Επιτρέποντάς σας να μετακινηθείτε από την εξίσωση που λύνεται στο λεγόμενο ισοδύναμες εξισώσειςΚαι συμπερασματικές εξισώσεις, από τις λύσεις του οποίου είναι δυνατός ο προσδιορισμός της λύσης της αρχικής εξίσωσης. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε λεπτομερώς ποιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες και ποιες ονομάζονται εξισώσεις συμπερασμάτων, θα δώσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς, θα δώσουμε επεξηγηματικά παραδείγματα και θα εξηγήσουμε πώς να βρούμε τις ρίζες μιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τις γνωστές ρίζες μιας ισοδύναμης εξίσωσης και μιας εξίσωσης συμπερασμάτων .
Ισοδύναμες εξισώσεις, ορισμός, παραδείγματα
Ας ορίσουμε ισοδύναμες εξισώσεις.
Ορισμός
Ισοδύναμες εξισώσεις - πρόκειται για εξισώσεις που έχουν τις ίδιες ρίζες ή δεν έχουν ρίζες.
Ορισμοί που είναι ίδιοι στη σημασία, αλλά ελαφρώς διαφορετικοί στη διατύπωση, δίνονται σε διάφορα εγχειρίδια μαθηματικών, για παράδειγμα,
Ορισμός
Καλούνται οι δύο εξισώσεις f(x)=g(x) και r(x)=s(x). ισοδύναμος, αν έχουν τις ίδιες ρίζες (ή, συγκεκριμένα, αν και οι δύο εξισώσεις δεν έχουν ρίζες).
Ορισμός
Οι εξισώσεις που έχουν τις ίδιες ρίζες ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες.
Με τις ίδιες ρίζες εννοείται το εξής: εάν κάποιος αριθμός είναι η ρίζα μιας από τις ισοδύναμες εξισώσεις, τότε είναι και η ρίζα οποιασδήποτε άλλης από αυτές τις εξισώσεις, και καμία από τις ισοδύναμες εξισώσεις δεν μπορεί να έχει ρίζα που δεν είναι η ρίζα οποιουδήποτε άλλου από αυτά.αυτές οι εξισώσεις.
Ας δώσουμε παραδείγματα ισοδύναμων εξισώσεων. Για παράδειγμα, τρεις εξισώσεις 4 x = 8, 2 x = 4 και x = 2 είναι ισοδύναμες. Πράγματι, καθένα από αυτά έχει μια μοναδική ρίζα 2, επομένως είναι ισοδύναμα εξ ορισμού. Άλλο παράδειγμα: δύο εξισώσεις x·0=0 και 2+x=x+2 είναι ισοδύναμες, τα σύνολα των λύσεών τους συμπίπτουν: η ρίζα και της πρώτης και της δεύτερης από αυτές είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Οι δύο εξισώσεις x=x+5 και x 4 =−1 είναι επίσης παραδείγματα ισοδύναμων εξισώσεων· και οι δύο δεν έχουν πραγματικές λύσεις.
Για να ολοκληρωθεί η εικόνα, αξίζει να δώσουμε παραδείγματα άνισων εξισώσεων. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x=2 και x 2 =4 δεν είναι ισοδύναμες, αφού η δεύτερη εξίσωση έχει ρίζα −2, που δεν είναι η ρίζα της πρώτης εξίσωσης. Οι εξισώσεις και επίσης δεν είναι ισοδύναμες, αφού οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης είναι οποιοιδήποτε αριθμοί και ο αριθμός μηδέν δεν είναι η ρίζα της πρώτης εξίσωσης.
Ο αναφερόμενος ορισμός των ισοδύναμων εξισώσεων ισχύει και για τις δύο εξισώσεις με μία μεταβλητή και για τις εξισώσεις με ένας μεγάλος αριθμόςμεταβλητές. Ωστόσο, για εξισώσεις με δύο, τρία κ.λπ. μεταβλητές, η λέξη «ρίζες» στον ορισμό πρέπει να αντικατασταθεί με τη λέξη «λύσεις». Ετσι,
Ορισμός
Ισοδύναμες εξισώσεις- πρόκειται για εξισώσεις που έχουν τις ίδιες λύσεις ή δεν τις έχουν.
Ας δείξουμε ένα παράδειγμα ισοδύναμων εξισώσεων με πολλές μεταβλητές. x 2 +y 2 +z 2 =0 και 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - εδώ είναι ένα παράδειγμα ισοδύναμων εξισώσεων με τρεις μεταβλητές x, y και z, και οι δύο έχουν μόνη απόφαση(0, 0, 0) . Αλλά οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές x+y=5 και x·y=1 δεν είναι ισοδύναμες, αφού, για παράδειγμα, ένα ζεύγος τιμών x=2, y=3 είναι μια λύση στην πρώτη εξίσωση (όταν αντικαθιστούν αυτές τις τιμές στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε τη σωστή ισότητα 2+3=5), αλλά δεν είναι λύση στη δεύτερη (όταν αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε τη λανθασμένη ισότητα 2·3=1).
Εξισώσεις συνέπειας
Ακολουθούν οι ορισμοί των συμπερασματικών εξισώσεων από τα σχολικά εγχειρίδια:
Ορισμός
Αν κάθε ρίζα της εξίσωσης f(x)=g(x) είναι ταυτόχρονα και ρίζα της εξίσωσης p(x)=h(x), τότε η εξίσωση p(x)=h(x) ονομάζεται συνέπειαεξισώσεις f(x)=g(x) .
Ορισμός
Αν όλες οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είναι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης, τότε η δεύτερη εξίσωση ονομάζεται συνέπειαπρώτη εξίσωση.
Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα συμπερασματικών εξισώσεων. Η εξίσωση x 2 =3 2 είναι συνέπεια της εξίσωσης x−3=0. Πράγματι, η δεύτερη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x=3, αυτή η ρίζα είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης x 2 =3 2, επομένως, εξ ορισμού, η εξίσωση x 2 =3 2 είναι συνέπεια της εξίσωσης x−3= 0. Άλλο παράδειγμα: η εξίσωση (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 είναι συνέπεια της εξίσωσης 
, αφού όλες οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης (υπάρχουν δύο από αυτές, αυτές είναι 2 και 3) είναι προφανώς οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης.
Από τον ορισμό της συμπερασματικής εξίσωσης προκύπτει ότι απολύτως οποιαδήποτε εξίσωση είναι συνέπεια οποιασδήποτε εξίσωσης που δεν έχει ρίζες.
Αξίζει να αναφέρουμε αρκετές μάλλον προφανείς συνέπειες από τον ορισμό των ισοδύναμων εξισώσεων και τον ορισμό μιας συνεπακόλουθης εξίσωσης:
- Εάν δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες, τότε η καθεμία από αυτές είναι συνέπεια της άλλης.
- Αν κάθε μία από τις δύο εξισώσεις είναι συνέπεια της άλλης, τότε αυτές οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.
- Δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν η καθεμία από αυτές είναι συνέπεια της άλλης.
Ορισμός. Δύο εξισώσεις f 1 (x) = g 1 (x) και f 2 (x) = g 2 (x) ονομάζονται ισοδύναμες αν τα σύνολα των ριζών τους συμπίπτουν.
Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x 2 - 9 = 0 και (2 Χ + 6)(Χ- 3) = 0 είναι ισοδύναμα, αφού και τα δύο έχουν ως ρίζες τους αριθμούς 3 και -3. Εξισώσεις (3 Χ + 1)-2 = x 2- + 1 και x 2+ 1 = 0, αφού και τα δύο δεν έχουν ρίζες, δηλ. τα σύνολα των ριζών τους συμπίπτουν.
Ορισμός. Η αντικατάσταση μιας εξίσωσης με μια ισοδύναμη εξίσωση ονομάζεται ισοδύναμος μετασχηματισμός.
Ας μάθουμε τώρα ποιοι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να λάβουμε ισοδύναμες εξισώσεις.
Θεώρημα 1.Αφήστε την εξίσωση f(x) και g(x)που ορίζεται στο σετ και η(Χ) είναι μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Μετά οι εξισώσεις f(x) = g(x)(1) και f(x) + h(Χ) =g(x) + h(Χ) (2) είναι ισοδύναμα.
Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε με T 1 -σύνολο λύσεων της εξίσωσης (1), και μέσω T 2 -σύνολο λύσεων της εξίσωσης (2). Τότε οι εξισώσεις (1) και (2) θα είναι ισοδύναμες αν T 1 = T 2.Για να το επαληθεύσετε αυτό, είναι απαραίτητο να δείξετε ότι οποιαδήποτε ρίζα του Τ 1είναι η ρίζα της εξίσωσης (2) και, αντιστρόφως, οποιαδήποτε ρίζα του Τ 2είναι η ρίζα της εξίσωσης (1).
Αφήστε τον αριθμό ΕΝΑ- ρίζα της εξίσωσης (1). Επειτα ένα? Τ 1,και όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση (1) τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) = g(a), και η έκφραση h(x)μετατρέπεται σε αριθμητική παράσταση η(ένα), κάτι που βγάζει νόημα στο πλατό Χ.Ας προσθέσουμε και τις δύο πλευρές της αληθινής ισότητας f(a) = g(a)αριθμητική παράσταση η(ένα). Λαμβάνουμε, σύμφωνα με τις ιδιότητες των αληθινών αριθμητικών ισοτήτων, μια αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) + h(ένα) =g(a) + h(ένα), που δείχνει ότι ο αριθμός ΕΝΑείναι η ρίζα της εξίσωσης (2).
Άρα, έχει αποδειχθεί ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης (1) είναι και ρίζα της εξίσωσης (2), δηλ. Τ 1Με Τ 2.
Αφήστε το τώρα ΕΝΑ -ρίζα της εξίσωσης (2). Επειτα ΕΝΑ? Τ 2και όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση (2) τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) + h(ένα) =g(a) + h(ένα). Ας προσθέσουμε και στις δύο πλευρές αυτής της ισότητας την αριθμητική έκφραση - η(ένα), Λαμβάνουμε μια αληθινή αριθμητική ισότητα f(x) = g(x),που δείχνει ότι ο αριθμός ΕΝΑ -ρίζα της εξίσωσης (1).
Άρα, έχει αποδειχθεί ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης (2) είναι και ρίζα της εξίσωσης (1), δηλ. Τ 2Με Τ 1.
Επειδή Τ 1Με Τ 2Και Τ 2Με Τ 1,τότε εξ ορισμού ίσων συνόλων Τ 1= Τ 2, που σημαίνει ότι οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες.
Αυτό το θεώρημαμπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά: αν και στις δύο πλευρές της εξίσωσης με το πεδίο ορισμού Χπροσθέστε την ίδια έκφραση με μια μεταβλητή που ορίζεται στο ίδιο σύνολο, και στη συνέχεια λαμβάνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Από αυτό το θεώρημα ακολουθούν τα συμπεράσματα που χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση εξισώσεων:
1. Αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
2. Εάν οποιοσδήποτε όρος (αριθμητική έκφραση ή έκφραση με μεταβλητή) μεταφερθεί από το ένα μέρος της εξίσωσης σε ένα άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο του όρου στο αντίθετο, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Θεώρημα 2.Αφήστε την εξίσωση f(x) = g(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι h(x) -μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο και δεν εξαφανίζεται για καμία τιμή Χαπό πολλούς Χ.Μετά οι εξισώσεις f(x) = g(x)Και f(x) h(Χ) =g(x) h(Χ) είναι ισοδύναμα.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 1.
Το θεώρημα 2 μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά: αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης έχουν πεδίο ορισμού Χπολλαπλασιαζόμενη με την ίδια παράσταση, η οποία ορίζεται στο ίδιο σύνολο και δεν εξαφανίζεται σε αυτό, τότε παίρνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ένα συμπέρασμα: Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Επίλυση εξισώσεων σε μία μεταβλητή
Ας λύσουμε την εξίσωση 1- Χ/3 = Χ/6, Χ ? Rκαι θα δικαιολογήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς που θα πραγματοποιήσουμε στη διαδικασία λύσης.
| Μεταμορφώσεις | Το σκεπτικό για τη μεταμόρφωση |
| 1. Ας φέρουμε τις εκφράσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε έναν κοινό παρονομαστή: (6-2 Χ)/ 6 = Χ/6 | Ολοκληρώθηκε το μετασχηματισμός ταυτότηταςεκφράσεις στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. |
| 2. Ας απορρίψουμε τον κοινό παρονομαστή: 6-2 Χ = Χ | Πολλαπλασιάσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 6 (θεώρημα 2) και λάβαμε μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. |
| 3. Μεταφέρουμε την παράσταση -2x στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το αντίθετο πρόσημο: 6 = Χ+2Χ. | Χρησιμοποιήσαμε το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 και πήραμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη και, επομένως, με τη δεδομένη. |
| 4. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 6 = 3 Χ. | Πραγματοποίησε μετασχηματισμό ταυτότητας της έκφρασης. |
| 5. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3: Χ = 2. | Χρησιμοποιήσαμε το συμπέρασμα από το Θεώρημα 2 και πήραμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη, και επομένως με αυτήν |
Εφόσον όλοι οι μετασχηματισμοί που πραγματοποιήσαμε κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης ήταν ισοδύναμοι, μπορούμε να πούμε ότι το 2 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.
Εάν, κατά τη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης, δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις των Θεωρημάτων 1 και 2, τότε μπορεί να συμβεί απώλεια ριζών ή να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Επομένως, είναι σημαντικό, όταν μετασχηματίζετε μια εξίσωση για να λάβετε μια απλούστερη, να διασφαλίζετε ότι οδηγούν σε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση x(x - 1) = 2x, x? R. Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά Χ, παίρνουμε την εξίσωση Χ - 1 = 2, εξ ου και Χ= 3, δηλαδή αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα - τον αριθμό 3. Είναι όμως αλήθεια αυτό; Είναι εύκολο να δούμε ότι αν σε αυτή την εξίσωση αντί για μεταβλητή Χαντικαθιστώντας το 0, μετατρέπεται στην αληθινή αριθμητική ισότητα 0·(0 - 1) = 2·0. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, την οποία χάσαμε κατά την εκτέλεση μετασχηματισμών. Ας τα αναλύσουμε. Το πρώτο πράγμα που κάναμε ήταν να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με Χ,εκείνοι. πολλαπλασιάζεται με την έκφραση1/ Χ, αλλά στο Χ= Α, δεν έχει νόημα. Κατά συνέπεια, δεν εκπληρώσαμε την προϋπόθεση του Θεωρήματος 2, η οποία οδήγησε στην απώλεια της ρίζας.
Για να βεβαιωθούμε ότι το σύνολο των ριζών αυτής της εξίσωσης αποτελείται από δύο αριθμούς 0 και 3, παρουσιάζουμε μια άλλη λύση. Ας μετακινήσουμε την έκφραση 2 Χαπό δεξιά προς τα αριστερά: x(x- 1) - 2x = 0. Ας το βγάλουμε από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης Χκαι δώστε παρόμοιους όρους: x(x - 3) = 0. Το γινόμενο δύο παραγόντων είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν, επομένως Χ= 0 ή Χ- 3 = 0. Από εδώ βλέπουμε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι 0 και 3.
ΣΕ αρχική πορείαμαθηματικοί θεωρητική βάσηΗ επίλυση εξισώσεων είναι η σχέση μεταξύ των συστατικών και των αποτελεσμάτων των ενεργειών. Για παράδειγμα, η επίλυση της εξίσωσης ( Χ·9):24 = 3 δικαιολογείται ως εξής. Δεδομένου ότι το άγνωστο είναι στο μέρισμα, για να βρείτε το μέρισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον διαιρέτη με το πηλίκο: Χ·9 = 24·3, ή Χ·9 = 72.
Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το προϊόν με τον γνωστό παράγοντα: x = 72:9 ή x = 8, επομένως, η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός 8.
Γυμνάσια
1 . Προσδιορίστε ποιες από τις ακόλουθες εγγραφές είναι εξισώσεις σε μία μεταβλητή:
ΕΝΑ) ( Χ-3) 5 = 12 Χ; δ) 3 + (12-7) 5 = 16;
β) ( Χ-3) 5 = 12; δ) ( Χ-3)· y =12Χ;
V) ( Χ-3) 17 + 12; μι) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Εξίσωση 2 Χ 4 + 4Χ 2 -6 = 0 ορίζεται στο σετ φυσικούς αριθμούς. Εξηγήστε γιατί ο αριθμός 1 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, αλλά το 2 και το -1 δεν είναι οι ρίζες της.
3. Στην εξίσωση ( Χ+ ...)(2Χ + 5) - (Χ - 3)(2Χ+ 1) = 20 ένας αριθμός διαγράφεται και αντικαθίσταται με τελείες. Βρείτε τον διαγραμμένο αριθμό αν γνωρίζετε ότι η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2.
4. Διατυπώστε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες:
α) ο αριθμός 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης f(x) = g(x);
β) ο αριθμός 7 δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης f(x) = g(x).
5. Να προσδιορίσετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη εξισώσεων είναι ισοδύναμα στο σύνολο πραγματικούς αριθμούς:
α) 3 + 7 Χ= -4 και 2(3 + 7l Χ) = -8;
6)3 + 7Χ= -4 και 6 + 7 Χ = -1;
γ) 3 + 7 Χ= -4 και l Χ + 2 = 0.
6. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες της σχέσης ισοδυναμίας της εξίσωσης. Ποια από αυτά χρησιμοποιούνται στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης;
7. Λύστε τις εξισώσεις (όλες δίνονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών) και αιτιολογήστε όλους τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν κατά τη διαδικασία απλοποίησής τους:
α) (7 Χ+4)/2 – Χ = (3Χ-5)/2;
σι) Χ –(3Χ-2)/5 = 3 – (2Χ-5)/3;
στις 2- Χ)2-Χ (Χ + 1,5) = 4.
8. Ο μαθητής έλυσε την εξίσωση 5 Χ + 15 = 3 Χ+ 9 ως εξής: Έβγαλα τον αριθμό 5 από αγκύλες στην αριστερή πλευρά και τον αριθμό 3 στα δεξιά, και πήρα την εξίσωση 5(x+ 3) = 3(Χ+ 3) και στη συνέχεια διαίρεσε και τις δύο πλευρές στην έκφραση Χ+ 3. Έλαβα την ισότητα 5 = 3 και κατέληξα ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Έχει δίκιο ο μαθητής;
9. Λύστε την εξίσωση 2/(2- Χ) – ½ = 4/((2- Χ)Χ); Χ? R. Είναι ο αριθμός 2 η ρίζα αυτής της εξίσωσης;
10. Λύστε τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των συστατικών και των αποτελεσμάτων των ενεργειών:
ΕΝΑ) ( Χ+ 70) 4 = 328; γ) (85 Χ + 765): 170 = 98;
β) 560: ( Χ+ 9) - 56; Ζ) ( Χ - 13581):709 = 306.
11. Λύστε προβλήματα χρησιμοποιώντας αριθμητικές και αλγεβρικές μεθόδους:
α) Υπάρχουν 16 περισσότερα βιβλία στο πρώτο ράφι από ότι στο δεύτερο. Εάν αφαιρέσετε 3 βιβλία από κάθε ράφι, τότε θα υπάρχουν μιάμιση φορά περισσότερα βιβλία στο πρώτο ράφι από ότι στο δεύτερο. Πόσα βιβλία υπάρχουν σε κάθε ράφι;
β) Ο ποδηλάτης διένυσε όλη την απόσταση από το χώρο της κατασκήνωσης μέχρι τον σταθμό, ίση με 26 χλμ., σε 1 ώρα και 10 λεπτά. Τα πρώτα 40 λεπτά αυτού του χρόνου οδήγησε με μία ταχύτητα και τον υπόλοιπο χρόνο με ταχύτητα 3 km/h μικρότερη. Βρείτε την ταχύτητα του ποδηλάτη στο πρώτο τμήμα του ταξιδιού.
1. Δύο ίσοι παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι στο οποίο δεν υπάρχουν ισοπαλίες. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης: α) ένα παιχνίδι στα δύο; β) δύο στα τέσσερα; γ) τρία στα έξι;
Απάντηση:ΕΝΑ) ; β) ; V)
3. Τμήμα ΑΒχωρίζονται με μια τελεία ΜΕσε αναλογία 2:1. Τέσσερις πόντοι ρίχνονται τυχαία σε αυτό το τμήμα. Βρείτε την πιθανότητα δύο από αυτά να βρίσκονται στα αριστερά του σημείου C και δύο - στα δεξιά.
Απάντηση:
4. Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς 70 φορές σε 243 δοκιμές εάν η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι 0,25.
Απάντηση: .
5. Η πιθανότητα να αποκτήσετε αγόρι είναι 0,515. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 100 νεογέννητων να υπάρχει ίσος αριθμός αγοριών και κοριτσιών.
Απάντηση: 0,0782
6. Το κατάστημα παρέλαβε 500 μπουκάλια σε γυάλινα δοχεία. Η πιθανότητα να σπάσει οποιοδήποτε μπουκάλι κατά τη μεταφορά είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα ότι το κατάστημα θα λάβει σπασμένα μπουκάλια: α) ακριβώς δύο; β) λιγότερο από δύο. γ) τουλάχιστον δύο· δ) τουλάχιστον ένα.
Απάντηση:α) 0,22; β) 0,20; γ) 0,80; δ) 0,95
7. Ένα εργοστάσιο αυτοκινήτων παράγει το 80% των αυτοκινήτων χωρίς σημαντικά ελαττώματα. Ποια είναι η πιθανότητα μεταξύ των 600 αυτοκινήτων που παραδόθηκαν από το εργοστάσιο στο ανταλλακτήριο αυτοκινήτων, να υπάρχουν τουλάχιστον 500 αυτοκίνητα χωρίς σημαντικά ελαττώματα;
Απάντηση: 0,02.
8. Πόσες φορές πρέπει να πεταχτεί ένα νόμισμα ώστε με πιθανότητα 0,95 να περιμένει κανείς ότι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του εθνόσημου θα αποκλίνει από την πιθανότητα R=0,5 εμφάνιση του εθνόσημου με μία ρίψη νομίσματος όχι περισσότερο από 0,02;
Απάντηση: ν ≥ 2401.
9. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός σε καθένα από τα 100 ανεξάρτητα γεγονότα είναι σταθερή και ίση με Π=0,8. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί το συμβάν: α) τουλάχιστον 75 φορές και όχι περισσότερες από 90 φορές. β) τουλάχιστον 75 φορές. γ) όχι περισσότερες από 74 φορές.
Απάντηση:α Β Γ) .
10. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθεμία από τις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,2. Βρείτε ποια απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης ενός γεγονότος από την πιθανότητά του μπορεί να αναμένεται με πιθανότητα 0,9128 με 5000 δοκιμές.
Απάντηση:
11. Πόσες φορές πρέπει να πεταχτεί ένα νόμισμα ώστε με πιθανότητα 0,6 να περιμένει κανείς ότι η απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης του εθνόσημου από την πιθανότητα Π=0,5 θα αποδειχθεί ότι είναι απόλυτη τιμήόχι περισσότερο από 0,01.
Απάντηση: ν = 1764.
12. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθεμία από τις 10.000 ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,75. Βρείτε την πιθανότητα η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος να αποκλίνει από την πιθανότητα σε απόλυτη τιμή όχι περισσότερο από 0,01.
Απάντηση: .
13. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε κάθε μία από τις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,5. Βρείτε τον αριθμό των δοκιμών n, στο οποίο με πιθανότητα 0,7698 μπορούμε να περιμένουμε ότι η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος θα αποκλίνει από την πιθανότητα του σε απόλυτη τιμή κατά όχι περισσότερο από 0,02.
Ορισμός.Δύο τύποι λογικής άλγεβρας Α και Βλέγονται ισοδύναμος,εάν λαμβάνουν τις ίδιες λογικές τιμές σε οποιοδήποτε σύνολο τιμών που περιλαμβάνεται στους τύπους των στοιχειωδών δηλώσεων.
Θα υποδηλώσουμε την ισοδυναμία των τύπων με το πρόσημο και τη σημειογραφία ΕΝΑ ΣΕσημαίνει ότι οι τύποι Α και Βείναι ισοδύναμα.
Για παράδειγμα, οι τύποι είναι ισοδύναμοι:
Ο τύπος Α ονομάζεται πανομοιότυπα αληθές (ή ταυτολογία), εάν παίρνει την τιμή 1 για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό.
Για παράδειγμα, οι τύποι είναι επίσης αληθείς , .
Τύπος ΕΝΑπου ονομάζεται το ίδιο ψευδές,εάν λάβει την τιμή 0 για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό.
Για παράδειγμα, ο τύπος είναι εξίσου ψευδής.
Είναι σαφές ότι η σχέση ισοδυναμίας είναι αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική.
Υπάρχει η εξής σύνδεση μεταξύ των εννοιών της ισοδυναμίας και της ισοδυναμίας: αν οι τύποι ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ισοδύναμα, τότε ο τύπος ΕΝΑ ΣΕ- ταυτολογία, και αντίστροφα, εάν ο τύπος ΕΝΑ ΣΕ- ταυτολογία, μετά τύποι ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ισοδύναμα.
Οι πιο σημαντικές ισοδυναμίες της άλγεβρας της λογικής μπορούν να χωριστούν σε τρεις ομάδες.
1. Βασικές ισοδυναμίες:
Ας αποδείξουμε έναν από τους νόμους της απορρόφησης. Εξετάστε τον τύπο . Αν σε αυτόν τον τύπο ΕΝΑ= 1 τότε, προφανώς, και μετά ως συνδυασμός δύο αληθινών δηλώσεων. Αφήστε τώρα τον τύπο A x = 0. Αλλά τότε, με τον ορισμό της πράξης σύνδεσης, ο σύνδεσμος θα είναι επίσης ψευδής . Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις οι τιμές του τύπου ΕΝΑταιριάζουν με τις τιμές ΕΝΑ,και ως εκ τούτου ΕΝΑ Χ.
2. Ισοδυναμίες που εκφράζουν ορισμένες λογικές πράξεις μέσω άλλων:
Είναι σαφές ότι οι ισοδυναμίες 5 και 6 λαμβάνονται από τις ισοδυναμίες 3 και 4, αντίστοιχα, εάν πάρουμε αρνήσεις και από τα δύο μέρη της τελευταίας και χρησιμοποιήσουμε το νόμο της αφαίρεσης διπλών άρνησης. Έτσι, οι τέσσερις πρώτες ισοδυναμίες χρειάζονται απόδειξη. Ας αποδείξουμε δύο από αυτά: το πρώτο και το τρίτο.
Αφού με τις ίδιες λογικές τιμές ΧΚαι στοαν οι τύποι , , , είναι αληθείς, τότε και ο σύνδεσμος θα είναι αληθής 
.
Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ισοδυναμίας έχουν τις ίδιες πραγματικές τιμές.
Αφήστε το τώρα ΧΚαι στοέχουν διαφορετικές λογικές τιμές. Τότε η ισοδυναμία και μία από τις δύο συνέπειες ή θα είναι ψευδής. Την ίδια στιγμή
ο σύνδεσμος θα είναι ψευδής . Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ισοδυναμίας έχουν την ίδια λογική σημασία.
Θεωρήστε την ισοδυναμία 3. Αν ΧΚαι στολάβετε ταυτόχρονα πραγματικές τιμές, τότε ο συνδυασμός θα είναι αληθινός x&yκαι η ψευδής άρνηση ενός συνδέσμου. Ταυτόχρονα, και και θα είναι ψευδής, και επομένως ο διαχωρισμός θα είναι επίσης ψευδής .
Αφήστε τώρα τουλάχιστον μία από τις μεταβλητές Χή στοαξιολογεί σε ψευδή. Τότε ο σύνδεσμος θα είναι ψευδής x&yκαι η αληθινή του άρνηση. Ταυτόχρονα, η άρνηση τουλάχιστον μιας από τις μεταβλητές θα είναι αληθής, και επομένως ο διαχωρισμός θα είναι επίσης αληθής .
Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις, και οι δύο πλευρές της ισοδυναμίας 3 λαμβάνουν τις ίδιες λογικές τιμές.
Οι ισοδυναμίες 2 και 4 αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο.
Από τις ισοδυναμίες αυτής της ομάδας προκύπτει ότι οποιοσδήποτε τύπος στην άλγεβρα της λογικής μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο τύπο που περιέχει μόνο δύο λογικές πράξεις: σύνδεσμο και άρνηση ή διάζευξη και άρνηση.
Περαιτέρω αποκλεισμός λογικές πράξειςαδύνατο. Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε μόνο σύνδεσμο, τότε ένας τύπος όπως η άρνηση Χδεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον τελεστή σύνδεσης.
Ωστόσο, υπάρχουν πράξεις με τις οποίες μπορεί να εκφραστεί οποιαδήποτε από τις πέντε λογικές πράξεις που χρησιμοποιούμε. Μια τέτοια επέμβαση είναι, για παράδειγμα, η λειτουργία "Scheffer's stroke". Αυτή η λειτουργία υποδεικνύεται με το σύμβολο x|yκαι καθορίζεται από τον ακόλουθο πίνακα αληθείας:
| Χ | y | x|y |
Προφανώς, υπάρχουν ισοδυναμίες:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Από αυτές τις δύο ισοδυναμίες προκύπτει ότι οποιοσδήποτε τύπος στην άλγεβρα της λογικής μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο τύπο που περιέχει μόνο την πράξη «Schaeffer stroke».
Σημειώστε ότι.
Η λειτουργία μπορεί να εισαχθεί με παρόμοιο τρόπο 
.
3. Ισοδυναμίες που εκφράζουν τους βασικούς νόμους της άλγεβρας της λογικής:
1. x&y y&x -ανταλλαγή του συνδέσμου.
2. Χ στο y Χ- ανταλλαγή του διαχωρισμού.
3. x&(y&y) (x&y)&z- συνειρμότητα του συνδέσμου.
4. Χ(y z ) (Χ y) z είναι η συσχέτιση του διαχωρισμού.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- κατανομή του συνδέσμου σε σχέση με τον διαχωρισμό.
6. Χ (y&z) (Χ y)& (x z ) - κατανομή του διαχωρισμού σε σχέση με τον σύνδεσμο.
Ας αποδείξουμε τον τελευταίο από τους αναφερόμενους νόμους. Αν Χ= 1, τότε οι τύποι θα είναι αληθείς Χ (ε& z), Χ y, x z . Αλλά τότε ο συνδυασμός θα είναι επίσης αληθινός (Χ y)& (x z ). Έτσι, όταν Χ= 1 και οι δύο πλευρές της ισοδυναμίας 6 παίρνουν τις ίδιες λογικές τιμές (αληθές).
Αφήστε το τώρα x = 0. Τότε Χ (y&z) y&z, x στο στοΚαι Χ z z , και επομένως ο σύνδεσμος Χ (y&z) y&z. Επομένως, εδώ και οι δύο πλευρές της ισοδυναμίας 6 είναι ισοδύναμες με τον ίδιο τύπο y&z,και ως εκ τούτου να λάβει τις ίδιες λογικές τιμές.
§ 5. Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί τύπων
Χρησιμοποιώντας τις ισοδυναμίες των ομάδων I, II και III, μπορείτε να αντικαταστήσετε μέρος του τύπου ή έναν τύπο με έναν ισοδύναμο τύπο. Τέτοιοι μετασχηματισμοί τύπων ονομάζονται ισοδύναμος.
Οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ισοδυναμιών, για τη μείωση των τύπων σε δεδομένου τύπου, για απλοποίηση των τύπων.
Τύπος ΕΝΑθεωρείται απλούστερο από τον αντίστοιχο τύπο του ΣΕ,αν περιέχει λιγότερα γράμματα, λιγότερες λογικές πράξεις. Σε αυτή την περίπτωση, οι πράξεις της ισοδυναμίας και της συνεπαγωγής συνήθως αντικαθίστανται από τις πράξεις διαχωρισμού και συνδέσμου και η άρνηση ταξινομείται ως στοιχειώδεις δηλώσεις. Ας δούμε μια σειρά από παραδείγματα.
1. Απόδειξη ισοδυναμίας 
.
Χρησιμοποιώντας τις ισοδυναμίες των ομάδων I, II και III
2.
Απλοποιήστε τον τύπο 
.
Ας γράψουμε μια αλυσίδα ισοδύναμων τύπων:
3. Να αποδείξετε την πανομοιότυπη αλήθεια του τύπου
Ας γράψουμε μια αλυσίδα ισοδύναμων τύπων:
Άλγεβρα Boole
Οι ισοδυναμίες της ομάδας ΙΙΙ υποδεικνύουν ότι η άλγεβρα της λογικής έχει μεταθετικούς και συνειρμικούς νόμους σχετικά με τις πράξεις σύνδεσης και διαχωρισμού και έναν κατανεμητικό νόμο συνδέσμου σχετικά με τη διάζευξη· οι ίδιοι νόμοι ισχύουν επίσης και στην άλγεβρα των αριθμών. Επομένως, οι ίδιοι μετασχηματισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν στους τύπους της άλγεβρας της λογικής που πραγματοποιούνται στην άλγεβρα των αριθμών (άνοιγμα αγκύλων, τοποθέτησή τους σε αγκύλες, τοποθέτηση κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων).
Αλλά στην άλγεβρα της λογικής είναι δυνατοί άλλοι μετασχηματισμοί, με βάση τη χρήση ισοδυναμιών:
Αυτό το χαρακτηριστικό μας επιτρέπει να φτάσουμε σε εκτεταμένες γενικεύσεις.
Σκεφτείτε το μη κενό σύνολο Μστοιχεία οποιασδήποτε φύσης ( x,y,z,...} , στην οποία ορίζονται η σχέση «=» (ίσο) και τρεις πράξεις: «+» (προσθήκη), «» (πολλαπλασιασμός) και «-» (άρνηση), με την επιφύλαξη των παρακάτω αξιωμάτων:
Μεταβολικοί νόμοι:
1α. x + y = y + x, 1β. Χ y = y Χ.
Νόμοι του Σωματείου:
2α. x + (y + z)= (x + y) + z, 2β. Χ (υ z) = (χ y) z.
Διανεμητικοί νόμοι:
3α. (x + y) z = (x z ) + (y ΣΟΛ) 3β. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Νόμοι της ανικανότητας:
4α. x + x = x, 4β. Χ x = x.
Νόμος της διπλής άρνησης:
Οι νόμοι του De Morgan:
6α. , 6β . .
Νόμοι απορρόφησης:
7α. x + (y Χ)= Χ, 7β. Χ (y + x) = x.
Τόσα πολλά Μπου ονομάζεται Άλγεβρα Boole.
Αν κάτω από τα κύρια στοιχεία x, y, z, ...Αν εννοούμε δηλώσεις με τις πράξεις «+», «», «-» διάζευξη, σύνδεσμος, άρνηση, αντίστοιχα, και το πρόσημο ίσου θεωρείται ως σύμβολο ισοδυναμίας, τότε, όπως προκύπτει από τις ισοδυναμίες των ομάδων I, II και III , όλα τα αξιώματα της άλγεβρας Boole ικανοποιούνται.
Σε εκείνες τις περιπτώσεις που, για ένα συγκεκριμένο σύστημα αξιωμάτων, είναι δυνατό να επιλεγούν συγκεκριμένα αντικείμενα και συγκεκριμένες σχέσεις μεταξύ τους έτσι ώστε να ικανοποιηθούν όλα τα αξιώματα, λένε ότι έχει βρεθεί ερμηνεία(ή μοντέλο)αυτού του συστήματος αξιωμάτων.
Αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα της λογικής είναι μια ερμηνεία της άλγεβρας Boole. Η άλγεβρα Boole έχει άλλες ερμηνείες. Για παράδειγμα, εάν κάτω από τα κύρια στοιχεία x, y, z, ...σκηνικά Μεννοούμε σύνολα, με τις πράξεις «+», « », «-» ένωση, τομή, πρόσθεση, αντίστοιχα, και με το σύμβολο ίσου - το πρόσημο ίσου των συνόλων, τότε ερχόμαστε στην άλγεβρα των συνόλων. Δεν είναι δύσκολο να επαληθευτεί ότι στην άλγεβρα συνόλων ικανοποιούνται όλα τα αξιώματα της άλγεβρας Boole.
Μεταξύ των διαφόρων ερμηνειών της άλγεβρας Boole, υπάρχουν ερμηνείες τεχνικής φύσης. Ένα από αυτά θα συζητηθεί παρακάτω. Όπως θα φανεί, παίζει σημαντικό ρόλο στον σύγχρονο αυτοματισμό.
Συναρτήσεις λογικής άλγεβρας
Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η έννοια ενός τύπου λογικής άλγεβρας εξαρτάται πλήρως από τις έννοιες των δηλώσεων που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον τύπο. Επομένως, ο τύπος της άλγεβρας της λογικής είναι συνάρτηση των στοιχειωδών δηλώσεων που περιλαμβάνονται σε αυτήν.
Για παράδειγμα, ο τύπος είναι μια συνάρτηση
τρεις μεταβλητές f(x,y,z).Η ιδιαιτερότητα αυτής της συνάρτησης είναι το γεγονός ότι τα ορίσματά της παίρνουν μία από τις δύο τιμές: μηδέν ή μία, και ταυτόχρονα η συνάρτηση παίρνει επίσης μία από τις δύο τιμές: μηδέν ή μία.
Ορισμός. Συνάρτηση λογικής άλγεβραςεκτάρια μεταβλητών (ή Boolean συνάρτηση)ονομάζεται συνάρτηση μεταβλητών ha, όπου κάθε μεταβλητή παίρνει δύο τιμές: 0 και 1, και η συνάρτηση μπορεί να πάρει μόνο μία από τις δύο τιμές: 0 ή 1.
Είναι σαφές ότι οι πανομοιότυπα αληθινοί και πανομοιότυπα ψευδείς τύποι στην άλγεβρα της λογικής αντιπροσωπεύουν σταθερές συναρτήσεις και δύο ισοδύναμοι τύποι εκφράζουν την ίδια συνάρτηση.
Ας μάθουμε ποιος είναι ο αριθμός των συναρτήσεων των n μεταβλητών. Προφανώς, κάθε συνάρτηση της άλγεβρας της λογικής (καθώς και ο τύπος της άλγεβρας της λογικής) μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας, ο οποίος θα περιέχει 2n σειρές. Επομένως, κάθε συνάρτηση n μεταβλητών παίρνει 2 n τιμές που αποτελούνται από μηδενικά και ένα. Έτσι, μια συνάρτηση n μεταβλητών καθορίζεται πλήρως από ένα σύνολο τιμών μηδενικών και μονάδων μήκους 2 n. (Ο συνολικός αριθμός των συνόλων μηδενικών και μονάδων μήκους 2 n είναι ίσος με . Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των διαφορετικές συναρτήσεις της άλγεβρας της λογικής Ποι μεταβλητές είναι ίσες με .
Συγκεκριμένα, υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής και δεκαέξι διαφορετικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Ας γράψουμε όλες τις συναρτήσεις της άλγεβρας της λογικής σε μία Καιδύο μεταβλητές.
Θεωρήστε έναν πίνακα αλήθειας για διάφορες συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Προφανώς μοιάζει με:
| Χ | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Από αυτόν τον πίνακα προκύπτει ότι δύο συναρτήσεις μιας μεταβλητής θα είναι σταθερές: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, α f2(x) Χ,Και f 3 (x) .
Ο πίνακας αλήθειας για όλες τις πιθανές συναρτήσεις δύο μεταβλητών έχει τη μορφή:
f i = f i (x,y)
| Χ | y | στ 1 | στ 2 | στ 3 | στ 4 | στ 5 | στ 6 | στ 7 | στ 8 | στ 9 | στ 10 | στ 11 | στ 12 | στ 13 | στ 14 | στ 15 | στ 16 |
Είναι σαφές ότι οι αναλυτικές εκφράσεις αυτών των συναρτήσεων μπορούν να γραφτούν ως εξής.
