Ορθογώνιο κάθετο. Κάθετη διχοτόμος. Σημείο τομής διχοτόμων τριγώνων

Δώστε μια ιδέα για μια νέα κατηγορία προβλημάτων - κατασκευή γεωμετρικά σχήματαχρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα χωρίς διαχωρισμούς κλίμακας.

Εισαγάγετε την έννοια του GMT.

Ορίστε τη διχοτόμο, διδάξτε πώς να την κατασκευάσετε και αποδείξτε το θεώρημα για τη διχοτόμο, καθώς και το αντίστροφό της.

Χρησιμοποιώντας το σύστημα σχεδίασης υπολογιστή "Compass-3D", εκτελέστε γεωμετρικές κατασκευές, οι οποίες συνιστάται να εκτελούνται σε ένα μάθημα γεωμετρίας χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα.

Φυλλάδια (Παράρτημα Αρ. 1)

Τα προβλήματα που αφορούν την κατασκευή με πυξίδες και χάρακα χωρίς διαιρέσεις επιλύονται συνήθως σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχέδιο:

ΕΓΩ. Ανάλυση: Σχεδιάστε σχηματικά το επιθυμητό σχήμα και δημιουργήστε συνδέσεις μεταξύ των δεδομένων εργασίας και των απαιτούμενων στοιχείων.

II. Κατασκευή: Σύμφωνα με το προβλεπόμενο σχέδιο, η κατασκευή πραγματοποιείται με πυξίδα και χάρακα.

III. Απόδειξη: Να αποδείξετε ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

IV. Μελέτη: Διεξάγετε μια μελέτη για να δείτε εάν το πρόβλημα έχει λύση για δεδομένα και, εάν ναι, πόσες λύσεις υπάρχουν (δεν πραγματοποιούνται σε όλα τα προβλήματα).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα στοιχειωδών εργασιών κατασκευής που θα εξετάσουμε:

1. Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο (που μελετήθηκε νωρίτερα).

2. Κατασκευή της κάθετης διχοτόμου σε τμήμα:

να κατασκευάσει το μέσο ενός δεδομένου τμήματος.
κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία (το σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι σε μια δεδομένη ευθεία).

3. Κατασκευή της διχοτόμου γωνίας.

4. Κατασκευάζοντας γωνία ίση με τη δεδομένη.

Κάθετη διχοτόμοςστο τμήμα.

Ορισμός: Κάθετη διχοτόμος σε τμήμα είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Εργασία: «Κατασκευάστε τη διχοτόμο στο τμήμα». Παρουσίαση

Ο - μεσαίο ΑΒ

Περιγραφή κατασκευής ( διαφάνεια αριθμός 4):

Δοκός α; A – αρχή της δοκού

Περιφέρεια (A; r =m)

Κύκλος a = B; ΑΒ = m

Κύκλος 1 (A; r 1 > m/2)

Κύκλος 2 (B; r 1)

Κύκλος 1 Κύκλος 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

όπου MN AB, O – το μέσο του AB

III. Απόδειξη(διαφάνεια αρ. 5, 6)

1. Εξετάστε τα AMN και BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, επομένως AM = BN, AN = BM MN – κοινή πλευρά

(Εικόνα 3)

Επομένως, AMN = BNM (σε 3 πλευρές),

Ως εκ τούτου

1= 2 (εξ ορισμού ίσο)

3= 4 (εξ ορισμού ίσο)

2. Το MAN και το NBM είναι ισοσκελές (εξ ορισμού) ->

1 = 4 και 3 = 2 (με ισοσκελές ιδιότητα)

3. Από τα σημεία 1 και 2 -> 1 = 3 επομένως το ΜΟ είναι η διχοτόμος του ισοσκελούς ΑΜΒ

4. Έτσι αποδείξαμε ότι ΜΝ είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ

IV. Μελέτη

Αυτό το καθήκον έχει μόνη απόφαση, επειδή κάθε τμήμα έχει μόνο ένα μέσο και μέσα από ένα δεδομένο σημείο μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια ευθεία κάθετη στη δεδομένη.

Ορισμός: Γεωμετρικό σύνολοσημεία (HMT) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. (Παράρτημα αρ. 2)

GMT που γνωρίζετε:

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Διχοτόμος γωνίας - ένα σύνολο σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας

Ας αποδείξουμε λοιπόν το θεώρημα:

Θεώρημα: «Κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος».

(Εικόνα 4)

Δόθηκαν: AB; MO – κάθετη διχοτόμος

Απόδειξη: AM = VM

Απόδειξη:

1. MO – διχοτόμος (κατά συνθήκη) -> O – μέσο τμήματος AB, MOAB

2. Εξετάστε το AMO και το VMO - ορθογώνιο

MO – γενικό πόδι

AO = VO (O – το μέσο του AB) -> AMO = VMO (σε 2 πόδια) -> AM = VM (εξ ορισμού ίσων τριγώνων, ως αντίστοιχες πλευρές)

Q.E.D

Εργασία για το σπίτι: «Αποδείξετε το αντίστροφο θεώρημα σε αυτό»

Θεώρημα: «Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα».

(Εικόνα 5)

Δόθηκαν: AB; MA=MV

Αποδεικνύω: Το σημείο Μ βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο

Απόδειξη:

Οτι. Το MO είναι η κάθετη διχοτόμος που περιέχει όλα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Ιδιότητα των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές ενός τριγώνου

Τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο, τον οποίο θα μελετήσουμε στην όγδοη δημοτικού.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ

Υλικό και τεχνικός εξοπλισμός:

Διανομή: 29.574 KB

Λειτουργικό σύστημα: Windows 9x/2000/XP

Ιστοσελίδα: http://www.ascon.ru

Τώρα ας μεταφέρουμε την κατασκευή στο γραφικό περιβάλλον του υπολογιστή (διαφάνεια Νο. 7)

Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που έχουν αποκτηθεί προηγουμένως πρέπει να εφαρμόζονται σε μια συγκεκριμένη εργασία. Θα δείτε ότι η κατασκευή δεν θα σας πάρει περισσότερο χρόνο από την κατασκευή σε ένα σημειωματάριο. Μεταξύ άλλων, είναι ενδιαφέρον να δούμε πώς το περιβάλλον του υπολογιστή εκτελεί ανθρώπινες εντολές για την κατασκευή φιγούρων αεροπλάνων. Εδώ είναι το Παράρτημα Νο. 3, το οποίο περιγράφει λεπτομερώς τα βήματα κατασκευής σας. Φορτώστε το πρόγραμμα και ανοίξτε ένα νέο σχέδιο ( διαφάνεια αριθμός 8, 9).

Σχεδιάστε τα γεωμετρικά αντικείμενα που καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος: ακτίνα ΕΝΑξεκινώντας από ένα σημείο ΕΝΑκαι το τμήμα είναι ίσο Μ– αυθαίρετο μήκος ( διαφάνεια αριθμός 10).

Εισαγάγετε τον προσδιορισμό της ακτίνας, τμήματος, αρχής της ακτίνας στο σχέδιο χρησιμοποιώντας την καρτέλα "Εργαλεία"κείμενο.

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με το τμήμα Μμε κέντρο στην κορυφή σε ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ (διαφάνεια αριθμός 11).

Μμε κέντρο στην κορυφή δεδομένο σημείο Α ( διαφάνεια Νο. 12, 13).

Κατασκευάστε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με τμήμα μεγαλύτερο από 1/2 ΜΓια να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το στοιχείο “ στο μενού περιβάλλοντος RMB Μεταξύ 2 πόντων" (διαφάνεια Νο. 14, 15, 16).

Μέσα από τα σημεία τομής των κύκλων Μ και Ντραβήξτε μια ευθεία γραμμή ( διαφάνεια Νο. 17,18).

Μεταχειρισμένα βιβλία:

Ugrinovich N.D. «Πληροφορική. Βασικό μάθημα" 7η τάξη. - Μ.: BINOM – 2008 – 175 σελ.
Ugrinovich N.D. «Εργαστήριο για την επιστήμη των υπολογιστών και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ" Φροντιστήριο. – Μ.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. "Διδασκαλία του μαθήματος "Πληροφορική και ΤΠΕ" σε τάξεις δημοτικού και γυμνασίου 8-11 M.: BINOM Laboratory of Knowledge, 2008. - 180 σελ.
Εργαστήριο υπολογιστών Ugrinovich N.D. σε CD-ROM. – Μ.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. «Πυξίδα - 3D v 5.11-8.0 Εργαστήριο για αρχάριους» - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 σελ.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. «Geometry 7-9. Εγχειρίδιο για τα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης» – Μ: Εκπαίδευση 2006 – 384 σελ.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. «Μελέτη γεωμετρίας 7-9 τάξεων. Μεθοδολογικές συστάσεις για το σχολικό βιβλίο» - Μ: Εκπαίδευση 1997 - 255 σελ.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. "Σχέδια μαθήματος βασισμένα στο εγχειρίδιο της 8ης τάξης του Atanasyan L.S." - Volgograd "Teacher" 2010, 166 σελ.

Παράρτημα Νο. 1

Σχέδιο για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν την κατασκευή με πυξίδα και χάρακα.

Ανάλυση.
Κατασκευή.
Απόδειξη.
Μελέτη.

Εξήγηση

Κατά την εκτέλεση μιας ανάλυσης, σχεδιάζεται σχηματικά το επιθυμητό σχήμα και δημιουργείται μια σύνδεση μεταξύ των δεδομένων εργασίας και των απαιτούμενων στοιχείων.
Σύμφωνα με το προγραμματισμένο σχέδιο, η κατασκευή πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας πυξίδες και χάρακα.
Αποδεικνύουν ότι το κατασκευασμένο σχήμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.
Διεξάγουν μια μελέτη: έχει το πρόβλημα λύση για οποιαδήποτε δεδομένα και αν ναι, πόσες λύσεις;

Παραδείγματα στοιχειωδών κατασκευαστικών προβλημάτων

Αφαιρέστε ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο.
Κατασκευάστε τη διχοτόμο στο τμήμα.
Κατασκευάστε το μέσο του τμήματος.
Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο, κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία (Το σημείο μπορεί να βρίσκεται ή όχι σε μια δεδομένη ευθεία).
Κατασκευάστε τη διχοτόμο της γωνίας.
Κατασκευάστε μια γωνία ίση με τη δεδομένη.

Παράρτημα Νο. 2

Ο γεωμετρικός τόπος σημείων (GLP) είναι ένα σύνολο σημείων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα.

Παραδείγματα GMT:

Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Ένας κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση από δεδομένο σημείο– το κέντρο του κύκλου.
Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Κάθε σημείο της κάθετης διχοτόμου ενός τμήματος έχει ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Γλωσσάρι όρων επιπεδομετρίας- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Συγγραμμικά σημεία

Ανταγωνιστικό άμεσο- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Κύκλος Απολλωνίας- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Μεταμόρφωση επιπέδου- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Σεβιάνα- Εδώ συγκεντρώνονται ορισμοί όρων από την επιπεδομετρία. Οι αναφορές σε όρους σε αυτό το γλωσσάρι (σε αυτή τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Γλωσσάρι επιπεδομετρίας- Αυτή η σελίδα είναι ένα γλωσσάρι. Δείτε επίσης το κύριο άρθρο: Planimetry Ορισμοί όρων από planimetry συγκεντρώνονται εδώ. Οι σύνδεσμοι προς τους όρους σε αυτό το λεξικό (σε αυτήν τη σελίδα) είναι με πλάγιους χαρακτήρες... Wikipedia

Το πρόβλημα του Απολλώνιου- Το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι να κατασκευάσει έναν κύκλο που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα. Σύμφωνα με το μύθο, το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Απολλώνιο τον Πέργα γύρω στο 220 π.Χ. μι. στο βιβλίο «Touch», το οποίο χάθηκε ... Wikipedia

Το πρόβλημα του Απολλώνιου- Το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι να κατασκευάσει έναν κύκλο που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα. Σύμφωνα με το μύθο, το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Απολλώνιο τον Πέργα γύρω στο 220 π.Χ. μι. στο βιβλίο «Αγγίζοντας», που χάθηκε, αλλά ήταν... ... Wikipedia

Διάγραμμα Voronoi- ένα τυχαίο σύνολο σημείων στο επίπεδο Το διάγραμμα Voronoi ενός πεπερασμένου συνόλου σημείων S στο επίπεδο αντιπροσωπεύει ένα διαμέρισμα του επιπέδου έτσι ώστε ... Wikipedia

Στο προηγούμενο μάθημα, εξετάσαμε τις ιδιότητες της διχοτόμου μιας γωνίας, που περικλείεται σε τρίγωνο και είναι ελεύθερη. Ένα τρίγωνο περιλαμβάνει τρεις γωνίες και για καθεμία από αυτές διατηρούνται οι θεωρούμενες ιδιότητες της διχοτόμου.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, СС 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας εξετάσουμε πρώτα δύο διχοτόμους BB 1 και CC 1. Τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο: οι δεδομένες διχοτόμοι ας μην τέμνονται, οπότε είναι παράλληλες. Τότε η ευθεία BC είναι τομή και το άθροισμα των γωνιών είναι , αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι σε ολόκληρο το τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών είναι .

Άρα, το σημείο Ο της τομής δύο διχοτόμων υπάρχει. Ας δούμε τις ιδιότητές του:

Το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας, που σημαίνει ότι απέχει από τις πλευρές του BA και BC. Αν το OK είναι κάθετο στο BC, το OL είναι κάθετο στο BA, τότε τα μήκη αυτών των καθέτων είναι ίσα - . Επίσης, το σημείο Ο βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας και απέχει από τις πλευρές του CB και CA, οι κάθετοι ΟΜ και ΟΚ είναι ίσες.

Πήραμε τις ακόλουθες ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετοι που έπεσαν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Μας ενδιαφέρει η ισότητα των καθέτων ΟΛ και ΟΜ. Αυτή η ισότητα λέει ότι το σημείο Ο είναι ίση απόσταση από τις πλευρές της γωνίας, έπεται ότι βρίσκεται στη διχοτόμο του AA 1.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Επιπλέον, ένα τρίγωνο αποτελείται από τρία τμήματα, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε τις ιδιότητες ενός μεμονωμένου τμήματος.

Δίνεται το τμήμα ΑΒ. Οποιοδήποτε τμήμα έχει ένα μέσο και μια κάθετη μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτό - ας το συμβολίσουμε ως p. Άρα, p είναι η κάθετη διχοτόμος.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, επειδή έχουν ένα κοινό πόδι OM, και τα σκέλη AO και OB είναι ίσα κατά συνθήκη, επομένως έχουμε δύο ορθογώνιο τρίγωνο, ίσο σε δύο πόδια. Από αυτό προκύπτει ότι ίσες είναι και οι υποτείνουσες των τριγώνων, δηλαδή ό,τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Δίνεται ένα τμήμα AB, η κάθετη διχοτόμος του p και ένα σημείο M που ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος. Να αποδείξετε ότι το σημείο M βρίσκεται στη διχοτόμο του τμήματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, κατά συνθήκη. Θεωρήστε τη διάμεσο ενός τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιοκτησία ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη βάση του είναι και το ύψος και η διχοτόμος. Από αυτό προκύπτει ότι. Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι στο σημείο O είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια κάθετη στο τμήμα AB, που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, έπεται ότι το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία p, που έπρεπε να αποδείξουμε.

Άμεση και αντίστροφο του θεωρήματοςμπορεί να γενικευτεί.

Ένα σημείο βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος αν και μόνο αν είναι ίση απόσταση από τα άκρα αυτού του τμήματος.

Ας επαναλάβουμε λοιπόν ότι υπάρχουν τρία τμήματα σε ένα τρίγωνο και η ιδιότητα της κάθετης διχοτόμου ισχύει για καθένα από αυτά.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετες στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι P 1, P 2 και P 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Ας θεωρήσουμε δύο κάθετες διχοτόμους P 2 και P 3, τέμνονται, το σημείο τομής Ο υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός με αντίφαση - ας είναι παράλληλες οι κάθετοι P 2 και P 3. Τότε η γωνία αντιστρέφεται, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου είναι . Άρα, υπάρχει ένα σημείο Ο της τομής δύο από τις τρεις κάθετες διχοτόμους. Ιδιότητες του σημείου Ο: βρίσκεται στη διχοτόμο προς την πλευρά ΑΒ, που σημαίνει ότι έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ: . Βρίσκεται επίσης στην κάθετη διχοτόμο προς την πλευρά AC, που σημαίνει . Λάβαμε τις ακόλουθες ισότητες.

Θεώρημα:

Οι διχοτόμοι AA 1, BB 1, СС 1 του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο O (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Άρα, το σημείο Ο της τομής δύο διχοτόμων υπάρχει. Ας δούμε τις ιδιότητές του:

Πήραμε τις ακόλουθες ισότητες:

, δηλαδή και οι τρεις κάθετοι που έπεσαν από το σημείο Ο στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Έτσι, αποδείξαμε ότι και οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για το θεώρημα

Οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος.

Αποδείξτε ότι (Εικ. 2).

Απόδειξη:

Θεωρήστε τρίγωνα και . Είναι ορθογώνια και ίσα, γιατί έχουν ένα κοινό πόδι ΟΜ, και τα σκέλη ΑΟ και ΟΒ είναι ίσα κατά συνθήκη, επομένως έχουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα, ίσα σε δύο σκέλη. Από αυτό προκύπτει ότι ίσες είναι και οι υποτείνουσες των τριγώνων, δηλαδή ό,τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές.

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη μεσοκάθετο σε αυτό το τμήμα.

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ισοσκελές, κατά συνθήκη. Θεωρήστε τη διάμεσο ενός τριγώνου: το σημείο Ο είναι το μέσο της βάσης ΑΒ, το OM είναι η διάμεσος. Σύμφωνα με την ιδιότητα ενός ισοσκελούς τριγώνου, η διάμεσος που έλκεται στη βάση του είναι και υψόμετρο και διχοτόμος. Από αυτό προκύπτει ότι. Αλλά η ευθεία p είναι επίσης κάθετη στην ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι στο σημείο O είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια κάθετη στο τμήμα AB, που σημαίνει ότι οι ευθείες OM και p συμπίπτουν, έπεται ότι το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία p, που έπρεπε να αποδείξουμε.

Τα άμεσα και αντίστροφα θεωρήματα μπορούν να γενικευθούν.

Θεώρημα:

Οι κάθετες διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

Δίνεται ένα τρίγωνο. Κάθετες στις πλευρές του: P 1 στην πλευρά BC, P 2 στην πλευρά AC, P 3 στην πλευρά AB.

Να αποδείξετε ότι οι κάθετοι P 1, P 2 και P 3 τέμνονται στο σημείο Ο (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για το θεώρημα

Απόδειξη:

Κάθετη διχοτόμος (διάμεσος κάθετοςή μεσολαβητής) - μια ευθεία κάθετη σε ένα δεδομένο τμήμα και που διέρχεται από τη μέση του.

Ιδιότητες

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

όπου ο δείκτης δηλώνει την πλευρά προς την οποία σύρεται η κάθετη,

μικρό

είναι το εμβαδόν του τριγώνου και θεωρείται επίσης ότι οι πλευρές σχετίζονται με ανισότητες

a\geqslant b\geqslant γ.

p_a\geq p_b

Και

p_c\geq p_b.

Με άλλα λόγια, η μικρότερη κάθετη διχοτόμος ενός τριγώνου ανήκει στο μεσαίο τμήμα.

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Κάθετη διχοτόμος"

Σημειώσεις

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει τη διχοτόμο

Ο Κουτούζοφ, σταματώντας να μασήσει, κοίταξε έκπληκτος τον Βολτσόγκεν, σαν να μην καταλάβαινε τι του έλεγαν. Ο Wolzogen, παρατηρώντας τον ενθουσιασμό του des alten Herrn, [ο γέρος κύριος (Γερμανός)] είπε χαμογελώντας:
– Δεν θεώρησα ότι δικαιούμαι να κρύψω από την αρχοντιά σας αυτό που είδα... Τα στρατεύματα βρίσκονται σε πλήρη αταξία...
- Εχεις δει? Είδατε;.. – φώναξε ο Κουτούζοφ, συνοφρυωμένος, σηκώθηκε γρήγορα και προχωρώντας προς τον Βολτσόγκεν. «Πώς κάνεις... πώς τολμάς!..», φώναξε κάνοντας απειλητικές χειρονομίες με χειραψία και πνιγμό. - Πώς τολμάς, αγαπητέ κύριε, να μου το πεις αυτό; Δεν ξέρεις τίποτα. Πες στον Στρατηγό Μπάρκλεϊ από εμένα ότι οι πληροφορίες του είναι εσφαλμένες και ότι η πραγματική πορεία της μάχης είναι γνωστή σε μένα, τον αρχιστράτηγο, καλύτερα από εκείνον.
Ο Βολτσόγκεν ήθελε να αντιταχθεί, αλλά ο Κουτούζοφ τον διέκοψε.
- Ο εχθρός αποκρούεται στα αριστερά και ηττάται στο δεξί πλευρό. Αν δεν είδατε καλά, αγαπητέ κύριε, τότε μην επιτρέψετε στον εαυτό σας να πει αυτό που δεν γνωρίζετε. Παρακαλώ, πηγαίνετε στον στρατηγό Μπάρκλεϊ και του μεταφέρετε την επόμενη μέρα την απόλυτη πρόθεσή μου να επιτεθώ στον εχθρό», είπε αυστηρά ο Κουτούζοφ. Όλοι ήταν σιωπηλοί και το μόνο που ακουγόταν ήταν η βαριά ανάσα του λαχανιασμένου γέρου στρατηγού. «Ήταν απωθημένοι παντού, για το οποίο ευχαριστώ τον Θεό και τον γενναίο στρατό μας». Ο εχθρός ηττήθηκε και αύριο θα τον διώξουμε από την ιερή ρωσική γη», είπε ο Κουτούζοφ, σταυρώνοντας τον εαυτό του. και ξαφνικά έκλαψε από τα δάκρυα που ήρθαν. Ο Γουλτσόγκεν, ανασηκώνοντας τους ώμους του και σφίγγοντας τα χείλη του, απομακρύνθηκε σιωπηλά στο πλάι, αναρωτούμενος uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [σε αυτή την τυραννία του γέρου κυρίου. (γερμανικά)]
«Ναι, ορίστε, ήρωά μου», είπε ο Κουτούζοφ στον παχουλό, όμορφο, μαυρομάλλη στρατηγό, που έμπαινε στο ανάχωμα εκείνη την ώρα. Ήταν ο Ραέφσκι, ο οποίος πέρασε όλη την ημέρα στο κεντρικό σημείο του γηπέδου Borodino.
Ο Ραέφσκι ανέφερε ότι τα στρατεύματα ήταν σταθερά στις θέσεις τους και ότι οι Γάλλοι δεν τολμούσαν πια να επιτεθούν. Αφού τον άκουσε, ο Κουτούζοφ είπε στα γαλλικά:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer; [Δεν νομίζετε, λοιπόν, όπως άλλοι, ότι πρέπει να υποχωρήσουμε;]