Απόδειξη και παραγωγή τύπων για την παράγωγο του εκθέτη (e στη δύναμη του x) και εκθετικη συναρτηση(α στη δύναμη x). Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των e^2x, e^3x και e^nx. Τύποι για παράγωγα υψηλότερων τάξεων.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Εκθετική συνάρτηση - ιδιότητες, τύποι, γράφημα
Εκθέτης, e στη δύναμη του x - ιδιότητες, τύποι, γράφημα

Βασικές φόρμουλες

Η παράγωγος του εκθέτη είναι ίση με τον ίδιο τον εκθέτη (η παράγωγος του e στη δύναμη του x είναι ίση με το e στη δύναμη του x):
(1) (e x )′ = e x.

Η παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού a είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση, πολλαπλασιαζόμενη με τον φυσικό λογάριθμο του a:
(2) .

Ο εκθέτης είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση εκθέτη είναι ίση με τον αριθμό e, που είναι το ακόλουθο όριο:
.
Εδώ μπορεί να είναι είτε φυσικός είτε πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια, εξάγουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του εκθέτη

Θεωρήστε τον εκθέτη, e στη δύναμη του x:
y = e x .
Αυτή η λειτουργία έχει οριστεί για όλους. Ας βρούμε την παράγωγό του ως προς το x . Εξ ορισμού, η παράγωγος είναι το ακόλουθο όριο:
(3) .

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση για να την αναγάγουμε σε γνωστές μαθηματικές ιδιότητες και κανόνες. Για αυτό χρειαζόμαστε τα ακόλουθα γεγονότα:
ΕΝΑ)Ιδιότητα εκθέτη:
(4) ;
ΣΙ)Ιδιότητα λογάριθμου:
(5) ;
ΣΕ)Συνέχεια του λογάριθμου και ιδιότητα των ορίων για μια συνεχή συνάρτηση:
(6) .
Εδώ, είναι κάποια συνάρτηση που έχει ένα όριο και αυτό το όριο είναι θετικό.
ΣΟΛ)Η έννοια του δεύτερου υπέροχου ορίου:
(7) .

Εφαρμόζουμε αυτά τα δεδομένα στο όριο μας (3). Χρησιμοποιούμε την ιδιοκτησία (4):
;
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα ; .
Λόγω της συνέχειας του εκθέτη,
.
Επομένως, στο , . Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα . Στο , . Και έχουμε:
.

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου (5):
. Επειτα
.

Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα (6). Εφόσον υπάρχει θετικό όριο και ο λογάριθμος είναι συνεχής, τότε:
.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε και το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (7). Επειτα
.

Έτσι, έχουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα εξάγουμε τον τύπο (2) για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού α. Πιστεύουμε ότι και . Στη συνέχεια η εκθετική συνάρτηση
(8)
Καθορισμένο για όλους.

Ας μετατρέψουμε τον τύπο (8). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης και του λογάριθμου.
;
.
Έτσι, μετασχηματίσαμε τον τύπο (8) στην ακόλουθη μορφή:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης του e στη δύναμη του x

Τώρα ας βρούμε παράγωγα υψηλότερων τάξεων. Ας δούμε πρώτα τον εκθέτη:
(14) .
(1) .

Βλέπουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης (14) είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση (14). Διαφοροποιώντας (1), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος nης τάξης είναι επίσης ίση με την αρχική συνάρτηση:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα θεωρήστε μια εκθετική συνάρτηση με βάση το βαθμό α:
.
Βρήκαμε την παράγωγο πρώτης τάξης του:
(15) .

Διαφοροποιώντας (15), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Βλέπουμε ότι κάθε διαφοροποίηση οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της αρχικής συνάρτησης με . Επομένως, η nη παράγωγος έχει την ακόλουθη μορφή:
.

Δείτε επίσης:

Με αυτό το βίντεο, ξεκινάω μια μεγάλη σειρά μαθημάτων για τα παράγωγα. Αυτό το μάθημα έχει πολλά μέρη.

Πρώτα απ 'όλα, θα σας πω τι είναι γενικά τα παράγωγα και πώς να τα υπολογίσετε, αλλά όχι σε μια περίπλοκη ακαδημαϊκή γλώσσα, αλλά με τον τρόπο που το καταλαβαίνω εγώ ο ίδιος και πώς το εξηγώ στους μαθητές μου. Δεύτερον, θα εξετάσουμε τον απλούστερο κανόνα για την επίλυση προβλημάτων στον οποίο θα αναζητήσουμε παραγώγους αθροισμάτων, παραγώγους διαφοράς και παραγώγους συνάρτησης ισχύος.

Θα εξετάσουμε πιο σύνθετα συνδυασμένα παραδείγματα, από τα οποία θα μάθετε, συγκεκριμένα, ότι παρόμοια προβλήματα που αφορούν ρίζες και ακόμη και κλάσματα μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος. Επιπλέον, φυσικά, θα υπάρχουν πολλές εργασίες και παραδείγματα λύσεων διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας.

Γενικά, αρχικά επρόκειτο να ηχογραφήσω ένα σύντομο βίντεο διάρκειας 5 λεπτών, αλλά μπορείτε να δείτε μόνοι σας τι προέκυψε. Αρκετοί λοιπόν οι στίχοι - ας ασχοληθούμε.

Τι είναι ένα παράγωγο;

Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε από μακριά. Πριν από πολλά χρόνια, όταν τα δέντρα ήταν πιο πράσινα και η ζωή ήταν πιο διασκεδαστική, οι μαθηματικοί σκέφτηκαν το εξής: σκεφτείτε μια απλή συνάρτηση που δίνεται από το γράφημά της, ας την ονομάσουμε $y=f\left(x \right)$. Φυσικά, το γράφημα δεν υπάρχει από μόνο του, επομένως πρέπει να σχεδιάσετε τον άξονα $x$, καθώς και τον άξονα $y$. Και τώρα ας επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το γράφημα, απολύτως οποιοδήποτε. Ας ονομάσουμε την τετμημένη $((x)_(1))$, η τεταγμένη, όπως μπορείτε να μαντέψετε, θα είναι $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Εξετάστε ένα άλλο σημείο στο ίδιο γράφημα. Δεν έχει σημασία ποιο, το κυριότερο είναι ότι διαφέρει από το πρωτότυπο. Έχει, πάλι, μια τετμημένη, ας την ονομάσουμε $((x)_(2))$, καθώς και μια τεταγμένη - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Έτσι, έχουμε δύο σημεία: έχουν διαφορετικά τετμημένα και, επομένως, διαφορετικές έννοιεςλειτουργίες, αν και το τελευταίο είναι προαιρετικό. Αλλά αυτό που είναι πραγματικά σημαντικό είναι ότι γνωρίζουμε από το μάθημα της επιπεδομετρίας ότι μια ευθεία γραμμή μπορεί να τραβήξει δύο σημεία και, επιπλέον, μόνο ένα. Ορίστε, ας το τρέξουμε.

Και τώρα ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από την πρώτη από αυτές, παράλληλη με τον άξονα x. Παίρνω ορθογώνιο τρίγωνο. Ας το ονομάσουμε $ABC$, ορθή γωνία $C$. Αυτό το τρίγωνο έχει μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το γεγονός είναι ότι η γωνία $\alpha $ είναι, στην πραγματικότητα, ίση με τη γωνία κάτω από την οποία η ευθεία $AB$ τέμνεται με τη συνέχεια του άξονα της τετμημένης. Κρίνετε μόνοι σας:

Η γραμμή $AC$ είναι παράλληλη με τον άξονα $Ox$ κατά κατασκευή,
Η γραμμή $AB$ τέμνει το $AC$ κάτω από το $\alpha $,
επομένως το $AB$ τέμνει το $Ox$ κάτω από το ίδιο $\alpha $.

Τι μπορούμε να πούμε για το $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$; Τίποτα συγκεκριμένο, εκτός από το ότι στο τρίγωνο $ABC$ ο λόγος του σκέλους $BC$ προς το σκέλος $AC$ είναι ίσος με την εφαπτομένη αυτής ακριβώς της γωνίας. Ας γράψουμε λοιπόν:

Φυσικά, το $AC$ σε αυτήν την περίπτωση θεωρείται εύκολα:

Ομοίως για $BC$:

Με άλλα λόγια, μπορούμε να γράψουμε τα εξής:

\[\όνομα χειριστή(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \δεξιά))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Τώρα που τα έχουμε ξεμπερδέψει όλα αυτά, ας επιστρέψουμε στο γράφημά μας και ας δούμε το νέο σημείο $B$. Διαγράψτε τις παλιές τιμές και πάρτε και πάρτε το $B$ κάπου πιο κοντά στο $((x)_(1))$. Ας υποδηλώσουμε ξανά την τετμημένη του ως $((x)_(2))$ και την τεταγμένη του ως $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Σκεφτείτε ξανά το μικρό μας τρίγωνο $ABC$ και $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ μέσα σε αυτό. Είναι προφανές ότι αυτή θα είναι μια εντελώς διαφορετική γωνία, η εφαπτομένη θα είναι επίσης διαφορετική επειδή τα μήκη των τμημάτων $AC$ και $BC$ έχουν αλλάξει σημαντικά και ο τύπος για την εφαπτομένη της γωνίας δεν έχει αλλάξει καθόλου - αυτή εξακολουθεί να είναι η αναλογία μεταξύ της αλλαγής της συνάρτησης και της αλλαγής του ορίσματος .

Τέλος, συνεχίζουμε να μετακινούμε το $B$ όλο και πιο κοντά στο αρχικό σημείο $A$, ως αποτέλεσμα, το τρίγωνο θα μειωθεί ακόμη περισσότερο και η γραμμή που περιέχει το τμήμα $AB$ θα μοιάζει όλο και περισσότερο σαν εφαπτομένη στο γράφημα της συνάρτησης.

Ως αποτέλεσμα, αν συνεχίσουμε να προσεγγίζουμε τα σημεία, δηλαδή να μειώσουμε την απόσταση στο μηδέν, τότε η ευθεία $AB$ θα μετατραπεί πράγματι σε εφαπτομένη στο γράφημα σε αυτό το σημείο, και σε $\text( )\!\! Το \alpha\!\ !\text( )$ θα αλλάξει από στοιχείο κανονικού τριγώνου σε γωνία μεταξύ της εφαπτομένης στο γράφημα και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $Ox$.

Και εδώ προχωράμε ομαλά στον ορισμό της $f$, δηλαδή, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο $((x)_(1))$ είναι η εφαπτομένη της γωνίας $\alpha $ μεταξύ της εφαπτομένης στην γράφημα στο σημείο $((x)_( 1))$ και τη θετική κατεύθυνση του άξονα $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\όνομα χειριστή(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Επιστρέφοντας στο γράφημά μας, θα πρέπει να σημειωθεί ότι ως $((x)_(1))$, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο στο γράφημα. Για παράδειγμα, με την ίδια επιτυχία, θα μπορούσαμε να αφαιρέσουμε το κτύπημα στο σημείο που φαίνεται στο σχήμα.

Ας ονομάσουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα $\beta $. Αντίστοιχα, το $f$ σε $((x)_(2))$ θα είναι ίσο με την εφαπτομένη αυτής της γωνίας $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Κάθε σημείο του γραφήματος θα έχει τη δική του εφαπτομένη και, κατά συνέπεια, τη δική του τιμή της συνάρτησης. Σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις, εκτός από το σημείο στο οποίο αναζητούμε την παράγωγο μιας διαφοράς ή ενός αθροίσματος ή μιας παραγώγου μιας συνάρτησης ισχύος, είναι απαραίτητο να πάρουμε ένα άλλο σημείο που βρίσκεται σε κάποια απόσταση από αυτό και στη συνέχεια κατευθύνετε αυτό το σημείο στο αρχικό και, φυσικά, μάθετε πώς στη διαδικασία μια τέτοια κίνηση θα αλλάξει την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Δυστυχώς, αυτός ο ορισμός δεν μας ταιριάζει καθόλου. Όλοι αυτοί οι τύποι, οι εικόνες, οι γωνίες δεν μας δίνουν την παραμικρή ιδέα για το πώς να υπολογίσουμε την πραγματική παράγωγο σε πραγματικά προβλήματα. Επομένως, ας απομακρυνθούμε λίγο από τον επίσημο ορισμό και ας εξετάσουμε πιο αποτελεσματικές φόρμουλες και τεχνικές με τις οποίες μπορείτε ήδη να λύσετε πραγματικά προβλήματα.

Ας ξεκινήσουμε με τις απλούστερες κατασκευές, δηλαδή, συναρτήσεις της μορφής $y=((x)^(n))$, δηλ. λειτουργίες ισχύος. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε τα εξής: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Με άλλα λόγια, ο βαθμός που ήταν στον εκθέτη εμφανίζεται στον πολλαπλασιαστή μπροστά , και ο ίδιος ο εκθέτης μειώνεται κατά μονάδα, για παράδειγμα:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Και εδώ είναι μια άλλη επιλογή:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\αριστερά(x \δεξιά))^(\prime ))=1 \\\end(στοίχιση)\]

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους απλούς κανόνες, ας προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε τα ακόλουθα παραδείγματα:

Παίρνουμε λοιπόν:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη έκφραση:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(στοίχιση)\]

Φυσικά, αυτά ήταν πολύ απλές εργασίες. Ωστόσο, τα πραγματικά προβλήματα είναι πιο περίπλοκα και δεν περιορίζονται στις εξουσίες μιας συνάρτησης.

Έτσι, ο κανόνας αριθμός 1 - εάν η συνάρτηση αναπαρίσταται ως οι άλλες δύο, τότε η παράγωγος αυτού του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:

\[((\αριστερά(f+g \δεξιά))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Ομοίως, η παράγωγος της διαφοράς δύο συναρτήσεων είναι ίση με τη διαφορά των παραγώγων:

\[((\αριστερά(f-g \δεξιά))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\αριστερά(x \δεξιά))^(\prime ))=2x+1\]

Επιπλέον, υπάρχει ένα ακόμη σημαντικός κανόνας: αν πριν από κάποια $f$ μια σταθερά $c$, με την οποία πολλαπλασιάζεται αυτή η συνάρτηση, τότε το $f$ ολόκληρης αυτής της κατασκευής θεωρείται ως εξής:

\[((\αριστερά(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ πρώτος ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Τέλος, ένας ακόμη πολύ σημαντικός κανόνας: τα προβλήματα συχνά περιέχουν έναν ξεχωριστό όρο που δεν περιέχει καθόλου $x$. Για παράδειγμα, μπορούμε να το παρατηρήσουμε αυτό στις σημερινές μας εκφράσεις. Η παράγωγος μιας σταθεράς, δηλαδή ενός αριθμού που δεν εξαρτάται με κανέναν τρόπο από το $x$, είναι πάντα ίση με μηδέν και δεν έχει καμία σημασία με τι ισούται η σταθερά $c$:

\[((\αριστερά(c \δεξιά))^(\prime ))=0\]

Παράδειγμα λύσης:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Για άλλη μια φορά τα βασικά σημεία:

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι πάντα ίση με το άθροισμα των παραγώγων: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Για παρόμοιους λόγους, η παράγωγος της διαφοράς δύο συναρτήσεων είναι ίση με τη διαφορά δύο παραγώγων: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Εάν η συνάρτηση έχει μια σταθερά παράγοντα, τότε αυτή η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
Αν ολόκληρη η συνάρτηση είναι σταθερά, τότε η παράγωγός της είναι πάντα μηδέν: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Ας δούμε πώς λειτουργούν όλα με πραγματικά παραδείγματα. Ετσι:

Καταγράφουμε:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\αριστερά (((x)^(5)) \δεξιά))^(\prime ))-((\αριστερά(3((x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\αριστερά(((x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(στοίχιση)\]

Σε αυτό το παράδειγμα, βλέπουμε τόσο την παράγωγο του αθροίσματος όσο και την παράγωγο της διαφοράς. Άρα η παράγωγος είναι $5((x)^(4))-6x$.

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη συνάρτηση:

Γράψε τη λύση:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3(x)^( 2)) \δεξιά))^(\prime ))-((\αριστερά(2x \δεξιά))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\αριστερά(((x) ^(2)) \δεξιά))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Εδώ βρήκαμε την απάντηση.

Ας προχωρήσουμε στην τρίτη λειτουργία - είναι ήδη πιο σοβαρή:

\[\αρχή(στοίχιση)& ((\αριστερά(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \δεξιά)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \δεξιά))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Βρήκαμε την απάντηση.

Ας προχωρήσουμε στην τελευταία έκφραση - την πιο περίπλοκη και μεγαλύτερη:

Λοιπόν, θεωρούμε:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(στοίχιση)\]

Αλλά η λύση δεν τελειώνει εκεί, γιατί μας ζητείται όχι μόνο να αφαιρέσουμε το stroke, αλλά να υπολογίσουμε την τιμή του σε ένα συγκεκριμένο σημείο, οπότε αντικαθιστούμε −1 αντί για $x$ στην έκφραση:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Προχωράμε παραπέρα και προχωράμε σε ακόμα πιο περίπλοκα και ενδιαφέροντα παραδείγματα. Το θέμα είναι ότι ο τύπος για την επίλυση της παραγώγου ισχύος $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ έχει ακόμη ευρύτερο πεδίο εφαρμογής από ό,τι πιστεύεται συνήθως. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα, ρίζες κ.λπ. Αυτό θα κάνουμε τώρα.

Αρχικά, ας γράψουμε ξανά τον τύπο, ο οποίος θα μας βοηθήσει να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ισχύος:

Και τώρα προσοχή: μέχρι στιγμής θεωρούσαμε μόνο φυσικούς αριθμούς ως $n$, αλλά τίποτα δεν μας εμποδίζει να θεωρήσουμε κλάσματα και άρτια αρνητικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε τα εξής:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(στοίχιση)\]

Τίποτα περίπλοκο, οπότε ας δούμε πώς θα μας βοηθήσει αυτός ο τύπος όταν λύνουμε περισσότερα απαιτητικές εργασίες. Λοιπόν ένα παράδειγμα:

Γράψε τη λύση:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ αριστερά(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(στοίχιση)\]

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας και ας γράψουμε:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3)))))\]

Αυτή είναι μια τόσο δύσκολη απόφαση.

Ας προχωρήσουμε στο δεύτερο παράδειγμα - υπάρχουν μόνο δύο όροι, αλλά καθένας από αυτούς περιέχει και έναν κλασικό βαθμό και ρίζες.

Τώρα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος, η οποία, επιπλέον, περιέχει μια ρίζα:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \δεξιά))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(στοίχιση)\]

Και οι δύο όροι υπολογίζονται, μένει να γράψουμε την τελική απάντηση:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Βρήκαμε την απάντηση.

Παράγωγος κλάσματος σε συνάρτηση ισχύος

Αλλά οι δυνατότητες του τύπου για την επίλυση της παραγώγου μιας συνάρτησης ισχύος δεν τελειώνουν εκεί. Το γεγονός είναι ότι με τη βοήθειά του μπορείτε να μετρήσετε όχι μόνο παραδείγματα με ρίζες, αλλά και με κλάσματα. Αυτή είναι ακριβώς αυτή η σπάνια ευκαιρία που απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τη λύση τέτοιων παραδειγμάτων, αλλά συχνά αγνοείται όχι μόνο από τους μαθητές, αλλά και από τους καθηγητές.

Έτσι, τώρα θα προσπαθήσουμε να συνδυάσουμε δύο τύπους ταυτόχρονα. Από τη μία πλευρά, η κλασική παράγωγος μιας συνάρτησης ισχύος

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Από την άλλη πλευρά, γνωρίζουμε ότι μια έκφραση της μορφής $\frac(1)((x)^(n)))$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως $((x)^(-n))$. Ως εκ τούτου,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Έτσι, οι παράγωγοι απλών κλασμάτων, όπου ο αριθμητής είναι σταθερά και ο παρονομαστής ένας βαθμός, υπολογίζονται επίσης με τον κλασικό τύπο. Ας δούμε πώς λειτουργεί στην πράξη.

Η πρώτη συνάρτηση λοιπόν:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \δεξιά))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ δεξιά))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Το πρώτο παράδειγμα λύθηκε, ας περάσουμε στο δεύτερο:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \δεξιά))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \δεξιά))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \δεξιά))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \δεξιά))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \δεξιά) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\αριστερά(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ αριστερά(3((x)^(4)) \δεξιά))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)\]...

Τώρα συλλέγουμε όλους αυτούς τους όρους σε έναν ενιαίο τύπο:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Πήραμε απάντηση.

Ωστόσο, πριν προχωρήσουμε, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στη μορφή γραφής των ίδιων των αρχικών εκφράσεων: στην πρώτη έκφραση γράψαμε $f\left(x \right)=...$, στη δεύτερη: $y =...$ Πολλοί μαθητές χάνονται όταν βλέπουν διαφορετικές μορφές σημειογραφίας. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ $f\left(x \right)$ και $y$; Στην πραγματικότητα, τίποτα. Είναι απλώς διαφορετικά λήμματα με την ίδια σημασία. Απλώς όταν λέμε $f\left(x\right)$, τότε μιλάμε, πρώτα από όλα, για μια συνάρτηση και όταν μιλάμε για $y$, εννοούμε τις περισσότερες φορές το γράφημα της συνάρτησης. Διαφορετικά, είναι το ίδιο, δηλ. η παράγωγος θεωρείται ίδια και στις δύο περιπτώσεις.

Πολύπλοκα προβλήματα με παράγωγα

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να εξετάσω μερικά σύνθετα συνδυασμένα προβλήματα που χρησιμοποιούν όλα όσα εξετάσαμε σήμερα αμέσως. Σε αυτά, περιμένουμε ρίζες, κλάσματα και αθροίσματα. Ωστόσο, αυτά τα παραδείγματα θα είναι πολύπλοκα μόνο στο πλαίσιο του σημερινού εκπαιδευτικού βίντεο, επειδή θα σας περιμένουν μπροστά σας πραγματικά πολύπλοκες παράγωγες συναρτήσεις.

Λοιπόν, το τελευταίο μέρος του σημερινού βίντεο φροντιστηρίου, που αποτελείται από δύο συνδυασμένες εργασίες. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)((x)^(3) )) \δεξιά))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\αριστερά(\frac(1)(((x)^(3))) \δεξιά))^(\prime ))=((\ αριστερά(((x)^(-3)) \δεξιά))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3)))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(στοίχιση)\]

Η παράγωγος της συνάρτησης είναι:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Το πρώτο παράδειγμα έχει λυθεί. Εξετάστε το δεύτερο πρόβλημα:

Στο δεύτερο παράδειγμα, ενεργούμε παρόμοια:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \δεξιά))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\αριστερά (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\πρωταρχική))\]

Ας υπολογίσουμε κάθε όρο ξεχωριστά:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \δεξιά))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))) \\& ((\ αριστερά(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \δεξιά))^(\prime ))=((\left(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \δεξιά))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3))) \\\end(στοίχιση)\]

Όλοι οι όροι υπολογίζονται. Τώρα επιστρέφουμε στον αρχικό τύπο και προσθέτουμε και τους τρεις όρους. Καταλαβαίνουμε ότι η τελική απάντηση θα είναι:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Και αυτό είναι όλο. Αυτό ήταν το πρώτο μας μάθημα. Στα επόμενα μαθήματα, θα δούμε περισσότερα πολύπλοκες δομές, και επίσης μάθετε γιατί χρειάζονται καθόλου παράγωγα.

Είναι πολύ εύκολο να το θυμάστε.

Λοιπόν, δεν θα πάμε μακριά, θα εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποιο είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ένας αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται «φυσικός» και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση για αυτόν: γράφουμε αντ' αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά, .

Παράγωγο του φυσικός λογάριθμοςεπίσης πολύ απλό:

Παραδείγματα:

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθέτης και ο φυσικός λογάριθμος είναι συναρτήσεις που είναι μοναδικά απλές ως προς την παράγωγο. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Τι κανόνες; Άλλη μια νέα θητεία, πάλι;!...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.

Μόνο και όλα. Ποια είναι άλλη λέξη για αυτή τη διαδικασία; Όχι proizvodnovanie... Το διαφορικό των μαθηματικών ονομάζεται η ίδια η αύξηση της συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Αφήστε, ή ευκολότερα.

Παραδείγματα.

Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

στο σημείο;
στο σημείο;
στο σημείο;
στο σημείο.

Λύσεις:

(η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάμαι?);

Παράγωγο προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: εισάγουμε μια νέα συνάρτηση και βρίσκουμε την προσαύξησή της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων και?
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τον εκθέτη (έχετε ξεχάσει τι είναι ακόμα;).

Πού είναι λοιπόν κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για αυτό χρησιμοποιούμε απλός κανόνας: . Επειτα:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Συνέβη;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε πολύ παρόμοιος με την παράγωγο του εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν υπάρχει τρόπος να τον γράψετε σε περισσότερα απλή φόρμα. Επομένως, στην απάντηση μένει με αυτή τη μορφή.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Εδώ είναι παρόμοιο: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε ένα αυθαίρετο από τον λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα, :

Πρέπει να φέρουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα αντί για θα γράψουμε:

Ο παρονομαστής αποδείχθηκε ότι ήταν απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος είναι πολύ απλή:

Οι παράγωγοι των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην εξέταση, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για εφαπτομένη τόξου. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να τις καταλάβετε (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και όλα θα πάνε καλά), αλλά όσον αφορά τα μαθηματικά, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορέα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη την δένει με μια κορδέλα. Αποδεικνύεται ένα τέτοιο σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με μια κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίθετα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Έτσι, μας δίνουν έναν αριθμό (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι το παράδειγμα σύνθετη λειτουργία: όταν, για να βρούμε την τιμή του, κάνουμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια άλλη δεύτερη ενέργεια με αυτό που συνέβη ως αποτέλεσμα της πρώτης.

Με άλλα λόγια, Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας, .

Μπορεί κάλλιστα να κάνουμε τις ίδιες ενέργειες με αντίστροφη σειρά: πρώτα τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει:. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Δεύτερο παράδειγμα: (ίδιο). .

Η τελευταία ενέργεια που κάνουμε θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια που εκτελέστηκε πρώτη - αντίστοιχα "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, στη συνάρτηση

Τι ενέργειες θα κάνουμε πρώτα; Πρώτα υπολογίζουμε το ημίτονο και μόνο μετά το ανεβάζουμε σε κύβο. Άρα είναι μια εσωτερική λειτουργία, όχι μια εξωτερική.
Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .

αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας - ψάξτε για το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Για το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Φαίνεται να είναι απλό, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(απλώς μην προσπαθήσετε να μειώσετε μέχρι τώρα! Δεν έχει αφαιρεθεί τίποτα από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερική: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων εδώ: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της, και εξακολουθούμε να εξάγουμε τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα σε χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: ούτως ή άλλως, θα "ξεσυσκευάσουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών - όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Κόλπος. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος με μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το πρόσημο της παραγώγου:

Παράγωγο αθροίσματος:

Παράγωγο προϊόν:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
Ορίζουμε την "εξωτερική" συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.

Ακολουθεί ένας συνοπτικός πίνακας για ευκολία και σαφήνεια κατά τη μελέτη του θέματος.

Συνεχήςy=C

Συνάρτηση ισχύος y = x p

(x p)" = p x p - 1

Εκθετικη συναρτησηy = x

(a x)" = a x ln a

Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = e x

(ε χ)" = ε χ

λογαριθμική συνάρτηση

(log a x) " = 1 x ln a

Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = log x

(ln x)" = 1 x

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2

Υπερβολικές συναρτήσεις

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Ας αναλύσουμε πώς προέκυψαν οι τύποι του υποδεικνυόμενου πίνακα ή, με άλλα λόγια, θα αποδείξουμε την παραγωγή τύπων για παραγώγους για κάθε τύπο συνάρτησης.

Παράγωγος σταθεράς

Απόδειξη 1

Για να εξάγουμε αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε ως βάση τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Χρησιμοποιούμε x 0 = x, όπου Χπαίρνει την τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ή, με άλλα λόγια, Χείναι οποιοσδήποτε αριθμός από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = C . Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος ως Δ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Σημειώστε ότι η παράσταση 0 ∆ x εμπίπτει στο οριακό πρόσημο. Δεν είναι η αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν», αφού ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Άρα, η παράγωγος της σταθεράς συνάρτησης f (x) = C είναι ίση με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράδειγμα 1

Δίνονται σταθερές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Λύση

Ας περιγράψουμε τις δεδομένες συνθήκες. Στην πρώτη συνάρτηση βλέπουμε την παράγωγο του φυσικού αριθμού 3 . Στο παρακάτω παράδειγμα, πρέπει να πάρετε την παράγωγο του ΕΝΑ, Οπου ΕΝΑ- όποιος πραγματικός αριθμός. Το τρίτο παράδειγμα μας δίνει την παράγωγο παράλογος αριθμός 4 . 13 7 22 , το τέταρτο - η παράγωγος του μηδενός (το μηδέν είναι ακέραιος). Τέλος, στην πέμπτη περίπτωση έχουμε την παράγωγο ορθολογικό κλάσμα - 8 7 .

Απάντηση:παράγωγα ορίσετε λειτουργίεςείναι μηδέν για κάθε πραγματικό Χ(σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Ανατρέχουμε στη συνάρτηση ισχύος και στον τύπο για την παράγωγό της, που έχει τη μορφή: (x p) " = p x p - 1, όπου ο εκθέτης Πείναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Απόδειξη 2

Παρουσιάζουμε την απόδειξη του τύπου όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός: p = 1 , 2 , 3 , …

Και πάλι, βασιζόμαστε στον ορισμό του παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, χρησιμοποιούμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Ετσι:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός.

Απόδειξη 3

Για να δώσει αποδείξεις για την περίπτωση όταν Π-οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό εκτός από το μηδέν, χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο (εδώ θα πρέπει να κατανοήσουμε τη διαφορά από την παράγωγο λογαριθμική συνάρτηση). Για να έχουμε μια πληρέστερη κατανόηση, είναι επιθυμητό να μελετήσουμε την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης και επιπλέον να ασχοληθούμε με την παράγωγο μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης και την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Εξετάστε δύο περιπτώσεις: πότε Χθετικό και πότε Χείναι αρνητικές.

Άρα x > 0 . Τότε: x p > 0 . Παίρνουμε τον λογάριθμο της ισότητας y \u003d x p στη βάση e και εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Σε αυτό το στάδιο, έχει ληφθεί μια σιωπηρά καθορισμένη συνάρτηση. Ας ορίσουμε την παράγωγό του:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Τώρα εξετάζουμε την περίπτωση όταν Χ-ένας αρνητικός αριθμός.

Εάν ο δείκτης ΠΥπάρχει Ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για το x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Μετά xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Αν Πείναι ένας περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για το x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Η τελευταία μετάβαση είναι δυνατή γιατί αν Πείναι ένας περιττός αριθμός, λοιπόν σ - 1είτε ζυγός αριθμός είτε μηδέν (για p = 1), επομένως, για αρνητικό Χη ισότητα (- x) p - 1 = x p - 1 είναι αληθής.

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για κάθε πραγματικό p.

Παράδειγμα 2

Δεδομένες λειτουργίες:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Προσδιορίστε τα παράγωγά τους.

Λύση

Μετατρέπουμε μέρος των δεδομένων συναρτήσεων σε μορφή πίνακα y = x p , με βάση τις ιδιότητες του βαθμού, και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Απόδειξη 4

Εξάγουμε τον τύπο για την παράγωγο, με βάση τον ορισμό:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Έχουμε αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, γράφουμε μια νέα μεταβλητή z = a ∆ x - 1 (z → 0 ως ∆ x → 0). Στην περίπτωση αυτή a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Για την τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιείται ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Ας θυμηθούμε το δεύτερο υπέροχο όριοκαι μετά παίρνουμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Παράδειγμα 3

Δίνονται οι εκθετικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Πρέπει να βρούμε τα παράγωγά τους.

Λύση

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης και τις ιδιότητες του λογάριθμου:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Απόδειξη 5

Παρουσιάζουμε την απόδειξη του τύπου για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης για οποιαδήποτε Χστον τομέα ορισμού και τυχόν έγκυρες τιμές της βάσης α του λογαρίθμου. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, παίρνουμε:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Μπορεί να φανεί από την καθορισμένη αλυσίδα ισοτήτων ότι οι μετασχηματισμοί χτίστηκαν με βάση την ιδιότητα του λογάριθμου. Το όριο ισότητας ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e είναι αληθές σύµφωνα µε το δεύτερο αξιόλογο όριο.

Παράδειγμα 4

Δίνονται λογαριθμικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των παραγώγων τους.

Λύση

Ας εφαρμόσουμε τον παραγόμενο τύπο:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Άρα η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου διαιρείται με Χ.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Απόδειξη 6

Χρησιμοποιούμε μερικά τριγωνομετρικούς τύπουςκαι το πρώτο αξιοσημείωτο όριο για την εξαγωγή του τύπου για την παράγωγο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης ημιτόνου, παίρνουμε:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Ο τύπος για τη διαφορά των ημιτόνων θα μας επιτρέψει να εκτελέσουμε τις ακόλουθες ενέργειες:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Τέλος, χρησιμοποιούμε το πρώτο υπέροχο όριο:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Άρα η παράγωγος της συνάρτησης αμαρτία xθα cos x.

Θα αποδείξουμε επίσης τον τύπο για την παράγωγο συνημιτόνου με τον ίδιο τρόπο:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Εκείνοι. η παράγωγος της συνάρτησης cos x θα είναι – αμαρτία x.

Εξάγουμε τους τύπους για τις παραγώγους της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης με βάση τους κανόνες διαφοροποίησης:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ενότητα παραγώγων αντίστροφες συναρτήσειςπαρέχει ολοκληρωμένες πληροφορίες σχετικά με την απόδειξη των τύπων για τα παράγωγα του τόξου, της αρκοσίνης, του τόξου και του τόξου εφαπτομένης, επομένως δεν θα αντιγράψουμε το υλικό εδώ.

Παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων

Απόδειξη 7

Μπορούμε να εξαγάγουμε τύπους για τις παραγώγους του υπερβολικού ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης και τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

σύνθετα παράγωγα. Λογαριθμική παράγωγος.
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Συνεχίζουμε να βελτιώνουμε την τεχνική μας διαφοροποίησης. Σε αυτό το μάθημα, θα ενοποιήσουμε το υλικό που καλύπτεται, θα εξετάσουμε πιο σύνθετες παραγώγους και επίσης θα εξοικειωθούμε με νέα κόλπα και κόλπα για την εύρεση της παραγώγου, ειδικότερα, με τη λογαριθμική παράγωγο.

Όσοι αναγνώστες έχουν χαμηλό επίπεδο προετοιμασίας θα πρέπει να ανατρέξουν στο άρθρο Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παραδείγματα λύσεωνπου θα σας επιτρέψει να αυξήσετε τις δεξιότητές σας σχεδόν από την αρχή. Στη συνέχεια, πρέπει να μελετήσετε προσεκτικά τη σελίδα Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης, κατανοήστε και επιλύστε Ολατα παραδείγματα που έδωσα. Αυτό το μάθημα είναι λογικά το τρίτο στη σειρά και αφού το κατακτήσετε, θα διαφοροποιήσετε με σιγουριά αρκετά περίπλοκες συναρτήσεις. Δεν είναι επιθυμητό να παραμείνουμε στη θέση «Πού αλλού; Και φτάνει!», αφού όλα τα παραδείγματα και οι λύσεις προέρχονται από το real εργασίες ελέγχουκαι συναντάται συχνά στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με την επανάληψη. Στο μάθημα Παράγωγο σύνθετης συνάρτησηςέχουμε εξετάσει μια σειρά από παραδείγματα με λεπτομερή σχόλια. Κατά τη διάρκεια της μελέτης του διαφορικού λογισμού και άλλων ενοτήτων μαθηματικής ανάλυσης, θα πρέπει να διαφοροποιείτε πολύ συχνά και δεν είναι πάντα βολικό (και όχι πάντα απαραίτητο) να ζωγραφίζετε παραδείγματα με μεγάλη λεπτομέρεια. Επομένως, θα εξασκηθούμε στην προφορική εύρεση παραγώγων. Οι πιο κατάλληλοι "υποψήφιοι" για αυτό είναι οι παράγωγοι των απλούστερων πολύπλοκων συναρτήσεων, για παράδειγμα:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης :

Κατά τη μελέτη άλλων θεμάτων matan στο μέλλον, μια τόσο λεπτομερής καταγραφή τις περισσότερες φορές δεν απαιτείται, θεωρείται ότι ο μαθητής μπορεί να βρει παρόμοια παράγωγα στον αυτόματο πιλότο. Ας φανταστούμε ότι στις 3 η ώρα το πρωί χτύπησε το τηλέφωνο, και μια ευχάριστη φωνή ρώτησε: «Ποια είναι η παράγωγος της εφαπτομένης του δύο x;». Αυτό θα πρέπει να ακολουθείται από μια σχεδόν στιγμιαία και ευγενική απάντηση: .

Το πρώτο παράδειγμα θα προορίζεται αμέσως για ανεξάρτητη απόφαση.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα παρακάτω παράγωγα προφορικά, σε ένα βήμα, για παράδειγμα: . Για να ολοκληρώσετε την εργασία, χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων(αν δεν το έχει θυμηθεί ήδη). Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, σας συνιστώ να διαβάσετε ξανά το μάθημα Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Σύνθετα παράγωγα

Μετά την προκαταρκτική προετοιμασία του πυροβολικού, τα παραδείγματα με 3-4-5 προσαρτήσεις λειτουργιών θα είναι λιγότερο τρομακτικά. Ίσως τα ακόλουθα δύο παραδείγματα να φαίνονται περίπλοκα σε κάποιους, αλλά αν γίνουν κατανοητά (κάποιος υποφέρει), τότε σχεδόν όλα τα άλλα στον διαφορικό λογισμό θα φαίνονται σαν παιδικό αστείο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο σωστάΚΑΤΑΝΟΗΣΕ ΤΙΣ ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ. Σε περιπτώσεις που υπάρχουν αμφιβολίες, σας υπενθυμίζω ένα χρήσιμο κόλπο: παίρνουμε την πειραματική τιμή "x", για παράδειγμα, και προσπαθούμε (διανοητικά ή σε σχέδιο) να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή με την "τρομερή έκφραση".

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, οπότε το άθροισμα είναι η βαθύτερη ένθεση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα, η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι Τετραγωνική ρίζα:

Τύπος διαφοροποίησης σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζονται με αντίστροφη σειρά, από την πιο εξωτερική συνάρτηση στην πιο εσωτερική. Εμείς αποφασίζουμε:

Φαίνεται ότι δεν υπάρχει λάθος...

(1) Παίρνουμε την παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας.

(2) Παίρνουμε την παράγωγο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον κανόνα

(3) Η παράγωγος του τριπλού είναι ίση με μηδέν. Στον δεύτερο όρο, παίρνουμε την παράγωγο του βαθμού (κύβος).

(4) Παίρνουμε την παράγωγο του συνημιτόνου.

(5) Παίρνουμε την παράγωγο του λογάριθμου.

(6) Τέλος, παίρνουμε την παράγωγο της βαθύτερης ένθεσης .

Μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά αυτό δεν είναι το πιο βάναυσο παράδειγμα. Πάρτε, για παράδειγμα, τη συλλογή του Kuznetsov και θα εκτιμήσετε όλη τη γοητεία και την απλότητα του αναλυόμενου παραγώγου. Παρατήρησα ότι τους αρέσει να δίνουν κάτι παρόμοιο στην εξέταση για να ελέγξουν αν ο μαθητής καταλαβαίνει πώς να βρει την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ή δεν καταλαβαίνει.

Το ακόλουθο παράδειγμα αφορά μια αυτόνομη λύση.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπόδειξη: Αρχικά εφαρμόζουμε τους κανόνες της γραμμικότητας και τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσετε σε κάτι πιο συμπαγές και όμορφο.
Δεν είναι ασυνήθιστο για μια κατάσταση όπου το γινόμενο όχι δύο, αλλά τριών συναρτήσεων δίνεται σε ένα παράδειγμα. Πώς να βρείτε την παράγωγο του γινομένου τριών παραγόντων;

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά, εξετάζουμε, αλλά είναι δυνατόν να μετατρέψουμε το γινόμενο τριών συναρτήσεων σε γινόμενο δύο συναρτήσεων; Για παράδειγμα, αν είχαμε δύο πολυώνυμα στο γινόμενο, τότε θα μπορούσαμε να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά σε αυτό το παράδειγμα, όλες οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές: βαθμός, εκθέτης και λογάριθμος.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο διαδοχικώςεφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων εις διπλούν

Το κόλπο είναι ότι για το "y" συμβολίζουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων: , και για το "ve" - τον λογάριθμο:. Γιατί μπορεί να γίνει αυτό; Είναι - αυτό δεν είναι προϊόν δύο παραγόντων και ο κανόνας δεν λειτουργεί;! Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο:

Τώρα μένει να εφαρμοστεί ο κανόνας για δεύτερη φορά σε παρένθεση:

Μπορείτε ακόμα να διαστρεβλώσετε και να βγάλετε κάτι από τις αγκύλες, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι καλύτερο να αφήσετε την απάντηση σε αυτήν τη μορφή - θα είναι ευκολότερο να ελέγξετε.

Το παραπάνω παράδειγμα μπορεί να λυθεί με τον δεύτερο τρόπο:

Και οι δύο λύσεις είναι απολύτως ισοδύναμες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, στο δείγμα λύνεται με τον πρώτο τρόπο.

Εξετάστε παρόμοια παραδείγματα με κλάσματα.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να πάτε με διάφορους τρόπους:

Ή όπως αυτό:

Αλλά η λύση μπορεί να γραφτεί πιο συμπαγή αν, πρώτα απ 'όλα, χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , λαμβάνοντας για ολόκληρο τον αριθμητή:

Κατ' αρχήν, το παράδειγμα λύνεται και αν μείνει σε αυτή τη μορφή, δεν θα είναι λάθος. Αλλά αν έχετε χρόνο, είναι πάντα σκόπιμο να ελέγχετε ένα προσχέδιο, αλλά είναι δυνατόν να απλοποιήσετε την απάντηση; Φέρνουμε την έκφραση του αριθμητή σε κοινό παρονομαστή και απαλλαγείτε από το τριώροφο κλάσμα:

Το μειονέκτημα των πρόσθετων απλουστεύσεων είναι ότι υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος όχι κατά την εύρεση ενός παραγώγου, αλλά κατά τους απλούς σχολικούς μετασχηματισμούς. Από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι συχνά απορρίπτουν την εργασία και ζητούν να «το φέρουν στο μυαλό» την παράγωγο.

Ένα απλούστερο παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Συνεχίζουμε να κατακτούμε τις τεχνικές για την εύρεση της παραγώγου και τώρα θα εξετάσουμε μια τυπική περίπτωση όταν ένας «τρομερός» λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να προχωρήσετε πολύ, χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Αλλά το πρώτο βήμα σας βυθίζει αμέσως σε απόγνωση - πρέπει να πάρετε μια δυσάρεστη παράγωγο κλασματικού βαθμού, και στη συνέχεια επίσης από ένα κλάσμα.

Να γιατί πρινπώς να πάρουμε την παράγωγο του «φανταχτερού» λογάριθμου, προηγουμένως απλοποιήθηκε χρησιμοποιώντας γνωστές σχολικές ιδιότητες:

! Εάν έχετε ένα πρακτικό σημειωματάριο, αντιγράψτε αυτούς τους τύπους ακριβώς εκεί. Αν δεν έχετε σημειωματάριο, σχεδιάστε τα σε ένα κομμάτι χαρτί, καθώς τα υπόλοιπα παραδείγματα του μαθήματος θα περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους τύπους.

Η ίδια η λύση μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής:

Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση:

Βρίσκουμε την παράγωγο:

Ο προκαταρκτικός μετασχηματισμός της ίδιας της συνάρτησης απλοποίησε πολύ τη λύση. Έτσι, όταν ένας παρόμοιος λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση, είναι πάντα σκόπιμο να «καταρριφθεί».

Και τώρα μερικά απλά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όλες οι μεταμορφώσεις και οι απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

λογαριθμική παράγωγος

Αν το παράγωγο των λογαρίθμων είναι τόσο γλυκιά μουσική, τότε τίθεται το ερώτημα, είναι δυνατόν σε ορισμένες περιπτώσεις να οργανωθεί τεχνητά ο λογάριθμος; Μπορώ! Και μάλιστα απαραίτητο.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παρόμοια παραδείγματα εξετάσαμε πρόσφατα. Τι να κάνω? Μπορεί κανείς να εφαρμόσει διαδοχικά τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου και στη συνέχεια τον κανόνα της διαφοροποίησης του προϊόντος. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι λαμβάνετε ένα τεράστιο κλάσμα τριών ορόφων, το οποίο δεν θέλετε να αντιμετωπίσετε καθόλου.

Αλλά στη θεωρία και την πράξη υπάρχει ένα τόσο υπέροχο πράγμα όπως η λογαριθμική παράγωγος. Οι λογάριθμοι μπορούν να οργανωθούν τεχνητά «κρεμώντας» τους και στις δύο πλευρές:

Σημείωση : επειδή λειτουργία μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, τότε, σε γενικές γραμμές, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ενότητες: , που εξαφανίζονται ως αποτέλεσμα διαφοροποίησης. Ωστόσο, ο τρέχων σχεδιασμός είναι επίσης αποδεκτός, όπου από προεπιλογή το συγκρότημααξίες. Αλλά αν με κάθε αυστηρότητα, τότε και στις δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να κάνετε μια κράτηση.

Τώρα πρέπει να «σπάσετε» τον λογάριθμο της δεξιάς πλευράς όσο το δυνατόν περισσότερο (τύποι μπροστά στα μάτια σας;). Θα περιγράψω αυτή τη διαδικασία με μεγάλη λεπτομέρεια:

Ας ξεκινήσουμε με τη διαφοροποίηση.
Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη με μια πινελιά:

Το παράγωγο της δεξιάς πλευράς είναι αρκετά απλό, δεν θα το σχολιάσω, γιατί αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, θα πρέπει να μπορείτε να το χειριστείτε με σιγουριά.

Τι γίνεται με την αριστερή πλευρά;

Στην αριστερή πλευρά έχουμε σύνθετη λειτουργία. Προβλέπω την ερώτηση: «Γιατί, υπάρχει ένα γράμμα «y» κάτω από τον λογάριθμο;».

Το γεγονός είναι ότι αυτό το "ένα γράμμα y" - ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΑΠΟ ΜΟΝΗ ΤΟΥ(αν δεν είναι πολύ σαφές, ανατρέξτε στο άρθρο Παράγωγος μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά). Επομένως, ο λογάριθμος είναι μια εξωτερική συνάρτηση και το "y" είναι μια εσωτερική συνάρτηση. Και χρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετης συνάρτησης :

Στην αριστερή πλευρά, σαν από κύμα μαγικό ραβδίέχουμε παράγωγο . Περαιτέρω, σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, ρίχνουμε το "y" από τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς στην κορυφή της δεξιάς πλευράς:

Και τώρα θυμόμαστε για τι είδους "παιχνίδι"-λειτουργία μιλήσαμε κατά τη διαφοροποίηση; Ας δούμε την συνθήκη:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 12

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Δείγμα σχεδίασης ενός παραδείγματος αυτού του τύπου στο τέλος του μαθήματος.

Με τη βοήθεια της λογαριθμικής παραγώγου, ήταν δυνατό να λυθεί οποιοδήποτε από τα παραδείγματα Νο. 4-7, ένα άλλο πράγμα είναι ότι οι συναρτήσεις εκεί είναι απλούστερες και, ίσως, η χρήση της λογαριθμικής παραγώγου δεν είναι πολύ δικαιολογημένη.

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Δεν έχουμε εξετάσει ακόμη αυτή τη λειτουργία. Εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που έχει και ο βαθμός και η βάση εξαρτώνται από το "x". Ένα κλασικό παράδειγμα που θα σας δοθεί σε οποιοδήποτε σχολικό βιβλίο ή σε οποιαδήποτε διάλεξη:

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης;

Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε την τεχνική που μόλις εξετάσαμε - τη λογαριθμική παράγωγο. Κρεμάμε λογάριθμους και στις δύο πλευρές:

Κατά κανόνα, ο βαθμός αφαιρείται κάτω από τον λογάριθμο στη δεξιά πλευρά:

Ως αποτέλεσμα, στη δεξιά πλευρά έχουμε ένα γινόμενο δύο συναρτήσεων, οι οποίες θα διαφοροποιηθούν σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

Βρίσκουμε την παράγωγο, για αυτό περικλείουμε και τα δύο μέρη κάτω από πινελιές:

Τα επόμενα βήματα είναι εύκολα:

Τελικά:

Εάν κάποιος μετασχηματισμός δεν είναι απολύτως σαφής, διαβάστε ξανά προσεκτικά τις επεξηγήσεις του Παραδείγματος 11.

ΣΕ πρακτικές εργασίεςΗ εκθετική συνάρτηση θα είναι πάντα πιο περίπλοκη από το εξεταζόμενο παράδειγμα διάλεξης.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο.

Στη δεξιά πλευρά έχουμε μια σταθερά και το γινόμενο δύο παραγόντων - "x" και "λογάριθμος του λογάριθμου του x" (ένας άλλος λογάριθμος είναι ένθετος κάτω από τον λογάριθμο). Όταν διαφοροποιούμε μια σταθερά, όπως θυμόμαστε, είναι καλύτερα να την βγάλουμε αμέσως από το πρόσημο της παραγώγου για να μην μπει εμπόδιο. και, φυσικά, εφαρμόστε τον γνωστό κανόνα :