Κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς τις συντεταγμένες x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
ορίζει ένα επίπεδο και αντίστροφα: οποιοδήποτε επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί από την εξίσωση (3.1), η οποία ονομάζεται επίπεδο εξίσωση.
Διάνυσμα n(Α, Β, Γ) ορθογώνιο στο επίπεδο ονομάζεται κανονικό διάνυσμαεπίπεδο. Στην εξίσωση (3.1), οι συντελεστές A, B, C δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με 0.
Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - το επίπεδο διέρχεται από την αρχή.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα Oz.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - το επίπεδο διέρχεται από τον άξονα Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο Oyz.
Εξισώσεις αεροπλάνα συντεταγμένων: x = 0, y = 0, z = 0.
Μια ευθεία γραμμή στο διάστημα μπορεί να καθοριστεί:
1) ως ευθεία τομής δύο επιπέδων, δηλ. σύστημα εξισώσεων:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) από τα δύο σημεία του M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2), τότε η ευθεία που διέρχεται από αυτά δίνεται από τις εξισώσεις:
= 
; (3.3)
3) το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) που ανήκει σε αυτό και το διάνυσμα ένα(m, n, p), συγγραμμικά με αυτό. Τότε η ευθεία καθορίζεται από τις εξισώσεις:
. (3.4)
Καλούνται οι εξισώσεις (3.4). κανονικές εξισώσεις της γραμμής.
Διάνυσμα έναπου ονομάζεται κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία.
Λαμβάνουμε παραμετρικές εξισώνοντας καθεμία από τις σχέσεις (3.4) με την παράμετρο t:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
Επίλυση του συστήματος (3.2) ως σύστημα γραμμικές εξισώσειςσχετικά άγνωστο ΧΚαι y, φτάνουμε στις εξισώσεις της ευθείας in προβολέςή να δεδομένες εξισώσεις της ευθείας:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
Από τις εξισώσεις (3.6) μπορούμε να πάμε στις κανονικές εξισώσεις, βρίσκοντας zαπό κάθε εξίσωση και εξισώνοντας τις προκύπτουσες τιμές:
.
Από τις γενικές εξισώσεις (3.2) μπορούμε να περάσουμε στις κανονικές με άλλο τρόπο, αν βρούμε οποιοδήποτε σημείο αυτής της ευθείας και της κατευθυντήριας γραμμής της n= [n 1 , n 2 ], όπου n 1 (A 1, B 1, C 1) και n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - κανονικά διανύσματα δεδομένων επιπέδων. Αν ένας από τους παρονομαστές m, nή Rστις εξισώσεις (3.4) αποδεικνύεται ίσος με μηδέν, τότε ο αριθμητής του αντίστοιχου κλάσματος πρέπει να τεθεί ίσος με μηδέν, δηλ. Σύστημα
ισοδυναμεί με το σύστημα 
; μια τέτοια ευθεία είναι κάθετη στον άξονα Ox.
Σύστημα 
είναι ισοδύναμο με το σύστημα x = x 1, y = y 1; η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα Oz.
Παράδειγμα 1.15. Γράψτε μια εξίσωση για το επίπεδο, γνωρίζοντας ότι το σημείο Α(1,-1,3) χρησιμεύει ως βάση μιας κάθετης που σύρεται από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.
Λύση.Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το διάνυσμα ΟΑΤο (1,-1,3) είναι ένα κανονικό διάνυσμα του επιπέδου, τότε η εξίσωσή του μπορεί να γραφτεί ως
x-y+3z+D=0. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Α(1,-1,3), που ανήκει στο αεροπλάνο, ας βρούμε το D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Άρα x-y+3z-11=0.
Παράδειγμα 1.16. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα Oz και σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο 2x+y-z-7=0.
Λύση.Το επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα Oz δίνεται από την εξίσωση Ax+By=0, όπου τα Α και Β δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα. Αφήστε το Β όχι
ισούται με 0, A/Bx+y=0. Χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου για τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων
.
Αποφασίζοντας τετραγωνική εξίσωση 3m 2 + 8m - 3 = 0, βρείτε τις ρίζες του
m 1 = 1/3, m 2 = -3, από όπου παίρνουμε δύο επίπεδα 1/3x+y = 0 και -3x+y = 0.
Παράδειγμα 1.17.Να συνθέσετε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Λύση.Οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή:
Οπου m, n, p- συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας, x 1, y 1, z 1- συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε μια ευθεία. Ως ευθεία ορίζεται η γραμμή τομής δύο επιπέδων. Για να βρείτε ένα σημείο που ανήκει σε μια ευθεία, μια από τις συντεταγμένες είναι σταθερή (ο ευκολότερος τρόπος είναι να ορίσετε, για παράδειγμα, x=0) και το σύστημα που προκύπτει λύνεται ως σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Άρα, έστω x=0, τότε y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, επομένως y=-1, z=1. Βρήκαμε τις συντεταγμένες του σημείου M(x 1, y 1, z 1) που ανήκουν σε αυτή την ευθεία: M (0,-1,1). Το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής είναι εύκολο να βρεθεί, γνωρίζοντας τα κανονικά διανύσματα των αρχικών επιπέδων n 1 (5,1,1) και n 2 (2,3,-2). Επειτα
Οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Παράδειγμα 1.18. Στη δέσμη που ορίζεται από τα επίπεδα 2x-y+5z-3=0 και x+y+2z+1=0, να βρείτε δύο κάθετα επίπεδα, το ένα από τα οποία διέρχεται από το σημείο Μ(1,0,1).
Λύση.Η εξίσωση της δέσμης που ορίζεται από αυτά τα επίπεδα έχει τη μορφή u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, όπου το u και το v δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση δέσμης ως εξής:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Για να επιλέξουμε ένα επίπεδο από τη δέσμη που διέρχεται από το σημείο Μ, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ στην εξίσωση της δέσμης. Παίρνουμε:
(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ή v = - u.
Στη συνέχεια βρίσκουμε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το M αντικαθιστώντας το v = - u στην εξίσωση δέσμης:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Επειδή u ¹0 (αλλιώς v=0, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό της δέσμης), τότε έχουμε την εξίσωση του επιπέδου x-2y+3z-4=0. Το δεύτερο επίπεδο που ανήκει στη δοκό πρέπει να είναι κάθετο σε αυτήν. Ας γράψουμε την συνθήκη για την ορθογωνικότητα των επιπέδων:
(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ή v = - 19/5u.
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση του δεύτερου επιπέδου έχει τη μορφή:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ή 9x +24y + 13z + 34 = 0.
Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο είναι οι εξισώσεις που καθορίζουν τη γραμμή που διέρχεται δεδομένο σημείοσυγγραμμική με το διάνυσμα κατεύθυνσης.
Έστω ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Ένα αυθαίρετο σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλομόνο εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, δηλ. ικανοποιείται η συνθήκη για αυτά:
.
Οι παραπάνω εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας.
Αριθμοί Μ , nΚαι Πείναι προβολές του διανύσματος κατεύθυνσης στους άξονες συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nΚαι Πδεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι ίσο με μηδέν. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να αποδειχθούν μηδενικά. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται η ακόλουθη καταχώρηση:
,
που σημαίνει ότι οι προβολές του διανύσματος στον άξονα OyΚαι Οζείναι ίσα με μηδέν. Επομένως, τόσο το διάνυσμα όσο και η ευθεία που ορίζονται από τις κανονικές εξισώσεις είναι κάθετες στους άξονες OyΚαι Οζ, δηλαδή αεροπλάνα yOz .
Παράδειγμα 1.Να γράψετε εξισώσεις για μια ευθεία στο χώρο κάθετη σε ένα επίπεδο 
και περνώντας από το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ
.
Λύση. Ας βρούμε το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ. Από οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα Οζ, έχει συντεταγμένες, λοιπόν, υποθέτοντας in δεδομένη εξίσωσηεπίπεδο x = y = 0, παίρνουμε 4 z- 8 = 0 ή z= 2. Επομένως, το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζέχει συντεταγμένες (0; 0; 2) . Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό της διάνυσμα. Επομένως, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το κανονικό διάνυσμα 
δεδομένο αεροπλάνο.
Ας γράψουμε τώρα τις απαιτούμενες εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) προς την κατεύθυνση του διανύσματος:
Εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία
Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί από δύο σημεία που βρίσκονται πάνω της 
Και 
Στην περίπτωση αυτή, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το διάνυσμα . Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή
.
Οι παραπάνω εξισώσεις καθορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Παράδειγμα 2.Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία στο χώρο που διέρχεται από τα σημεία και .
Λύση. Ας γράψουμε τις απαιτούμενες εξισώσεις της ευθείας με τη μορφή που δίνεται παραπάνω στη θεωρητική αναφορά:
.
Αφού , τότε η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στον άξονα Oy .
Ευθεία όπως η γραμμή τομής των επιπέδων
Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να οριστεί ως η γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων και, δηλ., ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων
Οι εξισώσεις του συστήματος ονομάζονται και γενικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.
Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που δίνονται από γενικές εξισώσεις
Λύση. Για να γράψετε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας ή, το ίδιο πράγμα, τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στη γραμμή. Μπορούν να είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας με οποιαδήποτε δύο επίπεδα συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzΚαι xOz .
Σημείο τομής γραμμής και επιπέδου yOzέχει τετμημένη Χ= 0 . Επομένως, υποθέτοντας σε αυτό το σύστημα εξισώσεων Χ= 0, παίρνουμε ένα σύστημα με δύο μεταβλητές:
Η απόφασή της y = 2 , z= 6 μαζί με Χ= 0 ορίζει ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) την επιθυμητή γραμμή. Στη συνέχεια υποθέτοντας στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων y= 0, παίρνουμε το σύστημα
Η απόφασή της Χ = -2 , z= 0 μαζί με y= 0 ορίζει ένα σημείο σι(-2; 0; 0) τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο xOz .
Τώρα ας γράψουμε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΕΝΑ(0; 2; 6) και σι (-2; 0; 0) :
,
ή αφού διαιρέσουμε τους παρονομαστές με -2:
,
Όλες οι εξισώσεις επιπέδου που συζητούνται στις ακόλουθες παραγράφους μπορούν να ληφθούν από γενική εξίσωσηεπίπεδο, και ανάγεται επίσης στη γενική εξίσωση του επιπέδου. Έτσι, όταν μιλούν για την εξίσωση ενός επιπέδου, εννοούν τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.
Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.
Δείτε την εξίσωση επιπέδου 
, όπου τα a, b και c είναι μη μηδενικά πραγματικούς αριθμούς, που ονομάζεται εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα.
Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο. Απόλυτες αξίεςΟι αριθμοί a, b και c είναι ίσοι με τα μήκη των τμημάτων που κόβει το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων Ox, Oy και Oz, αντίστοιχα, μετρώντας από την αρχή. Το πρόσημο των αριθμών a, b και c υποδεικνύει σε ποια κατεύθυνση (θετική ή αρνητική) πρέπει να γραφτούν τα τμήματα στους άξονες συντεταγμένων.
Για παράδειγμα, ας κατασκευάσουμε ένα επίπεδο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz, που ορίζεται από την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα 
. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ένα σημείο που απέχει 5 μονάδες από την αρχή στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης, 4 μονάδες στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα τεταγμένων και 4 μονάδες στη θετική κατεύθυνση του άξονα εφαρμογής. Το μόνο που μένει είναι να συνδέσουμε αυτά τα σημεία με ευθείες γραμμές. Το επίπεδο του τριγώνου που προκύπτει είναι το επίπεδο που αντιστοιχεί στην εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα της μορφής .
Για να πάρετε περισσότερα πλήρεις πληροφορίεςανατρέξτε στην εξίσωση άρθρου ενός επιπέδου σε τμήματα, δείχνει την αναγωγή της εξίσωσης ενός επιπέδου σε τμήματα στη γενική εξίσωση ενός επιπέδου, εκεί θα βρείτε επίσης λεπτομερείς λύσειςτυπικά παραδείγματα και εργασίες.
Εξίσωση κανονικού επιπέδου.
Η γενική εξίσωση επιπέδου της μορφής ονομάζεται κανονική εξίσωσηεπίπεδο, Αν 
ίσο με ένα, δηλαδή, 
, Και .
Μπορείτε συχνά να δείτε ότι η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου γράφεται ως . Εδώ είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του κανονικού διανύσματος ενός δεδομένου επιπέδου μοναδιαίου μήκους, δηλαδή, και το p είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, ίση με την απόστασηαπό την αρχή στο αεροπλάνο.
Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ορίζει ένα επίπεδο που απομακρύνεται από την αρχή κατά μια απόσταση p στη θετική κατεύθυνση του κανονικού διανύσματος αυτού του επιπέδου 
. Αν p=0, τότε το επίπεδο διέρχεται από την αρχή.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα εξίσωσης κανονικού επιπέδου.
Έστω το επίπεδο να προσδιορίζεται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz από τη γενική εξίσωση του επιπέδου της μορφής 
. Αυτή η γενική εξίσωση του επιπέδου είναι η κανονική εξίσωση του επιπέδου. Πράγματι, το κανονικό διάνυσμα αυτού του επιπέδου είναι 
έχει μήκος ίσο με την ενότητα, αφού 
.
Η εξίσωση επιπέδου σε κανονική μορφή σας επιτρέπει να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.
Συνιστούμε να κατανοήσετε αυτόν τον τύπο εξίσωσης επιπέδου με περισσότερες λεπτομέρειες, να δείτε λεπτομερείς λύσεις σε τυπικά παραδείγματα και προβλήματα και επίσης να μάθετε πώς να μειώνετε τη γενική εξίσωση επιπέδου σε κανονική μορφή. Μπορείτε να το κάνετε αυτό ανατρέχοντας στο άρθρο.
Βιβλιογραφία.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Γεωμετρία. Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία γραμμική άλγεβρακαι αναλυτική γεωμετρία.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.
Για να λάβουμε τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου, ας αναλύσουμε το επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.
Ας υπάρχουν τρεις άξονες συντεταγμένων ήδη γνωστοί σε εμάς στο διάστημα - Βόδι, OyΚαι Οζ. Κρατήστε το φύλλο χαρτιού έτσι ώστε να παραμείνει επίπεδο. Το αεροπλάνο θα είναι το ίδιο το φύλλο και η συνέχειά του προς όλες τις κατευθύνσεις.
Αφήνω Παυθαίρετο επίπεδο στο διάστημα. Κάθε διάνυσμα κάθετο σε αυτό ονομάζεται κανονικό διάνυσμα σε αυτό το αεροπλάνο. Φυσικά, μιλάμε για μη μηδενικό διάνυσμα.
Εάν είναι γνωστό κάποιο σημείο του αεροπλάνου Πκαι κάποιο κανονικό διάνυσμα σε αυτό, τότε με αυτές τις δύο συνθήκες το επίπεδο στο χώρο ορίζεται πλήρως(μέσω ενός δεδομένου σημείου μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο δεδομένο διάνυσμα). Η γενική εξίσωση του επιπέδου θα είναι:
Άρα, οι συνθήκες που ορίζουν την εξίσωση του επιπέδου είναι. Για να πάρεις τον εαυτό σου επίπεδο εξίσωση, έχοντας την παραπάνω μορφή, ανεβείτε στο αεροπλάνο Παυθαίρετος σημείο Μ με μεταβλητές συντεταγμένες Χ, y, z. Αυτό το σημείο ανήκει στο επίπεδο μόνο αν διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα(Εικ. 1). Για αυτό, σύμφωνα με την συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο και αρκετό το κλιμακωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή
Το διάνυσμα καθορίζεται από συνθήκη. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο 
:
.
Τώρα, χρησιμοποιώντας τον τύπο βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων 
, εκφράζουμε το βαθμωτό γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή:
Από το σημείο M(x; y; z)επιλέγεται αυθαίρετα στο επίπεδο, τότε η τελευταία εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στο επίπεδο Π. Για ένα σημείο Ν, όχι ξαπλωμένος σε ένα δεδομένο αεροπλάνο, δηλ. παραβιάζεται η ισότητα (1).
Παράδειγμα 1.Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο και είναι κάθετο στο διάνυσμα.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) και ας τον δούμε ξανά:
Σε αυτόν τον τύπο οι αριθμοί ΕΝΑ , σιΚαι ντοδιανυσματικές συντεταγμένες και αριθμούς Χ0 , y0 Και z0 - συντεταγμένες του σημείου.
Οι υπολογισμοί είναι πολύ απλοί: αντικαθιστούμε αυτούς τους αριθμούς στον τύπο και παίρνουμε
Πολλαπλασιάζουμε όλα όσα πρέπει να πολλαπλασιαστούν και προσθέτουμε μόνο αριθμούς (που δεν έχουν γράμματα). Αποτέλεσμα:
.
Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου σε αυτό το παράδειγμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται με μια γενική εξίσωση πρώτου βαθμού σε σχέση με μεταβλητές συντεταγμένες x, y, zαυθαίρετο σημείο του αεροπλάνου.
Άρα, μια εξίσωση της μορφής
που ονομάζεται εξίσωση γενικού επιπέδου .
Παράδειγμα 2.Κατασκευάστε σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ένα επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση 
.
Λύση. Για την κατασκευή ενός επιπέδου, είναι απαραίτητο και αρκετό να γνωρίζουμε οποιαδήποτε τρία σημεία του που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, για παράδειγμα, τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες συντεταγμένων.
Πώς να βρείτε αυτά τα σημεία; Να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Οζ, πρέπει να αντικαταστήσετε με μηδενικά το X και το Y στην εξίσωση που δίνεται στη δήλωση προβλήματος: Χ = y= 0 . Επομένως παίρνουμε z= 6. Ετσι, δεδομένο αεροπλάνοδιασχίζει τον άξονα Οζστο σημείο ΕΝΑ(0; 0; 6) .
Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε το σημείο τομής του επιπέδου με τον άξονα Oy. Στο Χ = z= 0 παίρνουμε y= −3, δηλαδή το σημείο σι(0; −3; 0) .
Και τέλος, βρίσκουμε το σημείο τομής του επιπέδου μας με τον άξονα Βόδι. Στο y = z= 0 παίρνουμε Χ= 2, δηλαδή ένα σημείο ντο(2; 0; 0) . Με βάση τα τρία σημεία που λήφθηκαν στη λύση μας ΕΝΑ(0; 0; 6) , σι(0; −3; 0) και ντο(2; 0; 0) κατασκευάστε το δεδομένο επίπεδο.
Ας εξετάσουμε τώρα ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης γενικού επιπέδου. Είναι περιπτώσεις όπου ορισμένοι συντελεστές της εξίσωσης (2) γίνονται μηδέν.
1. Πότε D= 0 εξίσωση 
ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή, αφού οι συντεταγμένες του σημείου 0
(0; 0; 0) ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.
2. Πότε Α= 0 εξίσωση 
ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα Βόδι, αφού το κανονικό διάνυσμα αυτού του επιπέδου είναι κάθετο στον άξονα Βόδι(η προβολή του στον άξονα Βόδιίσο με μηδέν). Ομοίως, όταν Β= 0 αεροπλάνο 
παράλληλα με τον άξονα Oy, και πότε C= 0 αεροπλάνο 
παράλληλα με τον άξονα Οζ.
3. Πότε A=D=Η εξίσωση 0 ορίζει ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα Βόδι, αφού είναι παράλληλο προς τον άξονα Βόδι (Α=D= 0). Ομοίως, το επίπεδο διέρχεται από τον άξονα Oy, και το επίπεδο διαμέσου του άξονα Οζ.
4. Πότε Α=Β=Η εξίσωση 0 ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων xOy, αφού είναι παράλληλη με τους άξονες Βόδι (ΕΝΑ= 0) και Oy (σι= 0). Ομοίως, το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο yOz, και το αεροπλάνο είναι το αεροπλάνο xOz.
5. Πότε Α=Β=Δ= 0 εξίσωση (ή z = 0) ορίζει το επίπεδο συντεταγμένων xOy, αφού είναι παράλληλο με το επίπεδο xOy (Α=Β= 0) και διέρχεται από την αρχή ( D= 0). Ομοίως, η εξ. y=Το 0 στο διάστημα ορίζει το επίπεδο συντεταγμένων xOz, και την εξίσωση x = 0 - επίπεδο συντεταγμένων yOz.
Παράδειγμα 3.Δημιουργήστε μια εξίσωση του επιπέδου Π, περνώντας από τον άξονα Oyκαι περίοδος.
Λύση. Έτσι το αεροπλάνο διέρχεται από τον άξονα Oy. Επομένως, στην εξίσωσή της y= 0 και αυτή η εξίσωση έχει τη μορφή . Για τον προσδιορισμό των συντελεστών ΕΝΑΚαι ντοας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το σημείο ανήκει στο επίπεδο Π .
Επομένως, μεταξύ των συντεταγμένων του υπάρχουν εκείνες που μπορούν να αντικατασταθούν στην εξίσωση επιπέδου που έχουμε ήδη εξαγάγει (). Ας δούμε ξανά τις συντεταγμένες του σημείου:
Μ0 (2; −4; 3) .
Ανάμεσα τους Χ = 2 , z= 3. Τα αντικαθιστούμε στη γενική εξίσωση και παίρνουμε την εξίσωση για τη συγκεκριμένη περίπτωσή μας:
2ΕΝΑ + 3ντο = 0 .
Αφήστε 2 ΕΝΑστην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, μετακινήστε το 3 ντοστη δεξιά πλευρά και φτάνουμε
ΕΝΑ = −1,5ντο .
Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε ΕΝΑστην εξίσωση, παίρνουμε
ή .
Αυτή είναι η εξίσωση που απαιτείται στη συνθήκη του παραδείγματος.
Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα της εξίσωσης επιπέδου και μετά δείτε τη λύση
Παράδειγμα 4.Ορίστε ένα επίπεδο (ή επίπεδα, εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα) ως προς τους άξονες συντεταγμένων ή τα επίπεδα συντεταγμένων, εάν το επίπεδο ή τα επίπεδα δίνονται από την εξίσωση.
Λύσεις σε τυπικά προβλήματα που εμφανίζονται σε δοκιμές- στο εγχειρίδιο "Προβλήματα επιπέδου: παραλληλισμός, καθετότητα, τομή τριών επιπέδων σε ένα σημείο".
Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία
Όπως ήδη αναφέρθηκε, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την κατασκευή ενός επιπέδου, εκτός από ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα, είναι και τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Αφήστε τρία διαφορετικά σημεία , και , που δεν βρίσκονται στην ίδια γραμμή, να δοθούν. Εφόσον τα υποδεικνυόμενα τρία σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, και επομένως οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία, και εάν και μόνο εάν τα διανύσματα , και 
ομοεπίπεδη, δηλ. τότε και μόνο όταν μικτό προϊόν αυτών των φορέωνισούται με μηδέν.
Χρησιμοποιώντας την έκφραση ανάμεικτο προϊόνσε συντεταγμένες, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου
(3)
Αφού αποκαλυφθεί η ορίζουσα, αυτή η εξίσωση γίνεται εξίσωση της μορφής (2), δηλ. γενική εξίσωση του αεροπλάνου.
Παράδειγμα 5.Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία:
και να καθορίσει ειδική περίπτωσηγενική εξίσωση της ευθείας, αν υπάρχει.
Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:
Εξίσωση κανονικού επιπέδου. Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο
Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωσή του, γραμμένη με τη μορφή
