Algebrin projekt "Rješenje trigonometrijskih nejednakosti" Izvršila učenica 10. razreda "B" Julia Kazachkova Voditeljica: učiteljica matematike Kochakova N.N.
Svrha Objediniti gradivo na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednakosti" i izraditi podsjetnik za studente za pripremu za nadolazeći ispit.
Ciljevi Sažeti gradivo o temi. Organizirajte primljene informacije. Smatrati ova tema na ispitu.
Relevantnost Relevantnost teme koju sam odabrao leži u činjenici da su zadaci na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi" uključeni u ispitne zadatke.
Trigonometrijske nejednadžbe Nejednadžba je relacija koja povezuje dva broja ili izraza jednim od predznaka: (veći od); ≥ (veće ili jednako). Trigonometrijska nejednadžba je nejednadžba koja sadrži trigonometrijske funkcije.
Trigonometrijske nejednadžbe Rješavanje nejednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije svodi se u pravilu na rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi oblika: sin x>a, sin x a, cos x a,tgx a, ctg x
Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi Na osi koja odgovara zadanoj trigonometrijskoj funkciji označite zadanu brojčanu vrijednost te funkcije. Kroz označenu točku povucite liniju koja siječe jediničnu kružnicu. Odaberite točke sjecišta pravca i kruga, vodeći računa o strogom ili nestrogom znaku nejednakosti. Odaberite luk kružnice na kojoj se nalaze rješenja nejednadžbe. Odredite vrijednosti kutova na početnoj i krajnjoj točki kružnog luka. Zapišite rješenje nejednadžbe vodeći računa o periodičnosti zadane trigonometrijske funkcije.
Formule za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn; arctg + πn). ctgx
Grafičko rješenje osnovne trigonometrijske nejednakosti sinx >a
Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi sinx Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx >a Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx >a Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi ctgx >a
Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.
Trigonometrijske nejednadžbe izrazi su oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .
Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je rješavati takve probleme grafički; za to su razvijene dvije metode.
Metoda 1 - Rješavanje nejednakosti iscrtavanjem funkcije
Da biste pronašli interval koji zadovoljava uvjete nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate učiniti sljedeće:
- Na koordinatnoj osi konstruirajte sinusoidu y = sin x.
- Na istoj osi nacrtaj graf numerički argument nejednakost, tj. pravac koji prolazi točkom ½ y-ordinate.
- Označite točke presjeka dvaju grafova.
- Osjenčaj segment koji je rješenje primjera.
Kada u izrazu postoje jaki znakovi, točke sjecišta nisu rješenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, zapisujemo odgovor na sljedeći način:
Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglate zagrade - . Odgovor na problem također se može napisati kao druga nejednakost: 
Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice
Slični problemi se lako rješavaju uz pomoć trigonometrijske kružnice. Algoritam pretraživanja je vrlo jednostavan:
- Prvo nacrtajte jedinični krug.
- Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednadžbe na luku kružnice.
- Potrebno je povući ravnu liniju koja prolazi kroz vrijednost lučne funkcije paralelno s x-osi (OX).
- Nakon toga preostaje samo odabrati kružni luk koji je skup rješenja trigonometrijske nejednadžbe.
- Odgovor upišite u traženi obrazac.
Analizirajmo korake rješenja koristeći nejednadžbu sin x › 1/2 kao primjer. Na krugu su označene točke α i β – vrijednosti
Točke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje zadane nejednadžbe.
Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti smješten simetrično na os OX, a ne OY. Razliku između intervala rješenja za sin i cos možete razmotriti na dijagramima ispod u tekstu.
Grafička rješenja nejednakosti tangensa i kotangensa razlikovat će se i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.
Arkutangens i arkotangens su tangente na trigonometrijsku kružnicu, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i pravilno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.
Tangenta tangente ide paralelno s osi OY. Ako nanesemo vrijednost arctg a na jediničnu kružnicu, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. kutovi
One su prijelomne točke za funkciju jer im graf teži, ali ih nikada ne doseže.
U slučaju kotangensa, tangenta teče paralelno s osi OX, a funkcija se prekida u točkama π i 2π.
Složene trigonometrijske nejednadžbe
Ako argument funkcije nejednakosti nije predstavljen samo varijablom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada već govorimo o složena nejednakost. Tijek i redoslijed njegovog rješavanja nešto se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sljedeće nejednadžbe:
Grafičko rješenje omogućuje konstrukciju obične sinusoide y = sin x za proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tablicu s koordinatama za referentne točke karte:
Rezultat bi trebala biti lijepa krivulja.
Radi lakšeg pronalaženja rješenja, zamjenjujemo argument složene funkcije
Sjecište dva grafikona omogućuje vam određivanje područja željenih vrijednosti za koje je uvjet nejednakosti zadovoljen.
Nađeni segment je rješenje za varijablu t:
Međutim, cilj zadatka je pronaći sve moguće opcije nepoznato x:
Rješavanje dvostruke nejednadžbe prilično je jednostavno, trebate pomaknuti π / 3 na krajnje dijelove jednadžbe i izvršiti potrebne izračune:
Odgovor na zadatak izgledat će kao interval za strogu nejednakost:
Takvi će zadaci zahtijevati iskustvo i vještinu učenika u rukovanju trigonometrijskim funkcijama. Više zadaci obukeće se odlučiti u procesu pripreme, učenik će lakše i brže pronaći odgovor USE pitanje test.
DEFINICIJA
Trigonometrijske nejednadžbe su nejednadžbe koje sadrže varijablu pod predznakom trigonometrijske funkcije.
Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi
Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi često se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi oblika: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ imeoperatora(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \imeoperatora(tg) x \ leq a \), \ (\ \imeoperatora(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \imeoperatora(tg ) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)
Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe rješavaju se grafički ili pomoću jedinične trigonometrijske kružnice.
Prema definiciji, sinus kuta \(\ \alpha \) je ordinata točke \(\ P_(\alpha)(x, y) \) jedinične kružnice (Sl. 1), a kosinus je apscisa ove točke. Ova se činjenica koristi pri rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi s kosinusom i sinusom pomoću jedinične kružnice.
Primjeri rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi
Riješite nejednadžbu \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
Budući da \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , ova nejednadžba ima rješenje i može se riješiti na dva načina
Prvi način. Riješimo ovu nejednadžbu grafički. Da bismo to učinili, konstruiramo u istom koordinatnom sustavu grafikon sinusa \(\ y=\sin x \) (Sl. 2) i ravne crte \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)
Odaberimo intervale u kojima se sinusoida nalazi ispod grafa ravne crte \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Pronađite apscise \(\ x_(1) \) i \(\ x_(2) \) točaka sjecišta ovih grafova: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3) ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Dobili smo interval \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \), ali budući da funkcija \(\ y=\sin x \) je periodičan i ima period \(\ 2 \pi \) , tada je odgovor unija intervala: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\desno] \), \(\ k \u Z \)
Drugi način. Konstruirajte jediničnu kružnicu i liniju \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , označite njihove sjecišne točke \(\ P_(x_(1)) \) i \(\ P_(x_ (2 )) \) (slika 3). Rješenje izvorne nejednakosti bit će skup ordinatnih točaka koje su manje od \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Pronađimo vrijednost \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) i \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) krećući se suprotno od kazaljke na satu, \(\ x_(1) sl. 3
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Uzimajući u obzir periodičnost funkcije sinusa, konačno dobivamo intervale \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\desno] \), \(\k\in Z\)
Riješite nejednadžbu \(\ \sin x>2 \)
Sinus je ograničena funkcija: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , a desna strana ove nejednadžbe je veća od jedan, tako da nema rješenja.
Riješite nejednadžbu \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)
Ova se nejednadžba može riješiti na dva načina: grafički i pomoću jedinične kružnice. Razmotrimo svaku od metoda.
Prvi način. Opišimo u jednom koordinatnom sustavu funkcije koje opisuju lijevi i desni dio nejednadžbe, to jest \(\ y=\cos x \) i \(\ y=\frac(1)(2) \) . Odaberimo intervale u kojima se graf kosinusne funkcije \(\ y=\cos x \) nalazi iznad grafa ravne crte \(\ y=\frac(1)(2) \) (Sl. 4 ).
Pronađite apscise točaka \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) i \(\ x_(2) \) - točaka presjeka grafova funkcija \(\ y=\cos x \ ) i \(\ y=\frac (1)(2) \) , koji su krajevi jednog od intervala na kojima vrijedi navedena nejednakost. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Uzimajući u obzir da je kosinus periodična funkcija, s periodom \(\ 2 \pi \) , odgovor je vrijednost \(\ x \) iz intervala \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\desno) \), \(\ k \in Z \)
Drugi način. Konstruirajmo jediničnu kružnicu i liniju \(\ x=\frac(1)(2) \) (jer jedinični krug kosinusi odgovaraju x-osi). Neka su \(\ P_(x_(1)) \) i \(\ P_(x_(2)) \) (slika 5) sjecišne točke pravca i jedinične kružnice. Rješenje izvorne jednadžbe bit će skup točaka apscise koje su manje od \(\ \frac(1)(2) \) . Pronađite vrijednost \(\ x_(1) \) i \(\ 2 \) , praveći obilazak u smjeru suprotnom od kazaljke na satu tako da \(\ x_(1) Uzimajući u obzir periodičnost kosinusa, konačno dobivamo intervale \( \ \lijevo(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\desno) \),\(\ k \in Z \)
Riješite nejednadžbu \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)
Nacrtajmo grafove funkcija \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) u jednom koordinatnom sustavu
Odaberimo intervale u kojima graf funkcije \(\ y=\operatorname(ctg) x \) nije viši od grafa ravne linije \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (slika 6) .
Pronađite apscisu točke \(\ x_(0) \) , koja je kraj jednog od intervala na kojem vrijedi nejednakost \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\ sqrt(3))( 3)\desno)=\pi-\imeoperatora(arcctg)\lijevo(\frac(\sqrt(3))(3)\desno)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)
Drugi kraj ovog razmaka je točka \(\ \pi \) , a funkcija \(\ y=\operatorname(ctg) x \) je nedefinirana u toj točki. Dakle, jedno od rješenja ove nejednakosti je interval \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x
Trigonometrijske nejednakosti sa složen argument
Trigonometrijske nejednadžbe sa složenim argumentom mogu se supstitucijom svesti na najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe. Nakon što se riješi, vrši se obrnuta zamjena i izražava se izvorna nepoznanica.
Riješite nejednadžbu \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
Izrazite kosinus na desnoj strani ove nejednakosti: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
Provodimo zamjenu \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , nakon čega se ova nejednadžba transformira u najjednostavniju nejednadžbu \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )
Riješimo to pomoću jedinične kružnice. Konstruirajmo jediničnu kružnicu i liniju \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Označimo \(\ P_(1) \) i \(\ P_(2) \) kao točke presjeka pravca i jedinične kružnice (slika 7).
Rješenje izvorne nejednakosti bit će skup točaka apscise, koje su najviše \(\ -\frac(1)(2) \). Točka \(\ P_(1) \) odgovara kutu \(\ 120^(\circ) \) , a točka \(\ P_(2) \) . Dakle, s obzirom na period kosinusa, dobivamo \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ), \(\ n \u Z \)
Vršimo obrnutu zamjenu \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Izražavamo \(\ \mathbf(x) \), da bismo to učinili, prvo oduzmimo \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\u Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
a zatim podijelite s 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Dvostruke trigonometrijske nejednadžbe
Riješite dvostruku trigonometrijsku nejednadžbu \(\ \frac(1)(2)
Uvedimo zamjenu \(\ t=\frac(x)(2) \) , tada će izvorna nejednakost imati oblik \(\ \frac(1)(2)
Riješimo to pomoću jedinične kružnice. Budući da os ordinata odgovara sinusu na jediničnoj kružnici, na njoj odabiremo skup ordinata čiji je veći od \(\ x=\frac(1)(2) \) i manji od ili jednak \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Na slici 8, ove točke će se nalaziti na lukovima \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) i \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Pronađimo vrijednost \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , praveći obilazak u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)
Dakle, dobivamo dva intervala, koja se, uzimajući u obzir periodičnost sinusne funkcije, mogu napisati na sljedeći način \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Izrazi \(\ \mathbf( x) \), za ovo množimo sve strane obiju nejednakosti s 2, dobivamo \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x
U praktičnoj nastavi ponovit ćemo glavne vrste zadataka iz teme "Trigonometrija", dodatno ćemo analizirati probleme povećane složenosti i razmotriti primjere rješavanja različitih trigonometrijskih nejednadžbi i njihovih sustava.
Ova lekcija pomoći će vam da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5, B7, C1 i C3.
Započnimo ponavljanjem glavnih tipova zadataka koje smo pregledali u temi Trigonometrija i riješimo nekoliko nestandardnih zadataka.
Zadatak #1. Pretvorite kutove u radijane i stupnjeve: a) ; b) .
a) Koristite formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane
Zamijenite zadanu vrijednost u nju.
b) Primijenite formulu za pretvaranje radijana u stupnjeve
Izvršimo zamjenu 
.
Odgovor. A) ; b) .
Zadatak #2. Izračunaj: a) ; b) .
a) Budući da je kut daleko izvan tablice, smanjujemo ga oduzimanjem perioda sinusa. Jer kut je dan u radijanima, tada će se razdoblje smatrati .
b) U ovom slučaju situacija je slična. Budući da je kut naveden u stupnjevima, smatrat ćemo period tangente kao .
Dobiveni kut, iako manji od periode, veći je, što znači da se više ne odnosi na glavni, već na produženi dio tablice. Kako ne bismo ponovno vježbali pamćenje pamćenjem proširene tablice vrijednosti trigofunkcije, ponovno oduzimamo period tangente:
Iskoristili smo neparnost funkcije tangente.
Odgovor. a) 1; b) .
Zadatak #3. Izračunati 
, Ako .
Cijeli izraz dovodimo u tangente dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka s . U isto vrijeme, ne možemo se bojati da, jer u tom slučaju vrijednost tangente ne bi postojala.
Zadatak #4. Pojednostavite izraz.
Navedeni izrazi pretvaraju se pomoću formula cast. Samo što su neobično napisani pomoću stupnjeva. Prvi izraz je općenito broj. Pojednostavite sve trigofunkcije redom:
Jer , tada se funkcija mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u drugu četvrtinu, u kojoj je predznak izvornog tangensa negativan.
Iz istih razloga kao u prethodnom izrazu, funkcija se mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u prvu četvrtinu, u kojoj početni tangens ima pozitivan predznak.
Zamjena svega u pojednostavljeni izraz:
Zadatak #5. Pojednostavite izraz.
Zapišimo tangens dvostrukog kuta prema odgovarajućoj formuli i pojednostavnimo izraz:
Posljednji identitet jedna je od univerzalnih zamjenskih formula za kosinus.
Zadatak #6. Izračunaj .
Glavna stvar je ne napraviti standardnu pogrešku i ne dati odgovor da je izraz jednak . Nemoguće je koristiti glavno svojstvo arc tangente dok u njegovoj blizini postoji faktor u obliku dvojke. Da bismo ga se riješili, zapisujemo izraz prema formuli za tangens dvostrukog kuta, dok ga tretiramo kao običan argument.
Sada je već moguće primijeniti glavno svojstvo arc tangensa, zapamtite da nema ograničenja za njegov numerički rezultat.
Zadatak #7. Riješite jednadžbu.
Prilikom odlučivanja frakcijska jednadžba, koji je izjednačen s nulom, uvijek je naznačeno da je brojnik nula, a nazivnik nije, jer ne možete dijeliti s nulom.
Prva jednadžba je poseban slučaj najjednostavnija jednadžba, koja se rješava pomoću trigonometrijske kružnice. Razmislite sami o ovom rješenju. Druga se nejednadžba rješava kao najjednostavnija jednadžba općom formulom za korijene tangente, ali samo s predznakom nejednako.
Kao što vidimo, jedna obitelj korijena isključuje drugu potpuno istu obitelj korijena koji ne zadovoljavaju jednadžbu. Oni. nema korijena.
Odgovor. Nema korijena.
Zadatak #8. Riješite jednadžbu.
Odmah imajte na umu da možete izvaditi zajednički faktor i učiniti to:
Jednadžba je svedena na jedan od standardnih oblika, kada je umnožak više faktora jednak nuli. Već znamo da je u ovom slučaju ili jedan od njih jednak nuli, ili drugi, ili treći. Zapisujemo ovo kao skup jednadžbi:
Prve dvije jednadžbe su posebni slučajevi najjednostavnijih, sa sličnim smo se jednadžbama već mnogo puta susreli, pa ćemo odmah navesti njihova rješenja. Treću jednadžbu reduciramo na jednu funkciju pomoću formule sinusa dvostrukog kuta.
Riješimo zasebno posljednju jednadžbu:
Ova jednadžba nema korijena, jer vrijednost sinusa ne može ići dalje 
.
Dakle, samo prve dvije obitelji korijena su rješenje, oni se mogu spojiti u jednu, što je lako prikazati na trigonometrijskom krugu:
 |
Ovo je obitelj svih polovica, tj.
Prijeđimo na rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Najprije analizirajmo pristup rješavanju primjera bez korištenja općih formula rješenja, već uz pomoć trigonometrijske kružnice.
Zadatak #9. Riješite nejednadžbu.
Nacrtajte pomoćnu crtu na trigonometrijskoj kružnici koja odgovara vrijednosti sinusa jednakog , te pokažite interval kutova koji zadovoljavaju nejednakost.
 |
Vrlo je važno razumjeti kako točno odrediti rezultirajući interval kuta, tj. kakav joj je početak i kakav joj je kraj. Početak praznine bit će kut koji odgovara točki u koju ćemo ući na samom početku praznine ako se pomičemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U našem slučaju, to je točka koja je s lijeve strane, jer krećući se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prolazeći desnu točku, naprotiv, izlazimo iz potrebnog intervala kuta. Desna točka će stoga odgovarati kraju praznine.
Sada moramo razumjeti vrijednosti početnog i krajnjeg kuta našeg jaza rješenja nejednadžbe. Uobičajena pogreška je odmah pokazati da desna točka odgovara kutu , lijeva i dati odgovor. Ovo nije istina! Imajte na umu da smo upravo naznačili interval koji odgovara gornjem dijelu kruga, iako nas zanima donji, drugim riječima, pomiješali smo početak i kraj intervala rješenja koja su nam potrebna.
Kako bi interval počeo u kutu desne točke i završio u kutu lijeve točke, prvi navedeni kut mora biti manji od drugog. Da bismo to učinili, morat ćemo izmjeriti kut desne točke u negativnom referentnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu i bit će jednak . Zatim, počevši od nje u pozitivnom smjeru kazaljke na satu, doći ćemo do desne točke nakon lijeve točke i dobiti vrijednost kuta za nju. Sada je početak intervala kutova manji od kraja , te možemo napisati interval rješenja bez uzimanja u obzir razdoblja:
Uzimajući u obzir da će se takvi intervali ponavljati beskonačan broj puta nakon bilo kojeg cijelog broja rotacija, dobivamo opće rješenje, uzimajući u obzir period sinusa:
Stavili smo okrugle zagrade jer je nejednakost stroga, a na kružnici smo izbili točke koje odgovaraju krajevima intervala.
Usporedite svoj odgovor s formulom za opće rješenje koje smo dali na predavanju.
Odgovor. 
.
Ova metoda je dobra za razumijevanje odakle dolaze formule za opća rješenja najjednostavnijih trigonalnih nejednadžbi. Osim toga, korisno je za one koji su previše lijeni naučiti sve te glomazne formule. Međutim, sama metoda također nije jednostavna, odaberite koji pristup rješenju vam najviše odgovara.
Za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi također možete koristiti grafove funkcija na kojima je izgrađen pomoćni pravac, slično prikazanoj metodi korištenjem jedinične kružnice. Ako ste zainteresirani, pokušajte sami razumjeti ovaj pristup rješenju. U nastavku ćemo koristiti općenite formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.
Zadatak #10. Riješite nejednadžbu.
Koristimo opću formulu rješenja, uzimajući u obzir da nejednadžba nije stroga:
U našem slučaju dobivamo:
Odgovor. 
Zadatak #11. Riješite nejednadžbu.
Koristimo opću formulu rješenja za odgovarajuću strogu nejednadžbu:
Odgovor. 
.
Zadatak #12. Riješite nejednadžbe: a) ; b) .
U ovim nejednadžbama ne treba žuriti s korištenjem formula za opća rješenja ili trigonometrijski krug, samo zapamtite raspon sinusa i kosinusa.
a) Jer 
, onda je nejednakost besmislena. Stoga rješenja nema.
b) Jer slično, sinus bilo kojeg argumenta uvijek zadovoljava nejednakost navedenu u uvjetu. Dakle, nejednakost je zadovoljena svim stvarnim vrijednostima argumenta.
Odgovor. a) nema rješenja; b) .
Zadatak 13. Riješite nejednadžbu 
.
Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
Prvo se prisjetimo formula za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.
- $sinx=a$
- $cosx=a$
- $tgx=a$
- $ctgx=a$
Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi prvo treba riješiti odgovarajuću jednadžbu, a zatim pomoću trigonometrijske kružnice pronaći rješenje nejednadžbe. Razmotrite rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti na primjerima.
Primjer 1
$sinx\ge \frac(1)(2)$
Pronađite rješenje trigonometrijske nejednadžbe $sinx=\frac(1)(2)$
\ \
Slika 1. Rješenje nejednadžbe $sinx\ge \frac(1)(2)$.
Budući da nejednadžba ima predznak “veće ili jednako”, rješenje leži na gornjem luku kružnice (u odnosu na rješenje jednadžbe).
Odgovor: $\lijevo[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\desno]$.
Primjer 2
Pronađite rješenje trigonometrijske nejednadžbe $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$
\ \
Zabilježite rješenje na trigonometrijskoj kružnici
Budući da nejednadžba ima predznak "manje od", rješenje leži na luku kružnice koja se nalazi lijevo (u odnosu na rješenje jednadžbe).
Odgovor: $\lijevo(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\desno)$.
Primjer 3
$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$
Pronađite rješenje trigonometrijske nejednadžbe $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$
\ \
Ovdje nam je također potrebna domena definicije. Kao što se sjećamo, funkcija tangensa $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$
Zabilježite rješenje na trigonometrijskoj kružnici
Slika 3. Rješenje nejednadžbe $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.
Budući da nejednadžba ima predznak "manje ili jednako", rješenje leži na lukovima kružnice označene plavom bojom na slici 3.
Odgovor: $\ \lijevo(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\desno.,\lijevo.\frac(\pi )(6)+2\pi n\desno]\čaša \lijevo (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\desno.\lijevo.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\desno]$
Primjer 4
Pronađite rješenje trigonometrijske nejednadžbe $ctgx=\sqrt(3)$
\ \
Ovdje nam je također potrebna domena definicije. Kao što se sjećamo, funkcija tangensa $x\ne \pi n,n\in Z$
Zabilježite rješenje na trigonometrijskoj kružnici
Slika 4. Rješenje nejednadžbe $ctgx\le \sqrt(3)$.
Budući da nejednadžba ima predznak “veće od”, rješenje leži na lukovima kružnice označene plavom bojom na slici 4.
Odgovor: $\ \lijevo(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\desno)\čaša \lijevo(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\desno)$
