Пусть функции , имеют производные предела (n-1).

Рассмотрим определитель: (1)

W(x) называется определителем Вронского для функций .

Теорема 1. Если функции линейно зависимы в интервале (a, b), то их вронскиан W(x) тождественно равен нулю в этом интервале.

Доказательство. По условию теоремы выполняется соотношение

, (2) где не все равны нулю. Пусть . Тогда

(3). Дифференцируем это тождество n-1 раз и,

Подставляя вместо их полученные значения в определитель Вронского,

получаем:

(4).

В определителе Вронского последний столбец является линейной комбинацией предыдущих n-1 столбцов и поэтому равен нулю во всех точках интервала (a, b).

Теорема 2. Если функции y1,…, yn являются линейно независимыми решениями уравнения L[y] = 0, все коэффициенты которого непрерывны в интервале (a, b), то вронскиан этих решений отличен от нуля в каждой точке интервала (a, b).

Доказательство. Допустим противное. Существует Х0, где W(Х0)=0. Составим систему n уравнений

(5).

Очевидно, что система (5) имеет ненулевое решение. Пусть (6).

Составим линейную комбинацию решений y1,…, yn.

У(х) является решением уравнения L[y] = 0. Кроме этого . В силу теоремы единственности решения уравнения L[y] = 0 с нулевыми начальными условиями может быть только нулевым, т. е. .

Мы получаем тождество , где не все равны нулю, а это означает, что y1,…, yn линейно зависимы, что противоречит условию теоремы. Следовательно, нет такой точки где W(Х0)=0.

На основе теоремы 1 и теоремы 2 можно сформулировать следующее утверждение. Для того, чтобы n решений уравнения L[y] = 0 были линейно независимы в интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Из доказанных теорем также следуют такие очевидные свойства вронскиана.

  1. Если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 равен нулю в одной точке х = х0 из интервала (a, b), в котором все коэффициенты рi(x) непрерывны, то он равен нулю во всех точках этого интервала.
  2. Если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 отличен от нуля в одной точке х = х0 из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для линейности n независимых решений уравнения L[y] = 0 в интервале (a, b), в котором коэффициенты уравнения рi(x) непрерывны, необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала.

В данной статье мы расскажем:

  • что такое коллинеарные векторы;
  • какие существуют условия коллинеарности векторов;
  • какие существуют свойства коллинеарных векторов;
  • что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

  • условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
  • условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

  • условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

  • Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
  • Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

  1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
  2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
  3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Опр. Система элементов x 1 ,…,x m лин. пр-ва V наз-ся линейно зависимой, если ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) такие, что λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ.

Опр. Система элементов x 1 ,…,x m ∈ V наз-ся линейно независимой, если из равенства λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0.

Опр. Элемент x ∈ V наз-ся линейной комбинацией элементов x 1 ,…,x m ∈ V, если ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ такие, что x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Теорема (критерий линейной зависимости): Система векторов x 1 ,…,x m ∈ V линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные.

Док-во. Необходимость: Пусть x 1 ,…,x m - линейно зависимы ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) такие, что λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 + λ m x m = θ. Допустим, λ m ≠ 0, тогда

x m = (- ) x 1 +…+ (- ) x m -1.

Достаточность : Пусть хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные вектора: x m = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 x m -1 +(-1) x m =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1 ,…,x m - линейно независимы.

Дост. условие линейной зависимости:

Если система содержит нулевой элемент или линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – линейно зависимая система

1) Пусть x 1 = θ, тогда это равенство справедливо при λ 1 =1 и λ 1 =…= λ m =0.

2) Пусть λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 – линейно зависимая подсистема ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 . Тогда при λ 1 =0 также получаем, |λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 – линейно зависимая система.

Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Координаты сумм векторов и произведения вектора на число. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.

Определение: Упорядоченная система элементов e 1, …, e n линейного пространства V называется базисом этого пространства если:

А) e 1 …е n линейно независимы

Б) ∀ x ∈ α 1 … α n такие, что x= α 1 e 1 +…+ α n е n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – разложение элемента x в базисе e 1, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ – координаты элемента x в базисе e 1, …, e n

Теорема: Если в линейном пространстве V задан базис e 1, …, e n то ∀ x ∈ V столбец координат x в базисе e 1, …, e n определяется однозначно (координаты определяются однозначно)

Доказательство: Пусть x=α 1 e 1 +…+ α n e n и x=β 1 e 1 +…+β n e n


x= ⇔ = Θ, т. е. e 1, …, e n - линейно независимы, то - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n ч. т. д.

Теорема: пусть e 1, …, e n - базис линейного пространства V; x, y – произвольные элементы пространства V, λ ∈ ℝ - произвольное число. При сложении x и y их координаты складываются, при умножении x на λ координаты x так же умножаются на λ.

Доказательство: x= (e 1, …, e n) и y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Лемма1: (необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов)

Пусть e 1 …е n - базис пространства V. Система элементов f 1 , …, f k ∈ V является линейно зависимой тогда и только тогда, когда линейно зависимы столбцы координат этих элементов в базисе e 1, …, e n

Доказательство: разложим f 1 , …, f k по базису e 1, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] то есть λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = что и требовалось доказать.

13. Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и базиса.
Определение: Линейное пространство V называют n-мерным пространством, если в V существуют n линейно независимых элементов, а система из любых n+1 элементов пространства V линейно зависима. В этом случае n называется размерностью линейного пространства V и обозначается dimV=n.

Линейное пространство называют бесконечномерным, если ∀N ∈ ℕ в пространстве V существует линейно независимая система содержащая N элементов.

Теорема: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует базис. 2)Если в линейном пространстве V существует базис состоящий из n элементов, то размерность V равна n (dimV=n).

Доказательство: 1) Пусть dimV=n ⇒ в V ∃ n линейно независимых элементов e 1, …,e n . Докажем, что эти элементы образуют базис, то есть докажем что ∀ x ∈ V может быть разложен по e 1, …,e n . Присоединим к ним x: e 1, …,e n , x – эта система содержит n+1 вектор а значит она линейно зависима. Поскольку e 1, …,e n – линейно независима, то по теореме 2 x линейно выражается через e 1, …,e n т.е. ∃ ,…, такие, что x= α 1 e 1 +…+ α n е n . Итак e 1, …,e n – базис пространства V. 2)Пусть e 1, …,e n – базис V, итак в V ∃ n линейно независимых элементов. Возьмем произвольные f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 элементов. Покажем их линейную зависимость. Разложим их по базису:

f m =(e 1, …,e n) = где m = 1,…,n Составим матрицу из столбцов координат: A= Матрица содержит n строк ⇒ RgA≤n. Число столбцов n+1 > n ≥ RgA ⇒ Столбцы матрицы A (т.е. стобцы координат f 1 ,…,f n ,f n +1) – линейно зависимы. Из леммы 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 – линейно зависимы ⇒ dimV=n.

Следствие: Если какой-либо базис содержит n элементов, то и любой другой базис этого пространства содержит n элементов.

Теорема 2: Если система векторов x 1 ,… ,x m -1 , x m – линейно зависима, а ее подсистема x 1 ,… ,x m -1 – линейно независима, то x m - линейно выражается через x 1 ,… ,x m -1

Доказательство: Т.к. x 1 ,… ,x m -1 , x m – линейно зависима, то ∃ , …, , ,

, …, | , | такие, что . Если , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 – линейно независимы, чего быть не может. Значит m = (- ) x 1 +…+ (- ) x m -1.

Векторное пространство. Примеры и простейшие св-ва векторных пространств.Линейная зависимость и независиость системы векторов.Базис и ранг конечной системы векторов.

Линейное, или векторное пространство L(P) над полем P- это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x + yϵL

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу λ ϵ P и любому элементу x ϵ L ставится в соответствие единственный элемент из L(P) , обозначаемый λx ϵ L(P).

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. x + y = y+ x, для любых х,у ϵ L.(коммукативностьсожения)

2.x + (y+ z) = (x+ y) + z, х,у,z ϵ L.(ассоциативность сожения)

3.существует такое θ ϵ L,чтоx + θ =x для любогоx ϵ L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4.для любого x ϵ L существует такой элемент -x ϵ L , что x +(-х)= θ (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.(αβ)х=α(βх), (ассоциативность умножения на скаляр)

6.1*х=х (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.(α+ β)* х = α* х + β*х , (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. α * (х+ у) =α *х + α *у , (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P - скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие св-ва:

1.Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2.Для любого x ϵ L противоположный элемент -x ϵ L является единственным

3. 0* х = θ, для любого x ϵ L

4. 1*(-х)=-х для любого x ϵ L

5.α * θ = θ , для любогоα ϵ L

Примером ВП яв-ся м\во матриц с вещественными компонентами одинакового порядка с естественным определением операций сложения и умнож. Матриц на веществ-ое число

Линейная зависимость\(не) системы векторов(определние,св-ва)

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система e 1 ..e n линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:


α 1 e 1 +..+ α n e n =0, где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть α k ≠0 ,kϵ 1,2…n Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Обозначим: α k -1 α m =β m где mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Тогда β 1 e 1+ … +β 1 e n =0 т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n , Перенесем вектор e k в правую часть этого равенства: 0=γ 1 e 1+..+ γ n e n

Так как коэффициент при векторе e k равен -1≠0, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 ..e n что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Следствие.

Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Ба́зис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом системы.

Теорема. Пусть даны две системы п- мерных векторов:

a 1 ,a 2 ,¼,a r (9)

b 1 ,b 2 ,¼,b s , (10)

не обязательно линейно независимые, причём ранг системы (9) равен числу k , ранг системы (10) – числу l . Если первая система линейно выражается через вторую, то k £ l . Если же эти системы эквивалентны , то k = l .

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом