Στόχοι μαθήματος: Σε αυτό το μάθημα, θα εξοικειωθείτε με την έννοια των «παράλληλων ευθειών», θα μάθετε πώς μπορείτε να επαληθεύσετε τον παραλληλισμό των γραμμών, καθώς και ποιες ιδιότητες έχουν οι γωνίες που σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες και ένα εγκάρσιο.

Παράλληλες γραμμές

Γνωρίζετε ότι η έννοια της «ευθείας γραμμής» είναι μια από τις λεγόμενες απροσδιόριστες έννοιες της γεωμετρίας.

Γνωρίζετε ήδη ότι δύο ευθείες μπορεί να συμπίπτουν, δηλαδή να έχουν όλα τα κοινά σημεία ή να τέμνονται, δηλαδή να έχουν ένα κοινό σημείο. Οι ευθείες γραμμές τέμνονται σε διαφορετικές γωνίες και η γωνία μεταξύ των ευθειών θεωρείται ότι είναι η μικρότερη από τις γωνίες που σχηματίζονται από αυτές. Ειδική περίπτωση τομής μπορεί να θεωρηθεί η περίπτωση της καθετότητας, όταν η γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες είναι ίση με 90 0.

Αλλά δύο ευθείες μπορεί να μην έχουν κοινά σημεία, δηλαδή να μην τέμνονται. Τέτοιες γραμμές ονομάζονται παράλληλο.

Εργαστείτε με ηλεκτρονικά εκπαιδευτικό πόρο « ».

Για να εξοικειωθείτε με την έννοια των «παράλληλων γραμμών», εργαστείτε με το υλικό μαθήματος βίντεο

Έτσι, τώρα γνωρίζετε τον ορισμό των παράλληλων ευθειών.

Από τα υλικά στο τμήμα του μαθήματος βίντεο, μάθατε για τους διαφορετικούς τύπους γωνιών που σχηματίζονται όταν δύο ευθείες γραμμές τέμνονται με μια τρίτη.

Ζεύγη γωνιών 1 και 4. 3 και 2 λέγονται εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες(βρίσκονται ανάμεσα σε ευθείες γραμμές έναΚαι σι).

Ζεύγη γωνιών 5 και 8. 7 και 6 λέγονται εξωτερικές μονόπλευρες γωνίες(βρίσκονται έξω από τις γραμμές έναΚαι σι).

Ζεύγη γωνιών 1 και 8. 3 και 6; 5 και 4; Τα 7 και 2 ονομάζονται μονόπλευρες γωνίες κάθετες έναΚαι σικαι τέμνουσα ντο. Όπως μπορείτε να δείτε, από ένα ζευγάρι αντίστοιχων γωνιών, μία βρίσκεται ανάμεσα στη σωστή γωνία έναΚαι σι, και το άλλο είναι έξω από αυτά.

Σημάδια παράλληλων ευθειών

Είναι προφανές ότι χρησιμοποιώντας τον ορισμό είναι αδύνατο να συμπεράνουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Επομένως, για να συμπεράνουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, χρησιμοποιήστε σημάδια.

Μπορείτε ήδη να διατυπώσετε ένα από αυτά αφού εξοικειωθείτε με τα υλικά του πρώτου μέρους του μαθήματος βίντεο:

Θεώρημα 1. Δύο ευθείες κάθετες στην τρίτη δεν τέμνονται, είναι δηλαδή παράλληλες.

Θα εξοικειωθείτε με άλλα σημάδια παραλληλισμού γραμμών που βασίζονται στην ισότητα ορισμένων ζευγών γωνιών δουλεύοντας με τα υλικά στο δεύτερο μέρος του μαθήματος βίντεο«Σήματα παράλληλων γραμμών».

Έτσι, θα πρέπει να γνωρίζετε άλλα τρία σημάδια παράλληλων γραμμών.

Θεώρημα 2 (το πρώτο πρόσημο των παράλληλων ευθειών). Εάν, όταν δύο ευθείες τέμνονται σταυρωτά, οι εμπλεκόμενες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Ρύζι. 2. Εικονογράφηση για το πρώτο σημάδιπαραλληλισμός γραμμών

Επαναλάβετε το πρώτο σημάδι των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Έτσι, όταν αποδεικνύεται το πρώτο πρόσημο παραλληλισμού ευθειών χρησιμοποιείται το πρόσημο της ισότητας των τριγώνων (στις δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία), καθώς και το πρόσημο της παραλληλίας ευθειών ως κάθετων σε μία ευθεία.

Ασκηση 1.

Σημειώστε τη διατύπωση του πρώτου πρόσημου των παράλληλων ευθειών και την απόδειξή του στα τετράδιά σας.

Θεώρημα 3 (δεύτερο πρόσημο παράλληλων ευθειών). Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με ένα εγκάρσιο, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Επαναλάβετε το δεύτερο πρόσημο των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Κατά την απόδειξη του δεύτερου πρόσημου παραλληλισμού ευθειών, χρησιμοποιείται η ιδιότητα των κατακόρυφων γωνιών και το πρώτο πρόσημο παραλληλισμού των ευθειών.

Εργασία 2.

Καταγράψτε τη διατύπωση του δεύτερου κριτηρίου για τον παραλληλισμό των γραμμών και την απόδειξή του στα τετράδιά σας.

Θεώρημα 4 (τρίτο πρόσημο παράλληλων ευθειών). Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια εγκάρσια, το άθροισμα των γωνιών της μονής όψης είναι ίσο με 180 0, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Επαναλάβετε το τρίτο πρόσημο των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Έτσι, κατά την απόδειξη του πρώτου πρόσημου παραλληλισμού ευθειών, χρησιμοποιείται η ιδιότητα των παρακείμενων γωνιών και το πρώτο πρόσημο παραλληλισμού των ευθειών.

Εργασία 3.

Καταγράψτε τη διατύπωση του τρίτου κριτηρίου για παράλληλες ευθείες και την απόδειξή του στα τετράδιά σας.

Για να εξασκηθείτε στην επίλυση απλών προβλημάτων, εργαστείτε με τα υλικά του ηλεκτρονικού εκπαιδευτικού πόρου « ».

Τα σημάδια παραλληλισμού των γραμμών χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων.

Τώρα δείτε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στα σημάδια παράλληλων γραμμών, δουλεύοντας με τα υλικά του μαθήματος βίντεο«Επίλυση προβλημάτων με θέμα «Σήματα παράλληλων ευθειών».

Τώρα δοκιμάστε τον εαυτό σας ολοκληρώνοντας τις εργασίες του ηλεκτρονικού εκπαιδευτικού πόρου ελέγχου « ».

Όποιος θέλει να εργαστεί με τη λύση περισσότερο σύνθετες εργασίες, μπορεί να εργαστεί με υλικό μαθήματος βίντεο "Εργασίες για σημάδια παραλληλισμού ευθειών."

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών

Οι παράλληλες γραμμές έχουν ένα σύνολο ιδιοτήτων.

Θα μάθετε ποιες είναι αυτές οι ιδιότητες δουλεύοντας με το εκπαιδευτικό υλικό βίντεο "Ιδιότητες παράλληλων ευθειών."

Έτσι, ένα σημαντικό γεγονός που πρέπει να γνωρίζετε είναι το αξίωμα της συγχρονικότητας.

Αξίωμα παραλληλισμού. Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι δυνατό να τραβήξουμε μια γραμμή παράλληλη προς τη δεδομένη και, επιπλέον, μόνο μία.

Όπως μάθατε από το εκπαιδευτικό βίντεο, με βάση αυτό το αξίωμα, μπορούν να διατυπωθούν δύο συνέπειες.

Συμπέρασμα 1.Αν μια ευθεία τέμνει μια από τις παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και την άλλη παράλληλη ευθεία.

Συμπέρασμα 2.Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη, τότε είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Εργασία 4.

Καταγράψτε τη διατύπωση των αναφερόμενων συμπερασμάτων και τις αποδείξεις τους στα τετράδιά σας.

Οι ιδιότητες των γωνιών που σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες και ένα εγκάρσιο είναι θεωρήματα που είναι αντίστροφα προς τις αντίστοιχες ιδιότητες.

Έτσι, από το υλικό του μαθήματος βίντεο μάθατε την ιδιότητα των γωνιών διασταύρωσης.

Θεώρημα 5 (αντίστροφο θεώρημα του πρώτου κριτηρίου για παράλληλες ευθείες). Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται εγκάρσια, οι εμπλεκόμενες γωνίες είναι ίσες.

Εργασία 5.

Επαναλάβετε την πρώτη ιδιότητα των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Θεώρημα 6 (θεώρημα αντίστροφο με το δεύτερο κριτήριο για τον παραλληλισμό των ευθειών). Όταν τέμνονται δύο παράλληλες ευθείες, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

Εργασία 6.

Καταγράψτε τη δήλωση αυτού του θεωρήματος και την απόδειξή του στα τετράδιά σας.

Επαναλάβετε τη δεύτερη ιδιότητα των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Θεώρημα 7 (θεώρημα αντίστροφο προς το τρίτο κριτήριο για τον παραλληλισμό των ευθειών). Όταν τέμνονται δύο παράλληλες ευθείες, το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180 0.

Εργασία 7.

Καταγράψτε τη δήλωση αυτού του θεωρήματος και την απόδειξή του στα τετράδιά σας.

Επαναλάβετε την τρίτη ιδιότητα των παράλληλων ευθειών για άλλη μια φορά δουλεύοντας με τον ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό πόρο « ».

Όλες οι ιδιότητες των παράλληλων γραμμών χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση προβλημάτων.

Εξετάστε τυπικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων δουλεύοντας με το υλικό του μαθήματος βίντεο «Παράλληλες γραμμές και προβλήματα στις γωνίες μεταξύ τους και του εγκάρσιου».

Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών

Θεώρημα 1. Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τομή:

    οι διασταυρωμένες γωνίες είναι ίσες ή

    οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες ή

    το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, λοιπόν

οι γραμμές είναι παράλληλες(Εικ. 1).

Απόδειξη. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη της περίπτωσης 1.

Έστω οι τεμνόμενες ευθείες a και b εγκάρσια και οι γωνίες ΑΒ ίσες. Για παράδειγμα, ∠ 4 = ∠ 6. Ας αποδείξουμε ότι a || σι.

Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες α και β δεν είναι παράλληλες. Τότε τέμνονται σε κάποιο σημείο Μ και, επομένως, μία από τις γωνίες 4 ή 6 θα είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΜ. Για βεβαιότητα, έστω ∠ 4 η εξωτερική γωνία του τριγώνου ABM, και ∠ 6 η εσωτερική. Από το θεώρημα για την εξωτερική γωνία ενός τριγώνου προκύπτει ότι το ∠ 4 είναι μεγαλύτερο από το ∠ 6, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη, που σημαίνει ότι οι ευθείες a και 6 δεν μπορούν να τέμνονται, άρα είναι παράλληλες.

Συμπέρασμα 1. Δύο διαφορετικές ευθείες σε ένα επίπεδο κάθετο στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες(Εικ. 2).

Σχόλιο. Ο τρόπος που μόλις αποδείξαμε την περίπτωση 1 του Θεωρήματος 1 ονομάζεται μέθοδος απόδειξης με αντίφαση ή αναγωγή σε παραλογισμό. Αυτή η μέθοδος έλαβε το πρώτο της όνομα επειδή στην αρχή του επιχειρήματος γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη (αντίθετα) με αυτό που πρέπει να αποδειχθεί. Ονομάζεται οδήγηση στον παραλογισμό λόγω του ότι, συλλογιζόμενοι με βάση την υπόθεση που έγινε, καταλήγουμε σε ένα παράλογο συμπέρασμα (στο παράλογο). Η λήψη ενός τέτοιου συμπεράσματος μας αναγκάζει να απορρίψουμε την υπόθεση που έγινε στην αρχή και να αποδεχτούμε αυτήν που έπρεπε να αποδειχθεί.

Εργασία 1.Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Μ και είναι παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία α, που δεν διέρχεται από το σημείο Μ.

Λύση. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή p μέσα από το σημείο Μ κάθετο στην ευθεία α (Εικ. 3).

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε μια ευθεία b στο σημείο M κάθετη στην ευθεία p. Η ευθεία b είναι παράλληλη στην ευθεία a σύμφωνα με το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από το εξεταζόμενο πρόβλημα:
μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι πάντα δυνατό να τραβήξουμε μια γραμμή παράλληλη προς τη δεδομένη.

Η κύρια ιδιότητα των παράλληλων ευθειών είναι η εξής.

Αξίωμα παράλληλων ευθειών. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη.

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των παράλληλων ευθειών που προκύπτουν από αυτό το αξίωμα.

1) Αν μια ευθεία τέμνει μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και την άλλη (Εικ. 4).

2) Εάν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες (Εικ. 5).

Το παρακάτω θεώρημα είναι επίσης αληθές.

Θεώρημα 2. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από ένα εγκάρσιο, τότε:

    οι εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες.

    οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

    το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.

Συμπέρασμα 2. Εάν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη(βλ. Εικ. 2).

Σχόλιο. Το Θεώρημα 2 ονομάζεται αντίστροφο του Θεωρήματος 1. Το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 είναι η συνθήκη του Θεωρήματος 2. Και η συνθήκη του Θεωρήματος 1 είναι το συμπέρασμα του Θεωρήματος 2. Δεν έχει κάθε θεώρημα αντίστροφο, δηλ. αυτό το θεώρημαείναι αλήθεια, λοιπόν θεώρημα αντίστροφηςμπορεί να είναι λάθος.

Ας το εξηγήσουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του θεωρήματος για τις κατακόρυφες γωνίες. Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες. Το αντίστροφο θεώρημα θα ήταν: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε είναι κάθετες. Και αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια. Δύο ίσες γωνίεςδεν χρειάζεται να είναι καθόλου κάθετη.

Παράδειγμα 1.Δύο παράλληλες γραμμές διασχίζονται από μια τρίτη. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ δύο εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 30°. Βρείτε αυτές τις γωνίες.

Λύση. Αφήστε το Σχήμα 6 να πληροί την προϋπόθεση.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για παράλληλες γραμμές, θα δώσουμε ορισμούς και θα περιγράψουμε τα σημάδια και τις συνθήκες του παραλληλισμού. Για να κάνουμε το θεωρητικό υλικό πιο ξεκάθαρο, θα χρησιμοποιήσουμε απεικονίσεις και λύσεις σε τυπικά παραδείγματα.

Ορισμός 1

Παράλληλες γραμμές σε ένα επίπεδο– δύο ευθείες σε ένα επίπεδο που δεν έχουν κοινά σημεία.

Ορισμός 2

Παράλληλες γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο– δύο ευθείες σε τρισδιάστατο χώρο, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Είναι απαραίτητο να σημειωθεί ότι για τον προσδιορισμό παράλληλων γραμμών στο χώρο, η διευκρίνιση "που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο" είναι εξαιρετικά σημαντική: δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο που δεν έχουν κοινά σημεία και δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν είναι παράλληλες. , αλλά διασταυρώνονται.

Για να υποδείξετε παράλληλες γραμμές, συνηθίζεται να χρησιμοποιείτε το σύμβολο ∥. Δηλαδή, εάν οι δεδομένες ευθείες a και b είναι παράλληλες, αυτή η συνθήκη θα πρέπει να γραφεί εν συντομία ως εξής: a ‖ b. Προφορικά, ο παραλληλισμός των ευθειών συμβολίζεται ως εξής: οι ευθείες α και β είναι παράλληλες ή η ευθεία α είναι παράλληλη προς την ευθεία β ή η ευθεία β είναι παράλληλη στην ευθεία α.

Ας διατυπώσουμε μια δήλωση που παίζει σημαντικό ρόλο στο υπό μελέτη θέμα.

Αξίωμα

Από ένα σημείο που δεν ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία διέρχεται η μόνη ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτή η δήλωση δεν μπορεί να αποδειχθεί με βάση τα γνωστά αξιώματα της επιπεδομετρίας.

Στην περίπτωση που μιλάμε για χώρο, ισχύει το θεώρημα:

Θεώρημα 1

Μέσα από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, θα υπάρχει μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη.

Αυτό το θεώρημα είναι εύκολο να αποδειχθεί με βάση το παραπάνω αξίωμα (πρόγραμμα γεωμετρίας για τάξεις 10 - 11).

Το κριτήριο του παραλληλισμού είναι επαρκής συνθήκη, η εκπλήρωση της οποίας εγγυάται τον παραλληλισμό των ευθειών. Με άλλα λόγια, η πλήρωση αυτής της προϋπόθεσης αρκεί για να επιβεβαιώσει το γεγονός του παραλληλισμού.

Συγκεκριμένα, υπάρχουν απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό των γραμμών στο επίπεδο και στο χώρο. Ας εξηγήσουμε: αναγκαίο σημαίνει η συνθήκη της οποίας η εκπλήρωση είναι απαραίτητη για παράλληλες ευθείες. αν δεν εκπληρωθεί, οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Συνοψίζοντας, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό των ευθειών είναι μια συνθήκη η τήρηση της οποίας είναι απαραίτητη και επαρκής για να είναι παράλληλες μεταξύ τους οι ευθείες. Από τη μία πλευρά, αυτό είναι ένα σημάδι παραλληλισμού, από την άλλη πλευρά, είναι μια ιδιότητα που ενυπάρχει σε παράλληλες γραμμές.

Πριν δώσουμε την ακριβή διατύπωση μιας αναγκαίας και ικανής συνθήκης, ας θυμηθούμε μερικές επιπλέον έννοιες.

Ορισμός 3

Τέμνουσα γραμμή– μια ευθεία που τέμνει καθεμία από δύο δεδομένες μη συμπίπτουσες ευθείες.

Τέμνοντας δύο ευθείες γραμμές, ένα εγκάρσιο σχηματίζει οκτώ μη ανεπτυγμένες γωνίες. Για να διαμορφώσουμε μια απαραίτητη και επαρκή συνθήκη, θα χρησιμοποιήσουμε τέτοιους τύπους γωνιών όπως διασταυρούμενες, αντίστοιχες και μονόπλευρες. Ας τα δείξουμε στην εικόνα:

Θεώρημα 2

Εάν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο τέμνονται από ένα εγκάρσιο, τότε για να είναι παράλληλες οι δεδομένες ευθείες είναι απαραίτητο και αρκετό οι τεμνόμενες γωνίες να είναι ίσες ή οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες ή το άθροισμα των γωνιών της μίας πλευράς να είναι ίσο με 180 μοίρες.

Ας δείξουμε γραφικά την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για τον παραλληλισμό των ευθειών σε ένα επίπεδο:

Η απόδειξη αυτών των συνθηκών υπάρχει στο πρόγραμμα γεωμετρίας για τις τάξεις 7 - 9.

Γενικά, αυτές οι προϋποθέσεις ισχύουν και για τον τρισδιάστατο χώρο, υπό την προϋπόθεση ότι δύο γραμμές και μια τομή ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

Ας υποδείξουμε μερικά ακόμη θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συχνά για να αποδείξουν το γεγονός ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.

Θεώρημα 3

Σε ένα επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες σε μια τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό το χαρακτηριστικό αποδεικνύεται με βάση το αξίωμα του παραλληλισμού που αναφέρθηκε παραπάνω.

Θεώρημα 4

Στον τρισδιάστατο χώρο, δύο ευθείες παράλληλες προς μια τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Η απόδειξη ενός σημείου μελετάται στο πρόγραμμα σπουδών της Γεωμετρίας της 10ης τάξης.

Ας δώσουμε μια απεικόνιση αυτών των θεωρημάτων:

Ας υποδείξουμε ένα ακόμη ζεύγος θεωρημάτων που αποδεικνύουν τον παραλληλισμό των ευθειών.

Θεώρημα 5

Σε ένα επίπεδο, δύο ευθείες κάθετες σε μια τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Ας διατυπώσουμε κάτι παρόμοιο για τον τρισδιάστατο χώρο.

Θεώρημα 6

Στον τρισδιάστατο χώρο, δύο ευθείες κάθετες σε μια τρίτη είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Ας δείξουμε:

Όλα τα παραπάνω θεωρήματα, σημεία και συνθήκες καθιστούν δυνατή την εύκολη απόδειξη του παραλληλισμού των γραμμών χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της γεωμετρίας. Δηλαδή, για να αποδείξει κανείς τον παραλληλισμό των ευθειών, μπορεί να δείξει ότι οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες ή να αποδείξει το γεγονός ότι δύο δεδομένες ευθείες είναι κάθετες στην τρίτη κ.λπ. Αλλά σημειώστε ότι είναι συχνά πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο συντεταγμένων για να αποδείξετε τον παραλληλισμό των γραμμών σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο.

Παραλληλισμός ευθειών σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

Σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, μια ευθεία γραμμή καθορίζεται από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο ενός από τους πιθανούς τύπους. Ομοίως, μια ευθεία γραμμή που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο αντιστοιχεί σε ορισμένες εξισώσεις για μια ευθεία γραμμή στο χώρο.

Ας γράψουμε τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για τον παραλληλισμό των ευθειών σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ανάλογα με τον τύπο της εξίσωσης που περιγράφει τις δεδομένες ευθείες.

Ας ξεκινήσουμε με την συνθήκη του παραλληλισμού των ευθειών σε ένα επίπεδο. Βασίζεται στους ορισμούς του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.

Θεώρημα 7

Για να είναι δύο μη συμπίπτουσες γραμμές παράλληλες σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών να είναι συγγραμμικά ή τα κανονικά διανύσματα των δεδομένων γραμμών να είναι συγγραμμικά ή το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας να είναι κάθετο προς το κανονικό διάνυσμα της άλλης γραμμής.

Γίνεται προφανές ότι η συνθήκη παραλληλισμού ευθειών σε ένα επίπεδο βασίζεται στην συνθήκη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων ή στην συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων. Δηλαδή, αν a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b ;

και n b → = (n b x , n b y) είναι κανονικά διανύσματα των γραμμών a και b, τότε γράφουμε την παραπάνω αναγκαία και επαρκή συνθήκη ως εξής: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ή n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ή a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , όπου t είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Οι συντεταγμένες των οδηγών ή των ευθειών διανυσμάτων καθορίζονται από τις δεδομένες εξισώσεις των ευθειών. Ας δούμε τα κύρια παραδείγματα.

  1. Η ευθεία α σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζεται γενική εξίσωσηευθεία γραμμή: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; ευθεία b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Τότε τα κανονικά διανύσματα των δεδομένων ευθειών θα έχουν συντεταγμένες (A 1, B 1) και (A 2, B 2), αντίστοιχα. Γράφουμε την συνθήκη παραλληλισμού ως εξής:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

  1. Η ευθεία α περιγράφεται από την εξίσωση μιας ευθείας με κλίση της μορφής y = k 1 x + b 1 . Ευθεία b - y = k 2 x + b 2. Τότε τα κανονικά διανύσματα των δεδομένων ευθειών θα έχουν συντεταγμένες (k 1, - 1) και (k 2, - 1), αντίστοιχα, και θα γράψουμε τη συνθήκη παραλληλισμού ως εξής:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Έτσι, εάν οι παράλληλες ευθείες σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται με εξισώσεις με γωνιακούς συντελεστές, τότε οι γωνιακοί συντελεστές των δεδομένων ευθειών θα είναι ίσοι. Και ισχύει η αντίθετη πρόταση: εάν οι μη συμπίπτουσες γραμμές σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζονται από τις εξισώσεις μιας ευθείας με ίδιους γωνιακούς συντελεστές, τότε αυτές οι δεδομένες ευθείες είναι παράλληλες.

  1. Οι ευθείες a και b σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζονται από τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο: x - x 1 a x = y - y 1 a y και x - x 2 b x = y - y 2 b y ή από παραμετρικές εξισώσεις του μια ευθεία σε ένα επίπεδο: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y και x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Τότε τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων ευθειών θα είναι: a x, a y και b x, b y, αντίστοιχα, και θα γράψουμε τη συνθήκη παραλληλισμού ως εξής:

a x = t b x a y = t b y

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο γραμμές: 2 x - 3 y + 1 = 0 και x 1 2 + y 5 = 1. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν είναι παράλληλες.

Λύση

Ας γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα με τη μορφή μιας γενικής εξίσωσης:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Βλέπουμε ότι n a → = (2, - 3) είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας 2 x - 3 y + 1 = 0, και n b → = 2, 1 5 είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας x 1 2 + y 5 = 1.

Τα διανύσματα που προκύπτουν δεν είναι συγγραμμικά, γιατί δεν υπάρχει τέτοια τιμή tat που να ισχύει η ισότητα:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Έτσι, δεν ικανοποιείται η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό των γραμμών σε ένα επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι οι δεδομένες ευθείες δεν είναι παράλληλες.

Απάντηση:οι δεδομένες γραμμές δεν είναι παράλληλες.

Παράδειγμα 2

Δίνονται οι ευθείες y = 2 x + 1 και x 1 = y - 4 2. Είναι παράλληλοι;

Λύση

Ας μετατρέψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας x 1 = y - 4 2 στην εξίσωση της ευθείας με την κλίση:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Βλέπουμε ότι οι εξισώσεις των ευθειών y = 2 x + 1 και y = 2 x + 4 δεν είναι ίδιες (αν ήταν διαφορετικά, οι ευθείες θα συμπίπτουν) και οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών είναι ίσοι, που σημαίνει ότι οι δεδομένες γραμμές είναι παράλληλες.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα διαφορετικά. Αρχικά, ας ελέγξουμε αν οι γραμμές που δίνονται συμπίπτουν. Χρησιμοποιούμε οποιοδήποτε σημείο της ευθείας y = 2 x + 1, για παράδειγμα, (0, 1), οι συντεταγμένες αυτού του σημείου δεν αντιστοιχούν στην εξίσωση της ευθείας x 1 = y - 4 2, που σημαίνει ότι οι ευθείες κάνουν δεν συμπίπτουν.

Το επόμενο βήμα είναι να προσδιοριστεί εάν ικανοποιείται η συνθήκη παραλληλισμού των δεδομένων ευθειών.

Το κανονικό διάνυσμα της ευθείας y = 2 x + 1 είναι το διάνυσμα n a → = (2 , - 1) , και το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεύτερης δεδομένης ευθείας είναι b → = (1 , 2) . Το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Έτσι, τα διανύσματα είναι κάθετα: αυτό μας δείχνει την εκπλήρωση της απαραίτητης και ικανής συνθήκης για τον παραλληλισμό των αρχικών γραμμών. Εκείνοι. οι ευθείες που δίνονται είναι παράλληλες.

Απάντηση:αυτές οι γραμμές είναι παράλληλες.

Για να αποδειχθεί ο παραλληλισμός των γραμμών σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου χρησιμοποιείται η παρακάτω απαραίτητη και επαρκής συνθήκη.

Θεώρημα 8

Για να είναι παράλληλες δύο μη συμπίπτουσες γραμμές στον τρισδιάστατο χώρο, είναι απαραίτητο και αρκετό τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά.

Εκείνοι. Δεδομένων των εξισώσεων των γραμμών στον τρισδιάστατο χώρο, η απάντηση στο ερώτημα: είναι παράλληλες ή όχι, βρίσκεται με τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών, καθώς και με τον έλεγχο της συνθήκης της συγγραμμικότητάς τους. Με άλλα λόγια, εάν a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) είναι διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, αντίστοιχα, τότε για να είναι παράλληλες, η ύπαρξη τέτοιος πραγματικός αριθμός t έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Παράδειγμα 3

Δίνονται οι ευθείες x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 και x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ο παραλληλισμός αυτών των γραμμών.

Λύση

Δίνονται οι προϋποθέσεις του προβλήματος κανονικές εξισώσειςμια ευθεία γραμμή στο χώρο και παραμετρικές εξισώσειςάλλη μια γραμμή στο διάστημα. Διανύσματα οδηγών α → και b → οι δεδομένες ευθείες έχουν συντεταγμένες: (1, 0, - 3) και (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , μετά a → = 1 2 · b → .

Κατά συνέπεια, ικανοποιείται η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τον παραλληλισμό των γραμμών στο χώρο.

Απάντηση:αποδεικνύεται ο παραλληλισμός των δοσμένων ευθειών.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

1. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες:

Αν ένα||ντοΚαι σι||ντο, Οτι ένα||σι.

2. Αν δύο ευθείες είναι κάθετες στην τρίτη ευθεία, τότε είναι παράλληλες:

Αν ένα⊥ντοΚαι σι⊥ντο, Οτι ένα||σι.

Τα υπόλοιπα σημάδια παραλληλισμού ευθειών βασίζονται στις γωνίες που σχηματίζονται όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τρίτη.

3. Αν το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:

Αν ∠1 + ∠2 = 180°, τότε ένα||σι.

4. Αν οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:

Αν ∠2 = ∠4, τότε ένα||σι.

5. Αν οι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:

Αν ∠1 = ∠3, τότε ένα||σι.

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών

Δηλώσεις αντίθετα σημάδιαο παραλληλισμός των γραμμών είναι οι ιδιότητές τους. Βασίζονται στις ιδιότητες των γωνιών που σχηματίζονται από την τομή δύο παράλληλων ευθειών με μια τρίτη ευθεία.

1. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών που σχηματίζονται από αυτές είναι ίσο με 180°:

Αν ένα||σι, τότε ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζονται από αυτές είναι ίσες:

Αν ένα||σι, τότε ∠2 = ∠4.

3. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, οι εγκάρσιες γωνίες που σχηματίζουν είναι ίσες:

Αν ένα||σι, τότε ∠1 = ∠3.

Η ακόλουθη ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση για κάθε προηγούμενη:

4. Αν μια ευθεία σε ένα επίπεδο είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη:

Αν ένα||σιΚαι ντο⊥ένα, Οτι ντο⊥σι.

Η πέμπτη ιδιότητα είναι το αξίωμα των παράλληλων ευθειών:

5. Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ III.
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΣ ΑΜΕΣΗ

§ 35. ΣΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΩΝ.

Το θεώρημα ότι δύο κάθετες σε μια ευθεία είναι παράλληλες (§ 33) δίνει πρόσημο ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Μπορείτε να αποσύρετε περισσότερα γενικά σημάδιαπαραλληλισμός δύο ευθειών.

1. Το πρώτο σημάδι του παραλληλισμού.

Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τρίτη, οι εσωτερικές γωνίες που βρίσκονται εγκάρσια είναι ίσες, τότε αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες.

Αφήστε τις ευθείες AB και CD να τέμνονται από την ευθεία EF και / 1 = / 2. Πάρτε το σημείο O - το μέσο του τμήματος KL της τομής EF (Εικ. 189).

Ας χαμηλώσουμε την κάθετη ΟΜ από το σημείο Ο στην ευθεία ΑΒ και ας τη συνεχίσουμε μέχρι να τέμνεται με την ευθεία CD, AB_|_MN. Ας αποδείξουμε ότι το CD_|_MN.
Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε δύο τρίγωνα: MOE και NOK. Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Πράγματι: / 1 = / 2 σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος. OK = ОL - από κατασκευή;
/ MOL = / ΝΟΚ, σαν κάθετες γωνίες. Έτσι, η πλευρά και οι δύο γειτονικές γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με την πλευρά και τις δύο γειτονικές γωνίες ενός άλλου τριγώνου. ως εκ τούτου, /\ MOL = /\ ΟΧΙ, και ως εκ τούτου
/ LMO = / KNO, αλλά / Το LMO είναι άμεσο, που σημαίνει / Το KNO είναι επίσης straight. Έτσι, οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετες στην ίδια ευθεία ΜΝ, επομένως, είναι παράλληλες (§ 33), που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Σημείωση. Η τομή των ευθειών MO και CD μπορεί να καθοριστεί περιστρέφοντας το τρίγωνο MOL γύρω από το σημείο Ο κατά 180°.

2. Το δεύτερο σημάδι του παραλληλισμού.

Ας δούμε αν οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες αν, όταν τέμνουν την τρίτη ευθεία EF, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

Έστω, για παράδειγμα, κάποιες αντίστοιχες γωνίες ίσες / 3 = / 2 (σχέδιο 190);
/ 3 = / 1, καθώς οι γωνίες είναι κάθετες. Που σημαίνει, / 2 θα είναι ίσο / 1. Αλλά οι γωνίες 2 και 1 είναι τεμνόμενες εσωτερικές γωνίες, και ήδη γνωρίζουμε ότι αν όταν δύο ευθείες τέμνουν την τρίτη, οι τεμνόμενες εσωτερικές γωνίες είναι ίσες, τότε αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες. Επομένως ΑΒ || CD.

Αν, όταν δύο ευθείες τέμνουν μια τρίτη, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε αυτές οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Σε αυτή την ιδιότητα βασίζεται η κατασκευή παράλληλων γραμμών με χρήση χάρακα και τριγώνου σχεδίασης. Αυτό γίνεται ως εξής.

Ας προσαρτήσουμε το τρίγωνο στον χάρακα όπως φαίνεται στο σχέδιο 191. Θα μετακινήσουμε το τρίγωνο έτσι ώστε μια από τις πλευρές του να γλιστρήσει κατά μήκος του χάρακα και θα σχεδιάσουμε αρκετές ευθείες γραμμές κατά μήκος κάποιας άλλης πλευράς του τριγώνου. Αυτές οι γραμμές θα είναι παράλληλες.

3. Το τρίτο σημάδι του παραλληλισμού.

Ας γνωρίζουμε ότι όταν δύο ευθείες AB και CD τέμνονται με μια τρίτη ευθεία, το άθροισμα τυχόν εσωτερικών γωνιών μονής όψης είναι ίσο με 2 ρε(ή 180°). Θα είναι παράλληλες οι ευθείες AB και CD σε αυτή την περίπτωση (Εικ. 192).

Αφήνω / 1 και / Οι 2 είναι εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες και αθροίζονται έως 2 ρε.
Αλλά / 3 + / 2 = 2ρεως γειτονικές γωνίες. Ως εκ τούτου, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Από εδώ / 1 = / 3, και αυτές οι εσωτερικές γωνίες βρίσκονται σταυρωτά. Επομένως ΑΒ || CD.

Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται μια τρίτη, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών της μονής όψης είναι ίσο με 2 d, τότε αυτές οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Ασκηση.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες:
α) εάν οι εξωτερικές εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες (Εικ. 193).
β) αν το άθροισμα των εξωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι ίσο με 2 ρε(σχέδιο 194).