Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии.

Решение.

Ги наоѓаме пресечните точки на дадените прави. За да го направите ова, го решаваме системот на равенки:

За да ја најдеме апсцисата на пресечните точки на дадените прави, ја решаваме равенката:

Ние најдовме: x 1 = -2, x 2 = 4.

Значи, овие прави, кои се парабола и права линија, се сечат во точки А(-2; 0), Б(4; 6).

Овие линии формираат затворена фигура, чија површина се пресметува со горната формула:

Користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, наоѓаме:

Најдете ја областа на областа ограничена со елипсата.

Решение.

Од равенката на елипсата за првиот квадрант имаме. Од тука, користејќи ја формулата, добиваме

Ајде да примениме замена x = агрев т, dx = а cos т dt. Нови граници на интеграција т = α И т = β се одредуваат од равенките 0 = агрев т, а = агрев т. Може да се стави α = 0 и β = π /2.

Најдете една четвртина од потребната површина

Од тука С = πb.

Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со линииy = - x 2 + x + 4 иy = - x + 1.

Решение.

Ајде да ги најдеме точките на пресек на правите y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, изедначувајќи ги ординатите на линиите: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 или x 2 - 2x- 3 = 0. Наоѓање на корените x 1 = -1, x 2 = 3 и нивните соодветни ординати y 1 = 2, y 2 = -2.

Користејќи ја формулата за плоштината на фигурата, добиваме

Определи ја областа опфатена со параболаy = x 2 + 1 и директноx + y = 3.

Решение.

Решавање на систем од равенки

најдете ја апсцисата на пресечните точки x 1 = -2 и x 2 = 1.

Верувајќи y 2 = 3 - xИ y 1 = x 2 + 1, врз основа на формулата што ја добиваме

Пресметајте ја областа содржана во лемнискатот на Бернулир 2 = а 2 cos 2 φ .

Решение.

Во поларниот координатен систем, областа на фигурата ограничена со лакот на кривата р = ѓ(φ ) и два поларни радиуси φ 1 = ʅ И φ 2 = ʆ , ќе се изрази со интегралот

Поради симетријата на кривата, прво одредуваме една четвртина од потребната површина

Според тоа, целата површина е еднаква на С = а 2 .

Пресметајте ја должината на лакот на астроидотx 2/3 + y 2/3 = а 2/3 .

Решение.

Да ја напишеме равенката на астроидот во форма

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

Да ставиме x 1/3 = а 1/3 кос т, y 1/3 = а 1/3 грев т.

Од тука ги добиваме параметарските равенки на астроидот

x = а cos 3 т, y = агрев 3 т, (*)

каде 0 ≤ т ≤ 2π .

Поради симетријата на кривата (*), доволно е да се најде една четвртина од должината на лакот Л, што одговара на промената на параметарот тод 0 до π /2.

Добиваме

dx = -3а cos 2 тгрев т дт, ди = 3агрев 2 т cos т дт.

Од тука наоѓаме

Интегрирање на добиениот израз од 0 до π /2, добиваме

Од тука Л = 6а.

Најдете ја областа заградена со спиралата Архимедр = aφ и два вектори со радиус што одговараат на поларните аглиφ 1 Иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Решение.

Површина затворена со крива р = ѓ(φ ) се пресметува со формулата, каде α И β - граници на промена на поларниот агол.

Така, добиваме

(*)

Од (*) следува дека областа ограничена со поларната оска и првиот свиок на спиралата Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Слично, ја наоѓаме областа ограничена со поларната оска и вториот свиок на спиралата Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Потребната површина е еднаква на разликата на овие области

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање околу оскатаВол фигури ограничени со параболиy = x 2 Иx = y 2 .

Решение.

Да го решиме системот на равенки

и добиваме x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, од каде што се пресечните точки на кривите О(0; 0), Б(единаесет). Како што може да се види на сликата, потребниот волумен на телото на вртење е еднаков на разликата помеѓу два волумени формирани со ротација околу оската Волкриволиниски трапезоиди O.C.B.A.И ОДБА:

Пресметајте ја плоштината заградена со оскаВол и синусоидy = гревx на отсечки: а) ; б) .

Решение.

а) На сегмент грев функција xго зачувува знакот, а со тоа и според формулата, под претпоставка y= грев x, ние најдовме

б) На отсечката функција sin xго менува знакот. За правилно решавање на проблемот, неопходно е да се подели сегментот на два и [ π , 2π ], во секоја од нив функцијата го зачувува својот знак.

Според правилото за знаци, на сегментот [ π , 2π ] површината се зема со знак минус.

Како резултат на тоа, потребната површина е еднаква на

Одреди го волуменот на телото ограничено со површина добиена од ротација на елипсаоколу главната оскаа .

Решение.

Имајќи предвид дека елипсата е симетрична во однос на координатните оски, доволно е да се најде волуменот формиран со ротација околу оската Волобласт ОАБ, еднаква на една четвртина од површината на елипсата и двојно го удвои резултатот.

Да го означиме волуменот на телото на ротација со В x; тогаш врз основа на формулата што ја имаме , каде што 0 и а- апсциси на бодови БИ А. Од равенката на елипсата наоѓаме . Од тука

Така, потребниот волумен е еднаков на. (Кога елипсата ротира околу малата оска б, волуменот на телото е еднаков на )

Најдете ја областа ограничена со параболиy 2 = 2 px Иx 2 = 2 py .

Решение.

Прво, ги наоѓаме координатите на точките на пресек на параболите за да го одредиме сегментот на интеграција. Трансформирајќи ги оригиналните равенки, добиваме и . Изедначувајќи ги овие вредности, добиваме или x 4 - 8стр 3 x = 0.

x 4 - 8стр 3 x = x(x 3 - 8стр 3) = x(x - 2стр)(x 2 + 2px + 4стр 2) = 0.

Наоѓање на корените на равенките:

Со оглед на фактот дека поентата Апресекот на параболите е во првиот квартал, потоа границите на интеграција x= 0 и x = 2стр.

Ја наоѓаме потребната област користејќи ја формулата

Примена на интегралот за решавање на применети проблеми

Пресметка на површина

Дефинитивниот интеграл на континуирана ненегативна функција f(x) е нумерички еднаков наобласта на криволинеарен трапез ограничен со кривата y = f(x), оската O x и правите x = a и x = b. Во согласност со ова, формулата за површина е напишана на следниов начин:

Ајде да погледнеме неколку примери за пресметување на површините на рамни фигури.

Задача бр. 1. Пресметај ја плоштината ограничена со правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Да конструираме фигура чија површина ќе треба да ја пресметаме.

y = x 2 + 1 е парабола чии гранки се насочени нагоре, а параболата е поместена нагоре за една единица во однос на оската O y (слика 1).

Слика 1. График на функцијата y = x 2 + 1

Задача бр. 2. Пресметај ја плоштината ограничена со правите y = x 2 – 1, y = 0 во опсегот од 0 до 1.


Решение.Графикот на оваа функција е парабола на гранки кои се насочени нагоре, а параболата е поместена во однос на оската O y надолу за една единица (Слика 2).

Слика 2. График на функцијата y = x 2 – 1


Задача бр. 3. Направете цртеж и пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Првата од овие две прави е парабола со нејзините гранки насочени надолу, бидејќи коефициентот x 2 е негативен, а втората е права линија што ги пресекува двете координатни оски.

За да се конструира парабола, ги наоѓаме координатите на нејзиното теме: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – апсциса на темето; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е нејзината ордината, N(1;9) е темето.

Сега да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата линија со решавање на системот на равенки:

Изедначување на десните страни на равенката чии леви страни се еднакви.

Добиваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, од ​​каде .

Значи, точките се пресечни точки на парабола и права линија (Слика 1).


Слика 3 Графикони на функции y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да конструираме права y = 2x – 4. Таа минува низ точките (0;-4), (2;0) на координатните оски.

За да конструирате парабола, можете да ги користите и нејзините пресечни точки со оската 0x, односно корените на равенката 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Користејќи ја теоремата на Виета, лесно е да ги пронајдете неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Слика 3 покажува слика (параболичен сегмент M 1 N M 2) ограничен со овие линии.

Вториот дел од проблемот е да се најде областа на оваа бројка. Неговата површина може да се најде со користење на дефинитивен интеграл според формулата .

Применето на оваа состојба, го добиваме интегралот:

2 Пресметка на волуменот на телото на ротација

Волуменот на телото добиен од ротацијата на кривата y = f(x) околу оската O x се пресметува со формулата:

Кога ротирате околу оската O y, формулата изгледа вака:

Задача бр.4. Да се ​​определи волуменот на телото добиен од ротација на заоблен трапез ограничен со прави x = 0 x = 3 и крива y = околу оската O x.

Решение.Ајде да нацртаме слика (слика 4).

Слика 4. График на функцијата y =

Потребниот волумен е


Задача бр.5. Пресметај го волуменот на телото добиен од ротација на заоблен трапез ограничен со кривата y = x 2 и правите y = 0 и y = 4 околу оската O y.

Решение.Ние имаме:

Прегледајте ги прашањата

Внесете ја функцијата за која треба да го пронајдете интегралот

Калкулаторот дава ДЕТАЛНИ решенија за одредени интеграли.

Овој калкулатор наоѓа решение за определениот интеграл на функцијата f(x) со дадени горните и долните граници.

Примери

Користење на степен
(квадрат и коцка) и дропки

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратен корен

Sqrt(x)/(x + 1)

Корен од коцка

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Користење на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

лаксин

X*arcsin(x)

лак косинус

X*arccos(x)

Примена на логаритам

X*log (x, 10)

Природен логаритам

Излагач

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дропки

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Аркотангента

X*arсctg(x)

Хиперболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиперболична тангента и котангента

Ctgh(x)/tgh(x)

Хиперболичен арксин и аркозин

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиберболичен арктангенс и аркотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила за внесување изрази и функции

Изразите може да се состојат од функции (нотациите се дадени по азбучен редослед): апсолутна (x)Абсолутна вредност x
(модул xили |x|) арки (x)Функција - лак косинус на x arccosh (x)Лак косинус хиперболичен од x arcsin (x)Арксин од x arcsinh (x)Арксин хиперболичен од x арктан (x)Функција - арктангенс на x arctgh(x)Арктангент хиперболичен од x д дброј кој е приближно еднаков на 2,7 exp(x)Функција - експонент на x(како д^x) дневник (x)или ln(x)Природен логаритам на x
(За да се добие log7(x), треба да внесете log(x)/log(7) (или, на пример, за log10(x)=log(x)/log(10)) пиБројот е „Пи“, што е приближно еднаков на 3,14 грев (x)Функција - Синус од x cos(x)Функција - косинус на x sinh (x)Функција - Синус хиперболична од x кош (x)Функција - косинус хиперболична од x sqrt(x)Функција - Квадратен коренод x sqr(x)или x^2Функција - квадрат x тен (x)Функција - Тангента од x tgh(x)Функција - Тангента хиперболична од x cbrt(x)Функција - коцка корен на x

Следниве операции може да се користат во изрази: Реални бројки внесете како 7.5 , Не 7,5 2 * x- множење 3/x- поделба x^3- експоненцијација x+7- дополнување x - 6- одземање
Други карактеристики: кат (x)Функција - заокружување xнадолу (пример кат(4.5)==4.0) таванот (x)Функција - заокружување xнагоре (пример плафон (4,5)==5,0) знак (x)Функција - Знак x erf (x)Функција за грешка (или интеграл на веројатност) лаплас (x)Лапласова функција

А)

Решение.

Првата и најважна точка на одлуката е изградбата на цртежот.

Ајде да го направиме цртежот:

Равенката y=0 ја поставува оската „x“;

- x=-2 И x=1 - директно, паралелно со оската ОУ;

- y=x 2 +2 - парабола, чии гранки се насочени нагоре, со теме во точката (0;2).

Коментар.За да се конструира парабола, доволно е да се најдат точките на нејзиното вкрстување со координатни оски, т.е. ставање x=0 најдете го пресекот со оската ОУ и соодветно одлучува квадратна равенка, најдете го пресекот со оската О .

Темето на параболата може да се најде со помош на формулите:

Можете исто така да изградите линии точка по точка.

На интервалот [-2;1] графикот на функцијата y=x 2 +2 се наоѓа над оската Вол , Затоа:

Одговор: С =9 квадратни единици

Откако ќе заврши задачата, секогаш е корисно да го погледнете цртежот и да откриете дали одговорот е реален. Во овој случај, „со око“ го броиме бројот на ќелии на цртежот - добро, ќе има околу 9, се чини дека е точно. Сосема е јасно дека ако го добиеме, да речеме, одговорот: 20 квадратни единици, тогаш очигледно е дека некаде е направена грешка - 20 ќелии очигледно не се вклопуваат во дотичната фигура, најмногу десетина. Ако одговорот е негативен, тогаш и задачата е погрешно решена.

Што да направите ако се наоѓа закривениот трапез под оската О?

б)Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии y=-e x , x=1 и координатни оски.

Решение.

Ајде да направиме цртеж.

Ако закривен трапез целосно лоциран под оската О , тогаш неговата површина може да се најде со помош на формулата:

Одговор: S=(е-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици

Внимание! Двата типа на задачи не треба да се мешаат:

1) Ако од вас се бара да решите едноставно одреден интеграл без никаков геометриско значење, тогаш може да биде негативен.

2) Ако од вас е побарано да ја пронајдете плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл, тогаш областа е секогаш позитивна! Затоа минусот се појавува во формулата која штотуку беше дискутирана.

Во пракса, најчесто фигурата се наоѓа и во горната и во долната полурамнина.

Со)Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Прво треба да го завршите цртежот. Општо земено, кога конструираме цртеж во проблеми со областа, најмногу нè интересираат точките на пресек на правите. Да ги најдеме пресечните точки на параболата и правата.Ова може да се направи на два начина. Првиот метод е аналитички.

Ја решаваме равенката:

Ова значи дека долната граница на интеграција a=0 , горната граница на интеграција b=3 .

Ги градиме дадените прави: 1. Парабола - теме во точката (1;1); пресек на оски О -поени (0;0) и (0;2). 2. Права - симетрала на 2-ри и 4-ти координатни агли. И сега Внимание! Ако на сегментот [ а;б] некоја континуирана функција f(x)поголема или еднаква на некои континуирана функција g(x), тогаш областа на соодветната фигура може да се најде со помош на формулата: .


И не е важно каде се наоѓа фигурата - над оската или под оската, туку она што е важно е кој график е ПОВИСОК (во однос на друг график), а кој е ПОДОЛ. Во примерот што се разгледува, очигледно е дека на отсечката параболата се наоѓа над права линија, и затоа е потребно да се одземе од

Можете да конструирате линии точка по точка, а границите на интеграцијата стануваат јасни „сами“. Сепак, аналитичкиот метод за наоѓање граници сепак понекогаш треба да се користи ако, на пример, графикот е доволно голем, или деталната конструкција не ги открива границите на интеграцијата (тие можат да бидат фракциони или ирационални).

Посакуваната бројка е ограничена со парабола горе и права линија долу.

На сегментот, според соодветната формула:

Одговор: С =4,5 квадратни единици

Во претходниот дел, посветен на анализата на геометриското значење на дефинитивен интеграл, добивме голем број формули за пресметување на површината на криволинеарен трапез:

S (G) = ∫ a b f (x) d x за континуирана и ненегативна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x за континуирана и непозитивна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б].

Овие формули се применливи за решавање на едноставни задачи. Во реалноста, често ќе треба да работиме со посложени фигури. Во овој поглед, овој дел ќе го посветиме на анализа на алгоритми за пресметување на областа на фигури кои се ограничени со функции во експлицитна форма, т.е. како y = f(x) или x = g(y).

Теорема

Нека функциите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) се дефинирани и континуирани на интервалот [ a ; b ] , и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за која било вредност x од [ a ; б]. Тогаш формулата за пресметување на површината на сликата G, ограничена со линиите x = a, x = b, y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ќе изгледа како S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Слична формула ќе биде применлива за областа на фигура ограничена со линиите y = c, y = d, x = g 1 (y) и x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказ

Ајде да погледнеме три случаи за кои формулата ќе важи.

Во првиот случај, земајќи го предвид својството на адитивност на површината, збирот на површините на оригиналната слика G и криволинеарниот трапез G 1 е еднаков на плоштината на сликата G 2. Тоа значи дека

Затоа, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Можеме да ја извршиме последната транзиција користејќи го третото својство на определениот интеграл.

Во вториот случај, еднаквоста е точно: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Графичката илустрација ќе изгледа вака:

Ако двете функции се непозитивни, добиваме: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Графичката илустрација ќе изгледа вака:

Ајде да продолжиме да го разгледуваме општиот случај кога y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ја сечат оската O x.

Пресечните точки ги означуваме како x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Овие точки го делат сегментот [a; b ] на n делови x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, каде α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Оттука,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последната транзиција можеме да ја направиме користејќи го петтото својство на определениот интеграл.

Дозволете ни да го илустрираме општиот случај на графиконот.

Формулата S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се смета за докажана.

Сега да преминеме на анализа на примери за пресметување на областа на фигури што се ограничени со линиите y = f (x) и x = g (y).

Ќе започнеме со разгледување на кој било од примерите со конструирање график. Сликата ќе ни овозможи да претставиме сложени форми како синдикати на поедноставни форми. Ако конструирањето на графикони и фигури на нив ви е тешко, можете да го проучите делот за основни елементарни функции, геометриска трансформација на графикони на функции, како и конструирање графикони додека ја проучувате функцијата.

Пример 1

Неопходно е да се одреди областа на фигурата, која е ограничена со параболата y = - x 2 + 6 x - 5 и прави линии y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Решение

Да ги нацртаме линиите на графикот во Декартовиот координатен систем.

На сегментот [1; 4 ] графикот на параболата y = - x 2 + 6 x - 5 се наоѓа над правата линија y = - 1 3 x - 1 2. Во овој поглед, за да го добиеме одговорот, ја користиме формулата добиена претходно, како и методот на пресметување на дефинитивниот интеграл со помош на формулата Њутн-Лајбниц:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Одговор: S(G) = 13

Ајде да погледнеме покомплексен пример.

Пример 2

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x + 2, y = x, x = 7.

Решение

Во овој случај, имаме само една права линија која се наоѓа паралелно со оската x. Ова е x = 7. Ова бара од нас самите да ја најдеме втората граница на интеграција.

Ајде да изградиме график и да ги нацртаме на него линиите дадени во изјавата за проблемот.

Имајќи го графикот пред очи, лесно можеме да одредиме дека долната граница на интеграција ќе биде апсцисата на точката на пресек на графикот на правата линија y = x и полупараболата y = x + 2. За да ја најдеме апсцисата ги користиме еднаквостите:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Излегува дека апсцисата на пресечната точка е x = 2.

Вашето внимание го обрнуваме на фактот дека во општ примерна цртежот правата y = x + 2, y = x се сечат во точката (2; 2), па овие детални пресметкиможе да изгледа непотребно. Го донесовме ова овде детално решениесамо затоа што ги има повеќе тешки случаирешението можеби не е толку очигледно. Тоа значи дека секогаш е подобро аналитички да се пресметаат координатите на пресекот на правите.

На интервалот [2; 7] графикот на функцијата y = x се наоѓа над графикот на функцијата y = x + 2. Ајде да ја примениме формулата за да ја пресметаме областа:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Одговор: S (G) = 59 6

Пример 3

Неопходно е да се пресмета површината на сликата, која е ограничена со графиконите на функциите y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2.

Решение

Ајде да ги нацртаме линиите на графикот.

Ајде да ги дефинираме границите на интеграцијата. За да го направите ова, ги одредуваме координатите на точките на пресек на линиите со изедначување на изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. Под услов x да не е нула, еднаквоста 1 x = - x 2 + 4 x - 2 станува еквивалентна на равенката од трет степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 со целобројни коефициенти. За да ја освежиме вашата меморија за алгоритмот за решавање вакви равенки, можеме да се повикаме на делот „Решавање кубни равенки“.

Коренот на оваа равенка е x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Поделувајќи го изразот - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 со биномот x - 1, добиваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Можеме да ги најдеме преостанатите корени од равенката x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Го најдовме интервалот x ∈ 1; 3 + 13 2, во која фигурата G е содржана над сината и под црвената линија. Ова ни помага да ја одредиме областа на фигурата:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Одговор: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со кривите y = x 3, y = - log 2 x + 1 и оската на апсцисата.

Решение

Да ги нацртаме сите линии на графикот. Графикот на функцијата y = - log 2 x + 1 можеме да го добиеме од графикот y = log 2 x ако го поставиме симетрично во однос на оската x и го поместиме за една единица нагоре. Равенката на оската x е y = 0.

Дозволете ни да ги означиме точките на пресек на линиите.

Како што може да се види од сликата, графиците на функциите y = x 3 и y = 0 се сечат во точката (0; 0). Ова се случува затоа што x = 0 е единствениот реален корен на равенката x 3 = 0.

x = 2 е единствениот корен на равенката - log 2 x + 1 = 0, така што графиците на функциите y = - log 2 x + 1 и y = 0 се сечат во точката (2; 0).

x = 1 е единствениот корен на равенката x 3 = - log 2 x + 1 . Во овој поглед, графиците на функциите y = x 3 и y = - log 2 x + 1 се сечат во точката (1; 1). Последната изјава можеби не е очигледна, но равенката x 3 = - log 2 x + 1 не може да има повеќе од еден корен, бидејќи функцијата y = x 3 строго се зголемува, а функцијата y = - log 2 x + 1 е строго се намалува.

Понатамошното решение вклучува неколку опции.

Опција број 1

Можеме да ја замислиме фигурата G како збир од два кривилинеарни трапезоиди лоцирани над оската x, од кои првата се наоѓа подолу средната линијана отсечката x ∈ 0; 1, а втората е под црвената линија на сегментот x ∈ 1; 2. Тоа значи дека плоштината ќе биде еднаква на S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Опција бр. 2

Сликата G може да се претстави како разлика на две фигури, од кои првата се наоѓа над оската x и под сината линија на отсечката x ∈ 0; 2, а втората помеѓу црвената и сината линија на отсечката x ∈ 1; 2. Ова ни овозможува да ја најдеме областа на следниов начин:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Во овој случај, за да ја пронајдете областа ќе треба да користите формула од формата S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всушност, линиите што ја врзуваат фигурата можат да се претстават како функции на аргументот y.

Да ги решиме равенките y = x 3 и - log 2 x + 1 во однос на x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Ја добиваме потребната област:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Одговор: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Решение

Ќе нацртаме линија на графиконот со црвена линија, дадена од функцијата y = x. Правата y = - 1 2 x + 4 ја цртаме со сино, а линијата y = 2 3 x - 3 црно.

Да ги означиме пресечните точки.

Да ги најдеме пресечните точки на графиците на функциите y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Проверете: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не Дали решението на равенката x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 е решението на равенката ⇒ (4; 2) точка на пресек i y = x и y = - 1 2 x + 4

Да ја најдеме пресечната точка на графиците на функциите y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Проверете: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 е решението на равенката ⇒ (9 ; 3) точка a s y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Нема решение за равенката

Да ја најдеме пресечната точка на правите y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) точка на пресек y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Метод бр. 1

Да ја замислиме плоштината на саканата фигура како збир на плоштините на поединечни фигури.

Тогаш површината на сликата е:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Метод бр. 2

Областа на оригиналната фигура може да се претстави како збир на две други фигури.

Потоа ја решаваме равенката на линијата во однос на x и само после тоа ја применуваме формулата за пресметување на површината на сликата.

y = x ⇒ x = y 2 црвена линија y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 црна линија y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Значи областа е:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Како што можете да видите, вредностите се исти.

Одговор: S (G) = 11 3

Резултати

За да ја пронајдете областа на фигурата што е ограничена дадени линиитреба да конструираме линии на рамнината, да ги најдеме нивните пресечни точки и да ја примениме формулата за да ја најдеме областа. Во овој дел, ги испитавме најчестите варијанти на задачи.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter