EE "BSUIR"

Τμήμα Μηχανικών Γραφικών

«ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΟΡ. Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ ΒΕΡΕΣΧΑΓΚΙΝ"

ΜΙΝΣΚ, 2008


Ας εξετάσουμε τώρα γενική μέθοδοςΠροσδιορισμός μετατόπισης, κατάλληλος για οποιοδήποτε γραμμικά παραμορφώσιμο σύστημα υπό οποιοδήποτε φορτίο. Αυτή η μέθοδος προτάθηκε από τον εξέχοντα Γερμανό επιστήμονα O. Mohr.

Ας, για παράδειγμα, θέλετε να προσδιορίσετε την κατακόρυφη μετατόπιση του σημείου Α της δοκού που φαίνεται στο Σχ. 7.13, α. Δηλώνουμε τη δεδομένη κατάσταση (φορτίο) με το γράμμα κ. Ας επιλέξουμε μια βοηθητική κατάσταση της ίδιας δοκού με μονάδα

δύναμη που ενεργεί στο σημείο Α και προς την κατεύθυνση της επιθυμητής μετατόπισης. Συμβολίζουμε τη βοηθητική κατάσταση με το γράμμα i (Εικ. 7.13,6).

Ας υπολογίσουμε το έργο των εξωτερικών και εσωτερικές δυνάμειςβοηθητική κατάσταση στις κινήσεις που προκαλούνται από τη δράση των δυνάμεων της κατάστασης φορτίου.

Δουλειά εξωτερικές δυνάμειςθα είναι ίσο με το γινόμενο της μοναδιαίας δύναμης και της επιθυμητής μετατόπισης ya

και το έργο των εσωτερικών δυνάμεων επί απόλυτη τιμήίσο με το ολοκλήρωμα

(1)

Ο τύπος (7.33) είναι ο τύπος του Mohr (ολοκλήρωμα του Mohr), ο οποίος καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της μετατόπισης σε οποιοδήποτε σημείο ενός γραμμικά παραμορφώσιμου συστήματος.

Σε αυτόν τον τύπο, το ολοκλήρωμα του MiMk είναι θετικό εάν και οι δύο ροπές κάμψης έχουν το ίδιο πρόσημο και αρνητικό εάν το Mi και το Mk έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Αν προσδιορίζαμε τη γωνιακή μετατόπιση στο σημείο Α, τότε στην κατάσταση i θα πρέπει να εφαρμόσουμε ροπή ίση με μία (χωρίς διάσταση) στο σημείο Α.

Δηλώνοντας με το γράμμα Δ οποιαδήποτε κίνηση (γραμμική ή γωνιακή), γράφουμε τον τύπο του Mohr (ολοκληρωμένο) με τη μορφή

(2)

Στη γενική περίπτωση, η αναλυτική έκφραση Mi και Mk μπορεί να είναι διαφορετική σε διαφορετικά τμήματα μιας δοκού ή ενός ελαστικού συστήματος γενικά. Επομένως, αντί για τον τύπο (2), θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο γενικότερος τύπος

(3)

Εάν οι ράβδοι του συστήματος δεν λειτουργούν σε κάμψη, αλλά σε τάση (συμπίεση), όπως, για παράδειγμα, σε ζευκτά, τότε ο τύπος του Mohr έχει τη μορφή

(4)

Σε αυτόν τον τύπο, το προϊόν NiNK είναι θετικό εάν και οι δύο δυνάμεις είναι εφελκυστικές ή και οι δύο είναι συμπιεστικές. Εάν οι ράβδοι λειτουργούν ταυτόχρονα σε κάμψη και τάση (συμπίεση), τότε σε συνηθισμένες περιπτώσεις, όπως δείχνουν οι συγκριτικοί υπολογισμοί, οι μετατοπίσεις μπορούν να προσδιοριστούν λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις ροπές κάμψης, καθώς η επίδραση των διαμήκων δυνάμεων είναι πολύ μικρή.

Για τους ίδιους λόγους, όπως σημειώθηκε προηγουμένως, σε συνηθισμένες περιπτώσεις η επίδραση των δυνάμεων διάτμησης μπορεί να αγνοηθεί.

Αντί να υπολογίζετε απευθείας το ολοκλήρωμα Mohr, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γραφοαναλυτική τεχνική «μέθοδος πολλαπλασιασμού διαγραμμάτων» ή τον κανόνα του Vereshchagin.

Ας εξετάσουμε δύο διαγράμματα ροπών κάμψης, το ένα από τα οποία το Mk έχει αυθαίρετο περίγραμμα και το άλλο Mi είναι ευθύγραμμο (Εικ. 7.14, α και β).

(5)

Η τιμή MKdz αντιπροσωπεύει τη στοιχειώδη περιοχή dωk του διαγράμματος Mk (σκιασμένη στο σχήμα). Ετσι,

(6)

ως εκ τούτου,

(8)

Αλλά αντιπροσωπεύει τη στατική ροπή της περιοχής του διαγράμματος Mk σε σχέση με κάποιον άξονα y που διέρχεται από το σημείο O, ίσο με ωkzc, όπου ωk είναι η περιοχή του διαγράμματος ροπών. zc είναι η απόσταση από τον άξονα y έως το κέντρο βάρους του διαγράμματος Mk. Από το σχέδιο είναι ξεκάθαρο ότι

όπου Msi είναι η τεταγμένη του διαγράμματος Mi, που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του διαγράμματος Mk (κάτω από το σημείο Γ). Ως εκ τούτου,

(10)

Δηλαδή, το απαιτούμενο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το γινόμενο της περιοχής του διαγράμματος Mk (οποιουδήποτε σχήματος) από την τεταγμένη του ευθύγραμμου διαγράμματος Msi που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του. Η τιμή του ωκΜσi θεωρείται θετική εάν και τα δύο διαγράμματα βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ράβδου και αρνητική εάν βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρές. Ένα θετικό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων σημαίνει ότι η κατεύθυνση της κίνησης συμπίπτει με την κατεύθυνση μιας μονάδας δύναμης (ή ροπής).

Πρέπει να θυμόμαστε ότι η τεταγμένη Msi πρέπει να λαμβάνεται σε ευθύγραμμο διάγραμμα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση που και τα δύο διαγράμματα είναι ευθύγραμμα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε το εμβαδόν οποιουδήποτε από αυτά με την αντίστοιχη τεταγμένη του άλλου.

Για ράβδους μεταβλητής διατομής, ο κανόνας του Vereshchagin για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων δεν ισχύει, καθώς σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι πλέον δυνατή η αφαίρεση της τιμής EJ κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος. Σε αυτή την περίπτωση, το EJ θα πρέπει να εκφραστεί ως συνάρτηση της τετμημένης της τομής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Mohr (1).

Κατά την αλλαγή της ακαμψίας μιας ράβδου σταδιακά, η ολοκλήρωση (ή ο πολλαπλασιασμός των διαγραμμάτων) πραγματοποιείται για κάθε τμήμα χωριστά (με τη δική της τιμή EJ) και στη συνέχεια συνοψίζονται τα αποτελέσματα.

Στον πίνακα Το 1 δείχνει τα εμβαδά κάποιων απλών διαγραμμάτων και τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους τους.

Τραπέζι 1

Τύπος διαγράμματος Η περιοχή του διαγράμματος Απόσταση από το κέντρο βάρους

Για να επιταχύνετε τους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έτοιμους πίνακες πολλαπλασιασμού διαγραμμάτων (Πίνακας 2).

Σε αυτόν τον πίνακα, στα κελιά στη τομή των αντίστοιχων στοιχειωδών διαγραμμάτων, δίνονται τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού αυτών των διαγραμμάτων.

Κατά την κατανομή ενός σύνθετου διαγράμματος σε στοιχειώδη, που παρουσιάζονται στον πίνακα. 1 και 7.2, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα παραβολικά διαγράμματα λαμβάνονται από τη δράση μόνο ενός κατανεμημένο φορτίο.

Σε περιπτώσεις όπου σε ένα σύνθετο διάγραμμα λαμβάνονται καμπύλες τομές από την ταυτόχρονη δράση συγκεντρωμένων ροπών, δυνάμεων και ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου, για να αποφευχθούν σφάλματα, το μιγαδικό διάγραμμα θα πρέπει πρώτα να «στρωθεί», δηλαδή να χωριστεί σε έναν αριθμό ανεξάρτητα διαγράμματα: από τη δράση συγκεντρωμένων ροπών, δυνάμεων και από τη δράση ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε μια άλλη τεχνική που δεν απαιτεί στρωματοποίηση των διαγραμμάτων, αλλά απαιτεί μόνο την επιλογή του καμπυλόγραμμου τμήματος του διαγράμματος κατά μήκος της χορδής που συνδέει τα ακραία σημεία του.

Θα δείξουμε και τις δύο μεθόδους με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Αφήστε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε την κατακόρυφη μετατόπιση του αριστερού άκρου της δοκού (Εικ. 7.15).

Το συνολικό διάγραμμα του φορτίου παρουσιάζεται στο Σχ. 7.15, α.


Πίνακας 7.2

Το διάγραμμα της δράσης μιας μονάδας δύναμης στο σημείο Α φαίνεται στο Σχ. 7.15, πόλη

Για τον προσδιορισμό της κατακόρυφης μετατόπισης στο σημείο Α, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί το διάγραμμα φορτίου με το διάγραμμα μοναδιαίας δύναμης. Ωστόσο, σημειώνουμε ότι στο τμήμα BC του συνολικού διαγράμματος, το καμπυλόγραμμο διάγραμμα προκύπτει όχι μόνο από τη δράση ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου, αλλά και από τη δράση μιας συγκεντρωμένης δύναμης P. Ως αποτέλεσμα, στο τμήμα BC υπάρχει δεν θα είναι πλέον ένα στοιχειώδες παραβολικό διάγραμμα που δίνεται στους Πίνακες 7.1 και 7.2, αλλά σύμφωνα με ουσιαστικά ένα σύνθετο διάγραμμα για το οποίο τα δεδομένα σε αυτούς τους πίνακες δεν είναι έγκυρα.

Επομένως, είναι απαραίτητο να στρωματοποιηθεί το μιγαδικό διάγραμμα σύμφωνα με το Σχ. 7.15, και στα στοιχειώδη διαγράμματα που παρουσιάζονται στο Σχ. 7.15, β και 7.15, γ.

Διάγραμμα σύμφωνα με το Σχ. 7.15, το b ελήφθη μόνο από συγκεντρωμένη δύναμη, διάγραμμα σύμφωνα με το Σχ. 7.15, γ - μόνο από τη δράση ενός ομοιόμορφα κατανεμημένου φορτίου.

Τώρα μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τα διαγράμματα χρησιμοποιώντας τον πίνακα. 1 ή 2.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τριγωνικό διάγραμμα σύμφωνα με το Σχ. 7.15, b στο τριγωνικό διάγραμμα σύμφωνα με το Σχ. 7.15, d και προσθέστε σε αυτό το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του παραβολικού διαγράμματος στο Σχ. 7.15, στο τραπεζοειδές διάγραμμα της τομής BC σύμφωνα με το Σχ. 7.15, δ, αφού στην ενότητα ΑΒ οι τεταγμένες του διαγράμματος σύμφωνα με το Σχ. 7,15, in είναι ίσα με μηδέν.

Ας δείξουμε τώρα τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων. Ας δούμε ξανά το διάγραμμα στο Σχ. 7.15, α. Ας πάρουμε την αρχή αναφοράς στην ενότητα Β. Δείχνουμε ότι εντός των ορίων της καμπύλης LMN, οι ροπές κάμψης μπορούν να ληφθούν ως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών κάμψης που αντιστοιχούν στην ευθεία γραμμή LN και των ροπών κάμψης του παραβολικού διαγράμματος LNML , το ίδιο όπως για μια απλή δοκό μήκους a, φορτωμένη με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q:

Η μεγαλύτερη τεταγμένη στη μέση θα είναι ίση με .

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας γράψουμε την πραγματική έκφραση για τη ροπή κάμψης στο τμήμα σε απόσταση z από το σημείο Β

(ΕΝΑ)

Ας γράψουμε τώρα την έκφραση για τη ροπή κάμψης στο ίδιο τμήμα, που προκύπτει ως το αλγεβρικό άθροισμα των τεταγμένων της ευθείας LN και της παραβολής LNML.

Εξίσωση γραμμής LN

όπου k είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας

Κατά συνέπεια, η εξίσωση των ροπών κάμψης που προκύπτει ως το αλγεβρικό άθροισμα της εξίσωσης της ευθείας γραμμής LN και της παραβολής LNMN έχει τη μορφή

που συμπίπτει με την έκφραση (Α).

Όταν πολλαπλασιάζετε διαγράμματα σύμφωνα με τον κανόνα του Vereshchagin, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τραπεζοειδές BLNC με το τραπεζοειδές από το μοναδιαίο διάγραμμα στην ενότητα BC (βλ. Εικ. 7.15, δ) και να αφαιρέσετε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του παραβολικού διαγράμματος LNML (εμβαδόν ) με το ίδιο τραπέζιο από το διάγραμμα μονάδας. Αυτή η μέθοδος στρωματοποίησης διαγραμμάτων είναι ιδιαίτερα ωφέλιμη όταν το καμπύλο τμήμα του διαγράμματος βρίσκεται σε ένα από τα μεσαία τμήματα της δοκού.

Παράδειγμα 7.7. Προσδιορίστε τις κατακόρυφες και γωνιακές μετατοπίσεις της δοκού προβόλου στο σημείο όπου εφαρμόζεται το φορτίο (Εικ. 7.16).

Λύση. Κατασκευάζουμε διάγραμμα ροπών κάμψης για την κατάσταση φορτίου (Εικ. 7.16, α).

Για τον προσδιορισμό της κατακόρυφης μετατόπισης επιλέγουμε τη βοηθητική κατάσταση της δοκού με μοναδιαία δύναμη στο σημείο εφαρμογής του φορτίου.

Από αυτή τη δύναμη κατασκευάζουμε διάγραμμα ροπών κάμψης (Εικ. 7.16, β). Προσδιορισμός κατακόρυφης μετατόπισης με τη μέθοδο του Mohr

Τιμή ροπής κάμψης λόγω φορτίου

Η τιμή της ροπής κάμψης από μια μονάδα δύναμης

Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές των ΜΡ και Mi κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος και ενσωματώνουμε

Το ίδιο αποτέλεσμα είχε προηγουμένως ληφθεί με διαφορετική μέθοδο.

Θετική αξίαη εκτροπή δείχνει ότι το σημείο εφαρμογής του φορτίου P κινείται προς τα κάτω (στην κατεύθυνση της μοναδιαίας δύναμης). Εάν κατευθύναμε μια μονάδα δύναμης από κάτω προς τα πάνω, θα είχαμε Mi = 1z και, ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης, θα είχαμε μια εκτροπή με πρόσημο μείον. Το σύμβολο μείον θα έδειχνε ότι η κίνηση δεν είναι προς τα πάνω, αλλά προς τα κάτω, όπως είναι στην πραγματικότητα.

Ας υπολογίσουμε τώρα το ολοκλήρωμα Mohr πολλαπλασιάζοντας τα διαγράμματα σύμφωνα με τον κανόνα του Vereshchagin.

Εφόσον και τα δύο διαγράμματα είναι ευθύγραμμα, δεν έχει σημασία από ποιο διάγραμμα θα ληφθεί η περιοχή και από ποια η τεταγμένη.

Η περιοχή του διαγράμματος φορτίου είναι ίση με

Το κέντρο βάρους αυτού του διαγράμματος βρίσκεται σε απόσταση 1/3 λίτρου από την ενσωμάτωση. Καθορίζουμε την τεταγμένη του διαγράμματος των ροπών από μια μονάδα δύναμης, που βρίσκεται κάτω

κέντρο βάρους του διαγράμματος φορτίου. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι είναι ίσο με 1/3 λίτρο.

Ως εκ τούτου.

Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων είναι θετικό, αφού και τα δύο διαγράμματα βρίσκονται στο κάτω μέρος της ράβδου. Κατά συνέπεια, το σημείο εφαρμογής του φορτίου μετατοπίζεται προς τα κάτω, δηλ. κατά την αποδεκτή κατεύθυνση της μοναδιαίας δύναμης.

Για να προσδιορίσουμε τη γωνιακή μετατόπιση (γωνία περιστροφής), επιλέγουμε μια βοηθητική κατάσταση της δοκού στην οποία μια συγκεντρωμένη ροπή ίση με μονάδα ενεργεί στο άκρο της δοκού.

Κατασκευάζουμε διάγραμμα ροπών κάμψης για αυτή την περίπτωση (Εικ. 7.16, γ). Προσδιορίζουμε τη γωνιακή μετατόπιση πολλαπλασιάζοντας τα διαγράμματα. Περιοχή διαγράμματος φόρτωσης

Οι τεταγμένες του διαγράμματος από μία μόνο στιγμή είναι παντού ίσες με την ενότητα, επομένως η επιθυμητή γωνία περιστροφής της τομής είναι ίση με

Δεδομένου ότι και τα δύο διαγράμματα βρίσκονται παρακάτω, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων είναι θετικό. Έτσι, το ακραίο τμήμα της δοκού περιστρέφεται δεξιόστροφα (προς την κατεύθυνση της μοναδιαίας ροπής).

Παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Mohr-Vereshchagin, προσδιορίστε την απόκλιση στο σημείο D για τη δοκό που φαίνεται στο Σχ. 7.17..

Λύση. Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα στρωμένων ροπών από το φορτίο, δηλαδή χτίζουμε ξεχωριστά διαγράμματα από τη δράση κάθε φορτίου. Σε αυτή την περίπτωση, για τη διευκόλυνση του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων, συνιστάται η κατασκευή στρωματοποιημένων (στοιχειωδών) διαγραμμάτων σχετικά με την τομή, η απόκλιση των οποίων προσδιορίζεται σε αυτήν την περίπτωση σε σχέση με την ενότητα Δ.

Στο Σχ. 7.17, το a δείχνει ένα διάγραμμα ροπών κάμψης από την αντίδραση Α (τμήμα AD) και από το φορτίο P = 4 T (τμήμα DC). Τα διαγράμματα είναι χτισμένα σε συμπιεσμένες ίνες.

Στο Σχ. Το 7.17, b δείχνει διαγράμματα ροπών από την αντίδραση Β (τμήμα BD), από το αριστερό ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο (τμήμα AD) και από ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο που ενεργεί στο τμήμα BC. Αυτό το διάγραμμα φαίνεται στο Σχ. 7.17, β στο τμήμα DC από κάτω.

Στη συνέχεια, επιλέγουμε τη βοηθητική κατάσταση της δοκού, για την οποία ασκούμε μοναδιαία δύναμη στο σημείο D, όπου προσδιορίζεται η απόκλιση (Εικ. 7.17, γ). Το διάγραμμα των ροπών από μια μονάδα δύναμης φαίνεται στο Σχ. 7.17, δ. Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τα διαγράμματα 1 έως 7 με τα διαγράμματα 8 και 9, χρησιμοποιώντας πίνακες πολλαπλασιασμού διαγραμμάτων, λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα.

Σε αυτή την περίπτωση, τα διαγράμματα που βρίσκονται στη μία πλευρά της δοκού πολλαπλασιάζονται με το σύμβολο συν και τα διαγράμματα που βρίσκονται στις απέναντι πλευρές της δοκού πολλαπλασιάζονται με το σύμβολο μείον.

Πολλαπλασιάζοντας το διάγραμμα 1 και το διάγραμμα 8 παίρνουμε

Πολλαπλασιάζοντας το διάγραμμα 5 με το διάγραμμα 8, παίρνουμε

Πολλαπλασιάζοντας τα διαγράμματα 2 και 9 δίνονται

Πολλαπλασιάστε τα διαγράμματα 4 και 9

Πολλαπλασιάστε τα διαγράμματα 6 και 9

Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων, παίρνουμε

Το πρόσημο μείον δείχνει ότι το σημείο Δ δεν κινείται προς τα κάτω, καθώς η μονάδα δύναμης κατευθύνεται, αλλά προς τα πάνω.

Το ίδιο αποτέλεσμα λήφθηκε νωρίτερα χρησιμοποιώντας την καθολική εξίσωση.

Φυσικά, σε σε αυτό το παράδειγμαήταν δυνατή η στρωματοποίηση του διαγράμματος μόνο στην ενότητα AD, αφού στην ενότητα DB το συνολικό διάγραμμα είναι ευθύγραμμο και δεν υπάρχει ανάγκη στρωματοποίησής του. Στο τμήμα BC δεν απαιτείται αποκόλληση, αφού από μια μονάδα δύναμης σε αυτό το τμήμα το διάγραμμα είναι ίσο με μηδέν. Η διαστρωμάτωση του διαγράμματος στο τμήμα BC είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό της απόκλισης στο σημείο C.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τις κατακόρυφες, οριζόντιες και γωνιακές μετατοπίσεις του τμήματος Α της σπασμένης ράβδου που φαίνεται στο Σχ. 7.18, α. Η ακαμψία διατομής της κατακόρυφης τομής της ράβδου είναι EJ1· η ακαμψία διατομής της οριζόντιας τομής είναι EJ2.

Λύση. Κατασκευάζουμε διάγραμμα ροπών κάμψης λόγω φορτίου. Δείχνεται στο Σχ. 7.18, β (βλ. παράδειγμα 6.9). Για να προσδιορίσουμε την κατακόρυφη μετατόπιση του τμήματος Α, επιλέγουμε τη βοηθητική κατάσταση του συστήματος που φαίνεται στο Σχ. 7.18, γ. Στο σημείο Α ασκείται μοναδιαία κατακόρυφη δύναμη, κατευθυνόμενη προς τα κάτω.

Το διάγραμμα των ροπών κάμψης για αυτή την κατάσταση φαίνεται στο Σχ. 7.18, γ.

Προσδιορίζουμε την κατακόρυφη μετατόπιση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Mohr, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει διάγραμμα Μ1 στην κατακόρυφη ράβδο στη βοηθητική κατάσταση, πολλαπλασιάζουμε μόνο διαγράμματα που σχετίζονται με την οριζόντια ράβδο. Παίρνουμε την περιοχή του διαγράμματος από την κατάσταση φορτίου και την τεταγμένη από τη βοηθητική κατάσταση. Η κατακόρυφη μετατόπιση είναι

Δεδομένου ότι και τα δύο διαγράμματα βρίσκονται παρακάτω, παίρνουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με πρόσημο συν. Κατά συνέπεια, το σημείο Α κινείται προς τα κάτω, δηλ. προς την κατεύθυνση της μοναδιαίας κατακόρυφης δύναμης.

Για να προσδιορίσουμε την οριζόντια κίνηση του σημείου Α, επιλέγουμε μια βοηθητική κατάσταση με μια οριζόντια μονάδα δύναμης κατευθυνόμενη προς τα αριστερά (Εικ. 7.18, δ). Το διάγραμμα ροπών για αυτήν την περίπτωση παρουσιάζεται εκεί.

Πολλαπλασιάζουμε τα διαγράμματα MP και M2 και παίρνουμε

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων είναι θετικό, αφού τα πολλαπλασιασμένα διαγράμματα βρίσκονται στην ίδια πλευρά των ράβδων.

Για να προσδιορίσουμε τη γωνιακή μετατόπιση, επιλέγουμε τη βοηθητική κατάσταση του συστήματος σύμφωνα με το Σχ. 7.18.5 και κατασκευάστε ένα διάγραμμα ροπών κάμψης για αυτή την κατάσταση (στο ίδιο σχήμα). Πολλαπλασιάζουμε τα διαγράμματα MP και M3:

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι θετικό, αφού τα πολλαπλασιασμένα διαγράμματα βρίσκονται στη μία πλευρά.

Επομένως, το τμήμα Α περιστρέφεται δεξιόστροφα

Τα ίδια αποτελέσματα θα προκύψουν χρησιμοποιώντας πίνακες
πολλαπλασιαστικά διαγράμματα.

Η όψη της παραμορφωμένης ράβδου φαίνεται στο Σχ. 7.18, ε, ενώ οι μετατοπίσεις είναι πολύ αυξημένες.


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Feodosiev V.I. ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. 1986

Belyaev N.M. ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Υπολογισμός και σχεδιασμός μηχανισμών οργάνων και υπολογιστικών συστημάτων. 1991

Rabotnov Yu.N. Μηχανική παραμορφώσιμων στερεός. 1988

Stepin P.A. ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. 1990


Και οι χειρόγραφες σημειώσεις του κατέληξαν στα χέρια του υπαλλήλου Πρεσβευτική διαταγή, από τον οποίο παρελήφθησαν. Άλλες βιογραφικές πληροφορίες εξάγονται μόνο από το ίδιο το κείμενο του «Περίπατος». Γιατί ο Afanasy Nikitin ονόμασε το έργο του «Περπατώντας σε Τρεις Θάλασσες»; Ο ίδιος ο συγγραφέας μας δίνει την απάντηση σε αυτό το ερώτημα: «Ιδού, έγραψα το αμαρτωλό μου «Περπατώντας στις τρεις θάλασσες», την 1η Ντερμπένσκι (Κασπία) Θάλασσα, Ντόρια...

Σημειώνει ότι απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή οποιασδήποτε επικοινωνιακής πράξης πρέπει να είναι η «αμοιβαία γνώση της πραγματικότητας του ομιλητή και του ακροατή, η οποία είναι η βάση της γλωσσικής επικοινωνίας», ονομάζονται «γνώση υποβάθρου» στη γλωσσολογία. Σύμφωνα με τη σωστή παρατήρησή της, «η σημασία της λέξης που χρησιμοποιείται σε μια δεδομένη μητρική γλώσσα για να προσδιορίσει τόσο εντελώς διαφορετικές από την άποψη του πολιτισμού της Κεντρικής Ευρώπης...

Στη γενική περίπτωση (ράβδος μεταβλητής διατομής, ένα πολύπλοκο σύστημαφορτία) το ολοκλήρωμα Mohr προσδιορίζεται με αριθμητική ολοκλήρωση. Σε πολλές πρακτικά σημαντικές περιπτώσεις, όταν η ακαμψία του τμήματος είναι σταθερή σε όλο το μήκος της ράβδου, το ολοκλήρωμα Mohr μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Vereshchagin. Ας εξετάσουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος Mohr στην τομή από το a έως το 6 (Εικ. 9.18).

Ρύζι. 9.18. Ο κανόνας του Vereshchagin για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Mohr

Τα διαγράμματα της ροπής από έναν μοναδικό παράγοντα δύναμης αποτελούνται από ευθύγραμμα τμήματα. Χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι εντός της περιοχής

όπου Α και Β είναι οι παράμετροι της γραμμής:

Το ολοκλήρωμα Mohr στην υπό εξέταση τομή σταθερής διατομής έχει τη μορφή

όπου F είναι η περιοχή κάτω από την καμπύλη (η περιοχή του διαγράμματος των ροπών κάμψης από εξωτερικές δυνάμεις στο τμήμα z).

όπου βρίσκεται η τετμημένη του κέντρου βάρους της περιοχής.

Η ισότητα (109) ισχύει όταν το πρόσημο δεν αλλάζει εντός της περιοχής και μπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο της περιοχής του διαγράμματος. Τώρα από τις σχέσεις (107) -(109) λαμβάνουμε

Ροπή από μονάδα φορτίου σε τμήμα

Ένας βοηθητικός πίνακας για τη χρήση του κανόνα του Vereshchagin δίνεται στο Σχ. 9.19.

Σημειώσεις. 1. Εάν το διάγραμμα από τη δράση των εξωτερικών δυνάμεων σε μια τομή είναι γραμμικό (για παράδειγμα, υπό τη δράση συγκεντρωμένων δυνάμεων και ροπών), τότε ο κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί σε αντίστροφη μορφή: πολλαπλασιάστε την περιοχή του διαγράμματος από ένα ενιαίος συντελεστής δύναμης από την τεταγμένη του διαγράμματος που αντιστοιχεί στο κέντρο βάρους της περιοχής. Αυτό προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.

2. Ο κανόνας του Vereshchagin μπορεί να επεκταθεί στο αναπόσπαστο Mohr γενική εικόνα(Εξίσωση (103)).

Ρύζι. 9.19. Περιοχές και θέσεις κέντρων βάρους διαγράμματα ροπών

Ρύζι. 9.20. Παραδείγματα προσδιορισμού γωνιών παραμόρφωσης και περιστροφής χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Vereshchagin

Η κύρια απαίτηση είναι η ακόλουθη: εντός της τοποθεσίας, οι εσωτερικοί συντελεστές δύναμης από ένα φορτίο μονάδας πρέπει να είναι γραμμικές συναρτήσειςκατά μήκος του άξονα της ράβδου (γραμμικά διαγράμματα!).

Παραδείγματα. 1. Προσδιορίστε την απόκλιση στο σημείο Α της ράβδου του προβόλου υπό τη δράση μιας συγκεντρωμένης ροπής M (Εικ. 9.20, α).

Η απόκλιση στο σημείο Α καθορίζεται από τον τύπο (για συντομία, ο δείκτης παραλείπεται)

Το πρόσημο μείον οφείλεται στο γεγονός ότι έχουν διαφορετικά σημάδια.

2. Προσδιορίστε την απόκλιση στο σημείο Α στη ράβδο του προβόλου υπό τη δράση ενός κατανεμημένου φορτίου.

Η απόκλιση καθορίζεται από τον τύπο

Τα διαγράμματα της ροπής κάμψης M και της δύναμης διάτμησης Q από το εξωτερικό φορτίο φαίνονται στο Σχ. 9.20, b, παρακάτω σε αυτό το σχήμα είναι διαγράμματα υπό τη δράση μιας μονάδας δύναμης. Στη συνέχεια βρίσκουμε

3. Προσδιορίστε την απόκλιση στο σημείο Α και τη γωνία περιστροφής στο σημείο Β για μια δοκό δύο στηρίξεων φορτισμένη με συγκεντρωμένη ροπή (Εικ. 9.20.).

Η παραμόρφωση καθορίζεται από τον τύπο (αγνοούμε τη διατμητική παραμόρφωση)

Δεδομένου ότι το διάγραμμα της ροπής από μια μονάδα δύναμης δεν απεικονίζεται με μία γραμμή. τότε χωρίζουμε το ολοκλήρωμα σε δύο τμήματα:

Η γωνία περιστροφής στο σημείο Β είναι ίση με

Σχόλιο. Από τα παραπάνω παραδείγματα είναι σαφές ότι η μέθοδος του Vereshchagin σε απλές περιπτώσεις σας επιτρέπει να προσδιορίσετε γρήγορα τις παραμορφώσεις και τις γωνίες περιστροφής. Είναι σημαντικό μόνο να εφαρμόσετε έναν μόνο κανόνα σημαδιών για το εάν συμφωνείτε, όταν λυγίζετε μια ράβδο, να δημιουργήσετε διαγράμματα ροπών κάμψης στην «τεντωμένη ίνα» (βλ. Εικ. 9.20), τότε είναι αμέσως εύκολο να δείτε το θετικό και αρνητικές τιμέςστιγμές.

Ένα ιδιαίτερο πλεονέκτημα του κανόνα του Vereshchagin είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για ράβδους, αλλά και για πλαίσια (Ενότητα 17).

Περιορισμοί στην εφαρμογή του κανόνα του Vereshchagin.

Αυτοί οι περιορισμοί προκύπτουν από την εξαγωγή του τύπου (110), αλλά ας τους προσέξουμε ξανά.

1. Το διάγραμμα της ροπής κάμψης από ένα φορτίο μονάδας πρέπει να έχει τη μορφή μιας ευθείας γραμμής. Στο Σχ. 9.21, και δείχνει την περίπτωση όταν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται. Το ολοκλήρωμα Mohr πρέπει να υπολογιστεί χωριστά για τις ενότητες I και II.

2. Η ροπή κάμψης από εξωτερικό φορτίο εντός του τμήματος πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο. Στο Σχ. Το 9.21, β δείχνει την περίπτωση που ο κανόνας του Vereshchagin θα πρέπει να εφαρμόζεται για κάθε ενότητα ξεχωριστά. Αυτός ο περιορισμός δεν ισχύει για τη στιγμή από ένα μόνο φορτίο.

Ρύζι. 9.21. Περιορισμοί κατά τη χρήση του κανόνα του Vereshchagin: α - το διάγραμμα έχει ένα διάλειμμα. β - το διάγραμμα έχει διαφορετικά σημάδια. γ - η ράβδος έχει διαφορετικά τμήματα

3. Η ακαμψία της ράβδου μέσα σε ένα τμήμα πρέπει να είναι σταθερή, διαφορετικά η ολοκλήρωση θα πρέπει να επεκταθεί χωριστά σε τμήματα με σταθερή ακαμψία. Οι περιορισμοί στη σταθερή ακαμψία μπορούν να αποφευχθούν με τη χάραξη διαγραμμάτων.

Ο προσδιορισμός μετατοπίσεων σε συστήματα που αποτελούνται από ευθύγραμμα στοιχεία σταθερής ακαμψίας μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά με τη χρήση ειδικής τεχνικής για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος της μορφής. Λόγω του γεγονότος ότι το ολοκλήρωμα περιλαμβάνει το γινόμενο των προσπαθειών που είναι οι τεταγμένες των διαγραμμάτων που κατασκευάζονται για μια ενιαία και πραγματική κατάσταση, αυτή η τεχνική ονομάζεται μέθοδος πολλαπλασιασμού διαγραμμάτων.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που ένα από τα πολλαπλασιαζόμενα διαγράμματα είναι, για παράδειγμα, ευθύγραμμο. σε αυτή την περίπτωση (Εικ. Το δεύτερο διάγραμμα μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα (ίσιο, σπασμένο ή καμπυλόγραμμο).

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή στην έκφραση

πού είναι η διαφορική περιοχή του διαγράμματος (Εικ. 17.11).

Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει τη στατική ροπή της περιοχής του διαγράμματος σε σχέση με τον άξονα (Εικ. 17.11).

Αυτή η στατική στιγμή μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά:

όπου είναι η τετμημένη του κέντρου βάρους της περιοχής του διαγράμματος

Αλλά αφού (βλ. Εικ. 17.11)

(26.11)

Έτσι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο διαγραμμάτων είναι ίσο με το γινόμενο του εμβαδού ενός από αυτά με την τεταγμένη του άλλου (ευθύγραμμου) διαγράμματος, που λαμβάνεται κάτω από το κέντρο βάρους της περιοχής του πρώτου διαγράμματος.

Μια μέθοδος για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων προτάθηκε το 1925 από έναν φοιτητή στο Ινστιτούτο Μηχανικών της Μόσχας σιδηροδρομικές μεταφορές A. N. Vereshchagin, και ως εκ τούτου ονομάζεται κανόνας (ή μέθοδος του Vereshchagin).

Σημειώστε ότι η αριστερή πλευρά της έκφρασης (26.11) διαφέρει από το ολοκλήρωμα Mohr απουσία ακαμψίας διατομής σε αυτό. Κατά συνέπεια, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων που εκτελούνται σύμφωνα με τον κανόνα του Vereshchagin για τον προσδιορισμό της επιθυμητής μετατόπισης πρέπει να διαιρεθεί με την τιμή της ακαμψίας.

Είναι πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η τεταγμένη πρέπει να λαμβάνεται από ένα ευθύγραμμο διάγραμμα. Εάν και τα δύο διαγράμματα είναι ευθεία, τότε η τεταγμένη μπορεί να ληφθεί από οποιοδήποτε διάγραμμα. Έτσι, εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ευθύγραμμα διαγράμματα και (Εικ. 18.11, α), τότε δεν έχει σημασία τι να πάρετε: το γινόμενο της περιοχής του διαγράμματος από την τεταγμένη κάτω από το κέντρο βάρους της από το διάγραμμα ή το γινόμενο Qkyt της περιοχής Q του διαγράμματος από την τεταγμένη κάτω από (ή πάνω) το κέντρο βάρους της από το διάγραμμα

Όταν πολλαπλασιάζονται δύο διαγράμματα με τη μορφή τραπεζοειδούς, δεν χρειάζεται να βρεθεί η θέση του κέντρου βάρους της περιοχής ενός από αυτά. Θα πρέπει να διαιρέσετε ένα από τα διαγράμματα σε δύο τρίγωνα και να πολλαπλασιάσετε το εμβαδόν καθενός από αυτά με την τεταγμένη κάτω από το κέντρο βάρους του από το άλλο διάγραμμα. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 11.18.β, παίρνουμε

(27.11)

Στις παρενθέσεις αυτού του τύπου, το γινόμενο των αριστερών τεταγμένων και των δύο διαγραμμάτων και το γινόμενο των δεξιών τεταγμένων λαμβάνονται με συντελεστή ίσο με δύο και τα γινόμενα των τεταγμένων που βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές - με συντελεστή ίσο με ένα.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (27.11), μπορείτε να πολλαπλασιάσετε διαγράμματα που μοιάζουν με «στριμμένα» τραπεζοειδή. Σε αυτή την περίπτωση, τα γινόμενα των τεταγμένων που έχουν τα ίδια πρόσημα λαμβάνονται με πρόσημο συν και εκείνα που έχουν διαφορετικά πρόσημα λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο. Στην περίπτωση, για παράδειγμα, που φαίνεται στο Σχ. 18.11, β, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων με τη μορφή ενός "στριμμένου" και ενός συνηθισμένου τραπεζοειδούς είναι ίσο με , και στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 18.11, ζ, ίσον

Ο τύπος (27.11) ισχύει επίσης όταν ένα ή και τα δύο διαγράμματα που πολλαπλασιάζονται έχουν τη μορφή τριγώνου. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το τρίγωνο αντιμετωπίζεται ως τραπεζοειδές με μια ακραία τεταγμένη ίση με μηδέν. Το αποτέλεσμα, για παράδειγμα, του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων που φαίνονται στο Σχ. 18.11, δ, ίσον

Ο πολλαπλασιασμός ενός διαγράμματος με τη μορφή ενός «στριμμένου» τραπεζοειδούς με οποιοδήποτε άλλο διάγραμμα μπορεί να γίνει διαιρώντας το «στριμμένο τραπέζιο σε δύο τρίγωνα, όπως φαίνεται στο Σχήμα. 18.11, ε.

Όταν ένα από τα διαγράμματα (Εικ. 19.11) σκιαγραφείται σύμφωνα με τετράγωνη παραβολή(από ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q), τότε για πολλαπλασιασμό με άλλο διάγραμμα θεωρείται το άθροισμα (στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 19.11, α) ή η διαφορά (στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 19.11, β) τραπεζοειδής και παραβολικά διαγράμματα

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων που φαίνονται στο Σχ. 19.11, α, είναι ίσο μετά την αντικατάσταση σε αυτό παίρνουμε

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων που φαίνονται στο Σχ. 19.11, β, είναι ίσο μετά την αντικατάσταση σε αυτό - και παίρνουμε

Και στις δύο παραστάσεις που ελήφθησαν, τα αθροίσματα των γινομένων των ακραίων τεταγμένων και των δύο διαγραμμάτων με το τετραπλάσιο γινόμενο των μεσαίων τεταγμένων βρίσκονται σε παρένθεση.

Υπάρχουν περιπτώσεις που κανένα από τα πολλαπλασιασμένα διαγράμματα δεν είναι ευθύ, αλλά ένα από αυτά (ή και τα δύο) περιορίζεται από σπασμένες ευθείες γραμμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να πολλαπλασιαστούν τα διαγράμματα, πρώτα χωρίζονται σε τμήματα μέσα σε κάθε ένα από τα οποία τουλάχιστον ένα διάγραμμα είναι ευθύ. Έτσι, για παράδειγμα, κατά τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων που φαίνονται στο Σχ. 20.11, a, b, μπορείτε να τα διαιρέσετε σε δύο τμήματα και να παρουσιάσετε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ως άθροισμα.Μπορείτε, πολλαπλασιάζοντας αυτά τα ίδια διαγράμματα, να τα χωρίσετε σε τρία τμήματα, όπως φαίνεται στο Σχ. 20.11, γ, d; σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων είναι ίσο με

Όταν χρησιμοποιείτε τον κανόνα του Vereshchagin, πρέπει να υπολογίσετε τις περιοχές των διαφορετικών γεωμετρικά σχήματακαι να καθορίσουν τις θέσεις των κέντρων βάρους τους. Από αυτή την άποψη, στον Πίνακα. Το σχήμα 1.11 δείχνει τις τιμές της περιοχής και τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους των πιο κοινών γεωμετρικών σχημάτων.

Ως παράδειγμα, εξετάστε τη χρήση της μεθόδου του Vereshchagin για τον προσδιορισμό της εκτροπής του σημείου C (υπό δύναμη ) της δοκού που φαίνεται στο Σχ. 16.11, α; Ταυτόχρονα, λαμβάνουμε υπόψη τη δράση των ροπών κάμψης και των εγκάρσιων δυνάμεων.

Η ενιαία κατάσταση της δοκού, καθώς και τα διαγράμματα των εσωτερικών δυνάμεων σε αυτήν που προκαλούνται από το φορτίο και τη δύναμη μονάδας φαίνονται στο Σχ. 16.11, β, β, δ, ε, στ.

Σύμφωνα με τον τύπο (24.11), χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Vereshchagin κατά τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων, βρίσκουμε

Αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει με το αποτέλεσμα που προκύπτει από την ολοκλήρωση.

Ας προσδιορίσουμε τώρα την οριζόντια μετατόπιση του σημείου C του πλαισίου που φαίνεται στο Σχ. 21.11, α. Στιγμές αδράνειας διατομέςΟι στύλοι πλαισίου και οι εγκάρσιες ράβδοι φαίνονται στο σχήμα. .

Η πραγματική κατάσταση του πλαισίου φαίνεται στο Σχ. 21.11, α. Το διάγραμμα των ροπών κάμψης για αυτήν την κατάσταση (διάγραμμα φορτίου) φαίνεται στο Σχ. 21.11, β.

Σε μία μόνο κατάσταση, ασκείται δύναμη ίση με ένα στο σημείο C του πλαισίου προς την κατεύθυνση της επιθυμητής μετατόπισης (δηλαδή οριζόντια).

Πίνακας 1.11

(δείτε σάρωση)

Το διάγραμμα των ροπών κάμψης M για αυτή την κατάσταση (μοναδιαίο διάγραμμα) φαίνεται στο Σχ. 21.11, στις.

Τα σημάδια των ροπών κάμψης στα διαγράμματα ενδέχεται να μην υποδεικνύονται, καθώς είναι γνωστό ότι οι τεταγμένες των διαγραμμάτων σχεδιάζονται στην πλευρά των συμπιεσμένων ινών κάθε στοιχείου.

Πολλαπλασιάζοντας το διάγραμμα φορτίου με το διάγραμμα μονάδας σύμφωνα με τη μέθοδο του Vereshchagin (Εικ. 21.11, β, γ) και λαμβάνοντας υπόψη τις διαφορετικές τιμές των ροπών αδράνειας των διατομών των ραφιών και της εγκάρσιας ράβδου πλαισίου, βρίσκουμε η απαιτούμενη μετατόπιση του σημείου Γ:

Το σύμβολο μείον κατά τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων λαμβάνεται επειδή τα διαγράμματα και το M βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές των στοιχείων του πλαισίου και, επομένως, οι ροπές κάμψης και το M έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Η αρνητική τιμή της προκύπτουσας μετατόπισης του σημείου C σημαίνει ότι αυτό το σημείο δεν μετατοπίζεται προς την κατεύθυνση της μοναδιαίας δύναμης (Εικ. 21.11, γ), αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή προς τα δεξιά.

Ας δώσουμε τώρα μερικές πρακτικές οδηγίες για την εφαρμογή του ολοκληρώματος Mohr σε διάφορες περιπτώσεις υπολογισμού μετατοπίσεων.

Συνιστάται να προσδιορίσετε τις μετατοπίσεις σε δοκούς των οποίων η ακαμψία διατομής είναι σταθερή σε όλο το μήκος ή εντός μεμονωμένων τμημάτων, υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα Mohr χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Vereshchagin. Το ίδιο ισχύει και για κουφώματα κατασκευασμένα από ευθείες ράβδους σταθερής ή βαθμιαίας μεταβλητής ακαμψίας.

Όταν η ακαμψία των τμημάτων ενός δομικού στοιχείου αλλάζει συνεχώς κατά το μήκος του, οι μετατοπίσεις πρέπει να προσδιορίζονται με άμεσο (αναλυτικό) υπολογισμό του ολοκληρώματος Mohr. Μια τέτοια δομή μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση αντικαθιστώντας την με ένα σύστημα με στοιχεία ακαμψίας μεταβλητής βαθμίδας, μετά την οποία η μέθοδος του Vereshchagin μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των μετατοπίσεων.

Η μέθοδος του Vereshchagin μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για τον προσδιορισμό των μετατοπίσεων, αλλά και για τον προσδιορισμό της δυναμικής ενέργειας.


Προσδιορισμός κινήσεων. Η μέθοδος του O. Mohr σε συνδυασμό με τη μέθοδο του Simpson (τύπος)

Για να προσδιορίσετε οποιαδήποτε κίνηση (γραμμική ή γωνιακή) στη μέθοδο του Mohrδοκός εξετάζεται σε δύο καταστάσεις: πραγματική και βοηθητική. Βοηθητική κατάστασηαποδεικνύεται ως εξής: πρώτα, πρέπει να αφαιρεθεί ολόκληρο το καθορισμένο φορτίο, στη συνέχεια πρέπει να εφαρμοστεί ένας «συντελεστής δύναμης μονάδας» στον τόπο όπου απαιτείται να προσδιοριστεί η μετατόπιση και προς την κατεύθυνση αυτής της επιθυμητής μετατόπισης. Επιπλέον, όταν καθορίζουμε γραμμική κίνηση (εκτροπή δέσμης),τότε ως «μονός παράγοντας δύναμης» λαμβάνεται συγκεντρωμένη δύναμη, και αν χρειαστεί να βρείτε γωνία περιστροφής, τότε θα πρέπει να επισυνάψετε συγκεντρωμένο ζευγάρι.

Στη συνέχεια, στο ίδιο αυθαίρετο τμήμα και των δύο καταστάσεων (δηλαδή και των πραγματικών και των βοηθητικών), συντάσσονται αναλυτικές εκφράσεις για τη ροπή κάμψης, οι οποίες αντικαθίστανται στον τύπο που ονομάζεται "Mohr ολοκλήρωμα":

όπου: σημάδι Σ εξαπλώνεται επάνω όλες τις περιοχέςδοκάρια,

ΕΝΑ EI - κάμψη ακαμψίαΤοποθεσία ενεργοποιημένη.

Σε πολλές περιπτώσεις Η ενσωμάτωση Mohr μπορεί να αποφευχθείΚαι εφαρμόστε τη μέθοδο διαγράμματα «πολλαπλασιασμού».. Ένας τέτοιος τρόπος είναι Ο τρόπος του Simpsonπάνω από το οποίο η τιμή του ολοκληρώματος Mohr σε ένα τμήμα μήκους ℓ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Εδώ υποδεικνύεται: ένα, σιΚαι Με – αντίστοιχα, οι ακραίες και οι μέσες τεταγμένες του διαγράμματος των ροπών κάμψης της πραγματικής κατάστασης Μ,

– ακραίες και μεσαίες τεταγμένες του διαγράμματος ροπών κάμψης, αλλά μόνο μια βοηθητική κατάσταση.

Κανόνας υπογραφής:αν βρίσκονται και οι δύο «πολλαπλασιασμένες» τεταγμένες σε δύο διαγράμματα στη μία πλευρά του άξονα του διαγράμματος (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσημο), τότε πριν από το προϊόν τους πρέπει να βάλουμε ένα σημάδι "συν: τι κι αν αυτοί στις αντίθετες πλευρέςαπό τον άξονα του διαγράμματος, στη συνέχεια, μπροστά από το προϊόν βάζουμε μια πινακίδα "μείον".

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι μέθοδοι «πολλαπλασιασμού» διαγραμμάτων (εκτός από τη μέθοδο Simpson είναι επίσης γνωστές Η μέθοδος του Vereshchagin) ισχύει μόνο εάν είναι διαθέσιμο δύο προϋποθέσεις:

  1. Η ακαμψία κάμψης της δοκού στην υπό εξέταση περιοχή πρέπει να είναι σταθερή (EI= Κωνστ),
  2. Ένα από τα δύο διαγράμματα ροπών σε αυτή την ενότητα θα πρέπει να είναι αναγκαστικά γραμμικό. Σε αυτήν την περίπτωση, και τα δύο διαγράμματα δεν πρέπει να έχουν κάταγμα

Εάν υπάρχουν πολλές περιοχέςσε μια δοκό που ικανοποιεί τις δύο καθορισμένες συνθήκες, ο τύπος για τον προσδιορισμό των μετατοπίσεων έχει τη μορφή:

Αν το αποτέλεσμαυπολογισμούς βγαίνει θετικό, λοιπόν, λοιπόν, η κατεύθυνση της επιθυμητής κίνησης συμπίπτει με την κατεύθυνση του «συντελεστή δύναμης μονάδας»(), και αν το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, τότε η επιθυμητή κίνηση εμφανίζεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτόν τον παράγοντα.

Ο τύπος του Simpson, γραμμένος σε στιγμές, μοιάζει με αυτό: οι μετατοπίσεις (γωνία εκτροπής ή περιστροφής) είναι ίσες

Οπου li – μήκος τμήματος;

EIi – ακαμψία δοκούΤοποθεσία σε?

Μ Φ – τιμές των ροπών κάμψης από το διάγραμμα φορτίου, αντίστοιχα, η τοποθεσία?

– τιμές των ροπών κάμψης από ένα μόνο διάγραμμα,αντίστοιχα στην αρχή, στη μέση και στο τέλοςοικόπεδο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων θα είναι χρήσιμο να προσδιορίσετε τεταγμένα διαγράμματα ροπών κάμψης:

, Οπου

Εργο

Προσδιορίστε τη γωνία περιστροφής του τμήματος στο αριστερό στήριγμα φ ΕΝΑ

1) Βρείτε πραγματικές αντιδράσεις κρατικής στήριξης .

2) Χτίζουμε διάγραμμα των στιγμών της πραγματικής κατάστασηςΜ.

3) Επιλογή βοηθητικής κατάστασηςγια τον προσδιορισμό της γωνίας περιστροφής φ ΕΝΑ.

4) Εύρεση των αντιδράσεων υποστήριξης της βοηθητικής κατάστασης

«Αντιδρούμε» στο μείον.

5) Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα των ροπών της βοηθητικής κατάστασης:

6) «Πολλαπλασιασμός» των διαγραμμάτων

Επειδή ένα από αυτά (δηλαδή) είναι γραμμικό σε όλο το άνοιγμα και δεν έχει κάταγμα, και το διάγραμμα Μεπίσης χωρίς κάταγμα, τότε στον τύπο Simpson θα υπάρχει μόνο ένα τμήμα και μετά

Το σύμβολο συν υποδεικνύει ότι η ενότητα ΕΝΑστρέφεται προς τη «μοναδική στιγμή»

prosopromat.ru

Ο τύπος του Simpson για τον προσδιορισμό των μετατοπίσεων

Για να προσδιορίσετε τη μετατόπιση χρησιμοποιώντας τον τύπο του Simpson, πρέπει:

  1. Χτίζω διάγραμμα φορτίουροπές (διάγραμμα ροπών από τη δράση όλων των εξωτερικών φορτίων).
  2. Χτίζω ενιαίο διάγραμμαστιγμές. Για να γίνει αυτό, στο τμήμα όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η γραμμική μετατόπιση (εκτροπή), εφαρμόστε μια μοναδιαία δύναμη και για να καθορίσετε τη γωνιακή μετατόπιση, εφαρμόστε μια μοναδιαία ροπή και από αυτόν τον μοναδιαίο συντελεστή κατασκευάστε ένα διάγραμμα ροπών κάμψης.
  3. Πολλαπλασιάστε τα διαγράμματα (φορτίο και μονάδα) χρησιμοποιώντας έναν τύπο που ονομάζεται τύπος Simpson:

Οπου l i– μήκος τμήματος;

EI i– ακαμψία της δοκού στην περιοχή;

φορτίοδιαγράμματα, αντίστοιχα

– τιμές των ροπών κάμψης με μονόκλινοδιαγράμματα, αντίστοιχα

Αν βρίσκονται οι τεταγμένες των διαγραμμάτων στη μία πλευρά του άξονα της δέσμης, τότε κατά τον πολλαπλασιασμό λαμβάνεται υπόψη το σύμβολο "+", εάν σε διαφορετικές πλευρές, τότε λαμβάνεται υπόψη το σύμβολο "-".

prosopromat.ru

2.8 Βασικές επιλογές για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων

Είναι προφανές ότι η ποικιλία των εφαρμοζόμενων
φορτία και γεωμετρικά σχέδια
σχέδια οδηγεί σε διαφορετικά, με
άποψη γεωμετρίας, πολλαπλασιαζόμενη
διαγράμματα Να εφαρμόσει τον κανόνα του Vereshchagin
πρέπει να γνωρίζουν τις περιοχές των γεωμετρικών
σχήματα και συντεταγμένες των κέντρων βάρους τους.
Το σχήμα 29 δείχνει μερικά βασικά
επιλογές που προκύπτουν στην πράξη
υπολογισμούς.

Για να πολλαπλασιάσετε διαγράμματα πολύπλοκο σχήμα
πρέπει να αναλυθούν σε απλούστερες.
Για παράδειγμα, για να πολλαπλασιάσουμε δύο διαγράμματα,
έχοντας το σχήμα τραπεζοειδούς, χρειάζεστε ένα από αυτά
χωρίζεται σε τρίγωνο και ορθογώνιο,
πολλαπλασιάστε το εμβαδόν καθενός από αυτά επί
τεταγμένη του δεύτερου διαγράμματος που βρίσκεται
κάτω από το κατάλληλο κέντρο βάρους,
και αθροίστε τα αποτελέσματα. Επίσης
χρησιμοποιούνται επίσης για τον πολλαπλασιασμό ενός καμπυλόγραμμου
τραπεζοειδή σε οποιοδήποτε γραμμικό διάγραμμα.

Εάν κάνετε τα παραπάνω βήματα
σε γενική μορφή, λαμβάνουμε για τέτοια
πολύπλοκες περιπτώσειςφόρμουλες βολικές για
χρήση σε πρακτικούς υπολογισμούς
(Εικ. 30). Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού
δύο τραπεζοειδή (Εικ. 30, α):

Ρύζι. 29

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.21), μπορείτε να πολλαπλασιάσετε και
διαγράμματα που μοιάζουν με "στριμμένα"
τραπεζίου (Εικ. 30, β), αλλά ταυτόχρονα και το προϊόν
τεταγμένες που βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές
από τους άξονες των διαγραμμάτων, που λαμβάνονται υπόψη με το πρόσημο
μείον.

Αν σκιαγραφείται ένα από τα οικόπεδα που πολλαπλασιάζονται
κατά μήκος μιας τετράγωνης παραβολής (η οποία αντιστοιχεί σε
ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο
φόρτωση), στη συνέχεια πολλαπλασιάστε με
δεύτερο (αναγκαστικά γραμμικό) διάγραμμα
θεωρείται ως άθροισμα (Εικ. 30, γ) ή
διαφορά (Εικ. 30, δ) τραπεζοειδής και
παραβολικά διαγράμματα. Αποτέλεσμα
προσδιορίζεται ο πολλαπλασιασμός και στις δύο περιπτώσεις
τύπος:

αλλά προσδιορίζεται η τιμή της f
με διαφορετικούς τρόπους (Εικ. 30, γ, δ).

Ρύζι. τριάντα

Μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου κανένα από τα
τα διαγράμματα δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν
απλό, αλλά τουλάχιστον ένα από αυτά
περιορίζεται από σπασμένες ευθείες γραμμές.
Να πολλαπλασιάσουμε τέτοια διαγράμματα με αυτά
προδιαιρεμένα σε ενότητες,
εντός καθενός από τα οποία τουλάχιστον
Τουλάχιστον ένα διάγραμμα είναι ευθύ.

Σκεφτείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα
Vereshchagin χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 15.Προσδιορίστε την απόκλιση μέσα
μέση του ανοίγματος και γωνία αριστερής στροφής
τμήμα στήριξης μιας δοκού φορτωμένης
ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο
(Εικ. 31, α), με τη μέθοδο του Vereshchagin.

Ακολουθία μεθόδου υπολογισμού
Vereshchagina - το ίδιο όπως στη μέθοδο
Μόρα, ας εξετάσουμε λοιπόν τρεις πολιτείες
δοκοί: φορτίο – σε δράση
κατανεμημένο φορτίο q; σε αυτόν
αντιστοιχεί στο διάγραμμα M q (Εικ. 31, β),
και δύο μεμονωμένες καταστάσεις - κατά τη διάρκεια της δράσης
δύναμη
εφαρμόζεται στο σημείο Γ (διάγραμμα
,
Εικ. 31, γ) και ροπή
,
εφαρμόζεται στο σημείο Β (διάγραμμα
,
Εικ. 31, δ).

Απόκλιση δοκού στο μέσο του ανοίγματος:

Παρόμοιο αποτέλεσμα προέκυψε
προηγουμένως με τη μέθοδο του Mohr (βλ. παράδειγμα 13). Πρέπει
δώστε προσοχή στο γεγονός ότι
πραγματοποιήθηκε πολλαπλασιασμός των διαγραμμάτων για
η μισή δέσμη, και μετά, λόγω συμμετρίας,
το αποτέλεσμα διπλασιάστηκε. Αν η περιοχή
ολόκληρου του διαγράμματος M q πολλαπλασιασμένο επί
βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του
τεταγμένη του διαγράμματος
(
επί
Εικ. 31, γ), τότε το μέγεθος της κίνησης θα είναι
εντελώς διαφορετικό και λανθασμένο γιατί
διάγραμμα
περιορίζεται από μια διακεκομμένη γραμμή. Επί
το απαράδεκτο μιας τέτοιας προσέγγισης είναι ήδη
που αναφέρεται παραπάνω.

Και κατά τον υπολογισμό της γωνίας περιστροφής του τμήματος
στο σημείο Β μπορείτε να πολλαπλασιάσετε την περιοχή του διαγράμματος M q με αυτή που βρίσκεται κάτω από το κέντρο του
διάγραμμα τεταγμένων βαρύτητας
(
,
Εικ. 31, δ), αφού το διάγραμμα
περιορίζεται από ευθεία γραμμή:

Αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει επίσης με
το αποτέλεσμα που προέκυψε με την προηγούμενη μέθοδο
Mora (βλ. παράδειγμα 13).

Ρύζι. 31

Παράδειγμα 16.Ορίστε την οριζόντια
και κάθετη κίνηση του σημείου Α σε
πλαίσιο (Εικ. 32, α).

Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, για επίλυση
τρία προβλήματα πρέπει να εξεταστούν
καταστάσεις πλαισίου: φορτίο και δύο μονά.
Διάγραμμα ροπών M F που αντιστοιχεί
πρώτη κατάσταση, που παρουσιάστηκε στις
Εικ. 32, β. Για να υπολογίσετε οριζόντια
εφαρμόζονται κινήσεις στο σημείο Α κατά μήκος
κατεύθυνση της επιθυμητής κίνησης (δηλ.
οριζόντια) δύναμη
,
και να υπολογίσουμε την κατακόρυφη
κινούμενη δύναμη
εφαρμόστε κάθετα (Εικ. 32, γ, δ).
Αντίστοιχα διαγράμματα
Και
φαίνονται στο Σχ. 32, d, f.

Οριζόντια κίνηση του σημείου Α:

Κατά τον υπολογισμό

στο τμήμα ΑΒ υπάρχει ένα τραπέζιο (διάγραμμα M F)
χωρίζεται σε τρίγωνο και ορθογώνιο,
μετά το οποίο το τρίγωνο από το διάγραμμα
"πολλαπλασιάζεται"
για καθένα από αυτά τα στοιχεία. Στο χώρο του αεροσκάφους
καμπύλο τραπεζοειδέςδιαιρείται σε
καμπυλόγραμμο τρίγωνο και ορθογώνιο,
και για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων στην ενότητα SD
χρησιμοποιήθηκε ο τύπος (2.21).

Το σύμβολο «–» που λαμβάνεται κατά τον υπολογισμό

,
σημαίνει ότι το σημείο Α κινείται κατά μήκος
οριζόντια όχι προς τα αριστερά (προς αυτή την κατεύθυνση
εφαρμοζόμενη δύναμη
),
και προς τα δεξιά.

Εδώ το σύμβολο «-» σημαίνει ότι το σημείο
Και κινείται προς τα κάτω, όχι προς τα πάνω.

Σημειώστε ότι μεμονωμένα διαγράμματα στιγμών,
χτισμένο από δύναμη

,
έχουν τη διάσταση του μήκους και της μονάδας
διαγράμματα στιγμών που χτίζονται από τη στιγμή
,
είναι αδιάστατες.

Παράδειγμα 17.Ορίστε την κατακόρυφη
κινούμενο σημείο Α επίπεδο-χωρικό
συστήματα (Εικ. 33, α).

Εικ.23

Ως γνωστόν (βλ. Κεφάλαιο 1), σε εγκάρσια
τμήματα επιπέδων-χωρικών ράβδων
συστήματα προκύπτουν τρία εσωτερικά
συντελεστές δύναμης: δύναμη διάτμησης Q y,
ροπή κάμψης M x και ροπή
στιγμή Μ κρ. Από την επιρροή
διατμητική δύναμη ανά μετατόπιση
ασήμαντα (βλέπε παράδειγμα 14,
Εικ.27), τότε κατά τον υπολογισμό της μετατόπισης
Η μέθοδος των Mohr και Vereshchagin από έξι
απομένουν μόνο δύο θητείες.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα κατασκευάσουμε διαγράμματα
ροπές κάμψης M x,q και ροπή
ροπές M cr,q από εξωτερικό φορτίο
(Εικ. 33, β), και στη συνέχεια στο σημείο Α ασκούμε δύναμη
προς την κατεύθυνση της επιθυμητής κίνησης,
εκείνοι. κατακόρυφο (Εικ. 33, γ) και κατασκευή
μεμονωμένα διαγράμματα ροπών κάμψης
και ροπές
(Εικ. 33, δ).
Βέλη στα διαγράμματα ροπής
εμφανίζονται οι κατευθύνσεις περιστροφής
σχετικές περιοχές
επίπεδο-χωρικό σύστημα.

Κάθετη κίνηση του σημείου Α:

Κατά τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων ροπής
η εργασία λαμβάνεται με το σύμβολο "+",
εάν τα βέλη που δείχνουν την κατεύθυνση
στρέψη, συμκατευθυντική και με το σύμβολο "
- " - σε διαφορετική περίπτωση.

studfiles.net

Πολλαπλασιασμός διαγραμμάτων με τη μέθοδο Vereshchagin

Για να υπολογίσετε, πρέπει να εκτελέσετε τις ακόλουθες λειτουργίες:

1. Κατασκευάστε διαγράμματα ροπών κάμψης κύριοςΚαι Mkανάλογα με τα δεδομένα και τα μοναδιαία φορτία της δοκού, αντίστοιχα. Με σύνθετη φόρτιση της δοκού (Εικ. 19, ΕΝΑ)ακολουθεί: είτε διάγραμμα κύριοςχωρίστε στα απλούστερα μέρη για τα οποία είναι γνωστή η περιοχή και η θέση του κέντρου βάρους (Εικ. 19, β) ή (κατά προτίμηση) κατασκευάστε ένα διάγραμμα κύριοςσε στρωματοποιημένη μορφή (Εικ. 19, γ).

Εάν η δοκός έχει ένα μεταβλητό τμήμα σταδιακά, το διάγραμμα κύριοςπρέπει, επιπλέον, να χωριστεί σε τμήματα εντός των οποίων η ακαμψία διατομής είναι σταθερή.

2. Σε κάθε τμήμα, πολλαπλασιάστε το εμβαδόν ω ενός από τα διαγράμματα (για παράδειγμα, διάγραμμα Κύριος)ανά τεταγμένη Κυρίαένα άλλο διάγραμμα (για παράδειγμα, διάγραμμα Mk)κάτω από το κέντρο βάρους του πρώτου διαγράμματος και διαιρέστε το γινόμενο που προκύπτει με τον συντελεστή βήματος j.

Στην περίπτωση αυτή η τεταγμένη Κυρίαθα πρέπει να ληφθεί σε ένα διάγραμμα, το οποίο στην υπό εξέταση περιοχή αλλάζει σύμφωνα με γραμμικό νόμο (χωρίς διάλειμμα). Εάν το διάγραμμα είναι σπασμένο, θα πρέπει να χωριστεί σε τμήματα εντός των οποίων θα είναι γραμμικό.

3. Υπολογίστε το άθροισμα των όρων που καθορίζονται στην παράγραφο 2.

Τύπος για τον προσδιορισμό της κίνησης χρησιμοποιώντας την υπό εξέταση μέθοδο

όπου η άθροιση πραγματοποιείται σε όλα τα τμήματα της δοκού

Οι περιοχές και οι συντεταγμένες των κέντρων βάρους ορισμένων διαγραμμάτων δίνονται στον Πίνακα. 11. Τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των διαγραμμάτων φορτίων και μονάδων που εμφανίζονται συχνά δίνονται στον πίνακα. 12.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία περιστροφής ­ αξίες ΣΕκλιμακωτή δοκός (βλ. Εικ. 19, α).

Έχοντας καθορίσει τις αντιδράσεις υποστήριξης Α και Β , ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα κύριοςστο σχ. 19, σιΚαι VΕμφανίζονται μη στρωματοποιημένα και στρωματοποιημένα διαγράμματα Κύριος.Εφαρμόζοντας μια μοναδιαία ροπή στο σημείο Β της δοκού που ελευθερώνεται από το φορτίο, κατασκευάζουμε ένα μοναδιαίο διάγραμμα Μ1(Εικ. 19. ζ).

Χρησιμοποιώντας το πολυεπίπεδο διάγραμμα Mp, σύμφωνα με τον τύπο 36 και τον πίνακα. 12 προσδιορίζουμε την επιθυμητή γωνία περιστροφής του τμήματος Β:


Σύκο. 20

Παράδειγμα.Προσδιορίστε την απόκλιση στο σημείο Κ μιας δοκού σταθερής διατομής (Εικ. 20, α).

Εφαρμόζοντας μοναδιαία δύναμη στο σημείο Κ, απαλλαγμένο από το δεδομένο φορτίο της δοκού, θα κατασκευάσουμε ένα μοναδιαίο διάγραμμα ροπών κάμψης Mk (Εικ. 20, β).
Έχοντας καθορίσει τις αντιδράσεις στήριξης από ένα δεδομένο φορτίο

Ας κόψουμε την κονσόλα και ας την αντικαταστήσουμε με δύναμη qa και ροπή (Εικ. 20, γ).

Ας κατασκευάσουμε ένα στρωματοποιημένο διάγραμμα Μ (για κάθε τύπο φορτίου χωριστά), πλησιάζοντας το σημείο θραύσης ενός μεμονωμένου διαγράμματος Mkκαι στις δύο πλευρές (Εικ. 20, Εγώ ).

Σύμφωνα με τον τύπο (36) χρησιμοποιώντας τον πίνακα. 12 καθορίστε την απαιτούμενη μετατόπιση

Παραγγελία λύσης Τρόπος πληρωμής

funnystudy.ru

Προσδιορισμός μετατοπίσεων σε δοκό με τον τύπο του Simpson

Για τη δοκό, προσδιορίστε τις γραμμικές και γωνιακές μετατοπίσεις στα σημεία Α, Β, Γ, έχοντας προηγουμένως επιλέξει το τμήμα της δοκού Ι από τις συνθήκες αντοχής.

Δεδομένος:ένα=2 m,σι=4 m, s=3 m,φά=20 kN, M=18 kNΜ,q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa



1) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα της δοκού και προσδιορίστε τις αντιδράσεις στήριξης.Σε μια σκληρή σφράγιση εμφανίζεται 3 αντιδράσεις - κάθετη και οριζόντια, και υποστηρικτική στιγμή.Εφόσον δεν υπάρχουν οριζόντια φορτία, η αντίστοιχη αντίδραση είναι μηδέν. Για να βρούμε τις αντιδράσεις στο σημείο Ε συνθέτουμε εξισώσεις ισορροπίας.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(το σημάδι το δείχνει

Θα βρούμε ροπή στήριξης σε άκαμπτη ενσωμάτωση, για το οποίο λύνουμε την εξίσωση των ροπών σε σχέση με οποιοδήποτε επιλεγμένο σημείο.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(το σημάδι το δείχνει η αντίδραση κατευθύνεται προς αντιθετη πλευρα, το δείχνουμε στο διάγραμμα)

2) Κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα φορτίου M F - ένα διάγραμμα ροπών από ένα δεδομένο φορτίο.

Για να κατασκευάσουμε διαγράμματα ροπών, βρίσκουμε στιγμές σε χαρακτηριστικά σημεία. ΣΕ σημείο Βκαθορίζουμε τις στιγμές και από τις δεξιές και από τις αριστερές δυνάμεις, αφού σε αυτό το σημείο εφαρμόζεται μια στιγμή.

Για την κατασκευή ενός διαγράμματος ροπών στη γραμμή δράσης ενός κατανεμημένου φορτίου (τμήματα ΑΒ και Π.Χ) χρειαζόμαστε επιπλέον σημείανα σχεδιάσετε μια καμπύλη. Ας ορίσουμε τις στιγμές στη μέσηαυτές τις περιοχές. Αυτές είναι οι στιγμές στα μέσα των τμημάτων ΑΒ και Β.Χ 15,34 kNm και 23,25 kNm. Χτίζουμε διάγραμμα φορτίου.

3) Για τον προσδιορισμό γραμμικών και γωνιακών μετατοπίσεων σε ένα σημείο, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί σε αυτό το σημείο, στην πρώτη περίπτωση, μονάδα δύναμης (F=1)και φτιάξτε ένα διάγραμμα των στιγμών, στη δεύτερη περίπτωση, μονή στιγμή (Μ=1) και να κατασκευάσετε ένα διάγραμμα ροπών. Κατασκευάζουμε διαγράμματα μοναδιαίων φορτίων για κάθε σημείο - Α, Β και Γ.

4) Για να βρούμε μετατοπίσεις χρησιμοποιούμε τον τύπο του Simpson.

Οπου l i – μήκος τμήματος.

EI i– ακαμψία δοκού στην περιοχή.

Μ Φ– τιμές των ροπών κάμψης από το διάγραμμα φορτίου, αντίστοιχα στην αρχή, στη μέση και στο τέλος του τμήματος.

– τιμές των ροπών κάμψης από ένα μόνο διάγραμμα, αντίστοιχα στην αρχή, στη μέση και στο τέλος του τμήματος.

Εάν οι τεταγμένες των διαγραμμάτων βρίσκονται στη μία πλευρά του άξονα της δέσμης, τότε το πρόσημο «+» λαμβάνεται υπόψη κατά τον πολλαπλασιασμό· εάν βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές, τότε λαμβάνεται υπόψη το σύμβολο «-».

Εάν το αποτέλεσμα είναι με σύμβολο «-», τότε η επιθυμητή μετατόπιση στην κατεύθυνση δεν συμπίπτει με την κατεύθυνση του αντίστοιχου συντελεστή δύναμης μονάδας.

Ας σκεφτούμε εφαρμογή του τύπου του Simpson χρησιμοποιώντας το παράδειγμα προσδιορισμού μετατοπίσεων στο σημείο Α.

Ας ορίσουμε εκτροπή,πολλαπλασιάζοντας το διάγραμμα φορτίου με το διάγραμμα μοναδιαίας δύναμης.

Η εκτροπή αποδείχθηκε με το σύμβολο "-".σημαίνει την επιθυμητή μετατόπιση η κατεύθυνση δεν συμπίπτει με την κατεύθυνση της μοναδιαίας δύναμης (κατευθυνόμενη προς τα πάνω).

Ας ορίσουμε γωνία περιστροφής, πολλαπλασιάζοντας το διάγραμμα φορτίου με το διάγραμμα από μία μόνο στιγμή.

Η γωνία περιστροφής αποδείχθηκε ότι ήταν με το σύμβολο "-".Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή μετατόπιση στην κατεύθυνση δεν συμπίπτει με την κατεύθυνση της αντίστοιχης μοναδιαίας ροπής (κατευθυνόμενη αριστερόστροφα).

5) Για να προσδιορίσετε συγκεκριμένες τιμές μετατόπισης, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα τμήμα. Ας επιλέξουμε τη διατομή της δέσμης I

Οπου Mmax- Αυτό μέγιστη ροπή στο διάγραμμα ροπής φορτίου

Επιλέγουμε ανά ποικιλία Δοκός Ι Νο. 30 με Π x = 472 cm 3 και I x = 7080 cm 4

6) Προσδιορίστε τις μετατοπίσεις στα σημείααποκαλυπτικός ακαμψία διατομής: E – συντελεστής διαμήκους ελαστικότητας του υλικού ή συντελεστής Young (2 10 5 MPa),J x – αξονική ροπή αδράνειας της τομής

Εκτροπή στο σημείο Α (πάνω)

Γωνία περιστροφής (αριστερόστροφα)

Εάν χρειάζεται να χτίσετε άξονας καμπύλης δοκού, τότε η δοκός τραβιέται χωρίς φορτίο και τοποθετούνται παραμορφώσεις στις αντίστοιχες κατευθύνσεις στα σημεία - κατασκευάζεται μια ομαλή καμπύλη - στον καμπύλο άξονα της δοκού.

prosopromat.ru

Πολλαπλασιασμός διαγραμμάτων σύμφωνα με τον κανόνα, τη μέθοδο ή τη μέθοδο Mohr-Vereshchagin

Γειά σου! Σε αυτό το άρθρο θα μάθουμε να προσδιορίζουμε τις κινήσεις των διατομών κατά την κάμψη: παραμορφώσεις και γωνίες περιστροφής, σύμφωνα με τη μέθοδο (μέθοδος, κανόνας) του Vereshchagin. Επιπλέον, αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στον προσδιορισμό των μετατοπίσεων, αλλά και στην αποκάλυψη της στατικής απροσδιοριστίας των συστημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των δυνάμεων. Θα σας πω για την ουσία αυτής της μεθόδου, πώς πολλαπλασιάζονται τα διαγράμματα ποικίλης πολυπλοκότητας και πότε είναι επωφελές να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για να κατακτήσετε με επιτυχία τα υλικά σε αυτό το μάθημα;

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε πώς κατασκευάζεται το διάγραμμα των ροπών κάμψης, γιατί Σε αυτό το άρθρο θα εργαστούμε με αυτό το διάγραμμα.

Ο Vereshchagin και η μέθοδος, ο κανόνας ή η μέθοδός του

Ο Α.Κ. Vereshchagin το 1925 πρότεινε μια απλούστερη μέθοδο για την επίλυση (τύπους) του ολοκληρώματος Mohr. Πρότεινε, αντί να ενσωματωθούν δύο συναρτήσεις, να πολλαπλασιαστούν τα διαγράμματα: να πολλαπλασιαστεί η περιοχή ενός διαγράμματος με την τεταγμένη του δεύτερου διαγράμματος κάτω από το κέντρο βάρους του πρώτου. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν ένα από τα διαγράμματα είναι ευθύ, το δεύτερο μπορεί να είναι οποιοδήποτε. Επιπλέον, η τεταγμένη λαμβάνεται από ένα ευθύγραμμο διάγραμμα. Όταν και τα δύο διαγράμματα είναι ευθύγραμμα, τότε δεν έχει καθόλου σημασία ποιου εμβαδού θα πάρει και ποιανού τεταγμένης. Έτσι, τα διαγράμματα σύμφωνα με το Vereshchagin πολλαπλασιάζονται σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)​​

Ο πολλαπλασιασμός των διαγραμμάτων σύμφωνα με τον Vereshchagin απεικονίζεται: C είναι το κέντρο βάρους του πρώτου διαγράμματος, ωс είναι η περιοχή του πρώτου διαγράμματος, Mc είναι η τεταγμένη του δεύτερου διαγράμματος κάτω από το κέντρο βάρους του πρώτου.

Περιοχή και κέντρο βάρους διαγραμμάτων

Όταν χρησιμοποιείτε τη μέθοδο Vereshchagin, ολόκληρη η περιοχή του διαγράμματος δεν λαμβάνεται ταυτόχρονα, αλλά σε μέρη, μέσα σε τμήματα. Το διάγραμμα των ροπών κάμψης διαστρωματώνεται σε απλά σχήματα.

Οποιοδήποτε διάγραμμα μπορεί να χωριστεί σε τρία μόνο σχήματα: ένα ορθογώνιο, ορθογώνιο τρίγωνοκαι παραβολικό τμήμα.

Πολλαπλασιασμός διαγραμμάτων σύμφωνα με το Vereshchagin

Σε αυτό το μπλοκ του άρθρου θα δείξω ειδικές περιπτώσεις πολλαπλασιασμού διαγραμμάτων σύμφωνα με το Vereshchagin.

Ορθογώνιο σε ορθογώνιο

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot c ) \)​

Ορθογώνιο σε τρίγωνο

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Τρίγωνο σε ορθογώνιο

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)​

Τμήμα σε ορθογώνιο

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​​

Τμήμα ανά τρίγωνο

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Ειδικές περιπτώσεις διαστρωμάτωσης διαγραμμάτων σε απλά σχήματα

Σε αυτό το μπλοκ του άρθρου θα δείξω ειδικές περιπτώσεις διαστρωμάτωσης διαγραμμάτων σε απλά σχήματα, για να μπορέσω να τα πολλαπλασιάσω σύμφωνα με τον Vereshchagin.

Ορθογώνιο και τρίγωνο

Δύο τρίγωνα

Δύο τρίγωνα και ένα τμήμα

Τρίγωνο, ορθογώνιο και τμήμα

Ένα παράδειγμα προσδιορισμού μετατοπίσεων: παραμορφώσεις και γωνίες περιστροφής σύμφωνα με τον Vereshchagin

Τώρα προτείνω να εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα με τον υπολογισμό των μετατοπίσεων των διατομών: τις παραμορφώσεις και τις γωνίες περιστροφής τους. Ας πάρουμε μια χαλύβδινη δοκό που είναι φορτωμένη με όλα τα είδη φορτίων και προσδιορίζουμε την απόκλιση του τμήματος Γ, καθώς και τη γωνία περιστροφής του τμήματος Α.

Κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα ροπών κάμψης

Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε και κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα ροπών κάμψης:

Κατασκευή διαγραμμάτων μονής ροπής

Τώρα, για κάθε επιθυμητή μετατόπιση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ένα μοναδιαίο φορτίο (μια αδιάστατη τιμή ίση με ένα) και να κατασκευαστούν διαγράμματα μονάδας:

  • Για παραμορφώσεις, εφαρμόζονται δυνάμεις μονάδας.
  • Για γωνίες στροφής εφαρμόζονται μεμονωμένες ροπές.

Επιπλέον, η κατεύθυνση αυτών των φορτίων δεν είναι σημαντική! Ο υπολογισμός θα δείξει τη σωστή κατεύθυνση κίνησης.

Για παράδειγμα, μετά τον υπολογισμό, η τιμή εκτροπής αποδείχθηκε θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η κατεύθυνση κίνησης του τμήματος συμπίπτει με την κατεύθυνση της δύναμης που εφαρμόστηκε προηγουμένως. Το ίδιο ισχύει και για τις γωνίες στροφής.

Πολλαπλασιασμός τμημάτων διαγράμματος σύμφωνα με το Vereshchagin

Παρά όλα αυτά προπαρασκευαστικές εργασίες: κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα ροπών κάμψης, χωρίζοντάς το σε στοιχειώδη σχήματα και κατασκευάζοντας μεμονωμένα διαγράμματα από φορτία που εφαρμόζονται στις θέσεις και την κατεύθυνση των επιθυμητών μετατοπίσεων, μπορείτε να προχωρήσετε απευθείας στον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων διαγραμμάτων.

Όπως ήδη γράφτηκε παραπάνω, γραμμικά διαγράμματαΜπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οποιαδήποτε σειρά, δηλαδή να πάρετε την περιοχή οποιουδήποτε διαγράμματος: κύρια ή μονάδα και να πολλαπλασιάσετε με τη τεταγμένη ενός άλλου. Συνήθως όμως, για να μην μπερδευτούμε στους υπολογισμούς, λαμβάνονται οι περιοχές κύριο διάγραμμα ροπών κάμψης, σε αυτό το μάθημα θα τηρήσουμε τον ίδιο κανόνα.

Προσδιορισμός εκτροπής διατομής Γ

Πολλαπλασιάζουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα από αριστερά προς τα δεξιά και υπολογίζουμε την απόκλιση του τμήματος Γ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Mohr-Vereshchagin:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( Χ ) ) \]

Ας φανταστούμε ότι η δοκός που υπολογίζεται έχει διατομή με τη μορφή δοκού I Νο. 24 σύμφωνα με το GOST 8239-89, τότε η απόκλιση της δοκού θα είναι ίση με:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )N\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289 cm \]

Προσδιορισμός της γωνίας περιστροφής του τμήματος Γ

Πολλαπλασιάζουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα από αριστερά προς τα δεξιά και υπολογίζουμε τη γωνία περιστροφής του τμήματος C χρησιμοποιώντας τον κανόνα Mohr-Vereshchagin:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( Н )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0,0004 rad\]

sopromats.ru

Οι τύποι Trapezoid και Simpson

Ας εκμεταλλευτούμε
Ο κανόνας του Vereshchagin για τον πολλαπλασιασμό
δύο διαγράμματα ευθείας γραμμής που έχουν τη μορφή
τραπεζοειδές. Ας χωρίσουμε και τα δύο τραπεζοειδή σε
τρίγωνα των οποίων τα εμβαδά και
οι θέσεις των κέντρων βάρους είναι εύκολες
καθορίζονται.

Διάγραμμα
Μ φά

ω 1

ντο 1 ντο 2

ω 2

Διάγραμμα

Εμείς
πήρε τύπος
τραπεζοειδές,
σύμφωνα με
που τα προϊόντα της αντίστοιχης
Οι αριστερές και οι δεξιές τεταγμένες των διαγραμμάτων είναι απαραίτητες
διπλά, και τα προϊόντα του σταυρού
πάρτε τις τεταγμένες ως ενιαίες και τις προκύπτουσες
πολλαπλασιάστε το ποσό με το ένα έκτο του μήκους
διάγραμμα.

Ας σκεφτούμε
την περίπτωση που παρουσιάζεται το διάγραμμα φορτίου
μια τετράγωνη παραβολή και το μοναδιαίο διάγραμμα
– τραπεζοειδές.

ω ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.

Μαζί με
με τις ακραίες τεταγμένες υποδεικνύουμε και τις μέσες.

Ας το αναλύσουμε
καμπύλο διάγραμμα σε τραπεζοειδές και
παραβολικό τμήμα.

θα παράγουμε
πολλαπλασιασμός των αντίστοιχων ψηφίων.

Εκφραση
Εγώ Τ
έχουμε. Θα βρούμε
.

τετράγωνο
παραβολικό τμήμα:

Τεταγμένη
ενιαίο οικόπεδο κάτω από το κέντρο βάρους
παραβολικό τμήμα:

Μετά
αντικατάσταση παίρνουμε τύπος
Simpson:

Δουλειά
δύο διαγράμματα είναι ίσα με το άθροισμα των γινομένων
ακραίες τεταγμένες και τετραπλ
γινόμενο μέσου όρου τεταγμένων πολλαπλασιασμένο
κατά το ένα έκτο του μήκους των διαγραμμάτων.

§7. Υπολογισμός δυνάμεων στατικά απροσδιόριστων ράβδων συστημάτων (SNS).

Στατικώς
ακαθόριστα συστήματα (INS) έχουν
πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα σε σύγκριση
με στατικά καθορισμένα συστήματα
(ΣΥΝΘΗΜΑ ΚΙΝΔΥΝΟΥ).

Πλεονεκτήματα:

    SNA
    έχουν μεγαλύτερη επιβίωση
    λειτουργία υπό φορτίο από το SOS. ΣΕ
    SOS σχεδόν όλα τα στοιχεία
    είναι εξίσου τεταμένοι και επομένως έχουν
    αποθέματα δύναμης μόνο εντός των ορίων
    παράγοντας ασφαλείας κ
    =1,5
    – 2. Αν πάει τουλάχιστον ένα στοιχείο
    στην οριακή κατάσταση, ολόκληρη η δομή
    θα λάβει απαράδεκτη από άποψη
    πρότυπα για τον υπολογισμό της παραμόρφωσης ή της κατάρρευσης.
    Το SNS είναι μια άνισα καταπονημένη δομή
    και κατά τη μετάβαση των πιο έντονων
    στοιχείο στην οριακή του κατάσταση,
    υπάρχει ανακατανομή των προσπαθειών
    από το αυξημένο φορτίο σε λιγότερο καταπονημένο
    στοιχεία.

    SNS,
    λόγω της παρουσίας περιττών συνδέσεων και περιττών
    ακαμψία μεμονωμένων στοιχείων, μικρότερη
    πιο παραμορφωτικό από το SOS, δηλ. έχουν λιγότερα
    γραμμικές γωνιακές κινήσεις.

Ελαττώματα:

    SNA
    είναι πιο πολύπλοκα στον υπολογισμό από τα SOS, τα οποία
    εξηγείται από την παρουσία περίσσειας
    (επιπλέον) συνδέσεις. Πολυπλοκότητα υπολογισμού
    Το SNA είναι ανάλογο με την τρίτη δύναμη
    αριθμός επιπλέον συνδέσεων, π.χ.
    .
    Για παράδειγμα, εάν για δύο συστήματα n 1 =1,
    n 2 =4 ,
    Οτι
    t 1 = α ,
    t 2 =64α,
    εκείνοι. ο χρόνος υπολογισμού αυξάνεται κατά 64 φορές.

    ΣΕ
    SNA κατανομή δυνάμεων σε στοιχεία
    εξαρτάται από τις γεωμετρικές τους διαστάσεις,
    ο ορισμός του οποίου, με τη σειρά του,
    είναι το κύριο καθήκον της αντίστασης
    υλικά. Έτσι, προκύπτει
    αναγκαιότητα εκ των προτέρων ανάθεσης
    ακαμψίες κάμψης και εγκάρσια
    τμήματα μεμονωμένων ράβδων: (EY) κ =α κ (EY),
    που οδηγεί σε ασάφεια
    εποικοδομητικές λύσεις.

Περισσότερο
επιτυχής αντιστοίχιση ακαμψιών, ανάλογα
από την κατανόηση της ουσίας των εργασιών αντίστασης
υλικά θα οδηγήσουν στη δημιουργία περισσότερων
βέλτιστα σχέδια.

    ΣΕ
    Το SNS μπορεί να φαίνεται δύσκολο
    προβλέψιμο σε μέγεθος
    κατάσταση στρες-καταπόνησης,
    που προκαλούνται από αλλαγές θερμοκρασίας
    και ανεξάρτητη διευθέτηση των στηρίξεων. Αλλαγή
    η θερμοκρασία ενός από τα στοιχεία προκαλεί
    εμφάνιση θερμοκρασιακών τάσεων
    σε όλες τις ράβδους SNA. Το ίδιο και η ανακρίβεια
    κατασκευή μιας από τις ράβδους ή
    η μετατόπιση ενός δεσμού προκαλεί την εμφάνιση
    καταπονήσεις εγκατάστασης σε όλες τις ράβδους.
    Στα SOS τέτοιες εντάσεις δεν προκύπτουν.

Ας σκεφτούμε
βασικές μέθοδοι υπολογισμού SNA όταν
στατική επίδραση φορτίων.

Το μειονέκτημα της μεθόδου του Mohr είναι η ανάγκη να ληφθούν οι τιμές των συντελεστών εσωτερικής δύναμης που περιλαμβάνονται στις ολοκληρωμένες εκφράσεις των τύπων (2.18) και (2.19), σε γενική μορφή, ως συναρτήσεις του z, οι οποίες γίνονται αρκετά απαιτητικές ακόμη και με δύο ή τρία διαχωριστικά τμήματα σε δοκούς και ιδιαίτερα σε κουφώματα

Αποδεικνύεται ότι αυτό το μειονέκτημα μπορεί να αποφευχθεί εάν η άμεση ενσωμάτωση στους τύπους του Mohr αντικατασταθεί από το λεγόμενο πολλαπλασιαστικά διαγράμματα. Μια τέτοια αντικατάσταση είναι δυνατή σε περιπτώσεις όπου τουλάχιστον ένα από τα πολλαπλασιαζόμενα διαγράμματα είναι ευθύγραμμο. Όλα τα συστήματα που αποτελούνται από ευθείες ράβδους πληρούν αυτήν την προϋπόθεση. Πράγματι, σε τέτοια συστήματα, το διάγραμμα που κατασκευάζεται από μια γενικευμένη δύναμη μονάδας θα είναι πάντα ευθύγραμμο.

Η μέθοδος υπολογισμού του ολοκληρώματος Mohr αντικαθιστώντας την άμεση ολοκλήρωση πολλαπλασιάζοντας τα αντίστοιχα διαγράμματα ονομάζεται Μέθοδος (ή κανόνας) του Vereshchagin και έχει ως εξής: για να πολλαπλασιάσετε δύο διαγράμματα, τουλάχιστον ένα από τα οποία είναι ευθύγραμμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το εμβαδόν ενός διαγράμματος (αν υπάρχει καμπύλο διάγραμμα, τότε το εμβαδόν του πρέπει να είναι) με τη τεταγμένη του άλλο διάγραμμα, που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του πρώτου.

Ας αποδείξουμε την εγκυρότητα αυτού του κανόνα. Ας δούμε δύο διαγράμματα (Εικ. 28). Έστω ένα από αυτά (Mn) ένα φορτίο και να έχει καμπύλο περίγραμμα και το δεύτερο να αντιστοιχεί σε μοναδιαίο φορτίο και να είναι γραμμικό.

Από το Σχ. 28 προκύπτει ότι Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στην έκφραση

πού είναι η διαφορική περιοχή του διαγράμματος Mn.


Ρύζι. 28

Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει τη στατική ροπή του εμβαδού σε σχέση με τον άξονα O – O1, ενώ:

όπου zc είναι η τετμημένη του κέντρου βάρους της περιοχής, τότε:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι παίρνουμε:
(2.20)
Η έκφραση (2.20) καθορίζει το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο διαγραμμάτων και της μη κίνησης. Για να ληφθεί η μετατόπιση, αυτό το αποτέλεσμα πρέπει να διαιρεθεί με την ακαμψία που αντιστοιχεί στους συντελεστές εσωτερικής δύναμης κάτω από το ακέραιο πρόσημο.

Βασικές επιλογές για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων

Είναι προφανές ότι η ποικιλία των εφαρμοζόμενων φορτίων και των γεωμετρικών σχεδίων των κατασκευών οδηγεί σε διαφορετικά, από γεωμετρικής άποψης, πολλαπλασιασμένα διαγράμματα. Για υλοποίηση Οι κανόνες του Vereshchaginπρέπει να γνωρίζετε τις περιοχές των γεωμετρικών σχημάτων και τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους τους. Το Σχήμα 29 δείχνει μερικές από τις κύριες επιλογές που προκύπτουν σε πρακτικούς υπολογισμούς.

Για πολλαπλασιαστικά διαγράμματασύνθετες μορφές, πρέπει να αναλυθούν σε απλές. Για παράδειγμα, για να πολλαπλασιάσετε δύο διαγράμματα που μοιάζουν με τραπεζοειδές, πρέπει να διαιρέσετε ένα από αυτά σε τρίγωνο και ορθογώνιο, πολλαπλασιάστε το εμβαδόν καθενός από αυτά με την τεταγμένη του δεύτερου διαγράμματος, που βρίσκεται κάτω από το αντίστοιχο κέντρο του βαρύτητα και προσθέστε τα αποτελέσματα. Το ίδιο ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό ενός καμπύλου τραπεζοειδούς με οποιοδήποτε γραμμικό διάγραμμα.

Εάν τα παραπάνω βήματα εκτελούνται σε γενική μορφή, θα λάβουμε τύπους για τέτοιες περίπλοκες περιπτώσεις που είναι βολικοί για χρήση σε πρακτικούς υπολογισμούς (Εικ. 30). Έτσι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο τραπεζοειδών (Εικ. 30, α):

(2.21)



Ρύζι. 29

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.21), μπορείτε επίσης να πολλαπλασιάσετε διαγράμματα που έχουν τη μορφή «στριμμένων» τραπεζοειδών (Εικ. 30, β), αλλά στην περίπτωση αυτή το γινόμενο των τεταγμένων που βρίσκονται στις απέναντι πλευρές των αξόνων του διαγράμματος λαμβάνεται υπόψη με ένα σύμβολο μείον.

Αν ένα από τα πολλαπλασιάσιμα διαγράμματασκιαγραφείται κατά μήκος μιας τετράγωνης παραβολής (η οποία αντιστοιχεί σε φόρτιση με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο), στη συνέχεια για τον πολλαπλασιασμό με το δεύτερο (αναγκαστικά γραμμικό) διάγραμμα θεωρείται ως το άθροισμα (Εικ. 30, γ) ή η διαφορά (Εικ. 30, δ) τραπεζοειδών και παραβολικών διαγραμμάτων. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού και στις δύο περιπτώσεις καθορίζεται από τον τύπο:
(2.22)

αλλά η τιμή της f προσδιορίζεται διαφορετικά (Εικ. 30, γ, δ).



Ρύζι. τριάντα

Μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου κανένα από τα πολλαπλασιασμένα διαγράμματα δεν είναι ευθύγραμμο, αλλά τουλάχιστον ένα από αυτά περιορίζεται από σπασμένες ευθείες γραμμές. Για να πολλαπλασιαστούν τέτοια διαγράμματα, πρώτα χωρίζονται σε τμήματα, μέσα σε κάθε ένα από τα οποία τουλάχιστον ένα διάγραμμα είναι ευθύγραμμο.
Σκεφτείτε να χρησιμοποιήσετε Οι κανόνες του Vereshchaginσε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 15.Προσδιορίστε την απόκλιση στο μέσο του ανοίγματος και τη γωνία περιστροφής του αριστερού τμήματος στήριξης της δοκού που είναι φορτωμένο με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο (Εικ. 31,a), Η μέθοδος του Vereshchagin.

Ακολουθία υπολογισμού Η μέθοδος του Vereshchagin– όπως και στη μέθοδο του Mohr, επομένως θα εξετάσουμε τρεις καταστάσεις της δοκού: φορτίο – υπό τη δράση ενός κατανεμημένου φορτίου q. αντιστοιχεί στο διάγραμμα Mq (Εικ. 31, β) και σε δύο μεμονωμένες καταστάσεις - υπό την επίδραση μιας δύναμης που εφαρμόζεται στο σημείο C (διάγραμμα, Εικ. 31, γ) και μιας ροπής που εφαρμόζεται στο σημείο Β (διάγραμμα, Σχ. 31, δ).

Απόκλιση δοκού στο μέσο του ανοίγματος:

Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα λήφθηκε νωρίτερα με τη μέθοδο του Mohr (βλέπε παράδειγμα 13). Πρέπει να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός των διαγραμμάτων έγινε για το μισό της δοκού και στη συνέχεια, λόγω συμμετρίας, το αποτέλεσμα διπλασιάστηκε. Εάν το εμβαδόν ολόκληρου του διαγράμματος Mq πολλαπλασιαστεί με την τεταγμένη του διαγράμματος που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του (στο Σχήμα 31, γ), τότε το μέγεθος της μετατόπισης θα είναι εντελώς διαφορετικό και λανθασμένο αφού το διάγραμμα περιορίζεται από μια σπασμένη γραμμή. Το απαράδεκτο μιας τέτοιας προσέγγισης έχει ήδη επισημανθεί παραπάνω.

Και κατά τον υπολογισμό της γωνίας περιστροφής του τμήματος στο σημείο Β, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε την περιοχή του διαγράμματος Mq με την τεταγμένη του διαγράμματος που βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους του (Εικ. 31, δ), καθώς το διάγραμμα είναι περιορισμένο με ευθεία γραμμή:

Αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει επίσης με το αποτέλεσμα που λήφθηκε προηγουμένως με τη μέθοδο του Mohr (βλ. παράδειγμα 13).


Ρύζι. 31

Παράδειγμα 16.Προσδιορίστε τις οριζόντιες και κάθετες κινήσεις του σημείου Α στο πλαίσιο (Εικ. 32, α).

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, για να λυθεί το πρόβλημα είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τρεις καταστάσεις του πλαισίου: φορτίο και δύο μονές. Το διάγραμμα των ροπών MF που αντιστοιχούν στην πρώτη κατάσταση παρουσιάζεται στο Σχ. 32, β. Για να υπολογίσουμε την οριζόντια κίνηση, ασκούμε δύναμη στο σημείο Α προς την κατεύθυνση της επιθυμητής κίνησης (δηλαδή οριζόντια) και για να υπολογίσουμε την κατακόρυφη κίνηση ασκούμε τη δύναμη κατακόρυφα (Εικ. 32, γ, ε). Τα αντίστοιχα διαγράμματα φαίνονται στο Σχ. 32, d, f.

Οριζόντια κίνηση του σημείου Α:



Κατά τον υπολογισμό στην ενότητα ΑΒ, το τραπέζι (διάγραμμα MF) χωρίζεται σε ένα τρίγωνο και ένα ορθογώνιο, μετά το οποίο το τρίγωνο από το διάγραμμα "πολλαπλασιάζεται" με καθένα από αυτά τα σχήματα. Στην ενότητα BC, το καμπυλόγραμμο τραπέζιο χωρίζεται σε ένα καμπυλόγραμμο τρίγωνο και ένα ορθογώνιο και ο τύπος (2.21) χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό των διαγραμμάτων στο τμήμα SD.

Το σύμβολο "-" που λαμβάνεται κατά τον υπολογισμό σημαίνει ότι το σημείο Α κινείται οριζόντια όχι προς τα αριστερά (η δύναμη εφαρμόζεται προς αυτή την κατεύθυνση), αλλά προς τα δεξιά.