Како да се реши поделбата со агол. Математиката што ми се допаѓа. Множење на полиноми со колона

Нека се бара

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Тука се дадени производот (2x 3 - 7x 2 + x + 1) и еден фактор (2x - 1), - треба да пронајдете друг фактор. Во овој пример, веднаш е јасно (но општо, ова не може да се утврди) дека и другиот, баран, фактор или количник, е исто така полином. Ова е јасно затоа што овој производ има 4 поими, а овој фактор е само 2. Сепак, невозможно е однапред да се каже колку поими има потребниот фактор: може да има 2 поими, 3 поими итн. Потсетувајќи дека водечкиот рок на производот секогаш излегува од множење на водечкиот поим на еден фактор со водечкиот поим на друг (види множење на полином со полином) и дека не може да има вакви поими, сигурни сме дека 2x 3 (најзначајниот израз на овој производ) ќе се добие од множење 2x (водечки термин на овој фактор ) од непознат постар член на посакуваниот фактор. За да го пронајдете второто, мора, според тоа, да поделите 2x 3 со 2x - добиваме x 2. Ова е постар член на приватниот.

Потсетиме тогаш дека кога полиномот се множи со полином, секој поим од еден полином треба да се помножи со секој поим од другиот. Затоа, овој производ (2x 3 - 7x 2 + x + 1) е производ на делителот (2x - 1) според сите услови на количникот. Но, сега можеме да го најдеме производот на делителот со првиот (највисок) термин на количникот, т.е. (2x - 1) ∙ x 2; добиваме 2x 3 - x 2. Познавање на производот на делителот според сите поими на количник (тоа \u003d 2x 3 - 7x 2 + x + 1) и познавање на производот на делителот со 1-ви член на количникот (тоа \u003d 2x 3 - x 2), со одземање можеме да го најдеме производот на делителот од сите други, освен 1-виот, членови на приватниот. Добиваме

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) \u003d 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 \u003d –6x 2 + x + 1.

Најзначајниот термин (–6x 2) од овој преостанат производ треба да биде производ на најзначајниот термин на делителот (2x) до најзначајниот термин на остатокот (освен 1-виот мандат) на количникот. Оттука го наоѓаме постариот член на остатокот од приватниот. Ни требаат –6x 2 ÷ 2x, добиваме –3x. Ова е втор поим од посакуваниот количник. Повторно можеме да го најдеме производот на делителот (2x - 1) со вториот, штотуку пронајден термин на количникот, односно со –3x.

Добиваме (2x - 1) ∙ (–3x) \u003d –6x 2 + 3x. Од целиот овој производ, ние веќе го одзедовме производот на делителот за 1-ви мандат на количникот и го добивме остатокот –6x 2 + x + 1, што е производ на делителот од другиот, освен 1-виот, членови на количникот. Со тоа одземање на производот штотуку пронајден - 6x 2 + 3x, го добиваме остатокот, што е производ на делителот со сите други, освен 1-ви и 2-ри, членови на количникот:

–6x 2 + x + 1 - (–6x 2 + 3x) \u003d –6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x \u003d –2x + 1.

Поделувајќи го постариот мандат на овој преостанат производ (–2x) со постариот мандат на делителот (2x), го добиваме постариот мандат на остатокот од количникот, или неговиот трет мандат, (–2x) ÷ 2x \u003d –1, - ова е 3-ти мандат на количникот.

Множејќи го делителот со тоа, добиваме

(2x - 1) ∙ (–1) \u003d –2x + 1.

Одземање на овој производ на делителот со 3-тиот мандат на количникот од целиот производ што останува досега, т.е.

(–2x + 1) - (–2x + 1) \u003d –2x + 1 + 2x - 1 \u003d 0,

ќе видиме дека во нашиот пример производот е поделен на останатите, освен на 1-ви, 2-ри и 3-ти, членови на количникот \u003d 0, од \u200b\u200bшто заклучуваме дека количникот нема повеќе членови, т.е.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) \u003d x 2 - 3x - 1.

Од претходната гледаме: 1) погодно е да се подредат условите за дивидендата и делителот во опаѓачки моќи, 2) потребно е да се воспостави одреден редослед за извршување на пресметките. Таков удобен редослед може да се смета за оној што се користи во аритметиката при делење на повеќецифрени броеви. Следејќи го, ги организираме сите претходни пресметки на следниов начин (дадени се пократки објаснувања на страна):

Оние одземања што се потребни овде се изведуваат со промена на знаците на поимите на одземените, и овие променливи знаци се напишани од горе.

Така е напишано

Ова значи: одземениот беше 2x 3 - x 2, а по промената на знаците добивме –2x 3 + x 2.

Поради прифатеното распоредување на пресметките, поради фактот што условите за дивидендата и делителот се подредени во опаѓачки степени и поради фактот што степени на буквата x во двата полиноми се намалуваат секој пат за 1, се покажа дека слични термини се напишани едни под други (на пример: –7x 2 и + x 2), зошто е лесно да ги дадете. Може да забележите дека не се потребни сите членови на дивидендата во секој момент од пресметката. На пример, терминот +1 не е потребен во моментот кога е пронајден 2-от член на количникот, и овој дел од пресметките може да се поедностави.

Повеќе примери:

1. (2а 4 - 3аб 3 - б 4 - 3а 2 б 2) ÷ (б 2 + а 2 + аб).

Дозволете ни да ги подредиме буквите а и дивидендата и делителот во опаѓачки моќи:

(Забележете дека овде, поради отсуство на терминот со 3 во дивидендата, во првото одземање се покажа дека не се потпишани слични термини –а 2 б 2 и –2а 3 б едни под други. Се разбира, тие не можат да се сведат на еден мандат и двете се напишани под редот по стаж).

И во двата примери, треба да бидете повнимателни за слични поими: 1) не се напишани слични термини често едни под други, и 2) понекогаш (како, на пример, во последниот пример, термините –4а н и –на при првото одземање) слични термини излегуваат напишани не едни под други.

Можно е да се изврши поделба на полиноми во различен редослед, имено: секој пат кога се бара најнискиот термин или целиот или преостанатиот количник. Во овој случај е погодно да ги подредиме дадените полиноми во растечки моќи на која било буква. На пример:

Даден е доказ дека неправилна дропка составена од полиноми може да се претстави како збир на полином и правилна дропка. Детално се анализирани примери за полиномна поделба со агол и множење со колона.

содржина

Теорема

Нека P k (x), П н (x) - полиноми во променлива x од степени k и n, соодветно, со k ≥ n. Тогаш полиномот P k (x) можат да бидат претставени на единствен начин во следнава форма:
(1) П к (x) \u003d S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
каде што S k-n (x) - полином на степен k-n, U n- 1 (x) - полином на степен најмногу n- 1 , или нула.

Доказ

Според дефиницијата на полином:
;
;
;
,
каде p i, q i се познати коефициенти, s i, u i се непознати коефициенти.

Да ја воведеме нотацијата:
.
Замена во (1) :
;
(2) .
Првиот израз десно е полином на степен k. Збирот на вториот и третиот поим е полином на степен најмногу k - 1 ... Да ги изедначиме коефициентите на x k:
p k \u003d s k-n q n.
Оттука s k-n \u003d p k / q n.

Ние ја трансформираме равенката (2) :
.
Да ја воведеме нотацијата:.
Бидејќи s k-n \u003d p k / q n, коефициентот на x k е еднаков на нула. Затоа - ова е полином на степен најмногу k - 1 , Тогаш претходната равенка може да се препише како:
(3) .

Оваа равенка има иста форма како равенката (1) , стана само вредноста на k 1 помалку Повторувајќи ја оваа постапка k-n пати, ја добиваме равенката:
,
од кои ги одредуваме коефициентите на полиномот U n- 1 (x).

Значи, ги утврдивме сите непознати коефициенти s i, u l. Покрај тоа, s k-n 0 ... Лемата е докажана.

Поделба на полиноми

Поделување на обете страни на равенката (1) на Q n (x), добиваме:
(4) .
Слично на децималните броеви, S k-n (x) се нарекува цел дел од дропката или количник, U n- 1 (x) - остаток на поделба. Фракција на полиноми за кои степенот на полиномот во броителот е помал од степенот на полиномот во именителот се нарекува редовна дропка. Дел од полиноми за кои степенот на полиномот во броителот е поголем или еднаков на степенот на полиномот во именителот се нарекува несоодветна дропка.

Равенката (4) покажува дека секој неправилен дел од полиномите може да се поедностави со претставување на истиот како збир на составен дел и регуларна дропка.

Во нивното јадро, децималните цели броеви се полиноми во кои променливата е еднаква на бројот 10 ... На пример, да го земеме бројот 265847. Може да се претстави како:
.
Тоа е, тоа е полином од петти степен во 10 ... Броевите 2, 6, 5, 8, 4, 7 се коефициенти на проширување на бројот во моќност од 10.

Затоа, можете да го примените правилото за поделба на аголот (понекогаш наречено долга поделба) на полиноми, што се применува на поделбата на броевите. Единствената разлика е во тоа што при делење на полиноми, не треба да преведувате броеви поголеми од девет во најзначајните цифри. Размислете за процесот на поделба на полиноми со агол користејќи специфични примери.

Пример за поделба на полиноми со агол

.

Броителот тука е полином од четврти степен. Именителот е полином од втор степен. Затоа што 4 ≥ 2 , тогаш дропката е неточна. Ајде да го избереме целиот дел со делење на полиномите со агол (во колона):

Еве детален опис на процесот на фисија. Ги запишуваме оригиналните полиноми во левата и десната колона. Под полиномот на именителот, во десната колона, нацртајте хоризонтална линија (агол). Под оваа линија, под аголот, ќе има цел дел од фракцијата.

1.1 Го наоѓаме првиот термин на целиот дел (под аголот). За да го направите ова, го делиме најголемиот термин на броителот со најголемиот термин на именителот:.

1.2 Множете се 2 x 2 од x 2 - 3 x + 5:
... Резултатот го пишуваме во левата колона:

1.3 Ја земаме разликата од полиномите во левата колона:

.

Значи, добивме среден резултат:
.

Фракцијата од десната страна е неточна бидејќи степенот на полиномот во броителот ( 3 ) е поголем или еднаков на степенот на полиномот во именителот ( 2 ) Ние ги повторуваме пресметките. Само сега броителот на дропката е во последниот ред на левата колона.
2.1 Поделете го највисокиот термин на броителот со најголемиот термин на именителот :;

2.2 Помножи со именителот :;

2.3 И одземи од последниот ред на левата колона :;


Среден резултат:
.

Повторно ги повторуваме пресметките, бидејќи од десната страна има неточна дропка.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Значи, добивме:
.
Степенот на полиномот во броителот на десната дропка е помал од степенот на полиномот на именителот, 1 < 2 ... Затоа, фракцијата е точна.

;
2 x 2 - 4 x + 1 - ова е цел дел;
x - 8 - остаток од поделбата.

Пример 2

Изберете го целиот дел од дропката и пронајдете го остатокот од поделбата:
.

Ние ги извршуваме истите дејства како и во претходниот пример:

Овде, остатокот од поделбата е нула:
.

Множење на полиноми со колона

Можете исто така да множите полиноми во колона, слично на множењето на цели броеви. Да разгледаме специфични примери.

Пример за множење на полиноми со колона

Пронајдете го производот на полиноми:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Резултатот го пишуваме во колона, израмнувајќи ги моќностите на x.

3
;
;
;
.

Забележете дека само коефициентите може да се запишат, и моќта на променливата x може да се изостави. Тогаш множењето со колона полиноми ќе изгледа вака:

Пример 2

Пронајдете го производот на полиноми во колона:
.

Кога множиме полиноми со колона, важно е да ги запишуваме истите моќи на променливата x една под друга. Ако недостасуваат некои моќи на x, тогаш тие треба да бидат напишани експлицитно, помножени со нула или да оставаат празни места.

Во овој пример, недостасуваат некои степени. Затоа, ги пишуваме експлицитно, помножени со нула:
.
Множиме полиноми со колона.

1 Ги запишуваме оригиналните полиноми едни под други во колона и цртаме права.

2.1 Ние го множиме најнискиот рок на вториот полином со првиот полином:
.
Резултатот го пишуваме во колона.

2.2 Следниот поим во вториот полином е нула. Затоа, неговиот производ според првиот полином е исто така нула. Нултата линија може да се изостави.

2.3 Ние го множиме следниот термин на вториот полином со првиот полином:
.
Резултатот го пишуваме во колона, израмнувајќи ги моќностите на x.

2.3 Ние го множиме следниот (највисок) термин на вториот полином со првиот полином:
.
Резултатот го пишуваме во колона, израмнувајќи ги моќностите на x.

3 Откако сите поими на вториот полином ќе се помножат со првиот, повлечете линија и додадете ги поимите со истите моќности на x:
.

Општ поглед на моном

f (x) \u003d секира nкаде:

-а е коефициент што може да припаѓа на која било од множествата N, Z, Q, R, C

-x - променлива

-н експонент што припаѓа на множеството Н.

Два монома се слични ако имаат иста променлива и ист експонент.

Примери: 3х 2 и -5х 2; ½x 4 и 2√3x 4

Збирот на мономи кои не се слични едни на други се нарекува полином (или полином). Во овој случај, мономите се поими на полиномот. Полином кој содржи два поима се нарекува бином (или бином).
Пример: p (x) \u003d 3x 2 -5; h (x) \u003d 5x-1
Полином кој содржи три поими се нарекува трином.

Општ поглед на полином со една променлива

Каде:

• a n, a n-1, a n-2, ..., a 1, a 0 се коефициентите на полиномот. Тие можат да бидат природни, цели, рационални, реални или сложени броеви.
• a n - коефициент на терминот со највисок експонент (водечки коефициент)
• a 0 - коефициент на поимот со најмал експонент (слободен термин или константа)
• н - степен на полином

Пример 1
p (x) \u003d 5x 3 -2x 2 + 7x-1

• полином од трет степен со коефициенти 5, -2, 7 и -1
• 5 - водечки коефициент
• -1 - слободен член
• x - променлива

Пример 2
h (x) \u003d - 2√3x 4 + ½x-4

• полином од четврти степен со коефициенти -2√3, и -4
• -2√3 - водечки коефициент
• -4 - слободен член
• x - променлива

Поделба на полиноми

p (x) и q (x) - два полинома:
p (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0
q (x) \u003d a p x p + a p-1 x p-1 + ... + a 1 x 1 + a 0

Да се \u200b\u200bнајде количникот и остатокот p (x) на q (x), треба да го користите следниот алгоритам:

1. Моќност p (x) мора да биде поголема или еднаква на q (x).
2. Треба да ги напишеме двата полинома по редослед на намалување на степенот. Ако е внатре p (x) нема поим со кој било степен, мора да се додаде со коефициент 0.
3. Водечки член p (x) поделено со водечки поим q (x), а резултатот е запишан под поделбата (во именител).
4. Ние го множиме резултатот со сите поими q (x) и напиши го резултатот со спротивни знаци под поимите p (x) со соодветни степени.
5. Ние додаваме термини по термини со исти степени.
6. Ние ги доделуваме преостанатите термини на резултатот p (x).
7. Поделете го водечкиот поим на добиениот полином со првиот член на полиномот q (x) и повторете ги чекорите 3-6.
8. Оваа постапка се повторува сè додека ново добиениот полином нема помал степен од q (x)... Овој полином ќе биде остатокот од поделбата.
9. Полиномот напишан под линијата на поделба е резултат на поделба (количник).

Пример 1
Чекор 1 и 2) $ p (x) \u003d x ^ 5-3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 7x ^ 2-3x + 5 \\\\ q (x) \u003d x ^ 2-x + 1 $

3) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

4) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

5) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

6) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

7) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 + x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4 -2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

8) x 5 -3x 4 + 2x 3 + 7x 2 -3x + 5

/ -2x 4 -x 3 + 7x 2 -3x + 5

2x 4 -2x 3 + 2x 2

/ -x 3 + 9x 2 -3x + 5

/ 6X-3 СТОП

x 3 -2x 2 -x + 8 -\u003e C (x) Приватна

Одговор: p (x) \u003d x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 \u003d (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Пример 2
p (x) \u003d x 4 + 3x 2 + 2x-8
q (x) \u003d x 2 -3x

X 4 + 0x 3 + 3x 2 + 2x-8

/ 3х 3 + 3х 2 + 2х-8

/ 38x-8 r (x) СТОП

x 2 + 3x + 12 -\u003e C (x) Приватно

Одговор: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 \u003d (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Поделба со полином од прв степен

Оваа поделба може да се направи со употреба на горенаведениот алгоритам, или уште побрзо со користење на методот на Хорнер.
Ако f (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0, полиномот може да се препише како f (x) \u003d a 0 + x (a 1 + x (a 2 + ... + x (a n-1 + a n x) ...))

q (x) - полином од прв степен q (x) \u003d mx + n
Тогаш полиномот во количникот ќе има степен n-1.

Метод на Хорнер, $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $.
b n-1 \u003d a n
b n-2 \u003d x 0 .b n-1 + a n-1
b n-3 \u003d x 0 .b n-2 + a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 \u003d x 0 .b 1 + a 1
r \u003d x 0 .b 0 + a 0
каде b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0 - приватно Остатокот е полином од нула степен, бидејќи степенот на остатокот од полиномот мора да биде помал од степенот на делителот.
Поделба со остаток p (x) \u003d q (x) .c (x) + r ⇒ p (x) \u003d (mx + n) .c (x) + r ако $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $
Забележи го тоа p (x 0) \u003d 0.c (x 0) + r ⇒ p (x 0) \u003d r

Пример 3
p (x) \u003d 5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x-7
q (x) \u003d x-3
p (x) \u003d - 7 + x (-6 + x (4 + x (-2 + 5x))))
x 0 \u003d 3

б 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 \u003d 3,13 + 4 \u003d 43 ⇒ c (x) \u003d 5x 3 + 13x 2 + 43x + 123; r \u003d 362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r \u003d 3,123-7 \u003d 362
5x 4 -2x 3 + 4x 2 -6x-7 \u003d (x-3) (5x 3 + 13x 2 + 43x + 123) +362

Пример 4
p (x) \u003d - 2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1
q (x) \u003d x + 2
p (x) \u003d - 2x 5 + 3x 4 + 0x 3 + x 2 -4x + 1
q (x) \u003d x + 2
x 0 \u003d -2
p (x) \u003d 1 + x (-4 + x (1 + x (0 + x (3-2x)))))

b 4 \u003d -2          b 1 \u003d (- 2). (- 14) + 1 \u003d 29
b 3 \u003d (- 2). (- 2) + 3 \u003d 7 b 0 \u003d (- 2) .29-4 \u003d -62
b 2 \u003d (- 2). 7 + 0 \u003d -14     r \u003d (- 2). (- 62) + 1 \u003d 125
⇒ c (x) \u003d - 2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62; r \u003d 125
-2x 5 + 3x 4 + x 2 -4x + 1 \u003d (x + 2) (- 2x 4 + 7x 3 -14x 2 + 29x-62) +125

Пример 5
p (x) \u003d 3x 3 -5x 2 + 2x + 3
q (x) \u003d 2x-1
$ x_0 \u003d \\ frac (1) (2) $
p (x) \u003d 3 + x (2 + x (-5 + 3x))
b 2 \u003d 3
$ b_1 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 3-5 \u003d - \\ frac (7) (2) $
$ b_0 \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ лево (- \\ frac (7) (2) \\ десно) +2 \u003d - \\ frac (7) (4) + 2 \u003d \\ frac (1) (4) ) $
$ r \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (4) + 3 \u003d \\ frac (1) (8) + 3 \u003d \\ frac (25) (8) \\ Rightarrow c (x) \u003d 3x ^ 2- \\ frac (7) (2) x + \\ frac (1) (4) $
$ \\ Rightarrow 3x ^ 3-5x ^ 2 + 2x + 3 \u003d (2x-1) (3x ^ 2 - \\ frac (7) (2) x + \\ frac (1) (4)) + \\ frac (25) (8) $
Излез
Ако се поделиме со полином од повисок степен од еден, за да се најде количникот и остатокот, треба да го користиме алгоритмот 1-9 .
Ако се поделиме со полином од прв степен mx + n, тогаш за да го пронајдете количникот и остатокот, треба да го користите методот на Хорнер со $ x_0 \u003d - \\ frac (n) (m) $.
Ако нè интересира само остатокот од поделба, доволно е да најдеме p (x 0).
Пример 6
p (x) \u003d - 4x 4 + 3x 3 + 5x 2 -x + 2
q (x) \u003d x-1
x 0 \u003d 1
r \u003d p (1) \u003d - 4,1 + 3,1 + 5,1 - 1 + 2 \u003d 5
r \u003d 5

Да почнеме со некои дефиниции. Полином од степен n (или редослед n) е израз на формата $ P_n (x) \u003d \\ збир \\ граници_ (i \u003d 0) ^ (n) a_ (i) x ^ (ni) \u003d a_ (0) x ^ (n) + a_ (1) x ^ (n-1) + a_ (2) x ^ (n-2) + \\ ldots + a_ (n-1) x + a_n $. На пример, изразот $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $ е полином чиј степен е $ 14 $. Може да се означи вака: $ P_ (14) (x) \u003d 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $.

Коефициентот $ a_0 $ се нарекува водечки коефициент на полиномот $ P_n (x) $. На пример, за полиномот $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, водечкиот коефициент е $ 4 $ (бројот пред $ x ^ (14) $). Бројот $ a_n $ се нарекува слободен термин на полиномот $ P_n (x) $. На пример, за $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, пресретнувањето е $ (- 11) $. Сега да се свртиме кон теоремата, на која, всушност, ќе се заснова презентацијата на материјалот на оваа страница.

За кои било два полинома $ P_n (x) $ и $ G_m (x) $, може да се најдат полиноми $ Q_p (x) $ и $ R_k (x) $ такви што еднаквоста

\\ започне (равенка) P_n (x) \u003d G_m (x) \\ cdot Q_p (x) + R_k (x) \\ крај (равенка)

и $ k< m$.

Фразата "подели го полиномот $ P_n (x) $ со полиномот $ G_m (x) $" значи "да го претстави полиномот $ P_n (x) $ во форма (1)". Callе го наречеме полиномот $ P_n (x) $ - делив, полиномот $ G_m (x) $ - делител, полиномот $ Q_p (x) $ - количник од $ P_n (x) $ за $ G_m (x) $, и полиномот $ R_k (x) $ е остатокот од $ P_n (x) $ поделба со $ G_m (x) $. На пример, за полиноми $ P_6 (x) \u003d 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 $ и $ G_4 (x) \u003d 3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2 $ можете да добиете таква еднаквост:

$ $ 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 \u003d (3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2) (4x ^ 2 + x) + 2x ^ 3 + 1 $ $

Тука полиномот $ P_6 (x) $ е делив, полиномот $ G_4 (x) $ е делител, полиномот $ Q_2 (x) \u003d 4x ^ 2 + x $ е количник од $ P_6 (x) $ за $ G_4 (x) $, а полиномот $ R_3 (x) \u003d 2x ^ 3 + 1 $ е остатокот од делењето на $ P_6 (x) $ со $ G_4 (x) $. Забележете дека степенот на остатокот (т.е. 3) е помал од степенот на делителот, (т.е. 4), затоа, условот за еднаквост е исполнет.

Ако $ R_k (x) \u003d еквивалент 0 $, тогаш се вели дека полиномот $ P_n (x) $ е делив со полиномот $ G_m (x) $ без остаток. На пример, полиномот $ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ се дели со полиномот $ 3x ^ 4 + 15 $ без остаток, бидејќи еднаквоста важи:

$ $ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x \u003d (3x ^ 4 + 15) \\ cdot (7x ^ 2 + 2x) $ $

Тука полиномот $ P_6 (x) \u003d 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ е делив; полином $ G_4 (x) \u003d 3x ^ 4 + 15 $ - делител; и полиномот $ Q_2 (x) \u003d 7x ^ 2 + 2x $ е количник од $ P_6 (x) $ поделен со $ G_4 (x) $. Остатокот е нула.

За да се подели полиномот во полином, често се користи поделба по „колона“ или, како што уште се нарекува, „агол“. Ајде да погледнеме во спроведувањето на овој метод користејќи примери.

Пред да преминам на примери, ќе воведам уште еден поим. Дали е тој не е општо прифатено, и ние ќе го искористиме единствено за погодност при презентирање на материјалот. До крајот на оваа страница, ќе го нарекуваме изразот $ a_ (0) x ^ (n) $ како водечки елемент на полиномот $ P_n (x) $. На пример, за полиномот $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, водечкиот елемент е $ 4x ^ (14) $.

Пример # 1

Поделете $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ со $ 5x ^ 2-x + 2 $ користејќи долга поделба.

Значи, имаме два полинома, $ P_5 (x) \u003d 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ и $ G_2 (x) \u003d 5x ^ 2-x + 2 $. Степенот на првиот е $ 5 и степенот на вториот е $ 2 $. Полиномот $ P_5 (x) $ е делител, а полиномот $ G_2 (x) $ е делител. Нашата задача е да ги пронајдеме количникот и остатокот. Ние ќе ја решиме поставената задача чекор по чекор. Ние ќе ја користиме истата ознака како и за делење на броеви:

Првиот чекор

Поделете го највисокиот елемент на полиномот $ P_5 (x) $ (т.е. $ 10x ^ 5 $) со највисокиот елемент на полиномот $ Q_2 (x) $ (т.е. $ 5x ^ 2 $):

$ $ \\ frac (10x ^ 5) (5x ^ 2) \u003d 2x ^ (5-2) \u003d 2x ^ 3. $ $

Резултирачкиот израз $ 2x ^ 3 $ е првиот елемент на количникот:

Помножете го полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ со $ 2x ^ 3 $, добивајќи:

$ $ 2x ^ 3 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $ $

Ајде да го запишеме резултатот:

Сега, одземете од полиномот $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ полиномот $ 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $:

$ $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3) \u003d 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ $

Ова го заклучува првиот чекор. Резултатот што го добивме може да биде напишан во проширена форма:

$ $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot 2x ^ 3 + 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x +5 $ $

Бидејќи степенот на полиномот $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ (т.е. 4) е поголем од степенот на полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ (т.е. 2), тогаш процесот поделбата мора да се продолжи. Да преминеме на вториот чекор.

Втор чекор

Сега ќе работиме со полиномите $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ и $ 5x ^ 2-x + 2 $. На ист начин како и во првиот чекор, го делиме горниот елемент на првиот полином (т.е. $ 5x ^ 4 $) со највисокиот елемент на вториот полином (т.е. $ 5x ^ 2 $):

$ $ \\ frac (5x ^ 4) (5x ^ 2) \u003d x ^ (4-2) \u003d x ^ 2. $ $

Резултирачкиот израз $ x ^ 2 $ е вториот елемент на количникот. Додадете во количникот $ x ^ 2 $

Помножете го полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ со $ x ^ 2 $, добивајќи:

$$ x ^ 2 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $ $

Ајде да го запишеме резултатот:

Сега одземете од полиномот $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ полиномот $ 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $:

$ $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2) \u003d - 15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ $

Го додаваме овој полином под редот:

Ова го заклучува вториот чекор. Резултатот може да се напише во проширена форма:

$ $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2) -15x ^ 3 + 23x ^ 2 -2x + 5 $ $

Бидејќи степенот на полиномот $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ (т.е. 3) е поголем од степенот на полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ (т.е. 2), го продолжуваме процесот на поделба. Да преминеме на третиот чекор.

Трет чекор

Сега ќе работиме со полиномите $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ и $ 5x ^ 2-x + 2 $. На ист начин како и во претходните чекори, го делиме водечкиот елемент на првиот полином (т.е. -15x ^ 3 $) со највисокиот елемент на вториот полином (т.е. $ 5x ^ 2 $):

$ $ \\ frac (-15x ^ 3) (5x ^ 2) \u003d - 3x ^ (2-1) \u003d - 3x ^ 1 \u003d -3x. $ $

Резултирачкиот израз $ (- 3x) $ е третиот елемент на количникот. Додадете во количникот $ -3x $

Помножете го полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ со $ (- 3x) $, добивајќи:

$$ -3x \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d - 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $ $

Ајде да го запишеме резултатот:

Сега, одземете од полиномот $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ полиномот $ -15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $:

$$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 - (- 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x) \u003d 20x ^ 2 + 4x + 5 $ $

Го додаваме овој полином под редот:

Со ова се заокружува третиот чекор. Резултатот може да се напише во проширена форма:

$ $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 \u003d (5x ^ 2-x + 2) \\ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2-3x) + 20x ^ 2 + 4x +5 $ $

Бидејќи степенот на полиномот $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ (т.е. 2) е еднаков на степенот на полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ (т.е. 2), ние продолжуваме со процесот на поделба. Да преминеме на четвртиот чекор.

Четврт чекор

Сега ќе работиме со полиномите $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ и $ 5x ^ 2-x + 2 $. На ист начин како и во претходните чекори, го делиме горниот елемент на првиот полином (т.е. $ 20x ^ 2 $) со највисокиот елемент на вториот полином (т.е. $ 5x ^ 2 $):

$ $ \\ frac (20x ^ 2) (5x ^ 2) \u003d 4x ^ (2-2) \u003d 4x ^ 0 \u003d 4. $ $

Резултирачкиот број 4 $ е четвртиот елемент на количникот. Додадете 4 долари на приватното

Помножете го полиномот $ 5x ^ 2-x + 2 $ со $ 4 $, добивајќи:

$ $ 4 \\ cdot (5x ^ 2-x + 2) \u003d 20x ^ 2-4x + 8 $ $

Ајде да го запишеме резултатот:

Сега одземете од полиномот $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ полиномот $ 20x ^ 2-4x + 8 $.