Come risolvere la divisione per angolo. La matematica mi piace. Moltiplicazione di polinomi per una colonna

Lascia che sia richiesto

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Qui vengono forniti il \u200b\u200bprodotto (2x 3 - 7x 2 + x + 1) e un fattore (2x - 1), è necessario trovare un altro fattore. In questo esempio, è immediatamente chiaro (ma in generale ciò non può essere stabilito) che anche l'altro, ricercato, fattore o quoziente, è un polinomio. Questo è chiaro perché questo prodotto ha 4 termini e questo fattore è solo 2. Tuttavia, è impossibile dire in anticipo quanti termini ha il fattore richiesto: ci possono essere 2 termini, 3 termini, ecc. Ricordando che il termine principale del prodotto risulta sempre dalla moltiplicazione del termine principale di un fattore per il termine principale di un altro (vedi moltiplicazione di un polinomio per un polinomio) e che non possono esserci termini come questo, siamo sicuri che 2x 3 (il termine più alto di questo prodotto) sarà ottenuto moltiplicando 2x (il termine più alto di questo fattore ) dal membro anziano sconosciuto del fattore desiderato. Per trovare quest'ultimo, devi, quindi, dividere 2x 3 per 2x - otteniamo x 2. Questo è il membro anziano del privato.

Ricorda quindi che quando un polinomio viene moltiplicato per un polinomio, ogni termine di un polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine dell'altro. Pertanto, questo prodotto (2x 3 - 7x 2 + x + 1) è il prodotto del divisore (2x - 1) per tutti i termini del quoziente. Ma ora possiamo trovare il prodotto del divisore per il primo termine (più significativo) del quoziente, cioè (2x - 1) ∙ x 2; otteniamo 2x 3 - x 2. Conoscendo il prodotto del divisore per tutti i termini del quoziente (it \u003d 2x 3 - 7x 2 + x + 1) e conoscendo il prodotto del divisore per il 1 ° termine del quoziente (it \u003d 2x 3 - x 2), per sottrazione possiamo trovare il prodotto del divisore per tutti gli altri, tranne il 1 °, i membri del privato. Noi abbiamo

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) \u003d 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 \u003d –6x 2 + x + 1.

Il termine più significativo (–6x 2) di questo prodotto rimanente deve rappresentare il prodotto del termine più significativo del divisore (2x) per il termine più significativo del resto (ad eccezione del 1 ° termine) del quoziente. Da qui troviamo il membro anziano del resto del privato. Abbiamo bisogno di –6x 2 ÷ 2x, otteniamo –3x. Questo è il secondo termine del quoziente desiderato. Possiamo ancora trovare il prodotto del divisore (2x - 1) per il secondo, appena trovato, termine del quoziente, cioè per –3x.

Otteniamo (2x - 1) ∙ (–3x) \u003d –6x 2 + 3x. Da questo intero prodotto, abbiamo già sottratto il prodotto del divisore per il 1 ° termine del quoziente e abbiamo ottenuto il resto -6x 2 + x + 1, che è il prodotto del divisore per gli altri, ad eccezione del 1 °, membri del quoziente. Sottraendo ad esso il prodotto appena trovato –6x 2 + 3x, otteniamo il resto, che è il prodotto del divisore per tutti gli altri, ad eccezione del 1 ° e 2 °, membri del quoziente:

–6x 2 + x + 1 - (–6x 2 + 3x) \u003d –6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x \u003d –2x + 1.

Dividendo il termine senior di questo prodotto rimanente (–2x) per il termine senior del divisore (2x), otteniamo il termine senior del resto del quoziente, o il suo terzo termine, (–2x) ÷ 2x \u003d –1, - questo è il terzo termine del quoziente.

Moltiplicando il divisore per esso, otteniamo

(2x - 1) ∙ (–1) \u003d –2x + 1.

Sottraendo questo prodotto del divisore per il 3 ° termine del quoziente dall'intero prodotto rimasto fino ad ora, ad es.

(–2x + 1) - (–2x + 1) \u003d –2x + 1 + 2x - 1 \u003d 0,

vedremo che nel nostro esempio il prodotto è diviso nel resto, ad eccezione del 1 °, 2 ° e 3 ° membri del quoziente \u003d 0, da cui concludiamo che il quoziente non ha più membri, cioè

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) \u003d x 2 - 3x - 1.

Dal precedente vediamo: 1) è conveniente disporre i termini del dividendo e del divisore in potenze discendenti, 2) è necessario stabilire un certo ordine per eseguire i calcoli. Un ordine così conveniente può essere considerato quello utilizzato in aritmetica quando si dividono numeri a più cifre. Seguendolo, sistemiamo tutti i calcoli precedenti come segue (alcune spiegazioni più brevi sono fornite a lato):

Quelle sottrazioni che sono necessarie qui vengono eseguite cambiando i segni dei termini del sottratto, e questi segni variabili sono scritti dall'alto.

Così è scritto

Ciò significa: la sottrazione era 2x 3 - x 2 e dopo il cambio di segno abbiamo ottenuto –2x 3 + x 2.

A causa della disposizione accettata dei calcoli, poiché i termini del dividendo e del divisore sono disposti in gradi discendenti e poiché i gradi della lettera x in entrambi i polinomi scendono ogni volta di 1, si è scoperto che termini simili sono scritti uno sotto l'altro (ad esempio: –7x 2 e + x 2), perché è facile lanciarli. Puoi notare che non tutti i membri del dividendo sono necessari in ogni momento del calcolo. Ad esempio, il termine +1 non è necessario nel momento in cui è stato trovato il 2 ° termine del quoziente e questa parte dei calcoli può essere semplificata.

Altri esempi:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Sistemiamo le lettere a e il dividendo e il divisore in potenze discendenti:

(Si noti che qui, a causa dell'assenza del termine con un 3 nel dividendo, nella prima sottrazione è risultato che termini non simili –a 2 b 2 e –2a 3 b sono firmati uno sotto l'altro. Naturalmente, non possono essere ridotti a un termine e entrambi sono scritti sotto la riga per anzianità).

In entrambi gli esempi, è necessario prestare maggiore attenzione ai membri simili: 1) termini non simili sono spesso scritti uno sotto l'altro e 2) a volte (come, ad esempio, nell'ultimo esempio, i termini –4a n e –an alla prima sottrazione) vengono scritti termini simili non sotto l'altro.

È possibile eseguire la divisione dei polinomi in un ordine diverso, ovvero: cercando ogni volta il termine più basso o tutto o il quoziente rimanente. È conveniente in questo caso disporre i polinomi dati in potenze ascendenti di qualsiasi lettera. Per esempio:

Si dimostra che una frazione impropria composta da polinomi può essere rappresentata come la somma di un polinomio e di una frazione regolare. Vengono analizzati in dettaglio esempi di divisione polinomiale per angolo e moltiplicazione per colonna.

Soddisfare

Teorema

Sia P k (X), Q n (X) - polinomi nella variabile x di gradi k e n, rispettivamente, con k ≥ n. Allora il polinomio P k (X) può essere rappresentato nell'unico modo nella seguente forma:
(1) P k (x) \u003d S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
dove S k-n (X) - polinomio di grado k-n, U n- 1 (x) - polinomio di grado al massimo n- 1 o zero.

Prova

Dalla definizione di un polinomio:
;
;
;
,
dove p i, q i sono coefficienti noti, s i, u i sono coefficienti sconosciuti.

Introduciamo la notazione:
.
Sostituisci in (1) :
;
(2) .
Il primo termine a destra è un polinomio di grado k. La somma del secondo e del terzo termine è un polinomio di grado al massimo k - 1 ... Identifichiamo i coefficienti in x k:
p k \u003d s k-n q n.
Quindi s k-n \u003d p k / q n.

Trasformiamo l'equazione (2) :
.
Introduciamo la notazione :.
Poiché s k-n \u003d p k / q n, il coefficiente in x k è uguale a zero. Quindi - questo è un polinomio di grado al massimo k - 1 ,. Quindi l'equazione precedente può essere riscritta come:
(3) .

Questa equazione ha la stessa forma dell'equazione (1) , solo il valore di k è diventato 1 Di meno. Ripetendo questa procedura k-n volte, otteniamo l'equazione:
,
da cui si determinano i coefficienti del polinomio U n- 1 (x).

Quindi, abbiamo determinato tutti i coefficienti sconosciuti s i, u l. Inoltre, s k-n ≠ 0 ... Il lemma è dimostrato.

Divisione dei polinomi

Dividendo entrambi i lati dell'equazione (1) su Q n (X), noi abbiamo:
(4) .
Simile ai numeri decimali, S k-n (X) è chiamata l'intera parte della frazione o quoziente, U n- 1 (x) - resto della divisione. Una frazione di polinomi per i quali il grado del polinomio al numeratore è inferiore al grado del polinomio al denominatore è chiamata frazione regolare. Una frazione di polinomi per i quali il grado del polinomio al numeratore è maggiore o uguale al grado del polinomio al denominatore è chiamata frazione impropria.

L'equazione (4) mostra che qualsiasi frazione irregolare di polinomi può essere semplificata rappresentandola come la somma di una parte integrale e di una frazione regolare.

In sostanza, gli interi decimali sono polinomi in cui la variabile è uguale al numero 10 ... Ad esempio, prendiamo il numero 265847. Può essere rappresentato come:
.
Cioè, è un polinomio di quinto grado in 10 ... I numeri 2, 6, 5, 8, 4, 7 sono i coefficienti di espansione del numero in potenze di 10.

Pertanto, è possibile applicare la regola della divisione angolare (a volte chiamata divisione lunga) ai polinomi, che viene applicata alla divisione dei numeri. L'unica differenza è che quando si dividono i polinomi, non è necessario tradurre i numeri maggiori di nove nelle cifre più significative. Consideriamo il processo di divisione dei polinomi per angolo utilizzando esempi specifici.

Un esempio di divisione di polinomi per angolo

Il numeratore qui è un polinomio di quarto grado. Il denominatore è un polinomio di secondo grado. Perché la 4 ≥ 2 , quindi la frazione non è corretta. Selezioniamo l'intera parte dividendo i polinomi con un angolo (in una colonna):

Ecco una descrizione dettagliata del processo di fissione. Scriviamo i polinomi originali nelle colonne di sinistra e di destra. Sotto il polinomio del denominatore, nella colonna di destra, traccia una linea orizzontale (angolo). Sotto questa linea, sotto l'angolo, ci sarà un'intera frazione della frazione.

1.1 Troviamo il primo termine dell'intera parte (sotto l'angolo). Per fare ciò, dividiamo il termine più alto del numeratore per il termine più alto del denominatore :.

1.2 Moltiplicare 2 x 2 di x 2-3 x + 5:
... Scriviamo il risultato nella colonna di sinistra:

1.3 Prendiamo la differenza dei polinomi nella colonna di sinistra:

.

Quindi, abbiamo ottenuto un risultato intermedio:
.

La frazione a destra non è corretta perché il grado del polinomio al numeratore ( 3 ) è maggiore o uguale al grado del polinomio nel denominatore ( 2 ). Ripetiamo i calcoli. Solo ora il numeratore della frazione è nell'ultima riga della colonna di sinistra.
2.1 Dividi il termine più alto del numeratore per il termine più alto del denominatore :;

2.2 Moltiplicare per il denominatore :;

2.3 E sottrai dall'ultima riga della colonna di sinistra :;

Risultato intermedio:
.

Ripetiamo di nuovo i calcoli, poiché c'è una frazione errata sul lato destro.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Quindi abbiamo:
.
Il grado del polinomio nel numeratore della frazione destra è inferiore al grado del polinomio del denominatore, 1 < 2 ... Pertanto, la frazione è corretta.

;
2 x 2 - 4 x + 1 - questa è una parte intera;
x - 8 - resto della divisione.

Esempio 2

Seleziona l'intera parte della frazione e trova il resto della divisione:
.

Eseguiamo le stesse azioni dell'esempio precedente:

Qui il resto della divisione è zero:
.

Moltiplicazione di polinomi per una colonna

Puoi anche moltiplicare i polinomi in una colonna, in modo simile alla moltiplicazione degli interi. Diamo un'occhiata a esempi specifici.

Un esempio di moltiplicazione di polinomi per una colonna

Trova il prodotto dei polinomi:
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Scriviamo il risultato in una colonna, livellando le potenze di x.

3
;
;
;
.

Si noti che si possono scrivere solo i coefficienti e si possono omettere le potenze della variabile x. Quindi la moltiplicazione per una colonna di polinomi sarà simile a questa:

Esempio 2

Trova il prodotto dei polinomi in una colonna:
.

Quando si moltiplicano i polinomi con una colonna, è importante scrivere le stesse potenze della variabile x l'una sotto l'altra. Se mancano alcune potenze di x, devono essere scritte esplicitamente, moltiplicate per zero o lasciare spazi.

In questo esempio mancano alcuni gradi. Pertanto, li scriviamo esplicitamente, moltiplicati per zero:
.
Moltiplichiamo i polinomi con una colonna.

1 Scriviamo i polinomi originali uno sotto l'altro in una colonna e tracciamo una linea.

2.1 Moltiplichiamo il termine più basso del secondo polinomio per il primo polinomio:
.
Scriviamo il risultato in una colonna.

2.2 Il termine successivo nel secondo polinomio è zero. Pertanto, anche il suo prodotto per il primo polinomio è zero. La linea zero può essere omessa.

2.3 Moltiplichiamo il termine successivo del secondo polinomio per il primo polinomio:
.
Scriviamo il risultato in una colonna, livellando le potenze di x.

2.3 Moltiplichiamo il termine successivo (il più alto) del secondo polinomio per il primo polinomio:
.
Scriviamo il risultato in una colonna, livellando le potenze di x.

3 Dopo che tutti i termini del secondo polinomio sono stati moltiplicati per il primo, traccia una linea e aggiungi i termini con le stesse potenze di x:
.

Vista generale di un monomio

f (x) \u003d ax ndove:

-un è un coefficiente che può appartenere a uno qualsiasi degli insiemi N, Z, Q, R, C

-x - variabile

-n esponente che appartiene all'insieme N

Due monomi sono simili se hanno la stessa variabile e lo stesso esponente.

Esempi: 3x 2 e -5x 2; ½x 4 e 2√3x 4

La somma dei monomi che non sono simili tra loro è chiamata polinomio (o polinomio). In questo caso, i monomi sono i termini del polinomio. Un polinomio contenente due termini è chiamato binomio (o binomiale).
Esempio: p (x) \u003d 3x 2-5; h (x) \u003d 5x-1
Un polinomio contenente tre termini è chiamato trinomio.

Vista generale di un polinomio con una variabile

Dove:

a n, a n-1, a n-2, ..., a 1, a 0 sono i coefficienti del polinomio. Possono essere numeri naturali, interi, razionali, reali o complessi.
un - coefficiente del termine con l'esponente più alto (coefficiente guida)
a 0 - coefficiente del termine con l'esponente più piccolo (termine libero o costante)
n - grado di polinomio

Esempio 1
p (x) \u003d 5x 3 -2x 2 + 7x-1

polinomio di terzo grado con coefficienti 5, -2, 7 e -1
5 - coefficiente principale
-1 - membro gratuito
x - variabile

Esempio 2
h (x) \u003d - 2√3x 4 + ½x-4

polinomio di quarto grado con coefficienti -2√3, ½ e -4
-2√3 - coefficiente principale
-4 - membro gratuito
x - variabile

Divisione dei polinomi

p (x) e q (x) - due polinomi:
p (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0
q (x) \u003d a p x p + a p-1 x p-1 + ... + a 1 x 1 + a 0

Per trovare il quoziente e il resto p (x) su q (x), è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

Energia p (x) deve essere maggiore o uguale a q (x).
Dobbiamo scrivere entrambi i polinomi in ordine decrescente di grado. Se in p (x) non c'è termine con alcun grado, deve essere aggiunto con un coefficiente di 0.
Membro principale p (x) diviso per termine principale q (x)e il risultato viene scritto sotto la linea di divisione (nel denominatore).
Moltiplichiamo il risultato per tutti i termini q (x) e scrivi il risultato con segni opposti sotto i termini p (x) con gradi corrispondenti.
Aggiungiamo termini termine per termine con gli stessi gradi.
Assegniamo i termini rimanenti al risultato p (x).
Dividi il termine iniziale del polinomio risultante per il primo termine del polinomio q (x) e ripetere i passaggi 3-6.
Questa procedura viene ripetuta fino a quando il polinomio appena ottenuto ha un grado inferiore a q (x)... Questo polinomio sarà il resto della divisione.
Il polinomio scritto sotto la linea di divisione è il risultato della divisione (quoziente).

Esempio 1
Passaggio 1 e 2) $ p (x) \u003d x ^ 5-3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 7x ^ 2-3x + 5 \\\\ q (x) \u003d x ^ 2-x + 1 $

3) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

4) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

5) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

6) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

7) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 + x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4-2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

8) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4-2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x + 8 -\u003e C (x) Privato

Risposta: p (x) \u003d x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 \u003d (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Esempio 2
p (x) \u003d x 4 + 3x 2 + 2x-8
q (x) \u003d x 2 -3x

X 4 + 0x 3 + 3x 2 + 2x-8

/ 3x 3 + 3x 2 + 2x-8

/ 38x-8 r (x) STOP

x 2 + 3x + 12 -\u003e C (x) Privato

Risposta: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 \u003d (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Divisione per polinomio di primo grado

Questa divisione può essere eseguita utilizzando l'algoritmo di cui sopra o anche più velocemente utilizzando il metodo di Horner.
Se f (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0, il polinomio può essere riscritto come f (x) \u003d a 0 + x (a 1 + x (a 2 + ... + x (a n-1 + a n x) ...))

q (x) - polinomio di primo grado ⇒ q (x) \u003d mx + n
Allora il polinomio nel quoziente avrà grado n-1.

Metodo di Horner, $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $.
b n-1 \u003d a n
b n-2 \u003d x 0. b n-1 + a n-1
b n-3 \u003d x 0. b n-2 + a n-2
...
b 1 \u003d x 0. b 2 + a 2
b 0 \u003d x 0. b 1 + a 1
r \u003d x 0. b 0 + a 0
dove b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0 - privato. Il resto è un polinomio di zero gradi, poiché il grado del resto del polinomio deve essere inferiore al grado del divisore.
Divisione con resto ⇒ p (x) \u003d q (x). c (x) + r ⇒ p (x) \u003d (mx + n). c (x) + r se $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $
Nota che p (x 0) \u003d 0.c (x 0) + r ⇒ p (x 0) \u003d r

Esempio 3
p (x) \u003d 5x 4-2x 3 + 4x 2-6x-7
q (x) \u003d x-3
p (x) \u003d - 7 + x (-6 + x (4 + x (-2 + 5x)))
x 0 \u003d 3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 \u003d 3,13 + 4 \u003d 43 ⇒ c (x) \u003d 5x 3 + 13x 2 + 43x + 123; r \u003d 362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r \u003d 3,123-7 \u003d 362
5x 4-2x 3 + 4x 2 -6x-7 \u003d (x-3) (5x 3 + 13x 2 + 43x + 123) +362

Esempio 4
p (x) \u003d - 2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1
q (x) \u003d x + 2
p (x) \u003d - 2x 5 + 3x 4 + 0x 3 + x 2 -4x + 1
q (x) \u003d x + 2
x 0 \u003d -2
p (x) \u003d 1 + x (-4 + x (1 + x (0 + x (3-2x))))

b 4 \u003d -2 b 1 \u003d (- 2). (- 14) + 1 \u003d 29
b 3 \u003d (- 2). (- 2) + 3 \u003d 7 b 0 \u003d (- 2) .29-4 \u003d -62
b 2 \u003d (- 2). 7 + 0 \u003d -14 r \u003d (- 2). (- 62) + 1 \u003d 125
⇒ c (x) \u003d - 2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62; r \u003d 125
-2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1 \u003d (x + 2) (- 2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62) +125

Esempio 5
p (x) \u003d 3x 3 -5x 2 + 2x + 3
q (x) \u003d 2x-1
$ x_0 \u003d \\ frac (1) (2) $
p (x) \u003d 3 + x (2 + x (-5 + 3x))
b 2 \u003d 3
$ b_1 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 3-5 \u003d - \\ frac (7) (2) $
$ b_0 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ sinistra (- \\ frac (7) (2) \\ destra) +2 \u003d - \\ frac (7) (4) + 2 \u003d \\ frac (1) (4 ) $
$ r \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (4) + 3 \u003d \\ frac (1) (8) + 3 \u003d \\ frac (25) (8) \\ Rightarrow c (x) \u003d 3x ^ 2- \\ frac (7) (2) x + \\ frac (1) (4) $
$ \\ Freccia destra 3x ^ 3-5x ^ 2 + 2x + 3 \u003d (2x-1) (3x ^ 2 - \\ frac (7) (2) x + \\ frac (1) (4)) + \\ frac (25) (8) $
Produzione
Se dividiamo per un polinomio di grado maggiore di uno, per trovare il quoziente e il resto, dobbiamo utilizzare l'algoritmo 1-9 .
Se dividiamo per un polinomio di primo grado mx + n, quindi per trovare il quoziente e il resto, è necessario utilizzare il metodo di Horner con $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $.
Se siamo interessati solo al resto della divisione, è sufficiente trovare p (x 0).
Esempio 6
p (x) \u003d - 4x 4 + 3x 3 + 5x 2 -x + 2
q (x) \u003d x-1
x 0 \u003d 1
r \u003d p (1) \u003d - 4,1 + 3,1 + 5,1 - 1 + 2 \u003d 5
r \u003d 5

Cominciamo con alcune definizioni. Un polinomio di grado n (o ordine n) è un'espressione della forma $ P_n (x) \u003d \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (n) a_ (i) x ^ (ni) \u003d a_ (0) x ^ (n) + a_ (1) x ^ (n-1) + a_ (2) x ^ (n-2) + \\ ldots + a_ (n-1) x + a_n $. Ad esempio, l'espressione $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $ è un polinomio il cui grado è $ 14 $. Può essere indicato in questo modo: $ P_ (14) (x) \u003d 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $.

Il coefficiente $ a_0 $ è chiamato coefficiente principale del polinomio $ P_n (x) $. Ad esempio, per il polinomio $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, il coefficiente iniziale è $ 4 $ (il numero prima di $ x ^ (14) $). Il numero $ a_n $ è chiamato il termine libero del polinomio $ P_n (x) $. Ad esempio, per $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, l'intercetta è $ (- 11) $. Passiamo ora al teorema, sul quale, appunto, si baserà la presentazione del materiale in questa pagina.

Per due polinomi qualsiasi $ P_n (x) $ e $ G_m (x) $, si possono trovare polinomi $ Q_p (x) $ e $ R_k (x) $ tali che l'uguaglianza

\\ begin (equation) P_n (x) \u003d G_m (x) \\ cdot Q_p (x) + R_k (x) \\ end (equation)

e $ k< m$.

La frase "dividere il polinomio $ P_n (x) $ per il polinomio $ G_m (x) $" significa "rappresentare il polinomio $ P_n (x) $ nella forma (1)". Chiameremo il polinomio $ P_n (x) $ - divisibile, il polinomio $ G_m (x) $ - il divisore, il polinomio $ Q_p (x) $ - il quoziente di $ P_n (x) $ per $ G_m (x) $ e il polinomio $ R_k (x) $ è il resto di $ P_n (x) $ divisione per $ G_m (x) $. Ad esempio, per i polinomi $ P_6 (x) \u003d 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 $ e $ G_4 (x) \u003d 3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2 $ puoi ottenere tale uguaglianza:

$$ 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 \u003d (3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2) (4x ^ 2 + x) + 2x ^ 3 + 1 $$

Qui il polinomio $ P_6 (x) $ è divisibile, il polinomio $ G_4 (x) $ è un divisore, il polinomio $ Q_2 (x) \u003d 4x ^ 2 + x $ è un quoziente di $ P_6 (x) $ per $ G_4 (x) $, e il polinomio $ R_3 (x) \u003d 2x ^ 3 + 1 $ è il resto di $ P_6 (x) $ diviso per $ G_4 (x) $. Si noti che il grado del resto (cioè 3) è inferiore al grado del divisore (cioè 4), quindi la condizione di uguaglianza è soddisfatta.

Se $ R_k (x) \\ equiv 0 $, allora il polinomio $ P_n (x) $ si dice divisibile per il polinomio $ G_m (x) $ senza resto. Ad esempio, il polinomio $ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ è divisibile per il polinomio $ 3x ^ 4 + 15 $ senza resto, poiché l'uguaglianza vale:

$$ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x \u003d (3x ^ 4 + 15) \\ cdot (7x ^ 2 + 2x) $$

Qui il polinomio $ P_6 (x) \u003d 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ è divisibile; polinomio $ G_4 (x) \u003d 3x ^ 4 + 15 $ - divisore; e il polinomio $ Q_2 (x) \u003d 7x ^ 2 + 2x $ è il quoziente di $ P_6 (x) $ diviso $ G_4 (x) $. Il resto è zero.

Per dividere un polinomio in un polinomio, viene spesso utilizzata la divisione per "colonna" o, come viene anche chiamata, "angolo". Diamo un'occhiata all'implementazione di questo metodo usando esempi.

Prima di passare agli esempi, introdurrò un altro termine. è lui non è generalmente accettatoe lo utilizzeremo esclusivamente per la comodità di presentare il materiale. Fino alla fine di questa pagina, chiameremo l'espressione $ a_ (0) x ^ (n) $ come elemento iniziale del polinomio $ P_n (x) $. Ad esempio, per il polinomio $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, l'elemento iniziale è $ 4x ^ (14) $.

Esempio 1

Dividi $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ per $ 5x ^ 2-x + 2 $ usando la divisione lunga.

Quindi, abbiamo due polinomi, $ P_5 (x) \u003d 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ e $ G_2 (x) \u003d 5x ^ 2-x + 2 $. Il grado del primo è $ 5 $ e il grado del secondo è $ 2 $. Il polinomio $ P_5 (x) $ è il divisore e il polinomio $ G_2 (x) $ è il divisore. Il nostro compito è trovare il quoziente e il resto. Risolveremo il compito impostato passo dopo passo. Useremo la stessa notazione della divisione dei numeri:

Primo passo

Dividi l'elemento più alto del polinomio $ P_5 (x) $ (cioè $ 10x ^ 5 $) per l'elemento più alto del polinomio $ Q_2 (x) $ (cioè $ 5x ^ 2 $):

$$ \\ frac (10x ^ 5) (5x ^ 2) \u003d 2x ^ (5-2) \u003d 2x ^ 3. $$

L'espressione risultante $ 2x ^ 3 $ è il primo elemento del quoziente:

Moltiplica il polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ per $ 2x ^ 3 $, ottenendo:

$$ 2x ^ 3 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $$

Scriviamo il risultato:

Ora, sottrai dal polinomio $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ il polinomio $ 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $:

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3) \u003d 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $$

Questo conclude il primo passaggio. Il risultato che abbiamo ottenuto può essere scritto in forma espansa:

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot 2x ^ 3 + 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x +5 $$

Poiché il grado del polinomio $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ (cioè 4) è maggiore del grado del polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ (cioè 2), allora il processo la divisione deve essere continuata. Passiamo al secondo passaggio.

Secondo passo

Ora lavoreremo con i polinomi $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ e $ 5x ^ 2-x + 2 $. Allo stesso modo del primo passaggio, dividiamo l'elemento superiore del primo polinomio (cioè $ 5x ^ 4 $) per l'elemento più alto del secondo polinomio (cioè $ 5x ^ 2 $):

$$ \\ frac (5x ^ 4) (5x ^ 2) \u003d x ^ (4-2) \u003d x ^ 2. $$

L'espressione risultante $ x ^ 2 $ è il secondo elemento del quoziente. Aggiungi al quoziente $ x ^ 2 $

Moltiplica il polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ per $ x ^ 2 $, ottenendo:

$$ x ^ 2 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $$

Scriviamo il risultato:

Ora sottrai dal polinomio $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ il polinomio $ 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $:

$$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2) \u003d - 15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $$

Aggiungiamo questo polinomio sotto la linea:

Questo conclude la seconda fase. Il risultato può essere scritto in forma espansa:

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2) -15x ^ 3 + 23x ^ 2 -2x + 5 $$

Poiché il grado del polinomio $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ (cioè 3) è maggiore del grado del polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ (cioè 2), continuiamo il processo di divisione. Passiamo al terzo passaggio.

Terzo passaggio

Ora lavoreremo con i polinomi $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ e $ 5x ^ 2-x + 2 $. Allo stesso modo dei passaggi precedenti, dividiamo l'elemento superiore del primo polinomio (cioè $ -15x ^ 3 $) per l'elemento più alto del secondo polinomio (cioè $ 5x ^ 2 $):

$$ \\ frac (-15x ^ 3) (5x ^ 2) \u003d - 3x ^ (2-1) \u003d - 3x ^ 1 \u003d -3x. $$

L'espressione risultante $ (- 3x) $ è il terzo elemento del quoziente. Aggiungi al quoziente $ -3x $

Moltiplica il polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ per $ (- 3x) $, ottenendo:

$$ -3x \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d - 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $$

Scriviamo il risultato:

Ora sottrai dal polinomio $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ il polinomio $ -15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $:

$$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 - (- 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x) \u003d 20x ^ 2 + 4x + 5 $$

Aggiungiamo questo polinomio sotto la linea:

Questo conclude la terza fase. Il risultato può essere scritto in forma espansa:

$$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2-3x) + 20x ^ 2 + 4x +5 $$

Poiché il grado del polinomio $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ (cioè 2) è uguale al grado del polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ (cioè 2), continuiamo il processo di divisione. Passiamo al quarto passaggio.

Quarto passo

Ora lavoreremo con i polinomi $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ e $ 5x ^ 2-x + 2 $. Allo stesso modo dei passaggi precedenti, dividiamo l'elemento superiore del primo polinomio (cioè $ 20x ^ 2 $) per l'elemento più alto del secondo polinomio (cioè $ 5x ^ 2 $):

$$ \\ frac (20x ^ 2) (5x ^ 2) \u003d 4x ^ (2-2) \u003d 4x ^ 0 \u003d 4. $$

Il numero risultante $ 4 $ è il quarto elemento del quoziente. Aggiungi $ 4 al privato

Moltiplica il polinomio $ 5x ^ 2-x + 2 $ per $ 4 $, ottenendo:

$$ 4 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 20x ^ 2-4x + 8 $$

Scriviamo il risultato:

Ora sottrai dal polinomio $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ il polinomio $ 20x ^ 2-4x + 8 $.