Овој дел е посветен на воспоставување врски помеѓу паралелизам и нормалност на прави линии и рамнини, кои се широко користени во геометријата и нејзините примени.

За постоењето на врски помеѓу паралелизам и

За нормалноста во вселената сведочи нашето искуство. Навистина, столбовите, инсталирани вертикално, се паралелни едни на други (слика 394); вертикално насочените ледени мразови се паралелни (слика 395), вертикални

колони кои украсуваат згради (слика 396) итн.

Содржината на слични врски во планиметријата е добро позната: два нормални на една права линија се паралелни едни со други, и обратно, права права нормална на една од двете паралелни права е нормална на другата. Сепак, овие изјави не секогаш важат за прави линии во вселената (обидете се сами да ги дадете соодветните примери). Во исто време, можно е да се проучат ситуациите поврзани со паралелизам и нормалноста на линиите и рамнините во вселената.

Да ја разгледаме подетално врската помеѓу паралелизам на прави линии и нормалноста на нивната рамнина. Овие врски ја одразуваат врската помеѓу вистинските предмети што ги користиме

Нормалноста на линиите и рамнините

ние сме во секојдневниот живот. Навистина,

ако едната ограда се наоѓа вертикално

во ред, тогаш втората табла е доволно лоцирана

живеат паралелно со првиот, така што и таа исто така

беше вертикален (Слика 397). На овој начин

изградбата на ограда се заснова на следново

следнава теорема.

Теорема 1 (на две паралелни права, од кои едната е нормална на рамнината).

Ако една од двете паралелни права е нормална на рамнината, тогаш втората е нормална на оваа рамнина.

Горенаведената теорема е знак на нормалноста на права и рамнина, односно со нејзина помош се воспоставува нормалноста на права и рамнина. Широко се користи не само во геометријата, туку и во пракса. Изградба на идовите на зградата со

користењето на водовод е живописна илустрација за употребата на овој знак на нормалност на права и рамнина. Навистина, линијата на водоводот е вертикална, и ако работ на конструкцијата е паралелен со линијата, тогаш тој е исто така вертикален (слика 398).

Разгледувањето на теоремата 1 природно го покренува прашањето: дали две прави права нормално на една рамнина ќе бидат паралелни? Искуството ни го кажува одговорот на тоа (два вертикално поставени столба се паралелни!), И тоа е потврдено од следната теорема, обратна од теоремата 1.

Теорема 2 (за паралелизам на прави линии нормално на рамнината).

Ако две прави се нормални на иста рамнина, тогаш тие се паралелни.

Горенаведената теорема е исто така одлика. Со негова помош се воспоставува паралелизам на прави линии во просторни структури. На крајот на краиштата, вертикалност или перпендикуларност

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 391

авионите понекогаш се полесно да се проверат (особено на гломазни предмети) отколку паралелизам. Зборуваме, на пример, за локацијата на вкрстени греди за време на конструкцијата на таванот на зградата, препознавање на паралелизам на прави линии во геометриски конфигурации итн.

Подеднакво важни во геометријата и нејзините примени се врските помеѓу паралелизмот на рамнините и нивната нормалност кон права линија. Станува збор за два авиона и една права линија. Ако две рамнини се паралелни, а едната е нормална на права, тогаш како ќе се наоѓа втората рамнина во однос на оваа права? Како се наоѓаат две рамнини, ако и двете се нормални

дали сме исправени? Практичното искуство исто така ни ги кажува одговорите на овие прашања. Ако внесете клинец во таблата нормално на едната страна од таблата, тогаш тоа ќе биде нормално и спротивно (Слика 399). Ако тркалата се постават од двете страни на оската, така што нивните рамнини се нормални на оската, тогаш рамнините на овие тркала ќе бидат паралелни (слика 400).

Дозволете ни да формулираме две меѓусебно инверзни искази што ја рефлектираат врската помеѓу паралелизмот на рамнините и нивната нормалност кон права линија.

Теорема 3 (на паралелни рамнини, од кои едната е нормална на права линија).

Ако една од двете паралелни рамнини е нормална на права, тогаш втората рамнина е нормална на истата права.

Теорема 4 (на две рамнини нормално на права линија).

Ако две рамнини се нормални на една права, тогаш тие се паралелни.

Внимание привлекува односот помеѓу претставените два парови теореми. Секој од нив може да се формулира со замена на изразот „прав“ со „рамнина“ и обратно.

Теоремите 3 и 4 се исто така одлики.

392 Нормалноста на линиите и рамнините

Критериумот на нормалноста на права и рамнина (Теорема 3) е илустриран со локацијата на столбовите за поддршка во однос на подот и таванот. Ако рамнините на таванот и подот се паралелни, тогаш доволно е да се стави колоната нормално на подот, што-

дали би било нормално на таванот

Практичната вредност на одликата изразена во Теорема 4 е илустрирана со транспорт на армирано-бетонска правоаголна плоча во хоризонтална положба со помош на кран. За да го направите ова, користете

користете четири идентични кабли, чии краеви се фиксирани во точките А 1, А 2, А 3, А 4

плочи и со кука во точката С (слика 402). Од страна на

бидејќи плочата виси слободно, кабелот на кој е фиксирана куката е нормално на земјата и се наоѓа на права линија што минува низ центарот на масата на плочата (за хомогена плоча). Ако ја занемариме дебелината на плочата, тогаш нејзиниот центар е на пресекот на дијагоналите на правоаголникот А 1 А 2 А 3 А 4. Бидејќи SA 1 \u003d SA 2 \u003d SA 3 \u003d \u003d SA 4, тогаш правата што ја поврзува точката S со точката на пресек на дијагоналите е нормална на рамнината на плочата (проблем 1 18). Затоа, според теорема 4, плочата се наоѓа хоризонтално.

Дадените примери не ја исцрпуваат целата разновидност на примени на разгледаните карактеристики при решавање на практични проблеми. Овие знаци се исто така важни за последователното продлабочување на геометриското знаење.

Проблем 1. Нацртајте права линија низ оваа точка, нормално

искривување на дадената рамнина.

 Случај кога лежи дадената точка А.

во дадената рамнина α, разгледавме во

претходниот став. Сега нека поентата

И лежи надвор од авионот

α Преку произволно

точка Во авион

α повлече права линија

б, нормално на рамнината α (Слика 403).

Потоа преку точката А цртаме права линија, па-

паралелна права б

(како да го направите тоа?).

Willе биде посакуваната, бидејќи нејзината нормална е на рамнината

таквата α се должи на теоремата 1. ■

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 393

PRI мене Р 1. Сегмент АМ е извлечен од темето А на квадрат ABCD, нормално на рамнината ABC. Изградба:

1) рамнина што минува низ точката М нормално на правата AC;

2) права линија што минува низ средната точка на отсечката MC нормално на рамнината ABC.

 Да го прикажеме примерот со состојба на сл. 404, а.

1) Размислете за авионот MAS. По услов, правата MA е нормална на правата AC. За да се конструира посакуваната рамнина, доволно е да се повлече друга права линија низ точката А, нормално на правата линија AC. Бидејќи права линија БД е нормална на права линија AC, бараната линија мора да биде паралелна со права линија BD.

Градба. Преку точката А цртаме права линија AK паралелна со права линија BD (Слика 404, б). Перпендикуларно е на правиот AC. Авионот MAK е нормален на правата линија AC, според критериумот на нормалноста на права и рамнина (теорема 1 § 18).

2) Нека N е средната точка на MC сегментот (Слика 405, а). Бараната линија е паралелна со правата MA, според теоремата на паралелизам за правите нормални на рамнината (теорема 2). Ова е неопходен услов.

Доволно е, според теоремата на две паралелни права, од кои едната е нормална на рамнината (теорема 1).

Градба. Нацртајте права линија низ точката N, паралелно со правата MA (слика 405, б). Точката на нејзиниот пресек О со рамнината на плоштадот е центарот на плоштадот, бидејќи линијата НЕ лежи во рамнината МАС и поминува низ средината на отсечката AC (со теоремата на Талес). ■

Размислете за доказот на горенаведените теореми за врските помеѓу паралелизам и нормалноста на линиите и рамнините. Посочената врска помеѓу два пара теореми и меѓу себе во парови

ни овозможува да се надеваме дека докажувањето на една од теоремите ќе го олесни докажувањето на другите. Да почнеме со теорема 1. Дозволете ни да ја напишеме во симболична форма.

Теорема 1. Дадено: а 1 || a 2, a 1 α.

Докажете: a 2 α.

 За да ја докажеме теоремата, ја користиме

пендикуларност на права линија и рамнина.

Нека O 1 ја означува точката на пресек на права а 1 и рамнина α. Според теоремата за пресекот на рамнината со паралелни права (Теорема 6 § 8), права линија a 2, паралелна со правата a 1, исто така ја пресекува рамнината α во одредена точка О 2 (Слика 406, а)

Земете ги правите права 1 и 2 точки А 1 и А 2 од едната страна на рамнината α така што сегментите О 1 А 1 и О 2 А 2 се еднакви. Четириаголникот О 1 А 1 А 2 О 2 (Слика 406, б) е паралелограм, бидејќи О 1 А 1 || О 2 А 2, О 1 А 1 \u003d О 2 А 2. Слично на тоа, ние конструираме паралелен грам О 1 В 1 В 2 О 2 за произволна насока во α рамнината. За да го направите ова, преку точките О 1 и О 2 во рамнината α, повлечете произволни паралелни прави, на кои ги избираме точките Б 1 и Б 2 слично на изборот на точките А 1 и А 2 (Слика 406, в).

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 395

Од горенаведените конструкции произлегува дека четириаголникот А 1 В 1 В 2 А 2 е паралелограм. Навистина, сегментите А 1 А 2 и В 1 В 2 се паралелни и еднакви, според својствата на транзитивноста на односите на паралелизам на правили и еднаквост на должини

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 \u003d O 1O 2, O 1O 2 \u003d B 1B 2).

Сега разгледајте ги триаголниците A 1 O 1 B 1 и A 2 O 2 B 2. Тие се еднакви на третите страни: A 1 O 1 \u003d A 2 O 2, O 1 B 1 \u003d O 2 B 2, во конструкција, A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 како спротивни страни на паралелограмот. Затоа, соодветните агли на овие триаголници се еднакви, особено, A 1 O 1 B 1 \u003d \u003d A 2 O 2 B 2. Но, аголот A 1 O 1 B 1 по услов е исправен. Затоа, аголот A 2 O 2 B 2 исто така ќе биде исправен. И ова значи дека правата линија a 2 е нормална на секоја права линија на рамнината α што минува низ точката О 2. По дефиниција, тој е нормален на α рамнината. ■

Теорема 2. Дадени се: a 1 α, 2 α.

Докажете: a 1 || а 2

 Нека правите права 1 и 2 се нормални на рамнината α, О 1, О 2 - точките на нивното вкрстување со рамнината α (слика 407, а). Преку точката О 2 повлечете права линија b паралелна со права a 1 (Слика 407, б). Со теорема 1, б α. Ако права линија b не се совпаѓа со права a 2, тогаш рамнината β може да се повлече низ нив, пресекувајќи ја рамнината α по права линија c (Слика 407, в). Правите права a 2 и b се нормални на правата c, по дефиниција на нормалноста на правата и рамнината. Меѓутоа, во рамнина низ дадена точка, може да се повлече само една права линија, нормална на оваа права. Резултирачката противречност значи дека правите права a 2 и b се совпаѓаат, односно 1 || a 2. ■

Доказот за теоремите 3 и 4 ја следи истата шема како и доказите за теоремите 1 и 2, соодветно. Направете го тоа сами, користејќи ги упатствата дадени по исказите на теоремите 3 и 4.

Важноста на разгледуваните теореми за стереометрија и апликации, како што веќе беше забележано, се поврзува со фактот дека секој од нив е знак: првиот и третиот се знаци на нормалноста на права и рамнина, втората е знак на паралелни линии, а четвртата е знак на паралелизам на рамнината. Ова ги проширува нашите можности во студијата за взаемно уредување на линиите и авионите, извршувајќи конструкции.

Следната теорема е генерализација на резултатот од Проблем 1.

Теорема 5 (на права нормална на дадена рамнина).

Права линија нормална на дадена рамнина поминува низ произволна точка во просторот, и покрај тоа, само една.

 Првиот дел од теоремата за постоење на таква линија е оправдан при решавање на проблемот

1. За да ја докажеме единственоста на таквата линија, го претпоставуваме спротивното, имено:

низ некоја точка А има две различни прави линии а 1 и 2, нормално на рамнината α (слика 408). Според Теорема 2, тие се паралелни, односно немаат заеднички точки.

Оваа противречност ја докажува изјавата. ■

Резултатот од проблемот 2 во претходниот дел има слична генерализација.

Теорема 6 (на рамнина нормална на дадена права).

Секоја точка во вселената е пресечена со рамнина нормална на дадената линија, и покрај тоа, само една.

 Постоењето на ваква рамнина е поткрепено во решението на Проблемот 3 од претходниот дел. Останува да се докаже единственоста на авионот што ги задоволува условите на теоремата. Како и обично во вакви случаи, го признаваме спротивното, имено: преку даденото

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 397

низ точката А минуваат две различни рамнини α1 и α2, нормално на права а (слика 409). Според Теорема 4, тие се паралелни. Но, овие авиони имаат заедничка точка А. Резултирачката противречност ја докажува изјавата. ■

PRI me R 2. Од темето А на квадрат ABCD, се повлекува права линија, нормална на рамнината на квадратот, и на неа се зема точката S. Изградба:

1) права линија што минува низ центарот О на плоштадот нормално на неговата рамнина;

2) рамнина што минува низ средната точка P на сегментот AS нормално на него;

3) рамнина што минува низ точката А нормално на правата БД;

4) права линија што минува низ точката А нормално на рамнината на SBD.

 1) Со претпоставка, правата AS е нормална на рамнината на квадратот. Секоја друга права нормална на оваа рамнина ќе биде паралелна со правата линија AS, според теорема 2, односно паралелизам на права линија AS е неопходен услов за нормалноста на бараната права рамнина. Тоа е исто така доволен услов од Теорема 1.

Градба. Преку точката О цртаме права линија ОЕ паралелно со права линија AS (слика 410). Правата линија ОЕ е нормална на рамнината на квадратот, според теоремата со два парамера

паралелни прави, од кои едната е нормална на рамнината.

2) По услов, правата АS е нормална на

на авионот АБЦД. Било која друга рамнина нормална на линијата AS ќе биде паралелна со рамнината ABCD, според Теорема 4. Паралелизмот на посакуваната рамнина до рамнината ABCD, според Теорема 3, е доволен услов.

Градба. Да нацртаме рамнина паралелна со рамнината ABCD преку точката П.

За да го направите ова, нацртајте прави линии низ точката П.

РK и РL, паралелно со прави линии АD и AB, соодветно (слика 411). Авион РKL

е паралелна со рамнината ABCD, со знакот на паралелизам на рамнината, и затоа

е посакуваната.

398 Нормалноста на линиите и рамнините

3) Дијагоналите на квадратот се нормални, односно VO AO (види слика 410). Затоа, права линија AO лежи во посакуваната рамнина. Ако преку точката О, се повлече уште една права линија ОЕ, нормална на VO, тогаш правата VO ќе биде нормална на рамнината AOE, според критериумот на нормалноста на права и рамнина (теорема 1 18). Оваа рамнина ја содржи точката А.

Градба. Да нацртаме права линија OE низ точката O, паралелно со права AS. Beе биде нормално на АБЦД-рамнината (слика 412). Правата ОЕ е нормална

права линија VO, по дефиниција на нормалноста на права и рамнина. Авионот АОЕ е посакуваниот.

4) Размислете за триаголниците ABD и SBD

(Слика 413, а). Оттогаш се рамнокраки

АД \u003d АБ, по услов, и еднаквоста СБ \u003d СД произлегува од еднаквоста на правоаголните триаголници ASD и ASB. Нивните просечни вредности SO и AO се висини, и затоа правата BD е нормална на рамнината AOS, според критериумот на нормалноста на правата и рамнината (теорема 1). Во правоаголниот триаголник AOS од темето на десниот агол A ја цртаме висината AE (Слика 413, б). Директен АЕ е посакуваниот. Навистина, дозволете ни да ја нацртаме рамнината СБД преку точката Е, правата ЕФ паралелна со линијата БД. Оваа права ќе биде нормална на рамнината АОС, според теорема 1. Ова значи дека е нормална на правата АЕ. Според критериумот на нормалноста на правата и рамнината (теорема 1 § 18), правата AE е нормална на рамнината на SBD. ■

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 399

9 9 Прашања од тест

1. Дали е вистина дека две прави права нормално на некоја рамнина лежат во иста рамнина?

2. Може ли двата странични рабови на пирамидата да бидат нормални- рамнината на основата на пирамидата?

3. Дали е можно да се повлече права линија нормална на две пресеци- покајни авиони?

4. Дали постои врска помеѓу локацијата на нозете на сто- ла за неговата површина и подот на кој се наоѓа?

5. Дали постои дел од коцка со рамнина нормална на точно два нејзини рабови?

6. Дали е можно истовремено да се нацрта рамнина нормална- точно две вкрстени права?

7. Зошто ледените мразови што висат од покривот во пролет може да се сметаат паралелно едни на други (занемарувајќи ја нивната дебелина)- неее)?

8. На таванот има кука. Со помош на јажиња, потребно е да се суспендира платформата до неа, така што нејзината рамнина е- ризонтална. Како да го направите тоа?

9. Дали е можно да се извлечат три врски преку дадена точка во просторот- многу нормални права? И четири?

10. Колку различни рамнини се дефинирани со четири прави правила нормално на една рамнина?

Графички вежби

1. На сл. 414

прикажан правоаголен

паралелепипед

ABCDA1 B1 C1 D1 со четири -

база АБЦД, точки М, Н,

P, Q - средни точки, соодветно, на рабовите

П.н.е., Б1 Ц1, АБ,

D 1 C 1, точки О, О 1 - центри

се соочува со АБЦД

и A 1 B 1 C 1 D 1. Поставете

точната локација на наведената права

и авион:

ОМ и Додади 1;

и ABC;

OC и DBB1;

и NQO 1;

Б1 Ц

и ЛОШИ 1;

А1 Ц1

и MNQ;

и BDD 1;

QN и NPM.

400 Нормалност на линиите и рамнините

2. На сл. 415 прикажува рамностран триаголник ABC, O - неговиот центар, ОС -

сегмент нормален на рамнината на триаголникот, точки М, N - средните точки на страните AB, BC, соодветно. Уста-

нова релативна позиција: 1) права линија AB и рамнина SOC;

2) права линија MN и рамнина SOB;

3) права рамнина на наизменична струја и МНС.

3. На сл. 416 отсликува круг со центар О, АБ и ЦД - неговиот меѓусебно нормален

кадрави дијаметри, MV - тангента на кругот, во ред, BL - еднакви сегменти,

нормално на рамнината на кругот. Воспоставете релативна позиција:

1) права линија BL и рамнина AOC;

2) права линија БМ и авион ЛОК;

3) права линија BM и авион COK;

4) права линија КЛ и авиони ДОК;

5) авиони ДОК и МБЛ;

6) права линија БК и авион ЦЛД.

4. Изградете фигура користејќи ги дадените податоци.

1) Авион што минува низ работAB на редовна тетраедар SABC, нормална на работ SC.

2) Низ точката М поминува рамнина нормална на AC, која лежи на дијагоналата AC на правилната правоаголна пирамида SABCD.

407. Од врвот на прав аголОд рамноаголен правоаголен триаголник ABC, се повлекува права линија нормално на рамнината на овој триаголник, а на неа се зема точката S. Изградба:

1 °) рамнина што минува низ точката S нормално на правата AB;

2 °) права линија што минува низ средната точка на отсечката AS нормално на рамнината ABC;

3 °) рамнина што минува низ точката А паралелно со рамнината на БСС;

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 401

4) права линија што минува низ точката C нормално на рамнината ABS, ако AC \u003d 2 3 CS.

408. Од средниот К на хипотенузата п.н.е на рамноаголен триаголник АБЦ, се повлекува права линија, нормална на рамнината на овој триаголник, и на неа се зема точката М. Конструирај:

1 °) рамнина што минува низ точката М нормално на линијата AC;

2 °) права линија што минува низ средната точка на сегментот AM нормално на рамнината ABC;

3 °) рамнина што минува низ точката А паралелно со рамнината BCM;

4) рамнина што минува низ точката К нормално на права линија АМ, ако МК \u003d СК.

409. Од центарот О на правилен триаголник ABC, се повлекува права линија, нормална на рамнината на триаголникот, и на неа се зема точката S. Конструирај:

1 °) рамнина што минува низ точката О нормално на линијата п.н.е.;

2 °) права линија што минува низ средината на сегментот AS нормално на рамнината ABC;

3) рамнина што минува низ средната точка на отсечката AS нормална на права линија ОС;

4 *) права линија што минува низ точката А нормално на рамнината на БСС.

410. Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Изградба:

1 °) права линија што минува низ центарот на лицетоА1 Б1 С1 Д1 лента - нормално на спротивното лице; 2 °) рамнина што минува низ теметоИ нормално на дијагоналата БД;

3) права линија што минува низ центарот на лицето AA 1 B 1 B нормално на рамнината BDD 1;

4 *) рамнина што минува низ точката Д нормално на правата БД 1.

411. Во тетраедранот САБЦ, сите лица се редовни триаголници, точката О е центарот АБЦ, Д е средната точка на работ Б.Ц., точката Н припаѓа на работ СА.

1 °) Одреди ја релативната положба на права линија SO и рамнината ABC.

2 °) Одреди ја релативната положба на правата BC и рамнината ASD.

3) Повлечете права линија низ точката N, нормално на лицето ABC.

4 *) Конструирај дел од тетраедар со рамнина што минува низ точката N нормално на права линија ОС.

412 ° Две електрични жици мора да се протегаат од столб висок 7 м до зграда висока 4 м. Колку жици ви се потребни ако растојанието од зградата до столбот е 10 м и треба да додадете 3% од нејзината пресметана должина на жицата што виси?

413. На една од темињата на правоаголникот е инсталирана караула за чување правоаголна површина. Растојанијата од набудувачот што стои на кулата до другите темиња на правоаголникот се еднакви на a, b, c и a\u003e b\u003e c. Која е висината на кулата?

414. Три паралелни права а, б, ц не лежат во иста рамнина. Преку точката М, лежејќи на правата a, се цртаат нормално на правите b и c, пресекувајќи ги, соодветно, на точките P и Q. Докажете дека правата PQ е нормална на правите b и c.

415. Преку точката О, која е на висина ЦД со триаголник АБЦ, на нејзината рамнина е нацртано нормално ОМ. Докажете дека рамнината што минува низ линиите СD и ОМ е нормална на линијата AB.

416 *. Дадена е рамнина α и права линија што ја сече рамнината во точката М и не е нормална на α. Докажете дека во рамнината α низ точката М има права нормална на права а, и згора на тоа, само една.

417. На права линија нормална на рамнината α, земени се две точки A и B, кои не лежат во рамнината α, а во рамнината α, земени се две точки X и Y. Познато е дека XA\u003e XB. Споредете ги сегментите

YA и YB.

Поврзување помеѓу паралелизам и нормалноста на прави рамнини 403

Вежби за повторување

418. Докажете дека сите прави линии на рамнината нормално на дадената права рамнина ја формираат оваа рамнина.

419. Како да се подели еден сегмент на половина, користејќи само образец: а) прав агол; б) акутен агол?

420. Страните на паралелограмот се 2 m и 16 dm; растојанието помеѓу големите страни е 8 dm. Одреди го растојанието помеѓу помалите страни.

Клучни изјави

Теоремата на двете

Ако еден од двајцата

паралелно

паралелно

директен, еден од

нормално

кои нормално

авион, а потоа вториот

кадрава до рамнина

нормално

a || b, a α b α

поларитет на оваа рамнина.

Паралелата

Ако две прави

лојалност на прави линии,

се pendicular на еден

нормално

и истиот авион, тогаш

рамнина

тие се паралелни.

a α, b α a || б

Паралелата

Ако еден од двајцата

рамно рамно

паралелно

рамни

коски, еден од

tei е нормално

кои нормално

прав, а потоа вториот

кулар директно

рамнина

перпенди-

е iousубопитен за оваа линија.

α || β, α l β l

Теоремата на двете

рамнина

авиони, по-

нормално на една

пендикуларен

не, директно, тогаш тие

се паралелни

α l, β l α || β

Цели на лекцијата:

1) да ги консолидира теоретските прашања на тема „Нормалност на права и рамнина“;

2) развивање на вештини за решавање на основните видови проблеми на нормалноста на права и рамнина.

За време на часовите

I. Организациски момент

Пријавете ја темата и планот на лекцијата.

II. Ажурирање на знаењето на студентите

1) Теоретско истражување.

Формулирајте и докажете теорема на права линија нормална на рамнина (подгответе се на таблата за еден од учениците, а потоа слушајте го неговиот одговор со целото одделение).

2) Индивидуални писмени задачи:

Докажете ја теоремата за нормалноста на две паралелни права до третиот (1 ученик);

Докажете теорема која воспоставува врска помеѓу паралелизам на прави и нивна нормалност кон рамнината (1 ученик);

Докажете ја инверзната теорема на теоремата, воспоставувајќи ја врската помеѓу паралелизмот на линиите и нивната нормалност кон рамнината (1 ученик);

Докажете го знакот на нормалност на права и рамнина (1 ученик).

3) Независно решавање на проблемите засновани врз готови цртежи, проследено со верификација и дискусија по потреба.

Ниво I: Бр. 1, 2, 5.

Ниво II: број 3, 4, 6.

Точката М лежи надвор од авионот ABC.

1. Сл. 1. Докажи: права линија АС е нормална на рамнината АМВ.

2. Сл. 2. BMDC е правоаголник. Докажете: ЦД-то на линијата е нормално на рамнината ABC.

3. Сл. 3. ABCD е правоаголник. Докажете: АД ⊥ AM.

Решение за проблемите 1-6.

4. Сл. 4. Докажете: СDE.

5. Сл. 5. ABCD - паралелограм. Докажи: линијата МО е нормална на рамнината АБЦ.

6. Сл. 6. ABCD - ромб. Докажете дека линијата БД е нормална на рамнината на АМЦ.

Доказ:

AC ⊥ AB (по услов), AC AM (по услов),

Доказ:

Бидејќи BMDC е правоаголник, ∠MBC \u003d 90 °, што значи

MB ⊥ (ABC) (врз основа на нормалноста на права и рамнина).

МБ || DC (според својството на страните на правоаголникот). Следствено, DC ⊥ (ABC) (според теоремата за врската помеѓу паралелизам на прави линии и нивната нормалност кон рамнината).

Доказ:

1) Бидејќи ABCD е правоаголник, тогаш ∠ABC \u003d 90 °, затоа, BC ⊥ AB, AB ⊂ (ABM)

ВС ⊥ (АМВ) (врз основа на нормалноста на права и рамнина).

2) п.н.е. || Н.е. (според својството на страните на правоаголникот). Затоа, АД ⊥ (АМБ) (според теоремата за врската помеѓу паралелизам на прави и нивната нормалност кон рамнината).


3) AD ⊥ AM (по дефиниција на права линија нормална на рамнината).

Број 4 (слика 7)

Доказ: Бидејќи ΔСМВ е рамнокрак (по услов) и MD е висина, тогаш MD е медијана (според својството на висината на рамноаголен триаголник).

Оттука, ЦД \u003d БД (по дефиниција на медијаната).

1) Бидејќи ΔABC е рамнокрак (по услов) и АД е медијана (по дефиниција), тогаш АД е висина (според својството на просекот на рамноаголен триаголник). Оттука, п.н.е. ⊥ н.е.

2) ВС (AMD) (врз основа на нормалноста на права линија и рамнина).

3) С⊥DE (по дефиниција на права линија нормална на рамнината).

Доказ:

1) AC ∩ BD \u003d О; AO \u003d OS, BO \u003d OD (според својството на паралелограмските дијагонали).

2) ΔBMD е рамнокрак (по услов) и MO е медијана (по дефиниција), што значи дека MO е висина (според својството на просекот на рамноаголен триаголник).

Затоа, MO ⊥ BD.

3) Во ДАМС: MO ⊥ АС (се докажува слично на точка 2).

4) MO ⊥ (AVS) (врз основа на нормалноста на права линија и рамнина).

Број 6 (слика 8)

Доказ: AC ⊥ BD и AO \u003d OC, BO \u003d OD (според својството на ромб дијагонали). ΔBMD е рамнокрак (по услов) и MO е медијана (по дефиниција), што значи дека MO е висина (според својството на медијаната на рамноаголниот триаголник).

Затоа, MO ⊥ BD.

(врз основа на нормалноста на права и рамнина).

III. Решавање на проблеми

Решение во писмена форма на табла и тетратки за проблем број 130 (детално решение во учебникот), број 134 (со помош на наставник), повикајте силен ученик на табла.

(Пред да продолжите со решавање на проблемот, повторете ги концептите: растојанието помеѓу две точки и растојанието од точка до права. Формулирајте ги дефинициите на овие концепти.)

Дадено: АБЦД - квадрат; МБ - исправен (сл. 9).

Пронајдете: а) м-р, м-р, м-р; б) ρ (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB \u003d BC \u003d CD \u003d AD \u003d n (според својството на страните на плоштадот).

2) ДАВМ и ДСВМ се правоаголни, бидејќи ∠MBA \u003d ∠МВС \u003d 90 °.

Според теоремата на Питагора: Добиваме

3) Бидејќи БД е дијагонала на квадратот, тогаш

4) Бидејќи ∠MBA \u003d ∠MBC \u003d 90 °, тогаш

MB ⊥ (ABC) (врз основа на нормалноста на права и рамнина). Оттука, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (по дефиниција на права нормална на рамнината).

5) ΔMBD - правоаголна (бидејќи MB ⊥ BD, потоа ∠MBD \u003d 90 °). Според Питагоровата теорема:

6) ρ (M; BD) \u003d MB (по дефиниција на растојанието од точка до права линија). Оттука, ρ (M; BD) \u003d m.

7) AO \u003d OC, BO \u003d OD (според својството на квадратните дијагонали). Бидејќи тогаш ΔAMC е рамнокрак (по дефиниција) и MO е медијана (по дефиниција), што значи дека MO е висината (според својството на средната линија на рамноаголниот триаголник нацртана на неговата основа). Затоа, МО ⊥ АС.

Теореми кои воспоставуваат врска помеѓу паралелизам на прави и нивната нормалност кон рамнината. Теорема 2: Ако две прави се нормални на рамнината, тогаш тие се паралелни едни на други. Теорема 1: Ако една од двете паралелни права е нормална на рамнината, тогаш другата права е нормална на оваа рамнина.

Слајд 8 од презентација "Состојба на нормалноста на права и рамнина"... Големината на архивата со презентацијата е 415 KB.

Геометрија одделение 10

резимеа на други презентации

„Примери за симетрија во природата“ - Симетрија во геологијата. Симетрија на цилиндар. Симетрија во биологијата. Видови на симетрија. Симетрија во географијата. Примери за симетрична дистрибуција. Симетрија во природата. Што е симетрија. Дискретна симетрија. Човек, многу животни и растенија имаат билатерална симетрија. Природни предмети. Симетријата е основно својство на природата. Симетрија на надворешниот облик на кристалот. Симетрија во физиката.

Задачи за дел - Тетраедар. Средни ребра. Поени. Точка Изградба на делници. Дел од паралелепипед. Ниво. Мени Дел од паралелепипед со авион. Површина на пресек. Конструирај дел од тетраедар. Пронајдете ја точката на пресек на правата. Дел од коцка. Коцка Дел од тетраедар. Податоци за точка. Полиедар. Посакуваниот дел. Средината. Конструирај рамнински дел од коцката.

„Последици од аксиомите на стереометријата“ - Изгради слика на коцка. Диктат. Самостојна работа. Формулирајте теорема. Пронајдете ја линијата на пресек на рамнините. Аксиомите на стереометријата и нивните наједноставни последици. Слајдови на геометријата. Објаснете го одговорот. Различни авиони. Колку лица поминуваат низ една, две, три, четири точки. Постоење на авион. Пресек на права линија со рамнина. Именувајте ја линијата на пресек на овие рамнини. Линии што се пресекуваат во одредена точка.

„Симетрија во целиот свет“ - Повеќето едноставни молекули имаат елементи на просторна симетрија. Геометрија во бои. Питагора. Симетрија во математиката. Цвет на животот. Радијална симетрија. Платонски цврсти материи. Симетрија во животинскиот свет. Антички Грци. Симетрија во хемијата. Света геометрија. Актиноморфна симетрија. Биообјекти со совршена симетрија на точки. Носи Симетрија околу нас. Симетрија.

„Основни аксиоми на стереометријата“ - Античка кинеска поговорка. Геометриски цврсти материи. Предмет на стереометрија. Геометрија. Четири рамностран триаголник. Последици од аксиомите. Кеопсовата пирамида. Точките на права линија лежат во рамнината. Основни фигури во вселената. Рамнина. Први лекции на стереометрија. Последици од аксиомите на стереометријата. Аксиома. Авионите имаат заедничка точка. Извори и врски. Слики на просторни фигури. Аксиоми на стереометрија.

„Паралелепипед“ - Тетраедар може да се напише во паралелепипед. Извод на формулата за волумен на правоаголен паралелепипед. Сегмент што поврзува две темиња. Паралелепипед има спротивни лица кои се паралелни и еднакви. Произволен паралелепипед. Вака изгледа кутијата во рамна шема. Површина на правоаголен паралелепипед. Правоаголен паралелепипед. „Салцбург паралелепипед“. Паралелепипедот е симетричен во однос на средината на неговата дијагонала.