Η μελέτη της συνάρτησης της συνέχειας στο σημείο διεξάγεται στο ήδη γελοιοποιητικό καθεστώς ρουτίνας, το οποίο πρέπει να επαληθεύσει τις τρεις συνθήκες συνέχειας:

Παράδειγμα 1.

Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας. Καθορίστε τη φύση των διακοπών της λειτουργίας εάν υπάρχουν. Εκτελέστε σχέδιο.

Απόφαση:

1) Υπό την όραση είναι το μόνο σημείο στο οποίο δεν ορίζεται η λειτουργία.

Τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και ίσες.

Έτσι, στο σημείο η λειτουργία υποφέρει από ένα χάσμα μιας χρήσης.

Τι μοιάζει με ένα γράφημα αυτής της λειτουργίας;

Θέλω να απλουστευθεί , και φαίνεται να είναι η συνηθισμένη παραβολή. ΑΛΛΑ Η αρχική λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο, οπότε απαιτείται η ακόλουθη κράτηση:

Εκτελέστε ένα σχέδιο:

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική άμεση, εκτός από το σημείο στο οποίο τραβιέται από ένα κενό μιας χρήσης.

Η λειτουργία μπορεί να γίνει καλή ή όχι με πολύ τρόπο, αλλά κάτω από την κατάσταση αυτό δεν απαιτείται.

Λέτε ότι ένα παράδειγμα έχει σημειωθεί; Καθόλου. Δεκάδες φορές συναντήθηκαν στην πράξη. Σχεδόν όλα τα καθήκοντα του ιστότοπου προέρχονται από πραγματικές ανεξάρτητες και δοκιμαστικές εργασίες.

Διαχωρίζουμε με τις αγαπημένες σας ενότητες:

Παράδειγμα 2.

Εξερευνήστε τη λειτουργία Για συνέχεια. Καθορίστε τη φύση των διακοπών της λειτουργίας εάν υπάρχουν. Εκτελέστε σχέδιο.

Απόφαση: Για κάποιο λόγο, οι μαθητές φοβούνται και δεν τους αρέσουν οι λειτουργίες με μια ενότητα, αν και τίποτα δεν περίπλοκο σε αυτά. Έχουμε ήδη αγγίξει τέτοια πράγματα λίγο στο μάθημα. Μετασχηματισμοί γεωμετρικών γραφημάτων. Δεδομένου ότι η ενότητα δεν είναι αρνητική, αποκαλύπτεται ως εξής: όπου "άλφα" είναι κάποια έκφραση. Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία μας θα πρέπει να υπογράψει έναν τρόπο κατάσχεσης:

Αλλά τα κλάσματα και των δύο τεμαχίων πρέπει να μειωθούν. Η μείωση, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, δεν θα περάσει χωρίς συνέπειες. Η αρχική λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο, καθώς ο παρονομαστής προσθέτει στο μηδέν. Ως εκ τούτου, το σύστημα πρέπει επιπλέον να προσδιορίσει την προϋπόθεση και η πρώτη ανισότητα πρέπει να είναι αυστηρή:

Τώρα για μια πολύ χρήσιμη απόφαση της απόφασης.: Πριν από τη φινίρισμα, το έργο στο σχέδιο είναι κερδοφόρο να κάνει ένα σχέδιο (ανεξάρτητα από το αν απαιτείται από την κατάσταση ή όχι). Αυτό θα βοηθήσει, πρώτον, να δούμε αμέσως τα σημεία συνέχειας και το σημείο κενού και, δεύτερον, το 100% θα εξοικονομήσει από σφάλματα κατά την εύρεση όρια μονής όψης.

Εκτελέστε ένα σχέδιο. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς μας, στα αριστερά του σημείου, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε ένα κομμάτι παραβολής (μπλε) και στα δεξιά - ένα κομμάτι παραβολής (κόκκινο) και η λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο:

Εάν υπάρχουν αμφιβολίες, πάρτε μερικές τιμές "x", αντικαταστήστε τις στη λειτουργία (Χωρίς να ξεχνάμε ότι η ενότητα καταστρέφει το πιθανό σήμα "μείον") και ελέγξτε το πρόγραμμα.

Διερευνούμε τη λειτουργία της συνέχειας αναλυτικά:

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο, ώστε να μπορείτε αμέσως να πείτε ότι δεν είναι συνεχές σε αυτό.

2) Καθορίστε τη φύση του χάσματος, γι 'αυτό υπολογίζουμε τα όρια μονόδρομων:

Τα όρια μονόδρομων είναι τα πεπερασμένα και διαφορετικά, σημαίνει ότι η λειτουργία ανεχθεί το κενό του 1ου γένους με ένα άλμα στο σημείο. Σημειώστε ότι δεν έχει σημασία, η λειτουργία ορίζεται στο σημείο διακοπής ή όχι.

Τώρα παραμένει να μετακινήσετε το σχέδιο από το σχέδιο (γίνεται σαν να χρησιμοποιείτε τη μελέτη ;-)) και να ολοκληρώσετε την εργασία:

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική άμεση, εκτός από το σημείο στο οποίο ανέχεται το πρώτο είδος χάσματος με το άλμα.

Μερικές φορές πρέπει επιπλέον να καθορίσετε ένα άλμα διαρροής. Υπολογίζεται ότι είναι στοιχειώδες - από το δεξιό όριο που πρέπει να αφαιρέσετε το αριστερό όριο:, δηλαδή στο σημείο διακοπής, η λειτουργία μας πήδηξε από 2 μονάδες κάτω (όπως λέμε το σημάδι "μείον").

Παράδειγμα 3.

Εξερευνήστε τη λειτουργία Για συνέχεια. Καθορίστε τη φύση των διακοπών της λειτουργίας εάν υπάρχουν. Κάντε μια κλήρωση.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, ένα παραδειγματικό διάλυμα δείγματος στο τέλος του μαθήματος.

Ας στραφούμε στη δημοφιλέστερη και κοινή έκδοση του έργου όταν η λειτουργία αποτελείται από τρία κομμάτια:

Παράδειγμα 4.

Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας και δημιουργήστε ένα γράφημα λειτουργίας

Απόφαση: Προφανώς, και τα τρία μέρη της λειτουργίας είναι συνεχόμενα στα αντίστοιχα διαστήματα, οπότε παραμένει να ελέγξει μόνο δύο σημεία "άρθρωση μεταξύ τεμαχίων. Πρώτον, θα εκτελέσω το σχέδιο στο σχέδιο, η τεχνική κατασκευής, διαμαρτυρήθηκα αρκετά λεπτομερώς στο πρώτο μέρος του άρθρου. Το μόνο, είναι απαραίτητο να εντοπιστούν προσεκτικά τα ειδικά μας σημεία: λόγω της ανισότητας, η αξία ανήκει σε μια ευθεία γραμμή (πράσινο σημείο) και λόγω της ανισότητας, η αξία ανήκει σε παραβολές (κόκκινη κουκίδα):

Λοιπόν, κατ 'αρχήν, όλα είναι σαφή \u003d) παραμένει να αποφασίσει. Για κάθε ένα από τα δύο σημεία "Butt" στις συνθήκες Standard 3:

ΕΓΩ)

Τα όρια μονόδρομων είναι τα πεπερασμένα και διαφορετικά, σημαίνει ότι η λειτουργία ανεχθεί το κενό του 1ου γένους με ένα άλμα στο σημείο.

Υπολογίστε το άλμα GAP ως τη διαφορά μεταξύ του σωστού και του αριστερού ορίου:
, δηλαδή, το χρονοδιάγραμμα έσπευσε σε μία μονάδα επάνω.

Ii) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Θα βρούμε όρια μονόδρομων:

- Τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα γενικό όριο.

Στο τελικό στάδιο, μεταφέραμε το σχέδιο στο πρώτο Chistik, μετά την οποία βάζουμε την τελική χορδή:

Παράδειγμα 5.

Εξερευνήστε τη συνέχεια και δημιουργήστε το πρόγραμμά του .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, μια σύντομη λύση και ένα παραδειγματικό δείγμα σχεδιασμού εργασιών στο τέλος του μαθήματος.

Μπορεί να είναι η εντύπωση ότι σε ένα σημείο η λειτουργία πρέπει αναγκαστικά να είναι συνεχής και στο άλλο - πρέπει να είναι ένα κενό. Στην πράξη, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Προσπαθήστε να μην παραμελήσετε τα υπόλοιπα παραδείγματα - θα υπάρξουν αρκετές ενδιαφέρουσες και σημαντικές μάρκες:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.

Dana χαρακτηριστικό . Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας στα σημεία. Δημιουργήστε ένα γράφημα.

Απόφαση: Και πάλι θα εκτελέσω αμέσως ένα σχέδιο στο σχέδιο:

Το χαρακτηριστικό αυτού του χρονοδιαγράμματος είναι ότι με ένα κομμάτι λειτουργίας, έχει οριστεί η εξίσωση του άξονα abscissa. Εδώ αυτή η περιοχή σχεδιάζεται από πράσινο και στο σημειωματάριο συνήθως ξέσπασε με ένα απλό μολύβι. Και, φυσικά, μην ξεχνάτε για τους Rams μας: Η τιμή αναφέρεται στο υποκατάστημα εφαπτομένων (κόκκινη κουκίδα) και η τιμή ανήκει στη γραμμή.

Από το σχέδιο, όλα είναι σαφή - η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, παραμένει να κάνει μια λύση που φέρεται σε πλήρη αυτοματισμό κυριολεκτικά μετά από 3-4 τέτοια παραδείγματα:

ΕΓΩ) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

2) Υπολογίστε τα όρια μονόδρομων:

Έτσι, το συνολικό όριο υπάρχει.

Αυτό συνέβη εδώ ένα μικρό περιθώριο. Το γεγονός είναι ότι δημιούργησα πολλά υλικά Σχετικά με τα όρια της λειτουργίαςΚαι ήθελα αρκετές φορές, αλλά ξέχασα για μια απλή ερώτηση αρκετές φορές. Και έτσι, η απίστευτη προσπάθεια θα προκαλέσει τον εαυτό του να μην χάσει τη σκέψη του \u003d) πιο πιθανό, μερικοί αναγνώστες "детики" αμφιβολία: Ποιο είναι το σταθερό όριο; Το σταθερό όριο είναι ίσο με το ίδιο το ίδιο. Σε αυτή την περίπτωση, το μηδενικό όριο είναι το ίδιο το μηδέν (όριο αριστερού).

3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Έτσι, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο για να προσδιοριστεί η συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.

Ii) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Θα βρούμε όρια μονόδρομων:

Και εδώ, στο δεξιό όριο - το όριο της μονάδας ισούται με την ίδια την ενότητα.

- υπάρχει το συνολικό όριο.

3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Έτσι, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο για να προσδιοριστεί η συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.

Ως συνήθως, μετά τη μελέτη, μεταφέρουμε το σχέδιο μας στο Cleanstik.

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής στα σημεία.

Παρακαλείστε να σημειώσετε ότι στην κατάσταση δεν ζητήσαμε τίποτα για τη μελέτη ολόκληρης της συνάρτησης της συνέχειας και ένας καλός μαθηματικός τόνος θεωρείται ότι διατυπώνεται Ακριβής και σαφής Την απάντηση στην ερωτημένη ερώτηση. Με την ευκαιρία, εάν με κατάσταση δεν απαιτείται να δημιουργήσετε ένα χρονοδιάγραμμα, τότε έχετε το πλήρες δικαίωμα του και να μην δημιουργήσετε (ωστόσο, τότε ο δάσκαλος μπορεί να το κάνει).

Μικρό μαθηματικό "patter" για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 7.

Dana χαρακτηριστικό .

Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας στα σημεία. Ταξινομήστε τα σημεία του κενού εάν είναι. Εκτελέστε σχέδιο.

Προσπαθήστε να "απογοητευτείτε" όλες τις "λέξεις" \u003d) και το χρονοδιάγραμμα για να τραβήξετε πιο ακριβή, ακρίβεια, δεν θα είναι πάρα πολύ ;-)

Όπως θυμάσαι, συνέστησε αμέσως να σχεδιάσω το σχέδιο στο σχέδιο, αλλά από καιρό σε καιρό υπάρχουν τέτοια παραδείγματα, όπου δεν θα καταλάβετε αμέσως πώς μοιάζει το πρόγραμμα. Ως εκ τούτου, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πλεονεκτικό να βρείτε πρώτα όρια μονής όψης και μόνο στη συνέχεια με βάση τη μελέτη, που απεικονίζουν υποκαταστήματα. Σε δύο τελικά παραδείγματα, εμείς, επιπλέον, θα μάθουμε την τεχνική του υπολογισμού ορισμένων μονομερών ορίων:

Παράδειγμα 8.

Διερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας και δημιουργήστε το σχηματικό του γράφημα.

Απόφαση: Τα κακά σημεία είναι προφανή: (αντλεί έναν παρονομαστή του δείκτη στο μηδέν) και (σχεδιάζει έναν δέντο ολόκληρου του κλάσματος στο μηδέν). Ελαφρώς, καθώς το χρονοδιάγραμμα αυτής της λειτουργίας μοιάζει και ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να διενεργήσουμε μια μελέτη.

ΕΓΩ)Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

2) Θα βρούμε όρια μονόδρομων:

δώσε προσοχή στο Τυπική λήψη του υπολογισμού του μονόδρομου ορίου: Η λειτουργία αντί του "iksa" που υποκαθιστούμε. Στον παρονομαστή, κανένα έγκλημα: "πρόσθετο" "μείον μηδέν" δεν παίζει ρόλους και λαμβάνεται "τέσσερα". Αλλά στον αριθμητή υπάρχει ένα μικρό θρίλερ: πρώτα στον παρονομαστή, σκοτώνουμε -1 και 1, με αποτέλεσμα το αποτέλεσμα. Ενωμένος είναι ίσο με το "Minus Infinity", επομένως :. Και τέλος, "διπλό" στο απεριόριστα ένα μεγάλο αρνητικό βαθμό ίση με το μηδέν :. Ή, αν περισσότερα διαβάστε περισσότερα: .

Υπολογίστε το δεξί όριο:

Και εδώ - αντί του "iksa" υποκαθιστούμε. Στο παρονομαστή "Συμπλήρωμα" και πάλι δεν παίζει τους ρόλους :. Ο αριθμοί διεξάγεται παρόμοιος με το προηγούμενο όριο δράσης: καταστρέφουμε τους αντίθετους αριθμούς και διαιρέστε τη μονάδα σε :

Το σωστό όριο είναι ατελείωτο, σημαίνει ότι η λειτουργία υποφέρει από το κενό του 2ου είδους στο σημείο.

Ii)Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Υπολογίστε το όριο αριστεράς πλευρικής όψης:

Η μέθοδος είναι η ίδια: υποκαθιστούμε τη λειτουργία αντί του "iksa". Σε έναν αριθμητή, τίποτα ενδιαφέρον δεν είναι ο τελικός θετικός αριθμός. Και στον παρονομαστή, αποκαλύπτουμε τις αγκύλες, καταργούμε το "Τρόικα" και ο καθοριστικός ρόλος παίζεται από το "πρόσθετο".

Σύμφωνα με τον τελικό, ο τελικός θετικός αριθμός διαιρούμενος από Άπειρο μικρό θετικό αριθμό, δίνει "συν το άπειρο" :.

Όριο δεξιάς όπως ο δίδυμος αδελφός, μόνο η εξαίρεση που ο παρονομαστής επιπλέει Άπειρο μικρό αρνητικό αριθμό:

Τα όρια μονόδρομων είναι άπειρη, σημαίνει ότι η λειτουργία υποφέρει από το κενό του 2ου γένους στο σημείο.

Έτσι, έχουμε δύο σημεία κενού, και, προφανώς, τρία κλαδιά φρένων. Για κάθε υποκατάστημα, συνιστάται η πραγματοποίηση της τρέχουσας κατασκευής, δηλ. Πάρτε μερικές τιμές "x" και υποκαταστήστε τα μέσα. Σημειώστε ότι κάτω από την κατάσταση επιτρέπεται να δημιουργήσει συμβατικό βαθμό και μια τέτοια χαλάρωση είναι φυσική για χειροποίητα. Δημιουργώ γραφικά με τη βοήθεια του προγράμματος, οπότε δεν έχω καμία τέτοια δυσκολία, εδώ είναι μια αρκετά ακριβής εικόνα:

Ευθεία είναι Κάθετη ασυμπτωματός Για το γράφημα αυτής της λειτουργίας.

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική άμεση εκτός από τα σημεία στα οποία ανέχεται τα διαλείμματα του 2ου είδους.

Ένα πιο απλό χαρακτηριστικό για αυτονομίες:

Παράδειγμα 9.

Εξετάστε τη λειτουργία συνέχειας και εκτελέστε σχηματικό σχέδιο.

Ένα παραδειγματικό διάλυμα δείγματος στο τέλος, το οποίο ξεσπάει απαρατήρητο.

Τα λέμε σύντομα!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 3:Απόφαση : Μετατρέπουμε τη λειτουργία: . Δεδομένου του κανόνα αποκάλυψης της ενότητας και το γεγονός ότι , ξαναγράψτε τη λειτουργία σε μια μορφή κομμάτι:

Διερευνούμε τη λειτουργία της συνέχειας.

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο .

Τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και διαφορετικές, σημαίνει ότι η λειτουργία ανεχθεί το κενό του 1ου γένους με ένα άλμα στο σημείο . Εκτελέστε ένα σχέδιο:

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής σε όλες τις αριθμητικές άμεσες εκτός από το σημείο Στην οποία ανέχεται το πρώτο είδος χάσματος με ένα άλμα. Gap Jump: (Δύο μονάδες).

Παράδειγμα 5:Απόφαση : Κάθε ένα από τα τρία μέρη της λειτουργίας είναι συνεχής στο διάστημα του.
ΕΓΩ)
1)

2) Υπολογίστε τα όρια μονόδρομων:

Έτσι, το συνολικό όριο υπάρχει.
3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.
Έτσι, η λειτουργία Συνεχής στο σημείο Προσδιορίζοντας τη συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.
Ii) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο. Η λειτουργία ανέχεται το κενό του 2ου είδους, στο σημείο

Πώς να βρείτε μια περιοχή ορισμού λειτουργίας;

Παραδείγματα λύσεων

Αν κάπου δεν υπάρχει κάτι, τότε κάπου υπάρχει κάτι

Συνεχίζουμε να διερευνούμε την ενότητα "Λειτουργίες και διαγράμματα", και τον επόμενο σταθμό του ταξιδιού μας - Περιοχή ορισμού λειτουργίας. Η ενεργή συζήτηση αυτής της έννοιας ξεκίνησε στο πρώτο μάθημα Σχετικά με τα γραφήματα των λειτουργιώνόπου εξέτασα τις στοιχειώδεις λειτουργίες και, ειδικότερα, την περιοχή ορισμού τους. Ως εκ τούτου, συνιστώ να ξεκινήσω την τσαγιέρα με το Azov, επειδή δεν θα σταματήσω ξανά σε μερικές βασικές στιγμές.

Θεωρείται, ο αναγνώστης γνωρίζει το πεδίο του προσδιορισμού των κύριων λειτουργιών: γραμμική, τετραγωνική, κυβική λειτουργία, πολυώνυμα, εκθετικά, λογάριθμος, κόλπος, συνημία. Ορίζονται. Για εφαπτόμενες, arcsinuses, έτσι να είναι, αντίο \u003d) περισσότερα σπάνια γραφικά δεν θυμούνται αμέσως.

Ο τομέας ορισμός - φαίνεται να είναι ένα απλό πράγμα, και προκύπτει φυσική ερώτηση, ποιο θα είναι το άρθρο; Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσω τα κοινά καθήκοντα για να βρω τον τομέα ορισμού πεδίου. Επιπλέον, επαναλαμβάνουμε ανισότητες με μια μεταβλητή, των οποίων οι δεξιότητες λύσης θα απαιτηθούν σε άλλα καθήκοντα υψηλότερων μαθηματικών. Υλικό, παρεμπιπτόντως, ολόκληρο το σχολείο, οπότε θα είναι χρήσιμο όχι μόνο στους μαθητές, αλλά και τους μαθητές. Οι πληροφορίες, φυσικά, δεν προσποιούνται ότι εγκυκλοπιστούν, αλλά εδώ δεν είναι έντονα "νεκρά" παραδείγματα, αλλά τηγανητά κάστανα που λαμβάνονται από αυτά τα πρακτικά έργα.

Ας ξεκινήσουμε με το Express κλείστε στο θέμα. Σύντομα για το κύριο πράγμα: μιλάμε για τη λειτουργία μιας μεταβλητής. Η περιοχή του ορισμού του είναι Πολλές τιμές "x"για το οποίο υπάρχουν Τις τιμές του "igarekov". Εξετάστε ένα παράδειγμα υπό όρους:

Ο τομέας ορισμός αυτής της λειτουργίας είναι η διασταύρωση των κενών:
(Για όσους ξέχασαν: - το εικονίδιο της Ένωσης). Με άλλα λόγια, αν λάβετε οποιαδήποτε έννοια του "x" από το διάστημα, ή από, ή έξω, τότε για κάθε ένα τέτοιο "x" θα υπάρξει η έννοια του "Igrek".

Μιλώντας περίπου, όπου υπάρχει ο τομέας ορισμός υπάρχει ένα πρόγραμμα λειτουργίας. Αλλά το μισό διάστημα και το σημείο "CE" δεν περιλαμβάνονται στον τομέα ορισμού, οπότε δεν υπάρχουν γραφικά εκεί.

Ναι, παρεμπιπτόντως, αν κάτι δεν είναι σαφές από την ορολογία ή / και το περιεχόμενο των πρώτων παραγράφων, είναι καλύτερο να επιστρέψετε στο άρθρο Χάρτες και ιδιότητες των στοιχειωδών λειτουργιών.

Λειτουργία συνέχειας. Σημείο ρήξης.

Υπάρχει ένας ταύρος, η ταλάντευση, αναστενάζει το GO:
- Ω, το συμβούλιο τελειώνει, τώρα θα πέσω!

Σε αυτό το μάθημα, θα αναλύσουμε την έννοια της συνέχειας της λειτουργίας, ταξινόμηση των σημείων GAP και ένα κοινό πρακτικό έργο Ερευνητικές λειτουργίες για συνέχεια. Από το ίδιο το όνομα του θέματος, πολλοί διαισθητικά συνειδητοποιούν τι θα δαπανηθούν και πιστεύουν ότι το υλικό είναι αρκετά απλό. Είναι αλήθεια. Αλλά είναι ακριβώς απλά καθήκοντα που τιμωρούνται πιο συχνά για μια αδιαφορία και μια επιφανειακή προσέγγιση για την επίλυσή τους. Ως εκ τούτου, συστήνω να μελετήσετε πολύ προσεκτικά το άρθρο και να πιάσετε όλες τις λεπτές λεπτότητες και τις τεχνικές τεχνικές.

Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να;Δεν είναι πολύ πολύ. Για μάθημα μάθησης υψηλής ποιότητας, είναι απαραίτητο να καταλάβετε τι είναι Όριο λειτουργίας. Οι αναγνώστες χαμηλής προετοιμασίας επαρκούν για να κατανοήσουν το άρθρο Όρια λειτουργιών. Παραδείγματα λύσεων και να δείτε τη γεωμετρική έννοια του ορίου στις μεθόδους Χάρτες και ιδιότητες των στοιχειωδών λειτουργιών. Είναι επίσης σκόπιμο να εξοικειωθείτε Μετασχηματισμοί γεωμετρικών γραφημάτωνΔεδομένου ότι η πρακτική στις περισσότερες περιπτώσεις συνεπάγεται την κατασκευή ενός σχεδίου. Οι προοπτικές είναι αισιόδοξες για όλους, και ακόμη και ένας πλήρης βραστήρας θα είναι σε θέση να αντιμετωπίσει ανεξάρτητα το καθήκον την επόμενη ώρα - ένα άλλο!

Λειτουργία συνέχειας. Τα ταξινόμησή τους και την ταξινόμησή τους

Η έννοια της συνάρτησης της συνέχειας

Εξετάστε κάποια λειτουργία, συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή:

Ή, μιλώντας πιο συνοπτική, η λειτουργία μας είναι συνεχής σε (πολλαπλούς αριθμούς).

Ποιο είναι το κριτήριο της συνέχειας "Φιλισταίνας"; Προφανώς, μπορεί να τραβηχτεί ένα γράφημα συνεχούς λειτουργίας χωρίς να πάρει ένα μολύβι από χαρτί.

Ταυτόχρονα, θα πρέπει να διακρίνονται σαφώς δύο απλές έννοιες: Περιοχή ορισμού λειτουργίας και Λειτουργία συνέχειας. Γενικά Αυτό δεν είναι το ίδιο. Για παράδειγμα:

Αυτή η λειτουργία ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, δηλαδή, για ΚΑΘΕ Οι έννοιες "x" υπάρχει το νόημά της των "παιχνιδιών". Ειδικότερα, αν, τότε. Σημειώστε ότι ένα άλλο σημείο του πληθυσμού, λόγω του ορισμού της λειτουργίας, η αξία του επιχειρήματος πρέπει να αντιστοιχεί το μόνο πράγμα Την τιμή της λειτουργίας. Με αυτόν τον τρόπο, τομέα Η λειτουργία μας:.

αλλά Αυτή η λειτουργία δεν είναι συνεχής! Προφανώς, στο σημείο που ανέχεται Διακοπή. Ο όρος είναι επίσης πολύ κατανοητός και επισκέπτης, πράγματι, το μολύβι εδώ για οποιονδήποτε θα έχει να σκίσει το χαρτί. Λίγο αργότερα, θα εξετάσουμε την ταξινόμηση των σημείων GAP.

Συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο και στο διάστημα

Σε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό πρόβλημα, μπορούμε να μιλήσουμε για τη συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο, τη συνέχεια της λειτουργίας στο διάστημα, το μισό διάστημα ή τη συνέχεια της λειτουργίας του τμήματος. Δηλαδή, Δεν υπάρχει "μόνο συνέχεια" - Η λειτουργία μπορεί να είναι συνεχής κάπου. Και το θεμελιώδες "τούβλο" όλων των άλλων είναι Λειτουργία συνέχειας Στο σημείο .

Η θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης δίνει στον ορισμό της συνέχειας της λειτουργίας σε ένα σημείο με τη βοήθεια του Δέλτα και του Epsilon της γύρω περιοχής, αλλά στην πράξη, ένας άλλος ορισμός, ο οποίος θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή.

Πρώτα θυμηθείτε Όρια μονής όψηςΠοιος ξέσπασε στη ζωή μας στο πρώτο μάθημα Σχετικά με τα γραφήματα των λειτουργιών. Εξετάστε την κατάσταση μιας εβδομάδας:

Εάν προσεγγίσετε τον άξονα στο σημείο αριστερά (Κόκκινο βέλος), τότε οι αντίστοιχες τιμές του "igarek" θα πάνε κατά μήκος του άξονα στο σημείο (το βέλος βατόμουρου). Μαθηματικά, αυτό το γεγονός είναι σταθερό όριο αριστερού:

Δώστε προσοχή στην είσοδο (η IKS διαβάζει προς τα αριστερά "). Το "πρόσθετο" "μείον μηδέν" συμβολίζει Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι πλησιάζουμε από την αριστερή πλευρά.

Ομοίως, εάν πλησιάζετε στο σημείο "ka" στα δεξιά (Μπλε βέλος), τότε "ανάφλεξη" θα έρθει στην ίδια έννοια, αλλά ήδη στο πράσινο βέλος, και όριο δεξιάς όψης θα είναι τα εξής:

Το "πρόσθετο" συμβολίζει Και η εγγραφή διαβάζεται έτσι: "Το Χ προσπαθεί για το σωστό".

Εάν τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και ίσες (Όπως στην περίπτωσή μας): , θα πούμε ότι υπάρχει ένα κοινό όριο. Όλα είναι απλά, το συνολικό όριο είναι το "συνηθισμένο" μας " Όριο λειτουργίαςίσο με τον πεπερασμένο αριθμό.

Σημειώστε ότι εάν η λειτουργία δεν ορίζεται στο (συμπληρώστε το μαύρο σημείο στο διακλάδωμα του γραφήματος), τότε οι αναφερόμενοι υπολογισμοί παραμένουν έγκυροι. Όπως σημείωσε επανειλημμένα, ειδικότερα, στο άρθρο Σχετικά με απεριόριστα μικρές λειτουργίες, οι εκφράσεις σημαίνουν ότι "x" απεριόριστα κοντά προσεγγίζει το σημείο ταυτόχρονα ΑΣΧΕΤΟΣΗ ίδια η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο ή όχι. Ένα καλό παράδειγμα θα ικανοποιηθεί στην επόμενη παράγραφο όταν αναλύεται μια λειτουργία.

Ορισμός: Η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο εάν το όριο της λειτουργίας σε αυτό το σημείο είναι ίσο με την τιμή λειτουργίας σε αυτό το σημείο :.

Ο ορισμός περιγράφεται λεπτομερώς υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) Η λειτουργία πρέπει να ορίζεται στο σημείο, δηλαδή, πρέπει να υπάρχει μια τιμή.

2) Πρέπει να υπάρχει κοινό όριο της λειτουργίας. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, συνεπάγεται την ύπαρξη και την ισότητα των μονών ορίων: .

3) Το όριο της λειτουργίας σε αυτό το σημείο πρέπει να είναι ίσο με την αξία της λειτουργίας σε αυτό το σημείο :.

Εάν παραβιαστεί τουλάχιστον ένα Από τις τρεις συνθήκες, η λειτουργία χάνει την ιδιότητα της συνέχειας στο σημείο.

Λειτουργία συνέχειας στο διάστημα Διατυπώστε πνευματικό και πολύ απλό: η λειτουργία είναι συνεχής στο διάστημα εάν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος.

Συγκεκριμένα, πολλές λειτουργίες είναι συνεχές σε ένα άπειρο διάστημα, δηλαδή σε μια ποικιλία έγκυρων αριθμών. Αυτή είναι μια γραμμική λειτουργία, πολυώνυμος, εκθέτης, κόλπος, συνίνη, κ.λπ. και γενικά, οποιαδήποτε Στοιχειώδης λειτουργία Συνεχής στο δικό μου Περιοχές καθορισμούΓια παράδειγμα, η λογαριθμική λειτουργία είναι συνεχής στο διάστημα. Ελπίζω να καταστήσω αρκετά σαφή για αυτή τη στιγμή, πώς φαίνονται τα γραφικά των βασικών λειτουργιών. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη συνέχεια, μπορείτε να μάθετε από ένα καλό πρόσωπο με το όνομα FihteDholts.

Με τη συνέχεια της λειτουργίας στο τμήμα και τα ημι-διαστήματα, όλα είναι επίσης απλά, αλλά είναι πιο κατάλληλο να πούμε στο μάθημα για την εξεύρεση των ελάχιστων και μέγιστων τιμών της λειτουργίας στο τμήμα, Εν τω μεταξύ, δεν θα σφυρίξουμε το κεφάλι σας.

Ταξινόμηση των σημείων ρήξης

Η συναρπαστική ζωή των λειτουργιών είναι πλούσια σε όλα τα είδη ειδικών σημείων και τα σημεία του GAP είναι μόνο μία από τις σελίδες της βιογραφίας τους.

Σημείωση : Ακριβώς σε περίπτωση που θα επικεντρωθώ στη στοιχειώδη στιγμή: Το σημείο GAP είναι πάντα Χωρισμένο σημείο - Δεν υπάρχουν "πολλά σημεία σπασίματος στη σειρά", δηλαδή, δεν υπάρχει κάτι τέτοιο όπως το "διάστημα σπάσιμο".

Αυτά τα σημεία με τη σειρά τους χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες: Το πρώτο είδος κενών και rales του δεύτερου είδους. Κάθε τύπος ρήξης έχει τα δικά του χαρακτηριστικά που βλέπουμε τώρα:

Πρώτο σημείο διακοπής

Εάν η κατάσταση συνέχειας είναι σπασμένη στο σημείο και όρια μονής όψης Πιο καλη τότε καλείται Το σημείο να σπάσει το πρώτο είδος.

Ας ξεκινήσουμε με την πιο αισιόδοξη υπόθεση. Στην αρχική ιδέα του μαθήματος, ήθελα να πω στη θεωρία "γενικά", αλλά για να αποδείξω την πραγματικότητα του υλικού, σταμάτησα σε μια παραλλαγή με συγκεκριμένους φορείς.

Η φωτογραφία των νεόνυμφων είναι λυπημένος στο φόντο της αιώνιας φλόγας, αλλά το επόμενο πλαίσιο είναι γενικά αποδεκτό. Εικόνες στη λειτουργία του προγράμματος σχεδίασης:

Αυτή η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική άμεση, εκτός από το σημείο. Και στην πραγματικότητα, ο παρονομαστής δεν μπορεί να μηδενιστεί. Ωστόσο, σύμφωνα με την έννοια του ορίου - μπορούμε απεριόριστα κοντά Προσεγγίστε το "μηδέν" και στα αριστερά και δεξιά, δηλαδή, υπάρχουν μονόπλευρα όρια και, προφανώς, συμπίπτουν:
(Η συνέχιση 2 ολοκληρώθηκε).

Αλλά η λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο, επομένως, παραβιάζεται η κατάσταση της συνέχειας 1 και η λειτουργία τραβιέται σε αυτό το σημείο.

Σπάζοντας ένα τέτοιο είδος (με το υπάρχον κοινό όριο) Κλήση Ρήξη μιας χρήσης. Γιατί είναι εξισορρόπηση; Επειδή η λειτουργία μπορεί Εξάρτηση Στο σημείο διακοπής:

Φαίνεται περίεργο; Μπορεί. Αλλά ένα τέτοιο αρχείο της λειτουργίας δεν έρχεται σε αντίθεση με τίποτα! Τώρα το χάσμα εξαλείφεται και ο καθένας είναι ευτυχισμένος:

Εκτελέστε επίσημη επιταγή:

2) - υπάρχει το συνολικό όριο ·
3)

Έτσι, γίνονται και οι τρεις συνθήκες και η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο για να προσδιοριστεί η συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.

Ωστόσο, οι μητέρες Matana μπορούν να επηρεάσουν τη λειτουργία με έναν κακό τρόπο, για παράδειγμα :

Είναι περίεργο ότι οι δύο πρώτες συνθήκες συνέχειας πραγματοποιήθηκαν εδώ:
1) - η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.
2) - υπάρχει το συνολικό όριο.

Αλλά το τρίτο σύνορο δεν ταξιδεύει: Υπάρχει μια λειτουργία ορίου στο σημείο Όχι ίση Την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Έτσι, στο σημείο η λειτουργία υποφέρει από ένα διάλειμμα.

Το δεύτερο, η πιο θλιβερή περίπτωση ονομάζεται rIP πρώτου είδους με άλμα. Και η θλίψη προκαλεί όρια μονής όψης που πεπερασμένο και διαφορετικό. Ένα παράδειγμα απεικονίζεται στο δεύτερο σχέδιο του μαθήματος. Ένα τέτοιο κενό συμβαίνει, κατά κανόνα, στο piecewise συγκεκριμένες λειτουργίεςπου έχουν ήδη αναφερθεί στο άρθρο Σε μετασχηματισμούς γραφημάτων.

Εξετάστε ένα κομμάτι πίτας Και να εκτελέσει το σχέδιο του. Πώς να οικοδομήσουμε ένα γράφημα; Πολύ απλό. Στο μισό διάστημα, το κομμάτι Parabol (πράσινο), στο διάστημα - μια ευθεία γραμμή (κόκκινο) και στο μισό διάστημα - άμεσο (μπλε χρώμα).

Ταυτόχρονα, λόγω της ανισότητας, η τιμή ορίζεται για τετραγωνική λειτουργία (πράσινο σημείο) και λόγω της ανισότητας, η τιμή ορίζεται για γραμμική λειτουργία (μπλε κουκίδα):

Στην πολύ σκληρή περίπτωση, η υπόθεση πρέπει να καταφύγει στην τρέχουσα κατασκευή κάθε κομματιού γραφικών (βλ Μάθημα για γραφήματα λειτουργιών).

Τώρα θα ενδιαφέρονται μόνο για το σημείο. Εξερευνήστε το για συνέχεια:

2) Υπολογίστε τα όρια μονής όψης.

Στα αριστερά έχουμε μια κόκκινη κομμένη γραμμή, έτσι ώστε το όριο αριστεράς όψεως:

Δεξιά - Μπλε ευθεία και δεξιά όριο:

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται Τελικοί αριθμοί, και αυτοί όχι ίση. Από όρια μονόδρομων πεπερασμένο και διαφορετικό: , τότε η λειτουργία μας ανεχειρίζεται χάσμα του πρώτου είδους με ένα άλμα.

Είναι λογικό ότι το κενό δεν εξαλείφεται - η λειτουργία δεν είναι πραγματικά να το κάνει και να "δεν κολλάει", όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.

Δεύτερα σημεία διακοπής

Συνήθως, αυτή η κατηγορία Cunning περιλαμβάνει όλες τις άλλες περιπτώσεις ρήξης. Δεν θα απαριθμήσω τα πάντα, διότι στην πράξη στο 99%, τα ποσοστά των καθηκόντων θα σας συναντήσουν Άπειρος διάλειμμα - Όταν η αριστερή πλευρά ή η δεξιά, και πιο συχνά, και τα δύο όρια είναι άπειρα.

Και, φυσικά, η πιο κατάλληλη εικόνα - υπερβολή στο σημείο μηδέν. Εδώ και τα δύο όρια μονής όψης είναι ατελείωτες: Επομένως, η λειτουργία ανέχεται το κενό δεύτερης ταξινόμησης στο σημείο.

Προσπαθώ να γεμίσω τα άρθρα μου με το πιο διαφορετικό περιεχόμενο, οπότε ας δούμε το χρονοδιάγραμμα μιας συνάρτησης που δεν έχει ακόμη συναντηθεί:

Σύμφωνα με το πρότυπο σύστημα:

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται σε αυτό το σημείο, δεδομένου ότι ο παρονομαστής αναφέρεται στο μηδέν.

Φυσικά, μπορείτε να συμπεράνετε αμέσως ότι η λειτουργία υποφέρει από το κενό στο σημείο, αλλά θα ήταν καλό να ταξινομηθεί η φύση του χάσματος, η οποία συχνά απαιτείται από την κατάσταση. Για αυτό:

Σας υπενθυμίζω ότι κάτω από το ρεκόρ είναι κατανοητό Άπειρο μικρό αρνητικό αριθμό, και κάτω από το αρχείο - Άπειρο μικρό θετικό αριθμό.

Τα όρια μονόδρομων είναι άπειρη, σημαίνει ότι η λειτουργία υποφέρει από το κενό του 2ου γένους στο σημείο. Ο άξονας εντοπισμού είναι Κάθετη asimptota Για χρονοδιάγραμμα.

Η κατάσταση δεν είναι σπάνια όταν υπάρχουν και τα δύο όρια μονής όψης, αλλά μόνο ένας από αυτούς είναι ατελείωτος, για παράδειγμα:

Αυτό είναι ένα γράφημα μιας συνάρτησης.

Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα:

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Υπολογίστε τα όρια μονόδρομων:

Θα μιλήσουμε για τη μέθοδο υπολογισμού τέτοιων μονομερών ορίων στα τελευταία δύο παραδείγματα της διάλεξης, αν και πολλοί αναγνώστες έχουν ήδη δει και μαντέψει.

Το όριο της αριστερής όψης είναι πεπερασμένο και ίσο με το μηδέν (στο πολύ σημείο "δεν πηγαίνουμε"), αλλά το όριο δεξιάς όψης είναι άπειρο και ο πορτοκαλί υποκατάστημα του γραφήματος είναι απείρως κοντά στο Κάθετη ασυμπτώταπου ορίζεται από την εξίσωση (μαύρη διακεκομμένη).

Έτσι, η λειτουργία ανεχειρίζεται Χάσμα του δεύτερου είδους Στο σημείο.

Όσον αφορά το κενό του 1ου γένους, στο σημείο του σημείου διακοπής, η λειτουργία μπορεί να προσδιοριστεί. Για παράδειγμα, για μια λειτουργία κομμάτι Έβαλε με τόλμη ένα μαύρο τολμηρό σημείο στην αρχή των συντεταγμένων. Στα δεξιά - ο κλάδος των υπερβολών και το όριο δεξιάς όψης είναι άπειρη. Νομίζω ότι σχεδόν όλοι παρουσιάζονται πώς μοιάζει αυτό το πρόγραμμα.

Τι όλοι προσβλέπουν:

Πώς να διερευνήσετε μια λειτουργία για συνέχεια;

Παράδειγμα 1.

Εξερευνήστε τη λειτουργία

Απόφαση:

1) Υπό την όραση είναι το μόνο σημείο στο οποίο δεν ορίζεται η λειτουργία.

2) Υπολογίστε τα όρια μονόδρομων:

Τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και ίσες.

Έτσι, στο σημείο η λειτουργία υποφέρει από ένα χάσμα μιας χρήσης.

Τι μοιάζει με ένα γράφημα αυτής της λειτουργίας;

Εκτελέστε ένα σχέδιο:

Η λειτουργία μπορεί να γίνει καλή ή όχι με πολύ τρόπο, αλλά κάτω από την κατάσταση αυτό δεν απαιτείται.

Διαχωρίζουμε με τις αγαπημένες σας ενότητες:

Παράδειγμα 2.

Διερευνούμε τη λειτουργία της συνέχειας αναλυτικά:

1) Η λειτουργία δεν ορίζεται στο σημείο, ώστε να μπορείτε αμέσως να πείτε ότι δεν είναι συνεχές σε αυτό.

2) Καθορίστε τη φύση του χάσματος, γι 'αυτό υπολογίζουμε τα όρια μονόδρομων:

Τα όρια μονόδρομων είναι τα πεπερασμένα και διαφορετικά, σημαίνει ότι η λειτουργία ανεχθεί το κενό του 1ου γένους με ένα άλμα στο σημείο. Για άλλη μια φορά, παρατηρήστε ότι όταν βρείτε τα όρια, δεν έχει σημασία, η λειτουργία ορίζεται στο σημείο διακοπής ή όχι.

Παράδειγμα 3.

Ας στραφούμε στη δημοφιλέστερη και κοινή έκδοση του έργου όταν η λειτουργία αποτελείται από τρία κομμάτια:

Παράδειγμα 4.

Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας και δημιουργήστε ένα γράφημα λειτουργίας .

ΕΓΩ) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

Ii) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Θα βρούμε όρια μονόδρομων:

- Τα όρια μονής όψης είναι πεπερασμένες και ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα γενικό όριο.

3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Στο τελικό στάδιο, μεταφέραμε το σχέδιο στο πρώτο Chistik, μετά την οποία βάζουμε την τελική χορδή:

Παράδειγμα 5.

Εξερευνήστε τη συνέχεια και δημιουργήστε το πρόγραμμά του .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.

Dana χαρακτηριστικό . Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας στα σημεία. Δημιουργήστε ένα γράφημα.

Απόφαση: Και πάλι θα εκτελέσω αμέσως ένα σχέδιο στο σχέδιο:

Από το σχέδιο, όλα είναι σαφή - η λειτουργία είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική άμεση, παραμένει να κάνει μια λύση που φέρεται σε πλήρη αυτοματισμό κυριολεκτικά μετά από 3-4 παρόμοια παραδείγματα:

ΕΓΩ) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Υπολογίστε τα όρια μονόδρομων:

Έτσι, το συνολικό όριο υπάρχει.

Ένα ασήμαντο γεγονός θα σας υπενθυμίσει σε οποιονδήποτε πυροσβέστη: το σταθερό όριο είναι ίσο με το ίδιο το ίδιο. Σε αυτή την περίπτωση, το μηδενικό όριο είναι το ίδιο το μηδέν (όριο αριστερού).

3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Έτσι, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο για να προσδιοριστεί η συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.

Ii) Εξερευνήστε το σημείο συνέπειρα

1) - Η λειτουργία ορίζεται σε αυτό το σημείο.

2) Θα βρούμε όρια μονόδρομων:

Και εδώ - το όριο της μονάδας ισούται με την ίδια την ενότητα.

- υπάρχει το συνολικό όριο.

3) - Η λειτουργία ορίου στο σημείο ισούται με την αξία αυτής της λειτουργίας σε αυτό το σημείο.

Έτσι, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο για να προσδιοριστεί η συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο.

Ως συνήθως, μετά τη μελέτη, μεταφέρουμε το σχέδιο μας στο Cleanstik.

Απάντηση: Η λειτουργία είναι συνεχής στα σημεία.

Μικρό μαθηματικό "patter" για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 7.

Dana χαρακτηριστικό . Εξερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας στα σημεία. Ταξινομήστε τα σημεία του κενού εάν είναι. Εκτελέστε σχέδιο.

Παράδειγμα 8.

Διερευνήστε τη λειτουργία συνέχειας και δημιουργήστε το σχηματικό του γράφημα.

Απόφαση: Τα κακά σημεία είναι προφανή: (αντλεί έναν παρονομαστή του δείκτη στο μηδέν) και (σχεδιάζει έναν δέντο ολόκληρου του κλάσματος στο μηδέν). Δεν είναι δυνατό τρόπος με τον οποίο μοιάζει το χρονοδιάγραμμα αυτής της λειτουργίας, και ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να διεξάγονται μελέτη.

Καθορίζοντας τη συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο. Θεωρούνται ισοδύναμοι ορισμοί της Heine, Cauchy και από την άποψη των προσαυξήσεων. Προσδιορισμός της δέσμευσης μιας όψης στη λήξη του τμήματος. Διαμόρφωση της έλλειψης συνέχειας. Παραδείγματα αποσυναρμολογούνται στο οποίο απαιτείται να αποδείξει τη συνέχεια της λειτουργίας χρησιμοποιώντας τους ορισμούς της Heine και Cauchy.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Όριο της λειτουργίας - Ορισμοί, θεωρητικά και ιδιότητες

Συνέχεια στο σημείο

Ορισμός της λειτουργίας της συνέχειας στο σημείο
Λειτουργία F. (Χ) που ονομάζεται Συνεχής στο σημείο x 0 Γειτονιά U. (x 0) αυτό το σημείο και αν το όριο όταν το x αναζητά το x 0 Υπάρχει και ίση με την αξία της λειτουργίας στο x 0 :
.

Εδώ εννοείται ότι το x 0 - Αυτό είναι το τελικό σημείο. Η τιμή της λειτουργίας σε αυτό μπορεί να είναι μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός.

Ορισμός της συνέχειας στα δεξιά (αριστερά)
Λειτουργία F. (Χ) που ονομάζεται Συνεχής στα δεξιά (αριστερά) στο σημείο x 0 Εάν ορίζεται σε κάποια δεξιά (αριστερή) γειτονιά αυτού του σημείου, και εάν το δεξί (αριστερό) όριο στο σημείο x 0 ίσο με την τιμή της λειτουργίας στο x 0 :
.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1.

Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς της Heine και Cauchy για να αποδείξετε ότι η λειτουργία είναι συνεχής για όλα τα x.

Αφήστε να υπάρχει αυθαίρετος αριθμός. Αποδείξουμε ότι η καθορισμένη λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο. Η λειτουργία ορίζεται για όλα τα x. Επομένως, ορίζεται στο σημείο και σε οποιαδήποτε γειτονιά.

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της Heine

Χρησιμοποιούμε. Αφήστε να υπάρξει μια αυθαίρετη ακολουθία που συγκλίνει σε :. Χρησιμοποιώντας το όριο ιδιοκτησίας ιδιοκτησίας ακολουθιών που έχουμε:
.
Δεδομένου ότι υπάρχει μια αυθαίρετη ακολουθία που συγκλίνει, τότε
.
Η συνέχεια αποδεικνύεται.

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του Cauchy

Χρησιμοποιούμε.
Εξετάστε την υπόθεση. Έχουμε το δικαίωμα να εξετάσουμε τη λειτουργία σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου. Ως εκ τούτου, το υποθέτουμε αυτό
(P1.1) .

Εφαρμόστε τον τύπο:
.
Λαμβάνοντας υπόψη (P1.1), θα αξιολογήσουμε:

;
(P1.2) .

Εφαρμόζοντας (P1.2), εκτιμούμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς:
;
(P1.3) .
.
Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ανισοτήτων, εάν εκτελείται (P1.3), εάν και αν, τότε.

Τώρα εξετάστε το σημείο. Σε αυτήν την περίπτωση
.
.

.
Αυτό σημαίνει ότι η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός είναι συνεχής σε ολόκληρο τον έγκυρο άξονα.

Παράδειγμα 2.

Χρησιμοποιώντας για να αποδείξετε ότι η λειτουργία είναι συνεχής για όλους.

Η καθορισμένη λειτουργία ορίζεται σε. Αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο σημείο.

Εξετάστε την υπόθεση.
Έχουμε το δικαίωμα να εξετάσουμε τη λειτουργία σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου. Ως εκ τούτου, το υποθέτουμε αυτό
(P2.1) .

Εφαρμόστε τον τύπο:
(Σελ2.2) .
Βάζω. Τότε
.

Λαμβάνοντας υπόψη (p2.1), θα κάνουμε μια αξιολόγηση:

.
Ετσι,
.

Εφαρμόζοντας αυτή την ανισότητα και τη χρήση (P2.2), εκτιμούμε τη διαφορά:

.
Ετσι,
(P2.3) .

Εισάγουμε θετικούς αριθμούς και, δεμένα από τις σχέσεις:
.
Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ανισοτήτων, εάν εκτελούνται (P2.3), εάν και αν, τότε.

Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε θετικό πάντα εκεί. Στη συνέχεια, για όλα τα x, ικανοποιητική ανισότητα, η ανισότητα εκτελείται αυτόματα:
.
Αυτό σημαίνει ότι η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο.

Τώρα εξετάστε το σημείο. Πρέπει να δείξουμε ότι η καθορισμένη λειτουργία είναι συνεχής σε αυτό το σημείο στα δεξιά. Σε αυτήν την περίπτωση
.
Εισάγουμε θετικούς αριθμούς και:
.

Μπορεί να φανεί ότι για οποιοδήποτε θετικό πάντα εκεί. Στη συνέχεια, για όλα τα x, έτσι ώστε να πραγματοποιείται ανισότητα:
.
Αυτό σημαίνει ότι . Δηλαδή, η λειτουργία είναι συνεχής προς τα δεξιά στο σημείο.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός, συνεχής όταν.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
O.i. Δαίμονες. Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Μόσχα, 2004.
Ld Kudryavtsev. Μαθηματική μαθηματική ανάλυση. Τόμος 1. Μόσχα, 2003.
ΕΚ. Nikolsky. Μαθηματική μαθηματική ανάλυση. Τόμος 1. Μόσχα, 1983.

Δείτε επίσης:

Αυτό το άρθρο αφορά μια συνεχή αριθμητική λειτουργία. Για συνεχείς αντιστοιχίσεις σε διάφορα τμήματα των μαθηματικών, ανατρέξτε στην ενότητα Συνεχής οθόνη.

Συνεχής λειτουργία - Λειτουργία χωρίς "άλματα", δηλαδή, έτσι ώστε οι μικρές αλλαγές στο επιχείρημα να οδηγήσουν σε μικρές αλλαγές στην αξία της λειτουργίας.

Συνεχής λειτουργία, γενικά μιλώντας, συνώνυμο Η έννοια είναι μια συνεχής χαρτογράφηση, παρ 'όλα αυτά, ο όρος αυτός χρησιμοποιείται συνήθως με στενότερη έννοια - για αντιστοιχίσεις μεταξύ αριθμητικών χώρων, για παράδειγμα, σε μια πραγματική γραμμή. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε ακριβείς συνεχείς λειτουργίες που ορίζονται σε ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών και λαμβάνουν πραγματικές τιμές.

Εγκυκλοπαιδικό Youtube.

1 / 5

✪ Συνέχεια της λειτουργίας και σημείων διακοπής σημείων

✪ 15 συνεχής λειτουργία

✪ Συνεχείς λειτουργίες

✪ Μαθηματική ανάλυση, 5 μαθήματα, συνέχεια λειτουργίας

✪ Συνεχής τυχαία μεταβλητή. Λειτουργία διανομής

Υπότιτλοι

Ορισμός

Εάν "διορθώσετε" τη λειτουργία F (\\ displaystyle f) Στο σημείο του χάσματος μιας χρήσης και θέτει f (a) \u003d lim x → a f (x) (\\ displayStyle f (a) \u003d \\ lim \\ limits _ (x \\ έως a) f (x)), τότε η λειτουργία είναι συνεχής σε αυτό το σημείο. Μια τέτοια λειτουργία στη λειτουργία ονομάζεται Καθορισμένη λειτουργία σε συνεχή ή Ορισμός της λειτουργίας της συνέχειαςπου δικαιολογεί τον τίτλο του σημείου όπως τα σημεία αναλώσιμα Κυματισμός.

Rippoint "άλμα"

Το κενό "Jump" εμφανίζεται εάν

Lim x → a - 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\\ displaystyle \\ lim \\ limits _ (x \\ to a-0) f (x) \\ neq \\ limits _ (x \\ a + 0) f (x)).

Polyce σημείο

Η ρήξη του πόλου συμβαίνει εάν ένα από τα όρια μονής όψης είναι ατελείωτη.

Lim x → a - 0 f (x) \u003d ± ∞ (\\ displayStyle \\ l \\ Linits _ (x \\ to a-0) f (x) \u003d \\ pm \\ invty) ή Lim x → a + 0 f (x) \u003d ± ∞ (\\ displaystyle \\ lim \\ limits _ (x \\ + 0) f (x) \u003d \\ pm \\ invy). [ ]

Σημείο της βασικής ρήξης

Στο σημείο ενός σημαντικού διαμήνου, ένα από τα όρια μονής όψης γενικά απουσιάζει.

Ταξινόμηση απομονωμένων μοναδικών σημείων στο R N, N\u003e 1

Για λειτουργίες F: R N → R n (\\ learneStyle f: \\ mathbb (r) ^ (n) \\ \\ mathbb (r) ^ (n)) και F: C → C (\\ displayStyle f: \\ mathbb (c) \\ to \\ mathbb (c)) Δεν χρειάζεται να εργάζεστε με σημεία κενού, αλλά συχνά είναι απαραίτητο να συνεργαστείτε με ειδικά σημεία (σημεία όπου η λειτουργία δεν έχει οριστεί). Ταξινόμηση παρόμοια.

Η έννοια του "άλματος" απουσιάζει. Σε R (\\ displayStyle \\ mathbb (r)) Θεωρείται άλμα, σε χώρους μεγαλύτερων διαστάσεων - ένα σημαντικό μοναδικό σημείο.

Ιδιότητες

Τοπικός

Λειτουργία συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A)περιορίζεται σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου.
Εάν η λειτουργία F (\\ displaystyle f) Συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A) και F (a)\u003e 0 (\\ displayStyle f (a)\u003e 0) (ή F (a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Τ. f (x)\u003e 0 (\\ displayStyle f (x)\u003e 0) (ή f (x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) για όλα X (\\ displayStyle x), αρκετά κοντά Ένα (\\ displayStyle A).
Εάν λειτουργεί F (\\ displaystyle f) και G (\\ displaystyle g) Συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A), στη συνέχεια λειτουργίες F + G (\\ DisplayStyle F + G) και F ⋅ g (\\ displayStyle f \\ cdot g) Επίσης συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A).
Εάν λειτουργεί F (\\ displaystyle f) και G (\\ displaystyle g) Συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A) και όπου G (a) ≠ 0 (\\ displayStyle g (a) \\ neq 0), στη συνέχεια λειτουργία F / G (\\ DisplayStyle F / G) Επίσης συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A).
Εάν η λειτουργία F (\\ displaystyle f) Συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A) και λειτουργία G (\\ displaystyle g) Συνεχής στο σημείο b \u003d f (a) (\\ displayStyle b \u003d f (a))τότε η σύνθεσή τους H \u003d g ∘ f (\\ displayStyle h \u003d g \\ cirg f) Συνεχής στο σημείο Ένα (\\ displayStyle A).

Παγκόσμια

Compact Set), ομοιόμορφα συνεχές σε αυτό.
Η λειτουργία, η συνεχής στο τμήμα (ή οποιοδήποτε άλλο συμπαγές σύνολο), είναι περιορισμένο και φτάνει στη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του σε αυτήν.
Περιοχή τιμών λειτουργίας F (\\ displaystyle f)Συνεχής στο τμήμα είναι ένα τμήμα [Min f, max f], (\\ displayStyle [\\ min f, \\ \\ max f],) όπου ελάχιστο και μέγιστο ανάληψη του τμήματος [A, b] (\\ displayStyle).
Εάν η λειτουργία F (\\ displaystyle f) Συνεχής σε περικοπή [A, b] (\\ displayStyle) και f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} τότε υπάρχει ένα σημείο στο οποίο f (ξ) \u003d 0 (\\ displayStyle f (\\ xi) \u003d 0).
Εάν η λειτουργία F (\\ displaystyle f) Συνεχής σε περικοπή [A, b] (\\ displayStyle) και τον αριθμό Φ (\\ displayStyle \\ varphi) Ικανοποιεί την ανισότητα F (a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi ή ανισότητα f (a)\u003e φ\u003e f (b), (\\ displayStyle f (a)\u003e \\ varphi\u003e f (b),) Που υπάρχει σημείο Ξ ∈ (Α, Β), (\\ DisplayStyle \\ Xi \\ in (a, b),) εν f (ξ) \u003d φ (\\ displayStyle f (\\ xi) \u003d \\ varphi).
Η συνεχής εμφάνιση του τμήματος στο υλικό είναι άμεση ενέσιμα σε αυτό και μόνο όταν αυτή η λειτουργία στο τμήμα είναι αυστηρά μονότονη.
Μονοτονική λειτουργία στο τμήμα [A, b] (\\ displayStyle) Συνεχής σε αυτό και μόνο στην περίπτωση που η περιοχή των αξιών του είναι ένα τμήμα με τα άκρα F (a) (\\ displayStyle f (a)) και F (b) (\\ leaddstyle f (b)).
Εάν λειτουργεί F (\\ displaystyle f) και G (\\ displaystyle g) Συνεχής σε περικοπή [A, b] (\\ displayStyle), και F (a)< g (a) {\displaystyle f(a) και f (b)\u003e g (b), (\\ displayStyle f (b)\u003e g (b),) Που υπάρχει σημείο Ξ ∈ (Α, Β), (\\ DisplayStyle \\ Xi \\ in (a, b),) εν f (ξ) \u003d g (ξ). (\\ displayStyle f (\\ xi) \u003d g (\\ xi).) Ως εκ τούτου, ειδικότερα, προκύπτει ότι οποιαδήποτε συνεχής εμφάνιση του τμήματος από μόνο του έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο.

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις λειτουργίες

Αυτή η λειτουργία είναι συνεχής σε κάθε σημείο. x ≠ 0 (\\ displayStyle x \\ neq 0).

Το σημείο είναι ένα σημείο διακοπής Το πρώτο είδοςΕξάλλου

Lim x → 0 - f (x) \u003d - 1 ≠ 1 \u003d lim x → 0 + f (x) (\\ displayStyle \\ l \\ linits _ (x \\ to 0-) f (x) \u003d - 1 \\ neq 1 \u003d \\ Lim \\ Όρια _ (x \\ έως 0+) f (x)),

Ενώ βρίσκεται στο σημείο, η λειτουργία προσθέτει στο μηδέν.

Λειτουργία βήμα

Η λειτουργία που ορίζεται ως

f (x) \u003d (1, x ⩾ 0 0, x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

είναι παντού συνεχής αλλά σημείο x \u003d 0 (\\ displayStyle x \u003d 0)όπου η λειτουργία υποφέρει από το χάσμα του πρώτου είδους. Ωστόσο, στο σημείο x \u003d 0 (\\ displayStyle x \u003d 0) Υπάρχει ένα σωστό όριο που ταιριάζει με την τιμή της λειτουργίας σε αυτό το σημείο. Έτσι, αυτή η λειτουργία είναι ένα παράδειγμα. Συνεχή δεξιά Λειτουργίες Σε όλο τον τομέα του ορισμού.

Ομοίως, μια βηματική λειτουργία που ορίζεται ως

f (x) \u003d (1, x\u003e 0 0, x ⩽ 0, x ∈ r (\\ displaystyle f (x) \u003d (\\ begin (θήκες) 1, & x\u003e 0 \\\\ 0, & x \\ leqslant 0 \\ τέλος (περιπτώσεις)), \\ quad x \\ in \\ mathbb (r))

είναι ένα παράδειγμα Συνεχής αριστερά Λειτουργίες Σε όλο τον τομέα του ορισμού.

Λειτουργία Dirichlet

f (x) \u003d (1, x ∈ q 0, x ∈ r ∖ q (\\ displayStyle f (x) \u003d (\\ beend (θήκες) 1, & x \\ in \\ mathbb (q) \\\\ 0, & x \\ σε \\ mathbb (r) \\ setminus \\ mathbb (q) \\ end (περιπτώσεις))

Οι ορισμοί και τα σκευάσματα των κύριων θεωρήσεων και των ιδιοτήτων της συνεχούς λειτουργίας μιας μεταβλητής δίδονται. Οι ιδιότητες της συνεχούς λειτουργίας στο σημείο, στο τμήμα, το όριο και η συνέχεια της σύνθετης λειτουργίας, εξετάζονται η ταξινόμηση των σημείων εκκένωσης. Οι ορισμοί και τα θεωρήματα που σχετίζονται με την αντίστροφη λειτουργία δίνονται. Οι ιδιότητες των στοιχειωδών λειτουργιών παρατίθενται.

Περιεχόμενο

Είναι δυνατόν να διατυπώσουμε την έννοια της συνέχειας Όροι προσαυξήσεων. Για να το κάνετε αυτό, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή, η οποία ονομάζεται αύξηση της μεταβλητής x στο σημείο. Στη συνέχεια, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο εάν
.
Εισάγετε ένα νέο χαρακτηριστικό:
.
Ονομάζεται αύξηση της λειτουργίας Στο σημείο. Στη συνέχεια, η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο εάν
.

Σταθερό περιορισμό λειτουργίας Θεώρημα
Αφήστε F. (Χ) Συνεχής στο σημείο x 0 . Τότε υπάρχει μια τέτοια γειτονιά u (x 0)στην οποία η λειτουργία είναι περιορισμένη.

Συνεχής Λειτουργία Υπογράψτε το Θεώρημα
Αφήστε τη λειτουργία συνεχής στο σημείο. Και αφήστε το να έχει θετική (αρνητική) αξία σε αυτό το σημείο:
.
Στη συνέχεια, υπάρχει μια τέτοια γειτονιά ενός σημείου όπου η λειτουργία έχει θετική (αρνητική) τιμή:
στο.

Αριθμητικές ιδιότητες συνεχών λειτουργιών
Αφήστε τις λειτουργίες και να είναι συνεχές στο σημείο.
Στη συνέχεια λειτουργίες και συνεχής στο σημείο.
Εάν, τότε η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο.

Ακίνητα συνέχειας στα αριστερά και δεξιά
Η λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο και μόνο αν είναι συνεχής στα δεξιά και αριστερά.

Οι αποδείξεις ιδιοκτησίας δίδονται στις "ιδιότητες των συνεχών ακινήτων στα σημεία των λειτουργιών".

Συνέχεια σύνθετης λειτουργίας

Συνέχεια θεώρημα συνέχειας
Αφήστε τη λειτουργία συνεχής στο σημείο. Και αφήστε τη λειτουργία συνεχής στο σημείο.
Στη συνέχεια, η σύνθετη λειτουργία είναι συνεχής στο σημείο.

Όριο σύνθετης λειτουργίας

Το όριο θεώρημα της συνεχούς λειτουργίας από τη λειτουργία
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα όριο της λειτουργίας όταν, και είναι ίση με:
.
Εδώ σημείο Τ. 0 Μπορεί να είναι πεπερασμένη ή απείρως απομακρυσμένη :.
Και αφήστε τη λειτουργία συνεχής στο σημείο.
Στη συνέχεια, υπάρχει ένα όριο μιας σύνθετης λειτουργίας και είναι ίση με:
.

Λειτουργία συμπλόκου τερματικού θεώρημα
Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία έχει ένα όριο και εμφανίζει τη διάτρητη γειτονιά του σημείου στη διάτρητη γειτονιά του σημείου. Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία καθορίζεται σε αυτή τη γειτονιά και έχει ένα όριο σε αυτό.
Εδώ - τα τελικά ή απείρως απομακρυσμένα σημεία :. Το περιβάλλον και τα αντίστοιχα όρια μπορούν να είναι διμερείς και μονόπλευρες.
Στη συνέχεια, υπάρχει ένα όριο μιας σύνθετης λειτουργίας και είναι ίση με:
.

Σημεία ψεκασμού

Ορισμός του σημείου διακοπής
Αφήστε τη λειτουργία να προσδιοριστεί σε κάποια τρυπημένη γειτονιά του σημείου. Το σημείο καλείται Σημείο ρήξης Εάν εκτελείται μία από τις δύο προϋποθέσεις:
1) δεν ορίζεται.
2) που ορίζεται, αλλά όχι σε αυτό το σημείο.

Προσδιορισμός του σημείου κενού του 1ου γένους
Το σημείο καλείται Το σημείο να σπάσει το πρώτο είδοςΕάν πρόκειται για σημείο διακοπής και υπάρχουν τελικά όρια μονής όψης στα αριστερά και δεξιά:
.

Ορισμός της λειτουργίας του άλματος
Μετάβαση δ Στο σημείο είναι η διαφορά μεταξύ των ορίων στα δεξιά και αριστερά
.

Ορισμός του καθορισμού σημείου διαφορών
Το σημείο καλείται Σημείο διάλειμμαΕάν υπάρχει ένα όριο
,
Αλλά η λειτουργία στο σημείο είναι ή δεν ορίζεται ή δεν είναι ίση με την οριακή τιμή :.

Έτσι, το σημείο συγκράτησης της χρήσης είναι το σημείο σπάζοντας το 1ο γένους, στο οποίο οι λειτουργίες της λειτουργίας είναι μηδέν.

Ορισμός του σημείου κενού του 2ου είδους
Το σημείο καλείται Το σημείο ρήξης του δεύτερου είδουςΕάν δεν είναι ένα σημείο σπάσιμο του 1ου γένους. Δηλαδή, αν δεν υπάρχει, τουλάχιστον ένα μονόπλευρο όριο, ή τουλάχιστον ένα όψη μονής όψης στο σημείο είναι το άπειρο.

Ιδιότητες των λειτουργιών Συνεχής στο τμήμα

Λειτουργία ορισμού, συνεχής στο τμήμα
Η λειτουργία ονομάζεται συνεχής στο τμήμα (όταν), εάν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος (όταν) και στα σημεία Α και Β, αντίστοιχα.

Το πρώτο θεώρημα Weierstrass συνεχώς συνεχώς συνεχώς σε ένα τμήμα μιας συνάρτησης
Εάν η λειτουργία είναι συνεχής στο τμήμα, περιορίζεται σε αυτό το τμήμα.

Προσδιορισμός της μέγιστης επιτυχησιμότητας (ελάχιστο)
Η λειτουργία φτάνει στο μέγιστο (ελάχιστο) στο σύνολο, εάν υπάρχει ένα τέτοιο επιχείρημα για το οποίο
για όλα .

Προσδιορισμός της επίτευξης της άνω (κάτω) προσώπου
Η λειτουργία φτάνει στην επάνω (κάτω) πρόσωπο του στο σετ, εάν υπάρχει ένα τέτοιο επιχείρημα για το οποίο
.

Το δεύτερο θεώρημα Weierstrass στο μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνεχούς λειτουργίας
Η λειτουργία συνεχής στο τμήμα φτάνει τα επάνω και κάτω πρόσωπα του σε αυτήν ή, η οποία είναι η ίδια, φτάνει στο τμήμα του μέγιστου και του ελάχιστου του.

Bolzano Theorem - Cauchy για το ενδιάμεσο νόημα
Αφήστε τη λειτουργία συνεχούς στο τμήμα. Και η C έχει έναν αυθαίρετο αριθμό μεταξύ των τιμών της λειτουργίας στα άκρα του τμήματος: και. Τότε υπάρχει ένα σημείο για το οποίο
.

Επικάλυψη 1.
Αφήστε τη λειτουργία συνεχούς στο τμήμα. Και αφήστε τις τιμές της λειτουργίας στα άκρα του τμήματος να έχουν διαφορετικές πινακίδες: Or. Στη συνέχεια υπάρχει ένα σημείο, η αξία της λειτουργίας στην οποία είναι μηδέν:
.

Επικάλυψη 2.
Αφήστε τη λειτουργία συνεχούς στο τμήμα. Αστο να πάει . Στη συνέχεια, η λειτουργία αναλαμβάνει το τμήμα όλες οι τιμές από και μόνο αυτές οι τιμές:
στο.

Αντίστροφη λειτουργίες

Ορισμός της αντίστροφης λειτουργίας
Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία έχει ένα πεδίο προσδιορισμού Χ και μια πληθώρα τιμών y. Και αφήστε το να κατέχει την ιδιότητα:
για όλα .
Στη συνέχεια, για οποιοδήποτε στοιχείο, μόνο ένα στοιχείο του σετ x μπορεί να τοποθετηθεί σε ευθυγράμμιση με το σύνολο Y, για το οποίο. Μια τέτοια συμμόρφωση καθορίζει τη λειτουργία που ονομάζεται αντίστροφη λειτουργία προς το. Η αντίστροφη λειτουργία υποδεικνύεται ως εξής:
.

Από τον ορισμό που ακολουθεί αυτό
;
για όλα ;
για όλα .

Lemma σχετικά με την αμοιβαία μονοτονία των άμεσων και αντιστρεπτικών λειτουργιών
Εάν η λειτουργία αυξάνεται αυστηρά (μειώνεται), τότε υπάρχει μια αντίστροφη λειτουργία, η οποία επίσης αυστηρά αυξάνεται (μειώνεται).

Ακίνητα για συμμετρία γραφημάτων άμεσων και αντιστρεπτικών λειτουργιών
Τα γραφήματα των άμεσων και αντίστροφων λειτουργιών είναι συμμετρικές για άμεση.

Θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια των ανατροφοδοτήσεων σχετικά με το τμήμα
Αφήστε τη λειτουργία συνεχούς και αυστηρά να αυξηθεί (μειώνεται) στο τμήμα. Στη συνέχεια η αντίστροφη λειτουργία ορίζεται στο τμήμα, το οποίο αυξάνεται αυστηρά (μειώνεται).

Για μια αυξανόμενη λειτουργία. Για τη μείωση -.

Θεώρημα σχετικά με την ύπαρξη και τη συνέχεια των ανατροφοδοτήσεων σχετικά με το διάστημα
Ας υποθέσουμε ότι η λειτουργία είναι συνεχής και αυστηρά αυξάνεται (μειώνεται) σε ανοικτό άκρο ή άπειρο διάστημα. Στη συνέχεια ορίζεται η αντίστροφη λειτουργία και συνεχίζεται στο διάστημα, γεγονός που αυξάνεται αυστηρά (μειώνεται).

Για μια αυξανόμενη λειτουργία.
Για τη μείωση :.

Ομοίως, μπορείτε να διατυπώσετε το θεώρημα στην ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης λειτουργίας στο ημι-διάστημα.

Ακίνητα και συνέχεια των στοιχειωδών λειτουργιών

Οι στοιχειώδεις λειτουργίες και οι πίσω τους είναι συνεχές στην περιοχή ορισμού τους. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε τη διατύπωση των σχετικών θεωρήσεων και να δώσουμε αναφορές στα αποδεικτικά στοιχεία τους.

Εκθετικη συναρτηση

Ενδεικτική λειτουργία F. (x) \u003d ένα x, με το λόγο α > 0 - Πρόκειται για ένα όριο ακολουθίας
,
όπου υπάρχει αυθαίρετη ακολουθία λογικών αριθμών, αναζητώντας x:
.

Θεώρημα. Ιδιότητες της ενδεικτικής λειτουργίας
Η ενδεικτική λειτουργία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(Σελ .0) που ορίζεται, με, για όλους,
(Ρήτρα 1) Με ένα ≠ 1 έχει πολλές τιμές.
(Ρήτρα 2) αυστηρά αυξήσεις με, αυστηρά μειώνεται, είναι σταθερή.
(Ρήτρα 3) ;
(P.3 *) ;
(Ρήτρα 4) ;
(Σελ. 5) ;
(Σελ. 6) ;
(Π. 7) ;
(Σελ .8) Συνεχής για όλους.
(Σελ. 9) όταν;
στο.

Λογάριθμος

Λογαριθμική λειτουργία ή λογάριθμος, y \u003d καταγραφή ενός x, με το λόγο α - Αυτή είναι μια λειτουργία αντίστροφη σε μια ενδεικτική λειτουργία με τη βάση α.

Θεώρημα. Ακίνητα του λογαρίθμου
Λογαριθμική λειτουργία με βάση a, y \u003d Καταγράψτε ένα X.έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(L.1) καθορισμένο και συνεχείς και, για θετικές τιμές του επιχειρήματος,
(L.2) έχει πολλές τιμές.
(L.3) αυστηρά αυξάνεται με, αυστηρά μειώνεται.
(L.4) όταν;
όταν;
(L.5) ;
(L.6) όταν;
(L.7) όταν;
(L.8) όταν;
(L.9) στο.

Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος

Στους ορισμούς της ενδεικτικής λειτουργίας και του λογαρίθμου, εμφανίζεται η σταθερά Α, η οποία ονομάζεται βάση του βαθμού ή τη βάση του λογαριού. Στη μαθηματική ανάλυση, στη συντριπτική πλειοψηφία, επιτυγχάνονται πιο απλούς υπολογισμοί εάν ο αριθμός Ε χρησιμοποιείται ως βάση.
.
Η ενδεικτική λειτουργία με τη βάση Ε ονομάζεται εκθέτης :, και ο λογάριθμος για τη βάση Ε είναι ένας φυσικός λογάριθμος :.

Οι εκθέτες ακινήτων και ο φυσικός λογάριθμος εκτίθενται στις σελίδες
"Εκθέτης, Ε ένα πτυχίο x",
"Φυσικός λογάριθμος, Λειτουργία LN X"

Λειτουργία ισχύος

Λειτουργία ισχύος με έναν δείκτη P - Αυτή είναι η λειτουργία f (x) \u003d x p, της οποίας η τιμή στο σημείο Χ ισούται με την τιμή της ενδεικτικής λειτουργίας με τη βάση Χ στο σημείο Ρ.
Επιπλέον, F (0) \u003d 0 p \u003d 0 στο p\u003e 0 .

Εδώ θα εξετάσουμε τις ιδιότητες της λειτουργίας ισχύος y \u003d x p με μη αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Για λογικό, με περίεργο m, η λειτουργία ισχύος προσδιορίζεται επίσης για αρνητικό X. Στην περίπτωση αυτή, οι ιδιότητές του μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας ισοτιμία ή παράξενο.
Αυτές οι περιπτώσεις συζητούνται λεπτομερώς και απεικονίζονται στη σελίδα "Λειτουργία ισχύος, τις ιδιότητες και τις γραφικές του".

Θεώρημα. Τις ιδιότητες της λειτουργίας ισχύος (x ≥ 0)
Η λειτουργία ισχύος, το y \u003d x p, με την παράμετρο P έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
(Σελ.1) καθορισμένη και συνεχής στο σύνολο
όταν
με. "

Τριγωνομετρικές λειτουργίες

Θεώρημα στη συνέχεια των τριγωνομετρικών λειτουργιών
Τριγωνομετρικές λειτουργίες: κόλπος ( sIN X.), cosine ( cos x.), Εφαπτόμενη ( tg x.) και cotangent ( cTG X.

Θεώρημα στη συνέχεια των αντίστροφων τριγωνομετρικών λειτουργιών
Αντίστροφες τριγωνομετρικές λειτουργίες: Arksinus ( arcsin X.), Arkkosinus ( arccos X.), Arctanens ( arctg X.) και arkotangent ( arcctg X.), συνεχής στους τομείς ορισμού τους.

Δείτε επίσης:

Τι συνάρτηση είναι συνεχής. Καθορίζοντας τη συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο. Ερωτήσεις για αυτοέλεγχους γνώσης

Λειτουργία συνέχειας. Σημείο ρήξης.

Λειτουργία συνέχειας. Τα ταξινόμησή τους και την ταξινόμησή τους

Η έννοια της συνάρτησης της συνέχειας

Συνέχεια της λειτουργίας στο σημείο και στο διάστημα

Ταξινόμηση των σημείων ρήξης

Πρώτο σημείο διακοπής

Δεύτερα σημεία διακοπής

Πώς να διερευνήσετε μια λειτουργία για συνέχεια;

Συνέχεια στο σημείο

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1.

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της Heine

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του Cauchy

Παράδειγμα 2.

Εγκυκλοπαιδικό Youtube.

Υπότιτλοι

Ορισμός

Rippoint "άλμα"

Polyce σημείο

Σημείο της βασικής ρήξης

Ταξινόμηση απομονωμένων μοναδικών σημείων στο R N, N\u003e 1

Ιδιότητες

Τοπικός

Παγκόσμια

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις λειτουργίες

Λειτουργία βήμα

Λειτουργία Dirichlet

Συνέχεια σύνθετης λειτουργίας

Όριο σύνθετης λειτουργίας

Σημεία ψεκασμού

Ιδιότητες των λειτουργιών Συνεχής στο τμήμα

Αντίστροφη λειτουργίες

Ακίνητα και συνέχεια των στοιχειωδών λειτουργιών

Εκθετικη συναρτηση

Λογάριθμος

Εκθέτης και φυσικός λογάριθμος

Λειτουργία ισχύος

Τριγωνομετρικές λειτουργίες