Τι είναι ένας κύκλος μονάδας. Ο μοναδιαίος κύκλος είναι ένας κύκλος με ακτίνα 1 και κέντρο στην αρχή. Θυμηθείτε ότι η εξίσωση ενός κύκλου μοιάζει με x 2 +y 2 =1. Ένας τέτοιος κύκλος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ορισμένων «ειδικών» τριγωνομετρικών σχέσεων, καθώς και για την κατασκευή γραφικές εικόνες. Χρησιμοποιώντας το και τη γραμμή που περικλείεται σε αυτό, μπορείτε επίσης να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Απομνημονεύστε τις 6 τριγωνομετρικές αναλογίες.να θυμάστε ότι

  • sinθ=αντίθετη πλευρά/υποτένουσα
  • cosθ=γειτονική πλευρά/υποτείνουσα
  • tgθ=απέναντι πλευρά/παρακείμενη πλευρά
  • cosecθ=1/αμαρτία
  • secθ=1/cos
  • ctgθ=1/tg.

  • Τι είναι το radian. Το ακτίνιο είναι ένα από τα μέτρα για τον προσδιορισμό του μεγέθους μιας γωνίας. Ένα ακτίνιο είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ δύο ακτίνων που σχεδιάζονται έτσι ώστε το μήκος του τόξου μεταξύ τους να είναι ίσο με το μέγεθος της ακτίνας. Σημειώστε ότι το μέγεθος και η θέση του κύκλου δεν παίζουν κανένα ρόλο. Θα πρέπει επίσης να ξέρετε σε τι χρησιμεύει ο αριθμός των ακτίνων ολόκληρος κύκλος(360 μοίρες). Θυμηθείτε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 2πr, δηλαδή 2π φορές το μήκος της ακτίνας. Εφόσον, εξ ορισμού, 1 ακτίνιο είναι η γωνία μεταξύ των άκρων ενός τόξου του οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα, ένας πλήρης κύκλος περιέχει γωνία ίση με 2π ακτίνια.

    Μάθετε πώς να μετατρέπετε ακτίνια σε μοίρες.Ένας πλήρης κύκλος περιέχει 2π ακτίνια, ή 360 μοίρες. Ετσι:

    • 2π ακτίνια=360 μοίρες
    • 1 ακτίνιο=(360/2π) μοίρες
    • 1 ακτίνιο=(180/π) μοίρες
    • 360 μοίρες=2π ακτίνια
    • 1 βαθμός=(2π/360) ακτίνια
    • 1 βαθμός=(π/180) ακτίνια

  • Μάθετε «ιδιαίτερες» γωνίες.Αυτές οι γωνίες σε ακτίνια είναι π/6, π/3, π/4, π/2, π και τα γινόμενα αυτών των τιμών (για παράδειγμα, 5π/6)

    Μάθετε και απομνημονεύστε τις έννοιες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για ειδικές γωνίες.Για να προσδιορίσετε τις τιμές τους, πρέπει να κοιτάξετε τον κύκλο μονάδας. Σκεφτείτε ένα τμήμα γνωστού μήκους που περιέχεται σε κύκλος μονάδας. Το σημείο στον κύκλο αντιστοιχεί στον αριθμό των ακτίνων στη σχηματιζόμενη γωνία. Για παράδειγμα, μια γωνία π/2 αντιστοιχεί σε ένα σημείο ενός κύκλου του οποίου η ακτίνα σχηματίζει γωνία π/2 με θετική οριζόντια ακτίνα. Για να βρεθεί η τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης οποιασδήποτε γωνίας, προσδιορίζονται οι συντεταγμένες του σημείου που αντιστοιχεί σε αυτή τη γωνία. Η υποτείνουσα είναι πάντα ίση με ένα, δεδομένου ότι είναι η ακτίνα του κύκλου, και δεδομένου ότι οποιοσδήποτε αριθμός διαιρούμενος με το 1 είναι ίσος με τον εαυτό του και η αντίθετη πλευρά είναι ίση με το μήκος κατά μήκος του άξονα Oy, προκύπτει ότι η τιμή του ημίτονο οποιασδήποτε γωνίας είναι η συντεταγμένη y των αντίστοιχων σημείων ενός κύκλου. Η τιμή συνημίτονου μπορεί να βρεθεί με παρόμοιο τρόπο. Το συνημίτονο είναι ίσο με το μήκος του διπλανού σκέλους διαιρούμενο με το μήκος της υποτείνουσας. Εφόσον το τελευταίο είναι ίσο με ένα και το μήκος του διπλανού σκέλους είναι ίσο με τη συντεταγμένη x ενός σημείου του κύκλου, έπεται ότι το συνημίτονο είναι ίσο με την τιμή αυτής της συντεταγμένης. Η εύρεση της εφαπτομένης είναι λίγο πιο δύσκολη. Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίση με την απέναντι πλευρά διαιρούμενη με τη διπλανή πλευρά. Σε αυτήν την περίπτωση, σε αντίθεση με τις προηγούμενες, το πηλίκο δεν είναι σταθερό, οπότε οι υπολογισμοί γίνονται κάπως πιο περίπλοκοι. Θυμηθείτε ότι το μήκος του απέναντι σκέλους είναι ίσο με τη συντεταγμένη y και το διπλανό σκέλος είναι ίσο με τη συντεταγμένη x ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη είναι ίση με y/x. Διαιρώντας το 1 με τις τιμές που βρέθηκαν παραπάνω, μπορείτε εύκολα να βρείτε τα αντίστοιχα αντίστροφα τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Έτσι, όλες οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να υπολογιστούν:

    • sinθ=y
    • cosθ=x
    • tgθ=y/x
    • cosec=1/y
    • sec=1/x
    • ctg=x/y

  • Βρείτε και θυμηθείτε τις τιμές έξι τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες που βρίσκονται σε άξονες συντεταγμένων, δηλαδή γωνίες που είναι πολλαπλάσια του π/2, όπως 0, π/2, π, 3π/2, 2π κ.λπ.δ. Για κυκλικά σημεία που βρίσκονται σε άξονες συντεταγμένων, αυτό δεν δημιουργεί προβλήματα. Εάν ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα Ox, το ημίτονο είναι μηδέν και το συνημίτονο είναι 1 ή -1, ανάλογα με την κατεύθυνση. Εάν το σημείο βρίσκεται στον άξονα Oy, το ημίτονο θα είναι ίσο με 1 ή -1 και το συνημίτονο θα είναι 0.

  • Βρείτε και θυμηθείτε τις τιμές 6 τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την ειδική γωνία π/6. Σχεδιάστε τη γωνία π/6 στον μοναδιαίο κύκλο. Γνωρίζετε πώς να βρίσκετε τα μήκη όλων των πλευρών των ειδικών ορθογωνίων τριγώνων (με γωνίες 30-60-90 και 45-45-90) από το γνωστό μήκος μιας από τις πλευρές, και αφού π/6=30 μοίρες, αυτό τρίγωνο είναι μια από τις ειδικές περιπτώσεις. Για αυτόν, όπως θυμάστε, το κοντό σκέλος είναι ίσο με το 1/2 της υποτείνουσας, δηλαδή η συντεταγμένη y είναι 1/2 και το μακρύ σκέλος είναι √3 φορές μεγαλύτερο από το κοντό σκέλος, δηλαδή ίσο με (√3)/2, άρα η συντεταγμένη x θα είναι ( √3)/2. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο με τις ακόλουθες συντεταγμένες: ((√3)/2,1/2). Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ισότητες, βρίσκουμε:

    • sinπ/6=1/2
    • cosπ/6=(√3)/2
    • tgπ/6=1/(√3)
    • cosecπ/6=2
    • secπ/6=2/(√3)
    • cotgπ/6=√3

  • Βρείτε και θυμηθείτε τις τιμές 6 τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την ειδική γωνία π/3. Η γωνία π/3 αντιπροσωπεύεται στον κύκλο από ένα σημείο του οποίου η συντεταγμένη x είναι ίση με τη συντεταγμένη y της γωνίας π/6 και η συντεταγμένη y είναι ίδια με το x για αυτήν τη γωνία. Έτσι, το σημείο έχει συντεταγμένες (1/2, √3/2). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

    • sinπ/3=(√3)/2
    • cosπ/3=1/2
    • tgπ/3=√3
    • cosecπ/3=2/(√3)
    • secπ/3=2
    • cotgπ/3=1/(√3)

  • Βρείτε και θυμηθείτε τις τιμές 6 τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την ειδική γωνία π/4. Το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με γωνίες 45-45-90 σχετίζεται με τα μήκη των ποδιών του ως √2 έως 1, και οι τιμές των συντεταγμένων ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο θα σχετίζονται επίσης. Ως αποτέλεσμα έχουμε:

    • sinπ/4=1/(√2)
    • cosπ/4=1/(√2)
    • tgπ/4=1
    • cosecπ/4=√2
    • secπ/4=√2
    • ctgπ/4=1
  • Προσδιορίστε εάν η τιμή της συνάρτησης είναι θετική ή αρνητική.Όλες οι γωνίες που ανήκουν στην ίδια οικογένεια δίνουν τις ίδιες απόλυτες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αλλά αυτές οι τιμές μπορεί να διαφέρουν ως προς το πρόσημο (η μία μπορεί να είναι θετική, η άλλη μπορεί να είναι αρνητική).
    • Αν η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν θετικές τιμές.
    • Για τη γωνία στο δεύτερο τεταρτημόριο, όλες οι συναρτήσεις εκτός από το sin και το cosec είναι αρνητικές.
    • Στο τρίτο τεταρτημόριο, οι τιμές όλων των συναρτήσεων εκτός των tg και ctg είναι μικρότερες από το μηδέν.
    • Στο τέταρτο τεταρτημόριο, όλες οι συναρτήσεις εκτός από το cos και το sec έχουν αρνητικές τιμές.

    • Ορισμός. Περιφέρειαείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία η απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του κύκλου, είναι μια σταθερή τιμή που ονομάζεται ακτίνα του κύκλου.

    Ας εξαγάγουμε την εξίσωση ενός κύκλου. Έστω το σημείο ένα αυθαίρετο σημείο σε έναν κύκλο ακτίνας . Ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του οποίου η αρχή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου . Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο έχει συντεταγμένες
    . Εξ ορισμού κύκλου
    . Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
    , παίρνουμε
    , ή

    . (1.27)

    Έκφραση (1.27) ονομάζεται η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο
    και ακτίνα .

    Ας δείξουμε ότι κάθε σημείο του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1.27) ανήκει σε κύκλο με κέντρο το σημείο
    και ακτίνα .

    Αφήστε τις συντεταγμένες του σημείου
    ικανοποιεί την εξίσωση (1.27). Τότε, δηλ.
    είναι ένα σημείο στον κύκλο.

    Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο μετατροπής των ορθογώνιων συντεταγμένων ενός σημείου με παράλληλη μετάφραση των αξόνων, λαμβάνουμε την εξίσωση ενός κύκλου με το κέντρο στο σημείο
    και ακτίνα :

    Παράδειγμα 13.Γράψτε μια εξίσωση για έναν κύκλο που διέρχεται από την αρχή, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην ίδια απόσταση από παράλληλες ευθείες
    Και
    .

    Λύση.Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για έναν κύκλο της φόρμας, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες
    το κέντρο του
    και ακτίνα . Ο επιθυμητός κύκλος αγγίζει τις γραμμές
    Και
    , άρα η ακτίνα ίση με τη μισή απόσταση ανάμεσα σε αυτές τις γραμμές. Η απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών είναι ίση με την απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο μιας ευθείας σε μια άλλη ευθεία. Στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση
    , πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο
    , Επειτα
    . Σύμφωνα με τον τύπο (1.15) έχουμε:
    . Ετσι,
    . Το κέντρο του κύκλου απέχει από τις δεδομένες ευθείες, άρα οι συντεταγμένες
    το κέντρο του
    πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα
    , δηλ.
    . Είναι γνωστό ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή, επομένως. Αποκτήσαμε ένα σύστημα εξισώσεων για τις συντεταγμένες του κέντρου
    κύκλους:
    . Οι αποφάσεις της θα είναι
    . Έτσι, υπάρχουν δύο εξισώσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος:
    .

    1.12. Ελλειψη

    Ορισμός. Ελλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

    Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας x να διέρχεται από τις εστίες Και , και την προέλευση
    συνέπεσε με τη μέση του τμήματος
    . Ας υποδηλώσουμε
    ,
    ,
    , Οπου ,- εστιακές ακτίνες (αποστάσεις από το σημείο έως τις εστίες) του σημείου έλλειψης. Μετά τα κόλπα Και έχουν συντεταγμένες
    ,
    .

    Αφήνω
    - αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Εχουμε:
    ,
    . Από τον ορισμό της έλλειψης

    , (1.29)

    ή - την απαιτούμενη εξίσωση της έλλειψης, η οποία είναι άβολη στη χρήση. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι .Εφόσον
    , τότε μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και μετά από ισοδύναμους μετασχηματισμούς παίρνουμε:
    . Ως εκ τούτου,. Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή
    . Εχουμε:
    . Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι

    . (1.30)

    Η εξίσωση (1.30) ονομάζεται κανονική (απλότερη) εξίσωση της έλλειψης. Αυτή η εξίσωση είναι μια εξίσωση δεύτερης τάξης. Έτσι, οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης ικανοποιεί την εξίσωση (1.29) ικανοποιεί και την εξίσωση (1.30). Ας αποδείξουμε ότι όλα τα σημεία του επιπέδου των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1.30) είναι σημεία έλλειψης, δηλαδή οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση (1.29).

    Για εστιακή ακτίνα η σχέση ισχύει
    . Από την εξίσωση (1.30) έχουμε:
    . Να γιατί
    , ή
    . Ομοίως το βρίσκουμε
    . Ως εκ τούτου,
    .

    Η έλλειψη είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, αφού περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις Και , και σε σχέση με την προέλευση. Οι άξονες συμμετρίας μιας έλλειψης ονομάζονται άξονες της και το κέντρο συμμετρίας είναι το κέντρο της έλλειψης.

    Η έλλειψη τέμνει τους άξονες συντεταγμένων σε σημεία
    ,
    ,
    ,
    . Αυτά τα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Στο
    η έλλειψη εκφυλίζεται σε κύκλο με ακτίνα και κέντρο στην αρχή. Οι κορυφές της έλλειψης περιορίζουν τμήματα μήκους στους άξονες
    Και
    , και
    (αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι
    ).

    Ποσότητες Και ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, οι άξονες της έλλειψης είναι ο κύριος και ο δευτερεύων άξονας, αντίστοιχα.

    Ορισμός. Έκλειψη εκκεντρικότητα ονομάζεται σχέση όπου - η μισή απόσταση μεταξύ των εστιών, - ημικύριος άξονας, δηλ.

    . (1.31)

    Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
    , παίρνουμε
    . Επειδή

    , Οτι
    . Αν
    , δηλαδή η έλλειψη πλησιάζει έναν κύκλο, τότε
    . Αν
    , ΕΝΑ δεν τείνει στο μηδέν, τότε η έλλειψη επιμηκύνεται κατά μήκος του κύριου άξονα. Έτσι, η εκκεντρότητα μιας έλλειψης χαρακτηρίζει το μέτρο της επιμήκυνσής της κατά μήκος του κύριου άξονα.

    Αν οι εστίες της έλλειψης
    Και
    που βρίσκεται στον άξονα τεταγμένων, τότε σε αυτήν την περίπτωση
    και το μεγάλο είναι ο άξονας του άξονα . Η εξίσωση έλλειψης έχει επίσης τη μορφή (1.30), αλλά
    , και η εκκεντρότητά του υπολογίζεται από τον τύπο
    .

    Παράδειγμα 14.Γράψτε μια εξίσωση για μια έλλειψη της οποίας οι εστίες βρίσκονται στον άξονα x συμμετρικά σε σχέση με την αρχή, γνωρίζοντας ότι η απόσταση μεταξύ των εστιών της
    και εκκεντρικότητα
    .

    Λύση.Η μισή απόσταση μεταξύ των εστιών
    . Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα x, άρα ο ημικύριος άξονας είναι . Από το (1.31) προκύπτει ότι
    . Επειτα. Έτσι, η εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή
    .

    Παράδειγμα 15.Δίνεται έλλειψη
    . Βρείτε τους ημιάξονες, τις εστίες, την εκκεντρικότητά του.

    Λύση.Ας μειώσουμε την εξίσωση της έλλειψης σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 45, παίρνουμε
    . Έτσι, ο ημιάξονάς του
    ,
    . Ο ημικύριος άξονας είναι ο ημιάξονας , επομένως οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα των τεταγμένων και

    , επομένως, οι εστίες βρίσκονται στα σημεία
    Και
    . Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι ίση με τον λόγο του μισού της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον ημικύριο άξονα, δηλ.
    .

    Παράδειγμα 16.Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τετράπλευρου
    , δύο κορυφές Και που βρίσκονται στις εστίες της έλλειψης
    , άλλα δύο Και
    συμπίπτουν με τα άκρα του δευτερεύοντος άξονά του.

    Λύση.Η κανονική εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή
    , Να γιατί
    ,
    . Επομένως, οι κορυφές του τετράπλευρου Και
    έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες
    Και
    . Ας βρούμε τις συντεταγμένες των κορυφών Και . Επειδή
    , Οτι
    ,
    . Το τετράπλευρο που προκύπτει είναι συμμετρικό ως προς τους άξονες συντεταγμένων και ως προς την αρχή των συντεταγμένων , ως εκ τούτου,

    .

    Διάλεξη: Κύκλος και Κύκλος

    Κύκλοςείναι μια κλειστή καμπύλη, της οποίας όλα τα σημεία βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο.


    ΣΕ Καθημερινή ζωήΈχετε δει έναν κύκλο περισσότερες από μία φορές. Αυτό ακριβώς περιγράφει η ώρα και το δεύτερο χέρι, και είναι το σχήμα ενός κύκλου που έχει ένα στεφάνι γυμναστικής.


    Τώρα φανταστείτε ότι σχεδιάσατε έναν κύκλο σε ένα κομμάτι χαρτί και θέλετε να το χρωματίσετε.


    Έτσι, όλος ο διακοσμημένος χώρος, που περιορίζεται από έναν κύκλο, είναι ένας κύκλος.


    Τόσο ο κύκλος όσο και ο κύκλος έχουν ορισμένες παραμέτρους:

      Το κέντρο είναι το σημείο που απέχει από όλα τα σημεία του κύκλου. Το κέντρο ενός κύκλου και ενός κύκλου ορίζεται με το γράμμα Ο.

      Ακτίνα είναι η απόσταση από το κέντρο στον κύκλο (R).

      Η διάμετρος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο και συνδέει όλα τα σημεία του κύκλου (d). Επιπλέον, η διάμετρος είναι ίση με δύο ακτίνες: d = 2R.

      Μια χορδή είναι ένα τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία σε έναν κύκλο. Η διάμετρος είναι μια ειδική περίπτωση συγχορδίας.

    Για να βρείτε την περιφέρεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

    μεγάλο=2 πR

    Λάβετε υπόψη ότι η περιφέρεια και το εμβαδόν εξαρτώνται μόνο από την ακτίνα του κύκλου.

    Το εμβαδόν ενός κύκλου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

    μικρό=πR 2 .

    Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στον αριθμό "Pi". Αυτή η τιμή βρέθηκε χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Για να γίνει αυτό, το μήκος του χωρίστηκε σε δύο ακτίνες και έτσι προέκυψε ο αριθμός "Pi".


    Εάν ένας κύκλος χωρίζεται σε μερικά μέρη με δύο ακτίνες, τότε τέτοια μέρη θα ονομάζονται τομείς. Κάθε τομέας έχει το δικό του μέτρο βαθμού - το μέτρο βαθμών του τόξου στο οποίο στηρίζεται.


    Για να βρείτε το μήκος του τόξου, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:


    1. Χρησιμοποιώντας τη μέτρηση βαθμού:

    2. Χρησιμοποιώντας το μέτρο ακτίνων:

    Εάν η κορυφή μιας ορισμένης γωνίας στηρίζεται στο κέντρο του κύκλου και οι ακτίνες της τέμνουν τον κύκλο, τότε μια τέτοια γωνία ονομάζεται κεντρική.


    Αν κάποιες συγχορδίες τέμνονται σε κάποιο σημείο, τότε τα τμήματα τους είναι ανάλογα:


    Αυτό το άρθρο περιέχει το ελάχιστο σύνολο πληροφοριών κύκλου που απαιτούνται για την επιτυχία περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασημαθηματικά.

    Περιφέρεια είναι ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται στην ίδια απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο του κύκλου.

    Για οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στον κύκλο, η ισότητα ικανοποιείται (Το μήκος του τμήματος είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

    Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεται χορδή.

    Μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου ονομάζεται διάμετρος κύκλος() .

    Περιφέρεια:

    Εμβαδόν κύκλου:

    Τόξο κύκλου:

    Το τμήμα ενός κύκλου που περικλείεται μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται τόξο κύκλους. Δύο σημεία σε έναν κύκλο ορίζουν δύο τόξα. Η συγχορδία υποτάσσει δύο τόξα: και . Οι ίσες συγχορδίες υποτάσσουν ίσα τόξα.

    Η γωνία μεταξύ δύο ακτίνων ονομάζεται επίκεντρη γωνία :

    Για να βρούμε το μήκος του τόξου, κάνουμε μια αναλογία:

    α) η γωνία δίνεται σε μοίρες:

    β) η γωνία δίνεται σε ακτίνια:

    Διάμετρος κάθετη στη χορδή , διαιρεί αυτή τη χορδή και τα τόξα που υποτάσσει στη μέση:

    Αν συγχορδίες Και κύκλοι τέμνονται σε ένα σημείο , τότε τα γινόμενα των τμημάτων χορδής στα οποία χωρίζονται με ένα σημείο είναι ίσα μεταξύ τους:

    Εφαπτομένη σε κύκλο.

    Μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένη γραμμήστον κύκλο. Μια ευθεία γραμμή με δύο κύκλους κοινά σημείαπου ονομάζεται διατέμνων

    Μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης.

    Αν δύο εφαπτομένες σχεδιάζονται από ένα δεδομένο σημείο σε έναν κύκλο, τότε τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τουςκαι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας με την κορυφή σε αυτό το σημείο:


    Αν μια εφαπτομένη και μια τομή σχεδιάζονται από ένα δεδομένο σημείο σε έναν κύκλο, τότε το τετράγωνο του μήκους ενός εφαπτόμενου τμήματος είναι ίσο με το γινόμενο ολόκληρου του τέμματος και του εξωτερικού του τμήματος :

    Συνέπεια: το γινόμενο ολόκληρου του τμήματος ενός τμήματος και του εξωτερικού του τμήματος είναι ίσο με το γινόμενο ολόκληρου του τμήματος ενός άλλου τμήματος και του εξωτερικού του μέρους:


    Γωνίες σε κύκλο.

    Το μέτρο μοίρας της κεντρικής γωνίας είναι μέτρο βαθμούτόξο στο οποίο στηρίζεται:

    Μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε κύκλο και της οποίας οι πλευρές περιέχουν χορδές ονομάζεται εγγεγραμένη γωνία . Μια εγγεγραμμένη γωνία μετριέται με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται:

    ∠∠

    Η εγγεγραμμένη γωνία που υποβάλλεται από τη διάμετρο είναι ορθή:

    ∠∠∠

    Οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτείνονται από ένα τόξο είναι ίσες :

    Οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτάσσονται σε μια χορδή είναι ίσες ή το άθροισμά τους είναι ίσο

    ∠∠

    Κορυφές τριγώνων με δεδομένη βάση και ίσες γωνίεςστην κορυφή βρίσκονται στον ίδιο κύκλο:


    Γωνία μεταξύ δύο συγχορδιών (μια γωνία με μια κορυφή μέσα σε έναν κύκλο) είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των γωνιακών τιμών των τόξων ενός κύκλου που περιέχονται μέσα σε μια δεδομένη γωνία και μέσα σε μια κατακόρυφη γωνία.

    ∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

    Γωνία μεταξύ δύο τμημάτων (μια γωνία με κορυφή έξω από τον κύκλο) είναι ίση με τη μισή διαφορά των γωνιακών τιμών των τόξων του κύκλου που περιέχονται μέσα στη γωνία.


    ∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

    Εγγεγραμμένος κύκλος.

    Ο κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένο σε πολύγωνο , αν αγγίζει τα πλαϊνά του. Κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του πολυγώνου.

    Δεν χωράει κάθε πολύγωνο κύκλο.

    Εμβαδόν ενός πολυγώνου στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

    εδώ είναι η ημιπερίμετρος του πολυγώνου και είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

    Από εδώ εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου ισοδυναμεί

    Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα κυρτό τετράπλευρο, τότε τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσα . Αντίστροφα: εάν σε ένα κυρτό τετράπλευρο τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσα, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στο τετράπλευρο:

    Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε οποιοδήποτε τρίγωνο και μόνο ένα. Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των διχοτόμων των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου.


    Εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου ίσο με . Εδώ

    Περιγεγραμμένος κύκλος.

    Ο κύκλος ονομάζεται περιγράφεται για ένα πολύγωνο , αν διέρχεται από όλες τις κορυφές του πολυγώνου. Το κέντρο του κυκλικού κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής κάθετες διχοτόμοιπλευρές του πολυγώνου. Η ακτίνα υπολογίζεται ως η ακτίνα του κύκλου που περικλείεται από το τρίγωνο που ορίζεται από οποιεσδήποτε τρεις κορυφές του δεδομένου πολυγώνου:

    Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι ίσο με .

    Γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο, και μόνο ένα. Το κέντρο του βρίσκεται στο σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων των πλευρών του τριγώνου:

    Circumradiusυπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

    Πού είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου και είναι το εμβαδόν του.

    Το θεώρημα του Πτολεμαίου

    Σε ένα κυκλικό τετράπλευρο, το γινόμενο των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών του:

    Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τον ορισμό με μεγάλη λεπτομέρεια. κύκλος αριθμών, μάθετε την κύρια ιδιότητά του και τακτοποιήστε τους αριθμούς 1,2,3 κ.λπ. Σχετικά με τον τρόπο επισήμανσης άλλων αριθμών στον κύκλο (για παράδειγμα, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) καταλαβαίνει .

    Αριθμητικός κύκλος ονομάζεται κύκλος μοναδιαίας ακτίνας του οποίου τα σημεία αντιστοιχούν , τακτοποιημένα σύμφωνα με ακολουθώντας τους κανόνες:

    1) Η αρχή βρίσκεται στο άκρο δεξιά σημείο του κύκλου.

    2) Αριστερόστροφα - θετική κατεύθυνση. δεξιόστροφα – αρνητικό.

    3) Αν σχεδιάσουμε την απόσταση \(t\) στον κύκλο στη θετική κατεύθυνση, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο με την τιμή \(t\);

    4) Αν σχεδιάσουμε την απόσταση \(t\) στον κύκλο κατά την αρνητική κατεύθυνση, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο με την τιμή \(–t\).

    Γιατί ο κύκλος ονομάζεται κύκλος αριθμών;
    Γιατί έχει αριθμούς πάνω του. Με αυτόν τον τρόπο, ο κύκλος είναι παρόμοιος με τον αριθμητικό άξονα - στον κύκλο, όπως και στον άξονα, υπάρχει ένα συγκεκριμένο σημείο για κάθε αριθμό.


    Γιατί να ξέρετε τι είναι ένας αριθμητικός κύκλος;
    Χρησιμοποιώντας τον κύκλο αριθμών, προσδιορίζονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων. Επομένως, για να γνωρίζετε τριγωνομετρία και να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 60+ βαθμούς, πρέπει να καταλάβετε τι είναι ένας κύκλος αριθμών και πώς να τοποθετήσετε τελείες σε αυτόν.


    Τι σημαίνουν στον ορισμό οι λέξεις "...της ακτίνας μονάδας...";
    Αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με \(1\). Και αν κατασκευάσουμε έναν τέτοιο κύκλο με το κέντρο στην αρχή, τότε θα τέμνεται με τους άξονες στα σημεία \(1\) και \(-1\).



    Δεν χρειάζεται να σχεδιάζεται μικρό, μπορείτε να αλλάξετε το "μέγεθος" των τμημάτων κατά μήκος των αξόνων, τότε η εικόνα θα είναι μεγαλύτερη (δείτε παρακάτω).

    Γιατί η ακτίνα είναι ακριβώς μία; Αυτό είναι πιο βολικό, γιατί σε αυτή την περίπτωση, κατά τον υπολογισμό της περιφέρειας χρησιμοποιώντας τον τύπο \(l=2πR\), παίρνουμε:

    Το μήκος του κύκλου των αριθμών είναι \(2π\) ή περίπου \(6,28\).


    Τι σημαίνει «...τα σημεία των οποίων αντιστοιχούν σε πραγματικούς αριθμούς»;
    Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον αριθμητικό κύκλο για οποιοδήποτε πραγματικός αριθμόςσίγουρα θα υπάρχει η "θέση" του - ένα σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό.


    Γιατί να προσδιορίσετε την αρχή και την κατεύθυνση στον κύκλο αριθμών;
    ο κύριος στόχοςκύκλος αριθμών - κάθε αριθμός καθορίζει μοναδικά το σημείο του. Αλλά πώς μπορείτε να προσδιορίσετε πού να βάλετε το νόημα εάν δεν ξέρετε από πού να μετρήσετε και πού να μετακινηθείτε;

    Εδώ είναι σημαντικό να μην συγχέουμε την αρχή στη γραμμή συντεταγμένων και στον κύκλο αριθμών - αυτά είναι δύο διαφορετικά συστήματααντίστροφη μέτρηση! Και επίσης μην συγχέετε το \(1\) στον άξονα \(x\) και το \(0\) στον κύκλο - αυτά είναι σημεία σε διαφορετικά αντικείμενα.

    Ποια σημεία αντιστοιχούν στους αριθμούς \(1\), \(2\) κ.λπ.;

    Θυμάστε, υποθέσαμε ότι ο αριθμητικός κύκλος έχει ακτίνα \(1\); Αυτό θα είναι το μοναδιαίο μας τμήμα (κατ' αναλογία με τον αριθμητικό άξονα), το οποίο θα σχεδιάσουμε στον κύκλο.

    Για να επισημάνετε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί στον αριθμό 1, πρέπει να πάτε από το 0 σε μια απόσταση ίση με την ακτίνα στη θετική κατεύθυνση.


    Για να σημειώσετε ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό \(2\), πρέπει να διανύσετε μια απόσταση ίση με δύο ακτίνες από την αρχή, έτσι ώστε το \(3\) να είναι μια απόσταση ίση με τρεις ακτίνες κ.λπ.

    Όταν βλέπετε αυτήν την εικόνα, μπορεί να έχετε 2 ερωτήσεις:
    1. Τι συμβαίνει όταν ο κύκλος «τελειώνει» (δηλαδή κάνουμε μια πλήρη επανάσταση);
    Απάντηση: πάμε για δεύτερο γύρο! Και όταν τελειώσει το δεύτερο, θα πάμε στο τρίτο και ούτω καθεξής. Επομένως, ένας άπειρος αριθμός αριθμών μπορεί να σχεδιαστεί σε έναν κύκλο.

    2. Πού θα είναι αρνητικούς αριθμούς?
    Απάντηση: εκεί! Μπορούν επίσης να τακτοποιηθούν, μετρώντας από το μηδέν τον απαιτούμενο αριθμό ακτίνων, αλλά τώρα σε αρνητική κατεύθυνση.

    Δυστυχώς, είναι δύσκολο να υποδηλωθούν ακέραιοι αριθμοί στον κύκλο αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το μήκος του κύκλου των αριθμών δεν θα είναι ίσο με έναν ακέραιο: \(2π\). Και στα πιο βολικά σημεία (στα σημεία τομής με τους άξονες) θα υπάρχουν επίσης κλάσματα, όχι ακέραιοι αριθμοί