Една од првите теми што се изучуваат на курсот алгебра се скратени формули за множење. Во одделение 7, тие се користат во наједноставните ситуации кога треба да препознаете една од формулите во изразот и да извршите полиномна факторизација или, обратно, брзо да ја подигнете збирот или разликата на квадрат или коцка. Во иднина, FSU се користи за брзо решавање на нееднаквости и равенки, па дури и за пресметување на некои нумерички изрази без калкулатор.
Како изгледа список на формули
Постојат 7 основни формули кои ви овозможуваат брзо множење на полиномите во загради.
Понекогаш оваа листа вклучува и проширување за четврти степен, што произлегува од презентираните идентитети и има форма:
a⁴ - b⁴ \u003d (a - b) (a + b) (a² + b²).
Сите еднаквости имаат пар (збир - разлика), освен разликата на квадратите. За збирот на квадрати, формулата не е дадена.
Останатите еднаквости лесно се паметат:
Треба да се запомни дека FSO работат во секој случај и за какви било вредности а и б: тоа може да биде или произволни броеви или цели изрази.
Во ситуација, ако одеднаш не можете да се сетите кој знак е во формулата пред еден или друг термин, можете да ги отворите заградите и да го добиете истиот резултат како и откако ќе ја користите формулата. На пример, ако се појави проблем при примена на FSO на коцката од разликата, треба да го запишете оригиналниот израз и изврши множење за возврат:
(a - b) ³ \u003d (a - b) (a - b) (a - b) \u003d (a² - ab - ab + b²) (a - b) \u003d a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ \u003d a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Како резултат, по намалувањето на сите слични поими, се доби истиот полином како во табелата. Истите манипулации може да се спроведат со сите други FSO.
Примена на FSO за решавање равенки
На пример, треба да решите равенка што содржи полином на степен 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 \u003d 0.
Училишната наставна програма не ги разгледува универзалните техники за решавање на кубни равенки, а ваквите задачи најчесто се решаваат со поедноставни методи (на пример, факторизација). Ако забележиме дека левата страна на идентитетот личи на коцка од збир, тогаш равенката може да се напише во поедноставна форма:
(x + 1) ³ \u003d 0.
Коренот на таквата равенка се пресметува усно: x \u003d -1.
Нееднаквостите се решаваат на сличен начин. На пример, можеме да ја решиме нееднаквоста x³ - 6x² + 9x\u003e 0.
Пред сè, треба да го факторирате изразот. Прво треба да се стави надвор од заградата x... После тоа, треба да забележите дека изразот во заградите може да се претвори во квадрат на разликата.
Потоа треба да ги пронајдете точките во кои изразот зема нула вредности и да ги обележите на бројната линија. Во одреден случај, овие ќе бидат 0 и 3. Потоа, користејќи го методот на интервал, утврдете во кои интервали x ќе одговараат на состојбата на нееднаквост.
FSO може да бидат корисни при изведување некои пресметки без помош на калкулатор:
703² - 203² \u003d (703 + 203) (703 - 203) \u003d 906 ∙ 500 \u003d 453000.
Покрај тоа, со факторирање изрази, лесно можете да ги намалите дропките и да ги поедноставите различните алгебарски изрази.
Примери за задачи за 7-8 одделение
Како заклучок, ќе анализираме и решиме два проблеми за примена на формулите за скратено множење во алгебрата.
Задача 1. Поедноставување на изразот:
(m + 3) ² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).
Одлука. Во состојба на задача, потребно е да се поедностави изразот, односно да се отворат заградите, да се извршат операциите на множење и експоненцијација, а исто така да се донесат сите такви термини. Дозволете ни да го поделиме изразот условно на три дела (според бројот на поими) и да ги отвориме заградите една по една, применувајќи го FSO каде што е можно.
- (m + 3) ² \u003d m² + 6m + 9 (квадратот на збирот);
- (3м + 1) (3м - 1) \u003d 9м² - 1 (разлика на квадрати);
- На последниот мандат, треба да множите: 2м (5м + 3) \u003d 10м² + 6м.
Да ги замениме добиените резултати во оригиналниот израз:
(м² + 6м + 9) + (9м² - 1) - (10м² + 6м).
Земајќи ги предвид знаците, ќе ги отвориме заградите и ќе дадеме слични термини:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m \u003d 8.
Задача 2. Решете ја равенката што ја содржи непознатата k до 5-та моќност:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k \u003d k³.
Одлука. Во овој случај, потребно е да се користи FSO и методот на групирање. Неопходно е да се пренесе последниот и претпоследниот термин на десната страна на идентитетот.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ \u003d k³ + 4k² + 4k.
Заедничкиот фактор се вади од десната и левата страна (k² + 4k +4):
k³ (k² + 4k + 4) \u003d k (k² + 4k + 4).
Сè е пренесено на левата страна од равенката, така што 0 останува на десната страна:
k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) \u003d 0.
Повторно, треба да го извадите заедничкиот фактор:
(k³ - k) (k² + 4k + 4) \u003d 0.
Од првиот добиен фактор, можете да земете к... Според формулата за кратко множење, вториот фактор ќе биде идентично еднаков на (к + 2):
k (k² - 1) (k + 2) ² \u003d 0.
Користејќи ја формулата за разлика во квадратите:
k (k - 1) (k + 1) (k + 2) ² \u003d 0.
Бидејќи производот е еднаков на 0, ако барем еден од неговите фактори е нула, нема да биде тешко да се најдат сите корени на равенката:
- k \u003d 0;
- k - 1 \u003d 0; k \u003d 1;
- k + 1 \u003d 0; k \u003d -1;
- (k + 2) ² \u003d 0; k \u003d -2.
Врз основа на илустративни примери, можете да разберете како да ги запомните формулите, нивните разлики и, исто така, да решите неколку практични проблеми користејќи FSU. Задачите се едноставни и не треба да има потешкотии во нивното завршување.
Изразување ( а + б) 2 е квадратна сума броеви а и б... По дефиниција на степенот, изразот ( а + ба + б)(а + б) Затоа, од квадратот на збирот, можеме да заклучиме дека
(а + б) 2 = (а + б)(а + б) = а 2 + аб + аб + б 2 = а 2 + 2аб + б 2 ,
односно квадратчето од збирот на два броја е еднакво на квадратот на првиот број, плус двапати повеќе од производот на првиот број од вториот, плус квадратот на вториот број.
збир квадрат формула
(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2
Полином а 2 + 2аб + б 2 се нарекува распаѓање на квадратот на збирот.
Бидејќи а и б означува какви било броеви или изрази, тогаш правилото ни дава можност на скратен начин да квадрираме кој било израз што може да се смета како збир на два поима.
Пример. Квадратски израз 3 x 2 + 2xy.
Одлука: за да не извршиме дополнителни трансформации, ја користиме формулата за квадратот на збирот. Треба да го добиеме збирот на квадратот на првиот број, двапати повеќе од производот на првиот број и вториот, и квадратот на вториот број:
(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2
Сега, користејќи ги правилата за множење и подигнување на моќта на мономите, ние го поедноставуваме изразот што произлегува:
(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 г. + 4x 2 г. 2
Разлика на квадрат
Изразување ( а - б) 2 е квадрат разлика броеви а и б... Изразување ( а - б) 2 е производ на два полинома ( а - б)(а - б) Затоа, од квадратната разлика, можеме да заклучиме дека
(а - б) 2 = (а - б)(а - б) = а 2 - аб - аб + б 2 = а 2 - 2аб + б 2 ,
односно квадратчето на разликата помеѓу два броја е еднакво на квадратот на првиот број, минус двапати повеќе од производот на првиот број од вториот, плус квадратот на вториот број.
Од правилото произлегува дека генералот квадрат разлика формула, без средни трансформации, ќе изгледа вака:
(а - б) 2 = а 2 - 2аб + б 2
Полином а 2 - 2аб + б 2 се нарекува распаѓање на разликата во квадрат.
Ова правило важи за скратено квадрирање на изрази што може да се претстави како разлика на два броја.
Пример. Замислете го квадратот на разликата како три-мандат:
(2а 2 - 5аб 2) 2
Одлука: користејќи ја формулата за квадрат на разликата, наоѓаме:
(2а 2 - 5аб 2) 2 = (2а 2) 2 - 2(2а 2 5 аб 2) + (5аб 2) 2
Сега да го претвориме изразот во стандарден полином:
(2а 2) 2 - 2(2а 2 5 аб 2) + (5аб 2) 2 = 4а 4 - 20а 3 б 2 + 25а 2 б 4
Разлика на квадрати
Изразување а 2 - б 2 е разлика на квадрати броеви а и б... Изразување а 2 - б 2 е скратен начин за множење на збирот на два броја со нивната разлика:
(а + б)(а - б) = а 2 + аб - аб - б 2 = а 2 - б 2 ,
односно производот на збирот на два броја според нивната разлика е еднаков на разликата на квадратите на овие броеви.
Од правилото произлегува дека генералот разлика на квадратчиња формула изгледа така:
а 2 - б 2 = (а + б)(а - б)
Ова правило важи за скратено множење изрази што можат да бидат претставени: едниот како збир од два броја, а другиот како разлика на истите броеви.
Пример. Конвертирајте ја работата во бином:
(5а 2 + 3)(5а 2 - 3)
Одлука:
(5а 2 + 3)(5а 2 - 3) = (5а 2) 2 - 3 2 = 25а 4 - 9
Во примерот, ја применивме формулата за разликата на квадратите од десно кон лево, т.е. ни беше дадена десната страна на формулата и ја претворивме лево:
(а + б)(а - б) = а 2 - б 2
Во пракса, сите три разгледани формули се применуваат и од лево надесно и од десно кон лево, во зависност од ситуацијата.
Со цел да се поедностават алгебарските полиноми, постојат скратени формули за множење... Ги нема толку многу и лесно се памтат, но треба да ги запомните. Ознаките што се користат во формулите може да имаат каква било форма (број или полином).
Првата формула за скратено множење се нарекува разлика на квадрати... Се состои во фактот дека квадратот од вториот број се одзема од квадратот на еден број, што е еднакво на разликата помеѓу овие броеви, како и нивниот производ.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Ајде да анализираме за јасност:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 \u003d (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Втора формула за збир на квадрати... Звучи како, збирот на две количини на квадрат е еднаков на квадратот на првата величина, двојниот производ на првата количина помножен со втората се додава на него, квадрат на втората количина се додава на нив.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
Благодарение на оваа формула, станува многу полесно да се пресмета квадратот на голем број, без употреба на компјутери.
Така на пример: плоштадот од 112 ќе биде
1) Прво, да ги анализираме 112 во броеви чии квадрати ни се познати
112 = 100 + 12
2) Ние ги внесуваме добиените во загради
112 2 = (100+12) 2
3) Применувајќи ја формулата, добиваме:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Третата формула е квадрат разлика... Што вели дека двете одземени вредности во квадрат се еднакви на фактот дека, од првата вредност во квадрат, ние го одземаме двојниот производ од првата вредност помножен со втората, додавајќи им квадрат од втората вредност.
(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
каде што (а - б) 2 е еднакво на (б - а) 2. За да се докаже ова, (a-b) 2 \u003d a 2 -2ab + b 2 \u003d b 2 -2ab + a 2 \u003d (b-a) 2
Четвртата формула за скратено множење се нарекува збир од коцка... Што звучи како: два поима од вредноста во коцка се еднакви на коцката од 1 вредност, тројниот производ од 1 вредност на квадрат, помножен со 2-та вредност, им се додава троен производ од 1 вредност, помножен со квадрат од 2, плус втората вредност во коцката.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Петтиот, како што веќе разбравте, се нарекува коцка разлика... Што ги наоѓа разликите помеѓу количините, бидејќи од првата ознака во коцката го одземаме тројниот производ на првата ознака во квадрат помножен со втората, на нив се додава тројниот производ на првата ознака помножен со квадратот на втората ознака, минус втората ознака во коцката.
(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Шестиот се вика - збир на коцки... Збирот на коцките е еднаков на производот на два поима помножен со нецелосниот квадрат на разликата, бидејќи во средината нема двојно зголемена вредност.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)
На друг начин, збирот на коцки може да се нарече производ во две загради.
Се нарекува седмиот и последниот разлика на коцки (лесно може да се меша со формулата за коцка разлика, но ова се различни работи). Разликата помеѓу коцките е еднаква на производот на разликата од две вредности помножени со нецелосниот квадрат на збирот, бидејќи во средината нема двојна вредност.
a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
И така, постојат само 7 формули за скратено множење, тие се слични едни на други и лесно се паметат, единствената важна работа е да не се мешате во знаците. Тие исто така се дизајнирани да се користат во обратен редослед и има доста од овие задачи собрани во учебниците. Бидете внимателни и ќе успеете.
Ако имате какви било прашања во врска со формулите, не заборавајте да ги напишете во коментарите. Beе ни биде мило да ви одговориме!
Ако сте на породилно отсуство, но сакате да заработите пари. Само следете ја врската Интернет бизнис со Орифлеим. Сè е напишано и прикажано во многу детали таму. Beе биде интересно!
\u003e\u003e Математика: Скратени формули за множење
Скратени формули за множење
Постојат неколку случаи кога множењето на еден полином со друг води до компактен, лесен за паметење. Во овие случаи, се претпочита да не се множи секој пат полином од друга страна, и користете го готовиот резултат. Да ги разгледаме овие случаи.
1. Квадрат на збирот и квадрат на разликата:
Пример 1. Проширете ги заградите во изразот:
а) (Zx + 2) 2;
б) (5а 2 - 4б 3) 2
а) Дозволете ни да ја користиме формулата (1), имајќи предвид дека 3х игра улога на а, а бројот 2 ја игра улогата на б.
Добиваме:
(Zx + 2) 2 \u003d (Zx) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 \u003d 9x 2 + 12x + 4.
б) Ја користиме формулата (2)имајќи предвид дека во улогата изастапници 5а 2, и во улогата б застапници 4б 3... Добиваме:
(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Кога користите формули за квадрат или квадрат разлика, имајте на ум дека
(- а - б) 2 \u003d (а + б) 2;
(б-а) 2 \u003d (а-б) 2.
Ова произлегува од фактот дека (- а) 2 \u003d а 2.
Забележете дека некои математички трикови се засноваат на формулите (1) и (2), што ви овозможува да направите пресметки во вашата глава.
На пример, можете скоро усно да квадрирате броеви што завршуваат на 1 и 9. Навистина
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 \u003d (90 + I) 2 \u003d 90 2 + 2 90 1 + 1 2 \u003d 8100 + 180 + 1 \u003d 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.
Понекогаш можете брзо да квадрирате број кој завршува на 2 или 8. На пример,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но, најелегантната финта е поврзана со квадратурата на броевите што завршуваат на 5.
Дозволете ни да го спроведеме соодветното расудување за 85 2.
Ние имаме:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Забележуваме дека за да се пресмета 85 2, доволно беше да се помножат 8 со 9 и да се додели 25 на резултатот добиен десно. Истото може да се направи и во други случаи. На пример, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 и 25 беше доделен на добиениот број десно);
65 2 \u003d 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 и 25 се додадени на добиениот број десно).
Бидејќи веќе зборуваме за разни iousубопитни околности поврзани со здодевни (на прв поглед) формули (1) и (2), тогаш ќе го надополниме овој разговор со следното геометриско расудување. Нека a и b се позитивни броеви. Размислете за квадрат со страни a + b и исечете ги на два негови агли квадрати со страни еднакви на a и b, (слика 4).
Областа на квадрат со страна a + b е (a + b) 2. Но, ние го пресекуваме овој квадрат на четири дела: квадрат со страна a (неговата површина е 2), квадрат со страна b (неговата површина е b 2), два правоаголници со страни a и b (површината на секој таков правоаголник е ab). Оттука, (a + b) 2 \u003d a 2 + b 2 + 2ab, односно ја добивме формулата (1).
Помножете го биномот a + b со биномот a - b. Добиваме:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + bа - b 2 \u003d a 2 - b 2.
така
Секоја еднаквост во математиката се користи и од лево кон десно (т.е. левата страна на еднаквоста се заменува со нејзината десна страна), и од десната кон левата (т.е. десната страна на еднаквоста се заменува со левата страна). Ако формулата C) се користи одлево надесно, тогаш тоа ни овозможува да го замениме производот (a + b) (a - b) со готовиот резултат a 2 - b 2. Истата формула може да се користи од десно кон лево, тогаш ви овозможува да ја замените разликата на квадратите a 2 - b 2 со производот (a + b) (a - b). Формулата (3) во математиката има дадено посебно име - разликата во квадратите.
Коментар
Не мешајте ги поимите „разлика на квадратите“ k и „квадрат на разликата“. Разликата на квадратите е 2 - b 2, што значи дека зборуваме за формулата (3); квадратот на разликата е (a - b) 2, што значи дека зборуваме за формулата (2). На обичен јазик, формулата (3) се чита „од десно кон лево“ како што следува:
разликата на квадратите на два броја (изрази) е еднаква на производот на збирот на овие броеви (изрази) според нивната разлика,
Пример 2. Изведете множење
(3x- 2y) (3x + 2y)
Одлука. Ние имаме:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) \u003d (Zx) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.
Пример 3. Претстави бином 16x 4 - 9 како производ на биноми.
Одлука. Имаме: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d З 2, што значи дека дадениот бином е разлика на квадратите, т.е. формулата (3), прочитана од десно кон лево, може да се примени на неа. Потоа добиваме:
16x 4 - 9 \u003d (4x 2) 2 - З 2 \u003d (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)
Формулата (3), како формулите (1) и (2), се користи за математички трикови. Погледнете:
79 81 \u003d (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 \u003d 6400 - 1 \u003d 6399;
42 38 \u003d D0 + 2) D0 - 2) \u003d 402 - 22 \u003d 1600 - 4 \u003d 1596.
Ајде да го заклучиме нашиот разговор за формулата за разликата на квадратите со интересен геометриски аргумент. Нека a и b се позитивни броеви, со a\u003e b. Размислете за правоаголник со страни a + b и a - b (Слика 5). Неговата површина е (a + b) (a - b). Да отсечеме правоаголник со страни b и a - b и да го залепиме на остатокот од делот како што е прикажано на слика 6. Јасно е дека добиената фигура ја има истата површина, т.е. (a + b) (a - b) Но, оваа бројка може
изгради како што следува: исечете квадрат со страна b од квадрат со страна a (ова јасно се гледа на слика 6). Оттука, површината на новата слика е еднаква на 2 - b 2. Значи, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, односно ја добивме формулата (3).
3. Разлика на коцки и збир на коцки
Помножете го биномот a - b со триномот a 2 + ab + b 2.
Добиваме:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) \u003d а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -bb 2 \u003d а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.
Слично на тоа
(a + b) (a 2 - ab + b 2) \u003d a 3 + b 3
(проверете сами). Значи,
Формулата (4) обично се нарекува разлика на коцки, формулата (5) е збир на коцки. Ајде да се обидеме да ги преведеме формулите (4) и (5) на обичен јазик. Пред да го направите ова, забележете дека изразот a 2 + ab + b 2 е сличен на изразот a 2 + 2ab + b 2, кој се појави во формулата (1) и дава (a + b) 2; изразот a 2 - ab + b 2 е сличен на изразот a 2 - 2ab + b 2, кој се појави во формулата (2) и дава (a - b) 2.
За да се разликуваат (на јазик) овие парови изрази едни од други, секој од изразите a 2 + 2ab + b 2 и 2 - 2ab + b 2 се нарекува совршен квадрат (збир или разлика), и секој од изразите a 2 + ab + b 2 и 2 - ab + b 2 се нарекуваат нецелосен квадрат (збир или разлика). Потоа се добива следниот превод на формулите (4) и (5) (читај „од десно кон лево“) на обичен јазик:
разликата помеѓу коцките од два броја (изрази) е еднаква на производот на разликата помеѓу овие броеви (изрази) и нецелосниот квадрат на нивниот збир; збирот на коцки од два броја (изрази) е еднаков на производот на збирот на овие броеви (изрази) со нецелосниот квадрат на нивната разлика.
Коментар Сите формули (1) - (5) добиени во овој дел се користат и од лево надесно и од десно кон лево, само во првиот случај (од лево надесно) тие велат дека (1) - (5) се скратени формули за множење, а во втората случај (од десно кон лево) велат дека (1) - (5) се формули за факторизација.
Пример 4. Изведете множење (2x- 1) (4x 2 + 2x +1).
Одлука. Бидејќи првиот фактор е разликата помеѓу мономите 2x и 1, а вториот фактор е нецелосниот квадрат на нивната сума, можете да ја користите формулата (4). Добиваме:
(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.
Пример 5. Претставете го биномот 27а 6 + 8б 3 како производ на полиноми.
Одлука. Имаме: 27а 6 \u003d (За 2) 3, 8б 3 \u003d (2б) 3. Ова значи дека дадениот бином е збир на коцки, односно формула 95), прочитан од десно кон лево, може да се примени на него. Потоа добиваме:
27a 6 + 8b 3 \u003d (За 2) 3 + (2б) 3 \u003d (За 2 + 2б) ((За 2) 2 - За 2 2б + (2б) 2) \u003d (За 2 + 2б) (9а 4 - 6а 2 б + 4б 2).
Помош за ученикот преку Интернет, Математика за преземање 7 одделение, календарско-тематско планирање
A. V. Pogorelov, Геометрија за 7-11 одделение, Учебник за образовни институции
Содржина на лекцијата преглед на лекцијата рамка за поддршка на презентација на лекцијата забрзувачки методи интерактивни технологии Вежбајте задачи и вежби работилници за само-тестирање, обуки, случаи, потраги по дома задачи прашања за дискусија реторички прашања од студенти Илустрации аудио, видео клипови и мултимедија фотографии, слики графикони, табели, шеми хумор, шеги, забава, стрипови параболи, изреки, крстозбори, цитати Додатоци апстракти статии совети за theубопитни измамнички листови учебници основен и дополнителен речник на поими други Подобрување на учебниците и лекциите поправени грешки во упатството ажурирање на фрагмент во учебникот, елементи на иновација на часот, заменувајќи го застареното знаење со нови Само за наставници совршени лекции календарски план за година методолошки препораки на програмата за дискусија Интегрирани лекцииСкратени формули за множење (FSF) се користат за експоненцијација и множење на броеви и изрази. Често овие формули ви овозможуваат да направите пресметки покомпактни и побрзи.
Во оваа статија, ќе ги наведеме основните формули за скратено множење, ќе ги групираме во табела, ќе разгледаме примери за користење на овие формули и исто така ќе се задржиме на принципите на докажување на формулите со скратено множење.
За прв пат, темата ФСУ се разгледува во рамките на курсот „Алгебра“ за 7 одделение. Подолу се 7 основни формули.
Скратени формули за множење
- формулата за квадрат на збирот: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
- формулата за квадрат на разликата: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- формула за збирна коцка: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- формула коцка разлика: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- разлика на квадратчиња формула: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- формулата за збир на коцки: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- формулата за разликата на коцките: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Буквите a, b, c во овие изрази можат да бидат какви било броеви, променливи или изрази. За лесна употреба, најдобро е да ги научите седумте основни формули напамет. Ајде да ги сумираме во табела и да ги претставиме подолу, заокружувајќи ги со рамка.
Првите четири формули ви овозможуваат да пресметате, соодветно, квадрат или коцка од збирот или разликата на два израза.
Петтата формула ја пресметува разликата на квадратите на изразите според производот на нивниот збир и разликата.
Шестата и седмата формула се, соодветно, множење на збирот и разликата на изразите со нецелосниот квадрат на разликата и нецелосниот квадрат на збирот.
Скратената формула за множење понекогаш се нарекува и скратено множење идентитети. Ова не е изненадувачки, бидејќи секоја еднаквост е идентитет.
При решавање на практични примери, често се користат скратени формули за множење со преуредени лева и десна страна. Ова е особено погодно кога се случува факторизација на полином.
Дополнителни скратени формули за множење
Ние нема да се ограничиме на курсот за 7-мо одделение по алгебра и да додадеме уште неколку формули на нашата табела FSU.
Прво, разгледајте ја биномната формула на tonутн.
a + b n \u003d C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Тука C n k - биномски коефициенти, кои се наоѓаат во редот n во паскалниот триаголник. Биномните коефициенти се пресметуваат со формулата:
C n k \u003d n! к! (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!
Како што можете да видите, FSE за квадрат и коцка од разликата и збирот е посебен случај на omутн бином формулата за n \u003d 2 и n \u003d 3, соодветно.
Но, што ако има повеќе од два термина во збирот што треба да се соберат на власт? Формулата за квадрат од збир од три, четири или повеќе поими ќе биде корисна.
а 1 + а 2 +. ... + a n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Друга формула што може да ни се најде е формулата за разликата помеѓу n-та моќност на два поима.
a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1
Оваа формула обично е поделена на две формули - соодветно за парни и непарни степени.
За рамномерни индикатори 2м:
a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2
За непарни експоненти 2м + 1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m
Формулите за разликата на квадратите и разликата помеѓу коцките, претпоставувате, се посебни случаи на оваа формула за n \u003d 2 и n \u003d 3, соодветно. За разликата во коцки, б исто така се заменува со - б.
Како да ги прочитате скратените формули за множење?
Ние ќе ги дадеме соодветните формулации за секоја формула, но прво ќе го разбереме принципот на читање формули. Најпогоден начин да го направите ова е со пример. Да ја земеме првата формула за квадрат од збирот на два броја.
a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.
Тие велат: квадратот од збирот на два израза a и b е еднаков на збирот на квадратот на првиот израз, удвоениот производ на изразите и квадратот на вториот израз.
Сите други формули се читаат на ист начин. За квадратот на разликата a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 пишуваме:
квадратот на разликата помеѓу двата израза a и b е еднаков на збирот на квадратите на овие изрази минус двапати од производот на првиот и вториот израз.
Прочитајте ја формулата a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Коцката од збирот на два израза a и b е еднаква на збирот на коцките од овие изрази, три пати повеќе од квадрат од првиот израз од вториот и три пати од квадрат од вториот израз од првиот израз.
Ние продолжуваме да ја читаме формулата за разликата во коцките a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Коцката од разликата на два израза a и b е еднаква на коцката од првиот израз минус три пати повеќе од квадрат од првиот израз и од вториот, плус три пати повеќе од квадрат од вториот израз и првиот израз, минус коцката од вториот израз.
Петтата формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (разлика на квадрати) гласи како што следува: разликата на квадратите на два израза е еднаква на производот на разликата и збирот на двата израза.
Изрази како 2 + a b + b 2 и 2 - a b + b 2 за погодност се нарекуваат, нецелосниот квадрат на збирот и нецелосниот квадрат на разликата.
Имајќи го ова предвид, формулите за збирот и разликата на коцките гласат како што следува:
Збирот на коцките од два израза е еднаков на производот на збирот на овие изрази со нецелосниот квадрат на нивната разлика.
Разликата помеѓу коцките од два израза е еднаква на производот на разликата помеѓу овие изрази и нецелосниот квадрат на нивната сума.
Доказ за ФСУ
Сосема е лесно да се докаже FSO. Врз основа на својствата на множењето, ние ги множиме деловите на формулите во загради.
На пример, разгледајте ја формулата за квадрат на разликата.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
За да се подигне израз до втората моќност, треба да го умножите овој израз сам по себе.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Да ги прошириме заградите:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Формулата е докажана. Останатите FSO се докажани слично.
Примери за примена на ФСУ
Целта на употребата на скратени формули за множење е да се множат и експонентизираат изразите брзо и концизно. Сепак, ова не е целиот опсег на ФСО. Тие се широко користени при намалување на изрази, намалување на дропки, факторинг полиноми. Еве неколку примери.
Пример 1. FSO
Поедноставување на изразот 9 y - (1 + 3 y) 2.
Ние ја применуваме формулата за збир на квадрати и добиваме:
9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2
Пример 2. FSO
Намалете ја дропката 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Забележете дека изразот во броителот е разликата помеѓу коцките, а именителот е разликата во квадратите.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Ние скратуваме и добиваме:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSO исто така помагаат да се пресметаат вредностите на изразите. Главната работа е да можете да забележите каде да ја примените формулата. Ајде да го покажеме ова со пример.
Да го квадрираме бројот 79. Наместо незгодни пресметки, пишуваме:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Се чини дека сложената пресметка беше извршена брзо со употреба на скратените формули за множење и табелата за множење.
Друга важна точка е изборот на квадрат на биномот. Изразот 4 x 2 + 4 x - 3 може да се претвори во 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Ваквите трансформации се користат во интеграцијата.
Ако забележите грешка во текстот, ве молиме изберете ја и притиснете Ctrl + Enter
