Αντιπαράγωγη λειτουργία f(x)ανάμεσα (α; β)αυτή η συνάρτηση καλείται F(x), ότι η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε Χαπό ένα δεδομένο διάστημα.

Αν λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι η παράγωγος μιας σταθεράς ΜΕισούται με μηδέν, τότε η ισότητα είναι αληθής. Η συνάρτηση λοιπόν f(x)έχει πολλά πρωτόγονα F(x)+C, για μια αυθαίρετη σταθερά ΜΕ, και αυτά τα αντιπαράγωγα διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια αυθαίρετη σταθερή τιμή.

Ορισμός αόριστο ολοκλήρωμα.

Ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων συναρτήσεων f(x)ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται .

Η έκφραση ονομάζεται ολοκληρωτέου, ΕΝΑ f(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης. Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το διαφορικό της συνάρτησης f(x).

Η ενέργεια εύρεσης μιας άγνωστης συνάρτησης με δεδομένο το διαφορικό της ονομάζεται αβέβαιοςολοκλήρωση, επειδή το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι περισσότερες από μία συναρτήσεις F(x), και το σύνολο των πρωτόγονων του F(x)+C.

Γεωμετρική σημασία του αορίστου ολοκληρώματος. Η γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου D(x) ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα γραφήματα όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης αντιπροσωπεύουν μια οικογένεια καμπυλών που εξαρτώνται από την τιμή της σταθεράς C και λαμβάνονται μεταξύ τους με παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος του άξονα 0y. Για το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, έχουμε:

J 2 x^x = x2 + C.

Η οικογένεια των αντιπαραγώγων (x + C) ερμηνεύεται γεωμετρικά από ένα σύνολο παραβολών.

Εάν πρέπει να βρείτε ένα από μια οικογένεια αντιπαραγώγων, τότε ορίζονται πρόσθετες συνθήκες που σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε τη σταθερά C. Συνήθως, για το σκοπό αυτό, ορίζονται αρχικές συνθήκες: όταν το όρισμα x = x0, η συνάρτηση έχει την τιμή D (x0) = y0.

Παράδειγμα. Απαιτείται να βρεθεί ότι μία από τις αντιπαράγωγες της συνάρτησης y = 2 x που παίρνει την τιμή 3 στο x0 = 1.

Το απαιτούμενο αντιπαράγωγο: D(x) = x2 + 2.

Λύση. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με τη συνάρτηση ολοκληρώματος:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με την έκφραση του ολοκληρώματος:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της ίδιας της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων:

6. Η ιδιοκτησία είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων 4 και 5:

7. Αμετάβλητη ιδιότητα του αορίστου ολοκληρώματος:

Αν , Οτι

8. Ιδιότητα:

Αν , Οτι

Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης με τη χρήση της μεθόδου μεταβλητής αλλαγής, η οποία αναλύεται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3. Μέθοδος ολοκλήρωσηςστο οποίο ένα δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα ή περισσότερα ολοκληρώματα πίνακα μέσω πανομοιότυπων μετασχηματισμών του ολοκληρώματος (ή έκφρασης) και την εφαρμογή των ιδιοτήτων του αόριστου ολοκληρώματος, λέγεται άμεση ενσωμάτωση. Όταν ανάγεται αυτό το ολοκλήρωμα σε πίνακα, χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθοι διαφορικοί μετασχηματισμοί (λειτουργία " προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημο»):

Καθόλου, f’(u)du = d(f(u)).Αυτός (ο τύπος χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων.

Βρείτε το ολοκλήρωμα

Λύση.Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος και ας μειώσουμε αυτό το ολοκλήρωμα σε αρκετές πινακοποιημένες.

4. Ενσωμάτωση με μέθοδο αντικατάστασης.

Η ουσία της μεθόδου είναι ότι εισάγουμε μια νέα μεταβλητή, εκφράζουμε το ολοκλήρωμα μέσω αυτής της μεταβλητής και ως αποτέλεσμα φτάνουμε σε μια πινακοποιημένη (ή απλούστερη) μορφή του ολοκληρώματος.

Πολύ συχνά η μέθοδος αντικατάστασης έρχεται στη διάσωση όταν ενσωματώνονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις και συναρτήσεις με ρίζες.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα .

Λύση.

Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητή. Ας εκφραστούμε Χδιά μέσου z:

Αντικαθιστούμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στο αρχικό ολοκλήρωμα:

Από τον πίνακα των αντιπαραγώγων έχουμε .

Απομένει να επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή Χ:

Απάντηση:

Στόχος:

Γνωρίστε τον ορισμό ενός αντιπαραγώγου, την κύρια ιδιότητα ενός αντιπαραγώγου, τους κανόνες για την εύρεση ενός αντιπαραγώγου.
Να είναι σε θέση να βρει τη γενική μορφή του αντιπαραγώγου.
Αναπτύξτε δεξιότητες αυτοελέγχου και ενδιαφέρον για το θέμα.
Καλλιεργήστε τη θέληση και την επιμονή για να επιτύχετε τελικά αποτελέσματα κατά την ολοκλήρωση των εργασιών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

ΕΓΩ. Οργάνωση χρόνου.

II. Έλεγχος αφομοίωσης του μελετημένου υλικού.

1. Έρευνα με χρήση καρτών:

Α) Να διατυπώσετε τον ορισμό ενός αντιπαραγώγου;
Β) Να διατυπώσετε ένα σημάδι σταθερότητας συνάρτησης;
Ε) Να διατυπώσετε την κύρια ιδιότητα των αντιπαραγώγων;
Δ) Συνεχίστε τη φράση "Η διαφοροποίηση είναι ...."
Δ) Η ένταξη είναι…..
Ε) Οι γραφικές παραστάσεις οποιωνδήποτε δύο αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f λαμβάνονται μεταξύ τους…….
Ζ) Τι είναι αυτό;...

2. Βρείτε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση:

Α) f(x) = 1
Β) g(x) = x +1
Β) f (x) = cos (3x + 4)
Δ) g (x) = 2 cosx + 4
Δ) g (x) = sin x + cos x
Ε) F (x) = (x + 1)³

3. Μεταξύ καθορισμένες λειτουργίεςεπιλέξτε μια αντιπαράγωγο για τις συναρτήσεις y = - 7x ³

III. Ομαδική δουλειά

1η ομάδα - παίζει πασιέντζα. Στα τραπέζια υπάρχουν κομμένες κάρτες. Φτιάξτε όλους τους τύπους που γνωρίζετε. Πόσες φορές στάθηκες τυχερός;

2η και 3η ομάδα - εργασία με λότο. Καταγράψτε τη λέξη-κλειδί που προκύπτει.

		f (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(λέξη κλειδί – αντιπαράγωγο)

4η ομάδα – δουλεύει με σταυρόλεξο.

Σταυρόλεξο.

Ερωτήσεις:

2. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ax + b.

4. Ποιο μάθημα γίνεται συνήθως πριν από το τεστ.

5. Συνώνυμο της λέξης ντουζίνα.

6. Είναι σε κάθε λέξη, σε εξισώσεις και μπορεί να είναι σε εξισώσεις.

7. Τι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο α β.

8. Μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στα μαθηματικά.

9. Έντυπο του μαθήματος στο οποίο πραγματοποιείται το τεστ γνώσεων.

10. Γερμανός επιστήμονας που εισήγαγε τον ολοκληρωτικό λογισμό.

11. Το σύνολο των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x; y), όπου το x διατρέχει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

12. Οι αντιστοιχίες μεταξύ των συνόλων X και Y, στα οποία κάθε τιμή του συνόλου X συνδέεται με μία μόνο τιμή από το σύνολο Y, λέγονται...

Όταν λύνετε σωστά το σταυρόλεξο κάτω από τον αριθμό 1 κάθετα, διαβάστε τη λέξη-κλειδί.

IV. Ανάλυση της εργασίας Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης για αυτό το θέμα από προηγούμενα χρόνια.

Δείξτε την αντιπαράγωγο F της συνάρτησης f(x) = 3sin x αν είναι γνωστό ότι F(П) = 1.

V. Ανεξάρτητη εργασία.

Ομάδες 1 και 2 – εκτελέστε τη δοκιμή.

Μέρος Α

Α'1. Από αυτές τις συναρτήσεις, επιλέξτε αυτή της οποίας η παράγωγος είναι f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

Α2. Να βρείτε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.Για τη συνάρτηση f(x) =8x – 3, να βρείτε την αντιπαράγωγο της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

Α4. Να βρείτε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

Α5. Η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) = sin x + 3x2 είναι η συνάρτηση

1) F(x) = sin x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

Α6. Η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) = 3sin x είναι η συνάρτηση

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

Α7. Η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) = cos 2x είναι η συνάρτηση

1) F(x) = 0,5sin 2x
2) F(x) = 0,5sin x
3) F(x) = 2 αμαρτία 2x
4) F(x) = 2sin x

Α8. Αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x) = 2 sinx cosx για τη συνάρτηση

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 sin x

Α9. Για τη συνάρτηση f(x) = 6/cos23x + 1, βρείτε μια αντιπαράγωγο της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο M (P/3, P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Μέρος Β

ΣΕ 1. Η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος της συνάρτησης f(x) = x5 – 3x2 – 2. Βρείτε την F(1) αν F(- 1) = 0.

3η και 4η ομάδα - διορθώστε το λάθος.

α) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
β) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
γ) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
δ) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
ε) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 στο (0 ; +)
ζ) Για τη συνάρτηση f(x) = 10 sin 2x, βρείτε την αντιπαράγωγο της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο M (-3/2P; 0)

VI. Περίληψη μαθήματος.

Δ/Ζ. Νο 348, ατομική εργασία: Πραγματοποίηση παρουσίασης για το θέμα.

Περίληψη μαθήματος άλγεβρας και βασικής ανάλυσης για μαθητές της 11ης τάξης Εκπαιδευτικά ιδρύματα

Με θέμα: «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων»

Σκοπός του μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: εισαγάγετε κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων χρησιμοποιώντας τις τιμές του πίνακα τους και χρησιμοποιήστε τους κατά την επίλυση προβλημάτων.

Καθήκοντα:

εισαγάγετε τον ορισμό της λειτουργίας ολοκλήρωσης·

εισάγουν τους μαθητές στον πίνακα των αντιπαραγώγων.

εισάγει τους μαθητές στους κανόνες ένταξης·

διδάξτε τους μαθητές να χρησιμοποιούν τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες ολοκλήρωσης κατά την επίλυση προβλημάτων.

Αναπτυξιακή: συμβάλλουν στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να αναλύουν, να συγκρίνουν δεδομένα και να εξάγουν συμπεράσματα.

Εκπαιδευτικός: συμβάλλουν στη συγκρότηση συλλογικών και ανεξάρτητη εργασία, να αναπτύξουν την ικανότητα να εκτελούν με ακρίβεια και ικανότητα μαθηματικούς σημειώσεις.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: επαγωγικός-αναπαραγωγικός, απαγωγικός-αναπαραγωγικός

tive.

Τύπος μαθήματος: κατακτώντας νέες γνώσεις.

Απαιτήσεις για το ZUN:

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν:

- ορισμός της πράξης ολοκλήρωσης·

Πίνακας αντιπαραγώγων;

οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση:

Εφαρμόστε τον πίνακα των αντιπαραγώγων κατά την επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων στα οποία είναι απαραίτητο να βρεθούν αντιπαράγωγα.

Εξοπλισμός: υπολογιστής, οθόνη, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση.

Βιβλιογραφία:

1. Α.Γ. Mordkovich et al. «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Βιβλίο προβλημάτων για τις τάξεις 10-11" Μ.: Μνημοσύνη, 2001.

2. Σ.Α. Alimov «Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. 10-11 τάξη. Σχολικό βιβλίο» Μ.: Εκπαίδευση, 2004. - 384 σελ.

3. Μέθοδοι και τεχνολογία διδασκαλίας των μαθηματικών. Μ.: Bustard, 2005. – 416 σελ.

Δομή μαθήματος:

Εγώ. Οργανωτική στιγμή (2 λεπτά)

II. Ενημέρωση γνώσεων (7 λεπτά)

III. Εκμάθηση νέου υλικού (15 λεπτά)

VI. Ενίσχυση διδαγμένου υλικού (17 λεπτά)

V. Σύνοψη και D/Z (4 λεπτά)

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εγώ . Οργάνωση χρόνου

Χαιρετισμός μαθητών, έλεγχος απουσιών και ετοιμότητας της αίθουσας για το μάθημα.

II . Ενημέρωση γνώσεων

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

Ημερομηνία της.

Εργασία στην τάξη

Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων.

Δάσκαλος: Το θέμα του σημερινού μαθήματος: «Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων» (διαφάνεια 1). Πριν όμως αρχίσουμε να μελετάμε νέο θέμαΑς θυμηθούμε το υλικό που καλύφθηκε.

Δύο μαθητές καλούνται στον πίνακα, ο καθένας έχει μια ατομική εργασία (αν ο μαθητής ολοκλήρωσε την εργασία χωρίς σφάλματα, λαμβάνει βαθμό "5").

Κάρτες εργασιών

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 στο σημείο Χ =3.

№ 2

2) Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησηςφά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5 στο σημείο Χ =1.

Λύση

Κάρτα Νο 1

1) Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησηςy = 6x – 2x 3 .

; Ας είναι, λοιπόν, σίγουρα. Χ 1 Και Χ 2 στάσιμα σημεία?

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τρία διαστήματα. Σε αυτά τα διαστήματα όπου η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική, η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται και όπου είναι αρνητική, μειώνεται.

- + -

στο -1 1

Ως εκ τούτου στομειώνεται σε Χ (- ;-1) (1; ) και αυξάνεται μεΧ (-1;1).

2) φά ( Χ )=3 Χ 2 +4 Χ –1 ; ; .

Κάρτα Νο 2

1) Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης .

1. Ας βρούμε ακίνητα σημεία, για αυτό θα βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης, μετά θα την εξισώσουμε με το μηδέν και θα λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει, οι ρίζες της οποίας θα είναι τα ακίνητα σημεία.

; Ας , λοιπόν, λοιπόν, , και .

2. Τα ακίνητα σημεία χωρίζουν τη γραμμή συντεταγμένων σε τέσσερα διαστήματα. Τα σημεία εκείνα μέσω των οποίων η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο είναι ακραία σημεία.

+ - - +

στο -3 0 3

Που σημαίνει - ακραία σημεία και είναι το μέγιστο σημείο, και - ελάχιστος βαθμός.

2) φά ( Χ )=5 Χ 2 +5 Χ – 5; ; .

Ενώ οι μαθητές που καλούνται στον πίνακα λύνουν παραδείγματα, στην υπόλοιπη τάξη τίθενται θεωρητικές ερωτήσεις. Κατά τη διαδικασία της ερώτησης, ο δάσκαλος παρακολουθεί εάν οι μαθητές ολοκλήρωσαν την εργασία ή όχι.

Δάσκαλος: Ας απαντήσουμε λοιπόν σε μερικές ερωτήσεις. Ας θυμηθούμε ποια συνάρτηση ονομάζεται αντιπαράγωγο; (διαφάνεια 2)

Μαθητης σχολειου: Λειτουργία φά ( Χ ) που ονομάζεται αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ ) σε κάποιο διάστημα, αν για όλαΧ από αυτό το κενό .

(διαφάνεια 2).

Δάσκαλος: Σωστά. Πώς ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης; (διαφάνεια 3)

Μαθητης σχολειου: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 3).

Δάσκαλος: Πώς να δείξετε ότι μια συνάρτησηφά ( Χ ) είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ ) ? (διαφάνεια 4).

Μαθητης σχολειου: Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησηςφά ( Χ ) .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 4).

Δάσκαλος: Πρόστιμο. Τότε πείτε μου αν η συνάρτηση είναιφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά ( Χ )=6x+10? (διαφάνεια 5)

Μαθητης σχολειου: Οχι επειδή παράγωγο συνάρτησηςφά ( Χ )=3 Χ 2 +11 Χ ίσο με 6x+11, αλλά όχι 6x+10 .

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 5).

Δάσκαλος: Πόσα αντιπαράγωγα μπορούν να βρεθούν για μια συγκεκριμένη συνάρτηση;φά ( Χ ) ? Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (διαφάνεια 6)

Μαθητης σχολειου: Άπειρα πολλά, γιατί Πάντα προσθέτουμε μια σταθερά στη συνάρτηση που προκύπτει, η οποία μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Αφού απαντήσει ο μαθητής, η σωστή απάντηση διπλασιάζεται στη διαφάνεια (διαφάνεια 6).

Δάσκαλος: Σωστά. Τώρα ας ελέγξουμε μαζί τις λύσεις των μαθητών που εργάζονται στον πίνακα.

Οι μαθητές ελέγχουν τη λύση μαζί με τον δάσκαλο.

III . Εκμάθηση νέου υλικού

Δάσκαλος: Η αντίστροφη πράξη της εύρεσης του αντιπαραγώγου για μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται ολοκλήρωση (από τη λατινική λέξηintegrare – επαναφορά). Ένας πίνακας αντιπαραγώγων για ορισμένες συναρτήσεις μπορεί να καταρτιστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα παραγώγων. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας αυτό, παίρνουμε , από το οποίο προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, Οπου ντο – αυθαίρετη σταθερά.

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

παίρνουμε,

από όπου προκύπτει ότι όλες οι αντιπαράγωγες συναρτήσεις γράφονται στη μορφή, Οπου ντο – αυθαίρετη σταθερά.

Δάσκαλος: Ανοίξτε τα σχολικά σας βιβλία στη σελίδα 290. Εδώ είναι ένας πίνακας με αντιπαράγωγα. Παρουσιάζεται επίσης στη διαφάνεια. (διαφάνεια 7)

Δάσκαλος: Οι κανόνες ολοκλήρωσης μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης. Ας σκεφτούμε ακολουθώντας τους κανόνεςενσωμάτωση: αςφά ( Χ ) Και σολ ( Χ ) – αντιπαράγωγα συναρτήσεων αντίστοιχαφά ( Χ ) Και σολ ( Χ ) σε κάποιο διάστημα. Επειτα:

1) Λειτουργία ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης. (διαφάνεια 8)

Γράψιμο στον πίνακα (σε σημειωματάρια)

1) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

VI . Ενίσχυση της ύλης που έμαθε

Δάσκαλος: Ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος του μαθήματος. Βρείτε ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησηςΑποφασίζουμε στο διοικητικό συμβούλιο.

Μαθητης σχολειου: Για να βρείτε το αντιπαράγωγο αυτής της συνάρτησης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα ολοκλήρωσης: συνάρτηση είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Σωστά, τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για να βρείτε το αντιπαράγωγο μιας δεδομένης συνάρτησης;

Μαθητης σχολειου: Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον πίνακα των αντιπαραγώγων για συναρτήσεις, στο Π =2 και for είναι η συνάρτηση ;

2) Λειτουργία είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

Δάσκαλος: Ολα είναι σωστά.

Εργασία για το σπίτι

§55, Νο. 988 (2, 4, 6), Νο. 989 (2, 4, 6, 8), Νο. 990 (2, 4, 6), Νο. 991 (2, 4, 6, 8) . (διαφάνεια 9)

Κάνοντας σημάδια.

Δάσκαλος: Το μάθημα τελείωσε. Μπορείς να είσαι ελεύθερος.

Υπάρχουν τρεις βασικοί κανόνες εύρεσης αντιπαράγωγες συναρτήσεις. Μοιάζουν πολύ με τους αντίστοιχους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνας 1

Αν το F είναι αντιπαράγωγο για κάποια συνάρτηση f και το G είναι αντιπαράγωγο για κάποια συνάρτηση g, τότε το F + G θα είναι αντιπαράγωγο για τη f + g.

Εξ ορισμού αντιπαράγωγου, F’ = f. Ζ' = ζ. Και εφόσον πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις, τότε σύμφωνα με τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου για το άθροισμα των συναρτήσεων θα έχουμε:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Κανόνας 2

Αν το F είναι αντιπαράγωγο για κάποια συνάρτηση f, και το k είναι κάποια σταθερά. Τότε το k*F είναι η αντιπαράγωγος της συνάρτησης k*f. Αυτός ο κανόνας προκύπτει από τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Έχουμε: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Κανόνας 3

Αν η F(x) είναι κάποια αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x), και τα k και b είναι μερικές σταθερές, και το k δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε το (1/k)*F*(k*x+b) θα είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f (k*x+b).

Αυτός ο κανόνας προκύπτει από τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς εφαρμόζονται αυτοί οι κανόνες:

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = x^3 +1/x^2. Για τη συνάρτηση x^3 ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση (x^4)/4 και για τη συνάρτηση 1/x^2 ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση -1/x. Χρησιμοποιώντας τον πρώτο κανόνα, έχουμε:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Παράδειγμα 2. Ας βρούμε τη γενική μορφή των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) = 5*cos(x). Για τη συνάρτηση cos(x), ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση sin(x). Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε τον δεύτερο κανόνα, θα έχουμε:

F(x) = 5*sin(x).

Παράδειγμα 3.Βρείτε ένα από τα αντιπαράγωγα για τη συνάρτηση y = sin(3*x-2). Για τη συνάρτηση sin(x) ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση -cos(x). Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε τον τρίτο κανόνα, λαμβάνουμε μια έκφραση για το αντιπαράγωγο:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Παράδειγμα 4. Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x) = 1/(7-3*x)^5

Το αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση 1/x^5 θα είναι η συνάρτηση (-1/(4*x^4)). Τώρα, χρησιμοποιώντας τον τρίτο κανόνα, παίρνουμε.

Η έννοια του αντιπαραγώγου. Πίνακας αντιπαραγώγων. Κανόνες εύρεσης αντιπαραγώγων. MBOU Murmansk gymnasium 3 Shakhova Tatyana Aleksandrovna http://aida.ucoz.ru

Http://aida.ucoz.ru Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και να μπορούμε: -να γνωρίζουμε και να μπορούμε να χρησιμοποιούμε τύπους και κανόνες διαφοροποίησης. - να μπορεί να εκτελεί μετασχηματισμούς αλγεβρικών και τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Τύποι διαφοροποίησης Κανόνες διαφοροποίησης Επιστροφή

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα αν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό 1) Πρόβλημα 1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F Το (x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Ας βρούμε το F"(x) If Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα αν για όλα τα x από αυτό το διάστημα 2)2) Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F( Το x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα αν για όλα τα x σε αυτό το διάστημα 3)3) Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F( Το x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x). Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) είναι μια αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f( x). 4)4) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) είναι μια αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f( x). 5)5) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

Http://aida.ucoz.ru Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F(x) είναι μια αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f( x). 6)6) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης

10 Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιώντας τους τύπους διαφοροποίησης και τον ορισμό μιας αντιπαράγωγης, μπορείτε εύκολα να συντάξετε μια πίνακας αντιπαραγώγων για ορισμένες συναρτήσεις. Βεβαιωθείτε ότι ο πίνακας είναι σωστός. Βρείτε το F"(x).

11 Μια συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για μια συνάρτηση f(x) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν για όλα τα x από αυτό το διάστημα. Χρησιμοποιώντας τους τύπους διαφοροποίησης και τον ορισμό μιας αντιπαράγωγης, μπορείτε εύκολα να συντάξετε έναν πίνακα αντιπαραγώγων για κάποιες λειτουργίες. Πίσω

3) Αν η F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(x), και τα k και b είναι σταθερές και k0, τότε είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση 2) Αν η F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f( x), και το a είναι μια σταθερά, τότε το αF(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση αf(x) http://aida.ucoz.ru Για να βρούμε αντιπαράγωγα, θα χρειαστούμε, εκτός από τον πίνακα, κανόνες για εύρεση αντιπαραγώγων. 1) Εάν το F(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x), και το G(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση g(x), τότε το F(x)+G(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x)+g (x). Το αντιπαράγωγο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να ληφθεί πέρα από το πρόσημο του αντιπαραγώγου.

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση ενός αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. 1) Έλεγχος: Μετασχηματισμός f(x): Πίνακας αντιπαραγώγων Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα. Συντελεστής συνάρτησης πίνακα κανόνων

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση ενός αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. 2)2) Έλεγχος: Μετασχηματισμός f(x): Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 4)4) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα, τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση ενός αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις στον πίνακα. 5)5) Έλεγχος: Μετασχηματισμός f(x): Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Χρησιμοποιούμε τον πίνακα, τον πρώτο και τον δεύτερο κανόνα. Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Συνάρτηση πίνακα Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Συντελεστής

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 6)6) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Το ημίτονο είναι μια συνάρτηση πίνακα. Συνάρτηση πίνακα Επιχείρημα – γραμμική συνάρτηση Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες (k=3).

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 7)7) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Ας μετατρέψουμε το f(x): Γραμμική συνάρτησηΣυντελεστής Χρησιμοποιούμε τον πίνακα, τον πρώτο και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Συνάρτηση πίνακα κανόνων

Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 8)8) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Ας μετασχηματίσουμε f(x): Γραμμική συνάρτηση Συντελεστής Χρησιμοποιούμε τον πρώτο και τον τρίτο κανόνα. Πίνακας αντιπαραγώγων Συνάρτηση πίνακα κανόνων

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 9)9) Έλεγχος: Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις στον πίνακα. Μετασχηματισμός συντελεστή f(x): Χρησιμοποιήστε τον πίνακα και τον δεύτερο κανόνα: Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Συνάρτηση πίνακα

Http://aida.ucoz.ru Πρόβλημα 2. Δίνεται συνάρτηση f(x). Βρείτε το αντιπαράγωγό του χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αντιπαραγώγων και τους κανόνες για την εύρεση του αντιπαραγώγου και ελέγξτε χρησιμοποιώντας τον ορισμό (εργασία 1) 9)9) Τύποι και κανόνες διαφοροποίησης Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση στον πίνακα. Ας μετασχηματίσουμε το f(x), χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη μείωση του βαθμού: Συνάρτηση πίνακα Χρησιμοποιούμε τον πίνακα και τους τρεις κανόνες: Συνάρτηση πίνακα Συντελεστής Πίνακας αντιπαραγώγων Κανόνες Γραμμική συνάρτηση

Http://aida.ucoz.ru Για προπόνηση, χρησιμοποιήστε παρόμοιες ασκήσεις στο βιβλίο προβλημάτων.

Διατυπώστε τρεις κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων. Τρεις κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων. Μελετάμε την έννοια του "ολοκληρωτικού"

2. Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Εργασία για το σπίτι

Κανόνας 1

Κανόνας 2

Κανόνας 3