Uno dei primi argomenti studiati nel corso di algebra sono le formule di moltiplicazione abbreviate. Nel grado 7, vengono utilizzati nelle situazioni più semplici in cui è necessario riconoscere una delle formule in un'espressione ed eseguire una fattorizzazione polinomiale o, al contrario, aumentare rapidamente la somma o la differenza a un quadrato o un cubo. In futuro, la FSU viene utilizzata per risolvere rapidamente disequazioni ed equazioni e persino per calcolare alcune espressioni numeriche senza una calcolatrice.
Che aspetto ha un elenco di formule
Esistono 7 formule di base che consentono di moltiplicare rapidamente i polinomi tra parentesi.
A volte questo elenco include anche un'espansione per il quarto grado, che segue dalle identità presentate e ha la forma:
a⁴ - b⁴ \u003d (a - b) (a + b) (a² + b²).
Tutte le uguaglianze hanno una coppia (somma - differenza), ad eccezione della differenza dei quadrati. Per la somma dei quadrati, la formula non è data.
Il resto delle uguaglianze sono facili da ricordare:
Va ricordato che gli UST funzionano in ogni caso e per qualsiasi valore un e b: Possono essere numeri arbitrari o espressioni intere.
In una situazione, se improvvisamente non riesci a ricordare quale segno c'è nella formula davanti a uno o un altro termine, puoi aprire le parentesi e ottenere lo stesso risultato dopo aver usato la formula. Ad esempio, se si è verificato un problema durante l'applicazione dell'UST del cubo della differenza, è necessario annotare l'espressione originale e eseguire la moltiplicazione a turno:
(a - b) ³ \u003d (a - b) (a - b) (a - b) \u003d (a² - ab - ab + b²) (a - b) \u003d a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ \u003d a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Di conseguenza, dopo aver ridotto tutti i termini simili, è stato ottenuto lo stesso polinomio della tabella. Le stesse manipolazioni possono essere eseguite con tutti gli altri UST.
Applicazione di UST per la risoluzione di equazioni
Ad esempio, è necessario risolvere un'equazione contenente polinomio di grado 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 \u003d 0.
Il curriculum scolastico non considera le tecniche universali per la risoluzione di equazioni cubiche e tali compiti sono spesso risolti con metodi più semplici (ad esempio, la fattorizzazione). Se noti che il lato sinistro dell'identità ricorda un cubo di una somma, l'equazione può essere scritta in una forma più semplice:
(x + 1) ³ \u003d 0.
La radice di tale equazione viene calcolata oralmente: x \u003d -1.
Le disuguaglianze vengono risolte in modo simile. Ad esempio, possiamo risolvere la disuguaglianza x³ - 6x² + 9x\u003e 0.
Prima di tutto, devi considerare l'espressione. Per prima cosa devi rimuovere le parentesi x... Dopodiché, dovresti notare che l'espressione tra parentesi può essere convertita nel quadrato della differenza.
Quindi è necessario trovare i punti in cui l'espressione assume valori zero e contrassegnarli sulla linea dei numeri. In un caso particolare, questi saranno 0 e 3. Quindi, utilizzando il metodo dell'intervallo, determinare in quali intervalli x corrisponderanno alla condizione di disuguaglianza.
Gli UST possono essere utili durante l'esecuzione alcuni calcoli senza l'ausilio di una calcolatrice:
703² - 203² \u003d (703 + 203) (703 - 203) \u003d 906 ∙ 500 \u003d 453000.
Inoltre, fattorizzando le espressioni, è possibile ridurre facilmente le frazioni e semplificare varie espressioni algebriche.
Esempi di compiti per i gradi 7-8
In conclusione, analizzeremo e risolveremo due problemi sull'applicazione delle formule per la moltiplicazione abbreviata in algebra.
Attività 1. Semplifica l'espressione:
(m + 3) ² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).
Decisione. Nella condizione del compito, è necessario semplificare l'espressione, cioè aprire le parentesi, eseguire le operazioni di moltiplicazione ed esponenziazione e anche portare tutti questi termini. Dividiamo condizionatamente l'espressione in tre parti (in base al numero di termini) e apriamo le parentesi una per una, applicando l'UST ove possibile.
- (m + 3) ² \u003d m² + 6m + 9 (il quadrato della somma);
- (3m + 1) (3m - 1) \u003d 9m² - 1 (differenza di quadrati);
- Nell'ultimo periodo, devi moltiplicare: 2m (5m + 3) \u003d 10m² + 6m.
Sostituiamo i risultati ottenuti nell'espressione originale:
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
Tenendo conto dei segni, apriremo le parentesi e daremo termini simili:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m \u003d 8.
Problema 2. Risolvi l'equazione contenente l'incognita k alla 5a potenza:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k \u003d k³.
Decisione. In questo caso, è necessario utilizzare l'UST e il metodo di raggruppamento. È necessario trasferire l'ultimo e il penultimo termine sul lato destro dell'identità.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ \u003d k³ + 4k² + 4k.
Il fattore comune viene tolto dai lati destro e sinistro (k² + 4k +4):
k³ (k² + 4k + 4) \u003d k (k² + 4k + 4).
Tutto viene trasferito a sinistra dell'equazione in modo che 0 rimanga a destra:
k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) \u003d 0.
Ancora una volta, è necessario eliminare il fattore comune:
(k³ - k) (k² + 4k + 4) \u003d 0.
Dal primo fattore ottenuto, puoi prendere k... Secondo la formula per la moltiplicazione breve, il secondo fattore sarà identicamente uguale a (k + 2) ²:
k (k² - 1) (k + 2) ² \u003d 0.
Usando la formula della differenza dei quadrati:
k (k - 1) (k + 1) (k + 2) ² \u003d 0.
Poiché il prodotto è uguale a 0, se almeno uno dei suoi fattori è zero, non sarà difficile trovare tutte le radici dell'equazione:
- k \u003d 0;
- k - 1 \u003d 0; k \u003d 1;
- k + 1 \u003d 0; k \u003d -1;
- (k + 2) ² \u003d 0; k \u003d -2.
Sulla base di esempi illustrativi, puoi capire come ricordare le formule, le loro differenze e anche risolvere diversi problemi pratici usando la FSU. Le attività sono semplici e non dovrebbero esserci difficoltà a completarle.
Espressione ( un + b) 2 è somma al quadrato numeri un e b... Per definizione del grado, l'espressione ( un + bun + b)(un + b). Quindi, dal quadrato della somma, possiamo concludere che
(un + b) 2 = (un + b)(un + b) = un 2 + ab + ab + b 2 = un 2 + 2ab + b 2 ,
ovvero, il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato del primo numero, più il doppio del prodotto del primo numero per il secondo, più il quadrato del secondo numero.
somma quadrata formula
(un + b) 2 = un 2 + 2ab + b 2
Polinomio un 2 + 2ab + b 2 è chiamata scomposizione del quadrato della somma.
Perché un e b denotare numeri o espressioni, quindi la regola ci dà la capacità di quadrare in modo abbreviato qualsiasi espressione che può essere considerata come la somma di due termini.
Esempio. Espressione quadrata 3 x 2 + 2xy.
Decisione: per non effettuare ulteriori trasformazioni utilizziamo la formula del quadrato della somma. Dovremmo ottenere la somma del quadrato del primo numero, il doppio del prodotto del primo numero e del secondo e il quadrato del secondo numero:
(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2
Ora, usando le regole di moltiplicazione e elevazione al potere dei monomi, semplifichiamo l'espressione risultante:
(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2
Differenza al quadrato
Espressione ( un - b) 2 è differenza al quadrato numeri un e b... Espressione ( un - b) 2 è il prodotto di due polinomi ( un - b)(un - b). Pertanto, dalla differenza al quadrato, possiamo concludere che
(un - b) 2 = (un - b)(un - b) = un 2 - ab - ab + b 2 = un 2 - 2ab + b 2 ,
cioè, il quadrato della differenza tra due numeri è uguale al quadrato del primo numero, meno due volte il prodotto del primo numero per il secondo, più il quadrato del secondo numero.
Ne consegue dalla regola che il generale formula differenza quadrata, senza trasformazioni intermedie, sarà simile a questo:
(un - b) 2 = un 2 - 2ab + b 2
Polinomio un 2 - 2ab + b 2 è chiamata scomposizione della differenza al quadrato.
Questa regola si applica alla quadratura abbreviata di espressioni che possono essere rappresentate come la differenza di due numeri.
Esempio. Immagina il quadrato della differenza come tre termini:
(2un 2 - 5ab 2) 2
Decisione: utilizzando la formula del quadrato della differenza troviamo:
(2un 2 - 5ab 2) 2 = (2un 2) 2 - 2(2un 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
Ora convertiamo l'espressione in un polinomio standard:
(2un 2) 2 - 2(2un 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4un 4 - 20un 3 b 2 + 25un 2 b 4
Differenza di quadrati
Espressione un 2 - b 2 è differenza di quadrati numeri un e b... Espressione un 2 - b 2 è un modo abbreviato per moltiplicare la somma di due numeri per la loro differenza:
(un + b)(un - b) = un 2 + ab - ab - b 2 = un 2 - b 2 ,
cioè, il prodotto della somma di due numeri per la loro differenza è uguale alla differenza dei quadrati di questi numeri.
Ne consegue dalla regola che il generale formula della differenza dei quadrati assomiglia a quello:
un 2 - b 2 = (un + b)(un - b)
Questa regola si applica alla moltiplicazione abbreviata di espressioni che possono essere rappresentate: una come somma di due numeri e l'altra come differenza degli stessi numeri.
Esempio. Converti il \u200b\u200blavoro in un binomio:
(5un 2 + 3)(5un 2 - 3)
Decisione:
(5un 2 + 3)(5un 2 - 3) = (5un 2) 2 - 3 2 = 25un 4 - 9
Nell'esempio, abbiamo applicato la formula per la differenza dei quadrati da destra a sinistra, ovvero, ci è stato dato il lato destro della formula e l'abbiamo convertito a sinistra:
(un + b)(un - b) = un 2 - b 2
In pratica, tutte e tre le formule considerate vengono applicate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra, a seconda della situazione.
Per semplificare i polinomi algebrici, ci sono formule di moltiplicazione abbreviate... Non ce ne sono così tanti e sono facili da ricordare, ma è necessario ricordarli. Le designazioni utilizzate nelle formule possono assumere qualsiasi forma (numero o polinomio).
Viene chiamata la prima formula per la moltiplicazione abbreviata differenza di quadrati... Consiste nel fatto che il quadrato del secondo numero viene sottratto dal quadrato di un numero, che è uguale alla differenza tra questi numeri, nonché il loro prodotto.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Analizziamo per chiarezza:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 \u003d (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Seconda formula su somma dei quadrati... Sembra che la somma di due quantità al quadrato sia uguale al quadrato della prima quantità, ad essa viene aggiunto il doppio prodotto della prima quantità moltiplicato per la seconda, a loro viene aggiunto il quadrato della seconda quantità.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
Grazie a questa formula, diventa molto più facile calcolare il quadrato di un numero elevato, senza l'uso del computer.
Quindi per esempio: il quadrato del 112 sarà
1) All'inizio, analizziamo il 112 in numeri i cui quadrati ci sono familiari
112 = 100 + 12
2) Inseriamo il risultato tra parentesi quadre
112 2 = (100+12) 2
3) Applicando la formula, otteniamo:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
La terza formula è differenza al quadrato... Il che afferma che i due valori sottratti nel quadrato sono uguali al fatto che, dal primo valore nel quadrato, sottraiamo il doppio prodotto del primo valore moltiplicato per il secondo, sommando loro il quadrato del secondo valore.
(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
dove (a - b) 2 è uguale a (b - a) 2. A riprova di ciò, (a-b) 2 \u003d a 2 -2ab + b 2 \u003d b 2 -2ab + a 2 \u003d (b-a) 2
Viene chiamata la quarta formula per la moltiplicazione abbreviata somma cubo... Il che suona come: due termini del valore in un cubo sono uguali al cubo di 1 valore, al triplo prodotto di 1 valore al quadrato, moltiplicato per il 2 ° valore, viene aggiunto il triplo prodotto di 1 valore moltiplicato per il quadrato di 2 magnitudine, più il secondo valore nel cubo.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Il quinto, come hai già capito, si chiama cubo differenza... Che trova le differenze tra le quantità, poiché dalla prima designazione nel cubo sottraiamo il triplo prodotto della prima designazione nel quadrato moltiplicato per la seconda, a loro si aggiunge il triplo prodotto della prima designazione moltiplicato per il quadrato della seconda designazione, meno la seconda designazione nel cubo.
(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Il sesto si chiama - somma di cubi... La somma dei cubi è uguale al prodotto di due termini moltiplicato per il quadrato incompleto della differenza, poiché non c'è un valore raddoppiato nel mezzo.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)
In un altro modo, la somma dei cubi può essere chiamata il prodotto tra due parentesi.
Viene chiamato il settimo e ultimo differenza di cubi (è facile confonderlo con la formula del cubo di differenza, ma queste sono cose diverse). La differenza tra i cubi è uguale al prodotto della differenza di due valori moltiplicata per il quadrato incompleto della somma, poiché non c'è un doppio valore nel mezzo.
a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
E quindi ci sono solo 7 formule per la moltiplicazione abbreviata, sono simili tra loro e sono facili da ricordare, l'unica cosa importante è non confondersi nei segni. Sono anche progettati per essere utilizzati in ordine inverso e ce ne sono alcuni nei libri di testo. Stai attento e avrai successo.
Se hai domande sulle formule, assicurati di scriverle nei commenti. Saremo lieti di risponderti!
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\u003e\u003e Matematica: formule di moltiplicazione abbreviate
Formule di moltiplicazione abbreviate
Ci sono diversi casi in cui la moltiplicazione di un polinomio per un altro porta a un risultato compatto e facile da ricordare. In questi casi è preferibile non moltiplicarne uno ogni volta polinomio dall'altro e utilizzare il risultato finale. Consideriamo questi casi.
1. Il quadrato della somma e il quadrato della differenza:
Esempio 1. Espandi le parentesi nell'espressione:
a) (Zx + 2) 2;
b) (5а 2 - 4b 3) 2
a) Usiamo la formula (1), tenendo conto che il ruolo di a è Zx, e il ruolo di b è il numero 2.
Noi abbiamo:
(Zx + 2) 2 \u003d (Zx) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 \u003d 9x 2 + 12x + 4.
b) Usiamo la formula (2)considerando che nel ruolo esostenitori 5a 2e nel ruolo b sostenitori 4b 3... Noi abbiamo:
(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Quando si utilizzano le formule della somma al quadrato o della differenza al quadrato, tenerlo presente
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 \u003d (a-b) 2.
Ciò deriva dal fatto che (- a) 2 \u003d a 2.
Nota che alcuni trucchi matematici si basano sulle formule (1) e (2), permettendoti di fare calcoli mentalmente.
Ad esempio, puoi quasi oralmente quadrare i numeri che terminano con 1 e 9. In effetti
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 \u003d (90 + I) 2 \u003d 90 2 + 2 90 1 + 1 2 \u003d 8100 + 180 + 1 \u003d 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.
A volte puoi rapidamente quadrare un numero che termina con 2 o 8. Ad esempio,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Ma il trucco più elegante ha a che fare con la quadratura dei numeri che terminano con 5.
Eseguiamo il ragionamento corrispondente per 85 2.
Abbiamo:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Notiamo che per calcolare 85 2 è stato sufficiente moltiplicare 8 per 9 e assegnare 25 al risultato ottenuto a destra, lo stesso si può fare in altri casi. Ad esempio, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 e 25 è stato assegnato al numero risultante a destra);
65 2 \u003d 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 e 25 è stato aggiunto al numero risultante).
Poiché stiamo già parlando di varie circostanze curiose associate a noiose (a prima vista) formule (1) e (2), integreremo questa conversazione con il seguente ragionamento geometrico. Siano aeb numeri positivi. Si consideri un quadrato con lati a + be ritagliato in due dei suoi angoli quadrati con lati uguali rispettivamente ad aeb (Fig.4).
L'area di un quadrato con lato a + b è (a + b) 2. Ma tagliamo questo quadrato in quattro parti: un quadrato con lato a (la sua area è uguale a 2), un quadrato con lato b (la sua area è uguale a b 2), due rettangoli con i lati aeb (l'area di ciascuno di questi rettangoli è uguale ad ab). Quindi, (a + b) 2 \u003d a 2 + b 2 + 2ab, cioè abbiamo ottenuto la formula (1).
Moltiplica il binomio a + b per il binomio a - b. Noi abbiamo:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + bа - b 2 \u003d a 2 - b 2.
così
Qualsiasi uguaglianza in matematica viene utilizzata sia da sinistra a destra (cioè il lato sinistro dell'uguaglianza è sostituito dal suo lato destro), sia da destra a sinistra (cioè il lato destro dell'uguaglianza è sostituito dal suo lato sinistro). Se la formula C) viene utilizzata da sinistra a destra, ci consente di sostituire il prodotto (a + b) (a - b) con il risultato finale a 2 - b 2. La stessa formula può essere utilizzata da destra a sinistra, quindi permette di sostituire la differenza dei quadrati a 2 - b 2 con il prodotto (a + b) (a - b). Alla formula (3) in matematica viene assegnato un nome speciale: la differenza dei quadrati.
Commento.
Non confondere i termini "differenza dei quadrati" k e "quadrato della differenza". La differenza dei quadrati è a 2 - b 2, il che significa che stiamo parlando della formula (3); il quadrato della differenza è (a - b) 2, il che significa che stiamo parlando della formula (2). Nel linguaggio ordinario, la formula (3) viene letta "da destra a sinistra" come segue:
la differenza dei quadrati di due numeri (espressioni) è uguale al prodotto della somma di questi numeri (espressioni) per la loro differenza,
Esempio 2. Esegui la moltiplicazione
(3x- 2 anni) (3x + 2 anni)
Decisione. Abbiamo:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) \u003d (Zx) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.
Esempio 3. Rappresenta un binomio 16x 4 - 9 come un prodotto di binomi.
Decisione. Abbiamo: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d З 2, il che significa che il binomio dato è la differenza dei quadrati, cioè puoi applicare la formula (3) ad esso, leggere da destra a sinistra. Quindi otteniamo:
16x 4 - 9 \u003d (4x 2) 2 - З 2 \u003d (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)
La formula (3), come le formule (1) e (2), viene utilizzata per i trucchi matematici. Vedere:
79 81 \u003d (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 \u003d 6400 - 1 \u003d 6399;
42 38 \u003d D0 + 2) D0 - 2) \u003d 402 - 22 \u003d 1600 - 4 \u003d 1596.
Concludiamo la nostra conversazione sulla formula per la differenza dei quadrati con un interessante argomento geometrico. Siano aeb numeri positivi, con a\u003e b. Considera un rettangolo con i lati a + be a - b (Fig.5). La sua area è (a + b) (a - b). Tagliamo un rettangolo con i lati be a - b e incolliamolo al resto della parte come mostrato nella Figura 6. È chiaro che la figura risultante ha la stessa area, cioè (a + b) (a - b). Ma questa cifra può
costruire come segue: tagliare un quadrato con il lato b da un quadrato con il lato a (questo è chiaramente visibile in Fig. 6). Quindi, l'area della nuova figura è uguale a 2 - b 2. Quindi, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, cioè, abbiamo la formula (3).
3. Differenza di cubi e somma di cubi
Moltiplica il binomio a - b per il trinomio a 2 + ab + b 2.
Noi abbiamo:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) \u003d а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -bb 2 \u003d а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.
Allo stesso modo
(a + b) (a 2 - ab + b 2) \u003d a 3 + b 3
(controlla tu stesso). Così,
La formula (4) viene solitamente chiamata differenza di cubi, la formula (5) è la somma dei cubi. Proviamo a tradurre le formule (4) e (5) in un linguaggio normale. Prima di fare ciò, si noti che l'espressione a 2 + ab + b 2 è simile all'espressione a 2 + 2ab + b 2, che è apparsa nella formula (1) e ha dato (a + b) 2; l'espressione a 2 - ab + b 2 è simile all'espressione a 2 - 2ab + b 2, che appariva nella formula (2) e dava (a - b) 2.
Per distinguere (nella lingua) queste coppie di espressioni l'una dall'altra, ciascuna delle espressioni a 2 + 2ab + b 2 e a 2 - 2ab + b 2 è chiamata quadrato perfetto (somma o differenza), e ciascuna delle espressioni a 2 + ab + b 2 e a 2 - ab + b 2 sono chiamati quadrato incompleto (somma o differenza). Quindi otteniamo la seguente traduzione delle formule (4) e (5) (leggi "da destra a sinistra") nel linguaggio normale:
la differenza tra i cubi di due numeri (espressioni) è uguale al prodotto della differenza tra questi numeri (espressioni) e il quadrato incompleto della loro somma; la somma dei cubi di due numeri (espressioni) è uguale al prodotto della somma di questi numeri (espressioni) per il quadrato incompleto della loro differenza.
Commento. Tutte le formule (1) - (5) ottenute in questa sezione sono utilizzate sia da sinistra a destra che da destra a sinistra, solo nel primo caso (da sinistra a destra) si dice che (1) - (5) sono formule di moltiplicazione abbreviate, e nel secondo caso (da destra a sinistra) diciamo che (1) - (5) sono formule di fattorizzazione.
Esempio 4. Esegui la moltiplicazione (2x- 1) (4x 2 + 2x +1).
Decisione. Poiché il primo fattore è la differenza tra i monomi 2x e 1 e il secondo fattore è il quadrato incompleto della loro somma, puoi usare la formula (4). Noi abbiamo:
(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3-1.
Esempio 5. Rappresenta il binomio 27a 6 + 8b 3 come un prodotto di polinomi.
Decisione. Abbiamo: 27a 6 \u003d (For 2) 3, 8b 3 \u003d (2b) 3. Ciò significa che il binomio dato è la somma dei cubi, cioè la formula 95), letta da destra a sinistra, può essere applicata ad esso. Quindi otteniamo:
27a 6 + 8b 3 \u003d (For 2) 3 + (2b) 3 \u003d (For 2 + 2b) ((For 2) 2 - For 2 2b + (2b) 2) \u003d (For 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).
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A. V. Pogorelov, Geometria per i gradi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative
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In questo articolo, elencheremo le formule di base per la moltiplicazione abbreviata, le raggrupperemo in una tabella, considereremo esempi di utilizzo di queste formule e ci soffermeremo anche sui principi delle prove delle formule di moltiplicazione abbreviate.
Per la prima volta, il tema della FSU viene affrontato nell'ambito del corso "Algebra" per il 7 ° grado. Di seguito sono riportate 7 formule di base.
Formule di moltiplicazione abbreviate
- la formula per il quadrato della somma: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
- la formula per il quadrato della differenza: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- formula cubo somma: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- formula del cubo di differenza: a - b 3 \u003d a 3-3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- formula della differenza dei quadrati: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- la formula per la somma dei cubi: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- la formula per la differenza dei cubi: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Le lettere a, b, c in queste espressioni possono essere numeri, variabili o espressioni. Per facilità d'uso, è meglio imparare a memoria le sette formule di base. Riassumiamoli in una tabella e presentiamoli di seguito, circondandoli con una cornice.
Le prime quattro formule consentono di calcolare, rispettivamente, il quadrato o il cubo della somma o della differenza di due espressioni.
La quinta formula calcola la differenza dei quadrati delle espressioni per il prodotto della loro somma e della differenza.
La sesta e la settima formula sono, rispettivamente, la moltiplicazione della somma e la differenza delle espressioni per il quadrato incompleto della differenza e il quadrato incompleto della somma.
La formula di moltiplicazione abbreviata è talvolta chiamata anche identità di moltiplicazione abbreviata. Ciò non sorprende, poiché ogni uguaglianza è un'identità.
Quando si risolvono esempi pratici, vengono spesso utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate con i lati sinistro e destro riorganizzati. Ciò è particolarmente conveniente quando ha luogo una fattorizzazione di un polinomio.
Formule di moltiplicazione abbreviate aggiuntive
Non ci limiteremo al corso di 7 ° grado in algebra e aggiungeremo qualche altra formula alla nostra tabella FSU.
Per prima cosa, considera la formula binomiale di Newton.
a + b n \u003d C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Qui C n k - coefficienti binomiali, che sono nella riga n nel triangolo pascal. I coefficienti binomiali sono calcolati dalla formula:
C n k \u003d n! K! (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!
Come puoi vedere, l'FSE per il quadrato e il cubo della differenza e della somma è un caso speciale della formula binomiale di Newton per n \u003d 2 e n \u003d 3, rispettivamente.
Ma cosa succede se ci sono più di due termini nella somma da elevare al potere? Sarà utile la formula per il quadrato della somma di tre, quattro o più termini.
un 1 + un 2 +. ... + a n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Un'altra formula che può tornare utile è la formula per la differenza tra le potenze n-esime di due termini.
a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1
Questa formula è solitamente divisa in due formule, rispettivamente per i gradi pari e dispari.
Per indicatori pari 2m:
a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2
Per esponenti dispari 2m + 1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m
Le formule per la differenza dei quadrati e la differenza dei cubi, hai indovinato, sono casi speciali di questa formula per n \u003d 2 e n \u003d 3, rispettivamente. Per la differenza dei cubi, b è anche sostituito con - b.
Come leggere le formule di moltiplicazione abbreviate?
Forniremo le formulazioni appropriate per ciascuna formula, ma prima capiremo il principio della lettura delle formule. Il modo più conveniente per farlo è con l'esempio. Prendiamo la prima formula per il quadrato della somma di due numeri.
a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.
Dicono: il quadrato della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma del quadrato della prima espressione, il prodotto raddoppiato delle espressioni e il quadrato della seconda espressione.
Tutte le altre formule vengono lette allo stesso modo. Per il quadrato della differenza a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriviamo:
il quadrato della differenza tra le due espressioni aeb è uguale alla somma dei quadrati di queste espressioni meno il doppio del prodotto della prima e della seconda espressione.
Leggi la formula a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Il cubo della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma dei cubi di queste espressioni, tre volte il quadrato della prima espressione per la seconda e tre volte il quadrato della seconda espressione per la prima espressione.
Procediamo alla lettura della formula per la differenza dei cubi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Il cubo della differenza di due espressioni aeb è uguale al cubo della prima espressione meno tre volte il quadrato della prima espressione e della seconda, più tre volte il quadrato della seconda espressione e della prima espressione, meno il cubo della seconda espressione.
La quinta formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (differenza dei quadrati) si legge come segue: la differenza dei quadrati di due espressioni è uguale al prodotto della differenza e alla somma delle due espressioni.
Espressioni come a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 per comodità sono chiamate rispettivamente il quadrato incompleto della somma e il quadrato incompleto della differenza.
Con questo in mente, le formule per la somma e la differenza dei cubi si leggono come segue:
La somma dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della somma di queste espressioni per il quadrato incompleto della loro differenza.
La differenza tra i cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza tra queste espressioni e il quadrato incompleto della loro somma.
A prova di FSU
È abbastanza facile dimostrare FSO. In base alle proprietà della moltiplicazione, moltiplichiamo le parti delle formule tra parentesi.
Ad esempio, considera la formula per il quadrato della differenza.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Per elevare un'espressione alla seconda potenza, è necessario moltiplicare questa espressione per se stessa.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Espandiamo le parentesi:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
La formula è provata. Il resto degli UST è dimostrato in modo simile.
Esempi di applicazione FSU
Lo scopo dell'utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate è moltiplicare ed esponenziare le espressioni in modo rapido e conciso. Tuttavia, questo non è l'intero campo di applicazione dell'UST. Sono ampiamente utilizzati per ridurre le espressioni, ridurre le frazioni, fattorizzare i polinomi. Ecco alcuni esempi.
Esempio 1. UST
Semplifica l'espressione 9 y - (1 + 3 y) 2.
Applichiamo la formula per la somma dei quadrati e otteniamo:
9 anni - (1 + 3 anni) 2 \u003d 9 anni - (1 + 6 anni + 9 anni 2) \u003d 9 anni - 1-6 anni - 9 anni 2 \u003d 3 anni - 1-9 anni 2
Esempio 2. UST
Riduci la frazione 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Nota che l'espressione al numeratore è la differenza tra i cubi e il denominatore è la differenza tra i quadrati.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Accorciamo e otteniamo:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Gli UST aiutano anche a calcolare i valori delle espressioni. L'importante è sapere dove applicare la formula. Mostriamolo con un esempio.
Quadriamo il numero 79. Invece di calcoli complicati, scriviamo:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Sembrerebbe che un calcolo complesso sia stato eseguito rapidamente utilizzando solo le formule di moltiplicazione abbreviate e la tabella di moltiplicazione.
Un altro punto importante è la selezione del quadrato del binomio. L'espressione 4 x 2 + 4 x - 3 può essere convertita in 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Tali trasformazioni sono ampiamente utilizzate nell'integrazione.
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