Объединением (логической суммой) N событий называют событие, которое наблюдается каждый раз, когда на­ступаетхотя бы одно из событий. В частности, объединением событий A и B называют событие A + B (у некоторых авторов
), которое наблюдается, когданаступает или A, или B или оба этих события одновременно (Рис. 7). Признаком пересечения в тексто­вых формулировках событий служит союз“или” .

Рис. 7. Объединение событий A+B

Необходимо учитывать, что вероятности события P{A} соответствует как левая часть заштрихованной на Рис. 7 фигуры, так и её центральная часть, помеченная как
. И исходы, соответствующие событию B, располагаются как в правой части заштрихованной фигуры, так и в помеченной
центральной части. Таким образом, при сложениииплощадка
реально войдет в эту сумму дважды, а точное выражение для площади заштрихованнойфигуры имеет вид
.

Итак, вероятность объединения двух событий A и B равна

Для большего числа событий общее расчетное выражение становится крайне громоздким из-за необходимости учета многочисленных вариантов взаимного наложения областей. Однако, если объединяемые события являются несовместными (см. с. 33), то взаимное наложение областей оказывается невозможным, а благоприятная зона определяется непосредственно суммой областей, соответствующих отдельным событиям.

Вероятность объединения произвольного числанесов­местных событийопределяется выражением

Следствие 1 : Полная группа событий состоит из событий несовместных, одно из которых в опыте обязательно реализуется. В результате,если события …
,образуют полную группу , то для них

Таким образом,

С ледствие 3 Учтем, что противоположным утверждению «произойдет хотя бы одно из событий …
» является утверждение «ни одно из событий…
не реализуется». Т.е., иначе говоря, «в опыте будут наблюдаться события, и, и …, и», что представляет собой уже пересечение событий, противоположных исходному набору. Отсюда, с учетом (2 .0), для объединения произвольного числа событий получаем

Следствия 2, 3 показывают, что в тех случаях, когда непосредственный расчет вероятности какого-то события является проблематичным, полезно оценить трудоёмкость исследования события ему противоположного. Ведь, зная значение
, получить из (2 .0) нужную величину
никакого труда уже не представляет.

1. Примеры расчетов вероятностей сложных событий

Пример 1 : Двое студентов (Иванов и Петров) вместе я вились на защиту лабораторной работы, выучив первые 8 кон трольных вопросов к этой работе из 10 имеющихся. Проверяя подготовленность, п реподаватель задает каждому лишь оди н случайно выбираемый вопрос. Определить вероятность следующих событий:

A = “Иванов защитит лабораторную работу”;

B = “Петров защитит лабораторную работу”;

C = “оба защитят лабораторную работу”;

D = “хотя бы один из студентов защитит работу”;

E = “только один из студентов защитит работу”;

F = “никто из них не защитит работу”.

Решение. Отметим, что способность защитить работу как Иванова, т ак и Петрова в отдельности определяется лишь числом освоенных вопросов, поэтом у . (Примечание: в данном примере значения получаемых дробей сознательно не сокращались для упрощения сопоставления результатов расчетов.)

Событие C можно сформулировать иначе как «работу защитит и Иванов, и Петров», т.е. произойдут и событие A , и событие B . Таким образом, событие C является пересечением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)

где сомножитель “7/9” появляется из-за того, что наступление события A означает, что Иванову достался «удачный» вопрос, а значит на долю Петрова из оставшихся 9 вопросов приходится теперь лишь 7 «хороших» вопросов.

Событие D подразумевает, что «работу защитит или Иванов, или Петров, или они оба вместе», т.е. произойдёт хотя бы одно из событий A и B . Итак, событие D является объединением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)

что соответствует ожиданиям, т.к. даже для каждого из студентов в отдельности шансы на успех довольно велики.

С обытие Е означает, что «либо работу защитит Ивано в, а Петров «п ровалится», или Иванову попадется неудачный во прос, а Петров с защитой справится». Два альтернативных варианта являются взаимоисключающими (несовместными), поэтому

Наконец, утверждение F окажется справедливым лишь если « и Иванов, и Петров с защитой не справятся». Итак,

На этом решение задачи завершено, однако полезно отметить следующие моменты:

1. Каждая из полученных вероятностей удовлетворяет условию (1 .0), н о если для
и
получить конфликт ующие с (1 .0) в принципе невозможно, то для
попытка и спользования (2 .0) вместо (2 .0) привела бы к явно некорр ектному значению
. Важно помнить, что подобное значение вероятности принципиально невозможно, и при получении столь парадоксального результата незамедлительно приступать к поиску ошибки.

2. Найденные вероятности удовлетворяют соотношения м

.

Э то вполне ожидаемо, т.к. события C , E и F образуют полн ую группу, а события D и F противоположны друг другу. Учет этих соотношений с одной стороны может быть использо ван для перепроверки расчетов, а в другой ситуации может послужить основой альтернативного способа решения задачи.

П римечание : Не пренебрегайте письменной фиксацией точной формулировки события, иначе по ходу решения задачи Вы можете непроизвольно перейти к иной трактовке смысла этого события, что повлечет ошибки в рассуждениях.

Пример 2 : В крупной партии микросхем, не прошедших выходной контроль качества, 30% изделий являются бракованными. Если из этой партии наугад выбрать какие-либо две микросхемы, то какова вероятность, что среди них:

A = “обе годные”;

B = “ровно 1 годная микросхема”;

C = “обе бракованные”.

Проанализируем следующий вариант рассуждений (осторожно, содержит ошибку):

Так как речь идет о крупной партии изделий, то изъятие из неё нескольких микросхем практически не влияет на соотношение числа годных и бракованных изделий, а значит, выбирая несколько раз подряд какие-то микросхемы из этой партии, можно считать, что в каждом из случаев остаются неизменными вероятности

= P { выбрано бракованное изделие } = 0,3 и

= P { выбрано годное изделие } = 0,7.

Для наступления события A необходимо, чтобы и в первый, и во второй раз было выбрано годное изделии, а потому (учитывая независимость друг от друга успешности выбора первой и второй микросхемы) для пересечения событий имеем

Аналогично, для наступления события С нужно, чтобы оба изделия оказались бракованными , а для получения B нужно один раз выбрать годное, а один – бракованное изделие.

Признак ошибки. Х отя все полученные выше вероятност и выглядят правдоподобными, при их совместном анализе легко з аметить, что .Однако случаи A , B и C образуют полную группу событий, для которой должно выполняться .Это противоречие указывает на наличие какой-то ошибки в рассуждениях.

С уть ошибки. Введем в рассмотрение два вспомогате льных события :

= “первая микросхема – годная, вторая - бракованная”;

= “первая микросхема – бракованная, вторая – годная”.

Очевидно, что , однако именно такой вариант расчета был выше использован для получения вероятности события B , хотя события B и не являются э квивалентными . На самом деле,
, т.к. формулировка события B требует, чтобы среди микросхем ровно одна , но совсем не обязательно первая была годной (а другая – бракованной). Поэтому, хотя событие не является дублем события, а должно учиты ваться независимо. Учитывая несовместность событий и, вероятность их логической суммы будет равна

После указанного исправления расчетов имеем

что косвенно подтверждает корректность найденных вероятностей.

Примечание : Обращайте особое внимание на отличие в формулировках событий типа “только первый из перечисленных элементов должен…” и “только один из перечисленных элем ентов должен…”. Последнее событие явно шире и включае т в свой состав первое как один из (возможно многочисленны х) вариантов. Эти альтернативные варианты (даже при совпадении их вероятностей) следует учитывать независимо друг от друга.

П римечание : Слово “процент” произошло от “ per cent ”, т.е. “на сотню”. Представление частот и вероятностей в процентах позволяет оперировать более крупными значениями, что иногда упрощает восприятие значений “на слух”. Однако использовать в расчетах для правильной нормировки умножение или деление на “100 %” громоздко и неэффективно. В связи с этим, не з абывайте при использовании значений, упомя нутых в процентах, подставлять их в расчетные выражения у же в виде долей от единицы (например, 35% в расчете записываетс я как “0,35”), чтобы минимизировать риск ошибочной нормировки результатов.

Пример 3 : Набор резисторов содержит один резистор н оминалом 4 кОм, три резистора по 8 кОм и шесть резист оров с сопротивлением 15 кОм. Выбранные наугад три резистора соединяются друг с другом параллельно. Определить вероятность получения итогового сопротивления, не превышающего 4 кОм.

Реш ение. Сопротивление параллельного соединения рез исторов может быть рассчитано по формуле

.

Это позволяет ввести в рассмотрение события, такие как

A = “выбраны три резистора по 15 кОм” = “
”;

B = “в зяты два резистора по 15 кОм и один с сопротивление м 8 кОм” =“
”…

Полная группа событий, соответствующих условию задачи, включает ещё целый ряд вариантов, причем именно таких, к оторые соответствуют выдвинутому требованию о получении сопротивления не более чем 4 кОм. Однако, хотя “прямой” путь решения, предполагающий расчет (и последующее сумми рование) вероятностей, характеризующих все эти события, и является правильным, действовать таким образом нецелесообразно.

Отметим, что для получения итогового сопротивления менее 4 кОм д остаточно, чтобы в используемый набор вошел хотя бы один резистор с сопротивлени ем менее 15 кОм. Таким образом, лишь в случае A требование задачи не выполняется, т.е. событие A является противоположным исследуемому. Вместе с тем,

.

Таким образом, .

П ри мечание : Рассчитывая вероятность некоторого события A , не забывайте проанализировать трудоемкость определени я ве­роятности события ему противоположного. Если расс читать
легко, то именно с этого и надо начинать решен ие задачи , завершая его применением соотношения (2 .0).

П ример 4 : В коробке имеются n белых, m черных и k красных шаров. Шары по одному наугад извлекаются из коробки и возвращаются обратно после каждого извлечения. Определить вероятность события A = “белый шар будет извлечен раньше, чем черный ” .

Реш ение. Рассмотрим следующую совокупность событий

= “белый шар извлекли при первой же попытке”;

= “сначала вынули красный шар, а затем - белый”;

= “дважды вынули красный шар, а на третий раз - белый ”…

Так к ак шарики возвращаются, то последовательность соб ытий может быть формально бесконечно протяженной.

Эти события являются несовместными и составляют в совокупности тот набор ситуаций, при которых происходит событие A . Таким образом,

Несложно заметить, что входящие в сумму слагаемые образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом
и знаменателем
. Но сумм а элементов бесконечной геометрической прогрессии равна

.

Таким образом, . Л юбопытно, что эта вероятность (как следует из полученно го выражения) не зависит от числа красных шаров в коробке.

Краткая теория

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности , статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.

Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

На соседней странице рассматривается .

Пример решения задачи

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение задачи

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Пусть событие – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

Общее число возможных исходов испытания

Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:

№

1-я кость

2-я кость

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Как рассчитать вероятность события?

Понимаю, что всем хочется заранее знать, как завершится спортивное мероприятие, кто одержит победу, а кто проиграет. Обладая подобной информацией, можно без страха делать ставки на спортивные мероприятия. Но можно ли вообще и если да, то как рассчитать вероятность события?

Вероятность – это величина относительная, поэтому не может с точностью говорить о каком-либо событии. Данная величина позволяет проанализировать и оценить необходимость совершения ставки на то или иное соревнование. Определение вероятностей – это целая наука, требующая тщательного изучения и понимания.

Коэффициент вероятности в теории вероятности

В ставках на спорт есть несколько вариантов исхода соревнования:

• победа первой команды;
• победа второй команды;
• ничья;
• тотал.

У каждого исхода соревнования есть своя вероятность и частота, с которой данное событие совершится при условии сохранения начальных характеристик. Как уже говорили ранее, невозможно точно рассчитать вероятность какого-либо события – оно может совпасть, а может и не совпасть. Таким образом, ваша ставка может как выиграть, так и проиграть.

Точного 100% предугадывания результатов соревнования не может быть, так как на исход матча влияет множество факторов. Естественно, и букмекеры не знают заранее исход матча и лишь предполагают результат, принимая решение на своей системе анализа и предлагают определенные коэффициенты для ставок.

Как посчитать вероятность события?

Допустим, что коэффициент букмекера равен 2. 1/2 – получаем 50%. Получается, что коэффициент 2 равен вероятности 50%. По тому же принципу можно получить безубыточный коэффициент вероятности – 1/вероятность.

Многие игроки думают, что после нескольких повторяющихся поражений, обязательно произойдет выигрыш - это ошибочное мнение. Вероятность выигрыша ставки не зависит от количества поражений. Даже если вы выбрасываете несколько орлов подряд в игре с монеткой, вероятность выбрасывания решки останется прежней – 50%.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

1. Ты позвонил в 1ю дверь
2. Ты позвонил в 2ю дверь
3. Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

1. Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
2. Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

1. Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
2. Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

1. Орел-орел
2. Орел-решка
3. Решка-орел
4. Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

1. Какова вероятность вытащить белый шар?
2. Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .

Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .

Ответ:

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-решка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-решка-орел
8. Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).

Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:

Ответ:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Ответ:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

1. Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
2. Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
3. Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
4. Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
5. Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

1. В колоде карты каждого достоинства, значит:
2. События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:

   Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:

   Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:

   Ответ:

3. После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
   1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
   2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. темы и ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

1. С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
2. С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
3. В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

1. Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность

   С решкой то же самое: .

2. Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
   Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
3. Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

1. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
2. Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
3. Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

1. События независимы, значит, работает правило умножения: .
2. Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
3. 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

1. С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
2. Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

1. (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
2. Какие есть варианты? и. Тогда:
   Выпало (и) или (и) или (и): .

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

• Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
• Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
• Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

• А = «студенты пришли на лекцию».
• Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

• А = «студентка пришла на лекцию».
• В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

• А = «фирма получит первый контракт».
• А 1 = «фирма не получит первый контракт».
• В = «фирма получит второй контракт».
• В 1 = «фирма не получит второй контракт»
• С = «фирма получит третий контракт».
• С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

• К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

• М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

• классическое;
• статистическое;
• геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

• Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.