Το θεώρημα αντιστρέφεται με τα παραδείγματα του θεωρήματος του Vieta. Τύπος του θεωρήματος του Vieta, και παραδείγματα λύσεων. Απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης του Vieta

Το θεώρημα του Βιέτα

Έστω και συμβολίζουμε τις ρίζες του δεδομένου τετραγωνική εξίσωση
(1) .
Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον συντελεστή , που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο. Το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:
;
.

Μια σημείωση για πολλές ρίζες

Αν η διάκριση της εξίσωσης (1) είναι μηδέν, τότε αυτή η εξίσωση έχει μία ρίζα. Αλλά, για να αποφευχθούν οι περίπλοκες διατυπώσεις, είναι γενικά αποδεκτό ότι στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές ή ίσες ρίζες:
.

Απόδειξη πρώτη

Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης (1). Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
;
;
.

Βρείτε το άθροισμα των ριζών:
.

Για να βρείτε το προϊόν, εφαρμόστε τον τύπο:
.
Επειτα

.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη δύο

Αν οι αριθμοί είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1), τότε
.
Ανοίγοντας τις παρενθέσεις.

.
Έτσι, η εξίσωση (1) θα έχει τη μορφή:
.
Συγκρίνοντας με το (1) βρίσκουμε:
;
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Αντίστροφο θεώρημα του Vieta

Ας υπάρχουν αυθαίρετοι αριθμοί. Τότε και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
,
Οπου
(2) ;
(3) .

Απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης του Vieta

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση
(1) .
Πρέπει να αποδείξουμε ότι αν και , τότε και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1).

Ας αντικαταστήσουμε τα (2) και (3) με τα (1):
.
Ομαδοποιούμε τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
;
;
(4) .

Ας αντικαταστήσουμε στο (4):
;
.

Ας αντικαταστήσουμε στο (4):
;
.
Ισχύει η εξίσωση. Δηλαδή, ο αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης (1).

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το θεώρημα του Vieta για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση

Τώρα εξετάστε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση
(5) ,
όπου , και είναι κάποιοι αριθμοί. Εξάλλου.

Ας διαιρέσουμε την εξίσωση (5) με:
.
Δηλαδή, πήραμε τη δεδομένη εξίσωση
,
Οπου ; .

Τότε το θεώρημα του Vieta για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή.

Έστω και συμβολίζουμε τις ρίζες της πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης
.
Στη συνέχεια, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών καθορίζονται από τους τύπους:
;
.

Θεώρημα Vieta για κυβική εξίσωση

Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να δημιουργήσουμε συνδέσεις μεταξύ των ριζών μιας κυβικής εξίσωσης. Θεωρήστε την κυβική εξίσωση
(6) ,
όπου , , , είναι κάποιοι αριθμοί. Εξάλλου.
Ας διαιρέσουμε αυτήν την εξίσωση με:
(7) ,
Οπου , , .
Έστω , , οι ρίζες της εξίσωσης (7) (και της εξίσωσης (6)). Επειτα

.

Συγκρίνοντας με την εξίσωση (7) βρίσκουμε:
;
;
.

Θεώρημα Vieta για εξίσωση nου βαθμού

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε συνδέσεις μεταξύ των ριζών , , ... , , for nth εξισώσειςβαθμούς
.

Θεώρημα Vieta για την εξίσωση ου βαθμούέχει την εξής μορφή:
;
;
;

.

Για να λάβουμε αυτούς τους τύπους, γράφουμε την εξίσωση ως εξής:
.
Στη συνέχεια εξισώνουμε τους συντελεστές για , , , ... , και συγκρίνουμε ελεύθερο μέλος.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
ΕΚ. Νικόλσκι, Μ.Κ. Potapov et al., Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την 8η τάξη Εκπαιδευτικά ιδρύματα, Μόσχα, Εκπαίδευση, 2006.

Μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης, εκτός από τους τύπους ρίζας, υπάρχουν και άλλες χρήσιμες σχέσεις που δίνονται Το θεώρημα του Βιέτα. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε μια διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Vieta για μια τετραγωνική εξίσωση. Στη συνέχεια θεωρούμε το θεώρημα αντίστροφο με το θεώρημα του Vieta. Μετά από αυτό, θα αναλύσουμε τις λύσεις στα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα. Τέλος, καταγράφουμε τους τύπους Vieta που ορίζουν τη σχέση μεταξύ των πραγματικών ριζών αλγεβρική εξίσωση ο βαθμός n και οι συντελεστές του.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Θεώρημα Vieta, διατύπωση, απόδειξη

Από τους τύπους των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a·x 2 +b·x+c=0 της μορφής, όπου D=b 2 −4·a·c, ακολουθούν οι εξής σχέσεις: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Αυτά τα αποτελέσματα επιβεβαιώνονται Το θεώρημα του Βιέτα:

Θεώρημα.

Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 +b x+c=0, τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον λόγο των συντελεστών b και a, που λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο του οι ρίζες είναι ίσες με τον λόγο των συντελεστών c και a, δηλαδή .

Απόδειξη.

Θα εκτελέσουμε την απόδειξη του θεωρήματος του Vieta σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα: συνθέτουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους ρίζας, μετά μετασχηματίζουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν και βεβαιωνόμαστε ότι είναι ίσες με −b/ α και γ/α, αντίστοιχα.

Ας ξεκινήσουμε με το άθροισμα των ριζών και ας το φτιάξουμε. Τώρα φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, έχουμε . Στον αριθμητή του κλάσματος που προκύπτει, μετά από το οποίο:. Τελικά, μετά τις 2, παίρνουμε . Αυτό αποδεικνύει την πρώτη σχέση του θεωρήματος του Vieta για το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας περάσουμε στο δεύτερο.

Συνθέτουμε το γινόμενο των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: . Σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, τελευταίο κομμάτιμπορεί να γραφτεί ως . Τώρα πολλαπλασιάζουμε μια αγκύλη με μια αγκύλη στον αριθμητή, αλλά είναι πιο γρήγορο να συμπτύξουμε αυτό το γινόμενο με τύπος τετραγωνικής διαφοράς, Ετσι . Στη συνέχεια, θυμόμαστε, κάνουμε την επόμενη μετάβαση. Και εφόσον η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αντιστοιχεί στον τύπο D=b 2 −4·a·c, τότε αντί για D στο τελευταίο κλάσμα μπορούμε να αντικαταστήσουμε το b 2 −4·a·c, παίρνουμε. Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και φέρουμε παρόμοιους όρους, φτάνουμε στο κλάσμα , και η αναγωγή του κατά 4·a δίνει . Αυτό αποδεικνύει τη δεύτερη σχέση του θεωρήματος του Vieta για το γινόμενο των ριζών.

Αν παραλείψουμε τις εξηγήσεις, η απόδειξη του θεωρήματος του Βιέτα θα πάρει λακωνική μορφή:
,
.

Μένει μόνο να σημειωθεί ότι εάν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία ρίζα. Ωστόσο, αν υποθέσουμε ότι η εξίσωση σε αυτή την περίπτωση έχει δύο ίδιες ρίζες, τότε ισχύουν και οι ισότητες από το θεώρημα του Vieta. Πράγματι, όταν D=0 η ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίση με , τότε και , και εφόσον D=0, δηλαδή, b 2 −4·a·c=0, από όπου b 2 =4·a·c, τότε .

Στην πράξη, το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται συχνότερα σε σχέση με τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση (με τον κύριο συντελεστή a ίσο με 1) της μορφής x 2 +p·x+q=0. Μερικές φορές διατυπώνεται για τετραγωνικές εξισώσεις ακριβώς αυτού του τύπου, κάτι που δεν περιορίζει τη γενικότητα, αφού οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη εξίσωση διαιρώντας και τις δύο πλευρές με έναν μη μηδενικό αριθμό α. Ας δώσουμε την αντίστοιχη διατύπωση του θεωρήματος του Vieta:

Θεώρημα.

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p x+q=0 είναι ίσο με τον συντελεστή x που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο, δηλαδή x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Το θεώρημα αντιστρέφεται με το θεώρημα του Βιέτα

Η δεύτερη διατύπωση του θεωρήματος του Vieta, που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, δείχνει ότι αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p x+q=0, τότε οι σχέσεις x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Από την άλλη πλευρά, από τις γραπτές σχέσεις x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q προκύπτει ότι x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 +p x+q=0. Με άλλα λόγια, το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta είναι αληθές. Ας το διατυπώσουμε με τη μορφή θεωρήματος και ας το αποδείξουμε.

Θεώρημα.

Αν οι αριθμοί x 1 και x 2 είναι τέτοιοι ώστε x 1 +x 2 =−p και x 1 · x 2 =q, τότε x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p · x+q =0.

Απόδειξη.

Αφού αντικατασταθούν οι συντελεστές p και q στην εξίσωση x 2 +p x+q=0 από τις εκφράσεις τους μέσω x 1 και x 2 , μετατρέπεται σε ισοδύναμη εξίσωση.

Ας αντικαταστήσουμε τον αριθμό x 1 αντί για x στην εξίσωση που προκύπτει και έχουμε την ισότητα x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, που για οποιαδήποτε x 1 και x 2 αντιπροσωπεύει τη σωστή αριθμητική ισότητα 0=0, αφού x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Επομένως, x 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, που σημαίνει ότι το x 1 είναι η ρίζα της ισοδύναμης εξίσωσης x 2 +p·x+q=0.

Αν στην εξίσωση x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0Αντικαταστήστε τον αριθμό x 2 αντί για x, παίρνουμε την ισότητα x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Αυτή είναι μια πραγματική ισότητα, αφού x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Επομένως, το x 2 είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, και επομένως οι εξισώσεις x 2 +p·x+q=0.

Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη του θεωρήματος, αντίστροφο του θεωρήματος Vieta.

Παραδείγματα χρήσης του θεωρήματος του Vieta

Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για την πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος του Βιέτα και του αντίστροφου θεωρήματος του. Σε αυτή την ενότητα θα αναλύσουμε λύσεις σε πολλά από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Ας ξεκινήσουμε εφαρμόζοντας το θεώρημα αντίστροφα με το θεώρημα του Vieta. Είναι βολικό να το χρησιμοποιήσετε για να ελέγξετε εάν δύο δεδομένοι αριθμοί είναι ρίζες μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται το άθροισμα και η διαφορά τους και μετά ελέγχεται η εγκυρότητα των σχέσεων. Εάν και οι δύο αυτές σχέσεις ικανοποιούνται, τότε δυνάμει του θεωρήματος που αντιστρέφεται με το θεώρημα του Vieta, συμπεραίνεται ότι αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εάν τουλάχιστον μία από τις σχέσεις δεν ικανοποιείται, τότε αυτοί οι αριθμοί δεν είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αυτή η προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων για τον έλεγχο των ριζών που βρέθηκαν.

Παράδειγμα.

Ποιο από τα ζεύγη αριθμών 1) x 1 =−5, x 2 =3, ή 2) ή 3) είναι ζεύγος ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 4 x 2 −16 x+9=0;

Λύση.

Οι συντελεστές της δεδομένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης 4 x 2 −16 x+9=0 είναι a=4, b=−16, c=9. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης πρέπει να είναι ίσο με −b/a, δηλαδή 16/4=4, και το γινόμενο των ριζών πρέπει να είναι ίσο με c/a, δηλαδή 9 /4.

Τώρα ας υπολογίσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των αριθμών σε καθένα από τα τρία δεδομένα ζεύγη και ας τα συγκρίνουμε με τις τιμές που μόλις λάβαμε.

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε x 1 +x 2 =−5+3=−2. Η τιμή που προκύπτει είναι διαφορετική από το 4, επομένως δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί περαιτέρω επαλήθευση, αλλά χρησιμοποιώντας το θεώρημα αντίστροφο προς το θεώρημα του Vieta, μπορεί κανείς να συμπεράνει αμέσως ότι το πρώτο ζεύγος αριθμών δεν είναι ζεύγος ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας περάσουμε στη δεύτερη περίπτωση. Εδώ, δηλαδή, πληρούται η πρώτη προϋπόθεση. Ελέγχουμε τη δεύτερη συνθήκη: η τιμή που προκύπτει είναι διαφορετική από το 9/4. Κατά συνέπεια, το δεύτερο ζεύγος αριθμών δεν είναι ζεύγος ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης.

Απομένει μια τελευταία περίπτωση. Εδώ και . Και οι δύο προϋποθέσεις πληρούνται, επομένως αυτοί οι αριθμοί x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Απάντηση:

Το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην πράξη για να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Συνήθως, επιλέγονται ακέραιες ρίζες των δεδομένων τετραγωνικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές, αφού σε άλλες περιπτώσεις αυτό είναι αρκετά δύσκολο να γίνει. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούν το γεγονός ότι αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, και το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι ο ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης. Ας το καταλάβουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση x 2 −5 x+6=0. Για να είναι οι αριθμοί x 1 και x 2 οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, πρέπει να ικανοποιούνται δύο ισότητες: x 1 + x 2 =5 και x 1 · x 2 =6. Το μόνο που μένει είναι να επιλέξουμε τέτοιους αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό είναι πολύ απλό: τέτοιοι αριθμοί είναι το 2 και το 3, αφού 2+3=5 και 2·3=6. Έτσι, το 2 και το 3 είναι οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης.

Το θεώρημα αντίστροφο προς το θεώρημα του Vieta είναι ιδιαίτερα βολικό να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί η δεύτερη ρίζα μιας δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης όταν μία από τις ρίζες είναι ήδη γνωστή ή προφανής. Σε αυτήν την περίπτωση, η δεύτερη ρίζα μπορεί να βρεθεί από οποιαδήποτε από τις σχέσεις.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τετραγωνική εξίσωση 512 x 2 −509 x −3=0. Εδώ είναι εύκολο να δούμε ότι η μονάδα είναι η ρίζα της εξίσωσης, αφού το άθροισμα των συντελεστών αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με μηδέν. Άρα x 1 = 1. Η δεύτερη ρίζα x 2 μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, από τη σχέση x 1 ·x 2 =c/a. Έχουμε 1 x 2 =−3/512, από το οποίο x 2 =−3/512. Έτσι προσδιορίσαμε και τις δύο ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: 1 και −3/512.

Είναι σαφές ότι η επιλογή των ριζών συνιστάται μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις. Σε άλλες περιπτώσεις, για να βρείτε ρίζες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης μέσω ενός διαχωριστή.

Αλλο πρακτική χρήσητο θεώρημα, σε αντίθεση με το θεώρημα του Vieta, συνίσταται στη σύνθεση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με δεδομένες ρίζες x 1 και x 2 . Για να γίνει αυτό, αρκεί να υπολογίσουμε το άθροισμα των ριζών, που δίνει τον συντελεστή x με το αντίθετο πρόσημο της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης, και το γινόμενο των ριζών, που δίνει τον ελεύθερο όρο.

Παράδειγμα.

Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι −11 και 23.

Λύση.

Ας συμβολίσουμε x 1 =−11 και x 2 =23. Υπολογίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο αυτών των αριθμών: x 1 +x 2 =12 και x 1 ·x 2 =−253. Επομένως, οι αριθμοί που υποδεικνύονται είναι οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης με δεύτερο συντελεστή −12 και ελεύθερο όρο −253. Δηλαδή, x 2 −12·x−253=0 είναι η απαιτούμενη εξίσωση.

Απάντηση:

x 2 −12·x−253=0 .

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τα σημάδια των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων. Πώς σχετίζεται το θεώρημα του Vieta με τα πρόσημα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +p·x+q=0; Ακολουθούν δύο σχετικές δηλώσεις:

• Αν η τομή q είναι θετικός αριθμός και αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, τότε είτε είναι και οι δύο θετικές είτε και οι δύο αρνητικές.
• Αν ο ελεύθερος όρος q είναι αρνητικός αριθμός και αν η τετραγωνική εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, τότε τα πρόσημά τους είναι διαφορετικά, με άλλα λόγια, η μία ρίζα είναι θετική και η άλλη αρνητική.

Αυτές οι δηλώσεις προκύπτουν από τον τύπο x 1 · x 2 =q, καθώς και από τους κανόνες του θετικού πολλαπλασιασμού, αρνητικούς αριθμούςκαι αριθμοί με διαφορετικά πρόσημα. Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής τους.

Παράδειγμα.

R είναι θετικό. Χρησιμοποιώντας τον τύπο διάκρισης βρίσκουμε D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, την τιμή της παράστασης r 2 +8 είναι θετικό για κάθε πραγματικό r, επομένως D>0 για κάθε πραγματικό r. Κατά συνέπεια, η αρχική τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές της παραμέτρου r.

Τώρα ας μάθουμε πότε οι ρίζες έχουν διαφορετικά σημάδια. Εάν τα πρόσημα των ριζών είναι διαφορετικά, τότε το γινόμενο τους είναι αρνητικό και σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, το γινόμενο των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Επομένως, μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του r για τις οποίες ο ελεύθερος όρος r−1 είναι αρνητικός. Έτσι, για να βρούμε τις τιμές του r που μας ενδιαφέρουν, χρειαζόμαστε αποφασίζω γραμμική ανισότητα r−1<0 , откуда находим r<1 .

Απάντηση:

στο r<1 .

Φόρμουλες Vieta

Παραπάνω μιλήσαμε για το θεώρημα του Vieta για μια τετραγωνική εξίσωση και αναλύσαμε τις σχέσεις που υποστηρίζει. Αλλά υπάρχουν τύποι που συνδέουν τις πραγματικές ρίζες και τους συντελεστές όχι μόνο των τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά και των κυβικών εξισώσεων, των εξισώσεων τέταρτου βαθμού και γενικά, αλγεβρικές εξισώσειςβαθμός n. Καλούνται Οι τύποι του Βιέτα.

Ας γράψουμε τον τύπο Vieta για μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n της μορφής και θα υποθέσουμε ότι έχει n πραγματικές ρίζες x 1, x 2, ..., x n (μεταξύ αυτών μπορεί να συμπίπτουν):

Οι τύποι του Vieta μπορούν να ληφθούν Θεώρημα για την αποσύνθεση ενός πολυωνύμου σε γραμμικούς παράγοντες, καθώς και τον ορισμό ίσων πολυωνύμων μέσω της ισότητας όλων των αντίστοιχων συντελεστών τους. Άρα το πολυώνυμο και η επέκτασή του σε γραμμικούς συντελεστές της μορφής είναι ίσα. Ανοίγοντας τις αγκύλες στο τελευταίο γινόμενο και εξισώνοντας τους αντίστοιχους συντελεστές, παίρνουμε τους τύπους του Vieta.

Συγκεκριμένα, για n=2 έχουμε τους ήδη γνωστούς τύπους Vieta για μια τετραγωνική εξίσωση.

Για μια κυβική εξίσωση, οι τύποι του Vieta έχουν τη μορφή

Μένει μόνο να σημειωθεί ότι στην αριστερή πλευρά των τύπων του Vieta υπάρχουν τα λεγόμενα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα.

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 8η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich. - 11η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 215 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα / [Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; επεξεργάστηκε από A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.- 368 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Ι. Θεώρημα Vietaγια την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.

Άθροισμα ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0ισούται με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Να βρείτε τις ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα.

Παράδειγμα 1) x 2 -x-30=0.Αυτή είναι η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ( x 2 +px+q=0), δεύτερος συντελεστής p=-1, και το ελεύθερο μέλος q=-30.Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι αυτή η εξίσωση έχει ρίζες και ότι οι ρίζες (αν υπάρχουν) θα εκφράζονται σε ακέραιους αριθμούς. Για να γίνει αυτό, αρκεί η διάκριση να είναι ένα τέλειο τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού.

Βρίσκοντας το διακριτικό ρε=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Τώρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, το άθροισμα των ριζών πρέπει να είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, δηλ. ( -Π), και το γινόμενο ισούται με τον ελεύθερο όρο, δηλ. ( q). Επειτα:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.Πρέπει να επιλέξουμε δύο αριθμούς έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με -30 , και το ποσό είναι μονάδα. Αυτά είναι νούμερα -5 Και 6 . Απάντηση: -5; 6.

Παράδειγμα 2) x 2 +6x+8=0.Έχουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση με τον δεύτερο συντελεστή p=6και ελεύθερο μέλος q=8. Ας βεβαιωθούμε ότι υπάρχουν ακέραιες ρίζες. Ας βρούμε το διακριτικό Δ 1 Δ 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Η διάκριση D 1 είναι το τέλειο τετράγωνο του αριθμού 1 , που σημαίνει ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ακέραιοι. Ας επιλέξουμε τις ρίζες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με –ρ=-6, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με q=8. Αυτά είναι νούμερα -4 Και -2 .

Μάλιστα: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Απάντηση: -4; -2.

Παράδειγμα 3) x 2 +2x-4=0. Σε αυτή τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, ο δεύτερος συντελεστής είναι p=2, και το ελεύθερο μέλος q=-4. Ας βρούμε το διακριτικό Δ 1, αφού ο δεύτερος συντελεστής είναι ζυγός αριθμός. Δ 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Η διάκριση δεν είναι τέλειο τετράγωνο του αριθμού, έτσι κάνουμε συμπέρασμα: Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης δεν είναι ακέραιοι και δεν μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.Αυτό σημαίνει ότι λύνουμε αυτήν την εξίσωση, ως συνήθως, χρησιμοποιώντας τους τύπους (σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιώντας τους τύπους). Παίρνουμε:

Παράδειγμα 4).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν x 1 =-7, x 2 =4.

Λύση.Η απαιτούμενη εξίσωση θα γραφτεί με τη μορφή: x 2 +px+q=0, και, με βάση το θεώρημα του Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 +3x-28=0.

Παράδειγμα 5).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν:

II. Το θεώρημα του Βιέταγια μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c=0.

Το άθροισμα των ριζών είναι μείον σι, διαιρούμενο με ΕΝΑ, το γινόμενο των ριζών ισούται με Με, διαιρούμενο με ΕΝΑ:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Παράδειγμα 6).Να βρείτε το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης 2x 2 -7x-11=0.

Η ουσία αυτής της τεχνικής είναι να βρεις ρίζες χωρίς τη βοήθεια κάποιου διακριτικού. Για μια εξίσωση της μορφής x2 + bx + c = 0, όπου υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Η πρώτη πρόταση δηλώνει ότι το άθροισμα των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι ίσο με την τιμή του συντελεστή της μεταβλητής x (στην περίπτωση αυτή είναι b), αλλά με το αντίθετο πρόσημο. Οπτικά μοιάζει με αυτό: x1 + x2 = −b.

Η δεύτερη πρόταση δεν σχετίζεται πλέον με το άθροισμα, αλλά με το γινόμενο αυτών των δύο ριζών. Αυτό το γινόμενο εξισώνεται με τον ελεύθερο συντελεστή, δηλ. ντο. Ή, x1 * x2 = c. Και τα δύο αυτά παραδείγματα επιλύονται στο σύστημα.

Το θεώρημα του Vieta απλοποιεί πολύ τη λύση, αλλά έχει έναν περιορισμό. Μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική πρέπει να μειωθεί. Στην παραπάνω εξίσωση, ο συντελεστής a, αυτός μπροστά από το x2, είναι ίσος με ένα. Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να έλθει σε παρόμοια μορφή διαιρώντας την έκφραση με τον πρώτο συντελεστή, αλλά αυτή η πράξη δεν είναι πάντα ορθολογική.

Απόδειξη του θεωρήματος

Αρχικά, θα πρέπει να θυμόμαστε πόσο παραδοσιακά συνηθίζεται να αναζητούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Βρίσκονται η πρώτη και η δεύτερη ρίζα, δηλαδή: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Γενικά διαιρείται με το 2a, αλλά, όπως ήδη αναφέρθηκε, το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί μόνο όταν a=1.

Από το θεώρημα του Βιέτα είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με πρόσημο μείον. Αυτό σημαίνει ότι x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο αγνώστων ριζών: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Με τη σειρά του, D = b2-4c (και πάλι με a=1). Αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα είναι: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Από την απλή απόδειξη που δίνεται, μόνο ένα συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί: το θεώρημα του Vieta επιβεβαιώνεται πλήρως.

Δεύτερη διατύπωση και απόδειξη

Το θεώρημα του Βιέτα έχει άλλη ερμηνεία. Για να είμαστε πιο ακριβείς, δεν είναι ερμηνεία, αλλά διατύπωση. Το γεγονός είναι ότι εάν πληρούνται οι ίδιες προϋποθέσεις όπως στην πρώτη περίπτωση: υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε το θεώρημα μπορεί να γραφτεί με άλλο τύπο.

Αυτή η ισότητα μοιάζει με αυτό: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Αν η συνάρτηση P(x) τέμνεται σε δύο σημεία x1 και x2, τότε μπορεί να γραφεί ως P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Στην περίπτωση που το P έχει δεύτερο βαθμό, και αυτό ακριβώς μοιάζει με την αρχική έκφραση, τότε το R είναι πρώτος αριθμός, δηλαδή το 1. Αυτή η πρόταση είναι αληθής για το λόγο ότι διαφορετικά δεν θα ισχύει η ισότητα. Ο συντελεστής x2 κατά το άνοιγμα των αγκύλων δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από ένα και η έκφραση πρέπει να παραμένει τετράγωνη.

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται συχνά για τον έλεγχο ριζών που έχουν ήδη βρεθεί. Εάν έχετε βρει τις ρίζες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) για να υπολογίσετε τις τιμές του \(p \) και \(q\ ). Και αν αποδειχθούν ότι είναι ίδια με την αρχική εξίσωση, τότε οι ρίζες βρίσκονται σωστά.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε χρησιμοποιώντας το , την εξίσωση \(x^2+x-56=0\) και πάρουμε τις ρίζες: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ας ελέγξουμε αν κάναμε λάθος στη διαδικασία λύσης. Στην περίπτωσή μας, \(p=1\), και \(q=-56\). Με το θεώρημα του Vieta έχουμε:

\(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\) \(\αριστερό βέλος\) \(\αρχή(περιπτώσεις)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (περιπτώσεις)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (περιπτώσεις)\ )

Και οι δύο προτάσεις συνέκλιναν, πράγμα που σημαίνει ότι λύσαμε σωστά την εξίσωση.

Αυτός ο έλεγχος μπορεί να γίνει από το στόμα. Θα πάρει 5 δευτερόλεπτα και θα σας σώσει από ανόητα λάθη.

Αντίστροφο θεώρημα του Vieta

Αν \(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(περιπτώσεις)\), τότε \(x_1\) και \(x_2\) είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης \ (x^ 2+px+q=0\).

Ή με έναν απλό τρόπο: εάν έχετε μια εξίσωση της μορφής \(x^2+px+q=0\), τότε λύνετε το σύστημα \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) θα βρείτε τις ρίζες του.

Χάρη σε αυτό το θεώρημα, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, ειδικά αν αυτές οι ρίζες είναι . Αυτή η ικανότητα είναι σημαντική γιατί εξοικονομεί πολύ χρόνο.

Παράδειγμα . Λύστε την εξίσωση \(x^2-5x+6=0\).

Λύση : Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο θεώρημα του Vieta, βρίσκουμε ότι οι ρίζες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις: \(\αρχή(περιπτώσεις)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(περιπτώσεις)\).
Δείτε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος \(x_1 \cdot x_2=6\). Σε ποια δύο μπορεί να αποσυντεθεί ο αριθμός \(6\); Σε \(2\) και \(3\), \(6\) και \(1\) ή \(-2\) και \(-3\), και \(-6\) και \(- 1\). Η πρώτη εξίσωση του συστήματος θα σας πει ποιο ζευγάρι να επιλέξετε: \(x_1+x_2=5\). Τα \(2\) και \(3\) είναι παρόμοια, αφού \(2+3=5\).
Απάντηση : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Παραδείγματα . Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Vieta, βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
α) \(x^2-15x+14=0\); β) \(x^2+3x-4=0\); γ) \(x^2+9x+20=0\); δ) \(x^2-88x+780=0\).

Λύση :
α) \(x^2-15x+14=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(14\); \(2\) και \(7\), \(-2\) και \(-7\), \(-1\) και \(-14\), \(1\) και \(14\ ). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται στο \(15\); Απάντηση: \(1\) και \(14\).

β) \(x^2+3x-4=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(-4\); \(-2\) και \(2\), \(4\) και \(-1\), \(1\) και \(-4\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-3\); Απάντηση: \(1\) και \(-4\).

γ) \(x^2+9x+20=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(20\); \(4\) και \(5\), \(-4\) και \(-5\), \(2\) και \(10\), \(-2\) και \(-10\ ), \(-20\) και \(-1\), \(20\) και \(1\). Ποια ζεύγη αριθμών αθροίζονται σε \(-9\); Απάντηση: \(-4\) και \(-5\).

δ) \(x^2-88x+780=0\) – σε ποιους παράγοντες διασπάται το \(780\); \(390\) και \(2\). Θα αθροιστούν στο \(88\); Οχι. Τι άλλους πολλαπλασιαστές έχει ο \(780\); \(78\) και \(10\). Θα αθροιστούν στο \(88\); Ναί. Απάντηση: \(78\) και \(10\).

Δεν είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε τον τελευταίο όρο σε όλους τους πιθανούς παράγοντες (όπως στο τελευταίο παράδειγμα). Μπορείτε να ελέγξετε αμέσως αν το άθροισμά τους δίνει \(-p\).

Σπουδαίος!Το θεώρημα του Vieta και το αντίστροφο θεώρημα λειτουργούν μόνο με , δηλαδή με ένα για το οποίο ο συντελεστής \(x^2\) είναι ίσος με ένα. Αν αρχικά μας δόθηκε μια μη ανηγμένη εξίσωση, τότε μπορούμε να την κάνουμε μειωμένη διαιρώντας απλώς με τον συντελεστή μπροστά από το \(x^2\).

Για παράδειγμα, ας δοθεί η εξίσωση \(2x^2-4x-6=0\) και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα από τα θεωρήματα του Vieta. Αλλά δεν μπορούμε, αφού ο συντελεστής \(x^2\) είναι ίσος με \(2\). Ας το ξεφορτωθούμε διαιρώντας ολόκληρη την εξίσωση με το \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Ετοιμος. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τα δύο θεωρήματα.

Απαντήσεις σε συχνές ερωτήσεις

Ερώτηση: Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να λύσετε οποιοδήποτε ?
Απάντηση: Δυστυχώς όχι. Εάν η εξίσωση δεν περιέχει ακέραιους αριθμούς ή η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες, τότε το θεώρημα του Vieta δεν θα βοηθήσει. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιήσετε διακριτική . Ευτυχώς, το 80% των εξισώσεων στα σχολικά μαθηματικά έχουν ακέραιες λύσεις.