Канонските равенки на права во просторот се равенките што ја одредуваат правата што минува низ дадена точкаколинеарна со векторот на насоката.

Нека се дадени точка и вектор на насока. Произволна точка лежи на линија лсамо ако векторите и се колинеарни, т.е., условот е задоволен за нив:

.

Горенаведените равенки се канонски равенки на права линија.

Броеви м , nИ стрсе проекции на векторот на насоката на координатните оски. Бидејќи векторот е не-нула, тогаш сите броеви м , nИ стрне може истовремено да биде еднаква на нула. Но, еден или два од нив може да испаднат дека се нула. Во аналитичката геометрија, на пример, следниов запис е дозволен:

,

што значи дека проекциите на векторот на оската ОјИ Озсе еднакви на нула. Затоа, и векторот и правата линија дефинирани со канонските равенки се нормални на оските ОјИ Озт.е. авиони yOz .

Пример 1.Напиши равенки за права во простор нормална на рамнина и минува низ точката на пресек на оваа рамнина со оската Оз .

Решение. Да ја најдеме точката на пресек на оваа рамнина со оската Оз. Од која било точка што лежи на оската Оз, има координати , тогаш, под претпоставка во дадената равенка на рамнината x = y = 0, добиваме 4 z- 8 = 0 или z= 2. Затоа, точката на пресек на оваа рамнина со оската Озима координати (0; 0; 2) . Бидејќи саканата линија е нормална на рамнината, таа е паралелна со нејзиниот нормален вектор. Затоа, насочувачкиот вектор на права линија може да биде нормален вектор даден авион.

Сега да ги запишеме бараните равенки на права линија што минува низ точка А= (0; 0; 2) во насока на векторот:

Равенки на права што минува низ две дадени точки

Правата линија може да се дефинира со две точки што лежат на неа И Во овој случај, насочувачкиот вектор на права линија може да биде векторот . Тогаш канонските равенки на правата добиваат форма

.

Горенаведените равенки одредуваат права што минува низ две дадени точки.

Пример 2.Напишете равенка за права во просторот што минува низ точките и .

Решение. Дозволете ни да ги запишеме бараните равенки на права линија во формата дадена погоре во теоретската референца:

.

Бидејќи , тогаш саканата права линија е нормална на оската Ој .

Право како линијата на вкрстување на рамнините

Правата линија во просторот може да се дефинира како линија на пресек на две непаралелни рамнини и, т.е., како збир на точки кои задоволуваат систем од две линеарни равенки

Равенките на системот се нарекуваат и општи равенки на права линија во просторот.

Пример 3.Состави канонски равенки на права во просторот дадени со општи равенки

Решение. За да ги напишете канонските равенки на права или, што е исто, равенките на правата што минува низ две дадени точки, треба да ги најдете координатите на кои било две точки на правата. Тие можат да бидат точки на пресек на права линија со кои било две координатни рамнини, на пример yOzИ xOz .

Точка на пресек на права и рамнина yOzима апсциса x= 0. Затоа, под претпоставка во овој систем на равенки x= 0, добиваме систем со две променливи:

Нејзината одлука y = 2 , z= 6 заедно со x= 0 дефинира точка А(0; 2; 6) саканата линија. Потоа претпоставувајќи во дадениот систем на равенки y= 0, го добиваме системот

Нејзината одлука x = -2 , z= 0 заедно со y= 0 дефинира точка Б(-2; 0; 0) пресек на права со рамнина xOz .

Сега да ги запишеме равенките на правата што минува низ точките А(0; 2; 6) и Б (-2; 0; 0) :

,

или по делење на именителот со -2:

,

За да се добие општа равенкарамнина, да ја анализираме рамнината што минува низ дадена точка.

Нека ни се веќе познати три координатни оски во вселената - Вол, ОјИ Оз. Држете го листот хартија за да остане рамен. Авионот ќе биде самиот лист и неговото продолжение во сите правци.

Нека Ппроизволна рамнина во вселената. Се нарекува секој вектор нормален на него нормален вектор до овој авион. Секако, зборуваме за вектор кој не е нула.

Ако е позната некоја точка на авионот Пи некој нормален вектор кон него, тогаш со овие два услови рамнината во просторот е целосно дефинирана(преку дадена точка можете да нацртате една рамнина нормална на дадениот вектор). Општата равенка на авионот ќе биде:

Значи, условите што ја дефинираат равенката на рамнината се. Да се ​​добиеш себеси равенка на рамнина, со горенаведената форма, земете се во авионот Ппроизволна точка М со променливи координати x, y, z. Оваа точка припаѓа на рамнината само ако вектор нормално на векторот(сл. 1). За ова, според условот на перпендикуларност на вектори, потребно е и доволно скаларниот производ на овие вектори да биде еднаков на нула, т.е.

Векторот е одреден по услов. Ги наоѓаме координатите на векторот користејќи ја формулата :

.

Сега, користејќи ја формулата за скаларен производ на вектори , го изразуваме скаларниот производ во координатна форма:

Од поентата M(x; y; z)се избира произволно на рамнината, тогаш последната равенка се задоволува со координатите на која било точка што лежи на рамнината П. За поен Н, не лежејќи на дадена рамнина, т.е. се нарушува еднаквоста (1).

Пример 1.Напишете равенка за рамнина што минува низ точка и е нормална на векторот.

Решение. Ајде да ја користиме формулата (1) и да ја разгледаме повторно:

Во оваа формула броевите А , БИ Ввекторски координати и броеви x0 , y0 И z0 - координати на точката.

Пресметките се многу едноставни: ги заменуваме овие бројки во формулата и добиваме

Помножуваме сè што треба да се множи и додаваме само бројки (кои немаат букви). Резултат:

.

Потребната равенка на рамнината во овој пример се покажа дека е изразена со општа равенка од прв степен во однос на променливите координати x, y, zпроизволна точка на авионот.

Значи, равенка на формата

повикани равенка на општа рамнина .

Пример 2.Конструирај во правоаголен Декартов координатен систем рамнина дадена со равенката .

Решение. За да се конструира рамнина, потребно е и доволно да се знаат трите нејзини точки кои не лежат на иста права линија, на пример, точките на пресек на рамнината со координатните оски.

Како да ги најдете овие точки? Да се ​​најде точката на пресек со оската Оз, треба да ги замените нулите за X и Y во равенката дадена во изјавата за проблемот: x = y= 0. Затоа добиваме z= 6. Така, даден авионја преминува оската Озво точката А(0; 0; 6) .

На ист начин ја наоѓаме точката на пресек на рамнината со оската Ој. На x = z= 0 добиваме y= −3, односно точката Б(0; −3; 0) .

И, конечно, ја наоѓаме точката на пресек на нашата рамнина со оската Вол. На y = z= 0 добиваме x= 2, односно точка В(2; 0; 0) . Врз основа на трите поени добиени во нашето решение А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) и В(2; 0; 0) конструирај ја дадената рамнина.

Ајде сега да размислиме посебни случаи на равенката на општата рамнина. Тоа се случаи кога одредени коефициенти на равенката (2) стануваат нула.

1. Кога D= 0 равенка дефинира рамнина што минува низ потеклото, бидејќи координатите на точката 0 (0; 0; 0) ја задоволуваат оваа равенка.

2. Кога A= 0 равенка дефинира рамнина паралелна на оската Вол, бидејќи нормалниот вектор на оваа рамнина е нормален на оската Вол(неговата проекција на оската Воледнакво на нула). Слично на тоа, кога Б= 0 авион паралелно со оската Ој, и кога C= 0 авион паралелно со оската Оз.

3. Кога A=D= 0 равенката дефинира рамнина што минува низ оската Вол, бидејќи е паралелна со оската Вол (A=D= 0). Слично на тоа, авионот минува низ оската Ој, и рамнината низ оската Оз.

4. Кога A=B= 0 равенката дефинира рамнина паралелна на координатната рамнина xOy, бидејќи е паралелна со оските Вол (А= 0) и Ој (Б= 0). Слично на тоа, рамнината е паралелна со рамнината yOz, а авионот е авион xOz.

5. Кога A=B=D= 0 равенка (или z = 0) ја дефинира координатната рамнина xOy, бидејќи е паралелна со рамнината xOy (A=B= 0) и поминува низ потеклото ( D= 0). Исто така, равенството. y = 0 во просторот ја дефинира координатната рамнина xOz, и равенката x = 0 - координатна рамнина yOz.

Пример 3.Направете равенка на рамнината П, минувајќи низ оската Оји период.

Решение. Значи, авионот минува низ оската Ој. Затоа, во нејзината равенка y= 0 и оваа равенка има форма . За одредување на коефициентите АИ Вда го искористиме фактот дека точката припаѓа на рамнината П .

Затоа, меѓу неговите координати има и такви што можат да се заменат во равенката на рамнината што веќе ја изведовме (). Ајде повторно да ги погледнеме координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Меѓу нив x = 2 , z= 3. Ги заменуваме во општата равенка и ја добиваме равенката за нашиот конкретен случај:

2А + 3В = 0 .

Остави 2 Ана левата страна од равенката, поместете 3 Вна десната страна и добиваме

А = −1,5В .

Замена на пронајдената вредност Аво равенката, добиваме

или .

Ова е равенката потребна во примерот услов.

Решете го проблемот со равенката на рамнината сами, а потоа погледнете го решението

Пример 4.Дефинирајте рамнина (или рамнини, ако повеќе од една) во однос на координатните оски или координатни рамнини, ако рамнината(ите) е дадена со равенката.

Решенија за типични проблеми кои се јавуваат во тестови- во прирачникот „Проблеми со рамнина: паралелизам, перпендикуларност, пресек на три рамнини во една точка“.

Равенка на рамнина што минува низ три точки

Како што веќе спомнавме, неопходен и доволен услов за конструирање на рамнина, покрај една точка и нормалниот вектор, се и три точки кои не лежат на иста права.

Нека се дадени три различни точки и , не лежејќи на иста линија. Бидејќи наведените три точки не лежат на иста права, векторите не се колинеарни, и затоа секоја точка во рамнината лежи во иста рамнина со точките, и ако и само ако векторите , и компланарни, т.е. тогаш и само кога мешан производ на овие векторие еднакво на нула.

Користејќи го изразот за измешаниот производ во координати, ја добиваме равенката на рамнината

(3)

По откривањето на детерминантата, оваа равенка станува равенка од формата (2), т.е. општа равенка на рамнината.

Пример 5.Напишете равенка за рамнина што минува низ три дадени точки кои не лежат на иста права линија:

и определи посебен случајопшта равенка на права линија, доколку таква постои.

Решение. Според формулата (3) имаме:

Равенка на нормална рамнина. Растојание од точка до авион

Нормалната равенка на рамнината е нејзината равенка, напишана во форма

ПРЕДАВАЊЕ 6-7. Елементи на аналитичка геометрија.

Површините и нивните равенки.

Пример 1.

Сфера

Пример 2.

F(x,y,z)=0(*),

Ова - површинска равенка

Примери:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

Рамнина.

Равенка на рамнина што минува низ дадена точка нормална на даден вектор.

Да разгледаме авион во вселената. Нека M 0 (x 0, y 0, z 0) е дадена точка на рамнината P и е вектор нормален на рамнината ( нормален вектор рамнина).

(1) – векторска равенкарамнина.

Во координатна форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Ја добивме равенката на рамнина што минува низ дадена точка.

Општа равенка на рамнината.

Ајде да ги отвориме заградите во (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 или

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Резултирачката равенка на рамнината линеарна, т.е. Равенка од 1 степен во однос на координатите x, y, z. Затоа авионот е површина од прв ред .

Изјава: Секоја линеарна равенка во однос на x, y, z дефинира рамнина.

Било кој авион м.б. е дадена со равенката (3), која се нарекува општа равенка на рамнината.

Посебни случаи на општата равенка.

а) D=0: Ax + By + Cz = 0. Бидејќи координатите на точката O(0, 0, 0) ја задоволуваат оваа равенка, тогаш рамнината одредена со неа поминува низ потеклото.

б) С=0: Ax + By + D = 0. Во овој случај, нормалниот вектор на рамнината , затоа авионот, дадена со равенкатапаралелно со оската ОЗ.

в) C=D=0: Ax + By = 0. Рамнината е паралелна со оската OZ (бидејќи C=0) и поминува низ потеклото на координатите (бидејќи D=0). Тоа значи дека минува низ оската ОЗ.

г) B=C=0: Ax + D = 0 или . Вектор, т.е. И . Следствено, рамнината е паралелна со оските OY и OZ, т.е. е паралелна со рамнината YOZ и минува низ точката .

Разгледајте ги самите случаи: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Равенка на рамнина што минува низ три дадени точки.

Бидејќи сите четири точки припаѓаат на рамнината, тогаш овие вектори се компланарни, т.е. нивните мешана работае еднакво на нула:

Ја добивме равенката на рамнина што минува низ три точки во векторска форма.

Во координатна форма:

(7)

Ако ја прошириме детерминантата, ја добиваме равенката на рамнината во форма:

Ax + By + Cz + D = 0.

Пример. Напиши ја равенката на рамнината што минува низ точките M 1 (1,-1,0);

M 2 (-2,3,1) и M 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1) (-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Равенка на рамнина во отсечки

Дадена е општата равенка на рамнината: Ax + By + Cz + D = 0 и D ≠ 0, т.е. авионот не минува низ потеклото. Поделете ги двете страни со –D: и означи: ; ; . Потоа

доби рамнина равенка во отсечки .

каде што a, b, c се вредностите на сегментите отсечени од рамнината на координатните оски.

Пример 1.Напиши ја равенката на рамнината што минува низ точките A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) и C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3, или 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Пример 2.Најдете ги вредностите на сегментите отсечени од рамнината

4x – y – 3z – 12 = 0 на координатните оски.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Равенка на нормална рамнина.

Нека е дадена одредена рамнина Q. Од почетокот на координатите нацртајте нормална OP на рамнината. Нека |OP|=p и вектор : . Да ја земеме моменталната точка M(x, y, z) на рамнината и да го пресметаме скаларниот производ на векторите и : .

Ако ја проектираме точката М на насоката, тогаш ќе дојдеме до точката P.T.O., ја добиваме равенката

(9).

Поставување линија во просторот.

Линијата L во просторот може да се дефинира како пресек на две површини. Нека точката M(x, y, z) што лежи на правата L припаѓа и на површината P1 и на површината P2. Тогаш координатите на оваа точка мора да ги задоволуваат равенките на двете површини. Затоа, под равенка на правата L во просторот разберете збир од две равенки, од кои секоја е равенката на соодветната површина:

Правата L ги содржи оние и само оние точки чии координати ги задоволуваат двете равенки во (*). Подоцна ќе разгледаме други начини за дефинирање на линии во просторот.

Еден куп авиони.

Куп авиони– збир на сите рамнини што минуваат низ дадена права линија – оската на снопот.

За да дефинирате пакет рамнини, доволно е да ја наведете неговата оска. Нека равенката на оваа линија е дадена во општа форма:

.

Напишете равенка на зракот- значи да се создаде равенка од која може да се добие дополнителна состојбаравенка на која било рамнина на зракот, освен, b.m. еден. Ајде да ја помножиме равенката II со l и да ја додадеме во равенката I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – параметар – број кој може да земе реални вредности. За секоја избрана вредност на l, равенките (1) и (2) се линеарни, т.е. тоа се равенките на одредена рамнина.

1. Ќе ви покажемедека оваа рамнина минува низ оската на зракот L. Земете произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Следствено, M 0 P 1 и M 0 P 2. Значи:

Следствено, рамнината опишана со равенката (1) или (2) припаѓа на зракот.

2. Може да се докаже и спротивното: секоја рамнина што минува низ права линија L е опишана со равенката (1) со соодветен избор на параметарот l.

Пример 1. Запишете ја равенката на рамнина што минува низ правата на пресек на рамнините x + y + 5z – 1 = 0 и 2x + 3y – z + 2 = 0 и низ точката M(3, 2, 1).

Ја пишуваме равенката на зракот: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. За да го најдеме l, земаме предвид дека M R:

Секоја површина во просторот може да се смета како локус на точки што има некакво својство заедничко за сите точки.

Пример 1.

Сфера – збир на точки на еднакво растојание од дадена точка C (центар). С(x 0 ,y 0 ,z 0). По дефиниција |CM|=R или или . Оваа равенка важи за сите точки на сферата и само за нив. Ако x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, тогаш .

На сличен начин, можете да креирате равенка за која било површина ако е избран координатен систем.

Пример 2. x=0 – равенка на рамнината YOZ.

Имајќи изразено геометриска дефиницијаповршина низ координатите на нејзината моментална точка и собирајќи ги сите членови во еден дел, добиваме еднаквост на формата

F(x,y,z)=0(*),

Ова - површинска равенка , ако координатите на сите точки на површината ја задоволуваат оваа еднаквост, но координатите на точките што не лежат на површината не ја задоволуваат.

Така, секоја површина во избраниот координатен систем има своја равенка. Меѓутоа, не секоја равенка од формата (*) одговара на површина во смисла на дефиницијата.

Примери:

2x – y + z – 3 = 0 (рамнина)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – координатите на ниту една точка не задоволуваат.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – единствената точка (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – права линија (оска OZ).


Сите равенки на рамнината, кои се дискутирани во следните параграфи, може да се добијат од општата равенка на рамнината, а исто така да се сведе на општата равенка на рамнината. Така, кога зборуваат за равенка на рамнина, тие мислат на општата равенка на рамнина, освен ако не е поинаку наведено.

Равенка на рамнина во отсечки.

Погледнете ја равенката на рамнината , каде што a, b и c се не-нула реални броеви, повикан равенка на рамнината во отсечки.

Ова име не е случајно. Апсолутни вредностиброевите a, b и c се еднакви на должините на отсечките што рамнината ги отсекува на координатните оски Ox, Oy и Oz, соодветно, броејќи ги од почетокот. Знакот на броевите a, b и c покажува во која насока (позитивна или негативна) треба да се исцртаат отсечките на координатните оски.

На пример, да конструираме рамнина во правоаголниот координатен систем Oxyz, дефиниран со равенката на рамнината во отсечки . За да го направите ова, означете точка што е оддалечена 5 единици од почетокот во негативната насока на оската на апсцисата, 4 единици во негативната насока на оската на ординатите и 4 единици во позитивната насока на апликативната оска. Останува само да се поврзат овие точки со прави линии. Рамнината на добиениот триаголник е рамнината што одговара на равенката на рамнината во отсечки од формата .

За да добиете повеќе целосни информациипогледнете ја статијата равенка на рамнина во отсечки, таа покажува намалување на равенката на рамнина во отсечки до општата равенка на рамнина, таму исто така ќе најдете детални решенијатипични примери и задачи.

Равенка на нормална рамнина.

Се вика општата равенка на рамнината на формата равенка на нормална рамнина, Ако еднакво на еден, т.е. , И.

Често можете да видите дека нормалната равенка на рамнина е напишана како . Еве ги косинусите на насоката на нормалниот вектор на дадена рамнина со единечна должина, односно p е ненегативен број, еднакво на растојаниеод потеклото до авионот.

Нормалната равенка на рамнина во правоаголниот координатен систем Oxyz дефинира рамнина што е отстранета од потеклото за растојание p во позитивна насока на нормалниот вектор на оваа рамнина . Ако p=0, тогаш рамнината минува низ потеклото.

Да дадеме пример за равенка на нормална рамнина.

Нека рамнината е специфицирана во правоаголниот координатен систем Oxyz со општата равенка на рамнината на формата . Оваа општа равенка на рамнината е нормалната равенка на рамнината. Навистина, нормалниот вектор на оваа рамнина е има должина еднаква на единство, бидејќи .

Равенката на рамнината во нормална форма ви овозможува да го пронајдете растојанието од точка до рамнина.

Ви препорачуваме подетално да го разберете овој тип на равенка на рамнина, да погледнете детални решенија за типични примери и проблеми, а исто така да научите како да ја намалите равенката на општата рамнина во нормална форма. Можете да го направите ова со повикување на статијата.

Библиографија.

  • Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение од средно училиште.
  • Бугров Ја.С., Николски С.М. Виша математика. Том еден: Елементи линеарна алгебраи аналитичка геометрија.
  • Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.

Во оваа лекција ќе погледнеме како да ја користиме одредницата за креирање равенка на рамнина. Ако не знаете што е детерминанта, одете на првиот дел од лекцијата - „Матрици и детерминанти“. Во спротивно, ризикувате да не разберете ништо во денешниот материјал.

Равенка на рамнина со три точки

Зошто воопшто ни е потребна рамна равенка? Едноставно е: знаејќи го тоа, лесно можеме да пресметаме агли, растојанија и други глупости во проблемот C2. Во принцип, не можете без оваа равенка. Затоа, го формулираме проблемот:

Задача. Во просторот се дадени три точки кои не лежат на иста линија. Нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Треба да креирате равенка за рамнината што минува низ овие три точки. Покрај тоа, равенката треба да изгледа вака:

Ax + By + Cz + D = 0

каде што броевите A, B, C и D се коефициентите кои, всушност, треба да се најдат.

Па, како да се добие равенката на рамнина ако се познати само координатите на точките? Најлесен начин е да ги замените координатите во равенката Ax + By + Cz + D = 0. Добивате систем од три равенки кои лесно може да се решат.

Многу студенти сметаат дека ова решение е крајно досадно и несигурно. Минатогодишниот унифициран државен испит по математика покажа дека веројатноста за правење компјутерска грешка е навистина голема.

Затоа, најнапредните наставници почнаа да бараат поедноставни и поелегантни решенија. И го најдоа! Точно, добиената техника се однесува на повисока математика. Лично, морав да пребарувам низ целата Федерална листа на учебници за да се уверам дека имаме право да ја користиме оваа техника без никакво оправдување или докази.

Равенка на рамнина низ детерминанта

Доста е од текстовите, ајде да се фатиме за работа. За почеток, теорема за тоа како се поврзани детерминантата на матрицата и равенката на рамнината.

Теорема. Нека се дадени координатите на три точки низ кои мора да се повлече рамнината: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Тогаш равенката на оваа рамнина може да се запише преку детерминантата:

Како пример, да се обидеме да најдеме пар рамнини што всушност се појавуваат во проблемите C2. Погледнете колку брзо се пресметува се:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Составуваме детерминанта и ја изедначуваме на нула:


Ја прошируваме детерминантата:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Како што можете да видите, при пресметувањето на бројот d, малку ја „чешлав“ равенката така што променливите x, y и z влегоа во правилна низа. Тоа е се! Равенката на авионот е подготвена!

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Веднаш ги заменуваме координатите на точките во детерминантата:

Повторно ја прошируваме детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Значи, повторно се добива равенката на рамнината! Повторно, на последен чекорМорав да ги сменам знаците во него за да добијам „поубава“ формула. Воопшто не е неопходно да се направи ова во ова решение, но сепак се препорачува - да се поедностави понатамошното решавање на проблемот.

Како што можете да видите, составувањето на равенката на авион сега е многу полесно. Ги заменуваме точките во матрицата, ја пресметуваме детерминантата - и тоа е тоа, равенката е подготвена.

Ова може да ја заврши лекцијата. Меѓутоа, многу студенти постојано забораваат што има внатре во одредницата. На пример, која линија содржи x 2 или x 3, а која линија содржи само x. За навистина да го отстраниме ова од патот, ајде да погледнеме од каде доаѓа секој број.

Од каде формулата со детерминантата?

Значи, ајде да откриеме од каде доаѓа таква груба равенка со детерминанта. Ова ќе ви помогне да го запомните и успешно да го примените.

Сите рамнини што се појавуваат во задачата C2 се дефинирани со три точки. Овие точки секогаш се означени на цртежот, па дури и директно означени во текстот на проблемот. Во секој случај, за да создадеме равенка ќе треба да ги запишеме нивните координати:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Ајде да разгледаме уште една точка на нашата рамнина со произволни координати:

T = (x, y, z)

Земете која било точка од првите три (на пример, точка М) и нацртајте вектори од неа до секоја од трите преостанати точки. Добиваме три вектори:

MN = (x 2 − x 1, y 2 − y 1, z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1, y 3 − y 1, z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1 ).

Сега да составиме квадратна матрица од овие вектори и да ја изедначиме нејзината детерминанта на нула. Координатите на векторите ќе станат редови на матрицата - и ќе ја добиеме самата детерминанта што е означена во теоремата:

Оваа формула значи дека волуменот на паралелепипед изграден на векторите MN, MK и MT е еднаков на нула. Според тоа, сите три вектори лежат во иста рамнина. Конкретно, произволна точка T = (x, y, z) е токму она што го баравме.

Замена на точки и прави на детерминанта

Детерминантите имаат неколку одлични својства кои го прават уште полесно решение на проблемот Ц2. На пример, не ни е важно од која точка ги цртаме векторите. Според тоа, следните детерминанти ја даваат истата равенка на рамнина како горенаведената:

Можете исто така да ги замените линиите на детерминантата. Равенката ќе остане непроменета. На пример, многу луѓе сакаат да напишат линија со координатите на точката T = (x; y; z) на самиот врв. Ве молиме, ако ви е погодно:

Некои луѓе се збунети од фактот дека една од линиите содржи променливи x, y и z, кои не исчезнуваат при замена на точките. Но, тие не треба да исчезнат! Заменувајќи ги броевите во детерминантата, треба да ја добиете оваа конструкција:

Потоа детерминантата се проширува според дијаграмот даден на почетокот на часот и се добива стандардната равенка на рамнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Погледнете еден пример. Тоа е последното на денешната лекција. Намерно ќе ги заменам линиите за да се уверам дека одговорот ќе ја даде истата равенка на авионот.

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Значи, разгледуваме 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Прво, да создадеме стандардна детерминанта и да ја изедначиме на нула:

Ја прошируваме детерминантата:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Тоа е тоа, го добивме одговорот: x + y + z − 2 = 0.

Сега да преуредиме неколку линии во детерминантата и да видиме што ќе се случи. На пример, да напишеме линија со променливите x, y, z не на дното, туку на врвот:

Повторно ја прошируваме добиената детерминанта:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Добивме точно иста равенка на рамнина: x + y + z − 2 = 0. Тоа значи дека навистина не зависи од редоследот на редовите. Останува само да се запише одговорот.

Значи, ние сме убедени дека равенката на рамнината не зависи од низата на линии. Можеме да извршиме слични пресметки и да докажеме дека равенката на рамнината не зависи од точката чии координати ги одземаме од другите точки.

Во проблемот разгледан погоре, ја користевме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше сосема можно да се земе C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Во принцип, секоја точка со познати координати што лежи на саканата рамнина.