Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ένα σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό. Το πιο τυπικό πρόβλημα που απαιτεί την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι ο έλεγχος της συμβατότητας ενός συστήματος γραμμικής αλγεβρικές εξισώσεις. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε την έννοια της κατάταξης μήτρας και θα εξετάσουμε μεθόδους εύρεσης της. Για να κατανοήσουμε καλύτερα το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε πολλά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα και απαραίτητες πρόσθετες έννοιες.

Πριν εκφράσετε τον ορισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να έχετε μια καλή κατανόηση της έννοιας του ανηλίκου και η εύρεση των δευτερευόντων ενός πίνακα συνεπάγεται τη δυνατότητα υπολογισμού της ορίζουσας. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να θυμηθείτε τη θεωρία του άρθρου, τις μεθόδους εύρεσης της ορίζουσας μιας μήτρας και τις ιδιότητες της ορίζουσας.

Ας πάρουμε έναν πίνακα Α τάξης. Έστω k μερικά φυσικός αριθμός, που δεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς m και n, δηλαδή, .

Ορισμός.

Μικρή kth σειράΟ πίνακας Α είναι η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης, που αποτελείται από στοιχεία του πίνακα Α, τα οποία βρίσκονται σε προεπιλεγμένες k σειρές και k στήλες και διατηρείται η διάταξη των στοιχείων του πίνακα Α.

Με άλλα λόγια, εάν στον πίνακα A διαγράψουμε (p–k) γραμμές και (n–k) στήλες και από τα υπόλοιπα στοιχεία δημιουργήσουμε έναν πίνακα, διατηρώντας τη διάταξη των στοιχείων του πίνακα A, τότε η ορίζουσα του ο προκύπτων πίνακας είναι μια ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α.

Ας δούμε τον ορισμό ενός δευτερεύοντος πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Εξετάστε τη μήτρα .

Ας γράψουμε μερικά δευτερεύοντα πρώτου βαθμού αυτού του πίνακα. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε την τρίτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη του πίνακα Α, τότε η επιλογή μας αντιστοιχεί σε δευτερεύον πρώτης τάξης . Με άλλα λόγια, για να λάβουμε αυτό το δευτερεύον, διαγράψαμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά, καθώς και την πρώτη, τρίτη και τέταρτη στήλη από τον πίνακα A, και δημιουργήσαμε μια ορίζουσα από το υπόλοιπο στοιχείο. Αν επιλέξουμε την πρώτη γραμμή και την τρίτη στήλη του πίνακα A, τότε παίρνουμε ένα δευτερεύον .

Ας παρουσιάσουμε τη διαδικασία για την απόκτηση των θεωρούμενων ανηλίκων πρώτης τάξης
Και .

Έτσι, τα δευτερεύοντα πρώτης τάξης ενός πίνακα είναι τα ίδια τα στοιχεία του πίνακα.

Ας δείξουμε αρκετούς ανηλίκους δεύτερης τάξης. Επιλέξτε δύο σειρές και δύο στήλες. Για παράδειγμα, πάρτε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά και την τρίτη και τέταρτη στήλη. Με αυτή την επιλογή έχουμε ανήλικο δεύτερης τάξης . Αυτό το δευτερεύον θα μπορούσε επίσης να συντεθεί διαγράφοντας την τρίτη σειρά, την πρώτη και τη δεύτερη στήλη από τον πίνακα A.

Ένα άλλο δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο του πίνακα Α είναι το .

Ας παρουσιάσουμε την κατασκευή αυτών των ανηλίκων δεύτερης τάξης
Και .

Παρομοίως, μπορούν να βρεθούν δευτερεύοντα ανήλικα τρίτης τάξης του πίνακα Α. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο τρεις σειρές στον πίνακα Α, τις επιλέγουμε όλες. Εάν επιλέξουμε τις τρεις πρώτες στήλες αυτών των σειρών, παίρνουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης

Μπορεί επίσης να κατασκευαστεί διαγράφοντας την τελευταία στήλη του πίνακα A.

Ένα άλλο δευτερεύον τρίτης τάξης είναι

που προκύπτει διαγράφοντας την τρίτη στήλη του πίνακα Α.

Εδώ είναι μια εικόνα που δείχνει την κατασκευή αυτών των ανηλίκων τρίτης τάξης
Και .

Για έναν δεδομένο πίνακα Α δεν υπάρχουν δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία μεγαλύτερης από τον τρίτο, αφού .

Πόσα ελάσσονα της kth τάξης υπάρχουν σε έναν πίνακα A τάξης;

Ο αριθμός των δευτερευόντων της τάξης k μπορεί να υπολογιστεί ως , όπου Και - τον αριθμό των συνδυασμών από p έως k και από n έως k, αντίστοιχα.

Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε όλα τα ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α τάξης p κατά n;

Θα χρειαστούμε πολλούς αριθμούς σειρών μήτρας και πολλούς αριθμούς στηλών. Γράφουμε τα πάντα συνδυασμοί στοιχείων p κατά k(θα αντιστοιχούν στις επιλεγμένες σειρές του πίνακα A κατά την κατασκευή ενός ελάσσονος τάξης k). Σε κάθε συνδυασμό αριθμών σειρών προσθέτουμε διαδοχικά όλους τους συνδυασμούς n στοιχείων των k αριθμών στηλών. Αυτά τα σύνολα συνδυασμών αριθμών σειρών και αριθμών στηλών του πίνακα Α θα βοηθήσουν στη σύνθεση όλων των δευτερευόντων της τάξης k.

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα.

Λύση.

Δεδομένου ότι η σειρά του αρχικού πίνακα είναι 3 επί 3, το σύνολο των δευτερευόντων δευτερευόντων βαθμών θα είναι .

Ας γράψουμε όλους τους συνδυασμούς των αριθμών 3 έως 2 σειρών του πίνακα A: 1, 2; 1, 3 και 2, 3. Όλοι οι συνδυασμοί από 3 έως 2 αριθμούς στηλών είναι 1, 2. 1, 3 και 2, 3.

Ας πάρουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά του πίνακα Α. Επιλέγοντας την πρώτη και τη δεύτερη στήλη, την πρώτη και την τρίτη στήλη, τη δεύτερη και την τρίτη στήλη για αυτές τις σειρές, λαμβάνουμε τα δευτερεύοντα, αντίστοιχα

Για την πρώτη και την τρίτη σειρά, με παρόμοια επιλογή στηλών, έχουμε

Απομένει να προσθέσουμε την πρώτη και δεύτερη, πρώτη και τρίτη, δεύτερη και τρίτη στήλη στη δεύτερη και τρίτη σειρά:

Έτσι, βρέθηκαν και τα εννέα δευτερεύοντα ανήλικα του πίνακα Α.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ορισμός.

Κατάταξη μήτρας- Αυτό υψηλότερη τάξηελάσσονος πίνακας, διαφορετικός από το μηδέν.

Η κατάταξη του πίνακα A συμβολίζεται ως Rank(A) . Μπορείτε επίσης να βρείτε τους χαρακτηρισμούς Rg(A) ή Rang(A) .

Από τους ορισμούς της κατάταξης πίνακα και του δευτερεύοντος πίνακα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι ίση με το μηδέν και η κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα δεν είναι μικρότερη από ένα.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα εξ ορισμού.

Έτσι, η πρώτη μέθοδος για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι μέθοδος απαρίθμησης ανηλίκων. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ας πρέπει να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα Α τάξης.

Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςεπίλυση αυτού του προβλήματος με απαρίθμηση ανηλίκων.

Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του πίνακα που είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με ένα (αφού υπάρχει ένα δευτερεύον πρώτης τάξης που δεν είναι ίσο με μηδέν).

Στη συνέχεια εξετάζουμε τους ανηλίκους δεύτερης τάξης. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό δευτερεύον της δεύτερης τάξης, τότε προχωράμε στην απαρίθμηση των δευτερευόντων δευτερολέπτων τρίτης τάξης και η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με δύο.

Ομοίως, εάν όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι δύο. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα δευτερεύον τρίτης τάξης εκτός από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον τρεις και προχωράμε στην απαρίθμηση δευτερευόντων δευτερευόντων τετάρτων.

Σημειώστε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς p και n.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα .

Λύση.

Δεδομένου ότι ο πίνακας δεν είναι μηδενικός, η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από ένα.

Ανήλικο δεύτερης τάξης είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι τουλάχιστον δύο. Προχωράμε στην απαρίθμηση ανηλίκων τρίτης τάξης. Σύνολο αυτών πράγματα.




Όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Υπάρχουν άλλες μέθοδοι για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα που σας επιτρέπουν να αποκτήσετε το αποτέλεσμα με λιγότερη υπολογιστική εργασία.

Μια τέτοια μέθοδος είναι μέθοδος δευτερεύουσας ακμής.

Ας ασχοληθούμε έννοια του ελάσσονος άκρου.

Λέγεται ότι ένα δευτερεύον M ok της (k+1) ης τάξης του πίνακα A συνορεύει με ένα μικρότερο M της τάξης k του πίνακα A εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί στον δευτερεύοντα M ok «περιέχει» τον πίνακα που αντιστοιχεί στον ελάσσονα Μ .

Με άλλα λόγια, ο πίνακας που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M λαμβάνεται από τον πίνακα που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M ok διαγράφοντας τα στοιχεία μιας γραμμής και μιας στήλης.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μήτρα και πάρτε μια δεύτερη παραγγελία ανήλικο. Ας γράψουμε όλα τα συνοριακά ανήλικα:

Η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων δικαιολογείται από το ακόλουθο θεώρημα (παρουσιάζουμε τη διατύπωσή του χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα.

Αν όλα τα ελάσσονα που συνορεύουν με την kth τάξης ελάσσονα ενός πίνακα Α τάξης p κατά n είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα ελάσσονα τάξης (k+1) του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν.

Έτσι, για να βρείτε την κατάταξη μιας μήτρας δεν είναι απαραίτητο να περάσετε από όλα τα ανήλικα που είναι επαρκώς οριοθετημένα. Ο αριθμός των δευτερευόντων που συνορεύουν με το δευτερεύον της kth τάξης ενός πίνακα Α τάξης , βρίσκεται από τον τύπο . Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περισσότερα δευτερεύοντα δευτερεύοντα που συνορεύουν με το μικρότερο της k-ης τάξης του πίνακα Α από ό,τι υπάρχουν (k + 1) δευτερεύουσες τάξεις του πίνακα A. Ως εκ τούτου, στις περισσότερες περιπτώσεις, η χρήση της μεθόδου της οριοθέτησης ανηλίκων είναι πιο επικερδής από την απλή απαρίθμηση όλων των ανηλίκων.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της κατάταξης του πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων. Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςαυτή τη μέθοδο.

Εάν ο πίνακας Α είναι μη μηδενικός, τότε ως δευτερεύον πρώτης τάξης λαμβάνουμε οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του. Εάν είναι όλα ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό συνοριακό δευτερεύον (η σειρά του είναι δύο), τότε προχωράμε στην εξέταση των συνοριακών του δευτερευόντων. Αν είναι όλα μηδέν, τότε Rank(A) = 2. Εάν τουλάχιστον ένα συνοριακό δευτερεύον είναι μη μηδενικό (η σειρά του είναι τρία), τότε θεωρούμε τα συνοριακά ελάσσονά του. Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, Rank(A) = k εάν όλα τα συνοριακά δευτερεύοντα της (k + 1) th τάξης του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν, ή Rank(A) = min(p, n) εάν υπάρχει μη- μηδέν ελάσσονα που συνορεύει με ελάσσονα τάξης (min( p, n) – 1) .

Ας δούμε τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων για να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Λύση.

Εφόσον το στοιχείο a 1 1 του πίνακα Α είναι μη μηδενικό, το λαμβάνουμε ως δευτερεύον πρώτης τάξης. Ας ξεκινήσουμε την αναζήτηση για ένα δευτερεύον όριο που είναι διαφορετικό από το μηδέν:

Βρίσκεται μια ελάσσονα ακμής δεύτερης τάξης, διαφορετική από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του (τους πράγματα):

Όλοι οι ανήλικοι που συνορεύουν με το δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο είναι ίσοι με μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα χρησιμοποιώντας συνοριακούς ανηλίκους.

Λύση.

Ως μη μηδενικό ελάσσονα πρώτης τάξης, παίρνουμε το στοιχείο a 1 1 = 1 του πίνακα A. Ο περιβάλλων ανήλικος δεύτερης τάξης όχι ίσο με μηδέν. Αυτό το ανήλικο συνορεύει με ένα ανήλικο τρίτης τάξης
. Δεδομένου ότι δεν είναι ίσο με μηδέν και δεν υπάρχει ούτε ένα οριακό δευτερεύον για αυτό, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με τρία.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 3 .

Εύρεση της κατάταξης χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα (μέθοδος Gauss).

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα.

Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται στοιχειώδεις:

  • αναδιάταξη σειρών (ή στηλών) ενός πίνακα.
  • πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k, διαφορετικό από το μηδέν.
  • προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Ο πίνακας Β ονομάζεται ισοδύναμος με τον πίνακα Α, εάν το Β λαμβάνεται από το Α χρησιμοποιώντας πεπερασμένος αριθμόςστοιχειώδεις μεταμορφώσεις. Η ισοδυναμία των πινάκων συμβολίζεται με το σύμβολο "~", δηλαδή γράφεται A ~ B.

Η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα βασίζεται στη δήλωση: εάν ο πίνακας Β λαμβάνεται από τον πίνακα Α χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε Rank(A) = Rank(B) .

Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας του πίνακα:

  • Κατά την αναδιάταξη των γραμμών (ή στηλών) ενός πίνακα, η ορίζοντή του αλλάζει πρόσημο. Αν είναι ίσο με μηδέν, τότε όταν οι σειρές (στήλες) αναδιατάσσονται, παραμένει ίσο με μηδέν.
  • Όταν πολλαπλασιάζονται όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k εκτός από το μηδέν, η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει είναι ίση με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα πολλαπλασιαζόμενη επί k. Εάν η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε αφού πολλαπλασιαστούν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης με τον αριθμό k, η ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα θα είναι επίσης ίση με μηδέν.
  • Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας ορισμένης σειράς (στήλης) ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο αριθμό k, δεν αλλάζουν την ορίζουσα του.

Η ουσία της μεθόδου των στοιχειωδών μετασχηματισμώνσυνίσταται στη μείωση του πίνακα του οποίου η κατάταξη πρέπει να βρούμε σε τραπεζοειδή (σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, σε ανώτερο τριγωνικό) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Γιατί γίνεται αυτό; Η κατάταξη των πινάκων αυτού του τύπου είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο. Και επειδή η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά την εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών, η τιμή που προκύπτει θα είναι η κατάταξη του αρχικού πίνακα.

Δίνουμε απεικονίσεις πινάκων, μία από τις οποίες θα πρέπει να ληφθεί μετά από μετασχηματισμούς. Η εμφάνισή τους εξαρτάται από τη σειρά της μήτρας.


Αυτές οι εικόνες είναι πρότυπα στα οποία θα μετασχηματίσουμε τον πίνακα Α.

Ας περιγράψουμε αλγόριθμος μεθόδου.

Ας χρειαστεί να βρούμε την κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα Α τάξης (το p μπορεί να είναι ίσο με n).

Ετσι, . Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα Α με . Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, που τον δηλώνουμε A (1):

Στα στοιχεία της δεύτερης σειράς του προκύπτοντος πίνακα Α (1) προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί . Στα στοιχεία της τρίτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί . Και ούτω καθεξής μέχρι τη γραμμή p-th. Ας πάρουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, τον συμβολίζουμε με Α (2):

Εάν όλα τα στοιχεία του προκύπτοντος πίνακα που βρίσκονται σε σειρές από το δεύτερο έως το p-th είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με ένα και, κατά συνέπεια, η κατάταξη του αρχικού πίνακα είναι ίση σε ένα.

Εάν στις γραμμές από το δεύτερο έως το p-th υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε συνεχίζουμε να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς. Επιπλέον, ενεργούμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, αλλά μόνο με το τμήμα του πίνακα Α (2) που σημειώνεται στο σχήμα.

Αν , τότε αναδιατάσσουμε τις σειρές και (ή) τις στήλες του πίνακα A (2) έτσι ώστε το «νέο» στοιχείο να γίνει μη μηδενικό.

Ένας αριθμός r ονομάζεται κατάταξη του πίνακα A εάν:
1) στον πίνακα A υπάρχει μια ελάσσονα τάξης r, διαφορετική από το μηδέν.
2) όλα τα ελάσσονα τάξης (r+1) και άνω, εάν υπάρχουν, ισούνται με μηδέν.
Διαφορετικά, η κατάταξη ενός πίνακα είναι η υψηλότερη δευτερεύουσα τάξη εκτός από το μηδέν.
Ονομασίες: rangA, r A ή r.
Από τον ορισμό προκύπτει ότι το r είναι θετικός ακέραιος. Για έναν μηδενικό πίνακα, η κατάταξη θεωρείται μηδέν.

Σκοπός της υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για εύρεση κατάταξη μήτρας. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση αποθηκεύεται σε μορφή Word και Excel. δείτε παράδειγμα λύσης.

Οδηγίες. Επιλέξτε τη διάσταση του πίνακα, κάντε κλικ στο Επόμενο.

Ορισμός . Ας δοθεί ένας πίνακας κατάταξης r. Κάθε ελάσσονα ενός πίνακα που είναι διαφορετικό από το μηδέν και έχει τάξη r ονομάζεται βασικό και οι γραμμές και οι στήλες των συστατικών του ονομάζονται βασικές γραμμές και στήλες.
Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ένας πίνακας Α μπορεί να έχει πολλά ελάσσονα βάσης.

Η κατάταξη του πίνακα ταυτότητας E είναι n (ο αριθμός των σειρών).

Παράδειγμα 1. Δίνονται δύο πίνακες, και των ανηλίκων τους , . Ποιο από αυτά μπορεί να θεωρηθεί ως βασικό;
Λύση. Minor M 1 =0, επομένως δεν μπορεί να αποτελέσει βάση για κανέναν από τους πίνακες. Minor M 2 =-9≠0 και έχει τάξη 2, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να ληφθεί ως βάση των πινάκων A ή / και B, με την προϋπόθεση ότι έχουν τάξεις ίσες με 2. Εφόσον detB=0 (ως ορίζουσα με δύο αναλογικές στήλες), τότε το rangB=2 και το M 2 μπορούν να ληφθούν ως ελάσσονα βάσης του πίνακα Β. Η κατάταξη του πίνακα A είναι 3, λόγω του γεγονότος ότι detA=-27≠ 0 και, επομένως, η τάξη ελάσσονος βάσης αυτού του πίνακα πρέπει να είναι ίση με 3, δηλαδή το M 2 δεν αποτελεί βάση για τον πίνακα A. Σημειώστε ότι ο πίνακας Α έχει μια απλή ελάσσονα βάσης, ίση με την ορίζουσα του πίνακα Α.

Θεώρημα (σχετικά με το ελάσσονα βάσης). Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών του (στήλες).
Συμπεράσματα από το θεώρημα.

  1. Κάθε πίνακας (r+1) στήλης (σειράς) της κατάταξης r εξαρτάται γραμμικά.
  2. Εάν η κατάταξη ενός πίνακα είναι μικρότερη από τον αριθμό των σειρών του (στήλες), τότε οι σειρές (στήλες) του εξαρτώνται γραμμικά. Αν το rangA είναι ίσο με τον αριθμό των σειρών του (στήλες), τότε οι σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
  3. Η ορίζουσα ενός πίνακα Α είναι ίση με μηδέν εάν και μόνο εάν οι σειρές (στήλες) του είναι γραμμικά εξαρτώμενες.
  4. Εάν προσθέσετε μια άλλη σειρά (στήλη) σε μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα, πολλαπλασιαζόμενη με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα δεν θα αλλάξει.
  5. Εάν διαγράψετε μια γραμμή (στήλη) σε έναν πίνακα, ο οποίος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων σειρών (στήλες), τότε η κατάταξη του πίνακα δεν θα αλλάξει.
  6. Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών (στήλων) του.
  7. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών είναι ίδιος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών.

Παράδειγμα 2. Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα .
Λύση. Με βάση τον ορισμό της κατάταξης του πίνακα, θα αναζητήσουμε ένα δευτερεύον της υψηλότερης τάξης, διαφορετικό από το μηδέν. Πρώτα μετατρέπουμε τη μήτρα σε περισσότερα απλή θέα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά του πίνακα με (-2) και προσθέστε τη στη δεύτερη, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε την με (-1) και προσθέστε την στην τρίτη.

Ορισμός. Κατάταξη μήτραςείναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών που θεωρούνται διανύσματα.

Θεώρημα 1 για την κατάταξη του πίνακα. Κατάταξη μήτραςονομάζεται μέγιστη τάξη ενός μη μηδενικού ελάσσονος πίνακα.

Έχουμε ήδη συζητήσει την έννοια του ανηλίκου στο μάθημα για τις ορίζουσες και τώρα θα τη γενικεύσουμε. Ας πάρουμε έναν ορισμένο αριθμό σειρών και έναν ορισμένο αριθμό στηλών στον πίνακα, και αυτό το "πόσο" θα πρέπει να είναι μικρότερο από τον αριθμό των γραμμών και στηλών του πίνακα, και για γραμμές και στήλες αυτό το "πόσο" θα πρέπει να είναι το τον ίδιο αριθμό. Στη συνέχεια, στη διασταύρωση του πόσες σειρές και πόσες στήλες θα υπάρχει ένας πίνακας χαμηλότερης τάξης από τον αρχικό μας πίνακα. Η ορίζουσα είναι ένας πίνακας και θα είναι ελάσσονας της kth τάξης εάν το αναφερόμενο «some» (ο αριθμός των σειρών και των στηλών) συμβολίζεται με k.

Ορισμός.Μικρή ( r+1)η σειρά, εντός της οποίας βρίσκεται ο επιλεγμένος ανήλικος r-η τάξη ονομάζεται περίγραμμα για ένα δεδομένο δευτερεύον.

Οι δύο πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι βρίσκοντας την κατάταξη του πίνακα. Αυτό τρόπο οριοθέτησης ανηλίκωνΚαι μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών(μέθοδος Gauss).

Κατά τη χρήση της μεθόδου οριοθέτησης δευτερευόντων, χρησιμοποιείται το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 2 για την κατάταξη του πίνακα.Εάν ένα δευτερεύον μπορεί να αποτελείται από στοιχεία μήτρας rη τάξη, όχι ίση με το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με r.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος στοιχειώδους μετασχηματισμού, χρησιμοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα:

Εάν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών, ληφθεί τραπεζοειδής πίνακας ισοδύναμος με τον αρχικό, τότε κατάταξη αυτού του πίνακαείναι ο αριθμός των γραμμών σε αυτό εκτός από τις γραμμές που αποτελούνται εξ ολοκλήρου από μηδενικά.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων

Ένα εσώκλειστο ελάσσονα είναι ένα ελάσσονα υψηλότερης τάξης σε σχέση με το δεδομένο εάν αυτό το ελάσσονα ανώτερης τάξης περιέχει το δεδομένο ελάσσονα.

Για παράδειγμα, δεδομένου του πίνακα

Ας πάρουμε ένα ανήλικο

Οι παραμεθόριοι ανήλικοι θα είναι:

Αλγόριθμος για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακαΕπόμενο.

1. Βρείτε δευτερεύοντα δευτερεύουσας τάξης που δεν είναι ίσα με μηδέν. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα θα είναι ίση με ένα ( r =1 ).

2. Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα ελάσσονα δεύτερης τάξης που δεν ισούται με μηδέν, τότε συνθέτουμε τα οριακά ελάσσονα τρίτης τάξης. Εάν όλα τα συνοριακά ανήλικα της τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με δύο ( r =2 ).

3. Αν τουλάχιστον ένα από τα συνοριακά ανήλικα τρίτης τάξης δεν ισούται με μηδέν, τότε συνθέτουμε τα συνοριακά ανήλικα. Εάν όλα τα συνοριακά ανήλικα της τέταρτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με τρία ( r =2 ).

4. Συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο όσο το επιτρέπει το μέγεθος του πίνακα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

.

Λύση. Ανήλικο δεύτερης τάξης .

Ας το οριοθετήσουμε. Θα υπάρχουν τέσσερις παραμεθόριες ανήλικες:

,

,

Έτσι, όλα τα συνοριακά ανήλικα της τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με δύο ( r =2 ).

Παράδειγμα 2.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με 1, αφού όλα τα δευτερεύοντα ανήλικα άτομα αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν (σε αυτό, όπως και στις περιπτώσεις των ανηλίκων που συνορεύουν στα δύο παρακάτω παραδείγματα, αγαπητοί μαθητές καλούνται να επαληθεύσουν για οι ίδιοι, ίσως χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον υπολογισμό οριζόντων), και μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων πρώτης τάξης , δηλαδή μεταξύ των στοιχείων του πίνακα, υπάρχουν μη μηδενικά.

Παράδειγμα 3.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Το δευτερεύον δευτερεύον δεύτερου πίνακα αυτού του πίνακα είναι και όλα τα ελάσσονα τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι δύο.

Παράδειγμα 4.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι 3, αφού το μόνο δευτερεύον τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι το 3.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών (μέθοδος Gauss)

Ήδη στο παράδειγμα 1 είναι σαφές ότι η εργασία για τον προσδιορισμό της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων απαιτεί υπολογισμό μεγάλος αριθμόςκαθοριστικές. Υπάρχει, ωστόσο, ένας τρόπος να μειωθεί ο όγκος του υπολογισμού στο ελάχιστο. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση μετασχηματισμών στοιχειώδους πίνακα και ονομάζεται επίσης μέθοδος Gauss.

Οι ακόλουθες πράξεις νοούνται ως στοιχειώδεις μετασχηματισμοί πίνακα:

1) πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης ενός πίνακα με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

2) προσθέτοντας στα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης του πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης, πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

3) εναλλαγή δύο σειρών ή στηλών του πίνακα.

4) αφαίρεση σειρών "μηδενικών", δηλαδή εκείνων των οποίων τα στοιχεία είναι όλα ίσα με μηδέν.

5) διαγραφή όλων των αναλογικών γραμμών εκτός από μία.

Θεώρημα.Κατά τη διάρκεια ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Με άλλα λόγια, αν χρησιμοποιήσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς από τον πίνακα ΕΝΑπήγε στο matrix σι, Οτι .

Ας δοθεί κάποια μήτρα:

.

Ας επιλέξουμε σε αυτόν τον πίνακα αυθαίρετες χορδές και αυθαίρετες στήλες
. Έπειτα η ορίζουσα ης τάξης, που αποτελείται από στοιχεία μήτρας
, που βρίσκεται στη διασταύρωση επιλεγμένων γραμμών και στηλών, ονομάζεται δευτερεύον μήτρα ης τάξης
.

Ορισμός 1.13.Κατάταξη μήτρας
που ονομάζεται υψηλότερη τάξημικρότερο αυτού του πίνακα, διαφορετικό από το μηδέν.

Για τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη όλα τα ελάσσονα της χαμηλότερης τάξης και, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το μηδέν, να προχωρήσουμε στην εξέταση των δευτερευόντων της υψηλότερης τάξης. Αυτή η προσέγγιση για τον προσδιορισμό της κατάταξης ενός πίνακα ονομάζεται μέθοδος οριοθέτησης (ή μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων).

Πρόβλημα 1.4.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων, προσδιορίστε την κατάταξη του πίνακα
.

.

Εξετάστε την πρώτης τάξης μπορντούρα, για παράδειγμα,
. Στη συνέχεια, προχωράμε στο να εξετάσουμε κάποια μπορντούρα δεύτερης τάξης.

Για παράδειγμα,
.

Τέλος, ας αναλύσουμε το περίγραμμα τρίτης τάξης.

.

Άρα η υψηλότερη τάξη ενός μη μηδενικού δευτερεύοντος είναι 2, επομένως
.

Κατά την επίλυση του Προβλήματος 1.4, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ένας αριθμός δευτερευουσών δευτερευουσών συνόρων είναι μη μηδενικός. Από αυτή την άποψη, ισχύει η ακόλουθη έννοια.

Ορισμός 1.14.Βασικό ελάσσονα ενός πίνακα είναι κάθε μη μηδενικό δευτερεύον του οποίου η σειρά είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα.

Θεώρημα 1.2.(Θεώρημα ελάσσονος βάσης). Οι βασικές σειρές (στήλες βάσης) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Σημειώστε ότι οι σειρές (στήλες) ενός πίνακα εξαρτώνται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον μία από αυτές μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Θεώρημα 1.3.Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών πίνακα και είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα.

Θεώρημα 1.4.(Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν). Για την ορίζουσα -η σειρά ήταν ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο και επαρκές οι σειρές (στήλες) του να εξαρτώνται γραμμικά.

Ο υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα με βάση τον ορισμό του είναι πολύ περίπλοκος. Αυτό γίνεται ιδιαίτερα σημαντικό για πίνακες υψηλών παραγγελιών. Από αυτή την άποψη, στην πράξη, η κατάταξη ενός πίνακα υπολογίζεται με βάση την εφαρμογή των Θεωρημάτων 10.2 - 10.4, καθώς και τη χρήση των εννοιών της ισοδυναμίας πίνακα και των στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Ορισμός 1.15.Δύο πίνακες
Και ονομάζονται ισοδύναμα αν οι τάξεις τους είναι ίσες, δηλ.
.

Αν πίνακες
Και είναι ισοδύναμα, τότε σημειώστε
.

Θεώρημα 1.5.Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει λόγω στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Θα ονομάσουμε μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα
οποιαδήποτε από τις ακόλουθες πράξεις σε έναν πίνακα:

Αντικατάσταση σειρών με στήλες και στηλών με αντίστοιχες σειρές.

Αναδιάταξη σειρών μήτρας.

Διασχίζοντας μια γραμμή της οποίας τα στοιχεία είναι όλα μηδέν.

Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό
.

Συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.5.Αν μήτρα
που λαμβάνεται από μήτρα χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών και στη συνέχεια τον πίνακα
Και είναι ισοδύναμα.

Κατά τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να μειωθεί σε τραπεζοειδή μορφή χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Ορισμός 1.16.Θα ονομάσουμε τραπεζοειδή μια μορφή αναπαράστασης πίνακα όταν στο συνοριακό ελάσσονα της υψηλότερης τάξης μη μηδενικό, όλα τα στοιχεία κάτω από τα διαγώνια εξαφανίζονται. Για παράδειγμα:

.

Εδώ
, στοιχεία μήτρας
πάει στο μηδέν. Τότε η μορφή αναπαράστασης ενός τέτοιου πίνακα θα είναι τραπεζοειδής.

Κατά κανόνα, οι πίνακες μειώνονται σε τραπεζοειδές σχήμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Gauss. Η ιδέα του αλγορίθμου Gauss είναι ότι, πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα με τους αντίστοιχους παράγοντες, επιτυγχάνεται ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης βρίσκονται κάτω από το στοιχείο
, θα γύριζε στο μηδέν. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της δεύτερης στήλης με τους αντίστοιχους συντελεστές, διασφαλίζουμε ότι όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης βρίσκονται κάτω από το στοιχείο
, θα γύριζε στο μηδέν. Στη συνέχεια προχωρήστε με τον ίδιο τρόπο.

Πρόβλημα 1.5.Προσδιορίστε την κατάταξη μιας μήτρας μειώνοντάς την σε τραπεζοειδές σχήμα.

.

Για να διευκολύνετε τη χρήση του αλγόριθμου Gauss, μπορείτε να ανταλλάξετε την πρώτη και την τρίτη γραμμή.






.

Είναι προφανές ότι εδώ
. Ωστόσο, για να φέρετε το αποτέλεσμα σε πιο κομψή μορφή, μπορείτε να συνεχίσετε να μεταμορφώνετε τις στήλες.








.

Θα εξετάσουμε επίσης μια σημαντική πρακτική εφαρμογή του θέματος: μελέτη συστήματος γραμμικών εξισώσεων για συνέπεια.

Ποια είναι η κατάταξη ενός πίνακα;

Η χιουμοριστική επιγραφή του άρθρου περιέχει μεγάλη ποσότητα αλήθειας. Συνήθως συνδέουμε τη λέξη «κατάταξη» με κάποιο είδος ιεραρχίας, τις περισσότερες φορές με μια κλίμακα σταδιοδρομίας. Όσες περισσότερες γνώσεις, εμπειρία, ικανότητες, διασυνδέσεις κ.λπ. έχει ένας άνθρωπος. – τόσο υψηλότερη είναι η θέση του και το εύρος των ευκαιριών του. Σε όρους νεολαίας, η κατάταξη αναφέρεται στο γενικό βαθμό «απότομης κλίσης».

Και τα μαθηματικά μας αδέρφια ζουν με τις ίδιες αρχές. Ας πάρουμε μερικές τυχαίες μια βόλτα μηδέν πίνακες:

Ας το σκεφτούμε, αν είναι στο matrix όλα τα μηδενικά, τότε για ποια κατάταξη μπορούμε να μιλήσουμε; Όλοι είναι εξοικειωμένοι με την άτυπη έκφραση «συνολικό μηδέν». Στην κοινωνία των μητρών όλα είναι ακριβώς τα ίδια:

Κατάταξη του μηδενικού πίνακαοποιοδήποτε μέγεθος ισούται με μηδέν.

Σημείωση : Ο μηδενικός πίνακας συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα «θήτα»

Για να κατανοήσουμε καλύτερα την κατάταξη του πίνακα, στο εξής θα χρησιμοποιώ υλικά για να βοηθήσω αναλυτική γεωμετρία. Θεωρήστε το μηδέν διάνυσμαο τρισδιάστατος χώρος μας, που δεν ορίζει συγκεκριμένη κατεύθυνση και είναι άχρηστος για δόμηση συγγενική βάση. Από αλγεβρική άποψη, οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος γράφονται σε μήτρα«ένα προς τρία» και λογικό (με την υποδεικνυόμενη γεωμετρική έννοια)υποθέστε ότι η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι μηδέν.

Τώρα ας δούμε μερικά μη μηδενικό διανύσματα στήληςΚαι διανύσματα σειρών:


Κάθε παρουσία έχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, και αυτό είναι κάτι!

Η κατάταξη οποιουδήποτε διανύσματος μη μηδενικής γραμμής (διάνυσμα στήλης) είναι ίση με ένα

Και γενικά μιλώντας - αν στο matrix αυθαίρετα μεγέθηυπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε η κατάταξή του όχι λιγότερομονάδες.

Τα αλγεβρικά διανύσματα σειρών και τα διανύσματα στηλών είναι σε κάποιο βαθμό αφηρημένα, οπότε ας στραφούμε ξανά στον γεωμετρικό συσχετισμό. Μη μηδενικό διάνυσμαθέτει μια πολύ συγκεκριμένη κατεύθυνση στο χώρο και είναι κατάλληλο για κατασκευή βάση, επομένως η κατάταξη του πίνακα θα θεωρείται ίση με ένα.

Θεωρητικές πληροφορίες : V γραμμική άλγεβραένα διάνυσμα είναι ένα στοιχείο διανυσματικός χώρος(που ορίζεται μέσω 8 αξιωμάτων), τα οποία, ειδικότερα, μπορεί να είναι μια διατεταγμένη σειρά (ή στήλη) πραγματικών αριθμών με πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που ορίζονται για αυτούς από πραγματικός αριθμός. Με περισσότερα λεπτομερείς πληροφορίεςσχετικά με τα διανύσματα μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Γραμμικοί μετασχηματισμοί.

γραμμικά εξαρτώμενη(εκφράζονται μεταξύ τους). Από γεωμετρική άποψη, η δεύτερη γραμμή περιέχει τις συντεταγμένες του συγγραμμικού διανύσματος , που δεν προώθησε καθόλου το θέμα στην οικοδόμηση τρισδιάστατη βάση, όντας υπό αυτή την έννοια περιττή. Έτσι, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι επίσης ίση με ένα.

Ας ξαναγράψουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε στήλες ( μεταφέρετε τη μήτρα):

Τι έχει αλλάξει ως προς την κατάταξη; Τίποτα. Οι στήλες είναι αναλογικές, που σημαίνει ότι η κατάταξη είναι ίση με μία. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι και οι τρεις γραμμές είναι επίσης αναλογικές. Μπορούν να αναγνωριστούν με τις συντεταγμένες τρίασυγγραμμικά διανύσματα του επιπέδου, εκ των οποίων μόνο έναχρήσιμο για την κατασκευή μιας «επίπεδης» βάσης. Και αυτό είναι απολύτως συνεπές με το δικό μας γεωμετρική αίσθησητάξη.

Μια σημαντική δήλωση προκύπτει από το παραπάνω παράδειγμα:

Η κατάταξη του πίνακα στις σειρές είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα σε στήλες. Το ανέφερα ήδη λίγο στο μάθημα για την αποτελεσματικότητα μέθοδοι υπολογισμού της ορίζουσας.

Σημείωση : από τη γραμμική εξάρτηση των σειρών προκύπτει γραμμική εξάρτησηστήλες (και αντίστροφα). Αλλά για να εξοικονομήσω χρόνο, και από συνήθεια, θα μιλάω σχεδόν πάντα για γραμμική εξάρτηση των χορδών.

Ας συνεχίσουμε να εκπαιδεύουμε το αγαπημένο μας κατοικίδιο. Ας προσθέσουμε τις συντεταγμένες ενός άλλου συγγραμμικού διανύσματος στον πίνακα της τρίτης σειράς :

Μας βοήθησε στην κατασκευή μιας τρισδιάστατης βάσης; Φυσικά και όχι. Και τα τρία διανύσματα περπατούν εμπρός και πίσω κατά μήκος της ίδιας διαδρομής και η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Μπορείτε να πάρετε όσα συγγραμμικά διανύσματα θέλετε, ας πούμε, 100, να βάλετε τις συντεταγμένες τους σε μια μήτρα "εκατό επί τρία" και η κατάταξη ενός τέτοιου ουρανοξύστη θα παραμείνει ακόμα μία.

Ας εξοικειωθούμε με τη μήτρα, οι σειρές της οποίας γραμμικά ανεξάρτητη. Ένα ζεύγος μη συγγραμμικών διανυσμάτων είναι κατάλληλο για την κατασκευή μιας τρισδιάστατης βάσης. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι δύο.

Ποια είναι η κατάταξη του πίνακα; Οι γραμμές δεν φαίνεται να είναι ανάλογες... οπότε, θεωρητικά, είναι τρεις. Ωστόσο, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι επίσης δύο. Πρόσθεσα τις δύο πρώτες γραμμές και έγραψα το αποτέλεσμα στο κάτω μέρος, δηλ. εκφράζεται γραμμικάη τρίτη γραμμή μέσω των δύο πρώτων. Γεωμετρικά, οι σειρές του πίνακα αντιστοιχούν στις συντεταγμένες των τριών συνεπίπεδα διανύσματα, και μεταξύ αυτών των τριών υπάρχει ένα ζευγάρι μη γραμμικών συντρόφων.

Οπως βλέπεις, γραμμική εξάρτησηστον εξεταζόμενο πίνακα δεν είναι προφανής και σήμερα θα μάθουμε πώς να το βγάλουμε ανοιχτά.

Νομίζω ότι πολλοί άνθρωποι μπορούν να μαντέψουν ποια είναι η κατάταξη ενός πίνακα!

Θεωρήστε έναν πίνακα του οποίου οι σειρές γραμμικά ανεξάρτητη. Μορφή διανυσμάτων συγγενική βάση, και η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι τρεις.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε τέταρτο, πέμπτο, δέκατο διάνυσμα του τρισδιάστατου χώρου θα εκφραστεί γραμμικά σε όρους διανυσμάτων βάσης. Επομένως, εάν προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό σειρών σε έναν πίνακα, τότε η κατάταξή του θα είναι ακόμα ίσο με τρία.

Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να γίνει και για πίνακες μεγαλύτερων μεγεθών (φυσικά, χωρίς γεωμετρικό νόημα).

Ορισμός : Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών. Ή: Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων στηλών. Ναι, ο αριθμός τους είναι πάντα ο ίδιος.

Από τα παραπάνω προκύπτει επίσης μια σημαντική πρακτική οδηγία: η κατάταξη του πίνακα δεν υπερβαίνει την ελάχιστη διάστασή του. Για παράδειγμα, στη μήτρα τέσσερις σειρές και πέντε στήλες. Η ελάχιστη διάσταση είναι τέσσερα, επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα σίγουρα δεν θα υπερβαίνει το 4.

Ονομασίες: στην παγκόσμια θεωρία και πρακτική δεν υπάρχει γενικά αποδεκτό πρότυπο για τον προσδιορισμό της κατάταξης μιας μήτρας· τις περισσότερες φορές μπορείτε να βρείτε: - όπως λένε, ένας Άγγλος γράφει ένα πράγμα, ένας Γερμανός άλλο. Επομένως, με βάση το διάσημο αστείο για την αμερικανική και τη ρωσική κόλαση, ας υποδηλώσουμε την κατάταξη του πίνακα με μια εγγενή λέξη. Για παράδειγμα: . Και αν η μήτρα είναι "ανώνυμη", από την οποία υπάρχουν πολλά, τότε μπορείτε απλά να γράψετε .

Πώς να βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας ανηλίκους;

Εάν η γιαγιά μας είχε μια πέμπτη στήλη στη μήτρα της, τότε θα έπρεπε να υπολογίσουμε μια άλλη ελάσσονα 4ης τάξης ("μπλε", "βατόμουρο" + 5η στήλη).

συμπέρασμα: η μέγιστη τάξη ενός μη μηδενικού δευτερεύοντος είναι τρία, που σημαίνει .

Ίσως δεν έχουν κατανοήσει όλοι πλήρως αυτή τη φράση: ένα δευτερεύον της 4ης τάξης ισούται με μηδέν, αλλά μεταξύ των δευτερευόντων της 3ης τάξης υπήρχε ένα μη μηδενικό - επομένως η μέγιστη τάξη μη μηδενικόελάσσονα και ισούται με τρία.

Τίθεται το ερώτημα: γιατί να μην υπολογίσουμε αμέσως την ορίζουσα; Λοιπόν, πρώτον, στις περισσότερες εργασίες ο πίνακας δεν είναι τετράγωνος και δεύτερον, ακόμη και αν λάβετε μια μη μηδενική τιμή, η εργασία πιθανότατα θα απορριφθεί, καθώς συνήθως περιλαμβάνει μια τυπική λύση "από κάτω προς τα πάνω". Και στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η μηδενική ορίζουσα της 4ης τάξης μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι η κατάταξη του πίνακα είναι μόνο μικρότερη από τέσσερις.

Οφείλω να ομολογήσω ότι κατέληξα στο πρόβλημα που ανέλυσα μόνος μου για να εξηγήσω καλύτερα τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων. Στην πραγματική πράξη, όλα είναι πιο απλά:

Παράδειγμα 2

Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των δευτερευόντων άκρων

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Πότε ο αλγόριθμος λειτουργεί πιο γρήγορα; Ας επιστρέψουμε στον ίδιο πίνακα τέσσερα επί τέσσερα. . Προφανώς, η λύση θα είναι η συντομότερη στην περίπτωση του "καλού" γωνιακά ανήλικοι:

Και, αν , τότε , αλλιώς – .

Η σκέψη δεν είναι καθόλου υποθετική - υπάρχουν πολλά παραδείγματα όπου το όλο θέμα περιορίζεται μόνο σε γωνιακά ανήλικα.

Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, μια άλλη μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική και προτιμότερη:

Πώς να βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian;

Η παράγραφος προορίζεται για αναγνώστες που είναι ήδη εξοικειωμένοι με Γκαουσιανή μέθοδοςκαι λίγο πολύ το έπιασαν στα χέρια τους.

Από τεχνική άποψη, η μέθοδος δεν είναι νέα:

1) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μειώνουμε τον πίνακα σε μια σταδιακή μορφή.

2) η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των σειρών.

Είναι απολύτως σαφές ότι χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian δεν αλλάζει η κατάταξη του πίνακα, και η ουσία εδώ είναι εξαιρετικά απλή: σύμφωνα με τον αλγόριθμο, κατά τη διάρκεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, εντοπίζονται και αφαιρούνται όλες οι περιττές αναλογικές (γραμμικά εξαρτώμενες) σειρές, με αποτέλεσμα ένα "ξηρό υπόλειμμα" - ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών.

Ας μετατρέψουμε τον παλιό γνωστό πίνακα με τις συντεταγμένες τριών συγγραμμικών διανυσμάτων:

(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(2) Οι μηδενικές γραμμές αφαιρούνται.

Επομένως, απομένει μία γραμμή, επομένως . Περιττό να πούμε ότι αυτό είναι πολύ πιο γρήγορο από τον υπολογισμό εννέα μηδενικών ανηλίκων 2ης τάξης και μόνο μετά την εξαγωγή συμπερασμάτων.

Σας το θυμίζω αυτό από μόνο του αλγεβρικός πίνακαςτίποτα δεν μπορεί να αλλάξει και οι μετασχηματισμοί γίνονται μόνο για τον προσδιορισμό της κατάταξης! Παρεμπιπτόντως, ας σταθούμε για άλλη μια φορά στο ερώτημα, γιατί όχι; Πηγαίος πίνακας μεταφέρει πληροφορίες που είναι θεμελιωδώς διαφορετικές από τις πληροφορίες του πίνακα και της γραμμής. Σε ορισμένα μαθηματικά μοντέλα (χωρίς υπερβολή), η διαφορά σε έναν αριθμό μπορεί να είναι θέμα ζωής και θανάτου. ...Θυμήθηκε δασκάλους του σχολείουμαθηματικοί πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας τάξης που κόβουν αλύπητα τον βαθμό κατά 1-2 μονάδες για την παραμικρή ανακρίβεια ή παρέκκλιση από τον αλγόριθμο. Και ήταν τρομερά απογοητευτικό όταν, αντί για ένα φαινομενικά εγγυημένο «Α», βγήκε «καλό» ή ακόμα χειρότερο. Η κατανόηση ήρθε πολύ αργότερα - πώς αλλιώς να εμπιστευθούν δορυφόρους, πυρηνικές κεφαλές και σταθμούς ηλεκτροπαραγωγής σε ένα άτομο; Αλλά μην ανησυχείτε, δεν εργάζομαι σε αυτούς τους τομείς =)

Ας περάσουμε σε πιο ουσιαστικές εργασίες, όπου, μεταξύ άλλων, θα εξοικειωθούμε με σημαντικές υπολογιστικές τεχνικές Μέθοδος Gauss:

Παράδειγμα 3

Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Λύση: δίνεται ένας πίνακας "τέσσερα επί πέντε", που σημαίνει ότι η κατάταξή του σίγουρα δεν είναι μεγαλύτερη από 4.

Στην πρώτη στήλη, δεν υπάρχει 1 ή –1, επομένως, απαιτούνται πρόσθετες ενέργειες για να αποκτήσετε τουλάχιστον μία μονάδα. Καθ' όλη τη διάρκεια της ύπαρξης του ιστότοπου, μου έχει τεθεί επανειλημμένα η ερώτηση: "Είναι δυνατή η αναδιάταξη των στηλών κατά τη διάρκεια των στοιχειωδών μετασχηματισμών;" Εδώ, αναδιατάξαμε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη, και όλα είναι καλά! Στις περισσότερες εργασίες όπου χρησιμοποιείται Γκαουσιανή μέθοδος, οι στήλες μπορούν πράγματι να αναδιαταχθούν. ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ. Και το θέμα δεν είναι καν σε πιθανή σύγχυση με τις μεταβλητές, το θέμα είναι ότι στο κλασικό μάθημα των ανώτερων μαθηματικών αυτή η ενέργεια παραδοσιακά δεν λαμβάνεται υπόψη, οπότε ένα τέτοιο νεύμα θα θεωρείται ΠΟΛΥ στραβά (ή ακόμα και θα αναγκαστεί να ξανακάνει τα πάντα).

Το δεύτερο σημείο αφορά τους αριθμούς. Καθώς παίρνετε την απόφασή σας, είναι χρήσιμο να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο εμπειρικό κανόνα: Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί θα πρέπει, αν είναι δυνατόν, να μειώσουν τους αριθμούς του πίνακα. Εξάλλου, είναι πολύ πιο εύκολο να δουλέψεις με ένα, δύο, τρία παρά, για παράδειγμα, με 23, 45 και 97. Και η πρώτη ενέργεια στοχεύει όχι μόνο στην απόκτηση ενός στην πρώτη στήλη, αλλά και στην εξάλειψη των αριθμών 7 και 11.

Πρώτα η πλήρης λύση και μετά σχόλια:

(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –3. Και στο σωρό: η 1η γραμμή προστέθηκε στην 4η γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1.

(2) Οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι αναλογικές. Η 3η και η 4η γραμμή αφαιρέθηκαν, η δεύτερη γραμμή μετακινήθηκε στην πρώτη θέση.

(3) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –3.

Η μήτρα που ανάγεται σε μορφή κλιμακίου έχει δύο σειρές.

Απάντηση:

Τώρα είναι η σειρά σας να βασανίσετε τη μήτρα τέσσερα προς τέσσερα:

Παράδειγμα 4

Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian

Σας το θυμίζω Γκαουσιανή μέθοδοςδεν συνεπάγεται ξεκάθαρη ακαμψία και η απόφασή σας πιθανότατα θα διαφέρει από την απόφασή μου. Ένα σύντομο παράδειγμα μιας εργασίας στο τέλος του μαθήματος.

Ποια μέθοδο πρέπει να χρησιμοποιήσω για να βρω την κατάταξη ενός πίνακα;

Στην πράξη, συχνά δεν δηλώνεται καθόλου ποια μέθοδος πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της κατάταξης. Σε μια τέτοια κατάσταση, η συνθήκη θα πρέπει να αναλυθεί - για ορισμένους πίνακες είναι πιο ορθολογικό να λυθούν μέσω ανήλικων, ενώ για άλλους είναι πολύ πιο κερδοφόρο να εφαρμοστούν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

Παράδειγμα 5

Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση: η πρώτη μέθοδος με κάποιο τρόπο εξαφανίζεται αμέσως =)

Λίγο πιο πάνω, συμβούλεψα να μην αγγίξετε τις στήλες του πίνακα, αλλά όταν υπάρχει μηδενική στήλη ή αναλογικές/συμπίπτουσες στήλες, τότε αξίζει να ακρωτηριαστεί:

(1) Η πέμπτη στήλη είναι μηδέν, αφαιρέστε την από τη μήτρα. Έτσι, η κατάταξη του πίνακα δεν είναι μεγαλύτερη από τέσσερις. Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με –1. Αυτό είναι ένα άλλο χαρακτηριστικό χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss, που μετατρέπει την ακόλουθη δράση σε έναν ευχάριστο περίπατο:

(2) Σε όλες τις γραμμές, ξεκινώντας από τη δεύτερη, προστέθηκε η πρώτη γραμμή.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με –1, η τρίτη γραμμή διαιρέθηκε με 2, η τέταρτη γραμμή διαιρέθηκε με 3. Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πέμπτη γραμμή, πολλαπλασιάστηκε με –1.

(4) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στην πέμπτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2.

(5) Οι δύο τελευταίες γραμμές είναι αναλογικές, η πέμπτη διαγράφεται.

Το αποτέλεσμα είναι 4 γραμμές.

Απάντηση:

Πρότυπο πενταόροφο κτίριο για ανεξάρτητη μελέτη:

Παράδειγμα 6

Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η φράση "κατάταξη μήτρας" δεν εμφανίζεται τόσο συχνά στην πράξη και στα περισσότερα προβλήματα μπορείτε να την κάνετε εντελώς χωρίς αυτήν. Αλλά υπάρχει ένα καθήκον όπου η εν λόγω έννοια είναι η κύρια ηθοποιός, και για να ολοκληρώσουμε το άρθρο θα εξετάσουμε αυτήν την πρακτική εφαρμογή:

Πώς να μελετήσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων για συνέπεια;

Συχνά, εκτός από τη λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεωνσύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται πρώτα να εξεταστεί για συμβατότητα, δηλαδή να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε λύση υπάρχει. Βασικό ρόλο σε μια τέτοια επαλήθευση διαδραματίζει Θεώρημα Kronecker-Capelli, το οποίο θα διατυπώσω με την απαραίτητη μορφή:

Αν κατάταξη πίνακες συστήματοςίσο με τον βαθμό σύστημα εκτεταμένης μήτρας, τότε το σύστημα είναι συνεπές και αν δεδομένου αριθμούσυμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, τότε η λύση είναι μοναδική.

Έτσι, για να μελετηθεί το σύστημα για συμβατότητα, είναι απαραίτητο να ελέγξετε την ισότητα , Οπου - μήτρα συστήματος(θυμηθείτε την ορολογία από το μάθημα Μέθοδος Gauss), ΕΝΑ - εκτεταμένη μήτρα συστήματος(δηλαδή ένας πίνακας με συντελεστές μεταβλητών + μια στήλη ελεύθερων όρων).