Segni di numeri di divisibilità- queste sono regole che consentono le divisioni di non produttrici relativamente rapidamente scoprire se questo numero è diviso in un dato senza residui.
Un po 'di segni di divisione Abbastanza semplice, alcuni più difficili. In questa pagina troverai come segni della divisibilità dei numeri primi, come ad esempio, 2, 3, 5, 7, 11 e segni della divisibilità dei componenti, come 6 o 12.
Spero che queste informazioni ti siano utili.
Apprendimento piacevole!
Segno di Divisibilità su 2
Questo è uno dei segni più facili di divinità. Sembra questo: se la registrazione di un numero naturale termina con un lettore, allora è uniformemente (diviso senza residuo per 2), e se il record del numero termina in una cifra dispari, questo numero è dispari.
In altre parole, se il numero dell'ultimo numero è uguale 2
, 4
, 6
, 8
o 0
- Il numero è diviso in 2, se no, non è diviso
Ad esempio, numeri: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
Sono divisi in 2, perché sono pari.
Numeri: 23. 5
, 137
, 2303
Su 2 non sono divisi, perché sono strani.
Segno di Divisibilità su 3
Questa funzione della divisione è completamente diversa: se il numero di numeri è diviso per 3, il numero è diviso in 3; Se la quantità di numeri numeri non è divisa per 3, il numero non è diviso per 3.
Quindi, per capire se il numero è diviso in 3, è necessario aggiungere solo i numeri tra loro da cui consiste.
Sembra questo: 3987 e 141 sono divisi per 3, perché nel primo caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - È diviso senza i resti di 3), e nel secondo 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - anche diviso senza i resti di 3).
Ma i numeri: 235 e 566 non sono suddivisi in 3, perché 2 + 3 + 5 \u003d 10
e 5 + 6 + 6 \u003d 17
(E sappiamo che né 10 né 17 sono divisi in 3 senza residui).
Segno di Divisibilità su 4
Questo segno di divisibilità sarà più complicato. Se le ultime 2 cifre dei numeri formano il numero diviso per 4 o è 00, il numero è diviso in 4, altrimenti questo numero non è diviso in 4 senza residui.
Ad esempio: 1. 00
e 3. 64
diviso per 4, perché nel primo caso finisce il numero 00
e nel secondo 64
che a sua volta è diviso in 4 senza residui (64: 4 \u003d 16)
Numeri 3. 57
e 8. 86
Non dividere il 4 perché né 57
n. 86
4 non sono suddivisi, e quindi non corrispondono a questo segno di divinità.
Segno di Divisibilità su 5
E ancora, abbiamo un segno piuttosto semplice di divisibilità: se la registrazione del numero naturale termina con un numero 0 o 5, questo numero è diviso senza residuo per 5. Se il numero del numero termina con una cifra diversa, Quindi il numero senza residui non è diviso in 5.
Ciò significa che qualsiasi numero che termina in numeri 0
e 5
, ad esempio, 1235. 5
e 43. 0
, cadi una regola e divisa per 5.
A, ad esempio, 1549 3
e 56. 4
Non finire sulla figura 5 o 0, il che significa che non possono condividere per 5 senza residui.
Segno di Divisibilità su 6
Abbiamo un numero composito 6, che è un prodotto dei numeri 2 e 3. Pertanto, un segno di divinità per 6 è anche composito: in modo che il numero sia diviso per 6, deve corrispondere a due segni di divinità contemporaneamente: un segno Di Divisibilità su 2 e un segno di Divisibilità da 3. Allo stesso tempo, si noti che un numero così composito come 4 ha un segno individuale di divisibilità, perché è la prova del numero 2 su se stessa. Ma torniamo al segno di divinità il 6.
I numeri 138 e 474 sono persino corrispondenti ai segni di divinità per 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 e 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), il che significa che sono divisi Per 6. Ma 123 e 447, sebbene siano divisi in 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 e 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ma sono strani, e Pertanto non corrispondono al segno di divinità per 2, e quindi, non corrispondono al segno di divinità per 6.
Segno di Divisibilità su 7
Questo segno di divisibilità è più complicato: il numero è diviso in 7 se il risultato della sottrazione della figura di Twin Dininting di decine di questo numero è diviso in 7 o uguale a 0.
Sembra abbastanza confuso, ma in pratica è facile. Vedi noi stessi: numero 95
9 è diviso in 7, perché 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 diviso per 7 senza residui). E se il numero con il numero ottenuto durante le trasformazioni è sorto (a causa delle sue dimensioni è difficile da capire, è diviso in 7 o meno, questa procedura può essere continuata tutte le volte che si sente necessaria).
Per esempio, 45
5 I. 4580
1 possedere segni di divinità a 7. Nel primo caso, tutto è abbastanza semplice: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Nel secondo caso lo faremo: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. È difficile per noi capire se è diviso se 457
Da 8 a 7, quindi ripetiamo il processo: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. E ancora usiamo un segno di divisibilità, perché siamo ancora di fronte a noi numero a tre cifre 44
1. Così 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, I.e. 42 è diviso per 7 senza equilibrio, il che significa che è 45801 diviso per 7.
Ma i numeri 11
1 I. 34
5 non sono divisi in 7, perché 11
-2 * 1 \u003d 11-2 \u003d 9 (9 non è diviso senza residuo per 7) e 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 non è diviso senza residui per 7).
Segno di Divisibilità su 8
Il segno di Divisibilità su 8 suoni come questo: se le ultime 3 cifre formano un numero diviso per 8 o è 000, il numero specificato è diviso per 8.
Numeri 1. 000
o 1. 088
Diviso per 8: i primi finisce 000
, secondo 88
: 8 \u003d 11 (diviso per 8 senza residui).
Ma numero 1. 100
o 4. 757
Non dividere su 8, dal momento che numeri 100
e 757
Non condividere senza residui.
Segno di Divisibilità su 9
Questo segno di divisibilità è simile a un segno di divisibilità per 3: se il numero di numeri è diviso per 9, il numero è diviso in 9; Se il numero di numeri non è diviso in 9, il numero non è diviso per 9.
Ad esempio: 3987 e 144 sono suddivisi in 9, perché nel primo caso 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - È diviso senza i resti di 9) e nel secondo 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - Anche diviso senza i resti di 9).
Ma i numeri: 235 e 141 non sono suddivisi in 9, perché 2 + 3 + 5 \u003d 10
e 1 + 4 + 1 \u003d 6
(E sappiamo che né 10 né 6 sono suddivisi in 9 senza residui).
Segni di divinità su 10, 100, 1000 e altre unità bit
Questi segni di divinità mi sono combinato perché possono essere descritti allo stesso modo: il numero è diviso in un'unità di scarica se il numero di zeri alla fine del numero è maggiore o uguale al numero di zeri in un dato bit.
In altre parole, ad esempio, abbiamo un numero di questi numeri: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. Di questi, tutti sono divisi in 1 0
; 46400
e 867. 000
Sono divisi in 1 00
; E solo uno di loro - 867 000
Diviso per 1. 000
.
Qualsiasi numero in cui il numero di zeri alla fine è inferiore a quello dell'unità di scarico, non sono suddivisi in questa unità di scarico, ad esempio 600 30
e 7. 93
Non condividere 1. 00
.
Segno di Divisibilità su 11
Per scoprire se il numero è diviso in 11, è necessario ottenere la differenza nelle somme di numeri pari e dispari di questo numero. Se un questa differenza uguale a 0 o diviso per 11 senza residui, il numero stesso è diviso per 11 senza residui.
Per renderlo più chiaro, propongo di considerare gli esempi: 2
35
4 è diviso per 11, perché ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 è anche diviso in 11, poiché ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ma 1. 1
1 o 4
35
4 non sono divisi per 11, dal momento che nel primo caso abbiamo (1 + 1) - 1
\u003d 1 e nel secondo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Segno di Divisibilità a 12
Il numero 12 è composito. Il suo segno di divisibilità è la corrispondenza dei segni di divinità di 3 e su 4 allo stesso tempo.
Ad esempio, 300 e 636 corrispondono ai segni di divinità su 4 (le ultime 2 cifre sono zeri o sono suddivisi in 4) e segni di divinità per 3 (la somma dei numeri e il primo e il numero completo è diviso in 3) , e verranno applicati, sono divisi per 12 senza equilibrio.
Ma 200 o 630 non sono suddivisi in 12, perché nel primo caso il numero risponde solo con un segno di divisibilità di 4, e nel secondo - solo un segno di divinità da 3. Ma non entrambi i segni allo stesso tempo .
Segno di Divisibilità su 13
Il segno della divisibilità su 13 è che se il numero di decine di numeri, piegati con moltiplicato per 4 unità di questo numero, sarà più 13 o uguale a 0, il numero stesso è diviso per 13.
Fare ad esempio 70
2. Allora 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 è diviso senza residuo di 13), significa 70
2 è diviso per 13 senza residui. Un altro esempio è il numero 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Il numero 130 è diviso in 13 senza residui, il che significa un determinato numero corrisponde a un segno di divinità di cui 13.
Se prendi numeri 12
5 o 21
2, quindi otteniamo 12
+ 4 * 5 \u003d 32 e 21
+ 4 * 2 \u003d 29 corrispondeva e né 32 né 29 sono suddivisi in 13 senza residui, il che significa che i numeri specificati non sono divisi senza residui di 13.
Dividità dei numeri
Come si può vedere da quanto sopra, si può presumere che a qualcuno di numeri naturali Puoi scegliere il tuo segno individuale di divinità o una funzione "composito" se il numero è multiplo di diversi numeri. Ma come spettacoli pratiche, principalmente più numero, più è difficile è un segno. Forse il tempo speso per controllare un segno di divisibilità può essere uguale o più della divisione stessa. Pertanto, di solito usiamo il più semplice dei segni di divinità.
In questo articolo analizzeremo divisione degli interi con il residuo. Iniziamo da S. principio comune La divisione dei numeri interi con il residuo, formulamo e dimostraremo il teorema sulla divisione degli interi con il residuo, traccia la connessione tra il divisibile, il divisore, privato incompleto e il residuo. Quindi volentiamo le regole su cui viene eseguita la divisione degli interi con il residuo e considera l'uso di queste regole durante la risoluzione degli esempi. Dopodiché, impara come controllare il risultato di interi divisori con il residuo.
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Vista generale della divisione degli interi con il residuo
La divisione degli interi con il residuo considereremo come generalizzazione della divisione con il residuo dei numeri naturali. Ciò è dovuto al fatto che i numeri naturali sono parte integrante dei numeri interi.
Iniziamo con termini e designazioni che vengono utilizzati nella descrizione.
Per analogia con la divisione dei numeri naturali con il residuo, presumeremo che il risultato di dividere con il residuo di due numeri interi A e B (B non è zero) ci sono due numeri interi c e D. I numeri A e B sono chiamati divisibile e divisore Di conseguenza, il numero D - residuo dalla divisione A su B e un numero intero c è chiamato privato incompleto (o semplicemente privatose il residuo è zero).
Accettiamo di presumere che il residuo sia un numero non negativo e il suo valore non supera B, cioè ci siamo incontrati, quando ci è stato detto del confronto di tre e più numeri interi).
Se il numero C è privatamente privato e il numero D è il residuo di dividere un numero intero a per intero B, quindi questo fatto registrare brevemente come uguaglianza del modulo A: B \u003d C (OST. D).
Si noti che quando si divide un numero intero A su un numero intero B, il residuo potrebbe essere zero. In questo caso, dicono che A è diviso in B senza residui (o ncape.). Pertanto, la divisione degli interi senza residui è un caso speciale di divisione di interi con il residuo.
Vale anche la pena dividendo che quando si divide lo zero per alcuni numeri interi, ci occupiamo sempre di una divisione senza equilibrio, poiché in questo caso il privato sarà zero (vedere la sezione della teoria della divisione zero da parte di un numero intero) e il residuo sarà anche zero.
Determinato con terminologia e designazioni, compreremo ora con il significato di interi divisori con il residuo.
La divisione di un numero totale negativo A per un numero intero positivo B può anche essere dato al significato. Per fare ciò, considera un numero intero negativo come debito. Immagina questa situazione. Un debito che produce gli oggetti deve pagare la persona B facendo lo stesso contributo. Il valore assoluto del privato incompleto c in questo caso determinerà la quantità di debito di ciascuna di queste persone, e il residuo D mostrerà quanti articoli rimarranno dopo il pagamento del debito. Diamo un esempio. Supponiamo che 2 persone dovrebbero 7 mele. Se assumiamo che ognuno di essi dovrebbe essere 4 mele, allora dopo aver pagato il debito, rimarranno 1 mela. Questa situazione corrisponde all'uguaglianza (-7): 2 \u003d -4 (OST 1).
Una divisione con il residuo di un intero arbitrario A per un numero totale negativo non daremo alcun punto, ma lasceremo il diritto di esistere.
Teorema sulla divinità degli interi con il residuo
Quando abbiamo parlato della divisione dei numeri naturali con il residuo, hanno scoperto che un divisibile A, divisorio B, privato c e il residuo D sono relativi all'uguaglianza A \u003d B · c + d. Per interi, A, B, C e D è caratterizzato dalla stessa connessione. Questo collegamento è approvato dal seguente definizione teorema con il residuo.
Teorema.
Qualsiasi numero intero può essere l'unico modo attraverso un numero intero e diverso dal numero zero B come A \u003d B · Q + R, dove q e r sono alcuni numeri interi e.
Prova.
Innanzitutto, dimostriamo la possibilità di rappresentazione A \u003d B · q + r.
Se i numeri interi A e B in modo tale che A è diviso in B finalizzato, quindi per definizione c'è un altro intero q che a \u003d B · q. In questo caso, c'è un'uguaglianza A \u003d B · q + r at r \u003d 0.
Ora supponiamo che B sia un numero positivo intero. Scegli un numero intero Q in modo tale che il prodotto B · q non superi il numero A, e il prodotto B · (Q + 1) era già maggiore di A. Cioè, prendi Q tali che disuguaglianze B · q Resta per dimostrare la possibilità di rappresentazione A \u003d B · Q + R per B. Poiché il modulo del numero B in questo caso è un numero positivo, quindi per la presentazione, dove Q 1 è un numero intero, e R è una condizione intera soddisfacente. Quindi, adottando Q \u003d -Q 1, otteniamo l'idea della rappresentazione visiva A \u003d B · Q + R per il negativo b. Vai alla prova dell'unicità. Supponiamo che in aggiunta alla rappresentazione A \u003d B · Q + R, Q e R - interi e, c'è un'altra rappresentazione A \u003d B · q 1 + r 1, dove q 1 e r 1 sono alcuni numeri interi e q 1 ≠ Q e. Dopo sottrarre dalla parte sinistra e destra della prima uguaglianza, rispettivamente, la parte sinistra e destra della seconda uguaglianza, otteniamo 0 \u003d B · (Q - Q 1) + RR 1, che è equivalente all'uguaglianza RR 1 \u003d B · (Q 1 -Q). Quindi l'uguaglianza della specie deve essere vera Dalle condizioni e si può concludere che. Come Q e Q 1 sono Integer e Q ≠ Q 1, quindi dove concludiamo questo L'uguaglianza A \u003d B · C + D consente di trovare un divide sconosciuto, se un divisore B è noto, privato incompleto c e il residuo d. Considera un esempio. Esempio. Ciò che è altrettanto divisibile se è possibile per un intero -21, un privato incompleto 5 e un residuo 12? Decisione. Dobbiamo calcolare Delimi A, quando il divisore B \u003d -21 è noto, abbastanza incompleto C \u003d 5 e il residuo D \u003d 12. Contattando l'uguaglianza A \u003d B · C + D, otteniamo A \u003d (- 21) · 5 + 12. Osservare, in primo luogo, trascorriamo per la prima volta la moltiplicazione degli interi -21 e 5 in base alla regola di moltiplicazione di numeri interi con diversi segni, dopo di che eseguiamo l'aggiunta di numeri interi con diversi segni: (-21) · 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93. Risposta: −93
.
Le relazioni tra divisibili, di divisoria, private e residui incomplete sono anche espresse da equariati della forma B \u003d (A - D): c, c \u003d (A - D): B e D \u003d A-B · C. Queste uguaglianze consentono a calcolare il divisore, private e residui incompleti, rispettivamente. Spesso dobbiamo trovare un residuo di dividere un numero intero A per un intero B, quando un divario, un divisore e un privato incompleto, utilizzando la formula D \u003d A-B · c. In modo che non ci siano domande in futuro, analizzeremo un esempio di calcolo del residuo. Esempio. Trova il saldo di dividere un intero -19 a un intero 3, se è noto che private incompleto uguale a -7. Decisione. Per calcolare il residuo dalla divisione, usiamo la formula del modulo D \u003d A - B · c. Dalla condizione abbiamo tutti i dati necessari A \u003d -19, B \u003d 3, c \u003d -7. Otteniamo d \u003d ab · c \u003d -19-3 · (-7) \u003d -19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (differenza -19 - (- 21) Abbiamo calcolato secondo la regola della sottrazione di un numero intero negativo). Risposta: Come abbiamo ripetutamente notato, tutti i numeri positivi sono numeri naturali. Pertanto, la divisione con il residuo di intere numeri positivi viene effettuata in tutte le regole di divisione con il residuo dei numeri naturali. È molto importante essere in grado di eseguire facilmente la divisione con il residuo dei numeri naturali, poiché è la base di dividere non solo intere numeri positivi, ma anche al centro di tutte le regole di divisione con il residuo degli interi arbitrari. Dal nostro punto di vista, è più comodo eseguire la divisione da una colonna, questo metodo consente di ottenere e incompleto privato (o solo privato) e il residuo. Considera un esempio di divisione con il residuo di intere numeri positivi. Esempio. Eseguire una divisione con il residuo del numero 14 671 di 54. Decisione. Eseguire la divisione di questi numeri positivi dal palco: Privato incompleto si è rivelato uguale a 271 e il residuo è 37. Risposta: 14 671: 54 \u003d 271 (OST 37). Formulamo una regola che ti consente di eseguire la divisione con un numero intero positivo a un numero totale negativo. Privato incompleto dalla divisione di un numero positivo intero A per un numero intero negativo B è un numero opposto a privatamente privati \u200b\u200bdalla divisione A al modulo del numero B e il residuo dalla divisione A su B è uguale al saldo della divisione di B . Questa regola implica che il privato incompleto di dividere il numero positivo integro a un numero totale negativo è un'integrità. Rimastruiamo la regola annunciata nell'algoritmo di divisione con il residuo di un numero positivo intero di adeguato: Diamo un esempio di utilizzo di un algoritmo per dividere un numero intero positivo a un intero negativo. Esempio. Eseguire una divisione con il residuo di un numero positivo 17 su un numero totale negativo -5. Decisione. Usiamo l'algoritmo di divisione con il residuo di un numero positivo a un intero negativo. Condivisione Il numero è l'opposto del numero 3 è -3. Pertanto, il private incompleto desiderato dalla divisione da 17 a -5 è -3, e il residuo è 2. Risposta: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST 2). Esempio. Dividere 45 su -15. Decisione. I moduli delimi e divisori sono 45 e 15, rispettivamente. Il numero 45 è diviso in 15 senza residui, il privato è uguale a 3. Di conseguenza, un numero positivo intero 45 è diviso in un numero intero negativo -15 senza residui, il privato allo stesso tempo è uguale al numero opposto a 3, cioè -3. Infatti, secondo la regola della divisione degli interi con diversi segni che abbiamo. Risposta: 45:(−15)=−3
.
Daremo alla formulazione le regole di divisione con il residuo di un intero numero negativo a un intero positivo. Al fine di ottenere un privato incompleto c dal dividere un numero intero negativo A per un numero intero positivo B, è necessario prendere un numero opposto a in modo incompleto privatamente dalla divisione dei moduli dei numeri iniziali e detrarre l'unità da esso, dopo che il residuo D è calcolato in base alla formula d \u003d ab · c. Da questa divisione regola con il residuo, segue che il privato incompleto dalla divisione di un intero negativo per un numero intero positivo è un numero totale negativo. Dalla regola espressa implica l'algoritmo di divisione con il saldo di un numero totale negativo A a tutto positivo B: Analizzeremo la soluzione dell'esempio in cui utilizziamo l'algoritmo registrato della divisione con il residuo. Esempio. Trova un privato e residuo incompleto di dividere un numero totale negativo -17 per un numero intero positivo 5. Decisione. Il modulo Dividerada -17 è 17 e il modulo divisore 5 è 5. Condivisione Da 17 a 5, otteniamo 3 e residui privati \u200b\u200bincompleti 2. Il numero opposto 3 è -3. Sottraiamo da -3 unità: -3-1 \u003d -4. Quindi, il privati \u200b\u200bincompleto desiderato è -4. Resta per calcolare il residuo. Nel nostro esempio A \u003d -17, B \u003d 5, c \u003d -4, quindi d \u003d a-b · c \u003d -17-5 · (-4) \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Pertanto, il privato incompleto dalla divisione di un numero totale negativo -17 a un numero intero numero 5 è -4 e il residuo è 3. Risposta: (-17): 5 \u003d -4 (OST 3). Esempio. Dividi tutto il numero negativo -1 404 da un numero positivo 26. Decisione. Il modulo dividendio è 1 404, il modulo divisorio è 26. Abbiamo diviso 1 404 il 26 ° stadio: Poiché il modulo divide è stato diviso in un modulo divisorio senza residui, gli interi iniziali sono divisi senza residui, e il privato desiderato è uguale al numero opposto a 54, cioè -54. Risposta: (−1 404):26=−54
.
Formulamo una regola di divisione con il residuo di numeri intere negativi. Per ottenere un privato incompleto c dal dividerti un numero totale negativo A per un numero intero negativo B, è necessario calcolare il privato incompleto sulla divisione dei moduli di numeri iniziali e aggiungere un'unità ad essa, dopo che il residuo d calcola secondo la formula d \u003d ab · c. Questa regola implica che il privato incompleto dalla divisione di interi numeri negativi sia un numero intero positivo. Riscriviamo la regola espressa sotto forma di un algoritmo per dividere numeri intere negativi: Considera l'uso dell'algoritmo per dividere numeri intere negativi durante la risoluzione di un esempio. Esempio. Trova un privato e residuo incompleto dal dividere un numero totale negativo -17 a un numero totale negativo -5. Decisione. Usiamo l'algoritmo corrispondente della divisione con il residuo. Il modulo dividendio è 17, il modulo divisore è 5. Divisione 17 il 5 fornisce 3 e residui privati \u200b\u200bincompleti 2. Da Incomplete Private 3 Aggiungi unità: 3 + 1 \u003d 4. Di conseguenza, il privati \u200b\u200bincompleto desiderato dalla divisione -17 a -5 è 4. Resta per calcolare il residuo. In questo esempio, A \u003d -17, B \u003d -5, c \u003d 4, quindi d \u003d a-b · c \u003d -17 - (- 5) · 4 \u003d -17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Quindi, il privato incompleto dal dividendo un numero intero negativo -17 a un numero intero negativo -5 è 4, e il residuo è 3. Risposta: (-17): (- 5) \u003d 4 (OST 3). Dopo la determinazione dei numeri interi con il residuo, è utile controllare il risultato ottenuto. Il controllo viene effettuato in due fasi. Nella prima fase è controllato se il residuo D è un numero non negativo e la condizione è controllata. Se vengono effettuate tutte le condizioni della prima fase del controllo, è possibile iniziare la seconda fase del controllo, altrimenti si può sostenere che un errore è stato effettuato quando si divide con il residuo. Alla seconda fase, la validità dell'uguaglianza A \u003d B · C + D è selezionata. Se questa uguaglianza è valida, la divisione con il residuo è stata eseguita correttamente, altrimenti è stato effettuato un errore da qualche parte. Considerare soluzioni di esempi in cui viene eseguito il risultato di dividere i numeri interi con il residuo. Esempio. Quando si divide il numero -521 su -12, privati \u200b\u200bincompleti 44 e residui 7 sono stati ottenuti, seguire il risultato. Decisione. -2 per B \u003d -3, c \u003d 7, D \u003d 1. Avere b · C + D \u003d -3 · 7 + 1 \u003d -21 + 1 \u003d -20. Pertanto, l'uguaglianza A \u003d B · C + D è errata (nel nostro esempio A \u003d -19). Di conseguenza, la divisione con il residuo non era corretta. Considera un semplice esempio: A volte il numero naturale è completamente in grado di dividere la messa a fuoco. Ad esempio, considera l'attività: Decisione: Sappiamo che 16 non è da condividere. Il numero più vicino diviso per 5 è 15 e 1 nel resto. Numero 15 Possiamo dipingere come 5⋅3. Di conseguenza (16 - Delimi, 5 - Divisore, 3 - Privato incompleto, 1 - residuo). Ricevuto formula divisione con il residuoche può essere fatto controllo della soluzione. uN.=
b.⋅
c.+
d. Risposta: ogni bambino prenderà 3 giocattoli e rimarrà un giocattolo. Il residuo dovrebbe sempre essere inferiore al divisore. Se quando si divide il residuo è zero, significa che la condivisione divisibile ncape. O senza equilibrio sul divisore. Se quando si divide il residuo è più divisor, significa che il numero trovato non è il più grande. C'è un numero maggiore che divide e il residuo sarà inferiore a un divisore. Domande sull'argomento "Decisione con il residuo":
Il residuo può essere uguale al divisore? Come trovare divisibile su privati \u200b\u200bincompleti, divisori e residui? Esempio numero 1:
Decisione: 258 - Delimi, b) Dividiamo la colonna: 1873 - Delimi, Sostituire nella formula e controlla se abbiamo deciso di risolvere l'esempio: Esempio numero 2:
Risposta: Esempio numero 3:
Risposta: Esempio numero 4:
Decisione: b) Risolto con l'aiuto della formula: Un compito:
Filo 4m. È necessario tagliare a pezzi da 13 cm. Quanti pezzi di questi pezzi funzionerà? Decisione: Risposta: 30 pezzi risultano e 10 cm. Il filo rimarrà. L'articolo disselle il concetto di interi divisori con il residuo. Proviamo il teorema sulla divisione dei numeri interi con il residuo e visualizziamo la relazione tra divisioni e divisori, privati \u200b\u200be residui incompleti. Considera le regole quando gli interi numeri sono divisi con i resti, esaminati in dettaglio sugli esempi. Alla fine della decisione eseguirà un assegno. La divisione degli interi con il residuo è considerata una divisione generalizzata con il residuo dei numeri naturali. Questo è fatto perché i numeri naturali sono parte integrante del tutto. La divisione con il residuo di un numero arbitrario suggerisce che un intero A è diviso per il numero B, diverso da zero. Se B \u003d 0, quindi non produrre una divisione con il residuo. Oltre alla divisione dei numeri naturali con il residuo, la divisione degli interi A e B è fatta, con B diversa da zero, su c e d. In questo caso, A e B sono chiamati divisibili e divisori, e D è il residuo del saldo, c è un numero intero o incompleto. Se assumiamo che il residuo sia un numero non negativo, il suo valore non è più grande del numero b. Scriviamo in questo modo: 0 ≤ D ≤ b. Questa catena di disuguaglianze viene utilizzata quando si confronta 3 e più del numero di numeri. Se c è un privato incompleto, quindi D è il residuo di dividere un intero A per B, può essere brevemente riparato: A: B \u003d C (OST D). Il residuo durante la divisione dei numeri A su B è possibile zero, quindi dicono che A è diviso su b a focus, cioè senza residui. La divisione senza residui è considerata un caso speciale di divisione. Se dividiamo lo zero per un certo numero, otteniamo come risultato di zero. Anche il residuo del saldo sarà zero. Questo può essere rintracciato dalla teoria della divisione dello zero da un numero intero. Ora considera il significato degli interi divisori con il residuo. È noto che tutti i numeri positivi sono naturali, poi quando si divide con il residuo, sarà lo stesso senso, come nella divisione dei numeri naturali con il residuo. Quando si divide un numero totale negativo A, un intero positivo B è un significato. Considera l'esempio. Rappresentare la situazione quando abbiamo un debito di oggetti nella quantità di A, che devi pagare B. Per fare questo, è necessario fare lo stesso contributo a tutti. Per determinare la quantità di debito per tutti, è necessario prestare attenzione alle dimensioni del privato con. Il residuo D afferma che un certo numero di elementi è noto dopo una disclaimer con debiti. Considera sull'esempio con le mele. Se 2 persone dovrebbero 7 mele. Nel caso in cui sia considerato che tutti devono tornare a 4 mele, dopo un calcolo completo, rimarranno 1 mela. Scriviamo sotto forma di uguaglianza IT: (- 7): 2 \u003d - 4 (O con T. 1). La divisione di qualsiasi numero e non ha senso, ma forse come opzione. Abbiamo rivelato che A - questo è divisibile, quindi B è un divisorio, con - privato incompleto, e D è il residuo. Sono collegati l'uno con l'altro. Questa connessione mostrerà con l'aiuto di uguaglianza A \u003d B · C + D. La relazione tra loro è caratterizzata dalla divisione Treast con il residuo. Teorema Qualsiasi numero intero può essere rappresentato solo attraverso un numero intero e diverso dal numero zero B in questo modo: A \u003d B · Q + R, dove q e r sono alcuni numeri interi. Qui abbiamo 0 ≤ r ≤ b. Proviamo la possibilità di esistere a \u003d B · Q + R. Prova Se ci sono due numeri A e B, e A è diviso in B senza residui, quindi deriva dalla definizione che c'è un numero Q, che sarà vero uguaglianza A \u003d B · Q. Quindi l'uguaglianza può essere considerata vera: A \u003d B · Q + R con R \u003d 0. Quindi è necessario prendere Q tali che questa disuguaglianza B · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Abbiamo che il valore dell'espressione A - B · q è maggiore di zero e non più valore del numero B, ne consegue che R \u003d A - B · Q. Otteniamo che il numero A può essere rappresentato come A \u003d B · Q + R. Ora è necessario considerare la possibilità di rappresentazione A \u003d B · Q + R per valori negativi b. Il modulo del numero è ottenuto positivo, quindi otteniamo A \u003d B · Q 1 + R, dove il valore Q 1 è un numero intero, R è un numero intero che si adatta alla condizione 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Prova di unicità Supponiamo che A \u003d B · Q + R, Q e R siano numeri interi con una condizione fedele 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где Q 1. e R 1. sono alcuni numeri dove Q 1 ≠ Q 0 ≤ r 1< b . Quando la disuguaglianza viene sottratta dalle parti sinistra e destra, quindi otteniamo 0 \u003d B · (Q - Q 1) + R 1, che è equivalente a R - R 1 \u003d B · Q 1 - Q. Poiché viene utilizzato il modulo, otteniamo l'uguaglianza R - R 1 \u003d B · Q 1 - Q. La condizione specificata suggerisce che 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q.e Q 1.- intero, e Q ≠ Q 1, quindi q 1 - q ≥ 1. Da qui abbiamo quel B · Q 1 - Q ≥ b. Ha ricevuto disuguaglianze R - R 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Ne consegue che un numero diverso A è presentato non può essere presentato, tranne come tale record A \u003d B · Q + R. Con l'aiuto dell'uguaglianza A \u003d B · C + D, è possibile trovare una divisione sconosciuta quando un divisore B è noto con un privato incompleto c e il residuo d. Esempio 1. Determina dividimi se si ottiene la divisione - 21, private 5 e residui incompleti 12. Decisione
È necessario calcolare Delimi A con il divisore noto B \u003d - 21, incompleto privato c \u003d 5 e il residuo d \u003d 12. È necessario fare riferimento all'uguaglianza A \u003d B · C + D, otteniamo A \u003d (- 21) · 5 + 12. Sotto la procedura per l'esecuzione di azioni, moltiplicare - da 21 a 5, dopo di che otteniamo (- 21) · 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93. Risposta: - 93 . La relazione tra delvisore e privata incompleta e il residuo può essere espresso utilizzando equazioni: B \u003d (A - D): c, c \u003d (A - D): B e D \u003d A - B · c. Con il loro aiuto, possiamo calcolare il divisorio, privato incompleto e residuo. Ciò riduce la costa costante del residuo di dividere tutti i numeri interi a B con un privato noto divisibile, divisorio e privato. La formula D \u003d A - B · c è applicata. Considerare la decisione in dettaglio. ESEMPIO 2. Trova il residuo dalla divisione di un intero - 19 da un intero 3 con un privato noto privato pari a 7. Decisione
Per calcolare il residuo dalla divisione, applichiamo la formula del modulo D \u003d A - B · c. Per condizione, tutti i dati A \u003d - 19, B \u003d 3, c \u003d - 7 sono disponibili. Da qui otteniamo D \u003d A - B · c \u003d - 19 - 3 · (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (la differenza è 19 - (- 21). Questo esempio è calcolato in base alla regola di deduzione. Un numero totale negativo. Risposta: 2 . Tutti i numeri positivi interi sono naturali. Ne consegue che la divisione viene eseguita su tutte le regole di divisione con il residuo dei numeri naturali. Il tasso di esecuzione della divisione con il residuo dei numeri naturali è importante, poiché è fondato non solo la divisione di positiva, ma anche le regole per dividere tutto arbitrario. Il metodo di divisione più conveniente è una colonna, poiché è più facile e veloce ottenere incompleto o solo un privato con il residuo. Considerare la decisione in modo più dettagliato. ESEMPIO 3. Decisione 14671-54. Decisione
Questa divisione deve essere eseguita da una colonna: Cioè, il privato incompleto è ottenuto pari a 271 e il residuo è 37. Risposta: 14 671: 54 \u003d 271. (OST 37) Per dividere con il residuo di un numero positivo per un intero negativo, è necessario formulare una regola. Definizione 1. Privato incompleto dalla divisione di un intero positivo A per un intero negativo B Ricevi un numero opposto a un privato in modo incompleto dal dividere i numeri A per b. Quindi il residuo è uguale al residuo quando si divide un su b. Da qui abbiamo che in modo incompleto privato dalla divisione di un intero numero una tantum per un numero totale negativo è considerato un numero non mentale intero. Otteniamo l'algoritmo: Considera l'esempio dell'algoritmo per dividere un numero intero positivo a un intero negativo. ESEMPIO 4. Eseguire la divisione con il residuo da 17 a 5. Decisione
Applicare un algoritmo di divisione con un numero intero positivo di un intero negativo. È necessario dividere il modulo da 17 a 5. Da qui otteniamo quel privato incompleto è 3, e il residuo è 2. Otteniamo che il numero desiderato dalla divisione da 17 a - 5 \u003d - 3 con il residuo è uguale a 2. Risposta: 17: (- 5) \u003d - 3 (OST 2). ESEMPIO 5. È necessario dividere da 45 a 15. Decisione
È necessario dividere i numeri dal modulo. Il numero 45 è diviso per 15, otterremo un privato 3 senza residui. Quindi, il numero 45 è diviso in 15 senza residui. In risposta, otteniamo - 3, poiché la divisione è stata eseguita nel modulo. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Risposta: 45: (− 15) = − 3 . La formulazione delle regole di divisione con il residuo è la seguente. DEFINIZIONE 2. Per ottenere un privato incompleto c quando si divide un intero negativo un per positivo B, è necessario applicare l'opposto a questo numero e sottrarre da esso 1, allora il residuo D sarà calcolato dalla formula: D \u003d A - B · c. Sulla base della regola, si può concludere che quando si divide, otteniamo un numero non negativo. Per l'accuratezza della soluzione, l'algoritmo della divisione A su B viene utilizzato con il residuo: Considera sull'esempio di una soluzione in cui si applica questo algoritmo. ESEMPIO 6. Trova un privato ed equilibrio incompleto dalla divisione - 17 a 5. Decisione
Dividiamo i numeri specificati nel modulo. Otteniamo quello nella divisione del privato pari a 3 e il resto 2. Dal momento che hanno ottenuto 3, opposto - 3. È necessario togliere 1. − 3 − 1 = − 4 . Il valore desiderato è 100 ° uguale a 4. Per calcolare il residuo, è necessario a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, quindi d \u003d a - b · c \u003d - 17 - 5 · (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Quindi, il privato incompleto dalla divisione è il numero - 4 con il residuo pari a 3. Risposta: (- 17): 5 \u003d - 4 (OST 3). Esempio 7. Dividere un numero totale negativo - 1404 per positivo 26. Decisione
È necessario dividere la colonna e su Mudlyuly. Abbiamo preso la divisione dei moduli dei numeri senza residui. Ciò significa che la divisione viene eseguita senza residui, ma il privato artistico \u003d - 54. Risposta: (− 1 404) : 26 = − 54 . È necessario formulare una regola di divisione con il residuo di intere numeri negativi. Definizione 3. Per ottenere un privato incompleto c dal dividere un numero intero negativo A per un intero negativo B, è necessario calcolare il modulo nel modulo, dopo il quale aggiungere 1, quindi possiamo effettuare calcoli in base alla formula D \u003d A - B · c. Da qui segue che il privato incompleto dalla divisione di interi numeri negativi sarà il numero è positivo. Formulamo questa regola come un algoritmo: Questo algoritmo guarderà l'esempio. ESEMPIO 8. Trova un privato e residuo incompleto durante la divisione - 17 a 5. Decisione
Per la correttezza della decisione, applichiamo un algoritmo per dividere con il residuo. Per iniziare il ritiro del numero nel modulo. Da qui otteniamo quel privato incompleto \u003d 3, e il residuo è 2. Secondo la regola, è necessario aggiungere privati \u200b\u200be 1 incompleti. Otteniamo quel 3 + 1 \u003d 4. Da qui otteniamo che il privato incompleto dalla divisione del dato numero è 4. Per calcolare il residuo, applichiamo la formula. Per condizione, abbiamo questo A \u003d - 17, B \u003d - 5, c \u003d 4, quindi, usando la formula, otteniamo D \u003d A - B · c \u003d - 17 - (- 5) · 4 \u003d - 17 - ( - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. La risposta desiderata, cioè il residuo è 3, e il privato incompleto è 4. Risposta: (- 17): (- 5) \u003d 4 (OST 3). Dopo aver effettuato la divisione dei numeri con il residuo, devi controllare. Questo controllo implica 2 tappe. Inizialmente, c'è un controllo del residuo D alla non negatività, le prestazioni della condizione 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Considerare gli esempi. Esempio 9. La divisione è stata prodotta - 521 on - 12. Privato pari a 44, residuo 7. Eseguire il controllo. Decisione
Poiché il residuo è un numero positivo, il suo valore è inferiore al modulo divisor. Il divisore è uguale a 12, significa che il suo modulo è 12. Puoi andare alla prossima voce di controllo. Per condizione, abbiamo questo A \u003d - 521, B \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Da qui, calcoliamo B · C + D, dove B · C + D \u003d - 12 · 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Ne consegue che l'uguaglianza è corretta. Il controllo è passato. Esempio 10. Controlla la divisione (- 17): 5 \u003d - 3 (OST. - 2). L'uguaglianza è vero? Decisione
Il significato della prima fase è che è necessario controllare la divisione degli interi con il residuo. Si può vedere che l'azione è effettuata in modo errato, poiché il residuo è pari a 2. Il residuo non è un numero negativo. Abbiamo che la seconda condizione è fatta, ma non sufficiente per questo caso. Risposta: non. Esempio 11. Il numero-19 è stato diviso in 3. Privato incompleto pari a 7 e residuo 1. Controlla se questo calcolo è vero. Decisione
Dan un residuo pari a 1. È positivo. Per grandezza inferiore al modulo divisore, significa che viene eseguita il primo stadio. Ci rivolci alla seconda fase. Calcola il valore dell'espressione B · C + D. Per condizione, abbiamo che B \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, significa che sostituire i valori numerici, otteniamo B · c + d \u003d - 3 · 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Ne consegue che A \u003d B · C + D uguaglianza non viene eseguita, poiché la condizione viene data a \u003d-19. Da qui la conclusione che la divisione è fatta con un errore. Risposta: non. Se noti un errore nel testo, selezionalo e premi Ctrl + Invio
, e in virtù delle proprietà del modulo del numero - e dell'uguaglianza 
.
. Dalle disuguaglianze ottenute e Ne consegue che l'uguaglianza della forma È impossibile a nostra assunzione. Pertanto, non esiste un'altra rappresentazione del numero A, tranne A \u003d B · Q + R.Collegamenti tra divisibile, divisore, privato incompleto e residuo
Divisione con il residuo di intere numeri positivi, esempi
La regola della divisione con il residuo di un numero positivo di esempi adeguati,
Divisione con un numero intero negativo di numeri interi positivi, esempi
La regola di divisione con il residuo di numeri intere negativi, esempi
Controlla il risultato di interi divisori con il residuo
15:5=3
In questo esempio, il numero naturale di 15 che abbiamo diviso ncape.3, senza un equilibrio.
16 giocattoli giacevano nell'armadio. Il gruppo aveva cinque figli. Ogni bambino ha preso lo stesso numero di giocattoli. Quanti giocattoli hanno ogni bambino?
Dividiamo il numero 16 su 5 colonne che otteniamo:
uN. - Delimi,
b. - Divisore,
c. - privato incompleto,
d. - Equilibrio.Resto della divisione
Il resto potrebbe essere più diviso?
Risposta: No.
Risposta: No.
Risposta: i valori del privato incompleto, del divisore e del residuo sono sostituiti nella formula e ritrovano divisibili. Formula:
A \u003d B⋅C + D
Eseguire una divisione con il residuo e controllare: a) 258: 7 B) 1873: 8
A) Dividiamo la colonna: 
7 - Divisore,
36 - Privato incompleto,
6 - residui. Residue meno divisore 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - Divisore,
234 - Privato incompleto,
1 - residuo. Il residuo è inferiore al divisore 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Quali requiloni si ottengono quando si dividono i numeri naturali: a) 3 B) 8?
a) Il residuo è inferiore al divisore, quindi, meno 3. Nel nostro caso, il residuo può essere uguale a 0, 1 o 2.
b) Il residuo è inferiore al divisore, quindi, meno di 8. Nel nostro caso, il residuo può essere pari a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
Ciò che il più grande residuo potrebbe rivelarsi quando si dividono i numeri naturali: a) 9 b) 15?
a) Il residuo è inferiore al divisore, quindi, meno di 9. ma dobbiamo specificare il più grande equilibrio. Questo è il numero più vicino al divisore. Questo è il numero 8.
b) Il residuo è inferiore al divisore, quindi, meno di 15. Ma dobbiamo specificare il più grande equilibrio. Questo è il numero più vicino al divisore. Questo è il numero 14.
Trova divisibile: a) A: 6 \u003d 3 (OST 4) B) C: 24 \u003d 4 (East.11)
a) Solando con l'aiuto della formula:
A \u003d B⋅C + D
(A - Delimi, B - Divisore, C - Incompleto privato, D - residuo.)
A: 6 \u003d 3 (OST.4)
(A - Delimi, 6 - Divisore, 3 - Incompleto privato, 4 - residuo.) Sostituisci i numeri nella formula:
A \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Risposta: A \u003d 22
A \u003d B⋅C + D
(A - Delimi, B - Divisore, C - Incompleto privato, D - residuo.)
C: 24 \u003d 4 (est.11)
(C - Delimi, 24 - Divisore, 4 - Incompleto privato, 11 - residuo.) Sostituisci i numeri nella formula:
C \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Risposta: c \u003d 107
Per prima cosa devi tradurre metri per centimetri.
4m. \u003d 400 cm.
Puoi condividere una colonna o nella mente che otterremo:
400: 13 \u003d 30 (OST.10)
Dai un'occhiata:
13⋅30+10=390+10=400Vista generale della divisione dei numeri interi con residui
Teorema sulla divinità degli interi con il residuo
Comunicazione tra divisibile, divisore, privato incompleto e residuo
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