- (μαθηματ.) Μια συνάρτηση y = f (x) καλείται ακόμα κι αν δεν αλλάζει όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή αλλάζει μόνο πρόσημο, δηλαδή αν f (x) = f (x). Αν f (x) = f (x), τότε η συνάρτηση f (x) ονομάζεται περιττή. Για παράδειγμα, y = cosx, y = x2... ...
Το F(x) = x είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης. Η f(x) = x2 είναι ένα παράδειγμα άρτιας συνάρτησης. f(x) = x3 ... Wikipedia
Συνάρτηση που ικανοποιεί την ισότητα f (x) = f (x). Δείτε ζυγές και περιττές συναρτήσεις... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Το F(x) = x είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης. Η f(x) = x2 είναι ένα παράδειγμα άρτιας συνάρτησης. f(x) = x3 ... Wikipedia
Το F(x) = x είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης. Η f(x) = x2 είναι ένα παράδειγμα άρτιας συνάρτησης. f(x) = x3 ... Wikipedia
Το F(x) = x είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης. Η f(x) = x2 είναι ένα παράδειγμα άρτιας συνάρτησης. f(x) = x3 ... Wikipedia
Το F(x) = x είναι ένα παράδειγμα περιττής συνάρτησης. Η f(x) = x2 είναι ένα παράδειγμα άρτιας συνάρτησης. f(x) = x3 ... Wikipedia
Ειδικές συναρτήσεις που εισήγαγε ο Γάλλος μαθηματικός E. Mathieu το 1868 κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ταλάντωση μιας ελλειπτικής μεμβράνης. M. f. χρησιμοποιούνται επίσης στη μελέτη της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε έναν ελλειπτικό κύλινδρο... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Το αίτημα "αμαρτία" ανακατευθύνεται εδώ. δείτε επίσης άλλες έννοιες. Το αίτημα "sec" ανακατευθύνεται εδώ. δείτε επίσης άλλες έννοιες. Το αίτημα "Sine" ανακατευθύνεται εδώ. δείτε και άλλες έννοιες... Βικιπαίδεια
Η εξάρτηση μιας μεταβλητής y από μια μεταβλητή x, στην οποία κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y ονομάζεται συνάρτηση. Για τον προσδιορισμό χρησιμοποιήστε τον συμβολισμό y=f(x). Κάθε συνάρτηση έχει μια σειρά από βασικές ιδιότητες, όπως μονοτονία, ισοτιμία, περιοδικότητα και άλλες.
Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στην ιδιότητα ισοτιμίας.
Μια συνάρτηση y=f(x) καλείται ακόμα κι αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:
2. Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x, που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πρέπει να είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο -x. Δηλαδή, για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = f(-x).
Γράφημα άρτιας συνάρτησης
Εάν σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας άρτιας συνάρτησης, θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^2 είναι άρτια. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Επομένως f(x) = f(-x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^2.
Το σχήμα δείχνει ότι το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.
Γράφημα περιττής συνάρτησης
Μια συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται περιττή αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:
1. Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το σημείο Ο. Δηλαδή, εάν κάποιο σημείο a ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε το αντίστοιχο σημείο -a πρέπει επίσης να ανήκει στο πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης.
2. Για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = -f(x).
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς το σημείο Ο - την αρχή των συντεταγμένων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^3 είναι περιττή. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Επομένως f(x) = -f(x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^3.
Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι η περιττή συνάρτηση y=x^3 είναι συμμετρική ως προς την αρχή.
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Στόχοι:
- σχηματίζουν την έννοια της ισοτιμίας και της περιττότητας μιας συνάρτησης, διδάσκουν την ικανότητα προσδιορισμού και χρήσης αυτών των ιδιοτήτων όταν έρευνα λειτουργίας, σχεδίαση?
- αναπτύξουν δημιουργική μαθητική δραστηριότητα, λογική σκέψη, ικανότητα σύγκρισης, γενίκευσης.
- καλλιεργούν τη σκληρή δουλειά και τη μαθηματική κουλτούρα. αναπτύξουν επικοινωνιακές δεξιότητες .
Εξοπλισμός:εγκατάσταση πολυμέσων, διαδραστικός πίνακας, φυλλάδια.
Μορφές εργασίας:μετωπική και ομαδική με στοιχεία ερευνητικών και ερευνητικών δραστηριοτήτων.
Πηγές πληροφοριών:
1. Άλγεβρα 9η τάξη A.G. Mordkovich. Σχολικό βιβλίο.
2. Άλγεβρα 9ης τάξης A.G. Mordkovich. Βιβλίο προβλημάτων.
3. Άλγεβρα 9η τάξη. Καθήκοντα για τη μάθηση και την ανάπτυξη των μαθητών. Belenkova E.Yu. Λεμπεντίντσεβα Ε.Α.
ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
1. Οργανωτική στιγμή
Θέτοντας στόχους και στόχους για το μάθημα.
2. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι
Νο. 10.17 (βιβλίο προβλημάτων 9ης δημοτικού. A.G. Mordkovich).
ΕΝΑ) στο = φά(Χ), φά(Χ) = 
σι) φά (–2) = –3; φά (0) = –1; φά(5) = 69;
γ) 1. Δ( φά) = [– 2; + ∞)
2. Ε( φά) = [– 3; + ∞)
3. φά(Χ) = 0 στο Χ ~ 0,4
4. φά(Χ) >0 στο Χ > 0,4 ; φά(Χ)
< 0 при – 2 <
Χ <
0,4.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται με Χ € [– 2; + ∞)
6. Η λειτουργία περιορίζεται από κάτω.
7. στο naim = – 3, στοναιμπ δεν υπάρχει
8. Η συνάρτηση είναι συνεχής.
(Έχετε χρησιμοποιήσει αλγόριθμο εξερεύνησης συναρτήσεων;) Ολίσθηση.
2. Ας ελέγξουμε τον πίνακα που σας ζητήθηκε από τη διαφάνεια.
| Γεμίστε τον πίνακα | |||||
Τομέα |
Συναρτήσεις μηδενικά |
Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου |
Συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Ενημέρωση γνώσεων
– Δίνονται οι λειτουργίες.
– Καθορίστε το εύρος ορισμού για κάθε λειτουργία.
– Συγκρίνετε την τιμή κάθε συνάρτησης για κάθε ζεύγος τιμών ορίσματος: 1 και – 1; 2 και – 2.
– Για ποιες από αυτές τις λειτουργίες στον τομέα ορισμού ισχύουν οι ισότητες φά(– Χ)
= φά(Χ), φά(– Χ) = – φά(Χ)? (εισάγετε τα ληφθέντα δεδομένα στον πίνακα) Ολίσθηση
| φά(1) και φά(– 1) | φά(2) και φά(– 2) | γραφικά | φά(– Χ) = –φά(Χ) | φά(– Χ) = φά(Χ) | ||
| 1. φά(Χ) = | ||||||
| 2. φά(Χ) = Χ 3 | ||||||
| 3. φά(Χ) = | Χ | | ||||||
| 4.φά(Χ) = 2Χ – 3 | ||||||
| 5. φά(Χ) = | Χ ≠ 0 |
|||||
| 6. φά(Χ)= | Χ > –1 | και δεν ορίζεται |
4. Νέο υλικό
– Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, παιδιά, εντοπίσαμε μια άλλη ιδιότητα της συνάρτησης, άγνωστη σε εσάς, αλλά όχι λιγότερο σημαντική από τις άλλες - αυτή είναι η ομοιόμορφη και η παραδοξότητα της συνάρτησης. Καταγράψτε το θέμα του μαθήματος: "Ζυγές και περιττές συναρτήσεις", το καθήκον μας είναι να μάθουμε να προσδιορίζουμε την ομοιότητα και την περιττότητα μιας συνάρτησης, να μάθουμε τη σημασία αυτής της ιδιότητας στη μελέτη συναρτήσεων και τη δημιουργία γραφημάτων.
Ας βρούμε λοιπόν τους ορισμούς στο σχολικό βιβλίο και ας διαβάσουμε (σελ. 110) . Ολίσθηση
Def. 1Λειτουργία στο = φά (Χ), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται ακόμη και, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧΕκτελείται το Є X ισότητα f(–x)= f(x). Δώσε παραδείγματα.
Def. 2Λειτουργία y = f(x), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται Περιττός, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X ισχύει η ισότητα f(–х)= –f(х). Δώσε παραδείγματα.
Πού συναντήσαμε τους όρους «άρτιος» και «μονός»;
Ποια από αυτές τις συναρτήσεις θα είναι άρτια, πιστεύετε; Γιατί; Ποια είναι περίεργα; Γιατί;
Για οποιαδήποτε λειτουργία της φόρμας στο= x n, Οπου n– ένας ακέραιος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή όταν n– περιττό και η συνάρτηση είναι άρτια όταν n- ακόμη και.
– Προβολή λειτουργιών στο= και στο = 2Χ– Τα 3 δεν είναι ούτε ζυγά ούτε περιττά, γιατί ισότητες δεν ικανοποιούνται φά(– Χ) = – φά(Χ), φά(–
Χ) = φά(Χ)
Η μελέτη του αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται μελέτη της ισοτιμίας μιας συνάρτησης.Ολίσθηση
Στους ορισμούς 1 και 2 μιλούσαμε για τις τιμές της συνάρτησης στα x και – x, επομένως υποτίθεται ότι η συνάρτηση ορίζεται επίσης στην τιμή Χ, και σε - Χ.
Def 3.Αν σύνολο αριθμώνμαζί με καθένα από τα στοιχεία του το x περιέχει και το αντίθετο στοιχείο –x και μετά το σύνολο Χονομάζεται συμμετρικό σύνολο.
Παραδείγματα:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) είναι συμμετρικά σύνολα και , [–5;4] είναι ασύμμετρα.
– Έχουν ακόμη και οι συναρτήσεις ένα πεδίο ορισμού που είναι ένα συμμετρικό σύνολο; Τα περίεργα;
– Αν Δ( φά) είναι ένα ασύμμετρο σύνολο, τότε ποια είναι η συνάρτηση;
– Έτσι, εάν η συνάρτηση στο = φά(Χ) – άρτιο ή περιττό, τότε το πεδίο ορισμού του είναι D( φά) είναι ένα συμμετρικό σύνολο. Είναι αληθής η αντίστροφη πρόταση: αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ένα συμμετρικό σύνολο, τότε είναι άρτιο ή περιττό;
– Αυτό σημαίνει ότι η παρουσία ενός συμμετρικού συνόλου του πεδίου ορισμού είναι απαραίτητη προϋπόθεση, αλλά όχι επαρκής.
– Πώς λοιπόν εξετάζετε μια συνάρτηση για ισοτιμία; Ας προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο.
Ολίσθηση
Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ισοτιμία
1. Προσδιορίστε εάν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι συμμετρικό. Αν όχι, τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Εάν ναι, τότε μεταβείτε στο βήμα 2 του αλγορίθμου.
2. Γράψτε μια έκφραση για φά(–Χ).
3. Συγκρίνετε φά(–Χ).Και φά(Χ):
- Αν φά(–Χ).= φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι άρτια.
- Αν φά(–Χ).= – φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι περιττή.
- Αν φά(–Χ) ≠ φά(Χ) Και φά(–Χ) ≠ –φά(Χ), τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Παραδείγματα:
Εξετάστε τη συνάρτηση α) για ισοτιμία στο= x 5 +; σι) στο= ; V) στο= .
Λύση.
α) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), συμμετρικό σύνολο.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => συνάρτηση h(x)= x 5 + περιττός.
β) y =,
στο = φά(Χ), D(f) = (–∞; –9); (–9; +∞), ένα ασύμμετρο σύνολο, που σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
V) φά(Χ) = , y = f (x),
1) Δ( φά) = (–∞; 3] ≠ ; β) (∞; –2), (–4; 4];
Επιλογή 2
1. Είναι το δεδομένο σύνολο συμμετρικό: α) [–2;2]; β) (∞; 0], (0; 7) ?
ΕΝΑ); β) y = x (5 – x 2).
α) y = x 2 (2x – x 3), β) y =
Γράφημα τη συνάρτηση στο = φά(Χ), Αν στο = φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση.
Γράφημα τη συνάρτηση στο = φά(Χ), Αν στο = φά(Χ) είναι μια περιττή συνάρτηση.
Αμοιβαίος έλεγχος ολίσθηση.
6. Εργασία για το σπίτι: №11.11, 11.21,11.22;
Απόδειξη της γεωμετρικής σημασίας της ιδιότητας ισοτιμίας.
***(Ανάθεση επιλογής Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης).
1. Η περιττή συνάρτηση y = f(x) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Για οποιαδήποτε μη αρνητική τιμή της μεταβλητής x, η τιμή αυτής της συνάρτησης συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης g( Χ) = Χ(Χ + 1)(Χ + 3)(Χ– 7). Βρείτε την τιμή της συνάρτησης h( Χ) = στο Χ = 3.
7. Συνοψίζοντας
Ομοιόμορφη λειτουργία.
Ακόμη καιείναι μια συνάρτηση της οποίας το πρόσημο δεν αλλάζει όταν αλλάζει το πρόσημο Χ.
Χισχύει η ισότητα φά(–Χ) = φά(Χ). Σημάδι Χδεν επηρεάζει το ζώδιο y.
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των συντεταγμένων (Εικ. 1).
Παραδείγματα άρτιας συνάρτησης:
y=κοσ Χ
y = Χ 2
y = –Χ 2
y = Χ 4
y = Χ 6
y = Χ 2 + Χ
Εξήγηση:
Ας πάρουμε τη συνάρτηση y = Χ 2 ή y = –Χ 2 .
Για οποιαδήποτε αξία Χη συνάρτηση είναι θετική. Σημάδι Χδεν επηρεάζει το ζώδιο y. Το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των συντεταγμένων. Αυτή είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία.
Περιττή συνάρτηση.
Περιττόςείναι μια συνάρτηση της οποίας το πρόσημο αλλάζει όταν αλλάζει το πρόσημο Χ.
Με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε αξία Χισχύει η ισότητα φά(–Χ) = –φά(Χ).
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή (Εικ. 2).
Παραδείγματα περιττών συναρτήσεων:
y= αμαρτία Χ
y = Χ 3
y = –Χ 3
Εξήγηση:
Ας πάρουμε τη συνάρτηση y = – Χ 3 .
Όλες οι έννοιες στοθα έχει πρόσημο μείον. Αυτό είναι σημάδι Χεπηρεάζει το ζώδιο y. Εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι θετικός αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι θετική, εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι αρνητικός αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι αρνητική: φά(–Χ) = –φά(Χ).
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτή είναι μια περίεργη συνάρτηση.
Ιδιότητες άρτιων και περιττών συναρτήσεων:
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Δεν είναι όλες οι συναρτήσεις ζυγές ή περιττές. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν υπακούουν σε τέτοια διαβάθμιση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ρίζας στο = √Χδεν ισχύει ούτε για άρτια ούτε για περιττές συναρτήσεις (Εικ. 3). Κατά την απαρίθμηση των ιδιοτήτων τέτοιων συναρτήσεων, θα πρέπει να δίνεται μια κατάλληλη περιγραφή: ούτε ζυγός ούτε περιττός.
Περιοδικές συναρτήσεις.
Όπως γνωρίζετε, η περιοδικότητα είναι η επανάληψη ορισμένων διεργασιών σε ένα ορισμένο διάστημα. Οι συναρτήσεις που περιγράφουν αυτές τις διαδικασίες καλούνται περιοδικές συναρτήσεις . Δηλαδή, πρόκειται για συναρτήσεις στα γραφήματα των οποίων υπάρχουν στοιχεία που επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένα αριθμητικά διαστήματα.
Μετατροπή γραφημάτων.
Λεκτική περιγραφή της λειτουργίας.
Γραφική μέθοδος.
Η γραφική μέθοδος προσδιορισμού μιας συνάρτησης είναι η πιο οπτική και χρησιμοποιείται συχνά στην τεχνολογία. Στη μαθηματική ανάλυση, η γραφική μέθοδος προσδιορισμού συναρτήσεων χρησιμοποιείται ως παράδειγμα.
Γράφημα συνάρτησης f είναι το σύνολο όλων των σημείων (x;y) επίπεδο συντεταγμένων, όπου y=f(x) και x «διατρέχει» ολόκληρο το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης.
Ένα υποσύνολο του επιπέδου συντεταγμένων είναι μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης εάν έχει το πολύ μία κοινό σημέιοαπό οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy.
Παράδειγμα. Τα σχήματα που φαίνονται παρακάτω είναι γραφήματα συναρτήσεων;
Το πλεονέκτημα μιας γραφικής εργασίας είναι η σαφήνειά της. Μπορείτε να δείτε αμέσως πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση, πού αυξάνεται και πού μειώνεται. Από το γράφημα μπορείτε να μάθετε αμέσως μερικά σημαντικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης.
Γενικά, αναλυτική και γραφικούς τρόπουςοι αναθέσεις λειτουργιών συμβαδίζουν. Η εργασία με τον τύπο βοηθά στη δημιουργία γραφήματος. Και το γράφημα συχνά προτείνει λύσεις που δεν θα παρατηρούσατε καν στον τύπο.
Σχεδόν κάθε μαθητής γνωρίζει τους τρεις τρόπους ορισμού μιας συνάρτησης που μόλις εξετάσαμε.
Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: "Υπάρχουν άλλοι τρόποι για να ορίσετε μια συνάρτηση;"
Υπάρχει τέτοιος τρόπος.
Η συνάρτηση μπορεί να προσδιορίζεται σαφώς με λέξεις.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=2x μπορεί να καθοριστεί με την ακόλουθη λεκτική περιγραφή: κάθε πραγματική τιμή του ορίσματος x συνδέεται με τη διπλή του τιμή. Καθιερώνεται ο κανόνας, καθορίζεται η λειτουργία.
Επιπλέον, μπορείτε να καθορίσετε προφορικά μια συνάρτηση που είναι εξαιρετικά δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να οριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο.
Για παράδειγμα: κάθε τιμή του φυσικού ορίσματος x σχετίζεται με το άθροισμα των ψηφίων που συνθέτουν την τιμή του x. Για παράδειγμα, αν x=3, τότε y=3. Αν x=257, τότε y=2+5+7=14. Και ούτω καθεξής. Είναι προβληματικό να το γράψετε αυτό σε έναν τύπο. Αλλά το σημάδι είναι εύκολο να γίνει.
Η μέθοδος της λεκτικής περιγραφής είναι μια μάλλον σπάνια χρησιμοποιούμενη μέθοδος. Αλλά μερικές φορές συμβαίνει.
Αν υπάρχει νόμος αντιστοιχίας ένα προς ένα μεταξύ x και y, τότε υπάρχει συνάρτηση. Ποιος νόμος, με ποια μορφή εκφράζεται - μια φόρμουλα, μια ταμπλέτα, μια γραφική παράσταση, λέξεις - δεν αλλάζει την ουσία του θέματος.
Ας εξετάσουμε συναρτήσεις των οποίων τα πεδία ορισμού είναι συμμετρικά ως προς την αρχή, δηλ. Για οποιονδηποτε Χαπό τον τομέα του αριθμού ορισμού (- Χ) ανήκει επίσης στο πεδίο ορισμού. Μεταξύ αυτών των λειτουργιών είναι ζυγός και περιττός.
Ορισμός.Καλείται η συνάρτηση f ακόμη και, εάν υπάρχει Χαπό το πεδίο ορισμού του
Παράδειγμα.Εξετάστε τη συνάρτηση 
Είναι άρτιο. Ας το ελέγξουμε.
Για οποιονδηποτε Χικανοποιούνται οι ισότητες
Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Παρακάτω είναι ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης.
Ορισμός.Καλείται η συνάρτηση f Περιττός, εάν υπάρχει Χαπό το πεδίο ορισμού του 
Παράδειγμα. Εξετάστε τη συνάρτηση 
Είναι περίεργο. Ας το ελέγξουμε.
Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο (0;0).
Για οποιονδηποτε Χικανοποιούνται οι ισότητες
Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή. Παρακάτω είναι ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης.
Τα γραφήματα που φαίνονται στο πρώτο και το τρίτο σχήμα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα τεταγμένων και τα γραφήματα που φαίνονται στο δεύτερο και το τέταρτο σχήμα είναι συμμετρικά ως προς την αρχή.
Ποιες από τις συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα σχήματα είναι άρτιες και ποιες περιττές;
