Τι είναι μια λογική εξίσωση. Τρόποι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων

Μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας (αν ο αριθμός των μεταβλητών δεν είναι πολύ μεγάλος) ή χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων, αφού απλοποιήσετε κάθε εξίσωση.

1. Μέθοδος μεταβολής μεταβλητών.

Η εισαγωγή νέων μεταβλητών καθιστά δυνατή την απλοποίηση του συστήματος εξισώσεων μειώνοντας τον αριθμό των αγνώστων.Οι νέες μεταβλητές πρέπει να είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη. Μετά την επίλυση του απλοποιημένου συστήματος, είναι απαραίτητο να επιστρέψετε ξανά στις αρχικές μεταβλητές.

Εξετάστε την εφαρμογή αυτής της μεθόδου σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Λύση:

Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές: А=(X1≡X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); Ε=(Χ9 ≡ Χ10).

(Προσοχή! Κάθε μεταβλητή τους x1, x2, ..., x10 πρέπει να περιλαμβάνεται μόνο σε μία από τις νέες μεταβλητές A, B, C, D, E, δηλαδή οι νέες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους).

Τότε το σύστημα των εξισώσεων θα μοιάζει με αυτό:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων του συστήματος που προκύπτει:

Θεωρούμε την εξίσωση A=0, δηλ. (Χ1≡ X2)=0. Έχει 2 ρίζες:

		X1 ≡ X2

Από τον ίδιο πίνακα φαίνεται ότι η εξίσωση A \u003d 1 έχει επίσης 2 ρίζες. Ας τακτοποιήσουμε τον αριθμό των ριζών στο δέντρο αποφάσεων:

Για να βρείτε τον αριθμό των λύσεων για έναν κλάδο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό των λύσεων σε κάθε επίπεδο. Ο αριστερός κλάδος έχει 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 λύσεις; ο δεξιός κλάδος έχει επίσης 32 λύσεις. Εκείνοι. όλο το σύστημα έχει 32+32=64 λύσεις.

Απάντηση: 64.

2. Μέθοδος συλλογισμού.

Η πολυπλοκότητα της επίλυσης συστημάτων λογικών εξισώσεων έγκειται στον όγκο του πλήρους δέντρου αποφάσεων. Η συλλογιστική μέθοδος σας επιτρέπει να μην χτίσετε ολόκληρο το δέντρο, αλλά ταυτόχρονα να καταλάβετε πόσα κλαδιά θα έχει. Ας εξετάσουμε αυτή τη μέθοδο σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1 Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών Boolean μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

Η απάντηση δεν χρειάζεται να απαριθμήσει όλα τα διαφορετικά σύνολα τιμών των μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 σύμφωνα με τα οποία ικανοποιείται το δεδομένο σύστημα ισοτήτων. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση :

Η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση περιέχουν ανεξάρτητες μεταβλητές που σχετίζονται με μια τρίτη συνθήκη. Ας κατασκευάσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση.

Για να αναπαραστήσουμε το δέντρο αποφάσεων του συστήματος από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση, είναι απαραίτητο να συνεχίσουμε κάθε κλάδο του πρώτου δέντρου με ένα δέντρο για μεταβλητέςστο . Το δέντρο που κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο θα περιέχει 36 κλαδιά. Ορισμένοι από αυτούς τους κλάδους δεν ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση του συστήματος. Σημειώστε στο πρώτο δέντρο τον αριθμό των κλαδιών του δέντρου"στο" , που ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση:

Ας διευκρινίσουμε: για την εκπλήρωση της τρίτης συνθήκης στο x1=0 πρέπει να υπάρχουν y1=1, δηλαδή όλα τα κλαδιά του δέντρου"Χ" , όπου x1=0 μπορεί να συνεχιστεί με ένα μόνο κλαδί από το δέντρο"στο" . Και μόνο για ένα κλαδί του δέντρου"Χ" (δεξιά) ταιριάζει σε όλα τα κλαδιά του δέντρου"στο". Έτσι, το πλήρες δέντρο ολόκληρου του συστήματος περιέχει 11 κλάδους. Κάθε κλάδος αντιπροσωπεύει μία λύση στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Οπότε όλο το σύστημα έχει 11 λύσεις.

Απάντηση: 11.

Παράδειγμα 2 Πόσες διαφορετικές λύσεις έχει το σύστημα εξισώσεων

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

όπου x1, x2, ..., x10 είναι δυαδικές μεταβλητές; Η απάντηση δεν χρειάζεται να αναφέρει όλα τα διαφορετικά σύνολα μεταβλητών τιμών για τα οποία ισχύει αυτή η ισότητα. Ως απάντηση, πρέπει να υποδείξετε τον αριθμό τέτοιων συνόλων.

Λύση : Ας απλοποιήσουμε το σύστημα. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα αλήθειας του μέρους της πρώτης εξίσωσης:

X1 ∧ X10	¬X1 ∧ ¬X10	(X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬X10)

Προσοχή στην τελευταία στήλη, ταιριάζει με το αποτέλεσμα της ενέργειας X1 ≡ X10.

X1 ≡ X10

Μετά την απλοποίηση, παίρνουμε:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Εξετάστε την τελευταία εξίσωση:(X1 ≡ X10) = 0, δηλ. Το x1 δεν πρέπει να είναι το ίδιο με το x10. Για να είναι η πρώτη εξίσωση ίση με 1, πρέπει να ισχύει η ισότητα(X1 ≡ X2)=1, δηλ. Το x1 πρέπει να ταιριάζει με το x2.

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για την πρώτη εξίσωση:

Θεωρούμε τη δεύτερη εξίσωση: για x10=1 και για x2=0 την αγκύληπρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 είναι το ίδιο με το x3). σε x10=0 και σε x2=1 παρένθεση(X2 ≡ X10)=0 , άρα αγκύλη (X2 ≡ X3) πρέπει να είναι ίσο με 1 (δηλαδή το x2 είναι ίδιο με το x3):

Υποστηρίζοντας με αυτόν τον τρόπο, κατασκευάζουμε ένα δέντρο αποφάσεων για όλες τις εξισώσεις:

Έτσι, το σύστημα των εξισώσεων έχει μόνο 2 λύσεις.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 3

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών Boolean μεταβλητών x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Λύση:

Ας φτιάξουμε ένα δέντρο αποφάσεων της 1ης εξίσωσης:

Θεωρήστε τη δεύτερη εξίσωση:

Όταν x1=0 : η δεύτερη και η τρίτη παρένθεση θα είναι 0. για να είναι η πρώτη αγκύλη ίση με 1, πρέπει y1=1 , z1=1 (δηλαδή σε αυτή την περίπτωση - 1 λύση)
Με x1=1 : η πρώτη παρένθεση θα είναι 0. δεύτεροςή η τρίτη παρένθεση πρέπει να είναι ίση με 1. η δεύτερη αγκύλη θα είναι ίση με 1 όταν y1=0 και z1=1. η τρίτη αγκύλη θα είναι ίση με 1 για y1=1 και z1=0 (δηλαδή σε αυτή την περίπτωση - 2 λύσεις).

Ομοίως για τις υπόλοιπες εξισώσεις. Σημειώστε τον αριθμό των λύσεων που ελήφθησαν για κάθε κόμβο του δέντρου:

Για να μάθουμε τον αριθμό των λύσεων για κάθε κλάδο, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που λαμβάνονται χωριστά για κάθε κλάδο (από αριστερά προς τα δεξιά).

1 κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 διάλυμα

2 κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 διαλύματα

3ος κλάδος: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 λύσεις

4 κλάδος: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 διαλύματα

5 κλάδος: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 λύσεις

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς που προέκυψαν: συνολικά 31 λύσεις.

Απάντηση: 31.

3. Τακτική αύξηση του αριθμού των ριζών

Σε ορισμένα συστήματα, ο αριθμός των ριζών της επόμενης εξίσωσης εξαρτάται από τον αριθμό των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης.

Παράδειγμα 1 Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών Boolean μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες;

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Απλοποιώ πρώτη εξίσωση:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

Και τα λοιπά.

Κάθε εξίσωση που ακολουθεί έχει 2 περισσότερες ρίζες από την προηγούμενη.

Η 4 εξίσωση έχει 12 ρίζες.

Η εξίσωση 5 έχει 14 ρίζες

Η 8 εξίσωση έχει 20 ρίζες.

Απάντηση: 20 ρίζες.

Μερικές φορές ο αριθμός των ριζών αυξάνεται σύμφωνα με το νόμο των αριθμών Fibonacci.

Η επίλυση ενός συστήματος λογικών εξισώσεων απαιτεί δημιουργική προσέγγιση.

Πώς να λύσετε ορισμένα προβλήματα στις Ενότητες Α και Β της Εξέτασης Πληροφορικής

Μάθημα νούμερο 3. Λογικές. Λογικές συναρτήσεις. Επίλυση Εξισώσεων

Ένας μεγάλος αριθμός εργασιών USE είναι αφιερωμένος στη λογική των προτάσεων. Για να λυθούν τα περισσότερα από αυτά, αρκεί να γνωρίζουμε τους βασικούς νόμους της προτασιακής λογικής, τη γνώση των πινάκων αλήθειας των λογικών συναρτήσεων μιας και δύο μεταβλητών. Θα δώσω τους βασικούς νόμους της προτασιακής λογικής.

Αντιμεταθεσιμότητα διαχωρισμού και συνδέσμου:
a ˅ b ≡ b ˅ a
a^b ≡ b^a
Ο διανεμητικός νόμος σχετικά με τον διαχωρισμό και τον σύνδεσμο:
a ˅ (b^c) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ c)
a ^ (b ˅ c) ≡ (a ^ b) ˅ (a ^ c)
Αρνητική άρνηση:
¬(¬a) ≡ α
Συνοχή:
a ^ ¬a ≡ ψευδής
Αποκλειστικό τρίτο:
a ˅ ¬a ≡ αληθές
Οι νόμοι του De Morgan:
¬(a ˅ β) ≡ ¬a ˄ ¬b
¬(a ˄ β) ≡ ¬a ˅ ¬b
Απλοποίηση:
a ˄ a ≡ a
a ˅ a ≡ a
a ˄ αληθές ≡ α
a ˄ false ≡ false
Απορρόφηση:
a ˄ (a ˅ β) ≡ α
a ˅ (a ˄ β) ≡ α
Αντικατάσταση του υπονοούμενου
a → b ≡ ¬a ˅ β
Αλλαγή ταυτότητας
a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

Αναπαράσταση λογικών συναρτήσεων

Οποιαδήποτε λογική συνάρτηση n μεταβλητών - F(x 1 , x 2 , ... x n) μπορεί να οριστεί από έναν πίνακα αλήθειας. Ένας τέτοιος πίνακας περιέχει 2 n σύνολα μεταβλητών, για καθεμία από τις οποίες καθορίζεται η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σύνολο. Αυτή η μέθοδος είναι καλή όταν ο αριθμός των μεταβλητών είναι σχετικά μικρός. Ακόμη και για n > 5, η αναπαράσταση γίνεται ελάχιστα ορατή.

Ένας άλλος τρόπος είναι να ορίσετε τη συνάρτηση με κάποιον τύπο, χρησιμοποιώντας γνωστές αρκετά απλές συναρτήσεις. Το σύστημα συναρτήσεων (f 1 , f 2 , … f k ) ονομάζεται πλήρες εάν οποιαδήποτε λογική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί με έναν τύπο που περιέχει μόνο συναρτήσεις f i .

Το σύστημα συναρτήσεων (¬, ˄, ˅) έχει ολοκληρωθεί. Οι νόμοι 9 και 10 είναι παραδείγματα του τρόπου με τον οποίο η συνεπαγωγή και η ταυτότητα εκφράζονται μέσω της άρνησης, του συνδέσμου και του διαχωρισμού.

Στην πραγματικότητα, το σύστημα δύο συναρτήσεων είναι επίσης πλήρες - άρνηση και σύνδεσμος ή άρνηση και διαχωρισμός. Οι παραστάσεις προκύπτουν από τους νόμους του De Morgan που επιτρέπουν την έκφραση μιας σύνδεσης μέσω άρνησης και διαχωρισμού και, κατά συνέπεια, την έκφραση μιας διάστασης μέσω άρνησης και σύνδεσης:

(a ˅ β) ≡ ¬(¬a ˄ ¬b)
(a ˄ b) ≡ ¬(¬a ˅ ¬b)

Παραδόξως, ένα σύστημα που αποτελείται από μία μόνο λειτουργία είναι πλήρες. Υπάρχουν δύο δυαδικές συναρτήσεις - η αντισύνδεση και η αντισύνδεση, που ονομάζονται το βέλος του Pierce και το χτύπημα του Schaeffer, που αντιπροσωπεύουν ένα κοίλο σύστημα.

Οι βασικές λειτουργίες των γλωσσών προγραμματισμού περιλαμβάνουν συνήθως την ταυτότητα, την άρνηση, τη σύνδεση και τη διάζευξη. Στα καθήκοντα της εξέτασης, μαζί με αυτές τις λειτουργίες, υπάρχει συχνά μια υπονοούμενη.

Ας δούμε μερικές απλές εργασίες που σχετίζονται με λογικές συναρτήσεις.

Εργασία 15:

Δίνεται ένα τμήμα του πίνακα αλήθειας. Ποια από τις τρεις δεδομένες συναρτήσεις αντιστοιχεί σε αυτό το τμήμα;

x1	x2	x3	x4	φά
1	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0

(X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
(¬X 1 ˄ X 2) ˅ (¬X 3 ˄ X 4)
¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

Χαρακτηριστικό αριθμός 3.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να γνωρίζετε τους πίνακες αλήθειας των βασικών συναρτήσεων και να έχετε κατά νου τις προτεραιότητες των πράξεων. Να θυμίσω ότι ο σύνδεσμος (λογικός πολλαπλασιασμός) έχει μεγαλύτερη προτεραιότητα και εκτελείται πριν από τον διαχωρισμό (λογική πρόσθεση). Κατά τον υπολογισμό, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι συναρτήσεις με τους αριθμούς 1 και 2 στο τρίτο σύνολο έχουν την τιμή 1 και για αυτό το λόγο δεν αντιστοιχούν στο τμήμα.

Εργασία 16:

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς ικανοποιεί την προϋπόθεση:

(ψηφία, ξεκινώντας από το πιο σημαντικό ψηφίο, πηγαίνουν με φθίνουσα σειρά) → (αριθμός - ζυγός) ˄ (χαμηλότερο ψηφίο - ζυγό) ˄ (υψηλότερο ψηφίο - περιττό)

Εάν υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί, υποδείξτε τον μεγαλύτερο.

13579
97531
24678
15386

Η προϋπόθεση ικανοποιείται από τον αριθμό 4.

Οι δύο πρώτοι αριθμοί δεν ικανοποιούν την προϋπόθεση για το λόγο ότι το χαμηλότερο ψηφίο είναι περιττό. Ένας συνδυασμός συνθηκών είναι ψευδής εάν ένας από τους όρους του συνδέσμου είναι ψευδής. Για τον τρίτο αριθμό, η προϋπόθεση για το υψηλότερο ψηφίο δεν πληρούται. Για τον τέταρτο αριθμό πληρούνται οι προϋποθέσεις που επιβάλλονται στα ελάσσονα και μείζονα ψηφία του αριθμού. Ο πρώτος όρος του συνδέσμου είναι επίσης αληθής, δεδομένου ότι μια υπονοούμενη είναι αληθής αν η υπόθεση της είναι ψευδής, πράγμα που συμβαίνει εδώ.

Πρόβλημα 17: Δύο μάρτυρες κατέθεσαν ως εξής:

Πρώτος μάρτυρας: Εάν ο Α είναι ένοχος, τότε ο Β είναι σίγουρα ένοχος και ο Γ είναι αθώος.

Δεύτερος μάρτυρας: Δύο είναι ένοχοι. Και ένας από τους υπόλοιπους είναι σίγουρα ένοχος και ένοχος, αλλά δεν μπορώ να πω ακριβώς ποιος.

Ποια συμπεράσματα για την ενοχή των Α, Β και Γ μπορούν να εξαχθούν από τα στοιχεία;

Απάντηση: Από τη μαρτυρία προκύπτει ότι ο Α και ο Β είναι ένοχοι, αλλά ο Γ είναι αθώος.

Λύση: Φυσικά, η απάντηση μπορεί να δοθεί με βάση την κοινή λογική. Ας δούμε όμως πώς μπορεί να γίνει αυτό αυστηρά και επίσημα.

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να επισημοποιήσετε τις δηλώσεις. Ας εισαγάγουμε τρεις μεταβλητές Boole, A, B και C, καθεμία από τις οποίες ισχύει (1) εάν ο αντίστοιχος ύποπτος είναι ένοχος. Τότε η κατάθεση του πρώτου μάρτυρα δίνεται με τον τύπο:

A → (B ˄ ¬C)

Η κατάθεση του δεύτερου μάρτυρα δίνεται με τον τύπο:

A ˄ ((B ˄ ¬C) ˅ (¬B ˄ C))

Οι καταθέσεις και των δύο μαρτύρων υποτίθεται ότι είναι αληθείς και αντιπροσωπεύουν το συνδυασμό των αντίστοιχων τύπων.

Ας φτιάξουμε έναν πίνακα αλήθειας για αυτές τις αναγνώσεις:

ΕΝΑ	σι	ντο	F1	F2	F 1 F 2
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0

Τα συνοπτικά στοιχεία είναι αληθή μόνο σε μία περίπτωση, οδηγώντας σε μια ξεκάθαρη απάντηση - ο Α και ο Β είναι ένοχοι και ο Γ είναι αθώος.

Από την ανάλυση αυτού του πίνακα προκύπτει επίσης ότι η κατάθεση του δεύτερου μάρτυρα είναι πιο κατατοπιστική. Από την αλήθεια της κατάθεσής του, ακολουθούν μόνο δύο πιθανές επιλογές - ο Α και ο Β είναι ένοχοι, και ο Γ είναι αθώος, ή ο Α και ο Γ είναι ένοχοι και ο Β είναι αθώος. Η κατάθεση του πρώτου μάρτυρα είναι λιγότερο κατατοπιστική - υπάρχουν 5 διαφορετικές επιλογές που αντιστοιχούν στην κατάθεσή του. Μαζί οι καταθέσεις και των δύο μαρτύρων δίνουν κατηγορηματική απάντηση για την ενοχή των υπόπτων.

Λογικές εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων

Έστω F(x 1 , x 2 , …x n) μια λογική συνάρτηση n μεταβλητών. Η λογική εξίσωση είναι:

F(x 1, x 2, ... x n) \u003d C,

Η σταθερά C έχει την τιμή 1 ή 0.

Μια λογική εξίσωση μπορεί να έχει από 0 έως 2n διαφορετικές λύσεις. Αν το C είναι ίσο με 1, τότε οι λύσεις είναι όλα εκείνα τα σύνολα μεταβλητών από τον πίνακα αλήθειας στα οποία η συνάρτηση F παίρνει την τιμή true (1). Τα υπόλοιπα σύνολα είναι λύσεις της εξίσωσης για το C ίσο με μηδέν. Μπορούμε πάντα να θεωρούμε μόνο εξισώσεις της μορφής:

F(x 1, x 2, …x n) = 1

Πράγματι, ας δοθεί η εξίσωση:

F(x 1, x 2, …x n) = 0

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μεταβείτε στην ισοδύναμη εξίσωση:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

Θεωρήστε ένα σύστημα k λογικών εξισώσεων:

F 1 (x 1, x 2, ... x n) \u003d 1

F 2 (x 1, x 2, ... x n) \u003d 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

Η λύση του συστήματος είναι ένα σύνολο μεταβλητών στις οποίες ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις του συστήματος. Όσον αφορά τις λογικές συναρτήσεις, για να ληφθεί μια λύση στο σύστημα λογικών εξισώσεων, θα πρέπει να βρεθεί ένα σύνολο στο οποίο η λογική συνάρτηση Ф είναι αληθής, αντιπροσωπεύοντας το συνδυασμό των αρχικών συναρτήσεων F:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F k

Εάν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μικρός, για παράδειγμα, μικρότερος από 5, τότε δεν είναι δύσκολο να δημιουργήσετε έναν πίνακα αλήθειας για τη συνάρτηση Ф, ο οποίος σας επιτρέπει να πείτε πόσες λύσεις έχει το σύστημα και ποια είναι τα σύνολα που δίνουν λύσεις.

Σε ορισμένες εργασίες της Εξέτασης Ενοποιημένου Κράτους για την εύρεση λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων, ο αριθμός των μεταβλητών φτάνει την τιμή του 10. Στη συνέχεια, η κατασκευή ενός πίνακα αλήθειας γίνεται μια σχεδόν άλυτη εργασία. Η επίλυση του προβλήματος απαιτεί διαφορετική προσέγγιση. Για ένα αυθαίρετο σύστημα εξισώσεων, δεν υπάρχει γενικός τρόπος, εκτός από την απαρίθμηση, που να επιτρέπει την επίλυση τέτοιων προβλημάτων.

Στα προβλήματα που προτείνονται στην εξέταση, η λύση βασίζεται συνήθως στο να ληφθούν υπόψη οι ιδιαιτερότητες του συστήματος εξισώσεων. Επαναλαμβάνω, εκτός από την απαρίθμηση όλων των παραλλαγών ενός συνόλου μεταβλητών, δεν υπάρχει γενικός τρόπος επίλυσης του προβλήματος. Η λύση πρέπει να χτιστεί με βάση τις ιδιαιτερότητες του συστήματος. Είναι συχνά χρήσιμο να πραγματοποιηθεί μια προκαταρκτική απλοποίηση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας γνωστούς νόμους της λογικής. Μια άλλη χρήσιμη τεχνική για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η εξής. Δεν μας ενδιαφέρουν όλα τα σύνολα, αλλά μόνο εκείνα στα οποία η συνάρτηση Ф έχει την τιμή 1. Αντί να κατασκευάσουμε έναν πλήρη πίνακα αλήθειας, θα δημιουργήσουμε το ανάλογό του - ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων. Κάθε κλάδος αυτού του δέντρου αντιστοιχεί σε μία λύση και καθορίζει ένα σύνολο στο οποίο η συνάρτηση Ф έχει την τιμή 1. Ο αριθμός των κλάδων στο δέντρο απόφασης συμπίπτει με τον αριθμό των λύσεων στο σύστημα εξισώσεων.

Τι είναι ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων και πώς κατασκευάζεται, θα εξηγήσω με παραδείγματα πολλών εργασιών.

Πρόβλημα 18

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών Boolean μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο εξισώσεων;

Απάντηση: Το σύστημα έχει 36 διαφορετικές λύσεις.

Λύση: Το σύστημα των εξισώσεων περιλαμβάνει δύο εξισώσεις. Ας βρούμε τον αριθμό των λύσεων για την πρώτη εξίσωση, ανάλογα με 5 μεταβλητές – x 1 , x 2 , …x 5 . Η πρώτη εξίσωση μπορεί με τη σειρά της να θεωρηθεί ως ένα σύστημα 5 εξισώσεων. Όπως έχει αποδειχθεί, το σύστημα των εξισώσεων στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει έναν συνδυασμό λογικών συναρτήσεων. Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής - ο συνδυασμός συνθηκών μπορεί να θεωρηθεί ως σύστημα εξισώσεων.

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο απόφασης για την συνεπαγωγή (x1→ x2), τον πρώτο όρο του συνδέσμου, που μπορεί να θεωρηθεί ως η πρώτη εξίσωση. Ακολουθεί η γραφική αναπαράσταση αυτού του δέντρου:

Το δέντρο αποτελείται από δύο επίπεδα ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών της εξίσωσης. Το πρώτο επίπεδο περιγράφει την πρώτη μεταβλητή X 1 . Δύο κλάδοι αυτού του επιπέδου αντικατοπτρίζουν τις πιθανές τιμές αυτής της μεταβλητής - 1 και 0. Στο δεύτερο επίπεδο, τα κλαδιά του δέντρου αντικατοπτρίζουν μόνο εκείνες τις πιθανές τιμές της μεταβλητής X 2 για τις οποίες η εξίσωση παίρνει την τιμή true. Δεδομένου ότι η εξίσωση ορίζει μια έννοια, ο κλάδος στον οποίο το X 1 έχει την τιμή 1 απαιτεί ότι το X 2 έχει την τιμή 1 σε αυτόν τον κλάδο. Ο κλάδος στον οποίο το X 1 έχει την τιμή 0 δημιουργεί δύο κλάδους με τιμές X 2 ίσες με 0 και 1 Το κατασκευασμένο δέντρο καθορίζει τρεις λύσεις, στις οποίες η συνεπαγωγή X 1 → X 2 παίρνει την τιμή 1. Σε κάθε κλάδο, γράφεται το αντίστοιχο σύνολο τιμών των μεταβλητών, το οποίο δίνει τη λύση της εξίσωσης.

Αυτά τα σετ είναι: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Ας συνεχίσουμε να χτίζουμε το δέντρο αποφάσεων προσθέτοντας την ακόλουθη εξίσωση, την ακόλουθη συνέπεια X 2 → X 3 . Η ιδιαιτερότητα του συστήματος εξισώσεων μας είναι ότι κάθε νέα εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιεί μία μεταβλητή από την προηγούμενη εξίσωση, προσθέτοντας μία νέα μεταβλητή. Εφόσον η μεταβλητή X 2 έχει ήδη τιμές στο δέντρο, τότε σε όλους τους κλάδους όπου η μεταβλητή X 2 έχει την τιμή 1, η μεταβλητή X 3 θα έχει επίσης την τιμή 1. Για τέτοιους κλάδους, η κατασκευή του δέντρου συνεχίζει να το επόμενο επίπεδο, αλλά δεν εμφανίζονται νέοι κλάδοι. Ο μόνος κλάδος όπου η μεταβλητή X 2 έχει την τιμή 0 θα δώσει έναν κλάδο σε δύο κλάδους, όπου η μεταβλητή X 3 θα πάρει τις τιμές 0 και 1. Έτσι, κάθε προσθήκη μιας νέας εξίσωσης, δεδομένης της ειδικότητάς της, προσθέτει ένα λύση. Αρχική πρώτη εξίσωση:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
έχει 6 λύσεις. Δείτε πώς φαίνεται το πλήρες δέντρο αποφάσεων για αυτήν την εξίσωση:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματός μας είναι παρόμοια με την πρώτη:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

Η μόνη διαφορά είναι ότι η εξίσωση χρησιμοποιεί μεταβλητές Υ. Αυτή η εξίσωση έχει επίσης 6 λύσεις. Εφόσον κάθε λύση μεταβλητής X i μπορεί να συνδυαστεί με κάθε λύση μεταβλητής Y j , ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 36.

Σημειώστε ότι το κατασκευασμένο δέντρο αποφάσεων δίνει όχι μόνο τον αριθμό των λύσεων (ανάλογα με τον αριθμό των κλαδιών), αλλά και τις ίδιες τις λύσεις, γραμμένες σε κάθε κλάδο του δέντρου.

Πρόβλημα 19

Πόσα διαφορετικά σύνολα τιμών Boolean μεταβλητών x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 υπάρχουν που ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες;

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

Αυτή η εργασία είναι μια τροποποίηση της προηγούμενης εργασίας. Η διαφορά είναι ότι προστίθεται μια άλλη εξίσωση που συσχετίζει τις μεταβλητές X και Y.

Από την εξίσωση X 1 → Y 1 προκύπτει ότι όταν το X 1 έχει την τιμή 1 (υπάρχει μία τέτοια λύση), τότε το Y 1 έχει την τιμή 1. Έτσι, υπάρχει ένα σύνολο στο οποίο τα X 1 και Y 1 έχουν τις τιμές 1. Όταν X 1 ίσο με 0, το Y 1 μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, τόσο 0 όσο και 1. Επομένως, κάθε σύνολο με X 1 ίσο με 0, και υπάρχουν 5 τέτοια σύνολα, αντιστοιχεί και στα 6 σύνολα με μεταβλητές Υ. Επομένως , ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 31 .

Πρόβλημα 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

Λύση: Υπενθυμίζοντας τη βασική ισοδυναμία, γράφουμε την εξίσωσή μας ως:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

Η κυκλική αλυσίδα των συνεπειών σημαίνει ότι οι μεταβλητές είναι πανομοιότυπες, επομένως η εξίσωσή μας είναι ισοδύναμη με:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις όταν όλα τα X i είναι είτε 1 είτε 0.

Πρόβλημα 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Λύση: Ακριβώς όπως στο Πρόβλημα 20, περνάμε από τις κυκλικές συνέπειες στις ταυτότητες ξαναγράφοντας την εξίσωση με τη μορφή:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για αυτήν την εξίσωση:

Πρόβλημα 22

Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων;

((X 1 ≡X 2) ˄ (X 3 ≡X 4)) ˅(¬(X 1 ≡X 2) ˄ ¬(X 3 ≡X4)) = 0

((X 3 ≡X 4) ˄ (X5 ≡X 6)) ˅(¬(X 3 ≡X 4) ˄ ¬(X5 ≡X 6)) = 0

((X5 ≡X 6) ˄ (X 7 ≡X 8)) ˅(¬(X5 ≡X 6) ˄ ¬(X 7 ≡X8)) = 0

((X 7 ≡X 8) ˄ (X9 ≡X 10)) ˅(¬(X 7 ≡X 8) ˄ ¬(X9 ≡X10)) = 0

Απάντηση: 64

Λύση: Ας πάμε από 10 μεταβλητές σε 5 μεταβλητές εισάγοντας την ακόλουθη αλλαγή μεταβλητών:

Y 1 = (X 1 ≡ X 2); Y 2 \u003d (X 3 ≡ X 4); Υ 3 = (Χ 5 ≡ Χ 6); Y 4 \u003d (X 7 ≡ X 8); Y 5 \u003d (X 9 ≡ X 10);

Τότε η πρώτη εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

Η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί γράφοντάς την ως εξής:

(Y 1 ≡ Y 2) = 0

Περνώντας στην παραδοσιακή μορφή, γράφουμε το σύστημα μετά από απλοποιήσεις στη μορφή:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

Το δέντρο αποφάσεων για αυτό το σύστημα είναι απλό και αποτελείται από δύο κλάδους με εναλλασσόμενες τιμές μεταβλητών:

Επιστρέφοντας στις αρχικές μεταβλητές X, σημειώστε ότι κάθε τιμή της μεταβλητής Y αντιστοιχεί σε 2 τιμές των μεταβλητών X, επομένως κάθε λύση στις μεταβλητές Y δημιουργεί 2 5 λύσεις στις μεταβλητές X. Δύο κλάδοι δημιουργούν λύσεις 2 * 2 5 , άρα ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 64.

Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε εργασία για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων απαιτεί τη δική της προσέγγιση. Ένα κοινό κόλπο είναι η εκτέλεση ισοδύναμων μετασχηματισμών για την απλοποίηση των εξισώσεων. Μια κοινή τεχνική είναι η κατασκευή δέντρων απόφασης. Η εφαρμοζόμενη προσέγγιση μοιάζει εν μέρει με την κατασκευή ενός πίνακα αληθείας με την ιδιαιτερότητα ότι δεν κατασκευάζονται όλα τα σύνολα πιθανών τιμών μεταβλητών, αλλά μόνο εκείνα στα οποία η συνάρτηση παίρνει την τιμή 1 (true). Συχνά στα προτεινόμενα προβλήματα δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί ένα πλήρες δέντρο αποφάσεων, αφού ήδη στο αρχικό στάδιο είναι δυνατό να καθοριστεί η κανονικότητα της εμφάνισης νέων κλάδων σε κάθε επόμενο επίπεδο, όπως έγινε, για παράδειγμα, στο πρόβλημα 18 .

Γενικά, τα προβλήματα για την εύρεση λύσεων σε ένα σύστημα λογικών εξισώσεων είναι καλές μαθηματικές ασκήσεις.

Εάν το πρόβλημα είναι δύσκολο να λυθεί χειροκίνητα, τότε μπορείτε να αναθέσετε τη λύση του προβλήματος στον υπολογιστή γράφοντας ένα κατάλληλο πρόγραμμα για την επίλυση εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων.

Είναι εύκολο να γράψεις ένα τέτοιο πρόγραμμα. Ένα τέτοιο πρόγραμμα θα αντιμετωπίσει εύκολα όλες τις εργασίες που προσφέρονται στην εξέταση.

Παραδόξως, αλλά το έργο της εύρεσης λύσεων σε συστήματα λογικών εξισώσεων είναι επίσης δύσκολο για έναν υπολογιστή, αποδεικνύεται ότι ένας υπολογιστής έχει τα όριά του. Ένας υπολογιστής μπορεί εύκολα να αντιμετωπίσει εργασίες όπου ο αριθμός των μεταβλητών είναι 20-30, αλλά θα αρχίσει να σκέφτεται για μεγάλο χρονικό διάστημα μεγαλύτερες εργασίες. Το θέμα είναι ότι η συνάρτηση 2 n που καθορίζει τον αριθμό των συνόλων είναι ένας εκθέτης που αυξάνεται γρήγορα με n. Τόσο γρήγορα που ένας κανονικός προσωπικός υπολογιστής δεν μπορεί να χειριστεί μια εργασία με 40 μεταβλητές την ημέρα.

Πρόγραμμα C# για την επίλυση λογικών εξισώσεων

Η σύνταξη ενός προγράμματος για την επίλυση λογικών εξισώσεων είναι χρήσιμη για πολλούς λόγους, έστω και μόνο επειδή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελέγξετε την ορθότητα της δικής σας λύσης στα προβλήματα δοκιμής USE. Ένας άλλος λόγος είναι ότι ένα τέτοιο πρόγραμμα είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα προβλήματος προγραμματισμού που πληροί τις απαιτήσεις για προβλήματα κατηγορίας Γ στη ΧΡΗΣΗ.

Η ιδέα της κατασκευής ενός προγράμματος είναι απλή - βασίζεται σε μια πλήρη απαρίθμηση όλων των πιθανών συνόλων μεταβλητών τιμών. Δεδομένου ότι ο αριθμός των μεταβλητών n είναι γνωστός για μια δεδομένη λογική εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων, ο αριθμός των συνόλων είναι επίσης γνωστός - 2 n που πρέπει να ταξινομηθούν. Χρησιμοποιώντας τις βασικές συναρτήσεις της γλώσσας C# - άρνηση, διαχωρισμός, σύνδεσμος και ταυτότητα, είναι εύκολο να γραφτεί ένα πρόγραμμα που, για ένα δεδομένο σύνολο μεταβλητών, υπολογίζει την τιμή μιας λογικής συνάρτησης που αντιστοιχεί σε μια λογική εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων.

Σε ένα τέτοιο πρόγραμμα, πρέπει να δημιουργήσετε έναν κύκλο με τον αριθμό των συνόλων, στο σώμα του κύκλου, με τον αριθμό του συνόλου, να σχηματίσετε το ίδιο το σύνολο, να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σύνολο και αν αυτή η τιμή ισούται με 1, τότε το σύνολο δίνει λύση στην εξίσωση.

Η μόνη δυσκολία που προκύπτει κατά την υλοποίηση του προγράμματος σχετίζεται με το έργο του σχηματισμού του συνόλου των μεταβλητών τιμών από τον ίδιο τον αριθμό. Η ομορφιά αυτού του έργου είναι ότι αυτό το φαινομενικά δύσκολο έργο, στην πραγματικότητα, καταλήγει σε ένα απλό έργο που έχει ήδη προκύψει επανειλημμένα. Πράγματι, αρκεί να καταλάβουμε ότι το σύνολο των τιμών των μεταβλητών που αντιστοιχούν στον αριθμό i, που αποτελείται από μηδενικά και μονάδες, αντιπροσωπεύει τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού i. Έτσι, το σύνθετο πρόβλημα της απόκτησης ενός συνόλου τιμών μεταβλητών από τον αριθμό συνόλου ανάγεται στο γνωστό πρόβλημα της μετατροπής ενός αριθμού σε δυαδικό σύστημα.

Δείτε πώς φαίνεται η συνάρτηση C# που λύνει το πρόβλημά μας:

///

/// Πρόγραμμα μέτρησης του αριθμού των λύσεων

/// λογική εξίσωση (σύστημα εξισώσεων)

///

/// λογική συνάρτηση - μέθοδος,

/// του οποίου η υπογραφή ορίζεται από τον εκπρόσωπο του DF

///

/// αριθμός μεταβλητών

/// αριθμός λύσεων

static int SolveEquations (DF fun, int n)

bool set = νέο bool[n];

int m = (int)Math.Pow(2, n); //αριθμός συνόλων

int p = 0, q = 0, k = 0;

//Πλήρης απαρίθμηση με τον αριθμό των συνόλων

για (int i = 0; i< m; i++)

//Σχηματισμός του επόμενου συνόλου — σύνολο,

//δίνεται από τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού i

για (int j = 0; j< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

//Υπολογισμός τιμής συνάρτησης στο σετ

Για να κατανοήσετε το πρόγραμμα, ελπίζω ότι θα αρκούν οι επεξηγήσεις της ιδέας του προγράμματος και τα σχόλια στο κείμενό του. Θα σταθώ μόνο στην εξήγηση της επικεφαλίδας της παραπάνω συνάρτησης. Η συνάρτηση SolveEquations έχει δύο παραμέτρους εισόδου. Η παράμετρος fun καθορίζει μια λογική συνάρτηση που αντιστοιχεί στην εξίσωση ή το σύστημα των εξισώσεων που επιλύονται. Η παράμετρος n καθορίζει τον αριθμό των μεταβλητών στη συνάρτηση διασκέδασης. Ως αποτέλεσμα, η συνάρτηση SolveEquations επιστρέφει τον αριθμό των λύσεων της λογικής συνάρτησης, δηλαδή τον αριθμό των συνόλων στα οποία η συνάρτηση αξιολογείται ως αληθής.

Για τους μαθητές, συνηθίζεται όταν για κάποια συνάρτηση F(x) η παράμετρος εισόδου x είναι μια μεταβλητή αριθμητικής, συμβολοσειράς ή τύπου boole. Στην περίπτωσή μας, χρησιμοποιείται πιο ισχυρό σχέδιο. Η συνάρτηση SolveEquations αναφέρεται σε συναρτήσεις υψηλότερης τάξης - συναρτήσεις τύπου F(f), των οποίων οι παράμετροι μπορεί να είναι όχι μόνο απλές μεταβλητές, αλλά και συναρτήσεις.

Η κατηγορία των συναρτήσεων που μπορούν να περάσουν ως παράμετροι στη συνάρτηση SolveEquations ορίζεται ως εξής:

ανάθεση bool DF(bool vars);

Αυτή η κλάση περιλαμβάνει όλες τις συναρτήσεις που μεταβιβάζονται ως παράμετρος ένα σύνολο τιμών δυαδικών μεταβλητών που καθορίζονται από τον πίνακα vars. Το αποτέλεσμα είναι μια Boolean τιμή που αντιπροσωπεύει την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σύνολο.

Εν κατακλείδι, θα δώσω ένα πρόγραμμα στο οποίο η συνάρτηση SolveEquations χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών συστημάτων λογικών εξισώσεων. Η συνάρτηση SolveEquations είναι μέρος της ακόλουθης κατηγορίας ProgramCommon:

class ProgramCommon

ανάθεση bool DF(bool vars);

static void Κύριο (args συμβολοσειράς)

Console.WriteLine("Function And Solutions - " +

SolveEquations(FunAnd, 2));

Console.WriteLine("Η συνάρτηση έχει 51 λύσεις - " +

SolveEquations(Fun51, 5));

Console.WriteLine("Η συνάρτηση έχει 53 λύσεις - " +

SolveEquations(Fun53, 10));

static bool FunAnd(bool vars)

επιστροφή vars && vars;

static bool Fun51 (bool vars)

f = f && (!vars || vars);

static bool Fun53 (bool vars)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

Δείτε πώς φαίνονται τα αποτελέσματα της λύσης για αυτό το πρόγραμμα:

10 εργασίες για ανεξάρτητη εργασία

Ποιες από τις τρεις συναρτήσεις είναι ισοδύναμες:
1. (X → Y) ˅ ¬Y
2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
3. ¬X ˄ Y
Δίνεται ένα τμήμα του πίνακα αλήθειας:

x1	x2	x3	x4	φά
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	0	0

Ποια από τις τρεις συναρτήσεις αντιστοιχεί σε αυτό το τμήμα:

(X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
(X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
Η κριτική επιτροπή αποτελείται από τρία άτομα. Η απόφαση λαμβάνεται εάν την ψηφίσει ο πρόεδρος της κριτικής επιτροπής, υποστηριζόμενος από τουλάχιστον ένα από τα μέλη της κριτικής επιτροπής. Διαφορετικά δεν λαμβάνεται απόφαση. Δημιουργήστε μια λογική συνάρτηση που επισημοποιεί τη διαδικασία λήψης αποφάσεων.
Το X κερδίζει το Y εάν τέσσερις ρίψεις νομισμάτων ανέβουν τρεις φορές. Ορίστε μια δυαδική συνάρτηση που περιγράφει την απόδοση X.
Οι λέξεις σε μια πρόταση αριθμούνται ξεκινώντας από το ένα. Μια πρόταση θεωρείται καλοσχηματισμένη εάν πληρούνται οι ακόλουθοι κανόνες:
1. Αν μια άρτια αριθμημένη λέξη τελειώνει σε φωνήεν, τότε η επόμενη λέξη, αν υπάρχει, πρέπει να αρχίζει με φωνήεν.
2. Αν μια λέξη με περιττό αριθμό τελειώνει σε σύμφωνο, τότε η επόμενη λέξη, αν υπάρχει, πρέπει να αρχίζει από σύμφωνο και να τελειώνει με φωνήεν.
  Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές:
3. Η μαμά έπλυνε τη Μάσα με σαπούνι.
4. Ο ηγέτης είναι πάντα πρότυπο.
5. Η αλήθεια είναι καλή, αλλά η ευτυχία είναι καλύτερη.
Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση:
(a ˄ ¬ β) ˅ (¬a ˄ b) → (c ˄ d) = 1
Να αναφέρετε όλες τις λύσεις της εξίσωσης:
(a → b) → c = 0
Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων:
X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
X 0 → X 5 = 1
Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση:
((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) → X 4) → X 5 = 1

Απαντήσεις σε εργασίες:

Οι συναρτήσεις b και c είναι ισοδύναμες.
Το θραύσμα αντιστοιχεί στη συνάρτηση β.
Αφήστε τη δυαδική μεταβλητή P να λάβει την τιμή 1 όταν ο πρόεδρος της κριτικής επιτροπής ψηφίσει "υπέρ" της απόφασης. Οι μεταβλητές M 1 και M 2 αντιπροσωπεύουν τη γνώμη των μελών της κριτικής επιτροπής. Η λογική συνάρτηση που καθορίζει την έγκριση μιας θετικής απόφασης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
P ˄ (M 1 ˅ M 2)
Αφήστε τη δυαδική μεταβλητή P i να λάβει την τιμή 1 όταν η ρίψη του i-ου κέρματος φτάσει στις κεφαλές. Η λογική συνάρτηση που ορίζει την απόδοση X μπορεί να γραφτεί ως εξής:
¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
(¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
(¬P 3 ˄ ¬P 4))
Προσφορά β.
Η εξίσωση έχει 3 λύσεις: (a = 1; b = 1; c = 0); (a = 0; b = 0; c = 0); (a=0; b=1; c=0)

Έστω μια λογική συνάρτηση n μεταβλητών. Η λογική εξίσωση είναι:

Η σταθερά C έχει την τιμή 1 ή 0.

Μια λογική εξίσωση μπορεί να έχει από 0 έως διάφορες λύσεις. Αν το C είναι ίσο με 1, τότε οι λύσεις είναι όλα εκείνα τα σύνολα μεταβλητών από τον πίνακα αλήθειας στα οποία η συνάρτηση F παίρνει την τιμή true (1). Τα υπόλοιπα σύνολα είναι λύσεις της εξίσωσης για το C ίσο με μηδέν. Μπορούμε πάντα να θεωρούμε μόνο εξισώσεις της μορφής:

Πράγματι, ας δοθεί η εξίσωση:

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μεταβείτε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Θεωρήστε ένα σύστημα k λογικών εξισώσεων:

Η λύση του συστήματος είναι ένα σύνολο μεταβλητών στις οποίες ικανοποιούνται όλες οι εξισώσεις του συστήματος. Όσον αφορά τις λογικές συναρτήσεις, για να ληφθεί μια λύση στο σύστημα των λογικών εξισώσεων, θα πρέπει να βρεθεί ένα σύνολο στο οποίο η λογική συνάρτηση Ф είναι αληθής, αντιπροσωπεύοντας το συνδυασμό των αρχικών συναρτήσεων:

Εάν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μικρός, για παράδειγμα, μικρότερος από 5, τότε δεν είναι δύσκολο να φτιάξετε έναν πίνακα αλήθειας για τη συνάρτηση , ο οποίος σας επιτρέπει να πείτε πόσες λύσεις έχει το σύστημα και ποια είναι τα σύνολα που δίνουν λύσεις.

Στα προβλήματα που προτείνονται στην εξέταση, η λύση βασίζεται συνήθως στο να ληφθούν υπόψη οι ιδιαιτερότητες του συστήματος εξισώσεων. Επαναλαμβάνω, εκτός από την απαρίθμηση όλων των παραλλαγών ενός συνόλου μεταβλητών, δεν υπάρχει γενικός τρόπος επίλυσης του προβλήματος. Η λύση πρέπει να χτιστεί με βάση τις ιδιαιτερότητες του συστήματος. Είναι συχνά χρήσιμο να πραγματοποιηθεί μια προκαταρκτική απλοποίηση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας γνωστούς νόμους της λογικής. Μια άλλη χρήσιμη τεχνική για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η εξής. Δεν μας ενδιαφέρουν όλα τα σύνολα, αλλά μόνο εκείνα στα οποία η συνάρτηση έχει την τιμή 1. Αντί να δημιουργήσουμε έναν πλήρη πίνακα αλήθειας, θα δημιουργήσουμε το ανάλογό του - ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων. Κάθε κλάδος αυτού του δέντρου αντιστοιχεί σε μία λύση και καθορίζει το σύνολο στο οποίο η συνάρτηση έχει την τιμή 1. Ο αριθμός των κλάδων στο δέντρο αποφάσεων συμπίπτει με τον αριθμό των λύσεων στο σύστημα των εξισώσεων.

Τι είναι ένα δυαδικό δέντρο αποφάσεων και πώς κατασκευάζεται, θα εξηγήσω με παραδείγματα πολλών εργασιών.

Πρόβλημα 18

Απάντηση: Το σύστημα έχει 36 διαφορετικές λύσεις.

Λύση: Το σύστημα των εξισώσεων περιλαμβάνει δύο εξισώσεις. Ας βρούμε τον αριθμό των λύσεων για την πρώτη εξίσωση ανάλογα με 5 μεταβλητές - . Η πρώτη εξίσωση μπορεί με τη σειρά της να θεωρηθεί ως ένα σύστημα 5 εξισώσεων. Όπως έχει αποδειχθεί, το σύστημα των εξισώσεων στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει έναν συνδυασμό λογικών συναρτήσεων. Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής - ο συνδυασμός συνθηκών μπορεί να θεωρηθεί ως σύστημα εξισώσεων.

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο απόφασης για την επίπτωση () - τον πρώτο όρο του συνδέσμου, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως η πρώτη εξίσωση. Δείτε πώς φαίνεται η γραφική εικόνα αυτού του δέντρου

Το δέντρο αποτελείται από δύο επίπεδα ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών της εξίσωσης. Το πρώτο επίπεδο περιγράφει την πρώτη μεταβλητή. Δύο κλάδοι αυτού του επιπέδου αντικατοπτρίζουν τις πιθανές τιμές αυτής της μεταβλητής - 1 και 0. Στο δεύτερο επίπεδο, τα κλαδιά του δέντρου αντικατοπτρίζουν μόνο εκείνες τις πιθανές τιμές της μεταβλητής για τις οποίες η εξίσωση παίρνει την τιμή true. Εφόσον η εξίσωση ορίζει μια έννοια, ο κλάδος στον οποίο έχει τιμή 1 απαιτεί να έχει τιμή 1 σε αυτόν τον κλάδο. Ο κλάδος στον οποίο έχει τιμή 0 δημιουργεί δύο κλάδους με τιμές ίσες με 0 και 1. Το δέντρο που κατασκευάστηκε ορίζει τρεις λύσεις, όπου η συνεπαγωγή παίρνει την τιμή 1. Σε κάθε κλάδο, γράφεται το αντίστοιχο σύνολο τιμών των μεταβλητών, το οποίο δίνει μια λύση στην εξίσωση.

Αυτά τα σετ είναι: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Ας συνεχίσουμε να χτίζουμε το δέντρο αποφάσεων προσθέτοντας την ακόλουθη εξίσωση, την ακόλουθη συνέπεια. Η ιδιαιτερότητα του συστήματος εξισώσεων μας είναι ότι κάθε νέα εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιεί μία μεταβλητή από την προηγούμενη εξίσωση, προσθέτοντας μία νέα μεταβλητή. Εφόσον η μεταβλητή έχει ήδη τιμές στο δέντρο, τότε σε όλους τους κλάδους όπου η μεταβλητή έχει τιμή 1, η μεταβλητή θα έχει επίσης τιμή 1. Για τέτοιους κλάδους, η κατασκευή του δέντρου συνεχίζεται στο επόμενο επίπεδο, αλλά δεν εμφανίζονται νέοι κλάδοι. Ο μόνος κλάδος όπου η μεταβλητή έχει την τιμή 0 θα δώσει έναν κλάδο σε δύο κλάδους, όπου η μεταβλητή θα πάρει τις τιμές 0 και 1. Έτσι, κάθε προσθήκη μιας νέας εξίσωσης, δεδομένης της ειδικότητάς της, προσθέτει μία λύση. Αρχική πρώτη εξίσωση:

έχει 6 λύσεις. Δείτε πώς φαίνεται το πλήρες δέντρο αποφάσεων για αυτήν την εξίσωση:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματός μας είναι παρόμοια με την πρώτη:

Η μόνη διαφορά είναι ότι η εξίσωση χρησιμοποιεί μεταβλητές Υ. Αυτή η εξίσωση έχει επίσης 6 λύσεις. Δεδομένου ότι κάθε λύση μεταβλητής μπορεί να συνδυαστεί με κάθε λύση μεταβλητής, ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 36.

Πρόβλημα 19

Από την εξίσωση προκύπτει ότι όταν έχει την τιμή 1 (υπάρχει μια τέτοια λύση), τότε έχει την τιμή 1. Έτσι, υπάρχει ένα σύνολο στο οποίο και έχει τις τιμές 1. Όταν ισούται με 0, μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, τόσο 0 όσο και 1. Επομένως, κάθε σύνολο ίσο με 0, και υπάρχουν 5 τέτοια σύνολα, αντιστοιχεί και στα 6 σύνολα με μεταβλητές Υ. Επομένως, ο συνολικός αριθμός λύσεων είναι 31.

Πρόβλημα 20

Λύση: Υπενθυμίζοντας τη βασική ισοδυναμία, γράφουμε την εξίσωσή μας ως:

Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις όταν όλες είναι είτε 1 είτε 0.

Πρόβλημα 21

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση:

Ας δημιουργήσουμε ένα δέντρο αποφάσεων για αυτήν την εξίσωση:

Πρόβλημα 22

Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων;

Θέμα μαθήματος: Επίλυση λογικών εξισώσεων

Εκπαιδευτικός - η μελέτη τρόπων επίλυσης λογικών εξισώσεων, ο σχηματισμός δεξιοτήτων και ικανοτήτων για την επίλυση λογικών εξισώσεων και η κατασκευή μιας λογικής έκφρασης σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας.

Εκπαιδευτικός - δημιουργία συνθηκών για την ανάπτυξη του γνωστικού ενδιαφέροντος των μαθητών, προώθηση της ανάπτυξης της μνήμης, της προσοχής, της λογικής σκέψης.

Εκπαιδευτικός : συμβάλλουν στην εκπαίδευση της ικανότητας να ακούς τις απόψεις των άλλων,εκπαίδευση θέλησης και επιμονής για την επίτευξη των τελικών αποτελεσμάτων.

Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο μάθημα

Εξοπλισμός: υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση 6.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Επανάληψη και ενημέρωση βασικών γνώσεων. Έλεγχος της εργασίας (10 λεπτά)

Στα προηγούμενα μαθήματα, εξοικειωθήκαμε με τους βασικούς νόμους της άλγεβρας της λογικής, μάθαμε πώς να χρησιμοποιούμε αυτούς τους νόμους για να απλοποιήσουμε λογικές εκφράσεις.

Ας ελέγξουμε την εργασία για την απλοποίηση λογικών εκφράσεων:

1. Ποια από τις παρακάτω λέξεις ικανοποιεί τη λογική συνθήκη:

(πρώτο σύμφωνο → δεύτερο σύμφωνο)٨ (φωνήεν τελευταίου γράμματος → φωνήεν προτελευταίο γράμμα); Εάν υπάρχουν πολλές τέτοιες λέξεις, υποδείξτε τη μικρότερη από αυτές.

1) ΑΝΝΑ 2) ΜΑΡΙΑ 3) ΟΛΕΓ 4) ΣΤΕΠΑΝ

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:

Το Α είναι το πρώτο γράμμα ενός συμφώνου

Το Β είναι το δεύτερο γράμμα ενός συμφώνου

Το S είναι το τελευταίο φωνήεν

Δ - προτελευταίο φωνήεν

Ας κάνουμε μια έκφραση:

Ας κάνουμε έναν πίνακα:

2. Υποδείξτε ποια λογική έκφραση είναι ισοδύναμη με την παράσταση

Ας απλοποιήσουμε τη γραφή της αρχικής έκφρασης και τις προτεινόμενες επιλογές:

3. Δίνεται τμήμα του πίνακα αληθείας της έκφρασης F:

Ποια έκφραση αντιστοιχεί στο F;

Ας προσδιορίσουμε τις τιμές αυτών των παραστάσεων για τις καθορισμένες τιμές των ορισμάτων:

Εξοικείωση με το θέμα του μαθήματος, παρουσίαση νέου υλικού (30 λεπτά)

Συνεχίζουμε να μελετάμε τα βασικά της λογικής και το θέμα του σημερινού μας μαθήματος «Επίλυση λογικών εξισώσεων». Αφού μελετήσετε αυτό το θέμα, θα μάθετε τους βασικούς τρόπους επίλυσης λογικών εξισώσεων, θα αποκτήσετε τις δεξιότητες για να λύσετε αυτές τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της λογικής άλγεβρας και την ικανότητα να συνθέσετε μια λογική έκφραση στον πίνακα αλήθειας.

1. Λύστε τη λογική εξίσωση

(¬Κ Μ) → (¬L Μ Ν)=0

Γράψτε την απάντησή σας ως μια συμβολοσειρά τεσσάρων χαρακτήρων: τις τιμές των μεταβλητών K, L, M και N (με αυτή τη σειρά). Έτσι, για παράδειγμα, η γραμμή 1101 αντιστοιχεί σε K=1, L=1, M=0, N=1.

Λύση:

Ας μεταμορφώσουμε την έκφραση(¬Κ  Μ) → (¬L  Μ  Ν)

Η έκφραση είναι ψευδής όταν και οι δύο όροι είναι ψευδείς. Ο δεύτερος όρος είναι ίσος με 0 αν M=0, N=0, L=1. Στον πρώτο όρο, K = 0, αφού M = 0, και
.

Απάντηση: 0100

2. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση (αναφέρετε μόνο τον αριθμό στην απάντησή σας);

Λύση: μετασχηματίστε την έκφραση

(A+B)*(C+D)=1

Α+Β=1 και Γ+Δ=1

Μέθοδος 2: σύνταξη πίνακα αλήθειας

3 τρόπο: κατασκευή SDNF - μια τέλεια διαζευκτική κανονική μορφή για μια συνάρτηση - μια διάσπαση πλήρων τακτικών στοιχειωδών συνδέσμων.

Ας μεταμορφώσουμε την αρχική έκφραση, ανοίξτε τις αγκύλες για να λάβετε τον διαχωρισμό των συνδέσμων:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Ας συμπληρώσουμε τους συνδέσμους σε πλήρεις συνδέσμους (το γινόμενο όλων των ορισμάτων), ανοίξτε τις αγκύλες:

Εξετάστε τους ίδιους συνδέσμους:

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα SDNF που περιέχει 9 συνδέσμους. Επομένως, ο πίνακας αλήθειας για αυτήν τη συνάρτηση έχει τιμή 1 σε 9 σειρές από 2 4 = 16 σύνολα τιμών μεταβλητών.

3. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση (αναφέρετε μόνο τον αριθμό στην απάντησή σας);

Ας απλοποιήσουμε την έκφραση:

3 τρόπο: κατασκευή SDNF

Εξετάστε τους ίδιους συνδέσμους:

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα SDNF που περιέχει 5 συνδέσμους. Επομένως, ο πίνακας αλήθειας για αυτήν τη συνάρτηση έχει τιμή 1 σε 5 σειρές των 2 4 = 16 συνόλων τιμών μεταβλητών.

Χτίζοντας μια λογική έκφραση σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας:

για κάθε γραμμή του πίνακα αλήθειας που περιέχει 1, συνθέτουμε το γινόμενο των ορισμάτων και οι μεταβλητές ίσες με 0 περιλαμβάνονται στο γινόμενο με άρνηση και οι μεταβλητές ίσες με 1 - χωρίς άρνηση. Η επιθυμητή έκφραση F θα αποτελείται από το άθροισμα των προϊόντων που λαμβάνονται. Στη συνέχεια, εάν είναι δυνατόν, αυτή η έκφραση θα πρέπει να απλοποιηθεί.

Παράδειγμα: δίνεται ο πίνακας αλήθειας μιας έκφρασης. Δημιουργήστε μια λογική έκφραση.

Λύση:

3. Εργασία για το σπίτι (5 λεπτά)

Λύστε την εξίσωση:

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση (απάντησε μόνο στον αριθμό);

Σύμφωνα με τον πίνακα αληθείας που δίνεται, κάντε μια λογική έκφραση και

απλοποιήστε το.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται από τον άνθρωπο από την αρχαιότητα και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Στα μαθηματικά, υπάρχουν ορισμένες εργασίες που είναι αφιερωμένες στη λογική των προτάσεων. Για να λύσετε αυτό το είδος εξίσωσης, πρέπει να έχετε μια ορισμένη ποσότητα γνώσης: γνώση των νόμων της προτασιακής λογικής, γνώση των πινάκων αλήθειας των λογικών συναρτήσεων 1 ή 2 μεταβλητών, μέθοδοι μετατροπής λογικών εκφράσεων. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζετε τις ακόλουθες ιδιότητες των λογικών πράξεων: συνδέσμους, διαχωρισμούς, αντιστροφές, συνέπειες και ισοδυναμίες.

Οποιαδήποτε λογική συνάρτηση από \ μεταβλητές - \ μπορεί να καθοριστεί από έναν πίνακα αλήθειας.

Ας λύσουμε μερικές λογικές εξισώσεις:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Ας ξεκινήσουμε τη λύση με το \[X1\] και ας προσδιορίσουμε ποιες τιμές μπορεί να πάρει αυτή η μεταβλητή: 0 και 1. Στη συνέχεια, εξετάστε καθεμία από τις παραπάνω τιμές και δείτε τι \[X2.\] μπορεί σε αυτή την περίπτωση

Όπως φαίνεται από τον πίνακα, η λογική μας εξίσωση έχει 11 λύσεις.

Πού μπορώ να λύσω μια λογική εξίσωση στο διαδίκτυο;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπο https:// site μας. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε μια διαδικτυακή εξίσωση οποιασδήποτε πολυπλοκότητας σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε τις οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.