλλάζει το γράφημα.

Συγκρίνουμε τα γραφήματα που προέκυψαν. Αναλύουμε μαζί με τους μαθητές τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης της τριγωνομετρικής συνάρτησης ανάλογα με τους συντελεστές. (Διαφάνεια 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Γράφουμε τα συμπεράσματα σε ένα τετράδιο (Διαφάνεια 11)

Συμπέρασμα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της μορφής y \u003d sin (x + k) λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d sinx χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση κατά μήκος του άξονα OX κατά k μονάδες

Αν k >1, τότε το γράφημα μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα OX

Αν 0

IV. Πρωτογενής εμπέδωση της αποκτηθείσας γνώσης

Διαφοροποιημένες κάρτες με εργασία για την κατασκευή και τη μελέτη μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα γράφημα

Υ=6*sin(x)

Υ=1-2 αμαρτίαΧ

Υ=- αμαρτία(3x+)

1. Τομέα

2. Πεδίο αξίας

3. Ισοτιμία

4. Περιοδικότης

5. Διαστήματα σταθερότητας

6. κενάμονοτονία

Η λειτουργία αυξάνεται

Λειτουργία

μειώνεται

7. Ακραίες συναρτήσεων

Ελάχιστο

Το πολύ

V. Οργάνωση εργασιών για το σπίτι

Σχεδιάστε τη συνάρτηση y=-2*sinх+1, εξερευνήστε και ελέγξτε την ορθότητα της γραφικής παράστασης σε περιβάλλον υπολογιστικού φύλλου MicrosoftΠροέχω. (Διαφάνεια 12)

VI. Αντανάκλαση