Questa sezione è dedicata a stabilire connessioni tra parallelismo e perpendicolarità di linee rette e piani, che sono ampiamente utilizzati nella geometria e nelle sue applicazioni.

Sull'esistenza di collegamenti tra parallelismo e

La perpendicolarità nello spazio è evidenziata dalla nostra esperienza. Infatti, i pilastri, installati verticalmente, sono paralleli tra loro (Fig. 394); ghiaccioli di ghiaccio diretti verticalmente paralleli (Fig. 395), verticalmente

colonne che adornano edifici (Fig.396), ecc.

Il contenuto di legami simili in planimetria è ben noto: due perpendicolari a una retta sono parallele tra loro e viceversa, una retta perpendicolare a una delle due rette parallele è perpendicolare all'altra. Tuttavia, queste affermazioni non valgono sempre per le linee rette nello spazio (cerca di fornire tu stesso gli esempi appropriati). Allo stesso tempo, è possibile studiare situazioni legate al parallelismo e alla perpendicolarità di linee e piani nello spazio.

Consideriamo più in dettaglio la connessione tra il parallelismo delle rette e la perpendicolarità del loro piano. Queste connessioni riflettono la relazione tra gli oggetti reali che usiamo

Perpendicolarità di linee e piani

siamo nella vita di tutti i giorni. Veramente,

se una tavola di recinzione si trova verticalmente

ok, allora la seconda scheda è sufficientemente posizionata

vivere parallelamente al primo in modo che anche lei

era verticale (Fig.397). Per di qua

la costruzione di una recinzione si basa su quanto segue

il seguente teorema.

Teorema 1 (su due rette parallele di cui una perpendicolare al piano).

Se una delle due linee parallele è perpendicolare al piano, la seconda linea è perpendicolare a questo piano.

Il teorema di cui sopra è un segno della perpendicolarità di una linea retta e di un piano, cioè, con il suo aiuto, viene stabilita la perpendicolarità di una linea retta e un piano. È ampiamente utilizzato non solo in geometria, ma anche nella pratica. Realizzazione delle pareti dell'edificio con

l'uso di un filo a piombo è una vivida illustrazione dell'uso di questo segno di perpendicolarità di una linea e di un piano. Infatti, il filo a piombo è verticale, e se il bordo della struttura è parallelo alla linea, allora è anche verticale (Fig. 398).

La considerazione del Teorema 1 solleva naturalmente la domanda: due rette perpendicolari a un piano saranno parallele? L'esperienza ci dice la risposta (due pilastri montati verticalmente sono paralleli!), Ed è confermato dal seguente teorema, il contrario del Teorema 1.

Teorema 2 (sul parallelismo delle rette perpendicolari al piano).

Se due linee rette sono perpendicolari allo stesso piano, allora sono parallele.

Anche il teorema di cui sopra è una caratteristica. Con il suo aiuto, viene stabilito il parallelismo delle linee rette nelle strutture spaziali. Dopo tutto, verticalità o perpendicolarità

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 391

i piani a volte sono più facili da controllare (specialmente su oggetti voluminosi) rispetto al parallelismo. Stiamo parlando, ad esempio, della posizione delle traverse durante la costruzione del soffitto di un edificio, del riconoscimento del parallelismo delle linee rette nelle configurazioni geometriche, ecc.

Altrettanto importanti nella geometria e nelle sue applicazioni sono le connessioni tra il parallelismo dei piani e la loro perpendicolarità a una linea retta. Stiamo parlando di due aerei e una linea retta. Se due piani sono paralleli e uno di essi è perpendicolare a una linea retta, come sarà posizionato il secondo piano rispetto a questa linea retta? Come si trovano due piani, se sono entrambi perpendicolari

siamo etero? Anche l'esperienza pratica ci dice le risposte a queste domande. Se infili un chiodo nella tavola perpendicolarmente a un lato della tavola, allora sarà perpendicolare e opposto (Fig. 399). Se le ruote sono posizionate su entrambi i lati dell'asse in modo che i loro piani siano perpendicolari all'asse, i piani di queste ruote saranno paralleli (Fig. 400).

Formuliamo due affermazioni reciprocamente inverse che riflettano la relazione tra il parallelismo dei piani e la loro perpendicolarità a una linea retta.

Teorema 3 (su piani paralleli, di cui uno perpendicolare a una retta).

Se uno dei due piani paralleli è perpendicolare a una linea retta, il secondo piano è perpendicolare alla stessa linea retta.

Teorema 4 (su due piani perpendicolari a una retta).

Se due piani sono perpendicolari a una linea retta, allora sono paralleli.

Si richiama l'attenzione sulla relazione tra le due coppie di teoremi presentati. Ciascuno di essi può essere formulato sostituendo il termine “diritto” con “piano” e viceversa.

Anche i teoremi 3 e 4 sono caratteristiche.

392 Perpendicolarità di linee e piani

Il criterio di perpendicolarità di una retta e di un piano (Teorema 3) è illustrato dalla posizione delle colonne di supporto rispetto al pavimento e al soffitto. Se i piani del soffitto e del pavimento sono paralleli, è sufficiente posizionare la colonna perpendicolare al pavimento, che-

sarebbe perpendicolare al soffitto

Il valore pratico della caratteristica espressa nel Teorema 4 è illustrato dal trasporto di una lastra rettangolare di cemento armato in posizione orizzontale mediante una gru. Per fare questo, usa

utilizzare quattro cavi identici, le cui estremità sono fissate nei punti A 1, A 2, A 3, A 4

piastre e con un gancio nel punto S (Fig.402). Di

poiché la lastra pende liberamente, il cavo su cui è fissato il gancio è perpendicolare al terreno e posizionato su una linea retta passante per il baricentro della lastra (per una lastra omogenea). Se trascuriamo lo spessore della lastra, il suo centro si trova all'intersezione delle diagonali del rettangolo А 1 А 2 А 3 А 4. Poiché SA 1 \u003d SA 2 \u003d SA 3 \u003d \u003d SA 4, la linea che collega il punto S con il punto di intersezione delle diagonali è perpendicolare al piano del solaio (Problema 1 §18). Pertanto, secondo il Teorema 4, la piastra si trova orizzontalmente.

Gli esempi forniti non esauriscono l'intera varietà di applicazioni delle caratteristiche considerate nella risoluzione di problemi pratici. Questi segni sono importanti anche per il successivo approfondimento della conoscenza geometrica.

Problema 1. Disegna una linea retta attraverso questo punto, perpendicolare

curvatura del piano dato.

 Il caso in cui il punto A si trova

nel dato piano α, abbiamo considerato in

paragrafo precedente. Ora lasciamo il punto

A si trova fuori dall'aereo

α. Attraverso arbitrario

punto in aereo

α traccia una linea retta

b, perpendicolare al piano α (Fig.403).

Quindi attraverso il punto A tracciamo una linea retta, pa-

linea parallela b

(come farlo?).

Sarà quello desiderato, data la sua perpendicolarità al piano

tale α è dovuto al Teorema 1. ■

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 393

PRI me R 1. Un segmento AM viene disegnato dal vertice A del quadrato ABCD, perpendicolare al piano ABC. Costruire:

1) un piano passante per il punto M perpendicolare alla linea AC;

2) una linea retta passante per il punto medio del segmento MC perpendicolare al piano ABC.

 Descriviamo la condizione di esempio in fig. 404, a.

1) Considera il piano MAS. A condizione, la linea MA è perpendicolare alla linea AC. Per costruire il piano desiderato è sufficiente tracciare un'altra retta per il punto A, perpendicolare alla retta AC. Poiché la retta BD è perpendicolare alla retta AC, la retta cercata deve essere parallela alla retta BD.

Costruzione. Attraverso il punto A tracciamo una retta AK parallela alla retta BD (Fig. 404, b). È perpendicolare al dritto AC. Il piano MAK è perpendicolare alla retta AC, secondo il criterio della perpendicolarità della retta e del piano (Teorema 1 § 18).

2) Sia N il punto medio del segmento MC (Fig. 405, a). La retta cercata è parallela alla retta MA dal teorema di parallelismo per le rette perpendicolari al piano (Teorema 2). Questa è una condizione necessaria.

È sufficiente, per il teorema su due rette parallele, di cui una perpendicolare al piano (Teorema 1).

Costruzione. Disegna una linea retta attraverso il punto N, parallela alla linea MA (Fig. 405, b). Il punto della sua intersezione O con il piano del quadrato è il centro del quadrato, poiché la linea NO giace nel piano MAS e passa per la metà del segmento AC (per il teorema di Talete). ■

Considera la dimostrazione dei teoremi di cui sopra sulle connessioni tra parallelismo e perpendicolarità di rette e piani. La connessione indicata tra due coppie di teoremi e tra di loro a coppie

ci permette di sperare che la dimostrazione di uno dei teoremi faciliti la dimostrazione di altri. Partiamo dal Teorema 1. Scriviamolo in forma simbolica.

Teorema 1. Dato: a 1 || a 2, a 1 α.

Dimostrare: un 2 α.

 Per dimostrare il teorema, usiamo il

linea retta e pendicolarità piana.

Sia O 1 il punto di intersezione della retta a 1 e del piano α. Secondo il teorema sull'intersezione di un piano con rette parallele (Teorema 6 § 8), la retta a 2, parallela alla retta a 1, interseca anche il piano α in un punto O 2 (Fig.406, a).

Prendi le rette a 1 e a 2 punti A 1 e A 2 su un lato del piano α in modo che i segmenti O 1 A 1 e O 2 A 2 siano uguali. Il quadrilatero O 1 A 1 A 2 O 2 (Fig. 406, b) è un parallelogramma, poiché O 1 A 1 || О 2 А 2, О 1 А 1 \u003d О 2 А 2. Allo stesso modo, costruiamo un grammo parallelo О 1 В 1 В 2 О 2 per una direzione arbitraria nel piano α. Per fare ciò, attraverso i punti O 1 e O 2 nel piano α, tracciare linee rette parallele arbitrarie, sulle quali selezioniamo i punti B 1 e B 2 in modo simile alla scelta dei punti A 1 e A 2 (Fig.406, c).

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 395

Dalle costruzioni precedenti ne consegue che il quadrilatero А 1 В 1 В 2 А 2 è un parallelogramma. Infatti, i segmenti А 1 А 2 e В 1 В 2 sono paralleli e uguali, secondo le proprietà di transitività delle relazioni di parallelismo delle rette e uguaglianza di lunghezze

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 \u003d O 1O 2, O 1O 2 \u003d B 1B 2).

Consideriamo ora i triangoli A 1 O 1 B 1 e A 2 O 2 B 2. Sono uguali ai tre lati: A 1 O 1 \u003d A 2 O 2, O 1 B 1 \u003d O 2 B 2, in costruzione, A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 come lati opposti del parallelogramma. Pertanto, gli angoli corrispondenti di questi triangoli sono uguali, in particolare A 1 O 1 B 1 \u003d \u003d A 2 O 2 B 2. Ma l'angolo A 1 O 1 B 1 in base alla condizione è diritto. Pertanto, anche l'angolo A 2 O 2 B 2 sarà corretto. E questo significa che la retta a 2 è perpendicolare a ciascuna retta del piano α passante per il punto O 2. Per definizione, è perpendicolare al piano α. ■

Teorema 2. Dati: a 1 α e 2 α.

Dimostrare: a 1 || a 2.

 Siano le rette a 1 e a 2 perpendicolari al piano α, O 1, O 2 - i punti della loro intersezione con il piano α (Fig. 407, a). Attraverso il punto O 2 traccia una linea retta b parallela alla retta a 1 (Fig. 407, b). Per il teorema 1, b α. Se la retta b non coincide con la retta a 2, allora il piano β può essere tracciato attraverso di loro, intersecando il piano α lungo la retta c (Fig.407, c). Le rette a 2 eb sono perpendicolari alla retta c, per definizione della perpendicolarità della retta e del piano. Tuttavia, nel piano attraverso questo punto, è possibile tracciare solo una linea retta, perpendicolare a questa linea retta. La contraddizione risultante significa che le linee rette a 2 eb coincidono, cioè a 1 || a 2. ■

La dimostrazione dei Teoremi 3 e 4 segue lo stesso schema delle dimostrazioni dei Teoremi 1 e 2, rispettivamente. Fai da te, usando le istruzioni fornite dopo le affermazioni dei Teoremi 3 e 4.

L'importanza dei teoremi considerati per la stereometria e le applicazioni, come già notato, è associata al fatto che ciascuno di essi è un segno: il primo e il terzo sono segni di perpendicolarità di una retta e di un piano, il secondo è un segno di linee parallele e il quarto è un segno di parallelismo piano. Questo amplia le nostre capacità nello studio della disposizione reciproca di linee e piani, realizzando costruzioni.

Il seguente teorema è una generalizzazione del risultato del problema 1.

Teorema 5 (su una retta perpendicolare ad un dato piano).

Una linea retta perpendicolare a un dato piano passa attraverso un punto arbitrario nello spazio e, inoltre, solo uno.

 La prima parte del teorema sull'esistenza di una tale linea è giustificata per risolvere il problema

1. Per dimostrare l'unicità di una tale linea, assumiamo il contrario, vale a dire:

attraverso un punto A vi sono due differenti rette una 1 e una 2, perpendicolari al piano α (Fig. 408). Per il Teorema 2, sono paralleli, cioè non hanno punti comuni.

Questa contraddizione prova l'affermazione. ■

Il risultato del problema 2 nella sezione precedente ha una generalizzazione simile.

Teorema 6 (su un piano perpendicolare a una data linea).

Qualsiasi punto nello spazio è attraversato da un piano perpendicolare alla linea data e, inoltre, solo uno.

 L'esistenza di un tale piano è dimostrata nella soluzione del problema 3 della sezione precedente. Resta da dimostrare l'unicità del piano che soddisfa le condizioni del teorema. Come al solito in questi casi, ammettiamo il contrario, vale a dire: attraverso il dato

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 397

due piani differenti α1 e α2, perpendicolari alla retta a (Fig.409), passano per il punto A. Per il Teorema 4, sono paralleli. Ma questi aerei hanno un punto comune A. La contraddizione risultante prova l'affermazione. ■

PRI me R 2. Dal vertice A del quadrato ABCD, viene tracciata una linea retta, perpendicolare al piano del quadrato, e su di essa viene preso il punto S. Costruire:

1) una retta passante per il centro O del quadrato perpendicolare al suo piano;

2) un piano passante per la metà P del segmento AS perpendicolare ad esso;

3) un piano passante per il punto A perpendicolare alla linea BD;

4) una linea retta passante per il punto A perpendicolare al piano SBD.

 1) Per ipotesi, la retta AS è perpendicolare al piano del quadrato. Qualsiasi altra retta perpendicolare a questo piano sarà parallela alla retta AS, secondo il Teorema 2, cioè il parallelismo della retta AS è una condizione necessaria per la perpendicolarità del piano retto cercato. È anche una condizione sufficiente per il Teorema 1.

Costruzione. Attraverso il punto O tracciamo una retta OE parallela a una retta AS (Fig.410). La retta OE è perpendicolare al piano del quadrato, secondo il teorema dei due parametri

rette parallele di cui una perpendicolare al piano.

2) A condizione, la linea АS è perpendicolare a

sull'aereo ABCD. Ogni altro piano perpendicolare alla retta AS sarà parallelo al piano ABCD, per il Teorema 4. Il parallelismo del piano desiderato al piano ABCD è, per il Teorema 3, una condizione sufficiente.

Costruzione. Disegniamo un piano parallelo al piano ABCD per il punto P.

Per fare ciò, traccia delle linee rette attraverso il punto P

РK e РL, paralleli alle linee rette АD e AB, rispettivamente (figura 411). Aereo РKL

è parallelo al piano ABCD, dal segno del parallelismo del piano, e quindi

è quello desiderato.

398 Perpendicolarità di linee e piani

3) Le diagonali del quadrato sono perpendicolari, cioè VO AO (vedi Fig. 410). Pertanto, la linea retta AO si trova nel piano desiderato. Se un'altra retta OE viene tracciata attraverso il punto O, perpendicolare a VO, allora la retta VO sarà perpendicolare al piano AOE, secondo il criterio della perpendicolarità della retta e del piano (Teorema 1 §18). Questo piano contiene il punto A.

Costruzione. Tracciamo una retta OE passante per il punto O, parallela alla retta AS. Sarà perpendicolare al piano ABCD (figura 412). La linea OE è perpendicolare

retta VO, per definizione della perpendicolarità della retta e del piano. L'aereo AOE è quello desiderato.

4) Considera i triangoli ABD e SBD

(Fig.413, a). Da allora sono isoscele

AD \u003d AB, per condizione, e l'uguaglianza SB \u003d SD deriva dall'uguaglianza dei triangoli ad angolo retto ASD e ASB. Le loro mediane SO e AO sono altezze, e quindi la linea BD è perpendicolare al piano AOS, secondo il criterio della perpendicolarità della retta e del piano (Teorema 1). Nel triangolo rettangolo AOS dal vertice dell'angolo retto A disegniamo l'altezza AE (Fig. 413, b). L'AE diretto è quello desiderato. Tracciamo infatti nel piano SBD per il punto E la retta EF parallela alla retta BD. Questa retta sarà perpendicolare al piano AOS, per il Teorema 1. Ciò significa che è perpendicolare alla retta AE. Secondo il criterio della perpendicolarità della retta e del piano (Teorema 1 § 18), la retta AE è perpendicolare al piano SBD. ■

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 399

9 9 Testare le domande

1. È vero che due linee rette perpendicolari a un piano giacciono sullo stesso piano?

2. I due bordi laterali della piramide possono essere perpendicolari- il piano della base della piramide?

3. È possibile disegnare una linea retta perpendicolare a due intersezioni- aerei penitenti?

4. C'è una relazione tra la posizione delle gambe di cento- la circa la sua superficie e il pavimento su cui si trova?

5. Esiste una sezione di un cubo da un piano perpendicolare esattamente a due dei suoi bordi?

6. È possibile disegnare un piano perpendicolare allo stesso tempo- solo due linee rette incrociate?

7. Perché i ghiaccioli di ghiaccio che pendono dal tetto in primavera possono essere considerati paralleli tra loro (trascurando il loro spessore- noah)?

8. C'è un gancio sul soffitto. Con l'aiuto di corde, è necessario sospendere la piattaforma in modo che sia il suo piano- rizontale. Come farlo?

9. È possibile disegnare tre collegamenti attraverso un dato punto nello spazio- linee rette molto perpendicolari? E quattro?

10. Quanti piani diversi sono definiti da quattro linee rette perpendicolari a un piano?

Esercizi grafici

1. Nella fig. 414

raffigurato rettangolare

parallelepipedo

ABCDA1 B1 C1 D1 con quad -

base ABCD, punti M, N,

P, Q - punti medi, rispettivamente, dei bordi

BC, B1 C1, AB,

D 1 C 1, punti O, O 1 - centri

affronta ABCD

e A 1 B 1 C 1 D 1. Situato in

la posizione esatta del rettilineo specificato

e aereo:

OM e ADD 1;

e ABC;

OC e DBB1;

e NQO 1;

B1 C

e BAD 1;

A1 C1

e MNQ;

e BDD 1;

QN e NPM.

400 Perpendicolarità di linee e piani

2. Nella fig. 415 raffigura un triangolo equilatero ABC, O - il suo centro, OS -

un segmento perpendicolare al piano del triangolo, punti M, N - i punti medi dei lati AB, BC, rispettivamente. Bocca-

nuova posizione relativa: 1) retta AB e piano SOC;

2) linea retta MN e piano SOB;

3) AC rettilineo e MNS piano.

3. Nella fig. 416 raffigura un cerchio con un centro O, AB e CD - è mutuamente perpendicolare

diametri ricci, MV - tangente al cerchio, OK, BL - segmenti uguali,

perpendicolare al piano del cerchio. Stabilisci una posizione relativa:

1) retta BL e piano AOC;

2) retta BM e piano LOK;

3) linea retta BM e piano COK;

4) linea retta KL e piani DOK;

5) aerei DOK e MBL;

6) retta BK e piano CLD.

4. Costruisci una figura utilizzando i dati forniti.

1) Aereo che passa attraverso un bordoAB del tetraedro regolare SABC, perpendicolare al bordo SC.

2) Un piano perpendicolare ad AC passa per il punto M, che giace sulla diagonale AC della piramide rettangolare regolare SABCD.

407. Dall'alto di un angolo rettoDa un triangolo rettangolare isoscele ABC, viene tracciata una linea retta perpendicolare al piano di questo triangolo e su di essa viene preso il punto S. Costruire:

1 °) piano passante per il punto S perpendicolare alla linea AB;

2 °) una linea retta passante per il punto medio del segmento AS perpendicolare al piano ABC;

3 °) un piano passante per il punto A parallelo al piano BCS;

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 401

4) una retta passante per il punto C perpendicolare al piano ABS, se AC \u003d 2 3 CS.

408. Dalla metà K dell'ipotenusa BC di un triangolo rettangolo isoscele ABC, viene tracciata una linea retta, perpendicolare al piano di questo triangolo, e su di essa si prende il punto M. Costruire:

1 °) piano passante per il punto M perpendicolare alla linea AC;

2 °) una linea retta passante per il punto medio del segmento AM perpendicolare al piano ABC;

3 °) piano passante per il punto A parallelo al piano BCM;

4) un piano passante per il punto K perpendicolare alla retta AM, se MK \u003d CK.

409. Dal centro O di un triangolo regolare ABC, viene tracciata una linea retta, perpendicolare al piano del triangolo, e su di essa viene preso il punto S. Costruire:

1 °) un piano passante per il punto O perpendicolare alla linea BC;

2 °) una retta passante per il centro del segmento AS perpendicolare al piano ABC;

3) un piano passante per il punto medio del segmento AS perpendicolare alla retta OS;

4 *) una linea retta passante per il punto A perpendicolare al piano BCS.

410. Dato un cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Costruire:

1 °) linea retta passante per il centro del visoA1 B1 C1 D1 corsia - perpendicolare alla faccia opposta; 2 °) piano passante per il verticeE perpendicolare alla diagonale BD;

3) una linea retta passante per il centro della faccia AA 1 B 1 B perpendicolare al piano BDD 1;

4 *) un piano passante per il punto D perpendicolare alla linea BD 1.

411. Nel tetraedro SABC, tutte le facce sono triangoli regolari, il punto O è il centro ABC, D è il punto medio del bordo BC, il punto N appartiene al bordo SA.

1 °) Determina la posizione relativa della retta SO e del piano ABC.

2 °) Determinare la posizione relativa della linea BC e del piano ASD.

3) Disegna una linea retta attraverso il punto N, perpendicolare alla faccia ABC.

4 *) Costruire una sezione del tetraedro con un piano passante per il punto N perpendicolare alla linea retta OS.

412 °. Due fili elettrici devono essere tesi da un palo di 7 m di altezza a un edificio di 4 m Di quanti fili sono necessari se la distanza dall'edificio al palo è di 10 me è necessario aggiungere il 3% della lunghezza calcolata all'abbassamento del filo?

413. Una torre di guardia a guardia di un'area rettangolare è installata in uno dei vertici del rettangolo. Le distanze dall'osservatore in piedi sulla torre agli altri vertici del rettangolo sono uguali a a, b, ce a\u003e b\u003e c. Qual è l'altezza della torre?

414. Tre rette parallele a, b, c non giacciono sullo stesso piano. Attraverso il punto M che giace sulla retta a, si disegnano le perpendicolari alle rette bec, intersecandole, rispettivamente, nei punti P e Q. Dimostrare che la retta PQ è perpendicolare alle rette b e c.

415. Attraverso il punto O, che è all'altezza CD del triangolo ABC, viene tracciata una OM perpendicolare al suo piano. Dimostrare che l'aereo che passa per le linee СD e ОМ è perpendicolare alla linea AB.

416 *. Dato un piano α e una retta a intersecante il piano nel punto M e non perpendicolare ad α. Dimostrare che nel piano α passante per il punto M c'è una retta perpendicolare alla retta a, e, inoltre, solo una.

417. Su una linea retta perpendicolare al piano α, vengono presi due punti A e B, che non giacciono nel piano α, e nel piano α, vengono presi due punti X e Y. È noto che XA\u003e XB. Confronta i segmenti

YA e YB.

Connessione tra parallelismo e perpendicolarità di piani retti 403

Esercizi di ripetizione

418. Dimostrare che tutte le rette del piano perpendicolari al dato piano retto formano questo piano.

419. Come dividere un segmento a metà, utilizzando solo un modello: a) angolo retto; b) un angolo acuto?

420. I lati del parallelogramma sono 2 me 16 dm; la distanza tra i lati grandi è di 8 dm. Determina la distanza tra i lati più piccoli.

Dichiarazioni chiave

I due teoremi

Se uno dei due

parallelo

parallelo

diretto, uno dei

perpendicolare

quale perpendicolare

aereo, poi il secondo

ricci al piano

perpendicolare

a || b, a α b α

polarità a questo piano.

Il parallelo

Se due linee rette

lealtà delle linee rette,

sono pendicolari a uno

perpendicolare

e lo stesso aereo, quindi

aereo

sono paralleli.

a α, b α a || b

Il parallelo

Se uno dei due

piatto piatto

parallelo

piatto

ossa, una delle

tei è perpendicolare

quale perpendicolare

dritto, poi il secondo

kular dritto

aereo

perpendi-

è curioso di questa linea.

α || β, α l β l

I due teoremi

aereo

aerei, per-

perpendicolare a uno

pendicolare

noah straight, allora loro

sono parallele.

α l, β l α || β

Obiettivi della lezione:

1) consolidare questioni teoriche sull'argomento "Perpendicolarità di una linea e di un piano";

2) sviluppare abilità nel risolvere tipi fondamentali di problemi sulla perpendicolarità di una linea retta e di un piano.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo

Riporta l'argomento e il programma della lezione.

II. Aggiornamento delle conoscenze degli studenti

1) Rilievo teorico.

Formulare e dimostrare un teorema su una linea retta perpendicolare a un piano (prepararsi alla lavagna per uno degli studenti, quindi ascoltare la sua risposta con tutta la classe).

2) Incarichi scritti individuali:

Dimostrare il teorema sulla perpendicolarità di due rette parallele alla terza (1 studente);

Dimostrare un teorema che stabilisce una connessione tra il parallelismo delle rette e la loro perpendicolarità al piano (1 studente);

Dimostrare il teorema inverso al teorema che stabilisce la connessione tra il parallelismo delle rette e la loro perpendicolarità al piano (1 studente);

Dimostra il segno di perpendicolarità di una linea e di un piano (1 studente).

3) Soluzione indipendente di problemi basata su disegni già pronti, seguita da verifica e discussione secondo necessità.

Livello I: n. 1, 2, 5.

Livello II: n. 3, 4, 6.

Il punto M si trova al di fuori del piano ABC.

1. Fig. 1. Dimostrare: la linea retta АС è perpendicolare al piano АМВ.

2. Fig. 2. BMDC è un rettangolo. Dimostrare: la linea CD è perpendicolare al piano ABC.

3. Fig. 3. ABCD è un rettangolo. Dimostrare: AD ⊥ AM.

Soluzione ai problemi 1-6.

4. Fig. 4. Dimostrare: ВС ⊥ DE.

5. Fig. 5. ABCD - parallelogramma. Dimostrare: la linea MO è perpendicolare al piano ABC.

6. Fig. 6. ABCD - rombo. Dimostrare che la linea BD è perpendicolare al piano dell'AMC.

Prova:

AC ⊥ AB (per condizione), AC ⊥ AM (per condizione),

Prova:

Poiché BMDC è un rettangolo, ∠MBC \u003d 90 °, il che significa

MB ⊥ (ABC) (basato sulla perpendicolarità di retta e piano).

MB || DC (dalla proprietà dei lati del rettangolo). Di conseguenza, DC ⊥ (ABC) (dal teorema sulla connessione tra il parallelismo delle rette e la loro perpendicolarità al piano).

Prova:

1) Poiché ABCD è un rettangolo, allora ∠ABC \u003d 90 °, quindi BC ⊥ AB, AB ⊂ (ABM)

ВС ⊥ (АМВ) (basato sulla perpendicolarità di una linea retta e di un piano).

2) BC || D.C. (di proprietà dei lati del rettangolo). Pertanto, AD ⊥ (AMB) (dal teorema sulla connessione tra il parallelismo delle rette e la loro perpendicolarità al piano).


3) AD ⊥ AM (per definizione di una retta perpendicolare al piano).

N. 4 (fig.7)

Dimostrazione: poiché ΔСМВ è isoscele (per condizione) e MD è l'altezza, allora MD è la mediana (per la proprietà dell'altezza di un triangolo isoscele).

Quindi, CD \u003d BD (per definizione della mediana).

1) Poiché ΔABC è isoscele (per condizione) e AD è la mediana (per definizione), allora AD è l'altezza (per la proprietà della mediana di un triangolo isoscele). Quindi, BC ⊥ AD.

2) ВС ⊥ (AMD) (sulla base della perpendicolarità di una linea retta e di un piano).

3) ВС ⊥ DE (per definizione di una linea retta perpendicolare al piano).

Prova:

1) AC ∩ BD \u003d О; AO \u003d OS, BO \u003d OD (dalla proprietà delle diagonali del parallelogramma).

2) ΔBMD è isoscele (per condizione) e MO è la mediana (per definizione), il che significa che MO è l'altezza (per la proprietà della mediana di un triangolo isoscele).

Pertanto, MO ⊥ BD.

3) In ΔАМС: MO ⊥ АС (è dimostrato in modo simile al punto 2).

4) MO ⊥ (AVS) (basato sulla perpendicolarità di una linea retta e di un piano).

N. 6 (fig.8)

Dimostrazione: AC ⊥ BD e AO \u003d OC, BO \u003d OD (dalla proprietà delle diagonali romboidali). ΔBMD è isoscele (per condizione) e MO è la mediana (per definizione), il che significa che MO è l'altezza (per la proprietà della mediana di un triangolo isoscele).

Pertanto, MO ⊥ BD.

(sulla base della perpendicolarità di una linea retta e di un piano).

III. Risolvere problemi

Soluzione per iscritto alla lavagna e nei quaderni del problema n. 130 (soluzione dettagliata nel libro di testo), n. 134 (con l'aiuto di un insegnante), chiama uno studente forte alla lavagna.

(Prima di procedere con la soluzione del problema, ripetere i concetti: la distanza tra due punti e la distanza da un punto a una linea. Formulare le definizioni di questi concetti.)

Dato: ABCD - quadrato; MB - dritto (fig.9).

Trova: a) MA, MD, MS; b) ρ (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB \u003d BC \u003d CD \u003d AD \u003d n (dalla proprietà dei lati del quadrato).

2) ΔАВМ e ΔСВМ sono rettangolari, poiché ∠MBA \u003d ∠МВС \u003d 90 °.

Secondo il teorema di Pitagora: otteniamo

3) Poiché BD è la diagonale del quadrato, allora

4) Poiché ∠MBA \u003d ∠MBC \u003d 90 °, allora

MB ⊥ (ABC) (sulla base della perpendicolarità di una retta e di un piano). Quindi, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (dalla definizione di una retta perpendicolare al piano).

5) ΔMBD - rettangolare (poiché MB ⊥ BD, quindi ∠MBD \u003d 90 °). Secondo il teorema di Pitagora:

6) ρ (M; BD) \u003d MB (per definizione della distanza da un punto a una retta). Quindi, ρ (M; BD) \u003d m.

7) AO \u003d OC, BO \u003d OD (dalla proprietà delle diagonali quadrate). Perché quindi ΔAMC è isoscele (per definizione) e MO è la mediana (per definizione), il che significa che MO è l'altezza (per la proprietà della mediana di un triangolo isoscele disegnato alla sua base). Pertanto, MO ⊥ AS.

Teoremi che stabiliscono una connessione tra il parallelismo delle rette e la loro perpendicolarità al piano. Teorema 2: se due rette sono perpendicolari al piano, allora sono parallele tra loro. Teorema 1: se una delle due rette parallele è perpendicolare al piano, l'altra retta è perpendicolare a questo piano.

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Grado di geometria 10

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