Решавањето системи на линеарни алгебарски равенки (SLAEs) е несомнено најважната темалинеарна алгебра разбира. Огромен број задачи од сите математички гранки се сведуваат на решавање системи линеарни равенки. Овие фактори ја објаснуваат причината за овој напис. Материјалот на статијата е избран и структуриран така што со негова помош можете

  • изберете оптимален метод за решавање на вашиот систем на линеарни алгебарски равенки,
  • проучување на теоријата на избраниот метод,
  • решете го вашиот систем на линеарни равенки со разгледување на детални решенија за типични примери и проблеми.

Краток опис на материјалот на статијата.

Прво, ги даваме сите потребни дефиниции, концепти и воведуваме ознаки.

Следно, ќе разгледаме методи за решавање системи на линеарни алгебарски равенки во кои бројот на равенки е еднаков на бројот на непознати променливи и кои имаат единствено решение. Прво, ќе се фокусираме на методот на Крамер, второ, ќе го прикажеме методот на матрица за решавање на вакви системи на равенки и трето, ќе го анализираме методот на Гаус (метод на секвенцијална елиминација на непознати променливи). За да ја консолидираме теоријата, дефинитивно ќе решиме неколку SLAE на различни начини.

По ова, ќе преминеме на решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма, во кои бројот на равенките не се совпаѓа со бројот на непознати променливи или главната матрица на системот е еднина. Да ја формулираме теоремата Кронекер-Капели, која ни овозможува да ја утврдиме компатибилноста на SLAE. Дозволете ни да го анализираме решението на системите (ако тие се компатибилни) користејќи го концептот на базичен минор на матрицата. Ќе го разгледаме и методот Гаус и детално ќе ги опишеме решенијата на примерите.

Дефинитивно ќе се задржиме на структурата на општото решение на хомогени и нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки. Дозволете ни да го дадеме концептот на основен систем на решенија и да покажеме како општото решение на SLAE е напишано со помош на векторите на основниот систем на решенија. За подобро разбирање, да погледнеме неколку примери.

Како заклучок, ќе разгледаме системи на равенки кои можат да се сведат на линеарни, како и различни задачи, во чие решение произлегуваат SLAE.

Навигација на страницата.

Дефиниции, концепти, ознаки.

Ќе разгледаме системи на p линеарни алгебарски равенки со n непознати променливи (p може да биде еднаква на n) од формата

Непознати променливи - коефициенти (некои реални или сложени броеви), - слободни термини (исто така реални или сложени броеви).

Оваа форма на снимање на SLAE се нарекува координираат.

ВО матрична форма пишувањето на овој систем на равенки има форма,
Каде - главна матрица на системот, - колона матрица на непознати променливи, - колона матрица слободни членови.

Ако на матрицата А додадеме матрица-колона од слободни членови како (n+1)-та колона, ќе ја добиеме т.н. проширена матрицасистеми на линеарни равенки. Вообичаено, продолжената матрица се означува со буквата Т, а колоната со слободни термини е одделена со вертикална линија од преостанатите колони, т.е.

Решавање на систем од линеарни алгебарски равенкинаречен збир на вредности на непознати променливи што ги претвора сите равенки на системот во идентитети. Матричната равенка за дадените вредности на непознатите променливи, исто така, станува идентитет.

Ако системот на равенки има барем едно решение, тогаш тој се нарекува зглоб.

Ако системот на равенки нема решенија, тогаш тој се нарекува незаеднички.

Ако SLAE има единствено решение, тогаш тоа се нарекува одредени; ако има повеќе од едно решение, тогаш - неизвесна.

Ако слободните членови на сите равенки на системот се еднакви на нула , тогаш системот се повикува хомогенаинаку - хетерогени.

Решавање на елементарни системи на линеарни алгебарски равенки.

Ако бројот на равенки на системот е еднаков на бројот на непознати променливи и детерминантата на неговата главна матрица не е еднаква на нула, тогаш таквите SLAE ќе се нарекуваат елементарен. Ваквите системи на равенки имаат единствено решение, а во случај на хомоген систем, сите непознати променливи се еднакви на нула.

Почнавме да ги проучуваме таквите SLAE во средно школо. При нивното решавање, земавме една равенка, искажавме една непозната променлива во однос на другите и ја заменивме со преостанатите равенки, потоа ја земавме следната равенка, ја изразивме следната непозната променлива и ја заменивме со други равенки итн. Или го користеле методот на собирање, односно додале две или повеќе равенки за да елиминираат некои непознати променливи. Ние нема да се задржиме на овие методи во детали, бидејќи тие во суштина се модификации на методот Гаус.

Главни методи за решавање на елементарни системи на линеарни равенки се Крамеровиот метод, матричниот метод и Гаусовиот метод. Ајде да ги средиме.

Решавање системи на линеарни равенки со помош на Крамеровиот метод.

Да претпоставиме дека треба да решиме систем од линеарни алгебарски равенки

во кои бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати променливи и детерминантата на главната матрица на системот е различна од нула, односно .

Нека е детерминантата на главната матрица на системот, и - детерминанти на матрици кои се добиваат од А со замена 1-ви, 2-ри, ..., n-тиколона, соодветно на колоната на слободни членови:

Со оваа нотација, непознатите променливи се пресметуваат со користење на формулите на методот на Крамер како . Вака се наоѓа решението на систем од линеарни алгебарски равенки со помош на Крамеровиот метод.

Пример.

Крамеровиот метод .

Решение.

Главната матрица на системот ја има формата . Ајде да ја пресметаме нејзината детерминанта (ако е потребно, видете ја статијата):

Бидејќи детерминантата на главната матрица на системот е ненула, системот има единствено решение кое може да се најде со методот на Крамер.

Да ги составиме и пресметаме потребните детерминанти (детерминантата ја добиваме со замена на првата колона во матрицата А со колона од слободни членови, детерминантата со замена на втората колона со колона од слободни членови и со замена на третата колона од матрицата А со колона од слободни членови) :

Наоѓање непознати променливи со помош на формули :

Одговор:

Главниот недостаток на методот на Крамер (ако може да се нарече недостаток) е сложеноста на пресметувањето на детерминантите кога бројот на равенки во системот е повеќе од три.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки со метод на матрица (со користење на инверзна матрица).

Нека е даден систем од линеарни алгебарски равенки во форма на матрица, каде што матрицата A има димензија n на n и нејзината детерминанта е ненула.

Бидејќи , матрицата А е инверзибилна, односно постои инверзна матрица. Ако ги помножиме двете страни на еднаквоста со лево, добиваме формула за наоѓање матрица-колона од непознати променливи. Така добивме решение на систем од линеарни алгебарски равенки со помош на методот на матрица.

Пример.

Решавање систем на линеарни равенки матричен метод.

Решение.

Ајде да го преработиме системот на равенки во форма на матрица:

Бидејќи

тогаш SLAE може да се реши со методот на матрица. Користејќи ја инверзната матрица, решението за овој систем може да се најде како .

Ајде да ја конструираме инверзната матрица користејќи ја матрицата од алгебарски дополнувањаелементи на матрицата А (ако е потребно, видете ја статијата):

Останува да се пресмета матрицата на непознати променливи со множење на инверзната матрица до матрица-колона од слободни членови (ако е потребно, видете ја статијата):

Одговор:

или во друга нотација x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Главниот проблем при изнаоѓање решенија за системи на линеарни алгебарски равенки со помош на методот на матрица е сложеноста на наоѓање на инверзната матрица, особено за квадратни матрици со ред поголем од трета.

Решавање системи на линеарни равенки со помош на Гаусовиот метод.

Да претпоставиме дека треба да најдеме решение за систем од n линеарни равенки со n непознати променливи
детерминантата на главната матрица на која е различна од нула.

Суштината на методот Гауссе состои од последователно елиминирање на непознатите променливи: прво, x 1 е исклучена од сите равенки на системот, почнувајќи од втората, потоа x 2 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од третата, и така натаму, додека не остане само непознатата променлива x n во последната равенка. Овој процес на трансформација на системските равенки за последователно елиминирање на непознатите променливи се нарекува директен Гаусовиот метод. По завршувањето на движењето напред на Гаусовиот метод, x n се наоѓа од последната равенка, користејќи ја оваа вредност од претпоследната равенка, се пресметува x n-1 и така натаму, x 1 се наоѓа од првата равенка. Се нарекува процесот на пресметување на непознати променливи при движење од последната равенка на системот до првата инверзна на Гаусовиот метод.

Дозволете ни накратко да го опишеме алгоритмот за елиминирање на непознати променливи.

Ќе го претпоставиме тоа, бидејќи секогаш можеме да го постигнеме ова со преуредување на равенките на системот. Да ја елиминираме непознатата променлива x 1 од сите равенки на системот, почнувајќи од втората. За да го направите ова, на втората равенка на системот ја додаваме првата, помножена со , на третата равенка ја додаваме првата, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме првата, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и .

Ќе дојдевме до истиот резултат ако изразевме x 1 во однос на други непознати променливи во првата равенка на системот и го заменивме добиениот израз со сите други равенки. Така, променливата x 1 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од втората.

Следно, продолжуваме на сличен начин, но само со дел од добиениот систем, кој е означен на сликата

За да го направите ова, на третата равенка на системот ја додаваме втората, помножена со , на четвртата равенка ја додаваме втората, помножена со и така натаму, на n-тата равенка ја додаваме втората, помножена со . Системот на равенки по таквите трансформации ќе добие форма

каде и . Така, променливата x 2 е исклучена од сите равенки, почнувајќи од третата.

Следно, продолжуваме со елиминирање на непознатото x 3, додека слично постапуваме со делот од системот означен на сликата.

Така ја продолжуваме директната прогресија на Гаусовиот метод додека системот не добие форма

Од овој момент започнуваме обратно од Гаусовиот метод: го пресметуваме x n од последната равенка како , користејќи ја добиената вредност на x n наоѓаме x n-1 од претпоследната равенка, и така натаму, наоѓаме x 1 од првата равенка .

Пример.

Решавање систем на линеарни равенки Гаусовиот метод.

Решение.

Да ја исклучиме непознатата променлива x 1 од втората и третата равенка на системот. За да го направите ова, на двете страни на втората и третата равенка ги додаваме соодветните делови од првата равенка, помножени со и со, соодветно:

Сега го елиминираме x 2 од третата равенка со додавање на левата и десната страна на левата и десната страна на втората равенка, помножени со:

Ова го комплетира ударот напред на методот Гаус; го започнуваме обратниот удар.

Од последната равенка на добиениот систем на равенки наоѓаме x 3:

Од втората равенка добиваме .

Од првата равенка ја наоѓаме преостанатата непозната променлива и со тоа ја комплетираме обратната страна на методот Гаус.

Одговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма.

Општо земено, бројот на равенки на системот p не се совпаѓа со бројот на непознати променливи n:

Таквите SLAE може да немаат решенија, да имаат едно решение или да имаат бесконечно многу решенија. Оваа изјава важи и за системи на равенки чија главна матрица е квадратна и еднина.

Теорема Кронекер-Капели.

Пред да се најде решение за систем на линеарни равенки, неопходно е да се утврди неговата компатибилност. Одговорот на прашањето кога SLAE е компатибилен и кога е неконзистентен е даден од Теорема Кронекер-Капели:
За да може системот од p равенки со n непознати (p може да биде еднаков на n) да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на главната матрица на системот да биде еднаков на рангот на продолжената матрица, т.е. , Ранг(А)=Ранг(Т).

Да ја разгледаме, како пример, примената на теоремата Кронекер-Капели за да се одреди компатибилноста на систем од линеарни равенки.

Пример.

Откријте дали системот на линеарни равенки има решенија.

Решение.

. Да го користиме методот на граничи со малолетници. Малолетник од втор ред различен од нула. Да ги погледнеме малолетниците од трет ред што се граничат со него:

Бидејќи сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, рангот на главната матрица е еднаков на два.

За возврат, рангот на продолжената матрица е еднакво на три, бидејќи малолетникот е од трет ред

различен од нула.

Така, Rang(A), според тоа, користејќи ја теоремата Кронекер-Капели, можеме да заклучиме дека оригиналниот систем на линеарни равенки е неконзистентен.

Одговор:

Системот нема решенија.

Значи, научивме да ја утврдиме неконзистентноста на системот користејќи ја теоремата Кронекер-Капели.

Но, како да се најде решение за SLAE ако се утврди неговата компатибилност?

За да го направиме ова, потребен ни е концептот на минор за основа на матрицата и теорема за ранг на матрицата.

Се нарекува минор од највисок ред на матрицата А, различен од нула основни.

Од дефиницијата за минор на основата произлегува дека неговиот редослед е еднаков на рангот на матрицата. За ненулта матрица А може да има неколку основни минори; секогаш има една основна минор.

На пример, разгледајте ја матрицата .

Сите минори од трет ред на оваа матрица се еднакви на нула, бидејќи елементите од третиот ред од оваа матрица се збир на соодветните елементи од првиот и вториот ред.

Следниве малолетници од втор ред се основни, бидејќи не се нула

Малолетници не се основни, бидејќи се еднакви на нула.

Теорема за ранг на матрица.

Ако рангот на матрица од редот p по n е еднаков на r, тогаш сите елементи на редот (и колоната) од матрицата што не го формираат избраниот минор на основата се линеарно изразени во однос на соодветните елементи на редот (и колоната) што формираат основата минор.

Што ни кажува теоремата за ранг на матрицата?

Ако, според теоремата Кронекер-Капели, ја утврдивме компатибилноста на системот, тогаш ја избираме секоја основа минор на главната матрица на системот (нејзиниот редослед е еднаков на r), и ги исклучуваме од системот сите равенки што прават не ја формираат избраната основа помала. На овој начин добиениот SLAE ќе биде еквивалентен на оригиналниот, бидејќи отфрлените равенки сè уште се вишок (според теоремата за ранг на матрицата, тие се линеарна комбинација на преостанатите равенки).

Како резултат на тоа, по отфрлањето на непотребните равенки на системот, можни се два случаи.

    Ако бројот на равенките r во добиениот систем е еднаков на бројот на непознати променливи, тогаш тој ќе биде дефинитивен и единственото решение може да се најде со Крамеровиот метод, методот на матрица или методот на Гаус.

    Пример.

    .

    Решение.

    Ранг на главната матрица на системот е еднакво на два, бидејќи малолетникот е од втор ред различен од нула. Проширен ранг на матрица исто така е еднакво на два, бидејќи единствениот минор од трет ред е нула

    а минорот од втор ред разгледан погоре се разликува од нула. Врз основа на теоремата Кронекер-Капели, можеме да ја потврдиме компатибилноста на оригиналниот систем на линеарни равенки, бидејќи Rank(A)=Rank(T)=2.

    Како основа минор земаме . Се формира од коефициентите на првата и втората равенка:

    Третата равенка на системот не учествува во формирањето на основниот минор, така што ја исклучуваме од системот заснован на теоремата за ранг на матрицата:

    Така добивме елементарен систем на линеарни алгебарски равенки. Ајде да го решиме користејќи го методот на Крамер:

    Одговор:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Ако бројот на равенки r во добиениот SLAE е помал од бројот на непознати променливи n, тогаш на левите страни на равенките ги оставаме поимите што ја формираат основата минор, а преостанатите членови ги пренесуваме на десните страни на равенки на системот со спротивен знак.

    Се повикуваат непознатите променливи (r од нив) кои остануваат на левите страни на равенките главен.

    Се повикуваат непознатите променливи (има n - r парчиња) кои се на десната страна бесплатно.

    Сега веруваме дека слободните непознати променливи можат да земат произволни вредности, додека r главните непознати променливи ќе бидат изразени во смисла на слободни непознати променливи единствениот начин. Нивното изразување може да се најде со решавање на добиениот SLAE со користење на методот Крамер, методот на матрица или методот Гаус.

    Да го погледнеме со пример.

    Пример.

    Решавање на систем од линеарни алгебарски равенки .

    Решение.

    Ајде да го најдеме рангот на главната матрица на системот со методот на граничи малолетници. Да земеме 1 1 = 1 како ненула минор од прв ред. Ајде да започнеме да бараме минор не-нула од втор ред што се граничи со овој минор:

    Вака најдовме ненулта мол од втор ред. Ајде да започнеме да бараме минор кој не се граничи со нула од трет ред:

    Така, рангот на главната матрица е три. Рангот на проширената матрица е исто така еднаков на три, односно системот е конзистентен.

    Како основен го земаме пронајдениот не-нула минор од трет ред.

    За јасност, ги прикажуваме елементите што ја формираат основата на минор:

    Ги оставаме поимите вклучени во основата минор на левата страна на системските равенки, а остатокот го пренесуваме со спротивни знаци на десните страни:

    Да им дадеме на слободните непознати променливи x 2 и x 5 произволни вредности, односно прифаќаме , каде што се произволни броеви. Во овој случај, SLAE ќе ја земе формата

    Дозволете ни да го решиме добиениот елементарен систем на линеарни алгебарски равенки користејќи го Крамеровиот метод:

    Оттука,.

    Во вашиот одговор, не заборавајте да наведете бесплатни непознати променливи.

    Одговор:

    Каде се произволни броеви.

Сумирајте.

За да решиме систем на општи линеарни алгебарски равенки, прво ја одредуваме неговата компатибилност користејќи ја теоремата Кронекер-Капели. Ако рангот на главната матрица не е еднаков на рангот на проширената матрица, тогаш заклучуваме дека системот е некомпатибилен.

Ако рангот на главната матрица е еднаков на рангот на проширената матрица, тогаш избираме основен минор и ги отфрламе равенките на системот што не учествуваат во формирањето на избраниот основен минор.

Ако редоследот на основниот минор е еднаков на бројот на непознати променливи, тогаш SLAE има единствено решение, кое може да се најде со кој било метод познат нам.

Ако редоследот на основниот минор е помал од бројот на непознати променливи, тогаш на левата страна на системските равенки ги оставаме поимите со главните непознати променливи, ги пренесуваме преостанатите членови на десните страни и им даваме произволни вредности на слободните непознати променливи. Од добиениот систем на линеарни равенки ги наоѓаме главните непознати променливи по методКрамер, матричен метод или Гаусовиот метод.

Гаусовиот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки од општа форма.

Гаусовиот метод може да се користи за решавање системи на линеарни алгебарски равенки од кој било вид без претходно да се тестираат за компатибилност. Процесот на секвенцијална елиминација на непознати променливи овозможува да се извлече заклучок и за компатибилноста и за некомпатибилноста на SLAE, а доколку постои решение, овозможува да се најде.

Од пресметковна гледна точка, се претпочита Гаусовиот метод.

Видете го неговиот детален опис и анализираните примери во статијата Гаусовиот метод за решавање системи на општи линеарни алгебарски равенки.

Пишување општо решение за хомогени и нехомогени линеарни алгебарски системи со помош на вектори на основниот систем на решенија.

Во овој дел ќе зборуваме за симултани хомогени и нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки кои имаат бесконечен број решенија.

Ајде прво да се занимаваме со хомогени системи.

Основен систем на решенијахомоген систем на p линеарни алгебарски равенки со n непознати променливи е збир од (n – r) линеарно независни решенија на овој систем, каде што r е редоследот на базичниот минор на главната матрица на системот.

Ако означиме линеарно независни решенија на хомогена SLAE како X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) се колонозни матрици со димензија n со 1) , тогаш општото решение на овој хомоген систем е претставено како линеарна комбинација на вектори на основниот систем на решенија со произволни константни коефициенти C 1, C 2, ..., C (n-r), односно .

Што значи поимот општо решение на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки (орослау)?

Значењето е едноставно: формулата ги специфицира сите можни решенија на оригиналниот SLAE, со други зборови, земајќи го секое збир на вредности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (n-r), користејќи ја формулата што ќе ја се добие еден од растворите на оригиналниот хомоген SLAE.

Така, ако најдеме фундаментален систем на решенија, тогаш можеме да ги дефинираме сите решенија на оваа хомогена SLAE како .

Дозволете ни да го прикажеме процесот на конструирање на основен систем на решенија за хомогена SLAE.

Го избираме минорот на оригиналниот систем на линеарни равенки, ги исклучуваме сите други равенки од системот и ги пренесуваме сите поими што содржат слободни непознати променливи на десната страна на системските равенки со спротивни знаци. Ајде да им дадеме на слободните непознати променливи вредностите 1,0,0,...,0 и да ги пресметаме главните непознати со решавање на добиениот елементарен систем на линеарни равенки на кој било начин, на пример, користејќи го методот Крамер. Ова ќе резултира со X (1) - првото решение на основниот систем. Ако на слободните непознати им ги дадеме вредностите 0,1,0,0,…,0 и ги пресметаме главните непознати, добиваме X (2) . И така натаму. Ако ги доделиме вредностите 0,0,…,0,1 на слободните непознати променливи и ги пресметаме главните непознати, ќе добиеме X (n-r) . На овој начин, ќе се конструира фундаментален систем на решенија за хомогена SLAE и неговото општо решение може да се запише во форма.

За нехомогени системи на линеарни алгебарски равенки, општото решение е претставено во форма, каде што е општото решение на соодветниот хомоген систем и е конкретното решение на оригиналниот нехомоген SLAE, што го добиваме со давање на вредностите на слободните непознати 0,0,...,0 и пресметување на вредностите на главните непознати.

Ајде да погледнеме примери.

Пример.

Најдете го основниот систем на решенија и општото решение на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки .

Решение.

Рангот на главната матрица на хомогени системи на линеарни равенки е секогаш еднаков на рангот на продолжената матрица. Ајде да го најдеме рангот на главната матрица користејќи го методот на граничи малолетници. Како минор без нула од прв ред, го земаме елементот a 1 1 = 9 од главната матрица на системот. Ајде да го најдеме граничниот не-нулти минор од вториот ред:

Пронајден е малолетник од втор ред, различен од нула. Ајде да поминеме низ малолетниците од трет ред што се граничат со него во потрага по не-нулта:

Сите гранични малолетници од трет ред се еднакви на нула, затоа, рангот на главната и проширената матрица е еднаков на два. Ајде да земеме . За јасност, да ги забележиме елементите на системот што го формираат:

Третата равенка на оригиналниот SLAE не учествува во формирањето на основната мала, па затоа може да се исклучи:

Поимите што ги содржат главните непознати ги оставаме на десните страни на равенките и ги пренесуваме поимите со слободни непознати на десните страни:

Дозволете ни да конструираме основен систем на решенија на оригиналниот хомоген систем на линеарни равенки. Основниот систем на решенија на овој SLAE се состои од две решенија, бидејќи оригиналниот SLAE содржи четири непознати променливи, а редоследот на неговата основна минор е еднаков на две. За да го пронајдеме X (1), на слободните непознати променливи им ги даваме вредностите x 2 = 1, x 4 = 0, потоа ги наоѓаме главните непознати од системот на равенки
.

Ајде да го решиме користејќи го методот на Крамер:

Така,.

Сега да го конструираме X (2) . За да го направите ова, на слободните непознати променливи им даваме вредности x 2 = 0, x 4 = 1, потоа ги наоѓаме главните непознати од системот на линеарни равенки
.

Ајде повторно да го користиме методот на Крамер:

Добиваме.

Значи, добивме два вектори на основниот систем на решенија и сега можеме да го запишеме општото решение на хомоген систем на линеарни алгебарски равенки:

, каде што C 1 и C 2 се произволни броеви., се еднакви на нула. Ќе го земеме и минорот како основна, ќе ја елиминираме третата равенка од системот и ќе ги преместиме поимите со слободни непознати на десната страна на системските равенки:

За да најдеме, на слободните непознати променливи да им ги дадеме вредностите x 2 = 0 и x 4 = 0, тогаш системот на равенки ќе има форма , од каде ги наоѓаме главните непознати променливи користејќи го методот на Крамер:

Ние имаме , оттука,

каде што C 1 и C 2 се произволни броеви.

Треба да се забележи дека решенијата на неопределен хомоген систем на линеарни алгебарски равенки генерираат линеарен простор

Решение.

Канонската равенка на елипсоид во правоаголен Декартов координатен систем има форма . Наша задача е да ги одредиме параметрите a, b и c. Бидејќи елипсоидот минува низ точките A, B и C, тогаш кога се заменуваат нивните координати во канонска равенкаелипсоид мора да се претвори во идентитет. Значи, добиваме систем од три равенки:

Да означиме , тогаш системот ќе стане систем од линеарни алгебарски равенки .

Да ја пресметаме детерминантата на главната матрица на системот:

Бидејќи е не-нула, можеме да го најдеме решението користејќи го методот на Крамер:
). Очигледно, x = 0 и x = 1 се корените на овој полином. Количина од делење на е . Така, имаме проширување и оригиналниот израз добива форма .

Да го користиме методот на неопределени коефициенти.

Изедначувајќи ги соодветните коефициенти на броителите, доаѓаме до систем на линеарни алгебарски равенки . Неговото решение ќе ни ги даде посакуваните неопределени коефициенти A, B, C и D.

Ајде да го решиме системот користејќи го Гаусовиот метод:

Користејќи го обратното од Гаусовиот метод, наоѓаме D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Добиваме

Одговор:

.

  • Системи млинеарни равенки со nнепознат.
    Решавање на систем од линеарни равенки- ова е таков збир на броеви ( x 1 , x 2 , ..., x n), кога се заменува во секоја од равенките на системот, се добива точната еднаквост.
    Каде a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— системски коефициенти;
    b i, i = 1, …, m- слободни членови;
    x j, j = 1, …, n- непознато.
    Горенаведениот систем може да се напише во форма на матрица: A X = B,




    Каде ( А|Б) е главната матрица на системот;
    А— проширена системска матрица;
    X— колона непознати;
    Б— колона од слободни членови.
    Ако матрица Бне е нулта матрица ∅, тогаш овој систем на линеарни равенки се нарекува нехомоген.
    Ако матрица Б= ∅, тогаш овој систем на линеарни равенки се нарекува хомоген. Хомоген систем секогаш има нула (тривијално) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
    Заеднички систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има решение.
    Неконзистентен систем на линеарни равенкие нерешлив систем на линеарни равенки.
    Одреден систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки кој има единствено решение.
    Неопределен систем на линеарни равенкие систем од линеарни равенки со бесконечен број решенија.
  • Системи од n линеарни равенки со n непознати
    Ако бројот на непознати е еднаков на бројот на равенки, тогаш матрицата е квадратна. Детерминантата на матрицата се нарекува главна детерминанта на системот на линеарни равенки и се означува со симболот Δ.
    Крамер методза решавање системи nлинеарни равенки со nнепознат.
    Правило на Крамер.
    Ако главната детерминанта на системот од линеарни равенки не е еднаква на нула, тогаш системот е конзистентен и дефиниран, а единственото решение се пресметува со помош на формулите на Крамер:
    каде Δ i се детерминанти добиени од главната детерминанта на системот Δ со замена јасколона до колоната слободни членови. .
  • Системи од m линеарни равенки со n непознати
    Теорема Кронекер-Капели.


    За да може даден систем на линеарни равенки да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на системската матрица да биде еднаков на рангот на проширената матрица на системот, ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б).
    Ако ранг(Α) ≠ ринг(Α|Б), тогаш системот очигледно нема решенија.
    Ако ранг(Α) = ѕвонење(Α|Б), тогаш можни се два случаи:
    1) ранг(Α) = n(број на непознати) - решението е единствено и може да се добие со помош на формулите на Крамер;
    2) ранг (Α)< n - има бескрајно многу решенија.
  • Гаусовиот методза решавање системи на линеарни равенки


    Ајде да создадеме проширена матрица ( А|Б) на даден систем од коефициентите на непознатите и десните страни.
    Гаусовиот метод или методот на елиминирање непознати се состои од намалување на проширената матрица ( А|Б) користејќи елементарни трансформации над неговите редови до дијагонална форма (до горната триаголна форма). Враќајќи се во системот на равенки, се одредуваат сите непознати.
    Елементарните трансформации над жиците го вклучуваат следново:
    1) заменете две линии;
    2) множење на низа со број различен од 0;
    3) додавање на друга низа на низа, помножена со произволен број;
    4) исфрлање на нулта линија.
    Проширена матрица сведена на дијагонална форма одговара на линеарен систем еквивалентен на дадениот, чиешто решение не предизвикува потешкотии. .
  • Систем на хомогени линеарни равенки.
    Хомоген систем има форма:

    одговара на матричната равенка A X = 0.
    1) Хомоген систем е секогаш конзистентен, бидејќи r(A) = r(A|B), секогаш има нула решение (0, 0, ..., 0).
    2) За хомоген систем да има ненулта решение потребно е и доволно тоа r = r(A)< n , што е еквивалентно на Δ = 0.
    3) Ако р< n , тогаш очигледно Δ = 0, тогаш се појавуваат слободни непознати c 1 , c 2 , ..., c n-r, системот има нетривијални решенија, а ги има бескрајно многу.
    4) Општо решение Xна р< n може да се напише во форма на матрица како што следува:
    X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
    каде се решенијата X 1, X 2, ..., X n-rформираат основен систем на решенија.
    5) Основниот систем на решенија може да се добие од општото решение на хомоген систем:

    ,
    ако последователно ги поставиме вредностите на параметарот еднакви на (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0,…, 1).
    Проширување на општото решение во однос на основниот систем на решенијае запис на општо решение во форма на линеарна комбинација на решенија кои припаѓаат на основниот систем.
    Теорема. За да може системот од линеарни хомогени равенки да има решение кое не е нула, потребно е и доволно Δ ≠ 0.
    Значи, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогаш системот има единствено решение.
    Ако Δ ≠ 0, тогаш системот на линеарни хомогени равенки има бесконечен број решенија.
    Теорема. За хомоген систем да има ненула решение, потребно е и доволно тоа r(A)< n .
    Доказ:
    1) рне може да има повеќе n(рангот на матрицата не го надминува бројот на колони или редови);
    2) р< n , бидејќи Ако r = n, тогаш главната детерминанта на системот Δ ≠ 0 и, според формулите на Крамер, постои единствено тривијално решение x 1 = x 2 = … = x n = 0, што е во спротивност со состојбата. Средства, r(A)< n .
    Последица. Со цел за хомоген систем nлинеарни равенки со nнепознатите имале решение не нула, потребно е и доволно Δ = 0.
Пример 1. Најдете општо решение и некое посебно решение на системот

РешениеНие го правиме тоа со помош на калкулатор. Ајде да ги напишеме продолжените и главните матрици:

Главната матрица А е одвоена со испрекината линија.На врвот пишуваме непознати системи, имајќи го предвид можното преуредување на членовите во равенките на системот. Со одредување на рангот на продолжената матрица, истовремено го наоѓаме рангот на главната. Во матрицата Б, првата и втората колона се пропорционални. Од двете пропорционални колони, само една може да падне во основната мала, па да ја преместиме, на пример, првата колона надвор од испрекината линија со спротивен знак. За системот, тоа значи пренос на поими од x 1 на десната страна на равенките.

Ајде да ја намалиме матрицата во триаголна форма. Ќе работиме само со редови, бидејќи множење на ред од матрицата со број различен од нула и додавање на друг ред за системот значи множење на равенката со ист број и додавање со друга равенка, што не го менува решението на систем. Работиме со првиот ред: помножете го првиот ред од матрицата со (-3) и додадете го во вториот и третиот ред за возврат. Потоа помножете ја првата линија со (-2) и додадете ја во четвртиот.

Втората и третата линија се пропорционални, затоа, една од нив, на пример, втората, може да се прецрта. Ова е еквивалентно на вкрстување на втората равенка на системот, бидејќи е последица на третата.

Сега работиме со втората линија: помножете ја со (-1) и додадете ја на третата.

Минорот заокружен со точки линија има највисок ред (од можните минори) и не е нула (тоа е еднаков на производот на елементите на главната дијагонала), а овој минор припаѓа и на главната матрица и на продолжената, затоа рангА = рангБ = 3.
Малолетни е основна. Вклучува коефициенти за непознатите x 2 , x 3 , x 4 , што значи дека непознатите x 2 , x 3 , x 4 се зависни, а x 1 , x 5 се слободни.
Ајде да ја трансформираме матрицата, оставајќи ја само основната минор лево (што одговара на точката 4 од горенаведениот алгоритам за решение).

Системот со коефициентите на оваа матрица е еквивалентен на оригиналниот систем и има форма

Користејќи го методот на елиминирање на непознатите, наоѓаме:
x 4 =3-4x 5, x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Добивме релации кои ги изразуваат зависните променливи x 2, x 3, x 4 преку слободните x 1 и x 5, односно најдовме општо решение:

Со доделување на какви било вредности на слободните непознати, добиваме кој било број на одредени решенија. Ајде да најдеме две конкретни решенија:
1) нека x 1 = x 5 = 0, потоа x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) ставете x 1 = 1, x 5 = -1, потоа x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Така, пронајдени се две решенија: (0,1,-3,3,0) – едно решение, (1,4,-7,7,-1) – друго решение.

Пример 2. Истражете ја компатибилноста, пронајдете општо и едно посебно решение за системот

Решение. Да ги преуредиме првата и втората равенка за да има една во првата равенка и да ја напишеме матрицата Б.

Добиваме нули во четвртата колона со работа со првиот ред:

Сега ги добиваме нулите во третата колона користејќи ја втората линија:

Третата и четвртата линија се пропорционални, така што една од нив може да се прецрта без да се промени рангот:
Помножете ја третата линија со (–2) и додајте ја во четвртата:

Гледаме дека рангот на главните и проширените матрици се еднакви на 4, а рангот се совпаѓа со бројот на непознати, затоа, системот има единствено решение:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Пример 3. Испитајте го системот за компатибилност и пронајдете решение доколку постои.

Решение. Составуваме проширена матрица на системот.

Првите две равенки ги преуредуваме така што во горниот лев агол има 1:
Помножете ја првата линија со (-1), додавајќи ја на третата:

Помножете ја втората линија со (-2) и додајте ја во третата:

Системот е неконзистентен, бидејќи во главната матрица добивме ред кој се состои од нули, кој се прецртува кога ќе се најде рангот, но во продолжената матрица останува последниот ред, односно r B > r A .

Вежбајте. Истражување овој системравенки за компатибилност и решете ја со помош на матрична пресметка.
Решение

Пример. Докажи ја компатибилноста на системот линеарни равенки и реши ја на два начина: 1) со методот на Гаус; 2) Крамеров метод. (внесете го одговорот во форма: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Одговор: 2,-1,3.

Пример. Даден е систем на линеарни равенки. Докажете ја неговата компатибилност. Најдете општо решение на системот и едно посебно решение.
Решение
Одговор: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Вежбајте. Најдете ги општите и посебните решенија на секој систем.
Решение.Го проучуваме овој систем користејќи ја теоремата Кронекер-Капели.
Ајде да ги напишеме продолжените и главните матрици:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x 2x 3x 4x 5

Овде матрицата А е означена со задебелени букви.
Ајде да ја намалиме матрицата во триаголна форма. Ќе работиме само со редови, бидејќи множење на ред од матрицата со број различен од нула и додавање на друг ред за системот значи множење на равенката со ист број и додавање со друга равенка, што не го менува решението на систем.
Ајде да ја помножиме првата линија со (3). Помножете ја втората линија со (-1). Ајде да ја додадеме втората линија на првата:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Ајде да ја помножиме втората линија со (2). Помножете го третиот ред со (-3). Да ја додадеме третата линија на втората:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Помножете ја втората линија со (-1). Ајде да ја додадеме втората линија на првата:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Избраниот минор има највисок ред (од можните минори) и не е нула (тоа е еднаков на производот на елементите на задната дијагонала), а овој минор припаѓа и на главната матрица и на продолжената, затоа ѕвони ( А) = ранг (Б) = 3 Бидејќи рангот на главната матрица е еднаков на рангот на продолжената матрица, тогаш системот е колаборативен.
Ова малолетно лице е основно. Вклучува коефициенти за непознатите x 1 , x 2 , x 3 , што значи дека непознатите x 1 , x 2 , x 3 се зависни (основни), а x 4 , x 5 се слободни.
Ајде да ја трансформираме матрицата, оставајќи ја само основната минорна лево.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x 2x 3 x 4x 5
Системот со коефициентите на оваа матрица е еквивалентен на оригиналниот систем и има форма:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Користејќи го методот на елиминирање на непознатите, наоѓаме:
Добивме релации кои ги изразуваат зависните променливи x 1 , x 2 , x 3 преку слободните x 4 , x 5 , односно најдовме заедничка одлука:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неизвесна, бидејќи има повеќе од едно решение.

Вежбајте. Решете го системот на равенки.
Одговори:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Со доделување на какви било вредности на слободните непознати, добиваме кој било број на одредени решенија. Системот е неизвесна

Како што е јасно од Крамерова теорема, при решавање на систем од линеарни равенки, може да се појават три случаи:

Прв случај: систем на линеарни равенки има единствено решение

(системот е конзистентен и дефинитивен)

Втор случај: систем од линеарни равенки има бесконечен број решенија

(системот е конзистентен и неизвесен)

** ,

тие. коефициентите на непознатите и слободните членови се пропорционални.

Трет случај: системот на линеарни равенки нема решенија

(системот е неконзистентен)

Значи системот млинеарни равенки со nнаречени променливи незаеднички, ако таа нема единствено решение, и зглоб, ако има барем едно решение. Се нарекува симултан систем на равенки кој има само едно решение одредении повеќе од една - неизвесна.

Примери за решавање системи на линеарни равенки со помош на методот Крамер

Нека се даде системот

.

Врз основа на теоремата на Крамер

………….
,

Каде
-

системска одредница. Ги добиваме преостанатите детерминанти со замена на колоната со коефициентите на соодветната променлива (непозната) со слободни членови:

Пример 2.

.

Затоа, системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, (1; 0; -1) е единственото решение за системот.

За да ги проверите решенијата на системите на равенки 3 X 3 и 4 X 4, можете да користите онлајн калкулатор, одлучувачки методКрамер.

Ако во системот на линеарни равенки нема променливи во една или повеќе равенки, тогаш во детерминантата соодветните елементи се еднакви на нула! Ова е следниот пример.

Пример 3.Решете систем на линеарни равенки користејќи го методот Крамер:

.

Решение. Ја наоѓаме детерминантата на системот:

Погледнете го внимателно системот на равенки и детерминантата на системот и повторете го одговорот на прашањето во кои случаи еден или повеќе елементи од детерминантата се еднакви на нула. Значи, детерминантата не е еднаква на нула, затоа системот е дефинитивен. За да го најдеме неговото решение, ги пресметуваме детерминантите за непознатите

Користејќи ги формулите на Крамер, наоѓаме:

Значи, решението на системот е (2; -1; 1).

6. Општ системлинеарни алгебарски равенки. Гаусовиот метод.

Како што се сеќаваме, правилото на Крамер и методот на матрица се несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. Гаусовиот метод – најмоќната и сестрана алатка за наоѓање решенија за кој било систем на линеарни равенки, кои во секој случајќе не доведе до одговорот! Самиот алгоритам на методот функционира исто во сите три случаи. Ако методите Крамер и матрица бараат познавање на детерминанти, тогаш за да се примени методот Гаус потребно е само знаење за аритметички операции, што го прави пристапно дури и за учениците основните часови.



Прво, да систематизираме малку знаење за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:

1) Имајте уникатно решение.
2) Имајте бесконечно многу решенија.
3) Немате решенија (бидете незаеднички).

Гаусовиот метод е најмоќната и универзална алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме, Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. И методот на секвенцијална елиминација на непознати Како и да еќе не доведе до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статијата е посветена на ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека алгоритамот на самиот метод работи исто во сите три случаи.

Да се ​​вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?
и да го решите со помош на Гаусовиот метод.

Првиот чекор е да се запише проширена системска матрица:
. Мислам дека секој може да види по кој принцип се напишани коефициентите. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата нема никакво математичко значење - таа е едноставно пробив за леснотија на дизајнирање.

Референца:Ви препорачувам да запомните условилинеарна алгебра. Системска матрицае матрица составена само од коефициенти за непознати, во во овој примерсистемска матрица: . Проширена системска матрица– ова е истата матрица на системот плус колона од слободни термини, во овој случај: . За краткост, која било од матриците може едноставно да се нарече матрица.



Откако ќе се напише проширената системска матрица, неопходно е да се извршат некои дејства со неа, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.

Постојат следниве елементарни трансформации:

1) Стринговиматрици може да се преуредина некои места. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безболно да ги преуредите првиот и вториот ред:

2) Ако матрицата има (или се појавила) пропорционална (како посебен случај– идентични) линии, потоа следи избришиСите овие редови се од матрицата освен еден. Размислете, на пример, матрицата . Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: .

3) Ако во матрицата се појави нулта ред за време на трансформациите, тогаш треба да биде избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која сите нули.

4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)на кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: . Оваа акција е многу корисна бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.

5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До ред на матрица можеш додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Размислете за нашата матрица на практичен пример: . Прво ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете ја првата линија со -2: , И на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со –2: . Сега првата линија може да се подели „назад“ со –2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не се промени. Секогашсе менува линијата КОЈА СЕ ДОДАВА UT.

Во пракса, се разбира, тие не го пишуваат толку детално, туку го пишуваат накратко:

Уште еднаш: до втората линија ја додаде првата линија помножена со –2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, при што процесот на ментална пресметка оди вака:

„Ја препишувам матрицата и ја препишувам првата линија: »

„Прва колона. На дното треба да добијам нула. Затоа, го помножувам оној од врвот со –2: , а првиот го додавам во вториот ред: 2 + (–2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„Сега втората колона. На врвот, множам -1 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

„И третата колона. На врвот множам -5 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: –7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: »

Ве молиме внимателно да го разберете овој пример и да го разберете алгоритмот за секвенцијална пресметка, ако го разбирате ова, тогаш Гаусовиот метод е практично во вашиот џеб. Но, се разбира, ние допрва ќе работиме на оваа трансформација.

Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки

! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да се користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со „класична“ операции со матрициВо никој случај не треба да преуредите нешто во матриците!

Да се ​​вратиме на нашиот систем. Практично се зема на парчиња.

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:

(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со –2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.

(2) Поделете ја втората линија со 3.

Целта на елементарните трансформации – намалете ја матрицата во форма на чекор: . Во дизајнот на задачата, тие само ги означуваат „скалите“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот термин „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски, во научни и едукативна литературачесто се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.

Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:

Сега системот треба да се „одвитка“. обратна насока– од дното кон врвот, овој процес се нарекува инверзна на Гаусовиот метод.

Во долната равенка веќе имаме готов резултат: .

Да ја разгледаме првата равенка на системот и да ја замениме веќе познатата вредност на „y“ во неа:

Да ја разгледаме најчестата ситуација, кога Гаусовиот метод бара решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати.

Пример 1

Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус:

Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот:

Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме за време на решението:

И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата во чекор напред користејќи елементарни трансформации. Каде да се започне?

Прво, погледнете го горниот лев број:

Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) ќе го направат тоа, но некако традиционално се случувало еден обично да се става таму. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија:

Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.

Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места:

Добиваме нули користејќи „тешка“ трансформација. Прво се занимаваме со втората линија (2, –1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Мора да на вториот ред додадете го првиот ред помножен со –2. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –2: (–2, –4, 2, –18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на вториот ред ја додаваме првата линија, веќе помножена со –2:

Резултатот го пишуваме во втората линија:

Со третата линија се справуваме на ист начин (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –3: (–3, –6, 3, –27). И на третиот ред ја додаваме првата линија помножена со –3:

Резултатот го пишуваме во третата линија:

Во пракса, овие дејства обично се изведуваат усно и се запишуваат во еден чекор:

Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „запишувањето“ на резултатите конзистентнаи обично е вака: прво го препишуваме првиот ред, и полека се дувнеме - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:


И јас веќе разговарав за менталниот процес на самите пресметки погоре.

Во овој пример, ова е лесно да се направи; ние ја делиме втората линија со –5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со –2, бидејќи колку се помали броевите, толку е поедноставно решението:

Во последната фаза на елементарните трансформации, треба да добиете уште една нула овде:

За ова на третата линија ја додаваме втората линија помножена со –2:


Обидете се сами да ја сфатите оваа акција - ментално помножете ја втората линија со –2 и изведете собирање.

Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.

Како резултат на елементарни трансформации, беше добиен еквивалентен систем на линеарни равенки:

Кул.

Сега на сцена стапува обратното од Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното кон врвот.

Во третата равенка веќе имаме подготвен резултат:

Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „зет“ е веќе познато, така што:

И конечно, првата равенка: . „Игрек“ и „зет“ се познати, се работи само за ситници:


Одговори:

Како што веќе беше забележано неколку пати, за секој систем на равенки е можно и неопходно да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа е лесно и брзо.

Пример 2


Ова е пример за независна одлука, завршување на примерокот и одговор на крајот од часот.

Треба да се напомене дека вашиот напредокот на одлукатаможеби не се совпаѓа со мојот процес на одлучување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!

Пример 3

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова:
(1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.

Сега горе лево има „минус еден“, што доста ни одговара. Секој што сака да добие +1 може да изврши дополнително движење: помножете ја првата линија со –1 (променете го неговиот знак).

(2) На вториот ред се додава првиот ред помножен со 5. На третиот ред се додава првиот ред помножен со 3.

(3) Првата линија беше помножена со –1, во принцип, ова е за убавина. Променет е и знакот на третата линија и тој е поместен на второто место, така што на вториот „скалило“ ја имаме потребната единица.

(4) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 2.

(5) Третата линија беше поделена со 3.

Лош знак што укажува на грешка во пресметките (поретко, печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како , подолу, и, соодветно, , тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека е направена грешка при елементарни трансформации.

Наплаќаме обратно, при дизајнирањето на примерите тие често не го препишуваат самиот систем, туку равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратниот удар, ве потсетувам, работи од дното кон врвот. Да, еве подарок:


Одговори: .

Пример 4

Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус

Ова ти е пример сам да го решиш, нешто е покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето решение.

Во последниот дел ќе разгледаме некои карактеристики на Гаусовиот алгоритам.
Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во системските равенки, на пример:

Како правилно да се напише проширената системска матрица? Веќе зборував за оваа точка на час. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули наместо променливите што недостасуваат:

Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи првата колона веќе има една нула, а има помалку елементарни трансформации за извршување.

Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки таму? Во некои случаи можат. Размислете за системот: .

Овде на горниот лев „чекор“ имаме два. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - а другиот е два и шест. И двајцата горе лево ќе ни одговараат! Во првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со –1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. На овој начин ќе ги добиеме бараните нули во првата колона.

Или нешто слично на ова условен пример: . Тука ни одговараат и трите на вториот „чекор“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: додадете ја втората линија во третата линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.

Методот на Гаус е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите да решавате системи користејќи други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално прв пат - тие имаат многу строг алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во Гаусовиот метод, треба да се подобрите во тоа и да решите најмалку 5-10 системи. Затоа, на почетокот може да има забуна и грешки во пресметките, и нема ништо необично или трагично во ова.

Дождливо есенско време надвор од прозорецот.... Затоа, за сите што сакаат повеќе комплексен примерза независно решение:

Пример 5

Решете систем од четири линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус.

Ваквата задача не е толку ретка во пракса. Мислам дека дури и чајник кој темелно ја проучувал оваа страница ќе го разбере алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа, сè е исто - има само повеќе акции.

Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се дискутирани на лекцијата Некомпатибилни системи и системи со заедничко решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на Гаусовиот метод.

Ти посакувам успех!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: Ајде да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред.


Извршени елементарни трансформации:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –1. Внимание!Овде може да бидете во искушение да го одземете првиот од третиот ред; топло препорачувам да не го одземате - ризикот од грешка значително се зголемува. Само преклопете го!
(2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Вториот и третиот ред се заменети. Забелешка, дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со –1, што е уште позгодно.
(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 5.
(4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Третата линија беше поделена со 14.

Обратно:

Одговори: .

Пример 4: Решение: Ајде да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:

Извршени конверзии:
(1) На првиот ред е додаден втор ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“.
(2) На вториот ред се додава првиот ред помножен со 7. На третиот ред се додава првиот ред помножен со 6.

Со вториот „чекор“ сè станува полошо, „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или –1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица

(3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1.
(4) Третиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –3.
Потребната ставка на вториот чекор е примена. .
(5) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 6.

Како дел од часовите Гаусовиот методИ Некомпатибилни системи/системи со заедничко решениесметавме нехомогени системи на линеарни равенки, Каде слободен член(што обично е десно) барем еденод равенките се разликуваше од нула.
И сега, по добро загревање со матричен ранг, ќе продолжиме да ја полираме техниката елементарни трансформациина хомоген систем на линеарни равенки.
Врз основа на првите параграфи, материјалот може да изгледа здодевен и просечен, но овој впечаток е измамен. Покрај понатамошниот развој на техничките техники, ќе има многу нови информации, затоа обидете се да не ги занемарите примерите во оваа статија.

Решение. A= . Да го најдеме r(A). Бидејќи матрицаИ има ред 3x4, тогаш највисокиот ред на малолетници е 3. Покрај тоа, сите малолетници од трет ред се еднакви на нула (проверете сами). Средства, r(A)< 3. Возьмем главный основно малолетно = -5-4 = -9 ≠ 0. Затоа r(A) =2.

Ајде да размислиме матрица СО = .

Мала трета со цел ≠ 0. Значи r(C) = 3.

Бидејќи r(A) ≠ r(C) , тогаш системот е неконзистентен.

Пример 2.Определи ја компатибилноста на систем од равенки

Решете го овој систем ако се покаже дека е конзистентен.

Решение.

A = , C = . Очигледно е дека r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Бидејќи detC = 0, тогаш r(C)< 4. Ајде да размислиме малолетник трето со цел, кој се наоѓа во горниот лев агол на матрицата A и C: = -23 ≠ 0. Значи r(A) = r(C) = 3.

Број непознат во системот n=3. Ова значи дека системот има уникатно решение. Во овој случај, четвртата равенка го претставува збирот на првите три и може да се игнорира.

Според формулите на Крамердобиваме x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Матричен метод. Гаусовиот метод

систем nлинеарни равенкиСо nнепознатите можат да се решат матричен методспоред формулата X = A -1 B (на Δ ≠ 0), што се добива од (2) со множење на двата дела со A -1.

Пример 1. Решете систем од равенки

метод на матрица (во делот 2.2 овој систем беше решен со помош на формулите на Крамер)

Решение. Δ = 10 ≠ 0 A = - недегенерирана матрица.

= (проверете го ова сами правејќи ги потребните пресметки).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Одговори: .

Од практична гледна точкаматричен метод и формули Крамерсе поврзани со голема количина на пресметки, па се дава предност Гаусовиот метод, кој се состои во последователна елиминација на непознатите. За да го направите ова, системот на равенки се сведува на еквивалентен систем со триаголна продолжена матрица (сите елементи под главната дијагонала се еднакви на нула). Овие дејства се нарекуваат движење напред. Од добиениот триаголен систем, променливите се наоѓаат со помош на последователни замени (обратно).

Пример 2. Решете го системот користејќи го методот Гаус

(Погоре, овој систем беше решен со користење на формулата на Крамер и методот на матрица).

Решение.

Директен потег. Да ја запишеме проширената матрица и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме во триаголна форма:

~ ~ ~ ~ .

Добиваме систем

Обратно движење.Од последната равенка наоѓаме X 3 = -6 и заменете ја оваа вредност во втората равенка:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Одговори: .

2.5. Општо решение на систем од линеарни равенки

Нека е даден систем на линеарни равенки = b i(јас=). Нека r(A) = r(C) = r, т.е. системот е колаборативен. Секој минор од редот r освен нула е основно малолетно.Без губење на општоста, ќе претпоставиме дека основната минор се наоѓа во првите r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) редови и колони од матрицата А. Отфрлање последен м-рравенки на системот, го пишуваме скратениот систем:


што е еквивалентно на оригиналниот. Да ги именуваме непознатите x 1,….x rосновни, и x r +1 ,…, x rослободете и поместете ги поимите што содржат слободни непознати на десната страна од равенките на скратениот систем. Добиваме систем во однос на основните непознати:

кои за секое множество вредности на слободни непознати x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rима само едно решение x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),пронајден по правилото на Крамер.

Соодветно решениескратениот, а со тоа и оригиналниот систем ја има формата:

X(C 1,…, C n-r) = - општо решение на системот.

Ако во општото решение доделиме некои нумерички вредности на слободните непознати, го добиваме решението линеарен систем, наречен приватен.

Пример. Воспоставете компатибилност и најдете општо решение на системот

Решение. A = , C = .

Значи Како r(A)= r(C) = 2 (видете го ова сами), тогаш оригиналниот систем е конзистентен и има бесконечен број решенија (бидејќи r< 4).