Պատահական փոփոխականների փոխակերպումներ. Հավանականություն և վիճակագրություն - Հիմնական փաստեր կենտրոնացված և նորմալացված պատահական փոփոխականներ

Պատահական փոփոխականների փոխակերպումներ

Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար Xորոշել ևս երեք մեծություն՝ կենտրոնացված Յ, նորմալացված Վև տրված U. Կենտրոնացված պատահական փոփոխական Յտրված պատահական փոփոխականի տարբերությունն է Xև դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը M (X),դրանք. Յ = X – M(X):Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի ակնկալիք Յհավասար է 0-ի, իսկ շեղումը տվյալ պատահական փոփոխականի շեղումն է. Մ(Յ) = 0, Դ(Յ) = Դ(X). Բաշխման գործառույթ Ֆ Յ(x) կենտրոնացված պատահական փոփոխական Յկապված բաշխման ֆունկցիայի հետ Ֆ(x) բնօրինակ պատահական փոփոխական Xհարաբերակցությունը:

Ֆ Յ(x) = Ֆ(x + Մ(X)).

Այս պատահական փոփոխականների խտությունները բավարարում են հավասարությունը

զ Յ(x) = զ(x + Մ(X)).

Նորմալացված պատահական փոփոխական Վտրված պատահական փոփոխականի հարաբերակցությունն է Xիր ստանդարտ շեղմանը, այսինքն. . Նորմալացված պատահական փոփոխականի ակնկալիք և շեղում Վարտահայտված բնութագրերի միջոցով XԱյսպիսով.

,

Որտեղ v– սկզբնական պատահական փոփոխականի տատանումների գործակիցը X. Բաշխման ֆունկցիայի համար Ֆ Վ(x) և խտությունը զ Վ(x) նորմալացված պատահական փոփոխական Վմենք ունենք:

Որտեղ Ֆ(x) – սկզբնական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա X, Ա զ(x) - դրա հավանականության խտությունը.

Կրճատված պատահական փոփոխական Uկենտրոնացված և նորմալացված պատահական փոփոխական է՝

.

Տրված պատահական փոփոխականի համար

Նորմալացված, կենտրոնացված և կրճատված պատահական փոփոխականները մշտապես օգտագործվում են ինչպես տեսական ուսումնասիրություններում, այնպես էլ ալգորիթմներում, ծրագրային արտադրանքներում, կարգավորող, տեխնիկական և հրահանգչական փաստաթղթերում: Մասնավորապես, քանի որ հավասարությունները հնարավորություն են տալիս պարզեցնել մեթոդների հիմնավորումը, թեորեմների ձևակերպումը և հաշվարկային բանաձևերը։

Օգտագործվում են պատահական և ավելի ընդհանուր փոփոխականների փոխակերպումներ։ Այսպիսով, եթե Յ = կացին + բ, Որտեղ աԵվ բ- որոշ թվեր, ուրեմն

Օրինակ 7.Եթե, ապա Յկրճատված պատահական փոփոխականն է, և բանաձևերը (8) վերածվում են բանաձևերի (7):

Յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականով Xդուք կարող եք կապել բազմաթիվ պատահական փոփոխականներ Յ, տրված բանաձևով Յ = կացին + բտարբեր ժամանակներում ա> 0 և բ. Այս հավաքածուն կոչվում է մասշտաբի հերթափոխի ընտանիք, գեներացվել է պատահական փոփոխականով X. Բաշխման գործառույթներ Ֆ Յ(x) կազմում են բաշխման ֆունկցիայի արդյունքում առաջացած բաշխումների սանդղակի հերթափոխի ընտանիք Ֆ(x). Փոխարեն Յ = կացին + բհաճախ օգտագործում են ձայնագրություն

Թիվ Հետկոչվում է հերթափոխի պարամետր, իսկ թիվը դ- մասշտաբի պարամետր: Բանաձևը (9) ցույց է տալիս, որ X– որոշակի քանակի չափման արդյունք – մտնում է U– նույն մեծության չափման արդյունքը, եթե չափման սկիզբը տեղափոխվում է կետ Հետ, և այնուհետև օգտագործեք նոր չափման միավորը, in դանգամ ավելի մեծ, քան հինը:

Սանդղակի հերթափոխի ընտանիքի համար (9) X-ի բաշխումը կոչվում է ստանդարտ: Որոշումների կայացման հավանական վիճակագրական մեթոդներում և այլ կիրառական հետազոտություններում օգտագործվում են ստանդարտ նորմալ բաշխում, ստանդարտ Weibull-Gnedenko բաշխում, ստանդարտ գամմա բաշխում և այլն (տես ստորև):

Օգտագործվում են նաև պատահական փոփոխականների այլ փոխակերպումներ։ Օրինակ՝ դրական պատահական փոփոխականի համար Xդիտարկում են Յ= մատյան X, որտեղ lg X- թվի տասնորդական լոգարիթմ X. Հավասարությունների շղթա

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

միացնում է բաշխման գործառույթները XԵվ Յ.

Կենտրոնացված պատահական փոփոխական, որը համապատասխանում է SV-ինXպատահական փոփոխականի տարբերությունն է X և դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը

Պատահական փոփոխականը կոչվում է նորմալացված, եթե նրա շեղումը 1 է. Կենտրոնացված և նորմալացված պատահական փոփոխականը կոչվում է ստանդարտ.

Ստանդարտ պատահական փոփոխական Զ, որը համապատասխանում է պատահական փոփոխականին Xհայտնաբերվում է բանաձևով.

(1.24)

1.2.5. Այլ թվային բնութագրեր

Դիսկրետ SV ռեժիմ Xսահմանվում է որպես այդպիսի հնարավոր արժեք x մ, ինչի համար

Շարունակական SV նորաձեւությունXկոչվում է իրական թիվ Մ 0 (X), սահմանվում է որպես առավելագույն հավանականության խտության բաշխման կետ զ(x).

Այսպիսով, նորաձեւության Ս.Վ Xդրա ամենահավանական արժեքն է, եթե այդպիսի արժեքը եզակի է: Ռեժիմը կարող է գոյություն չունենալ, ունենալ մեկ արժեք (միամոդալ բաշխում) կամ ունենալ բազմաթիվ արժեքներ (բազմամոդալ բաշխում):

Շարունակական SV-ի մեդիանXկոչվում է իրական թիվ Մ Դ (X), պայմանը բավարարող

Քանի որ այս հավասարումը կարող է ունենալ բազմաթիվ արմատներ, միջինը որոշվում է, ընդհանուր առմամբ, երկիմաստորեն:

Մեկնարկային պահըմ-րդ կարգի Ս.ՎX (եթե այն գոյություն ունի) կոչվում է իրական թիվ մ, որոշվում է բանաձևով

(1.27)

Մթ կարգի կենտրոնական պահը ՍՎX(եթե այն գոյություն ունի) կոչվում է թիվ մ, որոշվում է բանաձևով

(1.28)

ՍՎ-ի ակնկալիք Xնրա առաջին սկզբնական պահն է, իսկ ցրվածությունը նրա երկրորդ կենտրոնական պահն է:

Բարձրագույն կարգերի պահերից առանձնահատուկ նշանակություն ունեն 3-րդ և 4-րդ կարգերի կենտրոնական պահերը։

Անհամաչափության գործակիցը («թեքություն») A(X) կոչվում է քանակ

Կուրտոզի («սրության») գործակիցը E(X) ՆԵXկոչվում է քանակ

1.3. Դիսկրետ պատահական փոփոխականների բաշխման որոշ օրենքներ

1.3.1. Երկրաչափական բաշխում

Դիսկրետ ՍՎ Xունի երկրաչափական բաշխում, եթե դրա հնարավոր արժեքներն են 0, 1, 2,…, մ, ... համապատասխանում են բանաձևով հաշվարկված հավանականություններին

որտեղ 0< էջ< 1,ք= 1 –էջ.

Գործնականում երկրաչափական բաշխումը տեղի է ունենում, երբ մի շարք անկախ փորձեր են արվում որոշակի արդյունքի հասնելու համար։ Աև իրադարձության հավանականությունը Աամեն փորձի մեջ Պ(Ա) =Պ. ՆԵ X- անօգուտ փորձերի քանակը (մինչև առաջին փորձը, որում հայտնվում է իրադարձությունը Ա), ունի երկրաչափական բաշխում բաշխման շարքով.

և թվային բնութագրերը.

(1.30)

1.3.2. Հիպերերկրաչափական բաշխում

Դիսկրետ ՍՎ Xհնարավոր արժեքներով 0, 1,…, մ, …,Մունի հիպերերկրաչափական բաշխում պարամետրերով Ն,Մ,n, Եթե

(1.31)

Որտեղ Մ≤Ն,մ ≤n,n≤Ն,մ,n,Ն,Մ- ամբողջ թվեր.

Հիպերերկրաչափական բաշխումը տեղի է ունենում հետևյալ դեպքերում Նառարկաներ, որոնցից Մունեն որոշակի հատկանիշ. Առկաներից Նօբյեկտները ընտրվում են պատահականության սկզբունքով nառարկաներ.

ՆԵ X – Ընտրվածների մեջ նշված հատկանիշ ունեցող օբյեկտների թիվը բաշխվում է ըստ հիպերերկրաչափական օրենքի:

Հիպերերկրաչափական բաշխումն օգտագործվում է, մասնավորապես, արտադրանքի որակի վերահսկման հետ կապված խնդիրներ լուծելիս։

Հիպերերկրաչափական բաշխում ունեցող պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է.

(1.32)

Պատահական փոփոխականի և նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությունը կոչվում է շեղում կամ կենտրոնացված պատահական փոփոխական:

Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի բաշխման շարքն ունի հետևյալ ձևը.

Հատկություններկենտրոնացված պատահական փոփոխական՝

1. Շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքը 0 է:

2. Պատահական փոփոխականի շեղման շեղում Xիր մաթեմատիկական ակնկալիքից հավասար է ինքնին պատահական X փոփոխականի շեղմանը.

Այլ կերպ ասած, պատահական փոփոխականի շեղումը և նրա շեղման շեղումը հավասար են։

4.2. Եթե ​​շեղում X M(X)բաժանել ստանդարտ շեղումով  (X), ապա մենք ստանում ենք առանց հարթության կենտրոնացված պատահական փոփոխական, որը կոչվում է ստանդարտ (նորմալացված) պատահական փոփոխական:

Հատկություններստանդարտ պատահական փոփոխական.

Ստանդարտ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը զրո է. Մ(Զ) =0.

Ստանդարտ պատահական փոփոխականի շեղումը 1 է: Դ(Զ) =1.

ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

100 տոմսի վիճակախաղում խաղարկվում է երկու բան, որոնց արժեքը կազմում է 210 և 60 ԱՄՆ դոլար։ Կազմել օրենք շահումների բաշխման մասին այն անձի համար, ով ունի՝ ա) 1 տոմս, բ) 2 տոմս. Գտեք թվային բնութագրերը:

Երկու հրաձիգ մեկ անգամ կրակում են թիրախի վրա. Պատահական արժեք X– առաջին կրակոցի մեկ հարվածում վաստակած միավորների քանակը – ունի բաշխման օրենք.

Զ– երկու հրաձիգների վաստակած միավորների գումարը: Որոշեք թվային բնութագրերը:

Երկու հրաձիգ կրակում են իրենց թիրախի վրա՝ մեկը մյուսից անկախ կրակելով։ Առաջին կրակողի համար թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,7 է, երկրորդինը՝ 0,8։ Պատահական արժեք X 1 - առաջին կրակողի հարվածների քանակը, X 2 - երկրորդ հրաձիգի հարվածների քանակը: Գտեք բաշխման օրենքը. ա) հարվածների ընդհանուր թիվը. բ) պատահական փոփոխական Զ=3X 1  2X 2 . Որոշեք հարվածների ընդհանուր քանակի թվային բնութագրերը: Ստուգեք մաթեմատիկական ակնկալիքի և դիսպերսիայի հատկությունների կատարումը. Մ(3 X  2 Յ)=3 Մ(X)  2 Մ(Յ), Դ(3 X  2 Յ)=9 Դ(X)+4 Դ(Յ).

Պատահական արժեք X- ընկերության եկամուտը - ունի բաշխման օրենք.

Գտեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը Զ- ընկերության շահույթը. Որոշեք դրա թվային բնութագրերը:

Պատահական փոփոխականներ XԵվ Uանկախ և ունեն նույն բաշխման օրենքը.

Արդյո՞ք պատահական փոփոխականներն ունեն բաշխման նույն օրենքները: XԵվ X + U ?

Ապացուցեք, որ ստանդարտ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է զրոյի, իսկ շեղումը հավասար է 1-ի:

ունի 1-ի հավասար շեղում և 0-ի մաթեմատիկական ակնկալիք:

Նորմալացված պատահական փոփոխական V-ը տվյալ X պատահական փոփոխականի հարաբերակցությունն է նրա ստանդարտ շեղմանը σ

Ստանդարտ շեղումշեղման քառակուսի արմատն է

Նորմալացված պատահական V փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը արտահայտվում են X-ի բնութագրերի միջոցով հետևյալ կերպ.

MV= M(X)σ=1v, DV= 1,

որտեղ v-ն սկզբնական X պատահական փոփոխականի փոփոխության գործակիցն է:

F V (x) բաշխման ֆունկցիայի և f V (x) բաշխման խտության համար ունենք.

F V (x) = F(σx), f V (x) = σf(σx),

Որտեղ F(x)– սկզբնական պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա X, Ա f(x)- դրա հավանականության խտությունը.

Հարաբերակցության գործակից.

Հարաբերակցության գործակիցերկու պատահական փոփոխականների փոփոխությունների փոխադարձ ստոխաստիկ ազդեցության բնույթի ցուցիչ է։ Հարաբերակցության գործակիցը կարող է վերցնել արժեքներ -1-ից մինչև +1: Եթե ​​բացարձակ արժեքը մոտ է 1-ին, ապա դա նշանակում է ուժեղ կապի առկայություն, իսկ եթե մոտ է 0-ին, ապա կապը բացակայում է կամ զգալիորեն ոչ գծային է: Երբ հարաբերակցության գործակիցը մոդուլով հավասար է մեկին, մենք խոսում ենք ֆունկցիոնալ հարաբերությունների մասին (մասնավորապես՝ գծային կախվածության), այսինքն՝ երկու մեծությունների փոփոխությունները կարող են նկարագրվել գծային ֆունկցիայով։

Գործընթացը կոչվում է ստոխաստիկ, եթե այն նկարագրված է պատահական փոփոխականներով, որոնց արժեքը փոխվում է ժամանակի ընթացքում։

Պիրսոնի հարաբերակցության գործակիցը.

Մետրային մեծությունների համար օգտագործվում է Պիրսոնի հարաբերակցության գործակիցը, որի ճշգրիտ բանաձևը ստացվել է Ֆրենսիս Համիլթոնի կողմից։ Թող X և Y երկու պատահական փոփոխականներ լինեն, որոնք սահմանված են հավանականության նույն տարածության վրա: Այնուհետև դրանց հարաբերակցության գործակիցը տրվում է բանաձևով.

Չեբիշևի անհավասարությունները.

Մարկովի անհավասարությունը.

Մարկովի անհավասարությունըհավանականությունների տեսության մեջ տալիս է հավանականության գնահատում, որ պատահական փոփոխականը կգերազանցի հաստատուն դրական հաստատունը բացարձակ արժեքով՝ իր մաթեմատիկական ակնկալիքով: Ստացված գնահատականը սովորաբար բավականին կոպիտ է: Այնուամենայնիվ, դա թույլ է տալիս որոշակի պատկերացում կազմել բաշխման մասին, երբ վերջինս հստակորեն հայտնի չէ:

Թող պատահական փոփոխականը սահմանվի հավանականության տարածության վրա, և դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը վերջավոր է: Հետո

,

Որտեղ ա > 0.

Չեբիշև-Բիենիմե անհավասարություն.

Եթե ​​Է< ∞ (E – математическое ожидание), то для любого , справедливо

Մեծ թվերի օրենքը.

Մեծ թվերի օրենքընշում է, որ ֆիքսված բաշխումից բավական մեծ վերջավոր նմուշի էմպիրիկ միջինը (թվաբանական միջինը) մոտ է այդ բաշխման տեսական միջինին (մաթեմատիկական ակնկալիքին): Կախված կոնվերգենցիայի տեսակից՝ տարբերակում են մեծ թվերի թույլ օրենքը, երբ տեղի է ունենում հավանականության կոնվերգենցիա, և մեծ թվերի ուժեղ օրենքը, երբ կոնվերգենցիան տեղի է ունենում գրեթե ամենուր։

Միշտ կլինեն մի շարք փորձարկումներ, որոնց դեպքում, նախապես տրված ցանկացած հավանականության դեպքում, ինչ-որ իրադարձության առաջացման հաճախականությունը կտարբերվի այնքան քիչ, որքան ցանկալի է դրա հավանականությունից: Մեծ թվերի օրենքի ընդհանուր իմաստն այն է, որ մեծ թվով պատահական գործոնների համակցված գործողությունը հանգեցնում է մի արդյունքի, որը գրեթե անկախ է պատահականությունից:

Մեծ թվերի թույլ օրենքը.

Այնուհետև Sn P M(X):

Մեծ թվերի ուժեղացված օրենքը.

Ապա Sn→M(X) գրեթե որոշակի է։

Ի լրումն դիրքի բնութագրիչների - պատահական փոփոխականի միջին, բնորոշ արժեքներ, օգտագործվում են մի շարք բնութագրեր, որոնցից յուրաքանչյուրը նկարագրում է բաշխման այս կամ այն ​​հատկությունը: Որպես այդպիսի բնութագրիչներ ամենից հաճախ օգտագործվում են այսպես կոչված պահերը։

Մոմենտ հասկացությունը լայնորեն կիրառվում է մեխանիկայի մեջ՝ նկարագրելու զանգվածների բաշխումը (ստատիկ մոմենտներ, իներցիայի պահեր և այլն)։ Ճիշտ նույն տեխնիկան օգտագործվում է հավանականության տեսության մեջ՝ պատահական փոփոխականի բաշխման հիմնական հատկությունները նկարագրելու համար։ Ամենից հաճախ գործնականում օգտագործվում են երկու տեսակի պահեր՝ սկզբնական և կենտրոնական:

Անընդհատ պատահական փոփոխականի րդ կարգի սկզբնական պահը ձևի գումարն է.

. (5.7.1)

Ակնհայտ է, որ այս սահմանումը համընկնում է մեխանիկայի s կարգի սկզբնական պահի սահմանմանը, եթե զանգվածները կենտրոնացված են աբսցիսային առանցքի վրա կետերում։

Շարունակական պատահական X փոփոխականի համար առաջին կարգի պահը կոչվում է ինտեգրալ

. (5.7.2)

Հեշտ է տեսնել, որ նախորդ n°-ում ներկայացված դիրքի հիմնական բնութագիրը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը, ոչ այլ ինչ է, քան պատահական փոփոխականի առաջին սկզբնական պահը։

Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանը, կարող եք միավորել երկու բանաձևեր (5.7.1) և (5.7.2) մեկի մեջ: Իրոք, (5.7.1) և (5.7.2) բանաձևերը կառուցվածքով ամբողջովին նման են (5.6.1) և (5.6.2) բանաձևերին, այն տարբերությամբ, որ և-ի փոխարեն համապատասխանաբար կան և . Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել րդ կարգի սկզբնական պահի ընդհանուր սահմանումը, որը վավեր է ինչպես ընդհատվող, այնպես էլ շարունակական մեծությունների համար.

, (5.7.3)

դրանք. Պատահական փոփոխականի րդ կարգի սկզբնական պահը այս պատահական փոփոխականի րդ աստիճանի մաթեմատիկական ակնկալիքն է։

Նախքան կենտրոնական պահը սահմանելը, մենք ներկայացնում ենք «կենտրոնացված պատահական փոփոխականի» նոր հայեցակարգ:

Թող լինի պատահական փոփոխական մաթեմատիկական ակնկալիքով: Արժեքին համապատասխան կենտրոնացված պատահական փոփոխականը պատահական փոփոխականի շեղումն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից.

Ապագայում մենք կհամաձայնվենք ամենուր նշենք տվյալ պատահական փոփոխականին համապատասխանող կենտրոնացված պատահական փոփոխականը նույն տառով, որի վերևում գտնվող նշանն է:

Հեշտ է ստուգել, ​​որ կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է զրոյի: Իսկապես, ընդհատվող քանակի համար

նմանապես շարունակական քանակի համար:

Պատահական փոփոխականի կենտրոնացումը ակնհայտորեն համարժեք է կոորդինատների սկզբնաղբյուրը միջին, «կենտրոնական» կետ տեղափոխելուն, որի աբսցիսան հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մոմենտները կոչվում են կենտրոնական պահեր։ Դրանք նման են մեխանիկայի ծանրության կենտրոնի պահերին:

Այսպիսով, պատահական փոփոխականի s կարգի կենտրոնական պահը համապատասխան կենտրոնացված պատահական փոփոխականի երորդ հզորության մաթեմատիկական ակնկալիքն է.

, (5.7.6)

իսկ շարունակականի համար՝ ինտեգրալով

. (5.7.8)

Հետևյալ դեպքերում, երբ կասկած չկա, թե որ պատահական փոփոխականին է պատկանում տվյալ պահը, հակիրճության համար մենք կգրենք պարզապես և փոխարենը և .

Ակնհայտ է, որ ցանկացած պատահական փոփոխականի համար առաջին կարգի կենտրոնական պահը հավասար է զրոյի.

, (5.7.9)

քանի որ կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը միշտ հավասար է զրոյի:

Բերենք հարաբերություններ, որոնք կապում են տարբեր կարգերի կենտրոնական և սկզբնական պահերը։ Եզրակացությունը կիրականացնենք միայն ընդհատվող քանակների համար. Հեշտ է ստուգել, ​​որ ճիշտ նույն հարաբերությունները վավեր են շարունակական մեծությունների համար, եթե վերջավոր գումարները փոխարինենք ինտեգրալներով, իսկ հավանականությունները՝ հավանականության տարրերով:

Դիտարկենք երկրորդ կենտրոնական կետը.

Նմանապես երրորդ կենտրոնական պահի համար մենք ստանում ենք.

Արտահայտություններ և այլն: կարելի է ձեռք բերել նմանատիպ եղանակով:

Այսպիսով, ցանկացած պատահական փոփոխականի կենտրոնական պահերի համար բանաձևերը վավեր են.

(5.7.10)

Ընդհանուր առմամբ, պահերը կարելի է համարել ոչ միայն ծագման (սկզբնական պահեր) կամ մաթեմատիկական ակնկալիքների (կենտրոնական պահեր), այլ նաև կամայական կետի հարաբերական.

. (5.7.11)

Այնուամենայնիվ, կենտրոնական պահերը առավելություն ունեն բոլոր մյուսների նկատմամբ. առաջին կենտրոնական պահը, ինչպես տեսանք, միշտ հավասար է զրոյի, իսկ հաջորդը, երկրորդ կենտրոնական պահը, այս հղման համակարգով ունի նվազագույն արժեք: Եկեք ապացուցենք դա։ At-ում անդադար պատահական փոփոխականի համար (5.7.11) բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

. (5.7.12)

Փոխակերպենք այս արտահայտությունը.

Ակնհայտ է, որ այս արժեքը հասնում է իր նվազագույնին, երբ, այսինքն. երբ պահը վերցված է կետի համեմատ:

Բոլոր պահերից առաջին սկզբնական պահը (մաթեմատիկական ակնկալիք) և երկրորդ կենտրոնական պահը առավել հաճախ օգտագործվում են որպես պատահական փոփոխականի բնութագրիչներ:

Երկրորդ կենտրոնական պահը կոչվում է պատահական փոփոխականի շեղում: Հաշվի առնելով այս հատկանիշի ծայրահեղ կարևորությունը, ի թիվս այլ կետերի, մենք ներկայացնում ենք դրա հատուկ նշում.

Կենտրոնական պահի սահմանման համաձայն

, (5.7.13)

դրանք. X պատահական փոփոխականի շեղումը համապատասխան կենտրոնացված փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքն է:

(5.7.13) արտահայտության մեջ մեծությունը փոխարինելով իր արտահայտությամբ՝ ունենք նաև.

. (5.7.14)

Տարբերությունը ուղղակիորեն հաշվարկելու համար օգտագործեք հետևյալ բանաձևերը.

, (5.7.15)

(5.7.16)

Համապատասխանաբար ընդհատվող և շարունակական մեծությունների համար:

Պատահական փոփոխականի ցրվածությունը դիսպերսիայի հատկանիշ է, պատահական փոփոխականի արժեքների ցրումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ։ «Ցրվածություն» բառն ինքնին նշանակում է «ցրում»:

Եթե ​​դիմենք բաշխման մեխանիկական մեկնաբանությանը, ապա դիսպերսիան ոչ այլ ինչ է, քան տվյալ զանգվածի բաշխման իներցիայի պահը ծանրության կենտրոնի նկատմամբ (մաթեմատիկական ակնկալիք):

Պատահական փոփոխականի շեղումը ունի պատահական փոփոխականի քառակուսու չափը. Դիսպերսիան տեսողականորեն բնութագրելու համար ավելի հարմար է օգտագործել մի մեծություն, որի չափը համընկնում է պատահական փոփոխականի չափի հետ։ Դա անելու համար վերցրեք շեղման քառակուսի արմատը: Ստացված արժեքը կոչվում է պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղում (այլապես «ստանդարտ»): Ստանդարտ շեղումը կնշենք.

, (5.7.17)

Նշումները պարզեցնելու համար մենք հաճախ կօգտագործենք ստանդարտ շեղման և ցրման հապավումները. և . Այն դեպքում, երբ կասկած չկա, թե պատահական որ փոփոխականին են վերաբերում այս բնութագրերը, մենք երբեմն բաց կթողնենք x y նշանը և գրենք պարզապես և ։ «Ստանդարտ շեղում» բառերը երբեմն կրճատվում են, որպեսզի փոխարինվեն r.s.o տառերով:

Գործնականում հաճախ օգտագործվում է բանաձև, որն արտահայտում է պատահական փոփոխականի ցրվածությունը նրա երկրորդ սկզբնական պահի միջոցով (բանաձևերի երկրորդը (5.7.10)): Նոր նշումով այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Սպասումը և շեղումը (կամ ստանդարտ շեղումը) պատահական փոփոխականի առավել հաճախ օգտագործվող բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են բաշխման ամենակարևոր առանձնահատկությունները՝ նրա դիրքը և ցրվածության աստիճանը։ Բաշխման ավելի մանրամասն նկարագրության համար օգտագործվում են ավելի բարձր պատվերների պահեր:

Երրորդ կենտրոնական կետը ծառայում է բաշխման անհամաչափությունը (կամ «թեքությունը») բնութագրելու համար: Եթե ​​բաշխումը սիմետրիկ է մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ (կամ, մեխանիկական մեկնաբանությամբ, զանգվածը սիմետրիկ է բաշխվում ծանրության կենտրոնի նկատմամբ), ապա բոլոր կենտ կարգի պահերը (եթե դրանք կան) հավասար են զրոյի։ Իսկապես, ընդհանուր առմամբ

երբ բաշխման օրենքը օրենքի նկատմամբ սիմետրիկ է և կենտ, յուրաքանչյուր դրական անդամ համապատասխանում է բացարձակ արժեքով հավասար բացասական անդամի, այնպես որ ամբողջ գումարը հավասար է զրոյի: Նույնն ակնհայտորեն ճիշտ է ինտեգրալի դեպքում

,

որը հավասար է զրոյի որպես ինտեգրալ կենտ ֆունկցիայի սիմետրիկ սահմաններում։

Բնական է, հետևաբար, որպես բաշխման անհամաչափության հատկանիշ ընտրել տարօրինակ պահերից մեկը։ Դրանցից ամենապարզը երրորդ կենտրոնական պահն է: Այն ունի պատահական փոփոխականի խորանարդի չափս. անչափ բնութագիր ստանալու համար երրորդ մոմենտը բաժանվում է ստանդարտ շեղման խորանարդի վրա։ Ստացված արժեքը կոչվում է «անհամաչափության գործակից» կամ պարզապես «ասիմետրիա». մենք դա կնշենք.

Նկ. 5.7.1-ը ցույց է տալիս երկու ասիմետրիկ բաշխում. դրանցից մեկը (կոր I) ունի դրական ասիմետրիա (); մյուսը (կորը II) բացասական է ():

Չորրորդ կենտրոնական կետը ծառայում է այսպես կոչված «սառը» բնութագրմանը, այսինքն. գագաթնակետային կամ հարթ գագաթներով բաշխում: Բաշխման այս հատկությունները նկարագրված են՝ օգտագործելով այսպես կոչված kurtosis: Պատահական փոփոխականի կարճությունը քանակն է

3 թիվը հանվում է հարաբերակցությունից, քանի որ բնական բաշխման շատ կարևոր և բնության մեջ տարածված օրենքի համար (որին մենք ավելի ուշ մանրամասն կծանոթանանք): Այսպիսով, նորմալ բաշխման դեպքում կուրտոզը զրո է. կորերը, որոնք ավելի բարձր են, համեմատած նորմալ կորի հետ, ունեն դրական կուրտոզ; Կորերը, որոնք ավելի հարթ գագաթներով են, ունեն բացասական կորտոզ:

Նկ. 5.7.2-ը ցույց է տալիս՝ նորմալ բաշխում (կոր I), բաշխում դրական կուրտոզով (կոր II) և բաշխում բացասական կուրտոզով (կոր III):

Բացի վերը քննարկված սկզբնական և կենտրոնական պահերից, գործնականում երբեմն օգտագործվում են այսպես կոչված բացարձակ պահերը (սկզբնական և կենտրոնական), որոնք որոշվում են բանաձևերով.

Ակնհայտ է, որ նույնիսկ պատվերների բացարձակ պահերը համընկնում են սովորական պահերի հետ։

Բացարձակ պահերից առավել հաճախ օգտագործվում է առաջին բացարձակ կենտրոնական պահը։

, (5.7.21)

կոչվում է միջին թվաբանական շեղում: Դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հետ մեկտեղ, միջին թվաբանական շեղումը երբեմն օգտագործվում է որպես դիսպերսիայի հատկանիշ։

Սպասումը, եղանակը, մեդիանը, սկզբնական և կենտրոնական պահերը և, մասնավորապես, ցրվածությունը, ստանդարտ շեղումը, թեքությունը և կուրտոզը պատահական փոփոխականների ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Շատ գործնական խնդիրներում պատահական փոփոխականի ամբողջական բնութագիրը՝ բաշխման օրենքը, կա՛մ անհրաժեշտ չէ, կա՛մ հնարավոր չէ ստանալ: Այս դեպքերում մարդը սահմանափակվում է պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով օգնությունը: Թվային բնութագրեր, որոնցից յուրաքանչյուրն արտահայտում է բաշխման որոշ բնորոշ հատկություն։

Շատ հաճախ թվային բնութագրերը օգտագործվում են մեկ բաշխումը մյուսով մոտավորապես փոխարինելու համար, և սովորաբար նրանք փորձում են այդ փոխարինումը կատարել այնպես, որ մի քանի կարևոր կետեր մնան անփոփոխ:

Օրինակ 1. Կատարվում է մեկ փորձ, որի արդյունքում կարող է հայտնվել կամ չհայտնվել մի իրադարձություն, որի հավանականությունը հավասար է . Համարվում է պատահական փոփոխական՝ իրադարձության (իրադարձության բնորոշ պատահական փոփոխական) առաջացման թիվը։ Որոշեք դրա բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, դիսպերսիա, ստանդարտ շեղում:

Լուծում. Արժեքի բաշխման շարքը ունի ձև.

որտեղ է հավանականությունը, որ դեպքը տեղի չունենա:

Օգտագործելով բանաձևը (5.6.1) մենք գտնում ենք արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Արժեքի դիսպերսիան որոշվում է բանաձևով (5.7.15).

(Ընթերցողին առաջարկում ենք նույն արդյունքը ստանալ՝ ցրվածությունն արտահայտելով երկրորդ սկզբնական պահով):

Օրինակ 2. Երեք անկախ կրակոց է արձակվում թիրախի ուղղությամբ; Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը 0,4 է։ պատահական փոփոխական – հարվածների քանակը: Որոշեք մեծության բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, ցրվածություն, ռ.ս.դ., անհամաչափություն։

Լուծում. Արժեքների բաշխման շարքն ունի հետևյալ ձևը.

Մենք հաշվարկում ենք քանակի թվային բնութագրերը.

Նկատի ունեցեք, որ նույն բնութագրերը կարելի է շատ ավելի պարզ հաշվարկել՝ օգտագործելով ֆունկցիաների թվային բնութագրերի թեորեմները (տե՛ս Գլուխ 10):