Όλοι οι άνθρωποι από τη φύση τους προσπαθούν για τη γνώση. (Αριστοτέλης. Μεταφυσική)

Αριθμητικές μέθοδοι: επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων

Προβλήματα επίλυσης εξισώσεων προκύπτουν συνεχώς στην πράξη, για παράδειγμα, στα οικονομικά, όταν αναπτύσσετε μια επιχείρηση, θέλετε να μάθετε πότε τα κέρδη θα φτάσουν μια ορισμένη τιμή, στην ιατρική, όταν μελετάτε τις επιπτώσεις των φαρμάκων, είναι σημαντικό να γνωρίζετε πότε η συγκέντρωση μιας ουσίας θα φτάσει σε ένα δεδομένο επίπεδο κ.λπ.

Σε προβλήματα βελτιστοποίησης, είναι συχνά απαραίτητος ο προσδιορισμός των σημείων στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης γίνεται 0, κάτι που είναι απαραίτητη προϋπόθεση. τοπικόςακραίο.

Στα στατιστικά, κατά την κατασκευή εκτιμήσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωναή η μέθοδος μέγιστης πιθανότητας πρέπει επίσης να επιλύει μη γραμμικές εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων.

Έτσι, προκύπτει μια ολόκληρη κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με την εξεύρεση λύσεων μη γραμμικόεξισώσεις, όπως εξισώσεις ή εξισώσεις κ.λπ.

Στην απλούστερη περίπτωση, έχουμε μια συνάρτηση που ορίζεται στο διάστημα ( ένα, β) και λαμβάνοντας ορισμένες τιμές.

Κάθε τιμή Χ από αυτό το τμήμα μπορούμε να συγκρίνουμε τον αριθμό, αυτό είναι λειτουργικόςεξάρτηση, μια βασική έννοια στα μαθηματικά.

Πρέπει να βρούμε μια τιμή στην οποία αυτές ονομάζονται ρίζες της συνάρτησης

Οπτικά πρέπει να προσδιορίσουμε το σημείο τομής του γραφήματος συνάρτησηςμε τον άξονα της τετμημένης.

Μέθοδος υποδιπλασιασμού

Η απλούστερη μέθοδος για την εύρεση των ριζών μιας εξίσωσης είναι η μέθοδος κατά το ήμισυ ή διχοτόμηση.

Αυτή η μέθοδος είναι διαισθητική και όλοι θα ενεργούσαν με παρόμοιο τρόπο κατά την επίλυση ενός προβλήματος.

Ο αλγόριθμος είναι ο εξής.

Ας υποθέσουμε ότι βρίσκουμε δύο σημεία και , τέτοια ώστε να έχουν διαφορετικόςσημάδια, τότε μεταξύ αυτών των σημείων υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της συνάρτησης.

Ας διαιρέσουμε το τμήμα στη μέση και ας εισάγουμε μέση τιμήσημείο .

Τότε είτε , ή .

Ας αφήσουμε εκείνο το μισό τμήμα για το οποίο οι τιμές στα άκρα έχουν διαφορετικά πρόσημα. Τώρα διαιρούμε ξανά αυτό το τμήμα στη μέση και αφήνουμε εκείνο το τμήμα στα όρια του οποίου η συνάρτηση έχει διαφορετικά πρόσημα, και ούτω καθεξής, για να επιτύχουμε την απαιτούμενη ακρίβεια.

Προφανώς, θα περιορίσουμε σταδιακά την περιοχή όπου βρίσκεται η ρίζα της συνάρτησης και, ως εκ τούτου, θα την προσδιορίσουμε με συγκεκριμένο βαθμό ακρίβειας.

Σημειώστε ότι ο περιγραφόμενος αλγόριθμος είναι εφαρμόσιμος για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση.

Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου κατά το ήμισυ περιλαμβάνουν την υψηλή αξιοπιστία και την απλότητά της.

Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι το γεγονός ότι πριν ξεκινήσετε τη χρήση της, πρέπει να βρείτε δύο σημεία όπου οι τιμές συναρτήσεων έχουν διαφορετικά σημάδια. Είναι προφανές ότι η μέθοδος δεν είναι εφαρμόσιμη για ρίζες άρτιας πολλαπλότητας και επίσης δεν μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση σύνθετων ριζών και σε συστήματα εξισώσεων.

Η σειρά σύγκλισης της μεθόδου είναι γραμμική, σε κάθε βήμα η ακρίβεια διπλασιάζεται· όσο περισσότερες επαναλήψεις γίνονται, τόσο ακριβέστερα προσδιορίζεται η ρίζα.

Μέθοδος του Νεύτωνα: θεωρητικές βάσεις

Η κλασική μέθοδος του Νεύτωναή εφαπτόμενεςείναι ότι το αν είναι κάποια προσέγγιση στη ρίζα της εξίσωσης , τότε η επόμενη προσέγγιση ορίζεται ως η ρίζα της εφαπτομένης στη συνάρτηση που σχεδιάζεται στο σημείο.

Η εφαπτομενική εξίσωση σε μια συνάρτηση σε ένα σημείο έχει τη μορφή:

Στην εφαπτομενική εξίσωση βάζουμε και .

Τότε ο αλγόριθμος για διαδοχικούς υπολογισμούς στη μέθοδο του Newton είναι ο εξής:

Η σύγκλιση της μεθόδου της εφαπτομένης είναι τετραγωνική, η σειρά σύγκλισης είναι 2.

Έτσι, η σύγκλιση της εφαπτομενικής μεθόδου του Νεύτωνα είναι πολύ γρήγορη.

Θυμηθείτε αυτό το υπέροχο γεγονός!

Χωρίς αλλαγές, η μέθοδος γενικεύεται στη σύνθετη περίπτωση.

Εάν η ρίζα είναι ρίζα δεύτερης πολλαπλότητας ή μεγαλύτερης, τότε η σειρά σύγκλισης πέφτει και γίνεται γραμμική.

Ασκηση 1. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης, βρείτε μια λύση στην εξίσωση στο τμήμα (0, 2).

Άσκηση 2.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης, βρείτε μια λύση στην εξίσωση στο τμήμα (1, 3).

Τα μειονεκτήματα της μεθόδου του Newton περιλαμβάνουν την τοπικότητά της, καθώς είναι εγγυημένη η σύγκλιση για μια αυθαίρετη αρχική προσέγγιση μόνο εάν η συνθήκη ικανοποιείται παντού , στην αντίθετη κατάσταση, η σύγκλιση εμφανίζεται μόνο σε μια συγκεκριμένη γειτονιά της ρίζας.

Το μειονέκτημα της μεθόδου του Newton είναι η ανάγκη υπολογισμού παραγώγων σε κάθε βήμα.

Οπτικοποίηση της μεθόδου του Νεύτωνα

Η μέθοδος του Νεύτωνα (μέθοδος εφαπτομένης) χρησιμοποιείται αν η εξίσωση φά(Χ) = 0 έχει ρίζα και πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:

1) λειτουργία y= φά(Χ) ορίζεται και συνεχής στο ?

2) φά(ένα)· φά(σι) < 0 (η συνάρτηση παίρνει τιμές διαφορετικών σημάτων στα άκρα του τμήματος [ ένα; σι]);

3) παράγωγα φά"(Χ) Και φά""(Χ) διατήρηση της πινακίδας στο διάστημα [ ένα; σι] (δηλαδή λειτουργία φά(Χ) είτε αυξάνεται είτε μειώνεται στο τμήμα [ ένα; σι], ενώ διατηρείται η κατεύθυνση της κυρτότητας).

Η κύρια ιδέα της μεθόδου είναι η εξής: στο τμήμα [ ένα; σι] επιλέγεται ένας τέτοιος αριθμός Χ 0 , στο οποίο φά(Χ 0 ) έχει το ίδιο πρόσημο με φά"" (Χ 0 ), δηλ. η προϋπόθεση ικανοποιείται φά(Χ 0 )· φά"" (Χ) > 0 . Έτσι, επιλέγεται το σημείο με την τετμημένη Χ 0 , στην οποία η εφαπτομένη στην καμπύλη y= φά(Χ) στο τμήμα [ ένα; σι] τέμνει τον άξονα Βόδι. Ανά πόντο Χ 0 Πρώτον, είναι βολικό να επιλέξετε ένα από τα άκρα του τμήματος.

Ας εξετάσουμε τη μέθοδο του Νεύτωνα χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Ας μας δοθεί μια αυξανόμενη συνάρτηση y = f(x) =x 2 -2,συνεχής στο τμήμα (0;2), και έχοντας φά"(x) = 2 Χ > 0 Και φά "" (x) = 2 > 0 .

Σχέδιο1 . f(x) =x 2 -2

Εφαπτομένη εξίσωση σε γενική εικόναέχει μια ιδέα:

y-y 0 = f" (χ 0)·(χ-χ 0).

Στην περίπτωσή μας: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).Για το σημείο x 0 επιλέγουμε το σημείο B 1 (b; f(b)) = (2,2).Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη συνάρτηση y = f(x)στο σημείο Β 1, και δηλώνετε το σημείο τομής της εφαπτομένης και του άξονα Βόδιτελεία x 1. Παίρνουμε την εξίσωση της πρώτης εφαπτομένης: y-2=2·2(x-2), y=4x-6.

Βόδι: x 1 =

Σχέδιο2. Αποτέλεσμα της πρώτης επανάληψης

y=f(x) Βόδιμέσα από το σημείο x 1, καταλαβαίνουμε την ουσία B 2 = (1,5; 0,25). Σχεδιάστε ξανά μια εφαπτομένη στη συνάρτηση y = f(x)στο σημείο B 2, και δηλώνει το σημείο τομής της εφαπτομένης και του άξονα Βόδιτελεία x 2.

Εξίσωση της δεύτερης εφαπτομένης: y-0.25=2*1.5(Χ-1.5), y = 3 Χ - 4.25.

Σημείο τομής εφαπτομένης και άξονα Βόδι: x 2 =.

Σχέδιο3. Δεύτερη επανάληψη της μεθόδου του Νεύτωνα

Στη συνέχεια βρίσκουμε το σημείο τομής της συνάρτησης y=f(x)και μια κάθετη που τραβιέται στον άξονα Βόδιμέσω του σημείου x 2, παίρνουμε το σημείο B 3 και ούτω καθεξής.

Σχέδιο4. Τρίτο βήμα της μεθόδου της εφαπτομένης

Η πρώτη προσέγγιση της ρίζας καθορίζεται από τον τύπο:

= 1.5.

Η δεύτερη προσέγγιση της ρίζας καθορίζεται από τον τύπο:

Η τρίτη προσέγγιση της ρίζας καθορίζεται από τον τύπο:

Ετσι , ΕγώΗ προσέγγιση της ρίζας καθορίζεται από τον τύπο:

Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται μέχρι να ταιριάζουν τα δεκαδικά ψηφία που απαιτούνται στην απάντηση ή να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια e - μέχρι να ικανοποιηθεί η ανισότητα | xi- xi-1 | < μι.

Στην περίπτωσή μας, ας συγκρίνουμε την προσέγγιση που ελήφθη στο τρίτο βήμα με την πραγματική απάντηση που υπολογίζεται σε μια αριθμομηχανή:

Εικόνα 5. Ρίζα του 2, υπολογισμένη σε αριθμομηχανή

Όπως μπορείτε να δείτε, ήδη στο τρίτο βήμα λάβαμε ένα σφάλμα μικρότερο από 0,000002.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της τιμής της «τετραγωνικής ρίζας του 2» με οποιονδήποτε βαθμό ακρίβειας. Αυτή η αξιοσημείωτη μέθοδος εφευρέθηκε από τον Newton και σας επιτρέπει να βρείτε πολύ ρίζες σύνθετες εξισώσεις.

Μέθοδος Newton: εφαρμογή σε C++

Σε αυτό το άρθρο, θα αυτοματοποιήσουμε τη διαδικασία υπολογισμού των ριζών των εξισώσεων γράφοντας μια εφαρμογή κονσόλας σε C++. Θα το αναπτύξουμε στο Visual C++ 2010 Express, αυτό είναι ένα δωρεάν και πολύ βολικό περιβάλλον ανάπτυξης C++.

Αρχικά, ας ξεκινήσουμε το Visual C++ 2010 Express. Θα εμφανιστεί το παράθυρο έναρξης του προγράμματος. Στην αριστερή γωνία, κάντε κλικ στο «Δημιουργία έργου».

Ρύζι. 1. αρχική σελίδα Visual C++ 2010 Express

Στο μενού που εμφανίζεται, επιλέξτε “Win32 Console Application” και πληκτρολογήστε το όνομα της εφαρμογής “Newton_Method”.

Ρύζι. 2. Δημιουργήστε ένα έργο

// Μέθοδος Newton.cpp: ορίζει το σημείο εισόδου για την εφαρμογή της κονσόλας

#include "stdafx.h"

#περιλαμβάνω

χρησιμοποιώντας namespace std?

float f(double x) //επιστρέφει την τιμή της συνάρτησης f(x) = x^2-2

float df(float x) //επιστρέφει την τιμή παραγώγου

float d2f(float x) // τιμή της δεύτερης παραγώγου

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv)

int exit = 0, i=0;//μεταβλητές για έξοδο και βρόχο

διπλά x0,xn;//υπολογισμένες προσεγγίσεις για τη ρίζα

διπλό a, b, eps· // όρια του τμήματος και απαιτούμενη ακρίβεια

cout<<"Please input \n=>";

cin>>a>>b; // εισάγουμε τα όρια του τμήματος στο οποίο θα αναζητήσουμε τη ρίζα

cout<<"\nPlease input epsilon\n=>";

cin>>eps; // εισάγετε την απαιτούμενη ακρίβεια υπολογισμού

εάν (a > b) // εάν ο χρήστης έχει ανακατέψει τα όρια του τμήματος, ανταλλάξτε τα

αν (f(a)*f(b)>0) // αν τα πρόσημα της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος είναι τα ίδια, τότε δεν υπάρχει ρίζα εδώ

cout<<"\nError! No roots in this interval\n";

αν (f(a)*d2f(a)>0) x0 = a; // για να επιλέξετε το σημείο εκκίνησης, ελέγξτε f(x0)*d2f(x0)>0 ?

xn = x0-f(x0)/df(x0); // εξετάστε την πρώτη προσέγγιση

cout<<++i<<"-th iteration = "<

while(fabs(x0-xn) > eps) // θα συνεχίσει να υπολογίζει μέχρι να φτάσουμε στην απαιτούμενη ακρίβεια

xn = x0-f(x0)/df(x0); // απευθείας ο τύπος του Νεύτωνα

cout<<++i<<"-th iteration = "<

cout<<"\nRoot = "<

cout<<"\nExit?=>";

) ενώ (έξοδος!=1); // μέχρι να εισέλθει ο χρήστης exit = 1

Ας δούμε πώς λειτουργεί. Κάντε κλικ στο πράσινο τρίγωνο στην επάνω αριστερή γωνία της οθόνης ή πατήστε F5.

Εάν παρουσιαστεί ένα σφάλμα μεταγλώττισης "Σφάλμα Σφάλμα LNK1123: αποτυχία μετατροπής σε COFF: το αρχείο είναι μη έγκυρο ή κατεστραμμένο", τότε αυτό μπορεί να λυθεί είτε εγκαθιστώντας το πρώτο Service pack 1 είτε στις ρυθμίσεις του έργου Ιδιότητες -> Σύνδεση που απενεργοποιεί τη σταδιακή σύνδεση.

Ρύζι. 4. Επίλυση του σφάλματος μεταγλώττισης έργου

Θα αναζητήσουμε τις ρίζες της συνάρτησης φά(x) =x2-2.

Αρχικά, ας ελέγξουμε την απόδοση της εφαρμογής στα «λάθος» δεδομένα εισαγωγής. Δεν υπάρχουν ρίζες στο τμήμα, το πρόγραμμά μας θα πρέπει να εμφανίζει ένα μήνυμα σφάλματος.

Τώρα έχουμε ένα παράθυρο εφαρμογής:

Ρύζι. 5. Εισαγωγή δεδομένων εισόδου

Ας εισαγάγουμε τα όρια του τμήματος 3 και 5 και η ακρίβεια είναι 0,05. Το πρόγραμμα, όπως αναμενόταν, παρήγαγε ένα μήνυμα σφάλματος ότι δεν υπήρχαν ρίζες σε αυτό το τμήμα.

Ρύζι. 6. Σφάλμα "Δεν υπάρχουν ρίζες σε αυτό το τμήμα!"

Δεν πρόκειται να φύγουμε ακόμα, οπότε τι γίνεται με το μήνυμα "Έξοδος;" εισάγετε «0».

Τώρα ας ελέγξουμε την εφαρμογή χρησιμοποιώντας τα σωστά δεδομένα εισαγωγής. Ας εισάγουμε το τμήμα και ακρίβεια 0,0001.

Ρύζι. 7. Υπολογισμός της ρίζας με την απαιτούμενη ακρίβεια

Όπως μπορούμε να δούμε, η απαιτούμενη ακρίβεια επιτεύχθηκε ήδη στην 4η επανάληψη.

Για έξοδο από την εφαρμογή, πληκτρολογήστε "Έξοδος;" => 1.

Μέθοδος τομής

Για να αποφευχθεί ο υπολογισμός της παραγώγου, η μέθοδος του Newton μπορεί να απλοποιηθεί αντικαθιστώντας την παράγωγο με μια προσέγγιση που υπολογίζεται από τα δύο προηγούμενα σημεία:

Η επαναληπτική διαδικασία μοιάζει με:

Αυτή είναι μια επαναληπτική διαδικασία δύο βημάτων επειδή χρησιμοποιεί τα δύο προηγούμενα για να βρει την επόμενη προσέγγιση.

Η σειρά σύγκλισης της μεθόδου της τομής είναι χαμηλότερη από αυτή της εφαπτομενικής μεθόδου και είναι ίση στην περίπτωση μιας ρίζας.

Αυτή η αξιοσημείωτη ποσότητα ονομάζεται χρυσή αναλογία:

Ας το επαληθεύσουμε αυτό, υποθέτοντας για ευκολία ότι .

Έτσι, μέχρι απειροελάχιστα ανώτερης τάξης

Απορρίπτοντας τον υπόλοιπο όρο, λαμβάνουμε μια σχέση επανάληψης, η λύση της οποίας φυσικά αναζητείται στη μορφή .

Μετά την αντικατάσταση έχουμε: και

Για τη σύγκλιση είναι απαραίτητο να είναι θετική, επομένως .

Εφόσον δεν απαιτείται γνώση της παραγώγου, με τον ίδιο αριθμό υπολογισμών στη μέθοδο τέμνουσας (παρά τη χαμηλότερη τάξη σύγκλισης) μπορεί κανείς να επιτύχει μεγαλύτερη ακρίβεια από ό,τι στη μέθοδο της εφαπτομένης.

Σημειώστε ότι κοντά στη ρίζα πρέπει να διαιρέσετε με έναν μικρό αριθμό και αυτό οδηγεί σε απώλεια ακρίβειας (ειδικά στην περίπτωση πολλαπλών ριζών), επομένως, έχοντας επιλέξει έναν σχετικά μικρό αριθμό, εκτελέστε υπολογισμούς πριν εκτελέσετε και συνεχίστε τα μέχρι να μειωθεί ο συντελεστής της διαφοράς μεταξύ γειτονικών προσεγγίσεων.

Μόλις ξεκινήσει η ανάπτυξη, οι υπολογισμοί διακόπτονται και η τελευταία επανάληψη δεν χρησιμοποιείται.

Αυτή η διαδικασία για τον προσδιορισμό του τέλους των επαναλήψεων ονομάζεται τεχνική Γαρβίκα.

Μέθοδος παραβολής

Ας εξετάσουμε μια μέθοδο τριών βημάτων στην οποία η προσέγγιση καθορίζεται από τα τρία προηγούμενα σημεία και .

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε, παρόμοια με τη μέθοδο τομής, τη συνάρτηση με μια παραβολή παρεμβολής που διέρχεται από τα σημεία , και .

Στη μορφή του Νεύτωνα μοιάζει:

Ως σημείο ορίζεται η μία από τις ρίζες αυτού του πολυωνύμου που είναι πιο κοντά σε απόλυτη τιμή στο σημείο.

Η σειρά σύγκλισης της μεθόδου της παραβολής είναι υψηλότερη από αυτή της μεθόδου διατομής, αλλά χαμηλότερη από αυτή της μεθόδου του Νεύτωνα.

Μια σημαντική διαφορά από τις μεθόδους που εξετάστηκαν προηγουμένως είναι το γεγονός ότι ακόμα κι αν το πραγματικό για το πραγματικό και οι αρχικές προσεγγίσεις επιλεγούν ως πραγματικές, η μέθοδος της παραβολής μπορεί να οδηγήσει σε μια πολύπλοκη ρίζα του αρχικού προβλήματος.

Αυτή η μέθοδος είναι πολύ βολική για την εύρεση ριζών πολυωνύμων υψηλού βαθμού.

Απλή μέθοδος επανάληψης

Το πρόβλημα της εύρεσης λύσεων σε εξισώσεις μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα εύρεσης ριζών: , ή ως πρόβλημα εύρεσης σταθερού σημείου.

Αφήνω και - συμπίεση: (ιδιαίτερα, το γεγονός ότι - συμπίεση, όπως φαίνεται εύκολα, σημαίνει ότι).

Σύμφωνα με το θεώρημα του Banach, υπάρχει ένα μοναδικό σταθερό σημείο

Μπορεί να βρεθεί ως το όριο μιας απλής επαναληπτικής διαδικασίας

όπου η αρχική προσέγγιση είναι ένα αυθαίρετο σημείο στο διάστημα.

Εάν η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη, τότε ένα βολικό κριτήριο συμπίεσης είναι ο αριθμός . Πράγματι, σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange

Έτσι, εάν η παράγωγος είναι μικρότερη από μία, τότε είναι συμπίεση.

Κατάσταση είναι ουσιαστικό, γιατί αν, για παράδειγμα, στο , τότε δεν υπάρχει σταθερό σημείο, αν και η παράγωγος είναι ίση με μηδέν. Η ταχύτητα σύγκλισης εξαρτάται από την τιμή του . Όσο μικρότερη, τόσο πιο γρήγορη είναι η σύγκλιση.

Έστω η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 διαχωρισμένη στο τμήμα , με την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο f'(x) και f""(x)είναι συνεχείς και έχουν σταθερό πρόσημο για xÎ.

Έστω σε κάποιο βήμα της βελτίωσης της ρίζας η επόμενη προσέγγιση στη ρίζα x n (επιλεγμένο) . Έπειτα ας υποθέσουμε ότι η επόμενη προσέγγιση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη διόρθωση h n , οδηγεί στην ακριβή αξία της ρίζας

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Αρίθμηση h nμικρή τιμή, αντιπροσωπεύουμε f(х n + h n) με τη μορφή μιας σειράς Taylor, περιοριζόμαστε σε γραμμικούς όρους

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Θεωρώντας ότι f(x) = f(x n + h n) = 0, λαμβάνουμε f(x n) + h n f '(x n) » 0.

Ως εκ τούτου h n » - f(x n)/ f’(x n). Ας αντικαταστήσουμε την τιμή h nστο (1.2.3-6) και αντί για την ακριβή τιμή της ρίζας Χπαίρνουμε μια άλλη προσέγγιση

Ο τύπος (1.2.3-8) μας επιτρέπει να λάβουμε μια ακολουθία προσεγγίσεων x 1, x 2, x 3 ..., η οποία, υπό ορισμένες συνθήκες, συγκλίνει στην ακριβή τιμή της ρίζας Χ,αυτό είναι

Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Νεύτωναείναι όπως ακολουθεί
(Εικ.1.2.3-6). Ας πάρουμε το δεξί άκρο του τμήματος b ως αρχική προσέγγιση x 0 και ας κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη στο αντίστοιχο σημείο B 0 στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x). Το σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα x λαμβάνεται ως νέα, ακριβέστερη προσέγγιση x 1. Η επανάληψη αυτής της διαδικασίας πολλές φορές μας επιτρέπει να λάβουμε μια ακολουθία προσεγγίσεων x 0, x 1, x 2 , . . ., που τείνει στην ακριβή τιμή της ρίζας Χ.

Ο τύπος υπολογισμού της μεθόδου του Νεύτωνα (1.2.3-8) μπορεί να ληφθεί από μια γεωμετρική κατασκευή. Άρα σε ορθογώνιο τρίγωνο x 0 B 0 x 1 σκέλος
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Θεωρώντας ότι το σημείο B 0 βρίσκεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x),και η υποτείνουσα σχηματίζεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης f(x) στο σημείο B 0, παίρνουμε

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Αυτός ο τύπος συμπίπτει με το (1.2.3-8) για την ντη προσέγγιση.

Από το Σχ. 1.2.3-6 είναι σαφές ότι η επιλογή του σημείου a ως αρχικής προσέγγισης μπορεί να οδηγήσει στο γεγονός ότι η επόμενη προσέγγιση x 1 θα είναι έξω από το τμήμα στο οποίο διαχωρίζεται η ρίζα Χ. Σε αυτή την περίπτωση, η σύγκλιση της διαδικασίας δεν είναι εγγυημένη. Στη γενική περίπτωση, η επιλογή της αρχικής προσέγγισης γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: η αρχική προσέγγιση πρέπει να λαμβάνεται ως σημείο x 0 О, στο οποίο f(x 0)×f''(x 0)>0 , δηλαδή τα πρόσημα της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου της ταιριάζουν.

Οι προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της μεθόδου του Νεύτωνα διατυπώνονται στο ακόλουθο θεώρημα.

Αν η ρίζα της εξίσωσης διαχωρίζεται στο τμήμα, και f'(x 0) και f''(x) διαφέρουν από το μηδέν και διατηρούν τα πρόσημά τους όταν xО, τότε αν επιλέξουμε ένα τέτοιο σημείο ως αρχική προσέγγιση x 0 О , Τι f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , τότε η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 μπορεί να υπολογιστεί με οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας.

Η εκτίμηση σφάλματος της μεθόδου του Newton καθορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:

(1.2.3-11)

πού είναι η μικρότερη τιμή στο

Υψηλότερη τιμή στο

Η διαδικασία υπολογισμού σταματά αν ,

πού είναι η καθορισμένη ακρίβεια.

Επιπλέον, οι ακόλουθες εκφράσεις μπορούν να χρησιμεύσουν ως προϋπόθεση για την επίτευξη μιας δεδομένης ακρίβειας κατά τον καθαρισμό της ρίζας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton:

Το διάγραμμα του αλγορίθμου της μεθόδου Newton φαίνεται στο Σχ. 1.2.3-7.

Η αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης f(x) και η παράγωγός της f'(x) στον αλγόριθμο έχουν σχεδιαστεί ως ξεχωριστές ενότητες λογισμικού.

Ρύζι. 1.2.3-7. Διάγραμμα αλγορίθμου μεθόδου Newton

Παράδειγμα 1.2.3-3 Βελτιώστε τις ρίζες της εξίσωσης x-ln(x+2) = 0 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton, με την προϋπόθεση ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι διαχωρισμένες στα τμήματα x 1 О[-1.9;-1.1] και x 2 О [-0,9;2].

Η πρώτη παράγωγος f’(x) = 1 – 1/(x+2) διατηρεί το πρόσημό της σε καθένα από τα τμήματα:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 σε xO [-0,9; 2].

Η δεύτερη παράγωγος f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 για οποιοδήποτε x.

Έτσι, οι συνθήκες σύγκλισης ικανοποιούνται. Εφόσον f""(x)>0 σε όλο το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών, τότε για να διευκρινιστεί η ρίζα της αρχικής προσέγγισης x 1επιλέξτε x 0 = -1,9 (αφού f(-1,9)×f”(-1,9)>0). Λαμβάνουμε μια ακολουθία προσεγγίσεων:

Συνεχίζοντας τους υπολογισμούς, λαμβάνουμε την ακόλουθη ακολουθία των πρώτων τεσσάρων προσεγγίσεων: -1.9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Η τιμή της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=-1,8414 ισούται με f(-1,8414)=-0,00003 .

Για να διευκρινίσουμε τη ρίζα x 2 О[-0,9;2] επιλέγουμε ως αρχική προσέγγιση το 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Με βάση το x 0 = 2, λαμβάνουμε μια ακολουθία προσεγγίσεων: 2.0;1.1817; 1,1462; 1,1461. Η τιμή της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=1,1461 ισούται με f(1,1461)= -0,00006.

Η μέθοδος του Νεύτωνα έχει υψηλό ποσοστό σύγκλισης, αλλά σε κάθε βήμα απαιτεί τον υπολογισμό όχι μόνο της τιμής της συνάρτησης, αλλά και της παραγώγου της.

Μέθοδος συγχορδίας

Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου χορδήςείναι όπως ακολουθεί
(Εικ.1.2.3-8).

Ας σχεδιάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μέσα από τα σημεία Α και Β. Η επόμενη προσέγγιση x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της χορδής με τον άξονα 0x. Ας κατασκευάσουμε την εξίσωση ενός ευθύγραμμου τμήματος:

Ας ορίσουμε y=0 και ας βρούμε την τιμή x=x 1 (επόμενη προσέγγιση):

Ας επαναλάβουμε τη διαδικασία υπολογισμού για να λάβουμε την επόμενη προσέγγιση στη ρίζα - x 2 :

Στην περίπτωσή μας (Εικ. 1.2.11) και ο τύπος υπολογισμού για τη μέθοδο χορδής θα μοιάζει

Αυτός ο τύπος ισχύει όταν το σημείο b λαμβάνεται ως σταθερό σημείο και το σημείο α λειτουργεί ως αρχική προσέγγιση.

Ας εξετάσουμε μια άλλη περίπτωση (Εικ. 1.2.3-9), όταν .

Η ευθύγραμμη εξίσωση για αυτήν την περίπτωση έχει τη μορφή

Επόμενη προσέγγιση x 1 στο y = 0

Τότε ο επαναλαμβανόμενος τύπος της μεθόδου χορδής για αυτήν την περίπτωση έχει τη μορφή

Πρέπει να σημειωθεί ότι το σταθερό σημείο στη μέθοδο της χορδής επιλέγεται ως το τέλος του τμήματος για το οποίο ικανοποιείται η συνθήκη f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Έτσι, αν το σημείο α ληφθεί ως σταθερό σημείο , τότε το x 0 = b λειτουργεί ως αρχική προσέγγιση και αντίστροφα.

Οι επαρκείς συνθήκες που εξασφαλίζουν τον υπολογισμό της ρίζας της εξίσωσης f(x) = 0 χρησιμοποιώντας τον τύπο χορδής θα είναι οι ίδιες με τη μέθοδο της εφαπτομένης (μέθοδος Newton), μόνο αντί για την αρχική προσέγγιση επιλέγεται ένα σταθερό σημείο. Η μέθοδος συγχορδίας είναι μια τροποποίηση της μεθόδου του Νεύτωνα. Η διαφορά είναι ότι η επόμενη προσέγγιση στη μέθοδο του Νεύτωνα είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης με τον άξονα 0Χ, και στη μέθοδο της χορδής - το σημείο τομής της χορδής με τον άξονα 0Χ - οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στη ρίζα από διαφορετικές πλευρές .

Η εκτίμηση σφάλματος για τη μέθοδο συγχορδίας δίνεται από την έκφραση

(1.2.3-15)

Προϋπόθεση για τον τερματισμό της διαδικασίας επανάληψης με τη μέθοδο της συγχορδίας

(1.2.3-16)

Στην περίπτωση Μ 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£μι.

Παράδειγμα 1.2.3-4. Διευκρινίστε τη ρίζα της εξίσωσης e x – 3x = 0, χωρισμένη στο τμήμα με ακρίβεια 10 -4.

Ας ελέγξουμε τη συνθήκη σύγκλισης:

Συνεπώς, ως σταθερό σημείο θα πρέπει να επιλεγεί a=0 και ως αρχική προσέγγιση θα πρέπει να ληφθεί x 0 =1, αφού f(0)=1>0 και f(0)*f"(0)>0.

Ενώ αγωνίζονται στο σχολείο με την επίλυση εξισώσεων στα μαθήματα των μαθηματικών, πολλοί μαθητές είναι συχνά πεπεισμένοι ότι σπαταλούν τον χρόνο τους εντελώς μάταια, και ωστόσο μια τέτοια δεξιότητα θα είναι χρήσιμη στη ζωή όχι μόνο σε όσους αποφασίζουν να ακολουθήσουν τα βήματα του Ντεκάρτ. Όιλερ ή Λομπατσέφσκι.

Στην πράξη, για παράδειγμα στην ιατρική ή την οικονομία, υπάρχουν συχνά καταστάσεις όπου ένας ειδικός πρέπει να ανακαλύψει πότε η συγκέντρωση δραστική ουσίαενός συγκεκριμένου φαρμάκου θα φτάσει το απαιτούμενο επίπεδο στο αίμα του ασθενούς ή είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για να καταστεί κερδοφόρα μια συγκεκριμένη επιχείρηση.

Τις περισσότερες φορές μιλάμε για επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων διάφοροι τύποι. Οι αριθμητικές μέθοδοι επιτρέπουν αυτό να γίνει όσο το δυνατόν γρηγορότερα, ειδικά χρησιμοποιώντας υπολογιστή. Έχουν μελετηθεί καλά και έχουν αποδείξει από καιρό την αποτελεσματικότητά τους. Αυτές περιλαμβάνουν τη μέθοδο εφαπτομένης του Νεύτωνα, η οποία είναι το αντικείμενο αυτού του άρθρου.

Διατύπωση του προβλήματος

Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μια συνάρτηση g, η οποία ορίζεται στο τμήμα (a, b) και παίρνει ορισμένες τιμές σε αυτό, δηλαδή, κάθε x που ανήκει στο (a, b) μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο αριθμό g. (Χ).

Απαιτείται να δημιουργηθούν όλες οι ρίζες της εξίσωσης από το διάστημα μεταξύ των σημείων a και b (συμπεριλαμβανομένων των άκρων), για τα οποία η συνάρτηση είναι μηδενική. Προφανώς, αυτά θα είναι τα σημεία τομής του y = g(x) με το OX.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να αντικαταστήσετε το g(x)=0 με ένα παρόμοιο, όπως g 1 (x) = g 2 (x). Στην περίπτωση αυτή, οι τετμημένες (τιμή x) των σημείων τομής των γραφημάτων g 1 (x) και g 2 (x) λειτουργούν ως ρίζες.

Η λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης είναι επίσης σημαντική για προβλήματα βελτιστοποίησης για τα οποία η προϋπόθεση για ένα τοπικό άκρο είναι η παράγωγος της συνάρτησης να μετατρέπεται σε 0. Με άλλα λόγια, ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να αναχθεί στην εύρεση των ριζών της εξίσωσης p(x) = 0, όπου το p(x) είναι πανομοιότυπο με το g"(x).

Μέθοδοι λύσης

Για ορισμένους τύπους μη γραμμικών εξισώσεων, όπως οι τετραγωνικές ή απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν με αρκετά απλούς τρόπους. Συγκεκριμένα, κάθε μαθητής γνωρίζει τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρουν εύκολα τις τιμές του ορίσματος των σημείων όπου εξαφανίζεται το τετραγωνικό τριώνυμο.

Οι μέθοδοι εξαγωγής ριζών μη γραμμικών εξισώσεων συνήθως χωρίζονται σε αναλυτικές (άμεσες) και επαναληπτικές. Στην πρώτη περίπτωση, η επιθυμητή λύση έχει τη μορφή ενός τύπου, χρησιμοποιώντας τον οποίο, σε έναν ορισμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων, μπορεί κανείς να βρει την τιμή των επιθυμητών ριζών. Παρόμοιες μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για εκθετικές, τριγωνομετρικές, λογαριθμικές και απλές αλγεβρικές εξισώσεις. Για τα υπόλοιπα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ειδικές αριθμητικές μεθόδους. Είναι εύκολο να εφαρμοστούν χρησιμοποιώντας υπολογιστές, οι οποίοι σας επιτρέπουν να βρείτε τις ρίζες με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Αυτά περιλαμβάνουν τα λεγόμενα αριθμητική μέθοδοςΤο τελευταίο προτάθηκε από τον μεγάλο επιστήμονα Ισαάκ Νεύτωνα στα τέλη του 17ου αιώνα. Στους επόμενους αιώνες, η μέθοδος βελτιώθηκε επανειλημμένα.

Εντοπισμός

Οι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση μιγαδικών εξισώσεων που δεν έχουν αναλυτικές λύσεις εκτελούνται συνήθως σε 2 στάδια. Πρώτα πρέπει να τα εντοπίσετε. Αυτή η λειτουργία συνίσταται στην εύρεση τέτοιων τμημάτων στο OX στα οποία υπάρχει μια ρίζα της εξίσωσης που λύνεται.

Ας εξετάσουμε το τμήμα. Εάν το g(x) δεν έχει ασυνέχειες πάνω του και παίρνει τιμές διαφορετικών προσώπων στα τελικά σημεία, τότε μεταξύ a και b ή σε αυτά υπάρχει τουλάχιστον 1 ρίζα της εξίσωσης g(x) = 0. Για να να είναι μοναδικό, απαιτείται το g(x) να μην ήταν μονότονο. Όπως είναι γνωστό, θα έχει αυτή την ιδιότητα με την προϋπόθεση ότι το πρόσημο του g’(x) είναι σταθερό.

Με άλλα λόγια, εάν το g(x) δεν έχει ασυνέχειες και μονότονα αυξάνεται ή μειώνεται και οι τιμές του στα τελικά σημεία δεν έχουν τα ίδια πρόσημα, τότε υπάρχει 1 και μόνο 1 ρίζα του g(x).

Ωστόσο, πρέπει να γνωρίζετε ότι αυτό το κριτήριο δεν θα ισχύει για τις ρίζες των εξισώσεων που είναι πολλαπλές.

Επίλυση εξίσωσης με το μισό

Πριν εξετάσετε πιο σύνθετες αριθμητικές εφαπτομένες και τις ποικιλίες τους, αξίζει να εξοικειωθείτε με τα περισσότερα με απλό τρόποαναγνώριση των ριζών. Ονομάζεται διχοτομία και αναφέρεται στον διαισθητικό τρόπο εύρεσης ριζών, βασισμένος στο θεώρημα ότι εάν για g(x), συνεχές, ικανοποιείται η συνθήκη διαφορετικών προσώπων, τότε στο υπό εξέταση τμήμα υπάρχει τουλάχιστον 1 ρίζα g( x) = 0.

Για να το βρείτε, πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα στη μέση και να ορίσετε το μέσο ως x 2. Τότε είναι δυνατές δύο επιλογές: g(x 0) * g(x 2) ή g(x 2) * g(x 1) είναι ίσες ή μικρότερες από 0. Επιλέγουμε αυτή για την οποία ισχύει μία από αυτές τις ανισώσεις. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω έως ότου το μήκος γίνει μικρότερο από μια ορισμένη προεπιλεγμένη τιμή που καθορίζει την ακρίβεια του προσδιορισμού της ρίζας της εξίσωσης στο .

Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου περιλαμβάνουν την αξιοπιστία και την απλότητά της, αλλά το μειονέκτημα είναι η ανάγκη να εντοπιστούν αρχικά σημεία στα οποία το g(x) παίρνει διαφορετικά πρόσημα, επομένως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ρίζες άρτια πολλαπλότητα. Επιπλέον, δεν γενικεύεται στην περίπτωση συστήματος εξισώσεων ή αν μιλάμε για σύνθετες ρίζες.

Παράδειγμα 1

Ας θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Για να μην αφιερώσουμε πολύ χρόνο στην αναζήτηση κατάλληλου τμήματος, κατασκευάζουμε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, το γνωστό πρόγραμμα Excel . Βλέπουμε ότι είναι καλύτερο να παίρνουμε τιμές από το διάστημα ως τμήμα για τον εντοπισμό της ρίζας. Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της απαιτούμενης εξίσωσης.

g"(x) = 10x 4 + 1, δηλ. είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, επομένως υπάρχει μόνο 1 ρίζα στο επιλεγμένο τμήμα.

Αντικαθιστούμε τα τελικά σημεία στην εξίσωση. Έχουμε 0 και 1 αντίστοιχα. Στο πρώτο βήμα, λαμβάνουμε ως λύση το σημείο 0,5. Τότε g(0,5) = -0,4375. Αυτό σημαίνει ότι το επόμενο τμήμα για το μισό θα είναι . Του μεσαίο σημείο- 0,75. Σε αυτό, η τιμή της συνάρτησης είναι 0,226. Λαμβάνουμε υπόψη το τμήμα και τη μέση του, που βρίσκεται στο σημείο 0,625. Υπολογίζουμε την τιμή του g(x) να είναι 0,625. Είναι ίσο με -0,11, δηλαδή αρνητικό. Με βάση αυτό το αποτέλεσμα, επιλέγουμε το τμήμα. Παίρνουμε x = 0,6875. Τότε g(x) = -0,00532. Εάν η ακρίβεια της λύσης είναι 0,01, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι το επιθυμητό αποτέλεσμα είναι 0,6875.

Θεωρητική βάση

Αυτή η μέθοδος εύρεσης ριζών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εφαπτομένης του Νεύτωνα είναι δημοφιλής λόγω της πολύ γρήγορης σύγκλισής της.

Βασίζεται στο αποδεδειγμένο γεγονός ότι αν x n είναι μια προσέγγιση στη ρίζα f(x) = 0, έτσι ώστε f" C 1, τότε η επόμενη προσέγγιση θα είναι στο σημείο όπου η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) μηδενίζεται, δηλ.

Αντικαταστήστε το x = x n+1 και ορίστε το y στο μηδέν.

Τότε οι εφαπτομένες μοιάζουν με αυτό:

Παράδειγμα 2

Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε την κλασική μέθοδο εφαπτομένης του Νεύτωνα και να βρούμε μια λύση σε κάποια μη γραμμική εξίσωση που είναι δύσκολο ή αδύνατο να βρεθεί αναλυτικά.

Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι ρίζες για x 3 + 4x - 3 = 0 με κάποια ακρίβεια, για παράδειγμα 0,001. Όπως είναι γνωστό, η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης με τη μορφή πολυωνύμου περιττού βαθμού πρέπει να τέμνει τον άξονα OX τουλάχιστον μία φορά, δηλαδή δεν υπάρχει αμφιβολία για την ύπαρξη ριζών.

Πριν λύσουμε το παράδειγμά μας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης, κατασκευάζουμε ένα γράφημα f(x) = x 3 + 4x - 3 κατά σημείο. Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel. Από το γράφημα που προκύπτει θα είναι σαφές ότι δεν τέμνεται με τον άξονα OX και η συνάρτηση y = x 3 + 4x - 3 αυξάνεται μονότονα. Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η εξίσωση x 3 + 4x - 3 = 0 έχει λύση και είναι μοναδική.

Αλγόριθμος

Οποιαδήποτε λύση εξισώσεων με τη μέθοδο της εφαπτομένης αρχίζει με τον υπολογισμό της f "(x). Έχουμε:

Τότε η δεύτερη παράγωγος θα είναι x * 6.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις εκφράσεις, μπορούμε να γράψουμε έναν τύπο για τον προσδιορισμό των ριζών μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης με τη μορφή:

Στη συνέχεια, πρέπει να επιλέξετε μια αρχική προσέγγιση, δηλαδή να αρχίσετε να προσδιορίζετε ποιο σημείο θεωρείται το σημείο εκκίνησης (όγκος x 0) για την επαναληπτική διαδικασία. Θεωρούμε τα άκρα του τμήματος. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό για το οποίο ισχύει η συνθήκη ότι η συνάρτηση και η 2η παράγωγός της στο x 0 έχουν διαφορετικά πρόσημα. Όπως μπορούμε να δούμε, όταν αντικαθιστούμε το x 0 = 0 είναι σπασμένο, αλλά το x 0 = 1 είναι αρκετά κατάλληλο.

τότε αν μας ενδιαφέρει να λύσουμε τη μέθοδο της εφαπτομένης με ακρίβεια e, τότε η τιμή x n μπορεί να θεωρηθεί ότι ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος, με την προϋπόθεση ότι η ανισότητα |f(x n) / f’(x n)|< e.

Στο πρώτο εφαπτομενικό βήμα έχουμε:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0,2857 = 0,71429;
Αφού δεν πληρούται η προϋπόθεση, προχωράμε.
παίρνουμε μια νέα τιμή για το x 2, η οποία είναι ίση με 0,674.
παρατηρούμε ότι ο λόγος της τιμής της συνάρτησης προς την παράγωγό της σε x 2 είναι μικρότερος από 0,0063, διακόπτουμε τη διαδικασία.

Μέθοδος εφαπτομένης στο Excel

Μπορείτε να λύσετε το προηγούμενο παράδειγμα πολύ πιο εύκολα και πιο γρήγορα εάν δεν εκτελείτε υπολογισμούς χειροκίνητα (σε μια αριθμομηχανή), αλλά χρησιμοποιείτε τις δυνατότητες ενός επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων από τη Microsoft.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να δημιουργήσετε μια νέα σελίδα στο Excel και να γεμίσετε τα κελιά της με τους ακόλουθους τύπους:

στο C7 γράφουμε "= DEGREE (B7;3) + 4 * B7 - 3";
στο D7 εισάγουμε "= 4 + 3 * DEGREE (B7;2)";
στο Ε7 γράφουμε “= (ΒΑΘΜΟΣ (Β7;3)- 3 + 4 * Β7) / (3* ΠΤΥΧΙΟ (Β7;2) + 4)”;
στο D7 εισάγουμε την έκφραση "=B7 - E7".
στο B8 εισάγουμε τον τύπο συνθήκης "=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, η επιγραφή "Ολοκλήρωση επαναλήψεων" θα εμφανιστεί στο κελί B10 και για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστεί να πάρετε τον αριθμό που είναι γραμμένος στο κελί που βρίσκεται μία γραμμή παραπάνω. Μπορείτε επίσης να επιλέξετε μια ξεχωριστή "εκτατή" στήλη για αυτήν εισάγοντας μια συνθήκη τύπου εκεί, σύμφωνα με την οποία το αποτέλεσμα θα γραφτεί εκεί εάν το περιεχόμενο σε ένα ή άλλο κελί της στήλης Β έχει τη μορφή "Ολοκλήρωση επαναλήψεων".

Υλοποίηση στο Pascal

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε μια λύση στη μη γραμμική εξίσωση y = x 4 - 4 - 2 * x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εφαπτομένης στο Pascal.

Χρησιμοποιούμε μια βοηθητική συνάρτηση που θα σας βοηθήσει να πραγματοποιήσετε έναν κατά προσέγγιση υπολογισμό f"(x) = (f(x + δέλτα) - f(x)) / δέλτα. Ως προϋπόθεση για την ολοκλήρωση της επαναληπτικής διαδικασίας, επιλέγουμε την εκπλήρωση του η ανισότητα |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Το πρόγραμμα είναι αξιοσημείωτο για το γεγονός ότι δεν απαιτεί χειροκίνητο υπολογισμό της παραγώγου.

Μέθοδος συγχορδίας

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο για να προσδιορίσουμε τις ρίζες των μη γραμμικών εξισώσεων. Η διαδικασία επανάληψης συνίσταται στο γεγονός ότι ως διαδοχικές προσεγγίσεις στην επιθυμητή ρίζα για f(x) = 0 λαμβάνονται οι τιμές των σημείων τομής της χορδής με την τετμημένη των ακραίων σημείων a και b με OX, συμβολίζεται ως x 1, ..., x n. Εχουμε:

Για το σημείο όπου η χορδή τέμνει τον άξονα OX, η έκφραση θα γραφτεί ως:

Έστω η δεύτερη παράγωγος θετική για x £ (η αντίθετη περίπτωση θα μειωθεί σε αυτήν που εξετάζουμε αν γράψουμε f(x) = 0). Σε αυτή την περίπτωση, το γράφημα y = f(x) είναι μια καμπύλη, κυρτή στο κάτω μέρος και βρίσκεται κάτω από τη χορδή ΑΒ. Μπορεί να υπάρχουν 2 περιπτώσεις: όταν η συνάρτηση έχει θετική τιμή στο σημείο α ή είναι αρνητική στο σημείο β.

Στην πρώτη περίπτωση, επιλέγουμε το άκρο a ως σταθερό και παίρνουμε το σημείο b ως x 0. Στη συνέχεια, διαδοχικές προσεγγίσεις σύμφωνα με τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω σχηματίζουν μια ακολουθία που μειώνεται μονότονα.

Στη δεύτερη περίπτωση, το άκρο b είναι σταθερό στο x 0 = a. Οι τιμές x που λαμβάνονται σε κάθε βήμα επανάληψης σχηματίζουν μια ακολουθία που αυξάνεται μονότονα.

Έτσι, μπορούμε να δηλώσουμε ότι:

Στη μέθοδο των χορδών, το σταθερό άκρο του τμήματος είναι αυτό όπου τα πρόσημα της συνάρτησης και η δεύτερη παράγωγός της δεν συμπίπτουν.
οι προσεγγίσεις για τη ρίζα x - x m - βρίσκονται από αυτήν στην πλευρά όπου η f(x) έχει πρόσημο που δεν συμπίπτει με το πρόσημο της f"" (x).

Οι επαναλήψεις μπορούν να συνεχιστούν έως ότου πληρούνται οι προϋποθέσεις για την εγγύτητα των ριζών σε αυτό και στο προηγούμενο βήμα επανάληψης modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Τροποποιημένη μέθοδος

Η συνδυασμένη μέθοδος χορδών και εφαπτομένων σας επιτρέπει να δημιουργήσετε τις ρίζες μιας εξίσωσης προσεγγίζοντάς τις από διαφορετικές πλευρές. Αυτή η τιμή, στην οποία το γράφημα f(x) τέμνει το OX, σας επιτρέπει να βελτιώσετε τη λύση πολύ πιο γρήγορα από τη χρήση καθεμιάς από τις μεθόδους ξεχωριστά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τις ρίζες του f(x)=0, αν υπάρχουν στο . Μπορείτε να εφαρμόσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω. Ωστόσο, είναι καλύτερο να δοκιμάσετε έναν συνδυασμό τους, ο οποίος θα βελτιώσει σημαντικά την ακρίβεια της ρίζας.

Θεωρούμε την περίπτωση με μια αρχική προσέγγιση που αντιστοιχεί στην προϋπόθεση ότι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος έχουν διαφορετικά πρόσημα σε ένα συγκεκριμένο σημείο x.

Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της εφαπτομένης επιτρέπει σε κάποιον να βρει μια ρίζα με περίσσεια αν x 0 =b, και η μέθοδος που χρησιμοποιεί χορδές με σταθερό άκρο b οδηγεί στην εύρεση μιας κατά προσέγγιση ρίζας με έλλειψη.

Φόρμουλες που χρησιμοποιούνται:

Τώρα η απαιτούμενη ρίζα x πρέπει να αναζητηθεί στο διάστημα. Στο επόμενο βήμα, πρέπει να εφαρμόσετε τη συνδυασμένη μέθοδο σε αυτό το τμήμα. Προχωρώντας με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε τύπους της μορφής:

Εάν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε, συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, για να διευκρινίσουμε τη ρίζα, λαμβάνουμε τους ακόλουθους επαναλαμβανόμενους τύπους:

Η συνθήκη που χρησιμοποιείται είναι η εκτιμώμενη ανισότητα| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Εάν η παραπάνω ανισότητα είναι αληθής, τότε ως ρίζα της μη γραμμικής εξίσωσης σε ένα δεδομένο τμήμα, πάρτε το σημείο που βρίσκεται ακριβώς στη μέση μεταξύ των λύσεων που βρέθηκαν σε ένα συγκεκριμένο βήμα επανάληψης.

Η συνδυαστική μέθοδος εφαρμόζεται εύκολα στο περιβάλλον TURBO PASCAL. Εάν θέλετε πραγματικά, μπορείτε να δοκιμάσετε να εκτελέσετε όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα στο Excel.

Στην τελευταία περίπτωση, διατίθενται αρκετές στήλες για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας συγχορδίες και χωριστά για τη μέθοδο που προτείνει ο Isaac Newton.

Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε γραμμή χρησιμοποιείται για την καταγραφή των υπολογισμών σε ένα συγκεκριμένο βήμα επανάληψης χρησιμοποιώντας δύο μεθόδους. Στη συνέχεια, στην αριστερή πλευρά της περιοχής λύσης, επισημαίνεται μια στήλη στην ενεργή σελίδα εργασίας, στην οποία εισάγεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού της ενότητας της διαφοράς τιμών του επόμενου επαναληπτικού βήματος για καθεμία από τις μεθόδους. Ένα άλλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή των αποτελεσμάτων των υπολογισμών με βάση τον τύπο για τον υπολογισμό της λογικής κατασκευής "IF", που χρησιμοποιείται για να διαπιστωθεί εάν μια συνθήκη είναι αληθής ή όχι.

Τώρα ξέρετε πώς να λύσετε μιγαδικές εξισώσεις. Η μέθοδος εφαπτομένης, όπως έχετε ήδη δει, εφαρμόζεται πολύ απλά, τόσο στο Pascal όσο και στο Excel. Επομένως, μπορείτε πάντα να προσδιορίσετε τις ρίζες μιας εξίσωσης που είναι δύσκολο ή αδύνατο να λυθεί χρησιμοποιώντας τύπους.

Το ίδιο με την προσέγγιση. Ο όρος P. χρησιμοποιείται μερικές φορές με την έννοια του να φέρεις ένα αντικείμενο πιο κοντά (για παράδειγμα, αρχικό P.) ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Η μέθοδος του Νεύτωνα- Η μέθοδος του Νεύτωνα, ο αλγόριθμος του Νεύτωνα (γνωστός και ως μέθοδος εφαπτομένης) είναι μια επαναληπτική αριθμητική μέθοδος για την εύρεση της ρίζας (μηδέν) μιας δεδομένης συνάρτησης. Η μέθοδος προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό, μαθηματικό και αστρονόμο Isaac Newton... ... Wikipedia

Μία μέθοδος εφαπτομένης

Μέθοδος Gauss-Newton- Η μέθοδος του Νεύτωνα (γνωστή και ως μέθοδος εφαπτομένης) είναι μια επαναληπτική αριθμητική μέθοδος για την εύρεση της ρίζας (μηδέν) μιας δεδομένης συνάρτησης. Η μέθοδος προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό, μαθηματικό και αστρονόμο Isaac Newton (1643 1727), με το όνομα ... ... Wikipedia

Μέθοδος Newton-Raphson- Η μέθοδος του Νεύτωνα (γνωστή και ως μέθοδος εφαπτομένης) είναι μια επαναληπτική αριθμητική μέθοδος για την εύρεση της ρίζας (μηδέν) μιας δεδομένης συνάρτησης. Η μέθοδος προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό, μαθηματικό και αστρονόμο Isaac Newton (1643 1727), με το όνομα ... ... Wikipedia

Μέθοδος εφαπτομένης- Η μέθοδος του Νεύτωνα (γνωστή και ως μέθοδος εφαπτομένης) είναι μια επαναληπτική αριθμητική μέθοδος για την εύρεση της ρίζας (μηδέν) μιας δεδομένης συνάρτησης. Η μέθοδος προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό, μαθηματικό και αστρονόμο Isaac Newton (1643 1727), με το όνομα ... ... Wikipedia

Μέθοδος εφαπτομένης (μέθοδος του Νεύτωνα)- Η μέθοδος του Νεύτωνα (γνωστή και ως μέθοδος εφαπτομένης) είναι μια επαναληπτική αριθμητική μέθοδος για την εύρεση της ρίζας (μηδέν) μιας δεδομένης συνάρτησης. Η μέθοδος προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό, μαθηματικό και αστρονόμο Isaac Newton (1643 1727), με το όνομα ... ... Wikipedia

Αριθμητική λύση εξισώσεων- και τα συστήματά τους αποτελούνται από έναν κατά προσέγγιση προσδιορισμό της ρίζας ή των ριζών μιας εξίσωσης ή συστήματος εξισώσεων και χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου είναι αδύνατο ή πολύ επίπονο να υπολογιστεί η ακριβής τιμή. Περιεχόμενα 1 Δήλωση προβλήματος 2 Αριθμητικές μέθοδοι ... Wikipedia

Μέθοδος διαδοχικής προσέγγισης- μια μέθοδος για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας μια ακολουθία προσεγγίσεων που συγκλίνει σε μια λύση και κατασκευάζεται αναδρομικά (δηλαδή, κάθε νέα προσέγγιση υπολογίζεται με βάση την προηγούμενη· η αρχική προσέγγιση επιλέγεται σε ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Στο πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης, η επιτυχής επιλογή της αρχικής προσέγγισης είναι υψίστης σημασίας.Βεβαίως, είναι αδύνατο να βρεθεί ένας γενικός κανόνας που θα ήταν ικανοποιητικός για όλες τις περιπτώσεις, δηλαδή για όλες τις πιθανές μη γραμμικές συναρτήσεις. Κάθε φορά πρέπει να αναζητάς τη δική σου λύση. Παρακάτω προτείνουμε ένα σύνολο μεθόδων για την εύρεση χονδρικών αρχικών προσεγγίσεων, οι οποίες στην πράξη μπορούν να χρησιμεύσουν ως αφετηρία για την αναζήτηση ικανοποιητικών προσεγγίσεων σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.

9.6.1. Αναζήτηση πλέγματος. Αυτή η μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική με έναν μικρό αριθμό πραγματικών μη γραμμικών παραμέτρων. Συχνά οι συναρτήσεις σχεδιάζονται με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι τιμές ορισμένων παραμέτρων (που ονομάζουμε μη γραμμικές) είναι σταθερές, οι υπόλοιπες παράμετροι γίνονται γραμμικές.

Έχοντας στη συνέχεια καθορίσει τα κάτω και τα άνω όρια για τις μη γραμμικές παραμέτρους, με ένα ορισμένο βήμα είναι δυνατό να απαριθμηθούν οι επιλογές στο προκύπτον πλέγμα τιμών αυτών των μη γραμμικών παραμέτρων και να προσδιοριστεί η γραμμική παλινδρόμηση που οδηγεί στο ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων .

Για παράδειγμα, εξετάστε τη συνάρτηση

Εδώ η πραγματική μη γραμμική παράμετρος θα είναι . Ας πούμε ότι είναι γνωστό ότι . Έστω h το βήμα για την παράμετρο. Ας υπολογίσουμε γραμμικές παλινδρομήσεις

όπου βρίσκουμε το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων για καθένα από αυτά. Το μικρότερο από αυτά αντιστοιχεί στη βέλτιστη αρχική προσέγγιση. Κατ 'αρχήν, το βήμα από το οποίο εξαρτάται η "πυκνότητα" του πλέγματος μπορεί να ποικίλλει, έτσι ώστε με τη μείωση της τιμής του h, οι τιμές των παραμέτρων να μπορούν να βρεθούν με οποιαδήποτε ακρίβεια.

9.6.2. Μεταμόρφωση μοντέλου.

Μερικές φορές, με κάποιο μετασχηματισμό, το μοντέλο μπορεί να μειωθεί σε γραμμικό ή ο αριθμός των πραγματικών μη γραμμικών παραμέτρων μπορεί να μειωθεί (βλ. ενότητα 6.2.3). Ας δείξουμε πώς μπορεί να επιτευχθεί αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας λογιστικής καμπύλης

Εκτελώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό στις αντίστοιχες εξισώσεις παλινδρόμησης, λαμβάνουμε

Δηλώνοντας, καταλήγουμε σε μια νέα συνάρτηση, ο αριθμός των γραμμικών παραμέτρων της οποίας έχει αυξηθεί από μία σε δύο. Η εκτίμηση για την παράμετρο στο νέο μοντέλο μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την προηγούμενη μέθοδο.

Εδώ είναι σκόπιμο να κάνουμε την ακόλουθη παρατήρηση σχετικά με τους μετασχηματισμούς των μοντέλων παλινδρόμησης. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το σφάλμα που ήταν προσθετικό στην αρχική εξίσωση, σε γενικές γραμμές, δεν θα είναι πλέον προσθετικό μετά τον μετασχηματισμό.

Χρησιμοποιώντας την επέκταση της σειράς Taylor και δηλώνοντας τον μετασχηματισμό από, λαμβάνουμε, παραβλέποντας τους όρους παραγγελίας

Από αυτό προκύπτει ότι

Η τελευταία ισότητα μπορεί να ληφθεί ως βάση για την ανάλυση του προβλήματος με ένα μετασχηματισμένο μοντέλο.

9.6.3. Διαίρεση του δείγματος σε υποδείγματα.

Για να βρείτε την αρχική προσέγγιση, μπορείτε να διαιρέσετε ολόκληρο το δείγμα σε υποδείγματα (με περίπου ίσους όγκους), όπου είναι ο αριθμός των άγνωστων παραμέτρων. Για κάθε υποδείγμα, βρίσκουμε τους μέσους όρους του y και του X, τους οποίους συμβολίζουμε με m, αντίστοιχα. Ας λύσουμε το σύστημα των μη γραμμικών εξισώσεων για

Η λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι η αρχική προσέγγιση των παραμέτρων. Προφανώς, για να «δουλέψει» αυτή η μέθοδος, είναι απαραίτητο αυτό το σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων να λυθεί αρκετά εύκολα, για παράδειγμα αναλυτικά.

9.6.4. Επέκταση σειράς Taylor σε ανεξάρτητες μεταβλητές.

Η βάση της επαναληπτικής ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγώνων είναι η επέκταση της συνάρτησης παλινδρόμησης σε μια σειρά Taylor σε γραμμικούς όρους σε παραμέτρους. Για να βρεθεί μια πρόχειρη αρχική προσέγγιση, μερικές φορές είναι χρήσιμη η διαδικασία προσέγγισης της παλινδρόμησης επεκτείνοντάς την σε μια σειρά Taylor σε ανεξάρτητες μεταβλητές. Για λόγους απλότητας, θα υποθέσουμε ότι είναι μονοδιάστατο. Έστω η μέση τιμή, τότε περίπου

Δηλώνουμε , άρα φτάνουμε στο γραμμικό μοντέλο

Έστω οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων αυτής της γραμμικής παλινδρόμησης. Ως αρχικές προσεγγίσεις, θα πάρουμε τη λύση ενός μη γραμμικού συστήματος εξισώσεων ως προς