1. Sistemi di equazioni lineari con parametro

I sistemi di equazioni lineari con un parametro vengono risolti con gli stessi metodi di base dei sistemi di equazioni convenzionali: metodo di sostituzione, metodo di addizione di equazioni e metodo grafico. La conoscenza dell'interpretazione grafica dei sistemi lineari facilita la risposta alla domanda sul numero di radici e sulla loro esistenza.

Esempio 1.

Trova tutti i valori per il parametro a per il quale il sistema di equazioni non ha soluzioni.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y \u003d 2.

Decisione.

Consideriamo diversi modi per risolvere questo compito.

1 via. Usiamo la proprietà: il sistema non ha soluzioni se il rapporto dei coefficienti davanti a x è uguale al rapporto dei coefficienti davanti a y, ma non è uguale al rapporto dei termini liberi (a / a 1 \u003d b / b 1 ≠ c / c 1). Poi abbiamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 o sistema

(a 2 - 3 \u003d 1,
(a ≠ 2.

Dalla prima equazione a 2 \u003d 4, quindi, tenendo conto della condizione che a ≠ 2, si ottiene la risposta.

Risposta: a \u003d -2.

Metodo 2.Risolviamo con metodo di sostituzione.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x \u003d 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x \u003d 2 - y.

Dopo aver posizionato il fattore comune y nella prima equazione fuori dalle parentesi, otteniamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x \u003d 2 - y.

Il sistema non ha soluzioni se la prima equazione non ha soluzioni, cioè

(a 2-4 \u003d 0,
(a - 2 ≠ 0.

Ovviamente a \u003d ± 2, ma tenendo conto della seconda condizione, la risposta è solo una risposta con meno.

Risposta: a \u003d -2.

Esempio 2.

Trova tutti i valori per il parametro a per il quale il sistema di equazioni ha un insieme infinito di soluzioni.

(8x + ay \u003d 2,
(ax + 2y \u003d 1.

Decisione.

Per proprietà, se il rapporto dei coefficienti in xey è lo stesso ed è uguale al rapporto dei termini liberi del sistema, allora ha un insieme infinito di soluzioni (cioè, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Quindi 8 / a \u003d a / 2 \u003d 2/1. Risolvendo ciascuna delle equazioni ottenute, troviamo che a \u003d 4 - la risposta in questo esempio.

Risposta: a \u003d 4.

2. Sistemi di equazioni razionali con un parametro

Esempio 3.

(3 | x | + y \u003d 2,
(| x | + 2y \u003d a.

Decisione.

Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2:

(6 | x | + 2y \u003d 4,
(| x | + 2y \u003d a.

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima, otteniamo 5 | x | \u003d 4 - a. Questa equazione avrà una soluzione unica per a \u003d 4. In altri casi, questa equazione avrà due soluzioni (per a< 4) или ни одного (при а > 4).

Risposta: a \u003d 4.

Esempio 4.

Trova tutti i valori del parametro a per cui il sistema di equazioni ha una soluzione unica.

(x + y \u003d a,
(y - x 2 \u003d 1.

Decisione.

Risolveremo questo sistema utilizzando il metodo grafico. Quindi, il grafico della seconda equazione del sistema è una parabola sollevata lungo l'asse Oy di un segmento unitario. La prima equazione definisce un insieme di rette parallele alla retta y \u003d -x (immagine 1)... Si vede chiaramente dalla figura che il sistema ha una soluzione se la retta y \u003d -x + a è tangente alla parabola nel punto con coordinate (-0.5; 1.25). Sostituendo queste coordinate nell'equazione con una linea retta invece di x e y, troviamo il valore del parametro a:

1,25 \u003d 0,5 + a;

Risposta: a \u003d 0,75.

Esempio 5.

Utilizzando il metodo di sostituzione, scoprire a quale valore del parametro a, il sistema ha una soluzione unica.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2) y \u003d 2.

Decisione.

Esprimiamo y dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda:

(y \u003d ax - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) \u003d 2.

Portiamo la seconda equazione nella forma kx \u003d b, che avrà un'unica soluzione per k ≠ 0. Abbiamo:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Il trinomio quadrato a 2 + 3a + 2 può essere rappresentato come un prodotto di parentesi

(a + 2) (a + 1), ea sinistra eliminiamo x fuori dalle parentesi:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Ovviamente un 2 + 3a non dovrebbe essere uguale a zero, quindi,

a 2 + 3a ≠ 0, a (a + 3) ≠ 0, quindi a ≠ 0 e ≠ -3.

Risposta:a ≠ 0; ≠ -3.

Esempio 6.

Utilizzando il metodo della soluzione grafica, determinare a quale valore del parametro a, il sistema ha una soluzione univoca.

(x 2 + y 2 \u003d 9,
(y - | x | \u003d a.

Decisione.

In base alla condizione, costruiamo un cerchio con un centro all'origine e un raggio di 3 segmenti unitari, è quello impostato dalla prima equazione del sistema

x 2 + y 2 \u003d 9. La seconda equazione del sistema (y \u003d | x | + a) è una linea spezzata. Attraverso figura 2 consideriamo tutti i possibili casi della sua posizione rispetto al cerchio. È facile vedere che a \u003d 3.

Risposta: a \u003d 3.

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Lo studio e la soluzione di equazioni con parametri non è considerata la sezione più semplice della matematica scolastica. Tuttavia, il parametro, come concetto, è spesso percepito dagli scolari come molto più complesso di quanto non sia in realtà. Qui, nel primo paragrafo, vengono presentati esempi introduttivi molto semplici dell'uso dei parametri nelle equazioni. Coloro per i quali questo concetto non pone grandi difficoltà possono andare direttamente alla soluzione dei problemi che vengono presentati di seguito.

Cos'è un'equazione con un parametro?

Diamo un'occhiata a un esempio.

Diciamo che dobbiamo risolvere l'equazione 2x + 5 = 2 − x.
Decisione: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Ora dobbiamo risolvere l'equazione 2x + 5 = 3 − x.
Decisione: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3 ~ −0,67.

Quindi devi risolvere l'equazione 2x + 5 = 0,5 − x.
Decisione: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

E poi potresti dover risolvere l'equazione 2x + 5 = 10,7 − x o equazione 2x + 5 = −0,19 − x.
È chiaro che le equazioni sono simili e quindi la loro soluzione sarà accompagnata dalle stesse azioni di cui sopra. Sorge una domanda naturale: quanto puoi fare la stessa cosa?

Riduciamo i nostri costi di manodopera. Notare che tutte queste equazioni differiscono per un solo numero sul lato destro. Indichiamo questo numero con il simbolo un .
Otteniamo l'equazione 2x + 5 = un − x,
Dove un - variabile, al posto della quale è possibile sostituire il valore numerico desiderato e ottenere l'equazione desiderata. Questa variabile è chiamata parametro.

Risolviamo questa equazione allo stesso modo di tutte le precedenti.
Decisione: 2x + 5 = un − x; 2x + x = un − 5; 3x = un − 5; x = (un − 5)/3.

Ora, per trovare risposte per gli ultimi due esempi, non è necessario ripetere l'intera soluzione di ciascuna equazione, ma semplicemente sostituirla nella formula risultante per x valore del parametro numerico e:
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Quindi, il termine "equazione con un parametro", infatti, nasconde un'intera famiglia di "equazioni quasi identiche" che differiscono l'uno dall'altro per un solo numero (un termine o un coefficiente) e si risolvono allo stesso modo. Un parametro è un numero che cambia da equazione a equazione.
Possiamo programmare la formula risultante per la radice dell'equazione su un computer. Sarà sufficiente inserire il valore del parametro unper ottenere una soluzione a qualsiasi equazione del genere.

Facciamo un altro esempio.

È necessario risolvere diverse equazioni:
2x + 5 = 2 − x;
3x + 5 = 2 − x;
−4x + 5 = 2 − x;
17x + 5 = 2 − x;
0,5x + 5 = 2 − x.

Si noti che sono simili tra loro e differiscono solo per il primo coefficiente. Lo denotiamo, ad esempio, con il simbolo k.
Risolviamo l'equazione kx + 5 = 2 − x con parametro k.

Decisione:
kx + 5 = 2 − x;
kx + x = 2 − 5;
(k + 1)x = −3;
x = −3/(k + 1).

Usando questa formula, calcoliamo tutte le risposte per le equazioni precedenti.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6 ~ −0,167
x = −3/(0,5 + 1) = −2

Possiamo ora programmare questa formula e dire che può essere utilizzata per risolvere qualsiasi equazione simile?
Possiamo programmare. Il computer può gestire sia valori molto grandi del coefficiente che valori molto piccoli.
Ad esempio, se inseriamo k \u003d 945739721, quindi per un'equazione di una data forma, la radice sarà approssimativamente uguale a −0,0000000031721201195353831188, se k \u003d 0.0000004, quindi otteniamo la radice ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Ma se introduciamo nel programma il valore apparentemente più semplice k \u003d -1, quindi il computer si bloccherà.
Perché?

Diamo uno sguardo più da vicino alla formula x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Divisione per zero ?!!
Diamo un'occhiata all'equazione corrispondente −1 x + 5 = 2 − x.
Trasformiamolo −x + x = 2 − 5.
Risulta che è equivalente all'equazione 0 \u003d −3 ( ?!! ) e non può avere radici.
Pertanto, potrebbero esserci eccezioni all'approccio generale alla risoluzione di "equazioni quasi identiche" che devono essere trattate separatamente. Quelli. condurre uno studio preliminare dell'intera famiglia di equazioni. Questo è ciò che imparano durante le lezioni di matematica utilizzando i cosiddetti problemi dei parametri.

Modi grafici per risolvere le equazioni

Per prima cosa, ricordiamoci cos'è un modo grafico per risolvere un'equazione ordinaria (senza un parametro).
Sia data un'equazione della forma f (x) \u003d g (x). Costruiamo grafici delle funzioni y \u003d f (x) e y \u003d g (x) e troviamo i punti di intersezione di questi grafici. Le ascisse dei punti di intersezione sono le radici dell'equazione.

Per abbozzare rapidamente i grafici, ripetere di nuovo quelli studiati nel corso di matematica della scuola e

Consideriamo alcuni esempi.

1. Risolvi l'equazione
2x + 5 = 2 − x

Risposta: x = −1 .

2. Risolvi l'equazione
2x 2 + 4x − 1 = 2x + 3

Risposta: x 1 = -2; x 2 = 1 .

3. Risolvi l'equazione
log 2 x = −0,5x + 4

Risposta: x = 2 .

È anche possibile risolvere analiticamente le prime due delle equazioni di cui sopra, poiché si tratta di equazioni lineari e quadratiche ordinarie. La seconda equazione contiene funzioni di classi diverse: potenza (qui, lineare) e trascendentale (qui, logaritmica). In questi casi, la scelta delle soluzioni per gli scolari è molto limitata. In effetti, l'unico metodo disponibile è la soluzione grafica.

Attenzione: Per le radici trovate graficamente, un controllo è obbligatorio! Sei sicuro che nella terza figura l'intersezione sia esattamente nel punto x \u003d 4 e non al punto 3.9 o 4.1? E se in un esame reale non sei in grado di tracciare il grafico abbastanza accuratamente? In un disegno a mano libera, la diffusione può essere anche maggiore. Pertanto, l'algoritmo delle azioni dovrebbe essere il seguente:

  1. Conclusione preliminare: x ≈ 4.
  2. Verifica: log 2 4 \u003d −0,5 4 + 4; 2 \u003d −2 + 4; 2 ≡ 2.
  3. Conclusione finale x = 4.

Per risolvere graficamente equazioni con parametri, è necessario costruire non singoli grafici, ma le loro famiglie.

Risolvere equazioni con parametri utilizzando grafici.

Obiettivo 1.

q per cui l'equazione |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 ha esattamente 2 radici.

Per ogni valore del parametro q puoi calcolare il valore dell'espressione q 2 − 8q + 13 ... Il risultato è indicato dalla variabile e.
Quelli. accettare q 2 − 8q + 13 = un e risolvi l'equazione con il parametro |x + 1| − |x − 3| − x = un

Tracciare una funzione y = |x + 1| − |x − 3| − x situato sul lato sinistro dell'equazione.
Per fare ciò, divideremo l'asse numerico in segmenti per punti in cui ciascuno dei moduli incontrati assume un valore zero.

|x + 1| = 0; x = −1;
|x − 3| = 0; x = 3.


Per ciascuna di queste sezioni, apriremo i moduli tenendo conto dei segni.
Ricordiamo: priorato |x| = x , Se x ≥ 0 e |x| = −x , Se x < 0 ... Per verificare la segnaletica dei moduli sul sito è sufficiente sostituire un qualsiasi valore intermedio x da questo segmento, ad esempio, −2, 0 e 4.

Così sul sito iodove −∞ < x ≤ −1, noi abbiamo −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Pertanto, dobbiamo tracciare la funzione y = − x − 4 .
Questa è una funzione lineare. Il suo grafico è una linea retta che può essere tracciata utilizzando due punti, ad esempio, x = 0, y = −4 e a = 0, x = −4. Tracciamo l'intera linea retta con una linea chiara, quindi selezioniamo la parte del grafico relativa solo all'area in esame.

Allo stesso modo, ci occupiamo delle restanti due sezioni.

Posizione attiva II, dove −1 < x ≤ 3, abbiamo (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
y = x − 2 .

Posizione attiva IIIdove 3 < x ≤ ∞ , noi abbiamo (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
e deve tracciare la parte corrispondente del grafico della funzione y = − x + 4 .

La costruzione sequenziale del grafico finale è mostrata di seguito. (Per ingrandire l'immagine, è necessario fare clic su di essa con il tasto sinistro del mouse.)

Commento: se hai imparato l'argomento, puoi affrontare questa parte del problema più velocemente di quanto mostrato nell'esempio.

Quindi, abbiamo finito di tracciare la funzione situata sul lato sinistro dell'equazione. Vediamo cosa c'è sul lato destro.

Grafico delle funzioni y = un è una linea retta parallela all'asse delle ascisse ( Bue) e intersecando l'asse delle ordinate ( Oy) al punto e ... Perché e - un parametro che può assumere valori diversi, quindi è necessario costruire un'intera famiglia di tali linee parallele che intersecano l'asse delle ordinate a diverse altezze. Ovviamente non possiamo costruire tutti i grafici della famiglia, poiché ce ne sono un numero infinito. Ad esempio, rappresentiamo diversi pezzi nell'area del grafico delle funzioni già costruito. Di seguito famiglie dirette y = un mostrato in rosso.


La figura mostra che il numero di punti di intersezione di ciascuna delle linee rosse con il grafico (verde) precedentemente costruito dipende dall'altezza alla quale si trova questa linea, ad es. dal parametro e ... Linee rette sotto y \u003d −3 interseca il grafico in un punto, il che significa che queste equazioni hanno una sola soluzione. Linee rette che passano al livello −3< y < 1 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y \u003d 1, ancora una volta hanno un solo punto di intersezione.
Esattamente due punti di intersezione con il grafico verde avranno solo linee rette y \u003d 1 e y \u003d −3. Le equazioni corrispondenti avranno esattamente due radici, che dovevano essere determinate nell'attività.

Tuttavia, abbiamo trovato il valore del parametro che abbiamo inserito e, per cui l'equazione data ha 2 radici e il problema era trovare tutti i valori del parametro q ... Per fare ciò, devi risolvere il seguente insieme di equazioni:

Queste sono equazioni quadratiche ordinarie che possono essere risolte usando il discriminante o il teorema di Vieta.


Quindi, la finale risposta: (2; 4; 6).

Obiettivo 2.

Trova tutti i valori dei parametri un per cui l'equazione (2 − x)x(x − 4) = un ha esattamente 3 radici.

Considera la funzione y = (2 − x)x(x − 4) ... Si può vedere che se espandi le parentesi, lo sarà il termine senior −x 3 ... Quelli. il grafico della funzione deve essere una parabola cubica, e a xtendente a + ∞, y → −∞, e per xtendente a −∞, y → +∞.
Poiché l'equazione (2 − x)x(x − 4) = 0 ha tre radici 2, 0 e 4, quindi il grafico della funzione attraverserà tre volte l'asse delle ascisse.
È chiaro che nelle suddette condizioni il grafico della funzione continua deve avere una sezione ad "onda". Disegnare il grafico a mano.

Lato destro dell'equazione y = un lo stesso dell'attività precedente. Pertanto, ulteriori costruzioni non richiedono commenti. Guarda le foto. Clicca per ingrandire.




Si può vedere dalle figure che le rette che separano le rette con tre punti di intersezione da altri casi passano per gli estremi della funzione cubica. Pertanto, determiniamo i valori y max e y min attraverso la derivata. (Non è necessario indagare completamente la funzione, poiché possiamo vedere la posizione approssimativa dei punti estremi sullo schizzo del grafico.) Si noti che quando si calcolano i valori della funzione, vengono utilizzati valori esatti x e formule di moltiplicazione abbreviate. I valori approssimativi non vengono utilizzati nei calcoli intermedi.

Risposta:

Il compito di una soluzione indipendente

Obiettivo 3.

A qual è il valore negativo più grande del parametro e l'equazione ha una radice?

Mostra soluzione.

Per ingrandire l'immagine, è necessario fare clic sinistro su di essa.
Sposta 2 x a destra dell'equazione, di conseguenza, otteniamo due funzioni elementari, i cui grafici sono stati studiati a scuola.
Dalla figura vediamo che la linea che tocca il grafico soddisfa la condizione del problema. Pertanto, per ulteriori calcoli, utilizziamo le seguenti condizioni:
1) la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente è uguale alla derivata della funzione nel punto di tangenza;
2) la retta parametrica desiderata e il grafico hanno un punto comune.
Durante il calcolo, ignoriamo il modulo, poiché li eseguiamo per la parte destra della curva ( x > 0 ).

Risposta: -1,625

Il compito del vero esame ZNO-2013 (http://www.osvita.ua/).

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Per quali valori del parametro $ a $ la disuguaglianza $ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1\u003e 0 $ ha almeno una soluzione?

Decisione

Riduciamo questa disuguaglianza a un coefficiente positivo per $ x ^ 2 $:

$ () - x ^ 2 + (a + 2) x - 8a - 1\u003e 0 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad x ^ 2 - (a + 2) x + 8a + 1< 0 .$

Calcoliamo il discriminante: $ D \u003d (a + 2) ^ 2 - 4 (8a + 1) \u003d a ^ 2 + 4a + 4 - 32a - 4 \u003d a ^ 2 - 28a $. Affinché questa disuguaglianza abbia una soluzione, è necessario che almeno un punto della parabola si trovi al di sotto dell'asse $ x $. Poiché i rami della parabola sono diretti verso l'alto, allora per questo è necessario che il trinomio quadrato sul lato sinistro della disuguaglianza abbia due radici, cioè il suo discriminante sia positivo. Veniamo alla necessità di risolvere la disuguaglianza quadrata $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $. Il trinomio quadrato $ a ^ 2 - 28a $ ha due radici: $ a_1 \u003d 0 $, $ a_2 \u003d 28 $. Pertanto, la disuguaglianza $ a ^ 2 - 28a\u003e 0 $ è soddisfatta dagli intervalli $ a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (28; + \\ infty) $.

Risposta. $ a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (28; + \\ infty) $.

Per quali valori del parametro $ a $ l'equazione $ (a-2) x ^ 2-2ax + a + 3 \u003d 0 $ ha almeno una radice e tutte le radici sono positive?

Decisione

Sia $ a \u003d 2 $. Quindi l'equazione assume la forma $ () - 4x +5 \u003d 0 $, da cui si ottiene che $ x \u003d \\ dfrac (5) (4) $ è una radice positiva.

Ora lascia $ a \\ ne 2 $. Risulta un'equazione quadratica. Determiniamo prima per quali valori del parametro $ a $ questa equazione ha radici. È necessario che il suo discriminante non sia negativo. Cioè:

$ D \u003d 4a ^ 2 - 4 (a-2) (a + 3) \u003d () -4a + 24 \\ geqslant 0 \\ Leftrightarrow a \\ leqslant 6. $

Le radici per condizione devono essere positive, quindi dal teorema di Vieta si ricava il sistema:

$ \\ begin (case) x_1 + x_2 \u003d \\ dfrac (2a) (a - 2)\u003e 0, \\\\ x_1x_2 \u003d \\ dfrac (a + 3) (a - 2)\u003e 0, \\\\ a \\ leqslant 6 \\ end (casi) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (casi) a \\ in (- \\ infty; 0) \\ cup (2; + \\ infty), \\\\ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup ( 2; + \\ infty), \\\\ a \\ in (- \\ infty; 6] \\ end (cases) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup (2; 6]. $

Combinando le risposte, otteniamo il set richiesto: $ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup $.

Risposta. $ a \\ in (- \\ infty; -3) \\ cup $.

Per quali valori del parametro $ a $ la disuguaglianza $ ax ^ 2 + 4ax + 5 \\ leqslant 0 $ non ha soluzioni?

Decisione

  1. Se $ a \u003d 0 $, allora questa disuguaglianza degenera nella disuguaglianza $ 5 \\ leqslant 0 $, che non ha soluzioni. Pertanto, il valore $ a \u003d 0 $ soddisfa la condizione del problema.
  2. Se $ a\u003e 0 $, il grafico del trinomio quadrato a sinistra della disuguaglianza è una parabola con rami rivolti verso l'alto. Calcola $ \\ dfrac (D) (4) \u003d 4a ^ 2 - 5a $. La disuguaglianza non ha soluzioni se la parabola si trova sopra l'asse delle ascisse, cioè quando il trinomio quadrato non ha radici ($ D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
  3. Se $ a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Risposta. $ a \\ in \\ left $ si trova tra le radici, quindi devono esserci due radici (quindi $ a \\ ne 0 $). Se i rami della parabola $ y \u003d ax ^ 2 + (a + 3) x - 3a $ sono diretti verso l'alto, allora $ y (-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) > 0 $ e $ y (1)\u003e 0 $.

Caso I. Sia $ a\u003e 0 $. Poi

$ \\ sinistra \\ (\\ begin (array) (l) y (-1) \u003d a- (a + 3) -3a \u003d -3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \\ end (array) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ left \\ (\\ begin (array) (l) a\u003e -1 \\\\ a\u003e 3 \\\\ a\u003e 0 \\ end (array) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a\u003e 3. $

Cioè, in questo caso risulta che tutti i $ a\u003e 3 $ sono adatti.

Caso II. Sia $ a< 0$. Тогда

$ \\ sinistra \\ (\\ begin (array) (l) y (-1) \u003d a- (a + 3) -3a \u003d -3a-3\u003e 0 \\\\ y (1) \u003d a + (a + 3) - 3a \u003d -a + 3\u003e 0 \\\\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Cioè, in questo caso, risulta che tutti i $ a< -1$.

Risposta. $ a \\ in (- \\ infty; -1) \\ cup (3; + \\ infty) $

Trova tutti i valori del parametro $ a $, per ognuno dei quali il sistema di equazioni

$ \\ inizio (casi) x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 2a, \\\\ 2xy \u003d 2a-1 \\ end (casi) $

ha esattamente due soluzioni.

Decisione

Sottrai il secondo dal primo: $ (x-y) ^ 2 \u003d 1 $. Poi

$ \\ left [\\ begin (array) (l) x-y \u003d 1, \\\\ x-y \u003d -1 \\ end (array) \\ right. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ left [\\ begin (array) (l) x \u003d y + 1, \\\\ x \u003d y-1. \\ end (array) \\ right. $

Sostituendo le espressioni ottenute nella seconda equazione del sistema, si ottengono due equazioni quadratiche: $ 2y ^ 2 + 2y - 2a + 1 \u003d 0 $ e $ 2y ^ 2 - 2y - 2a + 1 \u003d 0 $. Il discriminante di ciascuno di essi è $ D \u003d 16a-4 $.

Si noti che non può accadere che una coppia di radici della prima delle equazioni quadratiche coincida con una coppia di radici della seconda equazione quadratica, poiché la somma delle radici della prima è $ -1 $ e la seconda è 1.

Ciò significa che ciascuna di queste equazioni deve avere una radice, quindi il sistema originale avrà due soluzioni. Cioè, $ D \u003d 16a - 4 \u003d $ 0.

Risposta. $ a \u003d \\ dfrac (1) (4) $

Trova tutti i valori del parametro $ a $, per ognuno dei quali l'equazione $ 4x- | 3x- | x + a || \u003d 9 | x-3 | $ ha due radici.

Decisione

Riscriviamo l'equazione come:

$ 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || \u003d 0. $

Considera la funzione $ f (x) \u003d 9 | x-3 | -4x + | 3x- | x + a || $.

Per $ x \\ geqslant 3 $, il primo modulo viene espanso con un segno più e la funzione diventa: $ f (x) \u003d 5x-27 + | 3x- | x + a || $. Ovviamente, qualsiasi espansione dei moduli risulterà eventualmente in una funzione lineare con il coefficiente $ k \\ geqslant 5-3-1 \u003d 1\u003e 0 $, ovvero questa funzione aumenta indefinitamente su questo intervallo.

Considera ora l'intervallo $ x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Quindi, abbiamo ottenuto che $ x \u003d 3 $ è il punto minimo di questa funzione. Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia due soluzioni, il valore della funzione nel punto minimo deve essere inferiore a zero. Cioè, la disuguaglianza vale: $ f (3)<0$.

$ 12- | 9- | 3 + a ||\u003e 0 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad | 9- | 3 + a ||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$ \\ Leftrightarrow \\ quad | 3 + a |< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Risposta. $ a \\ in (-24; 18) $

Per quali valori del parametro $ a $ l'equazione $ 5 ^ (2x) -3 \\ cdot 5 ^ x + a-1 \u003d 0 $ ha un'unica radice?

Decisione

Apportiamo la modifica: $ t \u003d 5 ^ x\u003e 0 $. Quindi l'equazione originale assume la forma di un'equazione quadratica: $ t ^ 2-3t + a-1 \u003d 0 $. L'equazione originale avrà una sola radice nel caso in cui questa equazione abbia una radice positiva o due radici, una delle quali è positiva, l'altra negativa.

Il discriminante dell'equazione è: $ D \u003d 13-4a $. Questa equazione avrà una radice se il discriminante risultante è uguale a zero, ovvero per $ a \u003d \\ dfrac (13) (4) $. Inoltre, la radice $ t \u003d \\ dfrac (3) (2)\u003e 0 $, quindi il valore dato $ a $ è adatto.

Se ci sono due radici, una delle quali è positiva e l'altra non è positiva, allora $ D \u003d 13-4a\u003e 0 $, $ x_1 + x_2 \u003d 3\u003e 0 $ e $ x_1x_2 \u003d a - 1 \\ leqslant 0 $ .

Cioè $ a \\ in (- \\ infty; 1] $

Risposta. $ a \\ in (- \\ infty; 1] \\ cup \\ left \\ (\\ dfrac (13) (4) \\ right \\) $

Trova tutti i valori del parametro $ a $ per cui il sistema

$ \\ begin (case) \\ log_a y \u003d (x ^ 2-2x) ^ 2, \\\\ x ^ 2 + y \u003d 2x \\ end (case) $

ha esattamente due soluzioni.

Decisione

Trasformiamo il sistema nella seguente forma:

$ \\ begin (case) \\ log_a y \u003d (2x-x ^ 2) ^ 2, \\\\ y \u003d 2x-x ^ 2. \\ end (casi) $

Poiché il parametro $ a $ è alla base del logaritmo, gli vengono imposte le seguenti restrizioni: $ a\u003e 0 $, $ a \\ ne 1 $. Poiché la variabile $ y $ è l'argomento del logaritmo, $ y\u003e 0 $.

Dopo aver combinato entrambe le equazioni del sistema, passiamo all'equazione: $ \\ log_a y \u003d y ^ 2 $. A seconda di quali valori assume il parametro $ a $, sono possibili due casi:

  1. Sia $ 0< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y > 0 $. Dal comportamento dei grafici risulta evidente che la radice dell'equazione è una, mentre è minore di 1. La seconda equazione del sistema e l'intero sistema nel suo insieme hanno dunque due soluzioni, poiché il discriminante del equazione $ x ^ 2-2x + y \u003d 0 $ a $ 0
  2. Ora lascia che $ a\u003e 1 $. In questo caso, la funzione $ f (y) \u003d \\ log_a y \\ leqslant 0 $ per $ y< 1$, а функция $g(y) = y^2 > 0 $ per lo stesso $ y $. Quindi, se ci sono soluzioni, allora solo per $ y\u003e 1 $, ma la seconda equazione del sistema di soluzioni non avrà, poiché il discriminante dell'equazione $ x ^ 2 - 2x + y \u003d 0 $ per $ y\u003e 1 $ è negativo.

Risposta. $ a \\ in (0; 1) $

Considera il caso in cui $ a\u003e 1 $. Poiché per valori modulo grandi di $ t $ il grafico della funzione $ f (t) \u003d a ^ t $ si trova sopra la retta $ g (t) \u003d t $, allora l'unico punto comune può essere solo un punto di tangenza.

Sia $ t_0 $ il punto di tangenza. A questo punto la derivata a $ f (t) \u003d a ^ t $ è uguale a uno (la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente), inoltre, i valori di entrambe le funzioni coincidono, cioè la sistema si svolge:

$ \\ begin (case) a ^ (t_0) \\ ln a \u003d 1, \\\\ a ^ (t_0) \u003d t_0 \\ end (case) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (case) a ^ (t_0) \u003d \\ dfrac (1) (\\ ln a), \\\\ a ^ (\\ tau) \u003d \\ tau \\ end (case) $

Da qui $ t_0 \u003d \\ dfrac (1) (\\ ln a) $.

$ a ^ (\\ frac (1) (\\ ln a)) \\ ln a \u003d 1 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a ^ (\\ log_a e) \u003d \\ frac (1) (\\ ln a) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a \u003d e ^ (\\ frac (1) (e)). $

Inoltre, la retta e la funzione esponenziale non hanno ovviamente altri punti in comune.

Risposta. $ a \\ in (0; 1] \\ cup \\ left \\ (e ^ (e ^ (- 1)) \\ right \\) $

L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, costruzioni edili e persino sport. L'uomo usava le equazioni nell'antichità e da allora la loro applicazione è solo aumentata. In matematica, ci sono problemi in cui è necessario cercare soluzioni di equazioni lineari e quadratiche in forma generale o cercare il numero di radici che l'equazione ha a seconda del valore del parametro. Tutte queste attività con parametri.

Considera le seguenti equazioni come esempio illustrativo:

\\ [y \u003d kx, \\] dove \\ - variabili, \\ - parametro;

\\ [y \u003d kx + b, \\] dove \\ - variabili, \\ - parametro;

\\ [ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\] dove \\ è una variabile, \\ [a, b, c \\] è un parametro.

Risolvere un'equazione con un parametro significa, di regola, risolvere un numero infinito di equazioni.

Tuttavia, seguendo un certo algoritmo, puoi facilmente risolvere le seguenti equazioni:

1. Determinare i valori di "controllo" del parametro.

2. Risolvi l'equazione originale per [\\ x \\] ai valori dei parametri definiti nel primo paragrafo.

3. Risolvi l'equazione originale per [\\ x \\] con valori dei parametri diversi da quelli selezionati nel primo paragrafo.

Supponiamo che venga fornita la seguente equazione:

\\ [\\ mid 6 - x \\ mid \u003d a. \\]

Dopo aver analizzato i dati iniziali, si può vedere che \\ [\\ ge 0. \\]

Secondo la regola del modulo \\ express \\

Risposta: \\ dove \\

Dove puoi risolvere l'equazione con un parametro online?

Puoi risolvere l'equazione sul nostro sito web https: // site. Un risolutore online gratuito ti consentirà di risolvere online un'equazione di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche guardare un video di istruzioni e imparare come risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai ancora domande, puoi porle nel nostro gruppo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, siamo sempre felici di aiutarti.