Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε την τυπική και πιο συνηθισμένη εργασία υπολογισμός του εμβαδού ενός επιπέδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Επιτέλους όλα ψάχνοντας για νόημαστα ανώτερα μαθηματικά - μακάρι να τον βρουν. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα οικόπεδο dacha χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.
Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:
1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να διαβάσουν το μάθημα Δεν.
2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει το οριστικό ολοκλήρωμα. Μπορείτε να δημιουργήσετε ζεστές φιλικές σχέσεις με ορισμένα ολοκληρώματα στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, επομένως οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι επίσης ένα σχετικό θέμα. Τουλάχιστον, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή, μια παραβολή και μια υπερβολή.
Ας ξεκινήσουμε με καμπύλο τραπεζοειδές. Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y = φά(Χ), άξονας ΒΟΔΙκαι γραμμές Χ = ένα; Χ = σι.
Το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα
Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνείπαμε ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα άλλο χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ. Αυτό είναι, το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα
Ολοκληρωτέου
ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο (μπορεί να σχεδιαστεί εάν είναι επιθυμητό) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόναντίστοιχο καμπύλο τραπεζοειδές.
Παράδειγμα 1
, , , .
Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κατασκευή του σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.
Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα– παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Η τεχνική κατασκευής σημείο προς σημείο βρίσκεται στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.
Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας κάνουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση y= 0 καθορίζει τον άξονα ΒΟΔΙ):
Δεν θα σκιάζουμε το καμπύλο τραπεζοειδές· εδώ είναι προφανές για ποια περιοχή μιλάμε. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:
Στο τμήμα [-2; 1] γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 + 2 βρίσκονται πάνω από τον άξοναΒΟΔΙ, Να γιατί:
Απάντηση: .
Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz
,
ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στην εν λόγω φιγούρα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος, περιορίζεται από γραμμές xy = 4, Χ = 2, Χ= 4 και άξονας ΒΟΔΙ.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Τι να κάνετε εάν βρίσκεται το καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξοναΒΟΔΙ?
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = πρώην, Χ= 1 και άξονες συντεταγμένων.
Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Αν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πλήρως κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ , τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:
.
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χωρίς κανένα γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = 2Χ – Χ 2 , y = -Χ.
Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής y = 2Χ – Χ 2 και ευθεία y = -Χ. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης ένα= 0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σι= 3. Είναι συχνά πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:
Ας επαναλάβουμε ότι κατά την κατασκευή κατά σημείο, τα όρια ολοκλήρωσης καθορίζονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».
Και τώρα τύπος εργασίας:
Εάν στο τμήμα [ ένα; σι] κάποια συνεχής λειτουργία φά(Χ) μεγαλύτερο ή ίσο μεμερικοί συνεχής λειτουργία σολ(Χ), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτείτε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως από το 2 Χ – ΧΤο 2 πρέπει να αφαιρεθεί - Χ.
Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή y = 2Χ – Χ 2 πάνω και ευθεία y = -Χπαρακάτω.
Στο τμήμα 2 Χ – Χ 2 ≥ -Χ. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση: .
Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. παράδειγμα Νο. 3) είναι ειδική περίπτωσηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
.
Γιατί ο άξονας ΒΟΔΙδίνεται από την εξίσωση y= 0, και το γράφημα της συνάρτησης σολ(Χ) που βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Οτι
.
Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση
Παράδειγμα 5
Παράδειγμα 6
Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά από απροσεξία... Βρέθηκε η περιοχή της λάθος φιγούρας.
Παράδειγμα 7
Πρώτα ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά αποφασίζουν ότι πρέπει να βρουν την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη πράσινος!
Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο επειδή υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:
1) Στο τμήμα [-1; 1] πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙτο γράφημα βρίσκεται ευθεία y = Χ+1;
2) Σε τμήμα πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙβρίσκεται η γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = (2/Χ).
Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:
Απάντηση:
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή
και κάντε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:
Από το σχέδιο είναι σαφές ότι το ανώτερο όριο μας είναι "καλό": σι = 1.
Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι;
Μπορεί, ένα=(-1/3); Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι ένα=(-1/4). Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;
Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να αφιερώσετε επιπλέον χρόνο και να ξεκαθαρίσετε αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.
Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων
Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:
.
Ως εκ τούτου, ένα=(-1/3).
Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη. Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και ζώδια. Οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι. Στο τμήμα
, 
,
σύμφωνα με τον κατάλληλο τύπο:
Απάντηση: 
Για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.
Για να σχεδιάσετε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο πρέπει να γνωρίζετε εμφάνισηημιτονοειδή. Σε γενικές γραμμές, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και ορισμένες τιμές ημιτόνου. Μπορούν να βρεθούν στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.
Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ενσωμάτωσης εδώ· προκύπτουν άμεσα από την προϋπόθεση:
– Το “x” αλλάζει από μηδέν σε “pi”. Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:
Σε ένα τμήμα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y= αμαρτία 3 Χπου βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:
(1) Μπορείτε να δείτε πώς τα ημίτονο και τα συνημίτονα ενσωματώνονται σε περιττές δυνάμεις στο μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τσιμπάμε τον ένα κόλπο.
(2) Χρησιμοποιούμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα στη φόρμα
(3) Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t=κοσ Χ, τότε: βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:
.
.
Σημείωση:Σημειώστε πώς λαμβάνεται το ολοκλήρωμα της εφαπτομένης στον κύβο· εδώ χρησιμοποιείται ένα συμπέρασμα της κύριας τριγωνομετρική ταυτότητα
.
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές.
Λύση.
Βρίσκουμε τα σημεία τομής των δεδομένων ευθειών. Για να γίνει αυτό, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:
Για να βρούμε την τετμημένη των σημείων τομής των δεδομένων ευθειών, λύνουμε την εξίσωση:
Βρίσκουμε: Χ 1 = -2, Χ 2 = 4.
Έτσι, αυτές οι ευθείες, που είναι παραβολή και ευθεία, τέμνονται σε σημεία ΕΝΑ(-2; 0), σι(4; 6).
Αυτές οι γραμμές σχηματίζουν ένα κλειστό σχήμα, το εμβαδόν του οποίου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz βρίσκουμε:
Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από την έλλειψη.
Λύση.
Από την εξίσωση της έλλειψης για το πρώτο τεταρτημόριο έχουμε. Από εδώ, χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε
Ας εφαρμόσουμε αντικατάσταση Χ = ένααμαρτία t, dx = ένα cos t dt. Νέα όρια ένταξης t = α Και t = β καθορίζονται από τις εξισώσεις 0 = ένααμαρτία t, ένα = ένααμαρτία t. Μπορεί να τεθεί α = 0 και β = π /2.
Βρείτε το ένα τέταρτο της απαιτούμενης περιοχής
Από εδώ μικρό = πb.
Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμέςy = - Χ 2 + Χ + 4 καιy = - Χ + 1.
Λύση.
Ας βρούμε τα σημεία τομής των ευθειών y = -Χ 2 + Χ + 4, y = -Χ+ 1, εξισώνοντας τις τεταγμένες των ευθειών: - Χ 2 + Χ + 4 = -Χ+ 1 ή Χ 2 - 2Χ- 3 = 0. Εύρεση των ριζών Χ 1 = -1, Χ 2 = 3 και οι αντίστοιχες τεταγμένες τους y 1 = 2, y 2 = -2.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός σχήματος, παίρνουμε
Προσδιορίστε την περιοχή που περικλείεται από μια παραβολήy = Χ 2 + 1 και ευθείαΧ + y = 3.
Λύση.
Επίλυση συστήματος εξισώσεων
βρείτε την τετμημένη των σημείων τομής Χ 1 = -2 και Χ 2 = 1.
πιστεύοντας y 2 = 3 - ΧΚαι y 1 = Χ 2 + 1, με βάση τον τύπο που παίρνουμε
Υπολογίστε την περιοχή που περιέχεται στο lemniscate του Bernoullir 2 = ένα 2 cos 2 φ .
Λύση.
Στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, η περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από το τόξο μιας καμπύλης r = φά(φ ) και δύο πολικές ακτίνες φ 1 = ʅ Και φ 2 = ʆ , θα εκφραστεί με το ολοκλήρωμα
Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης, προσδιορίζουμε πρώτα το ένα τέταρτο της απαιτούμενης επιφάνειας
Επομένως, ολόκληρη η περιοχή είναι ίση με μικρό = ένα 2 .
Υπολογίστε το μήκος τόξου του αστροειδούςΧ 2/3 + y 2/3 = ένα 2/3 .
Λύση.
Ας γράψουμε την εξίσωση του αστροειδούς στη μορφή
(Χ 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ένα 1/3) 2 .
Ας βάλουμε Χ 1/3 = ένα 1/3 κοσ t, y 1/3 = ένα 1/3 αμαρτία t.
Από εδώ λαμβάνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις του αστροειδούς
Χ = ένα cos 3 t, y = ένααμαρτία 3 t, (*)
όπου 0 ≤ t ≤ 2π .
Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης (*), αρκεί να βρεθεί το ένα τέταρτο του μήκους του τόξου μεγάλο, που αντιστοιχεί στην αλλαγή παραμέτρου tαπό 0 έως π /2.
Παίρνουμε
dx = -3ένα cos 2 tαμαρτία t dt, dy = 3ένααμαρτία 2 t cos t dt.
Από εδώ βρίσκουμε
Ενσωμάτωση της παράστασης που προκύπτει από το 0 έως το π /2, παίρνουμε
Από εδώ μεγάλο = 6ένα.
Βρείτε την περιοχή που περικλείεται από τη σπείρα του Αρχιμήδηr = αφ και δύο διανύσματα ακτίνας που αντιστοιχούν σε πολικές γωνίεςφ 1 Καιφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Λύση.
Περιοχή που περικλείεται από καμπύλη r = φά(φ ) υπολογίζεται από τον τύπο, όπου α Και β - όρια αλλαγής πολικής γωνίας.
Έτσι, παίρνουμε
(*)
Από το (*) προκύπτει ότι η περιοχή που περιορίζεται από τον πολικό άξονα και την πρώτη στροφή της σπείρας του Αρχιμήδη ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Ομοίως, βρίσκουμε την περιοχή που περιορίζεται από τον πολικό άξονα και τη δεύτερη στροφή της σπείρας του Αρχιμήδη ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι ίση με τη διαφορά αυτών των περιοχών
Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από έναν άξοναΒόδι φιγούρες που οριοθετούνται από παραβολέςy = Χ 2 ΚαιΧ = y 2 .
Λύση.
Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων
και παίρνουμε Χ 1 = 0, Χ 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, από όπου και τα σημεία τομής των καμπυλών Ο(0; 0), σι(έντεκα). Όπως φαίνεται στο σχήμα, ο απαιτούμενος όγκος ενός σώματος περιστροφής είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ δύο όγκων που σχηματίζονται από περιστροφή γύρω από έναν άξονα Βόδικαμπυλόγραμμα τραπεζοειδή O.C.B.A.Και ODBA:
Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από έναν άξοναΒόδι και ημιτονοειδήςy = αμαρτίαΧ σε τμήματα: α) ; β) .
Λύση.
α) Σε ένα τμήμα συνάρτηση αμαρτίας Χδιατηρεί το πρόσημο, και επομένως σύμφωνα με τον τύπο, υποθέτοντας y= αμαρτία Χ, βρίσκουμε
β) Στο τμήμα, συνάρτηση sin Χαλλάζει σημάδι. Για να λυθεί σωστά το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το τμήμα σε δύο και [ π , 2π ], σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημο της.
Σύμφωνα με τον κανόνα των σημείων, στο τμήμα [ π , 2π ] η περιοχή λαμβάνεται με το σύμβολο μείον.
Ως αποτέλεσμα, η απαιτούμενη περιοχή είναι ίση με
Προσδιορίστε τον όγκο ενός σώματος που οριοθετείται από μια επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή μιας έλλειψηςγύρω από τον κύριο άξοναένα .
Λύση.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η έλλειψη είναι συμμετρική σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, αρκεί να βρεθεί ο όγκος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Βόδιπεριοχή ΟΑΒ, ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού της έλλειψης, και διπλασιάζει το αποτέλεσμα.
Ας υποδηλώσουμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής με V Χ; τότε με βάση τον τύπο που έχουμε , όπου 0 και ένα- τετμημένα σημεία σιΚαι ΕΝΑ. Από την εξίσωση της έλλειψης βρίσκουμε . Από εδώ
Έτσι, ο απαιτούμενος όγκος είναι ίσος με . (Όταν η έλλειψη περιστρέφεται γύρω από τον δευτερεύοντα άξονα σι, ο όγκος του σώματος είναι ίσος με )
Βρείτε την περιοχή που οριοθετείται από παραβολέςy 2 = 2 px ΚαιΧ 2 = 2 py .
Λύση.
Αρχικά, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των παραβολών για να προσδιορίσουμε το τμήμα ολοκλήρωσης. Μετασχηματίζοντας τις αρχικές εξισώσεις, λαμβάνουμε και . Εξισώνοντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε ή Χ 4 - 8Π 3 Χ = 0.
Χ 4 - 8Π 3 Χ = Χ(Χ 3 - 8Π 3) = Χ(Χ - 2Π)(Χ 2 + 2px + 4Π 2) = 0.
Εύρεση των ριζών των εξισώσεων:
Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το σημείο ΕΝΑδιασταύρωση των παραβολών είναι στο πρώτο τρίμηνο, τότε τα όρια της ολοκλήρωσης Χ= 0 και Χ = 2Π.
Βρίσκουμε την απαιτούμενη περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο
ΕΝΑ)
Λύση.
Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο της απόφασης είναι η κατασκευή του σχεδίου.
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Η εξίσωση y=0 ορίζει τον άξονα "x".
- x=-2 Και x=1 - ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;
- y=x 2 +2 - μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με την κορυφή στο σημείο (0;2).
Σχόλιο.Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0 βρείτε την τομή με τον άξονα OU και αποφασίζει ανάλογα τετραγωνική εξίσωση, βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .
Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο.
Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2 που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι , Να γιατί:
Απάντηση: μικρό =9 τετρ. μονάδες
Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Τι να κάνετε εάν βρίσκεται το καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα Ω;
σι)Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y=-e x , x=1 και άξονες συντεταγμένων.
Λύση.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο.
Αν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πλήρως κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Απάντηση: S=(e-1) τ. μονάδες» 1,72 τ. μονάδες
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.
Με)Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y=2x-x 2, y=-x.
Λύση.
Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας.Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική.
Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0 , ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .
|
Κατασκευάζουμε τις δοσμένες γραμμές: 1. Παραβολή - κορυφή στο σημείο (1;1); διασταύρωση άξονα Ω -σημεία (0;0) και (0;2). 2. Ευθεία - διχοτόμος γωνιών 2ης και 4ης συντεταγμένης. Και τώρα Προσοχή! Εάν στο τμήμα [ α;β] κάποια συνεχής λειτουργία f(x)μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση g(x), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: . Και δεν έχει σημασία πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά αυτό που έχει σημασία είναι ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με ένα άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από |
Μπορείτε να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση: μικρό =4,5 τετρ. μονάδες
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Λέξεις-κλειδιά:αναπόσπαστο, καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, περιοχή μορφών που οριοθετείται από κρίνους
Εξοπλισμός: πίνακας μαρκαδόρων, υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων
Τύπος μαθήματος: μάθημα-διάλεξη
Στόχοι μαθήματος:
- εκπαιδευτικός:να δημιουργήσει μια κουλτούρα διανοητικής εργασίας, να δημιουργήσει μια κατάσταση επιτυχίας για κάθε μαθητή και να δημιουργήσει θετικά κίνητρα για μάθηση. αναπτύξει την ικανότητα να μιλάει και να ακούει τους άλλους.
- ανάπτυξη:σχηματισμός ανεξάρτητης σκέψης του μαθητή στην εφαρμογή της γνώσης σε διάφορες καταστάσεις, ικανότητα ανάλυσης και εξαγωγής συμπερασμάτων, ανάπτυξη της λογικής, ανάπτυξη της ικανότητας σωστής τοποθέτησης ερωτήσεων και εύρεσης απαντήσεων σε αυτές. Βελτίωση του σχηματισμού υπολογιστικών και υπολογιστικών δεξιοτήτων, ανάπτυξη της σκέψης των μαθητών κατά την ολοκλήρωση των προτεινόμενων εργασιών, ανάπτυξη αλγοριθμικής κουλτούρας.
- εκπαιδευτικός: να σχηματίσουν έννοιες για ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, για ένα ολοκλήρωμα, για να κατακτήσουν τις δεξιότητες υπολογισμού των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων
Μέθοδος διδασκαλίας:επεξηγηματικά και επεξηγηματικά.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Σε προηγούμενα μαθήματα μάθαμε να υπολογίζουμε τα εμβαδά των σχημάτων των οποίων τα όρια είναι διακεκομμένες γραμμές. Στα μαθηματικά, υπάρχουν μέθοδοι που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις περιοχές των σχημάτων που οριοθετούνται από καμπύλες. Τέτοια σχήματα ονομάζονται καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή και το εμβαδόν τους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας αντιπαράγωγα.
καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές ( διαφάνεια 1)
Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, ( σ.μ.), ευθεία x = αΚαι x = βκαι άξονας x
Διάφοροι τύποι καμπυλωτών τραπεζοειδών ( διαφάνεια 2)
Εξετάζουμε διάφορους τύπους καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών και παρατηρούμε: μία από τις ευθείες γραμμές είναι εκφυλισμένη σε ένα σημείο, ο ρόλος της περιοριστικής συνάρτησης παίζει η ευθεία γραμμή
Περιοχή κυρτού τραπεζοειδούς (διαφάνεια 3)
Διορθώστε το αριστερό άκρο του διαστήματος ΕΝΑ,και το σωστό Χθα αλλάξουμε, δηλ. μετακινούμε το δεξί τοίχωμα του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς και παίρνουμε μια μεταβαλλόμενη φιγούρα. Η περιοχή ενός μεταβλητού καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από το γράφημα της συνάρτησης είναι ένα αντιπαράγωγο φάγια λειτουργία φά
Και στο τμήμα [ ένα; σι] περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς, που σχηματίζεται από τη συνάρτηση φά,ισούται με την αύξηση του αντιπαραγώγου αυτής της συνάρτησης:
Ασκηση 1:
Βρείτε το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: f(x) = x 2και ευθεία y = 0, x = 1, x = 2.
Λύση: ( σύμφωνα με τη διαφάνεια 3 του αλγόριθμου)
Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης και των γραμμών
Ας βρούμε ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f(x) = x 2 :
Αυτοέλεγχος στη διαφάνεια
Αναπόσπαστο
Θεωρήστε ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο που ορίζεται από τη συνάρτηση φάστο τμήμα [ ένα; σι]. Ας χωρίσουμε αυτό το τμήμα σε πολλά μέρη. Η περιοχή ολόκληρου του τραπεζοειδούς θα χωριστεί στο άθροισμα των περιοχών των μικρότερων καμπυλωτών τραπεζοειδών. ( διαφάνεια 5). Κάθε τέτοιο τραπεζοειδές μπορεί περίπου να θεωρηθεί ορθογώνιο. Το άθροισμα των εμβαδών αυτών των ορθογωνίων δίνει μια κατά προσέγγιση ιδέα για ολόκληρη την περιοχή του καμπύλου τραπεζοειδούς. Όσο μικρότερο διαιρούμε το τμήμα [ ένα; σι], τόσο ακριβέστερα υπολογίζουμε το εμβαδόν.
Ας γράψουμε αυτά τα επιχειρήματα με τη μορφή τύπων.
Διαιρέστε το τμήμα [ ένα; σι] σε n μέρη με τελείες x 0 =a, x1,...,xn = β.Μήκος κ-ου δηλώνουν με xk = xk – xk-1. Ας κάνουμε ένα άθροισμα
Γεωμετρικά, αυτό το άθροισμα αντιπροσωπεύει την περιοχή του σχήματος που σκιάζεται στο σχήμα ( σ.μ.)
Τα αθροίσματα της φόρμας ονομάζονται ολοκληρωτικά αθροίσματα για τη συνάρτηση φά. (σ.μ.)
Τα ολοκληρωτικά αθροίσματα δίνουν μια κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού. Η ακριβής τιμή προκύπτει περνώντας στο όριο. Ας φανταστούμε ότι τελειοποιούμε το διαμέρισμα του τμήματος [ ένα; σι] έτσι ώστε τα μήκη όλων των μικρών τμημάτων να τείνουν στο μηδέν. Στη συνέχεια, η περιοχή του συγκροτημένου σχήματος θα πλησιάσει την περιοχή του κυρτού τραπεζοειδούς. Μπορούμε να πούμε ότι το εμβαδόν ενός καμπύλου τραπεζοειδούς είναι ίσο με το όριο των ακέραιων αθροισμάτων, Sc.t. (σ.μ.)ή αναπόσπαστο, δηλ.
Ορισμός:
Ολοκλήρωμα συνάρτησης f(x)από έναπριν σιπου ονομάζεται όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων
= (σ.μ.)
Τύπος Newton-Leibniz.
Θυμόμαστε ότι το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων είναι ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε:
Sc.t. = (σ.μ.)
Από την άλλη πλευρά, η περιοχή ενός καμπύλου τραπεζοειδούς υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
S k.t. (σ.μ.)
Συγκρίνοντας αυτούς τους τύπους, παίρνουμε:
= (σ.μ.)Αυτή η ισότητα ονομάζεται τύπος Newton-Leibniz.
Για ευκολία υπολογισμού, ο τύπος γράφεται ως:
= = (σ.μ.)Εργασίες: (sh.m.)
1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz: ( ελέγξτε τη διαφάνεια 5)
2. Συνθέστε ολοκληρώματα σύμφωνα με το σχέδιο ( ελέγξτε τη διαφάνεια 6)
3. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Διαφάνεια 7)
Εύρεση των περιοχών των επίπεδων μορφών ( διαφάνεια 8)
Πώς να βρείτε την περιοχή των μορφών που δεν είναι κυρτά τραπεζοειδή;
Ας δοθούν δύο συναρτήσεις, τα γραφήματα των οποίων βλέπετε στη διαφάνεια . (σ.μ.)Βρείτε την περιοχή της σκιασμένης φιγούρας . (σ.μ.). Είναι η εν λόγω φιγούρα κυρτό τραπεζοειδές; Πώς μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προσθετικότητας της επιφάνειας; Θεωρήστε δύο κυρτά τραπεζοειδή και αφαιρέστε το εμβαδόν του άλλου από το εμβαδόν του ενός ( σ.μ.)
Ας δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο για την εύρεση της περιοχής χρησιμοποιώντας κινούμενα σχέδια σε μια διαφάνεια:
- Συναρτήσεις γραφήματος
- Προβάλετε τα σημεία τομής των γραφημάτων στον άξονα x
- Σκιάστε το σχήμα που προκύπτει όταν τέμνονται τα γραφήματα
- Να βρείτε καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή των οποίων η τομή ή η ένωση είναι το δεδομένο σχήμα.
- Υπολογίστε το εμβαδόν καθενός από αυτά
- Βρείτε τη διαφορά ή το άθροισμα των περιοχών
Προφορική εργασία: Πώς να αποκτήσετε την περιοχή μιας σκιασμένης φιγούρας (πείτε χρησιμοποιώντας κινούμενα σχέδια, διαφάνεια 8 και 9)
Εργασία για το σπίτι:Δουλέψτε μέσα από τις σημειώσεις, Νο. 353 (α), Νο. 364 (α).
Βιβλιογραφία
- Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 9-11 του εσπερινού (βάρδιας) σχολείο / εκδ. Γ.Δ. Γκλέιζερ. - Μ: Διαφωτισμός, 1983.
- Μπασμάκοφ Μ.Ι. Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 του γυμνασίου / Bashmakov M.I. - Μ: Διαφωτισμός, 1991.
- Μπασμάκοφ Μ.Ι. Μαθηματικά: εγχειρίδιο για ιδρύματα αρχή. και Τετάρτη καθ. εκπαίδευση / M.I. Μπασμάκοφ. - Μ: Ακαδημία, 2010.
- Kolmogorov A.N. Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης: εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11. εκπαιδευτικά ιδρύματα / A.N. Kolmogorov. - Μ: Εκπαίδευση, 2010.
- Ostrovsky S.L. Πώς να κάνετε μια παρουσίαση για ένα μάθημα;/ S.L. Οστρόφσκι. – Μ.: 1 Σεπτεμβρίου 2010.
Αρχίζουμε να εξετάζουμε την πραγματική διαδικασία υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος και να εξοικειωνόμαστε με τη γεωμετρική του σημασία.
Το διπλό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του επίπεδου σχήματος (η περιοχή ολοκλήρωσης). Αυτό απλούστερη μορφήδιπλό ολοκλήρωμα, όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .
Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πολύ πόσο απλά είναι όλα πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές. Για λόγους βεβαιότητας, υποθέτουμε ότι στο τμήμα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:
Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο να διασχίσουμε την περιοχή:
Ετσι:
Και αμέσως μια σημαντική τεχνική τεχνική: τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν χωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα και μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδοςΤο προτείνω ανεπιφύλακτα σε αρχάριους στο αντικείμενο.
1) Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y":
Αόριστο ολοκλήρωμαεδώ είναι το απλούστερο και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συνηθισμένος τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα το έβαλαν στο "Y" ( αντιπαράγωγη λειτουργία) ανώτατο όριο και μετά κατώτερο όριο
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:
Μια πιο συμπαγής αναπαράσταση ολόκληρης της λύσης μοιάζει με αυτό:
Ο τύπος που προκύπτει είναι ακριβώς ο τύπος εργασίας για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το "συνηθισμένο" οριστικό ολοκλήρωμα! Παρακολουθήστε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε βήμα!
Αυτό είναι, πρόβλημα υπολογισμού εμβαδού με χρήση διπλού ολοκληρώματος όχι πολύ διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος!Στην πραγματικότητα, είναι το ίδιο πράγμα!
Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε αντιμετωπίσει επανειλημμένα αυτό το έργο.
Παράδειγμα 9
Λύση:Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν λεπτομερέστατες εξηγήσεις.
Ετσι:
Όπως έχω ήδη σημειώσει, είναι καλύτερο για τους αρχάριους να υπολογίζουν τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα ξεχωριστά και θα παραμείνω στην ίδια μέθοδο:
1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:
Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.
Απάντηση:
Αυτό είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.
Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 10
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,
Ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα τελικής λύσης στο τέλος του μαθήματος.
Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής· οι περίεργοι αναγνώστες, παρεμπιπτόντως, μπορούν να αλλάξουν τη σειρά διέλευσης και να υπολογίσουν τις περιοχές χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, θα λάβετε τις ίδιες τιμές περιοχής.
Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η δεύτερη μέθοδος διέλευσης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματική, και στο τέλος της πορείας του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:
Παράδειγμα 11
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Λύση:Ανυπομονούμε για δύο παραβολές με μια ιδιορρυθμία που βρίσκονται στα πλάγια. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε· παρόμοια πράγματα συμβαίνουν αρκετά συχνά σε πολλαπλά ολοκληρώματα.
Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;
Ας φανταστούμε μια παραβολή με τη μορφή δύο συναρτήσεων:
– ο άνω κλάδος και – ο κάτω κλάδος.
Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή με τη μορφή άνω και κάτω κλαδιών.
Υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:
Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: . Τα ολοκληρώματα, βέβαια, δεν είναι υπερ-σύνθετου επιπέδου, αλλά... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όσοι είναι κοντά στις ρίζες τους δεν χρειάζονται τεστ.
Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις:
Αντίστροφες συναρτήσεις V σε αυτό το παράδειγμαέχουν το πλεονέκτημα ότι καθορίζουν ολόκληρη την παραβολή ταυτόχρονα χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.
Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής:
Ετσι:
Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.
1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:
Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:
Η ενσωμάτωση στη μεταβλητή "y" δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση· εάν υπήρχε ένα γράμμα "zy", θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και ποιος διάβασε τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, δεν βιώνει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ενσωμάτωση σύμφωνα με τη μέθοδο «Υ».
Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνική σχολιάζεται αναλυτικά στο μάθημα. Αποτελεσματικές μέθοδοιυπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος.
Τι να προσθέσω…. Ολα!
Απάντηση:
Για να δοκιμάσετε την τεχνική ενσωμάτωσης, μπορείτε να δοκιμάσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.
Παράδειγμα 12
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διάβασης της περιοχής, η φιγούρα δεν θα χρειάζεται πλέον να χωρίζεται σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.
Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)
Σου εύχομαι επιτυχία!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2:Λύση:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Ετσι:
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:
Ετσι:
Απάντηση:
Παράδειγμα 4:Λύση:
Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Απάντηση:
Η σειρά περιπάτου στην περιοχή:
Ετσι:
1)
2)
Απάντηση:
