Կետում գտնվող ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Շոշափող հավասարում. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Շրջանակին շոշափողի սահմանում Մեկ կետից գծված շոշափողներ

Հոդվածում մանրամասն բացատրվում են սահմանումները, ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը՝ գրաֆիկական նշումներով։ Շոշափող ուղիղի հավասարումը կդիտարկվի օրինակներով, կգտնվեն 2-րդ կարգի կորերի շոշափողի հավասարումները։

Սահմանում 1

y = k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը կոչվում է α անկյուն, որը չափվում է x առանցքի դրական ուղղությունից դեպի դրական ուղղությամբ y = k x + b ուղիղ:

Նկարում x ուղղությունը նշված է կանաչ սլաքով և կանաչ աղեղով, իսկ թեքության անկյունը՝ կարմիր աղեղով։ Կապույտ գիծը վերաբերում է ուղիղ գծին:

Սահմանում 2

y = k x + b ուղիղ գծի թեքությունը կոչվում է k թվային գործակից:

Անկյունային գործակիցը հավասար է ուղիղ գծի շոշափողին, այլ կերպ ասած k = t g α:

• Ուղիղ գծի թեքության անկյունը հավասար է 0-ի միայն այն դեպքում, եթե այն զուգահեռ է մոտ x-ի, իսկ թեքությունը հավասար է զրոյի, քանի որ զրոյի շոշափողը հավասար է 0-ի։ Սա նշանակում է, որ հավասարման ձևը կլինի y = b:
• Եթե ​​y = k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը սուր է, ապա 0 պայմանները բավարարված են.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, իսկ գրաֆիկի աճ կա:
• Եթե ​​α = π 2, ապա գծի գտնվելու վայրը ուղղահայաց է x-ին: Հավասարությունը նշվում է x = c-ով, իսկ c արժեքը իրական թիվ է:
• Եթե ​​y = k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը բութ է, ապա այն համապատասխանում է π 2 պայմաններին.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Սահմանում 3

Սեկանտը ուղիղ է, որն անցնում է f (x) ֆունկցիայի 2 կետերով։ Այլ կերպ ասած, սեկանտը ուղիղ գիծ է, որը գծվում է տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած երկու կետերի միջով:

Նկարից երևում է, որ A B-ն հատված է, իսկ f (x)-ը սև կոր է, α-ն կարմիր աղեղ է՝ ցույց տալով հատվածի թեքության անկյունը։

Երբ ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը հավասար է թեքության անկյան շոշափմանը, պարզ է, որ A B C ուղղանկյուն եռանկյան շոշափողը կարելի է գտնել հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությամբ:

Սահմանում 4

Ձևի հատվածը գտնելու բանաձև ենք ստանում.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, որտեղ A և B կետերի աբսցիսաները x A, x B և f (x A), f (x) արժեքներն են: Բ) այս կետերի արժեքային ֆունկցիաներն են:

Ակնհայտորեն, սեկանտի անկյունային գործակիցը որոշվում է k = f (x B) - f (x A) x B - x A կամ k = f (x A) - f (x B) x A - x B հավասարության միջոցով: , և հավասարումը պետք է գրվի որպես y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) կամ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Սեկանտը գրաֆիկը տեսողականորեն բաժանում է 3 մասի. A կետից ձախ, A-ից B, B-ից աջ: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, որ կան երեք հատվածներ, որոնք համարվում են համընկնող, այսինքն՝ դրանք դրված են օգտագործելով a. նմանատիպ հավասարում.

Ըստ սահմանման պարզ է, որ ուղիղ գիծն ու դրա հատվածն այս դեպքում համընկնում են։

Սեկանտը կարող է մի քանի անգամ հատել տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Եթե ​​սեկանտի համար կա y = 0 ձևի հավասարում, ապա սինուսոիդի հետ հատման կետերի թիվը անսահման է։

Սահմանում 5

x 0 կետում f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող; f (x 0) ուղիղ գիծ է, որն անցնում է տվյալ կետով x 0; f (x 0), հատվածի առկայությամբ, որն ունի x 0-ին մոտ շատ x արժեքներ:

Օրինակ 1

Եկեք ավելի սերտ նայենք ստորև բերված օրինակին: Հետո պարզ է, որ y = x + 1 ֆունկցիայով սահմանված ուղիղը համարվում է y = 2 x-ին շոշափող կոորդինատներով կետում (1; 2): Պարզության համար անհրաժեշտ է դիտարկել (1; 2) մոտ արժեքներով գրաֆիկները: y = 2 x ֆունկցիան ցուցադրվում է սևով, կապույտ գիծը շոշափող գիծն է, իսկ կարմիր կետը՝ հատման կետը։

Ակնհայտ է, որ y = 2 x-ը միաձուլվում է y = x + 1 տողի հետ:

Շոշափողը որոշելու համար պետք է դիտարկել A B շոշափողի վարքը, քանի որ B կետը անվերջ մոտենում է A կետին: Պարզության համար ներկայացնում ենք գծանկար:

Կապույտ գծով նշված A B հատվածը հակված է դեպի բուն շոշափողի դիրքը, և α-ի թեքության անկյունը կսկսի ձգվել դեպի α x շոշափողի թեքության անկյունը:

Սահմանում 6

A կետում y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը համարվում է A B հատվածի սահմանային դիրքը, քանի որ B-ն ձգտում է դեպի A, այսինքն՝ B → A:

Այժմ անցնենք մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը դիտարկելուն:

Եկեք անցնենք f (x) ֆունկցիայի A B հատվածը դիտարկելուն, որտեղ A և B կոորդինատներով x 0, f (x 0) և x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), իսկ ∆ x-ն է: նշվում է որպես փաստարկի ավելացում: Այժմ ֆունկցիան կունենա ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Պարզության համար բերենք գծագրի օրինակ։

Դիտարկենք ստացված ուղղանկյուն եռանկյունը A B C: Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք շոշափողի սահմանումը, այսինքն՝ ստանում ենք ∆ y ∆ x = t g α հարաբերությունը: Շոշափողի սահմանումից հետևում է, որ lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Համաձայն մի կետում ածանցյալի կանոնի՝ ունենք, որ f (x) ածանցյալը x 0 կետում կոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանագիծ արգումենտի աճին, որտեղ ∆ x → 0. , ապա այն նշում ենք f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x։

Հետևում է, որ f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, որտեղ k x-ը նշանակվում է որպես շոշափողի թեքություն:

Այսինքն՝ մենք գտնում ենք, որ f' (x) կարող է գոյություն ունենալ x 0 կետում, և նման է ֆունկցիայի տրված գրաֆիկին շոշափողին այն շոշափման կետում, որը հավասար է x 0-ին, f 0 (x 0), որտեղ արժեքը կետում շոշափողի թեքությունը հավասար է x 0 կետի ածանցյալին: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ k x = f "(x 0) .

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ այն տալիս է նույն կետում գրաֆիկին շոշափողի գոյության հայեցակարգը:

Հարթության վրա ցանկացած ուղիղ գծի հավասարումը գրելու համար անհրաժեշտ է ունենալ անկյունային գործակից այն կետի հետ, որով այն անցնում է։ Դրա նշումը խաչմերուկում ընդունվում է x 0:

y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող հավասարումը x 0, f 0 (x 0) կետում ստանում է y = f «(x 0) x - x 0 + f (x 0) ձևը։

Սա նշանակում է, որ f "(x 0) ածանցյալի վերջնական արժեքը կարող է որոշել շոշափողի դիրքը, այսինքն՝ ուղղահայաց, պայմանով, որ lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ և lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ կամ ընդհանրապես բացակայություն lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) պայմանով:

Շոշափողի գտնվելու վայրը կախված է նրա անկյունային գործակից k x = f "(x 0): Երբ զուգահեռ ենք o x առանցքին, մենք ստանում ենք, որ k k = 0, երբ զուգահեռ o y - k x = ∞, և x = x 0 շոշափող հավասարումը մեծանում է k x > 0-ով, նվազում է որպես k x< 0 .

Օրինակ 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 (1; 3) կոորդինատներով կետում y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը և որոշեք թեքության անկյունը:

Լուծում

Պայմանով ունենք, որ ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական թվերի համար։ Մենք գտնում ենք, որ (1; 3) պայմանով սահմանված կոորդինատներով կետը շոշափման կետ է, ապա x 0 = - 1, f (x 0) = - 3:

Անհրաժեշտ է ածանցյալը գտնել 1 արժեք ունեցող կետում: Մենք դա հասկանում ենք

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Շոշափման կետում f' (x) արժեքը շոշափողի թեքությունն է, որը հավասար է թեքության շոշափողին։

Այնուհետև k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Հետևում է, որ α x = a r c t g 3 3 = π 6

Պատասխան.շոշափող հավասարումը ձև է ստանում

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Պարզության համար մենք օրինակ ենք բերում գրաֆիկական նկարազարդման մեջ:

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար օգտագործվում է սև գույնը, կապույտը շոշափողի պատկերն է, իսկ կարմիր կետը շոշափման կետն է։ Աջ կողմի նկարը ցույց է տալիս ընդլայնված տեսք:

Օրինակ 3

Որոշե՛ք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությունը
y = 3 · x - 1 5 + 1 կոորդինատներով կետում (1 ; 1): Գրի՛ր հավասարում և որոշի՛ր թեքության անկյունը:

Լուծում

Պայմանով ունենք, որ տվյալ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը համարվում է բոլոր իրական թվերի բազմությունը։

Անցնենք ածանցյալը գտնելուն

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Եթե ​​x 0 = 1, ապա f' (x) անորոշ է, բայց սահմանները գրվում են որպես lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ և lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ինչը նշանակում է. (1; 1) կետում ուղղահայաց շոշափողի առկայությունը:

Պատասխան.հավասարումը կունենա x = 1 ձև, որտեղ թեքության անկյունը հավասար կլինի π 2-ի:

Պարզության համար եկեք պատկերենք այն գրաֆիկորեն:

Օրինակ 4

Գտե՛ք y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը, որտեղ

1. Չկա շոշափող;
2. Շոշափողը զուգահեռ է x-ին;
3. Շոշափողը զուգահեռ է y = 8 5 x + 4 ուղղին:

Լուծում

Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել սահմանման շրջանակին: Պայմանով ունենք, որ ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական թվերի բազմության վրա։ Մենք ընդլայնում ենք մոդուլը և լուծում ենք համակարգը x ∈ - ∞ ընդմիջումներով; 2 և [-2; + ∞): Մենք դա հասկանում ենք

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [-2; + ∞)

Անհրաժեշտ է տարբերակել ֆունկցիան. Մենք դա ունենք

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [-2; + ∞)

Երբ x = − 2, ապա ածանցյալը գոյություն չունի, քանի որ միակողմանի սահմաններն այդ կետում հավասար չեն.

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը x = - 2 կետում, որտեղ էլ ստանում ենք դա

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, այսինքն, շոշափողը (-ի) կետում: - 2; - 2) գոյություն չի ունենա:
2. Շոշափողը զուգահեռ է x-ին, երբ թեքությունը զրոյական է: Այնուհետև k x = t g α x = f "(x 0): Այսինքն, անհրաժեշտ է գտնել այդպիսի x-ի արժեքները, երբ ֆունկցիայի ածանցյալը այն վերածում է զրոյի: Այսինքն, f'-ի արժեքները: (x) կլինեն շոշափման կետերը, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է x-ին:

Երբ x ∈ - ∞ ; - 2, ապա - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, իսկ x ∈ (- 2; + ∞) համար մենք ստանում ենք 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0:

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Հաշվարկել համապատասխան ֆունկցիայի արժեքները

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Հետեւաբար - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3-ը համարվում են ֆունկցիայի գրաֆիկի պահանջվող կետերը:

Դիտարկենք լուծման գրաֆիկական պատկերը:

Սև գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկն է, կարմիր կետերը՝ շոշափման կետերը։

1. Երբ ուղիղները զուգահեռ են, անկյունային գործակիցները հավասար են։ Այնուհետև անհրաժեշտ է ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա փնտրել կետեր, որտեղ թեքությունը հավասար կլինի 8 5 արժեքին: Դա անելու համար հարկավոր է լուծել y «(x) = 8 5 ձևի հավասարումը: Այնուհետև, եթե x ∈ - ∞; - 2, մենք ստանում ենք, որ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8: 5, և եթե x ∈ ( - 2 ; + ∞), ապա 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5:

Առաջին հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է: Եկեք դա գրենք

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Մեկ այլ հավասարում ունի երկու իրական արմատ, ուրեմն

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Եկեք անցնենք ֆունկցիայի արժեքները գտնելուն։ Մենք դա հասկանում ենք

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Արժեքներով միավորներ - 1; 4 15, 5; 8 3 այն կետերն են, որոնցում շոշափողները զուգահեռ են y = 8 5 x + 4 ուղղին:

Պատասխան.սև գիծ – ֆունկցիայի գրաֆիկ, կարմիր գիծ – y = 8 5 x + 4, կապույտ գիծ – շոշափողներ 1 կետերում; 4 15, 5; 8 3.

Տրված ֆունկցիաների համար կարող է լինել անսահման թվով շոշափողներ:

Օրինակ 5

Գրե՛ք y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ֆունկցիայի բոլոր հասանելի շոշափողների հավասարումները, որոնք գտնվում են y = - 2 x + 1 2 ուղիղ գծին ուղղահայաց։

Լուծում

Շոշափող հավասարումը կազմելու համար անհրաժեշտ է գտնել շոշափող կետի գործակիցը և կոորդինատները՝ ելնելով ուղիղների ուղղահայացության պայմանից։ Սահմանումը հետևյալն է՝ ուղիղ գծերին ուղղահայաց անկյունային գործակիցների արտադրյալը հավասար է - 1-ի, այսինքն՝ գրվում է k x · k ⊥ = - 1: Պայմանից ունենք, որ անկյունային գործակիցը գտնվում է ուղղին ուղղահայաց և հավասար է k ⊥ = - 2, ապա k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2:

Այժմ դուք պետք է գտնեք հպման կետերի կոորդինատները: Դուք պետք է գտնեք x, ապա դրա արժեքը տվյալ ֆունկցիայի համար: Նկատի ունեցեք, որ կետում ածանցյալի երկրաչափական իմաստից
x 0 մենք ստանում ենք, որ k x = y "(x 0): Այս հավասարությունից մենք գտնում ենք x-ի արժեքները շփման կետերի համար:

Մենք դա հասկանում ենք

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - մեղք 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 մեղք 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Այս եռանկյունաչափական հավասարումը կօգտագործվի շոշափող կետերի օրդինատները հաշվարկելու համար:

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk կամ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk կամ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk կամ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z-ն ամբողջ թվերի բազմություն է։

x շփման կետեր են գտնվել։ Այժմ դուք պետք է անցնեք y-ի արժեքների որոնմանը.

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - մեղք 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 կամ y 0 = 3 - 1 - մեղք 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 կամ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 կամ y 0 = - 4 5 + 1 3

Դրանից մենք ստանում ենք, որ 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 շոշափման կետերն են:

Պատասխան.անհրաժեշտ հավասարումները կգրվեն այսպես

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Զ

Տեսողական ներկայացման համար դիտարկեք ֆունկցիա և շոշափող կոորդինատային գծի վրա:

Նկարը ցույց է տալիս, որ ֆունկցիան գտնվում է [-10; 10 ], որտեղ սև գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկն է, կապույտ գծերը՝ շոշափողներ, որոնք գտնվում են y = - 2 x + 1 2 ձևի տրված ուղղին ուղղահայաց։ Կարմիր կետերը հպման կետեր են:

2-րդ կարգի կորերի կանոնական հավասարումները միարժեք ֆունկցիաներ չեն։ Նրանց համար շոշափող հավասարումները կազմվում են ըստ հայտնի սխեմաների:

Շոշափող շրջանագծին

Սահմանել շրջան, որի կենտրոնն է x c e n t e r կետում; y c e n t e r և R շառավիղը, կիրառեք x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 բանաձեւը:

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես երկու ֆունկցիաների միություն.

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Առաջին գործառույթը գտնվում է վերևում, իսկ երկրորդը՝ ներքևում, ինչպես ցույց է տրված նկարում։

Կազմել շրջանագծի հավասարումը x 0 կետում; y 0, որը գտնվում է վերին կամ ստորին կիսաշրջանում, դուք պետք է գտնեք y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r կամ y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ձևի գրաֆիկի հավասարումը: y c e n t e r նշված կետում:

Երբ x c e n t e r կետերում; y c e n t e r + R և x c e n t e r; y c e n t e r - R շոշափողները կարող են տրվել y = y c e n t e r + R և y = y c e n t e r - R հավասարումներով, և x c e n t e r + R կետերում; y c e n t e r եւ
x c e n t e r - R; y c e n t e r-ը զուգահեռ կլինի o y-ին, ապա մենք ստանում ենք x = x c e n t e r + R և x = x c e n t e r - R ձևի հավասարումներ:

Էլիպսի շոշափող

Երբ էլիպսը կենտրոն ունի x c e n t e r-ում; y c e n t e r a և b կիսաառանցքներով, ապա այն կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 հավասարումը:

Էլիպսը և շրջանագիծը կարելի է նշանակել երկու ֆունկցիաների համադրմամբ՝ վերին և ստորին կիսաէլիպսը: Հետո մենք ստանում ենք դա

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Եթե ​​շոշափողները գտնվում են էլիպսի գագաթներում, ապա դրանք զուգահեռ են x-ի կամ y-ի մոտ: Ստորև, պարզության համար, հաշվի առեք նկարը:

Օրինակ 6

Գրեք էլիպսի շոշափողի հավասարումը x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 այն կետերում, որոնց արժեքները հավասար են x = 2-ին:

Լուծում

Անհրաժեշտ է գտնել շոշափող կետերը, որոնք համապատասխանում են x = 2 արժեքին: Մենք փոխարինում ենք էլիպսի գոյություն ունեցող հավասարմանը և գտնում ենք դա

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Այնուհետև 2; 5 3 2 + 5 և 2; - 5 3 2 + 5-ը շոշափող կետերն են, որոնք պատկանում են վերին և ստորին կիսահյուսին:

Անցնենք y-ի նկատմամբ էլիպսի հավասարումը գտնելուն և լուծելուն։ Մենք դա հասկանում ենք

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Ակնհայտ է, որ վերին կիսաէլիպսը նշված է y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ձևի ֆունկցիայի միջոցով, իսկ ստորին կեսը y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2:

Եկեք կիրառենք ստանդարտ ալգորիթմ՝ մի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի համար հավասարում ստեղծելու համար: Գրենք, որ 2-րդ կետի առաջին շոշափողի հավասարումը. 5 3 2 + 5 նման կլինի

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Մենք գտնում ենք, որ կետում արժեք ունեցող երկրորդ շոշափողի հավասարումը
2 ; - 5 3 2 + 5 ձևը վերցնում է

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Գրաֆիկորեն, շոշափողները նշանակվում են հետևյալ կերպ.

Հիպերբոլին շոշափող

Երբ հիպերբոլան կենտրոն ունի x c e n t e r-ում; y c e n t e r եւ գագաթները x c e n t e r + α ; y c e n t e r եւ x c e n t e r - α ; y c e n t e r անհավասարությունը x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 տեղի է ունենում, եթե x c e n t e r գագաթներով; y c e n t e r + b and x c e n t e r; y c e n t e r - b , ապա նշվում է x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 անհավասարության միջոցով:

Հիպերբոլան կարող է ներկայացվել որպես ձևի երկու համակցված ֆունկցիա

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r կամ y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 - t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Առաջին դեպքում մենք ունենք, որ շոշափողները զուգահեռ են y-ին, իսկ երկրորդ դեպքում՝ x-ին:

Այստեղից հետևում է, որ հիպերբոլային շոշափողի հավասարումը գտնելու համար անհրաժեշտ է պարզել, թե որ ֆունկցիային է պատկանում շոշափման կետը։ Դա որոշելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել հավասարումների մեջ և ստուգել ինքնությունը:

Օրինակ 7

Գրի՛ր x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 հիպերբոլայի հիպերբոլային շոշափողի հավասարումը 7-րդ կետում; - 3 3 - 3 .

Լուծում

Հիպերբոլա գտնելու լուծման ռեկորդը անհրաժեշտ է փոխակերպել 2 ֆունկցիայի միջոցով։ Մենք դա հասկանում ենք

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 և y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Անհրաժեշտ է բացահայտել, թե որ ֆունկցիային է պատկանում 7 կոորդինատներով տվյալ կետը. - 3 3 - 3 .

Ակնհայտ է, որ առաջին ֆունկցիան ստուգելու համար անհրաժեշտ է y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ապա կետը չի պատկանում գրաֆիկին, քանի որ հավասարությունը չի պահպանվում:

Երկրորդ ֆունկցիայի համար ունենք, որ y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ինչը նշանակում է, որ կետը պատկանում է տրված գրաֆիկին։ Այստեղից դուք պետք է գտնեք լանջը:

Մենք դա հասկանում ենք

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Պատասխան.շոշափող հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Այն հստակ պատկերված է այսպես.

Պարաբոլային շոշափող

x 0, y (x 0) կետում y = a x 2 + b x + c կետում y = a x 2 + b x + c պարաբոլային շոշափողի համար հավասարում ստեղծելու համար դուք պետք է օգտագործեք ստանդարտ ալգորիթմ, այնուհետև հավասարումը կստանա y = y ձևը (x 0) x - x 0 + y ( x 0): Այսպիսի շոշափողը գագաթին զուգահեռ է x-ին:

Դուք պետք է սահմանեք x = a y 2 + b y + c պարաբոլը որպես երկու ֆունկցիաների միություն: Հետևաբար, մենք պետք է լուծենք y-ի հավասարումը: Մենք դա հասկանում ենք

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Գրաֆիկորեն պատկերված է որպես.

Պարզելու համար, թե x 0, y (x 0) կետը պատկանում է ֆունկցիայի, թեթևորեն շարժվեք ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն: Նման շոշափողը զուգահեռ կլինի o y-ին հարաբերական պարաբոլային:

Օրինակ 8

Գրե՛ք x - 2 y 2 - 5 y + 3 գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը, երբ ունենք 150 ° շոշափող անկյուն։

Լուծում

Մենք սկսում ենք լուծումը՝ պարաբոլան ներկայացնելով որպես երկու ֆունկցիա: Մենք դա հասկանում ենք

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Թեքության արժեքը հավասար է ածանցյալի արժեքին այս ֆունկցիայի x 0 կետում և հավասար է թեքության անկյան շոշափմանը։

Մենք ստանում ենք.

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Այստեղից մենք որոշում ենք x արժեքը շփման կետերի համար:

Առաջին գործառույթը կգրվի այսպես

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Ակնհայտ է, որ իրական արմատներ չկան, քանի որ մենք ստացել ենք բացասական արժեք։ Եզրակացնենք, որ նման ֆունկցիայի համար 150° անկյուն ունեցող շոշափող չկա։

Երկրորդ գործառույթը կգրվի այսպես

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Մենք ունենք, որ շփման կետերը 23 4 են; - 5 + 3 4 .

Պատասխան.շոշափող հավասարումը ձև է ստանում

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Եկեք այն գրաֆիկորեն պատկերենք այսպես.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ուղղագիծը, որն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է ուղիղի և շրջանագծի շոշափող կետ:

Թեորեմ (շրջանի շոշափողի հատկություն)

Շրջանակին շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետին գծված շառավղին:

Տրված է

Ա - շփման կետ

Ապացուցել:p OA

Ապացույց.

Հակասությամբ ապացուցենք.

Ենթադրենք, որ p-ն OA է, ապա OA-ն թեքված է դեպի p ուղիղ գիծը:

Եթե ​​O կետից ուղղահայաց OH գծենք p ուղիղ գծին, ապա դրա երկարությունը փոքր կլինի շառավղից.< ОА=r

Մենք գտնում ենք, որ շրջանագծի կենտրոնից մինչև p (OH) ուղիղ գիծը փոքր է շառավղից (r), ինչը նշանակում է, որ p ուղիղը կտրված է (այսինքն, այն ունի երկու ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ), որը հակասում է թեորեմի պայմաններին (p-ը շոշափում է)։

Սա նշանակում է, որ ենթադրությունը սխալ է, հետևաբար p ուղիղը ուղղահայաց է OA-ին:

Թեորեմ (մեկ կետից գծված շոշափող հատվածների հատկություն)

Մի կետից գծված շրջանագծին շոշափող հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այս կետով և շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղիղ գծով:

Տրված է: մոտ. (Կամ)

AB-ն և AC-ը շոշափում են շրջապատին: (Կամ)

Ապացուցել AB=AC

Ապացույց

1) OB AB, OS AC, որպես շոշափելիության կետին գծված շառավիղներ (շոշափող հատկություն)

2) Դիտարկենք տր. AOB և այլն: AOS – p/u

ԲԸ – ընդհանուր

OB=OS (որպես շառավիղ)

Սա նշանակում է ABO = AOC (ըստ հիպոթենուսի և ոտքի): Հետևաբար,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Թեորեմ (շոշափելի թեստ)

Եթե ​​գիծն անցնում է շրջանագծի վրա ընկած շառավղի ծայրով և ուղղահայաց է այս շառավղին, ապա այն շոշափող է։

Տրված է OA – շրջանագծի շառավիղը

Ապացուցել p- շրջանագծին շոշափող

Ապացույց

OA – շրջանագծի շառավիղը (ըստ պայմանի) (OA=r)

OA – ուղղահայաց O-ից դեպի ուղիղ p (OA =d)

Սա նշանակում է, որ r=OA=d, ինչը նշանակում է, որ p ուղիղը և շրջանագիծն ունեն մեկ ընդհանուր կետ։

Հետևաբար, p ուղիղը շոշափում է շրջանագծին: և այլն:

3.Ակորդների և սեկանտների հատկությունները.

Շոշափողի և սեկանտի հատկությունները

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ

Շրջագիծմի կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղն է, որը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն:

Շրջանակի երկու կետերը միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է ակորդ(Նկարում սա հատված է): Շրջանակի կենտրոնով անցնող ակորդը կոչվում է տրամագիծըշրջանակներ.

1. Շոշափողն ուղղահայաց է շփման կետին գծված շառավղին:

2. Մի կետից գծված շոշափող հատվածները հավասար են:

3. Եթե շրջանագծից դուրս ընկած կետից գծված են շոշափողն ու հատվածը, ապա շոշափողի երկարության քառակուսին հավասար է կտրվածքի և դրա արտաքին մասի արտադրյալին։

Դասի նպատակները

• Ուսումնական – գիտելիքների կրկնություն, ընդհանրացում և ստուգում «Շրջանակին շոշափող» թեմայով. հիմնական հմտությունների զարգացում.
• Զարգացնող - զարգացնել ուսանողների ուշադրությունը, հաստատակամությունը, հաստատակամությունը, տրամաբանական մտածողությունը, մաթեմատիկական խոսքը:
• Ուսումնական - դասի միջոցով զարգացնել ուշադիր վերաբերմունք միմյանց նկատմամբ, սերմանել ընկերներին լսելու կարողություն, փոխօգնություն և անկախություն:
• Ներկայացրե՛ք շոշափող, շփման կետ հասկացությունը:
• Դիտարկենք շոշափողի և նրա նշանի հատկությունը և ցույց տալ դրանց կիրառությունը բնության և տեխնիկայի խնդիրների լուծման գործում:

Դասի նպատակները

• Զարգացնել շոշափողներ կառուցելու հմտություններ՝ օգտագործելով մասշտաբի քանոն, անկյունաչափ և գծելու եռանկյուն:
• Ստուգեք ուսանողների խնդիրները լուծելու հմտությունները:
• Ապահովել շրջանագծին շոշափող կառուցելու հիմնական ալգորիթմական տեխնիկայի տիրապետումը:
• Զարգացնել տեսական գիտելիքները խնդիրների լուծմանը կիրառելու կարողությունը:
• Զարգացնել ուսանողների մտածողությունը և խոսքը:
• Աշխատեք զարգացնելու հմտությունները դիտարկելու, նկատելու օրինաչափությունները, ընդհանրացնելը և անալոգիայի միջոցով տրամաբանելը:
• Մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրություն սերմանել.

Դասի պլան

1. Շոշափող հասկացության առաջացումը:
2. Շոշափողի պատմությունը.
3. Երկրաչափական սահմանումներ.
4. Հիմնական թեորեմներ.
5. Շրջանակին շոշափող կառուցելը:
6. Միավորում.

Շոշափող հասկացության առաջացումը

Շոշափող հասկացությունը մաթեմատիկայի ամենահիններից է: Երկրաչափության մեջ շրջանագծին շոշափողը սահմանվում է որպես ուղիղ, որն ունի այդ շրջանագծի հետ հատման ուղիղ մեկ կետ: Հին մարդիկ, օգտագործելով կողմնացույցներ և քանոններ, կարողացել են շոշափողներ գծել շրջանագծի, իսկ ավելի ուշ՝ կոնաձև հատվածների՝ էլիպսների, հիպերբոլաների և պարաբոլների:

Շոշափողի պատմությունը

Շոշափումների նկատմամբ հետաքրքրությունը վերածնվել է ժամանակակից ժամանակներում։ Հետո հայտնաբերվեցին կորեր, որոնք անհայտ էին հին գիտնականներին։ Օրինակ, Գալիլեոն ներկայացրեց ցիկլոիդը, իսկ Դեկարտը և Ֆերմատը շոշափեցին դրա վրա: 17-րդ դարի առաջին երրորդում։ Նրանք սկսեցին հասկանալ, որ շոշափողը ուղիղ գիծ է, որը «ամենամոտ է» տվյալ կետի փոքր հարևանությամբ գտնվող կորին: Հեշտ է պատկերացնել մի իրավիճակ, երբ անհնար է կառուցել կորի շոշափող տվյալ կետում (նկար):

Երկրաչափական սահմանումներ

Շրջանակ- տրված կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանքը, որը կոչվում է դրա կենտրոն:

շրջան.

Հարակից սահմանումներ

• Շրջանակի կենտրոնը միացնող հատվածը (ինչպես նաև այս հատվածի երկարությունը) կոչվում է շառավիղըշրջանակներ.
• Հարթության շրջանով սահմանափակված հատվածը կոչվում է շուրջբոլորը.
• Շրջանակի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է իր ակորդ. Շրջանակի կենտրոնով անցնող ակորդը կոչվում է տրամագիծը.
• Շրջանակի վրա գտնվող ցանկացած երկու տարբեր կետեր այն բաժանում են երկու մասի: Այս մասերից յուրաքանչյուրը կոչվում է աղեղշրջանակներ. Աղեղի չափը կարող է լինել դրա համապատասխան կենտրոնական անկյան չափը: Աղեղը կոչվում է կիսաշրջան, եթե դրա ծայրերը միացնող հատվածը տրամագիծ է:
• Այն ուղիղը, որն ունի ուղիղ մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, կոչվում է շոշափողշրջանագծին, և նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է ուղիղի և շրջանագծի շոշափման կետ:
• Շրջանակի երկու կետերով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է հատված.
• Շրջանակի կենտրոնական անկյունը հարթ անկյուն է, որի կենտրոնում գագաթն է:
• Այն անկյունը, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, և որի կողմերը հատում են այս շրջանագիծը, կոչվում է մակագրված անկյուն.
• Ընդհանուր կենտրոն ունեցող երկու շրջանները կոչվում են համակենտրոն.

Շոշափող գիծ- ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է կորի կետով և համընկնում դրա հետ այս կետում մինչև առաջին կարգը:

Շոշափող շրջանագծինուղիղ գիծ է, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ:

Ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է այս կետին գծված շառավղին ուղղահայաց շրջանագծի մի կետով կոչվում է շոշափող. Այս դեպքում շրջանագծի այս կետը կոչվում է շոշափման կետ:

Այն դեպքում, երբ մեր դեպքում «a»-ն ուղիղ գիծ է, որը շոշափում է տվյալ շրջանագծին, «Ա» կետը շոշափման կետն է: Այս դեպքում a⊥OA (ուղիղ a-ն ուղղահայաց է OA շառավղին):

Նրանք դա ասում են երկու շրջան շոշափում են, եթե նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ: Այս կետը կոչվում է շրջանների շփման կետ. Շփման կետի միջոցով դուք կարող եք շոշափել շրջանակներից մեկին, որը նույնպես շոշափում է մյուս շրջանագծին: Հպվող շրջանակները կարող են լինել ներքին կամ արտաքին:

Շոշափումը կոչվում է ներքին, եթե շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են շոշափողի նույն կողմում:

Շոշափումը կոչվում է արտաքին, եթե շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են շոշափողի հակառակ կողմերում

a-ն երկու շրջանագծի ընդհանուր շոշափողն է, K-ը՝ շոշափման կետը:

Հիմնական թեորեմներ

Թեորեմշոշափողի և սեկանտի մասին

Եթե ​​շոշափողն ու հատվածը գծված են շրջանագծից դուրս ընկած կետից, ապա շոշափողի երկարության քառակուսին հավասար է կտրվածքի և դրա արտաքին մասի արտադրյալին՝ MC 2 = MA MB:

Թեորեմ.Շրջանակի շոշափման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց է շոշափողին:

Թեորեմ.Եթե ​​շառավիղը ուղղահայաց է այն կետում, որտեղ այն հատում է շրջանագիծը, ապա այս ուղիղը շոշափում է շրջանագծին:

Ապացույց.

Այս թեորեմներն ապացուցելու համար պետք է հիշել, թե ինչ է կետից ուղիղ ուղղահայացը: Սա ամենակարճ հեռավորությունն է այս կետից մինչև այս գիծը: Ենթադրենք, որ OA-ն ուղղահայաց չէ շոշափողին, բայց կա շոշափողին ուղղահայաց ՕՀ: Երկարությունը OS-ն ներառում է շառավիղի երկարությունը և մ.թ.ա որոշակի հատված, որն անշուշտ ավելի մեծ է, քան շառավիղը: Այսպիսով, դա կարելի է ապացուցել ցանկացած տողի համար։ Մենք եզրակացնում ենք, որ շառավիղը, շառավիղը, որը գծված է շփման կետին, O կետից շոշափողին ամենակարճ հեռավորությունն է, այսինքն. ՕՀ-ն ուղղահայաց է շոշափողին: Հակադարձ թեորեմի ապացուցման մեջ մենք ելնենք նրանից, որ շոշափողն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ։ Թող այս ուղիղ գիծն ունենա ևս մեկ ընդհանուր B կետ շրջանագծի հետ: AOB եռանկյունը ուղղանկյուն է, և նրա երկու կողմերը հավասար են շառավիղների, ինչը չի կարող լինել: Այսպիսով, մենք գտնում ենք, որ այս ուղիղ գիծն այլևս ընդհանուր կետեր չունի շրջանագծի հետ, բացի A կետից, այսինքն. շոշափող է.

Թեորեմ.Մի կետից դեպի շրջան գծված շոշափող հատվածները հավասար են, և այս կետը շրջանագծի կենտրոնի հետ կապող ուղիղ գիծը բաժանում է շոշափողների միջև ընկած անկյունը։

Ապացույց.

Ապացույցը շատ պարզ է. Օգտագործելով նախորդ թեորեմը, մենք պնդում ենք, որ OB-ն ուղղահայաց է AB-ին, իսկ OS-ն ուղղահայաց է AC-ին: ABO և ACO ուղղանկյուն եռանկյունները ոտքով և հիպոթենուսով հավասար են (OB=OS - շառավիղներ, AO - ընդհանուր): Հետևաբար, նրանց AB=AC կողմերը և OAC և OAB անկյունները հավասար են:

Թեորեմ.Շրջանակի վրա ընդհանուր կետ ունեցող շոշափողով և ակորդով ձևավորված անկյան մեծությունը հավասար է նրա կողմերի միջև պարփակված աղեղի անկյունային մեծության կեսին:

Ապացույց.

Դիտարկենք NAB անկյունը, որը ձևավորվում է շոշափողով և ակորդով: Նկարենք AC-ի տրամագիծը։ Շոշափողն ուղղահայաց է շփման կետին գծված տրամագծին, հետևաբար՝ ∠CAN=90 o։ Իմանալով թեորեմը՝ մենք տեսնում ենք, որ ալֆա (a) անկյունը հավասար է BC աղեղի անկյունային արժեքի կեսին կամ BOS անկյան կեսին։ ∠NAB=90 o -a, այստեղից ստանում ենք ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB կամ = BA աղեղի անկյունային արժեքի կեսը։ և այլն:

Թեորեմ.Եթե ​​շոշափողն ու հատվածը գծված են կետից շրջան, ապա տվյալ կետից շոշափման կետին շոշափող հատվածի քառակուսին հավասար է տվյալ կետից դեպի կետերը կտրված հատվածների երկարությունների արտադրյալին։ շրջանագծի հետ դրա հատումը:

Ապացույց.

Նկարում այս թեորեմն ունի հետևյալ տեսքը՝ MA 2 = MV * MC: Եկեք ապացուցենք դա։ Նախորդ թեորեմի համաձայն, MAC անկյունը հավասար է AC աղեղի անկյունային արժեքի կեսին, բայց նաև ABC անկյունը հավասար է AC աղեղի անկյունային արժեքի կեսին ըստ թեորեմի, հետևաբար այս անկյունները հավասար են յուրաքանչյուրին։ այլ. Հաշվի առնելով այն փաստը, որ AMC և BMA եռանկյունները M գագաթին ունեն ընդհանուր անկյուն, մենք նշում ենք այս եռանկյունների նմանությունը երկու անկյուններում (երկրորդ նշան): Նմանությունից ունենք՝ MA/MB=MC/MA, որից ստանում ենք MA 2 =MB*MC

Շրջանակի վրա շոշափողների կառուցում

Հիմա եկեք փորձենք պարզել այն և պարզել, թե ինչ է պետք անել շրջանագծին շոշափող կառուցելու համար:

Այս դեպքում, որպես կանոն, խնդիրը տալիս է շրջան և կետ։ Եվ դուք և ես պետք է շոշափենք շրջանագծին այնպես, որ այս շոշափողը անցնի տվյալ կետով:

Այն դեպքում, երբ մենք չգիտենք կետի գտնվելու վայրը, ապա եկեք դիտարկենք կետերի հնարավոր գտնվելու դեպքերը:

Նախ, կետը կարող է լինել շրջանագծի ներսում, որը սահմանափակված է տվյալ շրջանով: Այս դեպքում հնարավոր չէ այս շրջանով շոշափող կառուցել։

Երկրորդ դեպքում կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, և մենք կարող ենք շոշափող կառուցել՝ շառավղին ուղղահայաց գիծ գծելով, որը գծված է մեզ հայտնի կետին։

Երրորդ, ենթադրենք, որ կետը գտնվում է շրջանագծից դուրս, որը սահմանափակված է շրջանով: Այս դեպքում շոշափող կառուցելուց առաջ անհրաժեշտ է շրջանագծի վրա գտնել մի կետ, որով պետք է անցնի շոշափողը։

Առաջին դեպքում, հուսով եմ, ձեզ համար ամեն ինչ պարզ է, բայց երկրորդ տարբերակը լուծելու համար մենք պետք է ուղիղ գծի վրա կառուցենք հատված, որի վրա ընկած է շառավիղը: Այս հատվածը պետք է հավասար լինի շառավղին և այն հատվածին, որը գտնվում է հակառակ կողմի շրջանագծի վրա:

Այստեղ մենք տեսնում ենք, որ շրջանագծի մի կետը հատվածի միջնամասն է, որը հավասար է շառավիղից երկու անգամ: Հաջորդ քայլը կլինի երկու շրջանակի կառուցումը: Այս շրջանագծերի շառավիղները հավասար կլինեն սկզբնական շրջանագծի շառավղից երկու անգամ, իսկ հատվածի ծայրերում գտնվող կենտրոնները, որը հավասար է շառավիղի կրկնակի: Այժմ մենք կարող ենք ուղիղ գիծ գծել այս շրջանագծերի և տվյալ կետի հատման ցանկացած կետով: Այդպիսի ուղիղ գիծը սկզբում գծված շրջանագծի շառավղին ուղղահայաց միջինն է: Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ այս ուղիղը ուղղահայաց է շրջանագծին և դրանից բխում է, որ այն շոշափում է շրջանագծին:

Երրորդ տարբերակում մենք ունենք շրջանագծից դուրս ընկած կետ, որը սահմանափակված է շրջանով։ Այս դեպքում նախ կառուցում ենք հատված, որը կմիացնի տրամադրված շրջանագծի կենտրոնը և տվյալ կետը։ Եվ հետո մենք գտնում ենք դրա կեսը: Բայց դրա համար անհրաժեշտ է կառուցել ուղղահայաց կիսորդ: Եվ դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես այն կառուցել: Այնուհետև մենք պետք է գծենք շրջան, կամ գոնե դրա մի մասը: Այժմ տեսնում ենք, որ տվյալ շրջանագծի և նոր կառուցված շրջանագծի հատման կետը այն կետն է, որով անցնում է շոշափողը։ Այն անցնում է նաև այն կետով, որը նշված է ըստ խնդրի պայմանների։ Եվ վերջապես, ձեր իմացած երկու կետերի միջոցով կարող եք շոշափող գիծ գծել:

Եվ վերջապես, որպեսզի ապացուցենք, որ մեր կառուցած ուղիղ գիծը շոշափող է, պետք է ուշադրություն դարձնել այն անկյունին, որը ձևավորվել է շրջանագծի շառավղով և պայմանով հայտնի և շրջանագծերի հատման կետը միացնող հատվածով։ խնդրի պայմանով տրված կետով։ Այժմ մենք տեսնում ենք, որ ստացված անկյունը հենված է կիսաշրջանի վրա: Եվ սրանից հետևում է, որ այս անկյունը ճիշտ է։ Հետևաբար, շառավիղը ուղղահայաց կլինի նոր կառուցված գծին, և այս ուղիղը շոշափողն է։

Շոշափողի կառուցում.

Շոշափող գծերի կառուցումն այն խնդիրներից է, որը հանգեցրեց դիֆերենցիալ հաշվարկի ծնունդին: Լայբնիցի կողմից գրված դիֆերենցիալ հաշվարկի հետ կապված առաջին հրատարակված աշխատանքը վերնագրված էր «Մաքսիմայի և նվազագույնի, ինչպես նաև տանգենտների նոր մեթոդ, որի համար խոչընդոտ չեն ոչ կոտորակային, ոչ իռացիոնալ մեծությունները, ոչ էլ հաշվարկի հատուկ տեսակը»:

Հին եգիպտացիների երկրաչափական գիտելիքները.

Եթե ​​հաշվի չառնենք Տիգրիսի և Եփրատի և Փոքր Ասիայի միջև ընկած հովտի հնագույն բնակիչների շատ համեստ ներդրումը, ապա երկրաչափությունը ծագել է Հին Եգիպտոսում մինչև մ.թ.ա. 1700 թվականը: Արևադարձային անձրևների սեզոնին Նեղոսը համալրեց ջրի պաշարները և լցվեց։ Ջուրը ծածկել է մշակվող հողատարածքները, և հարկային նպատակներով պետք է որոշել, թե որքան հող է կորել։ Գեոդեզիները որպես չափիչ գործիք օգտագործել են ամուր ձգված պարան։ Եգիպտացիների կողմից երկրաչափական գիտելիքների կուտակման մեկ այլ խթան էր նրանց գործունեությունը, ինչպիսիք են բուրգերի կառուցումը և կերպարվեստը:

Երկրաչափական գիտելիքների մակարդակը կարելի է դատել հնագույն ձեռագրերից, որոնք հատուկ նվիրված են մաթեմատիկային և դասագրքերի, ավելի ճիշտ՝ խնդրագրքերի պես մի բան են, որտեղ տրված են տարբեր գործնական խնդիրների լուծումներ։

Եգիպտացիների ամենահին մաթեմատիկական ձեռագիրը ընդօրինակվել է որոշակի ուսանողի կողմից 1800 - 1600 թվականներին։ մ.թ.ա. ավելի հին տեքստից։ Պապիրուսը հայտնաբերել է ռուս եգիպտագետ Վլադիմիր Սեմենովիչ Գոլենիշչևը։ Պահվում է Մոսկվայում՝ Ա.Ս.-ի անվան կերպարվեստի թանգարանում։ Պուշկին, և կոչվում է մոսկովյան պապիրուս:

Մեկ այլ մաթեմատիկական պապիրուս, որը գրվել է Մոսկվայից երկուսից երեք հարյուր տարի ուշ, պահվում է Լոնդոնում։ Այն կոչվում է. «Ուսուցում, թե ինչպես կարելի է հասնել գիտելիքի բոլոր մութ բաների, բոլոր գաղտնիքների մասին, որոնք թաքցնում են իրերը իրենց մեջ... Ըստ հին հուշարձանների, գրագիր Ահմեսը գրել է սա»: Ձեռագիրը կոչվում է «Ահմես պապիրուս», կամ Rhind պապիրուսը - այն անգլիացու անունով, ով գտել և գնել է այս պապիրուսը Եգիպտոսում: Ahmes պապիրուսը լուծումներ է տալիս 84 խնդիրների, որոնք ներառում են տարբեր հաշվարկներ, որոնք կարող են անհրաժեշտ լինել գործնականում:

Շրջանի նկատմամբ ուղիղ գիծը կարող է լինել հետևյալ երեք դիրքերում.

1. Շրջանակի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը մեծ է շառավղից։Այս դեպքում գծի բոլոր կետերը գտնվում են շրջանագծից դուրս:


2. Շրջանակի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը փոքր է շառավղից։Այս դեպքում ուղիղ գիծն ունի շրջանագծի ներսում ընկած կետեր, և քանի որ ուղիղ գիծը երկու ուղղություններով էլ անսահման է, այն շրջանով հատվում է 2 կետով։


3. Շրջանակի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը հավասար է շառավղին։Ուղիղ գիծը շոշափող է:

Այն ուղիղը, որն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, կոչվում է շոշափողշրջանին։

Ընդհանուր կետը կոչվում է այս դեպքում շփման կետ.

Շոշափողի առկայության և, ընդ որում, շրջանագծի ցանկացած կետի միջով որպես շոշափման կետ գծված լինելու հավանականությունը ապացուցվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ. Եթե ​​ուղիղը ուղղահայաց է շրջանագծի վրա ընկած իր ծայրում գտնվող շառավղին, ապա այս ուղիղը շոշափող է:

Թող O (թուզ) լինի որոշ շրջանագծի կենտրոնը, իսկ OA-ի շառավիղը: Նրա A վերջի միջով մենք նկարում ենք MN ^ OA:

Պահանջվում է ապացուցել, որ MN ուղիղը շոշափելի է, այսինքն. որ այս ուղիղը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ A.

Ենթադրենք հակառակը՝ թող MN-ն ունենա մեկ այլ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, օրինակ՝ B.

Այդ դեպքում OB ուղիղ գիծը կլինի շառավիղ և, հետևաբար, հավասար OA-ին:

Բայց դա չի կարող լինել, քանի որ եթե OA-ն ուղղահայաց է, ապա OB-ը պետք է թեքվի MN-ին, իսկ թեքվածը մեծ է ուղղահայացից:

Կոնվերս թեորեմ. Եթե ​​ուղիղը շոշափում է շրջանագծին, ապա շոշափման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց է դրան:

Թող MN-ը լինի շրջանագծի շոշափողը, A՝ շոշափման կետը, իսկ O՝ շրջանագծի կենտրոնը:

Պահանջվում է ապացուցել, որ OA^MN.

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. Ենթադրենք, որ O-ից MN ընկած ուղղահայացը կլինի ոչ թե OA, այլ ինչ-որ այլ ուղիղ, օրինակ՝ OB:

Վերցնենք BC = AB և իրականացնենք OS:

Այնուհետև OA-ն և OS-ն թեքված կլինեն՝ հավասարապես հեռու OB-ից ուղղահայաց, և, հետևաբար, OS = OA:

Այստեղից հետևում է, որ շրջանագիծը, հաշվի առնելով մեր ենթադրությունը, կունենա երկու ընդհանուր կետ MN ուղիղի հետ՝ A և C, այսինքն. MN չի լինի շոշափող, այլ սեկանտ, որը հակասում է պայմանին։

Հետևանք. Շրջանակի ցանկացած կետի միջով կարելի է շոշափել այս շրջանագծին, և միայն մեկը, քանի որ այս կետի միջոցով կարելի է ուղղահայաց և միայն մեկը գծել դրա մեջ գծված շառավղին:

Թեորեմ. Ակորդին զուգահեռ շոշափողը շփման կետում կիսում է ակորդի կողմից ձգվող աղեղը:

Թող ուղիղ AB (նկ.) դիպչի շրջանագծին M կետում և զուգահեռ լինի ակորդի CD-ին:

Մենք պետք է ապացուցենք, որ ÈCM = ÈMD:

Նկարելով ME տրամագիծը շոշափման կետով, մենք ստանում ենք՝ EM ^ AB, և հետևաբար EM ^ CB:

Հետեւաբար CM=MD.

Առաջադրանք.Տրված կետի միջով գծի՛ր տրված շրջանագծին շոշափող:

Եթե ​​տվյալ կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, ապա դրա միջով շառավիղ գծեք, իսկ շառավիղի ծայրով ուղղահայաց ուղիղ գիծ: Այս տողը կլինի ցանկալի շոշափողը:

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ կետը տրված է շրջանագծից դուրս։

Թող պահանջվի (նկ.) A կետի միջով O կենտրոնով շրջանագծին շոշափել:

Դա անելու համար A կետից որպես կենտրոն նկարագրում ենք AO շառավղով աղեղ, իսկ O կետից որպես կենտրոն այս աղեղը հատում ենք B և C կետերում կողմնացույցի բացվածքով, որը հավասար է տվյալ շրջանագծի տրամագծին: .

Այնուհետև նկարելով OB և OS ակորդները, մենք A կետը կապում ենք D և E կետերի հետ, որոնցում այս ակորդները հատվում են տվյալ շրջանագծի հետ։

AD և AE ուղիղները շոշափում են O շրջանագծին:

Իսկապես, կոնստրուկցիայից պարզ է դառնում, որ AOB և AOC խողովակները հավասարաչափ են (AO = AB = AC), որոնց OB և OS հիմքերը հավասար են O շրջանագծի տրամագծին։

Քանի որ OD-ը և OE-ն շառավիղներ են, ապա D-ն OB-ի միջինն է, իսկ E-ն OS-ի միջինն է, ինչը նշանակում է, որ AD-ն և AE-ն մեդիաներ են, որոնք գծված են հավասարաչափ խողովակների հիմքերին և, հետևաբար, ուղղահայաց են այս հիմքերին: Եթե ​​DA և EA ուղիղները ուղղահայաց են OD և OE շառավղներին, ապա դրանք շոշափող են:

Հետևանք. Մի կետից շրջանագծի վրա գծված երկու շոշափողներ հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այս կետը կենտրոնին միացնող ուղիղ գծով:

Այսպիսով, AD=AE և ÐOAD = ÐOAE (նկ.), քանի որ ուղղանկյուն tr-ki AOD և AOE, ունենալով ընդհանուր հիպոթենուզ AO և հավասար ոտքեր OD և OE (որպես շառավիղներ), հավասար են:

Նկատի ունեցեք, որ այստեղ «շոշափող» բառը նշանակում է իրական «շոշափող հատված» տվյալ կետից մինչև շփման կետ:

Առաջադրանք.Տրված շրջանագծին շոշափեք O տրված AB ուղիղ գծին զուգահեռ (նկ.):

Ուղղահայաց OS-ն իջեցնում ենք AB-ին O կենտրոնից և D կետի միջով, որտեղ այս ուղղահայացը հատում է շրջանագիծը, գծում ենք EF || ԱԲ.

Շոշափողը, որը մենք փնտրում ենք, կլինի EF:

Իրոք, քանի որ OS ^ AB և EF || AB, ապա EF ^ OD, իսկ շրջանագծի վրա ընկած շառավղին ուղղահայաց ուղիղը շոշափող է:

Առաջադրանք.Գծե՛ք O և O 1 երկու շրջանագծի ընդհանուր շոշափող (նկ.):

Վերլուծություն. Ենթադրենք, որ խնդիրը լուծված է։

Թող AB լինի ընդհանուր շոշափողը, A և B՝ շոշափման կետերը:

Ակնհայտ է, որ եթե գտնենք այս կետերից մեկը, օրինակ՝ Ա, ապա հեշտությամբ կարող ենք գտնել մյուսը։

Նկարենք OA և O 1 B շառավիղները: Այս շառավիղները, լինելով ընդհանուր շոշափողին ուղղահայաց, զուգահեռ են միմյանց:

Հետեւաբար, եթե O 1-ից գծենք O 1 C || BA, այնուհետև OCO 1 խողովակաշարը ուղղանկյուն կլինի C գագաթին:

Արդյունքում, եթե O-ից շրջանագիծը նկարագրենք որպես OS շառավղով կենտրոն, ապա այն կդիպչի O 1 C ուղիղ գծին C կետում։

Այս օժանդակ շրջանագծի շառավիղը հայտնի է՝ այն հավասար է OA – CA = OA - O 1 B, այսինքն. այն հավասար է այս շրջանագծերի շառավիղների տարբերությանը։

Շինարարություն. O կենտրոնից մենք նկարագրում ենք այս շառավիղների տարբերությանը հավասար շառավղով շրջան։

O 1-ից այս շրջանագծին գծում ենք շոշափող O 1 C (նախորդ խնդրի մեջ նշված եղանակով):

C շոշափող կետով գծում ենք OS-ի շառավիղը և շարունակում, մինչև A կետում հանդիպի տրված շրջանագծին: Վերջապես A-ից AB-ն զուգահեռ ենք քաշում CO 1-ին:

Ճիշտ նույն կերպ մենք կարող ենք կառուցել մեկ այլ ընդհանուր շոշափող A 1 B 1 (նկ.): AB և A 1 B 1 ուղիղ գծերը կոչվում են արտաքինընդհանուր շոշափողներ.

Դուք կարող եք ծախսել ևս երկուսը ներքինշոշափողներ հետևյալ կերպ.

Վերլուծություն.Ենթադրենք, որ խնդիրը լուծված է (նկ.): Թող AB լինի ցանկալի շոշափողը:

Եկեք OA և O 1 B շառավիղները գծենք A և B շոշափող կետերին: Քանի որ այս շառավիղները երկուսն էլ ուղղահայաց են ընդհանուր շոշափողին, դրանք զուգահեռ են միմյանց:

Հետեւաբար, եթե O 1-ից գծենք O 1 C || BA և շարունակեք OA-ն մինչև C կետը, ապա OS-ն ուղղահայաց կլինի O 1 C-ին:

Արդյունքում OS շառավղով նկարագրված շրջանագիծը O կետից որպես կենտրոն կդիպչի O 1 C ուղիղ գծին C կետում:

Այս օժանդակ շրջանագծի շառավիղը հայտնի է՝ այն հավասար է OA+AC = OA+O 1 B, այսինքն. այն հավասար է տրված շրջանագծերի շառավիղների գումարին։

Շինարարություն. O-ից որպես կենտրոն, մենք նկարագրում ենք մի շրջան, որի շառավիղը հավասար է այս շառավիղների գումարին:

O 1-ից այս շրջանագծին գծում ենք շոշափող O 1 C:

C շփման կետը միացնում ենք O-ի հետ։

Վերջապես, A կետի միջով, որտեղ OS-ն հատում է տրված շրջանագիծը, գծում ենք AB = O 1 C:

Նման կերպ մենք կարող ենք կառուցել մեկ այլ ներքին շոշափող A 1 B 1:

Շոշափողի ընդհանուր սահմանումը

Թող մի շոշափող AT և որոշ հատված AM գծվեն A կետի միջով կենտրոն ունեցող շրջանագծի վրա (նկ.):

Եկեք այս հատվածը պտտենք A կետի շուրջ, որպեսզի մյուս հատման կետը B-ն ավելի ու ավելի մոտենա A-ին:

Այնուհետև կենտրոնից դեպի հատված իջեցված ուղղահայաց OD-ը ավելի ու ավելի կմոտենա OA շառավղին, և AOD անկյունը կարող է փոքր լինել, քան ցանկացած փոքր անկյուն:

ՄԱՏ անկյունը, որը ձևավորվում է սեկանտով և շոշափողով, հավասար է AOD անկյան հետ (դրանց կողմերի ուղղահայացության պատճառով):

Հետևաբար, քանի որ B կետը մոտենում է A-ին անորոշ ժամանակով, MAT անկյունը նույնպես կարող է կամայականորեն փոքրանալ:

Սա արտահայտվում է այսպես.

շոշափողն այն սահմանափակող դիրքն է, որին ձգվում է շոշափման կետի միջով գծված հատվածը, երբ հատման երկրորդ կետը անորոշ ժամանակով մոտենում է շոշափման կետին:

Այս հատկությունը ընդունվում է որպես շոշափողի սահմանում ցանկացած կորի մասին խոսելիս:

Այսպիսով, AB կորի շոշափողը (նկ.) MT սահմանափակող դիրքն է, որին ձգվում է MN հատվածը, երբ P հատման կետը մոտենում է M-ին առանց սահմանի:

Նկատի ունեցեք, որ այս ձևով սահմանված շոշափողը կորի հետ կարող է ունենալ մեկից ավելի ընդհանուր կետ (ինչպես երևում է Նկարում):

\[(\Large(\text(Կենտրոնական և ներգծված անկյուններ)))\]

Սահմանումներ

Կենտրոնական անկյունը այն անկյունն է, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնում:

Ներգրված անկյունն այն անկյունն է, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա:

Շրջանակի աղեղի աստիճանի չափը այն կենտրոնական անկյան աստիճանի չափումն է, որը նրան ձգում է:

Թեորեմ

Ներգծված անկյան աստիճանի չափը հավասար է աղեղի աստիճանի չափման կեսին, որի վրա այն հենվում է:

Ապացույց

Ապացուցումը կիրականացնենք երկու փուլով. նախ՝ կապացուցենք հայտարարության վավերականությունը այն դեպքի համար, երբ ներգծված անկյան կողմերից մեկը տրամագիծ է պարունակում։ Թող \(B\) կետը լինի ներգծված անկյան գագաթը \(ABC\) և \(BC\) շրջանագծի տրամագիծը.

Եռանկյունը \(AOB\) հավասարաչափ է, \(AO = OB\) , \(\անկյուն AOC\) արտաքին է, ապա \(\անկյուն AOC = \անկյուն OAB + \անկյուն ABO = 2\անկյուն ABC\), որտեղ \(\անկյուն ABC = 0.5\cdot\անկյուն AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Այժմ դիտարկենք կամայական ներգծված անկյունը \(ABC\) . Ներգրված անկյան գագաթից գծենք \(BD\) շրջանագծի տրամագիծը։ Երկու հնարավոր դեպք կա.

1) տրամագիծը կտրում է անկյունը երկու անկյունների \(\անկյուն ABD, \անկյուն CBD\) (որոնցից յուրաքանչյուրի համար թեորեմը ճիշտ է, ինչպես ապացուցվեց վերևում, հետևաբար ճիշտ է նաև սկզբնական անկյան համար, որը սրանց գումարն է. երկուսը և, հետևաբար, հավասար է աղեղների գումարի կեսին, որոնց վրա նրանք հենվում են, այսինքն, հավասար են աղեղի կեսին, որի վրա այն հենվում է): Բրինձ. 1.

2) տրամագիծը չի կտրել անկյունը երկու անկյան տակ, ապա ունենք ևս երկու նոր ներգծված անկյուն \(\անկյուն ABD, \անկյուն CBD\), որոնց կողմը պարունակում է տրամագիծը, հետևաբար թեորեմը ճիշտ է նրանց համար, ապա այն. ճիշտ է նաև սկզբնական անկյան համար (որը հավասար է այս երկու անկյունների տարբերությանը, ինչը նշանակում է, որ հավասար է աղեղների կես տարբերությանը, որոնց վրա նրանք հենվում են, այսինքն՝ հավասար է աղեղի կեսին, որի վրա այն հենվում է) . Բրինձ. 2.

Հետեւանքները

1. Միևնույն աղեղը ձգվող ներգծված անկյունները հավասար են:

2. Կիսաշրջանով թեքված ներգծված անկյունն ուղղանկյուն է:

3. Ներգրված անկյունը հավասար է կենտրոնական անկյան կեսին, որը ենթարկվում է նույն աղեղով:

\[(\Large(\text(շոշափող շրջանակին)))\]

Սահմանումներ

Գոյություն ունեն գծի և շրջանագծի հարաբերական դիրքերի երեք տեսակ.

1) \(a\) ուղիղը հատում է շրջանագիծը երկու կետով: Նման գիծը կոչվում է հատվածային գիծ: Այս դեպքում շրջանագծի կենտրոնից դեպի ուղիղ գիծ \(d\) հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի \(R\) շառավղից (նկ. 3):

2) \(b\) ուղիղ գիծը հատում է շրջանագիծը մի կետում: Նման ուղիղը կոչվում է շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը \(B\) կոչվում է շոշափման կետ: Այս դեպքում \(d=R\) (նկ. 4):

Թեորեմ

1. Շրջանակին շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետին գծված շառավղին:

2. Եթե ուղղագիծն անցնում է շրջանագծի շառավիղի ծայրով և ուղղահայաց է այս շառավղին, ապա այն շոշափում է շրջանագծին:

Հետևանք

Մի կետից շրջան գծված շոշափող հատվածները հավասար են:

Ապացույց

Եկեք գծենք երկու շոշափող \(KA\) և \(KB\) շրջանագծին \(K\) կետից.

Սա նշանակում է, որ \(OA\perp KA, OB\perp KB\) նման են շառավիղներին: Ուղղանկյուն եռանկյունները \(\եռանկյունի KAO\) և \(\եռանկյունի KBO\) հավասար են ոտքով և հիպոթենուսով, հետևաբար, \(KA=KB\) .

Հետևանք

\(O\) շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է \(AKB\) անկյան կիսադիրի վրա, որը կազմված է նույն \(K\) կետից գծված երկու շոշափողներով:

\[(\Large(\text(Անկյունների հետ կապված թեորեմներ)))\]

Թեորեմ հատվածների միջև անկյան մասին

Միևնույն կետից գծված երկու հատվածների միջև անկյունը հավասար է նրանց կտրած մեծ և փոքր աղեղների աստիճանի չափումների կիսա տարբերությանը:

Ապացույց

Թող \(M\) լինի այն կետը, որտեղից գծված են երկու հատվածներ, ինչպես ցույց է տրված նկարում.

Եկեք դա ցույց տանք \(\անկյուն DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ Angle DAB\) \(MAD\) եռանկյան արտաքին անկյունն է, ապա \(\ անկյուն DAB = \անկյուն DMB + \անկյուն MDA\), որտեղ \(\ անկյուն DMB = \անկյուն DAB - \անկյուն MDA\), բայց \(\անկյուն DAB\) և \(\անկյուն MDA\) անկյունները գրված են, ապա \(\անկյուն DMB = \անկյուն DAB - \անկյուն MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Թեորեմ հատվող ակորդների անկյան մասին

Երկու հատվող ակորդների միջև անկյունը հավասար է նրանց կտրած աղեղների աստիճանի չափումների գումարի կեսին. \[\անկյուն CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\աջ)\]

Ապացույց

\(\անկյուն BMA = \անկյուն CMD\) որպես ուղղահայաց:

Եռանկյունից \(դրամ\) : \(\անկյուն AMD = 180^\circ - \անկյուն BDA - \անկյուն CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Բայց \(\անկյուն AMD = 180^\circ - \անկյուն CMD\), որից եզրակացնում ենք, որ \[\անկյուն CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ժպտացեք (CD)):\]

Թեորեմ ակորդի և շոշափողի միջև անկյան մասին

Շոշափման կետով անցնող շոշափողի և ակորդի միջև անկյունը հավասար է աղեղի աստիճանի չափի կեսին, որը ենթարկվում է ակորդի կողմից:

Ապացույց

Թող \(a\) ուղիղ գիծը դիպչի շրջանագծին \(A\) կետում, \(AB\) այս շրջանագծի ակորդն է, \(O\)-ը նրա կենտրոնն է: Թող \(OB\) պարունակող տողը հատվի \(a\) \(M\) կետում: Ապացուցենք դա \(\ Angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Նշենք \(\անկյուն OAB = \ալֆա\) . Քանի որ \(OA\) և \(OB\) շառավիղներ են, ապա \(OA = OB\) և \(\ Angle OBA = \անկյուն OAB = \ալֆա\). Այսպիսով, \(\buildrel\smile\over(AB) = \անկյուն AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \ալֆա)\).

Քանի որ \(OA\) շառավիղն է, որը գծված է շոշափող կետին, ապա \(OA\perp a\), այսինքն՝ \(\անկյուն OAM = 90^\circ\), հետևաբար, \(\անկյուն BAM = 90^\circ - \անկյուն OAB = 90^\circ - \ալֆա = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Թեորեմ աղեղների վրա, որոնք ենթարկվում են հավասար ակորդներով

Հավասար ակորդները կիսաշրջաններից փոքր են հավասար աղեղներ:

Եվ հակառակը` հավասար աղեղները ցրվում են հավասար ակորդներով:

Ապացույց

1) Թող \(AB=CD\) . Ապացուցենք, որ աղեղի փոքր կիսաշրջանները:

Երեք կողմից, հետևաբար, \(\անկյուն AOB=\անկյուն COD\) . Բայց քանի որ \(\անկյուն AOB, \անկյուն COD\) - կենտրոնական անկյուններ, որոնք ապահովված են աղեղներով \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)համապատասխանաբար, ապա \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Եթե \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Դա \(\եռանկյուն AOB=\եռանկյուն COD\)երկու կողմերում \(AO=BO=CO=DO\) և նրանց միջև եղած անկյունը \(\անկյուն AOB=\անկյուն COD\) . Հետևաբար, և \(AB=CD\) .

Թեորեմ

Եթե ​​շառավիղը կիսում է ակորդը, ապա այն ուղղահայաց է դրան։

Ճիշտ է նաև հակառակը՝ եթե շառավիղը ուղղահայաց է ակորդին, ապա հատման կետում այն ​​կիսում է այն։

Ապացույց

1) Թող \(AN=NB\) . Եկեք ապացուցենք, որ \(OQ\perp AB\) .

Դիտարկենք \(\եռանկյուն AOB\) . այն հավասարաչափ է, քանի որ \(OA=OB\) – շրջանագծի շառավիղները: Որովհետեւ \(ON\)-ը հիմքում գծված միջինն է, այնուհետև այն նաև բարձրությունն է, հետևաբար, \(ON\perp AB\) .

2) Թող \(OQ\perp AB\) . Եկեք ապացուցենք, որ \(AN=NB\) .

Նմանապես, \(\եռանկյունը AOB\) հավասարաչափ է, \(ON\)-ը բարձրությունն է, հետևաբար, \(ON\)-ը միջինն է: Հետևաբար, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Հատվածների երկարությունների հետ կապված թեորեմներ)))\]

Թեորեմ ակորդի հատվածների արտադրյալի մասին

Եթե ​​շրջանագծի երկու ակորդները հատվում են, ապա մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս ակորդի հատվածների արտադրյալին։

Ապացույց

Թող \(AB\) և \(CD\) ակորդները հատվեն \(E\) կետում:

Դիտարկենք \(ADE\) և \(CBE\) եռանկյունները: Այս եռանկյուններում \(1\) և \(2\) անկյունները հավասար են, քանի որ դրանք ներգծված են և հենված են նույն աղեղի վրա \(BD\), իսկ \(3\) և \(4\) անկյունները հավասար են: որպես ուղղահայաց: Եռանկյունները \(ADE\) և \(CBE\) նման են (հիմնված եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշի վրա):

Հետո \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), որից \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Շոշափող և սեկանտային թեորեմ

Շոշափող հատվածի քառակուսին հավասար է սեկանտի և նրա արտաքին մասի արտադրյալին:

Ապացույց

Թող շոշափողն անցնի \(M\) կետով և շոշափի \(A\) կետի շրջանագիծը: Թող հատվածն անցնի \(M\) կետով և շրջանագիծը հատի \(B\) և \(C\) կետերում այնպես, որ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Դիտարկենք \(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունները. \(\անկյունը M\) ընդհանուր է, \(\անկյուն BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Համաձայն շոշափողի և սեկանտի անկյան մասին թեորեմի. \(\անկյուն BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \անկյուն BCA\). Այսպիսով, \(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունները նման են երկու անկյան տակ:

\(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունների նմանությունից ունենք. \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), որը համարժեք է \(MB\cdot MC = MA^2\)-ին:

Հետևանք

Արտաքին մասով \(O\) կետից գծված հատվածի արտադրյալը կախված չէ \(O\) կետից գծված հատվածի ընտրությունից: