Στη γεωμετρία, το εμβαδόν ενός σχήματος είναι ένα από τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά ενός επίπεδου σώματος. Τι είναι η περιοχή, πώς να την προσδιορίσετε για διάφορα στοιχεία, καθώς και ποιες ιδιότητες έχει - θα εξετάσουμε όλες αυτές τις ερωτήσεις σε αυτό το άρθρο.

Τι είναι περιοχή: ορισμός

Το εμβαδόν ενός σχήματος είναι ο αριθμός των τετραγώνων μονάδας σε αυτό το σχήμα. ανεπίσημα μιλώντας, αυτό είναι το μέγεθος του σχήματος. Τις περισσότερες φορές, η περιοχή ενός σχήματος συμβολίζεται ως "S". Μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας μια παλέτα ή ένα επίπεδομετρο. Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος γνωρίζοντας τις βασικές του διαστάσεις. Για παράδειγμα, το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τρεις διαφορετικούς τύπους:

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο του πλάτους του κατά το μήκος του και το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της ακτίνας και του αριθμού π = 3,14.

Ιδιότητες του εμβαδού ενός σχήματος

  • το εμβαδόν είναι ίσο για ίσα ψηφία.
  • Η περιοχή είναι πάντα μη αρνητική.
  • Η μονάδα μέτρησης για το εμβαδόν είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά ίση με 1 μονάδα μήκους.
  • εάν ένα σχήμα χωρίζεται σε δύο μέρη, τότε το συνολικό εμβαδόν του σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τμημάτων του.
  • Οι αριθμοί ίσου εμβαδού ονομάζονται ίσοι σε εμβαδόν.
  • αν μια φιγούρα ανήκει σε μια άλλη φιγούρα, τότε η περιοχή της πρώτης δεν μπορεί να υπερβαίνει την περιοχή της δεύτερης.

Υπολογισμός του εμβαδού ενός σχήματος- αυτό είναι ίσως ένα από τα πιο σύνθετες εργασίεςθεωρία περιοχής. Στη σχολική γεωμετρία διδάσκονται να βρίσκουν τις περιοχές των βασικών γεωμετρικών σχημάτων όπως, για παράδειγμα, τρίγωνο, ρόμβος, ορθογώνιο, τραπέζιο, κύκλος κ.λπ. Ωστόσο, συχνά πρέπει να ασχοληθείτε με τον υπολογισμό των περιοχών των πιο περίπλοκων αριθμών. Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείται ο ολοκληρωτικός λογισμός.

Ορισμός.

Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςκαλέστε κάποιο σχήμα G που οριοθετείται από τις ευθείες y = f(x), y = 0, x = a και x = b, και η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο τμήμα [a; β] και δεν αλλάζει το πρόσημά του σε αυτό (Εικ. 1).Η περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς μπορεί να συμβολιστεί με S(G).

Ένα οριστικό ολοκλήρωμα ʃ a b f(x)dx για τη συνάρτηση f(x), η οποία είναι συνεχής και μη αρνητική στο διάστημα [a; β], και είναι το εμβαδόν του αντίστοιχου κυρτού τραπεζοειδούς.

Δηλαδή, για να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος G, περιορίζεται από γραμμές y = f(x), y = 0, x = a και x = b, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα ʃ a b f(x)dx.

Ετσι, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Αν η συνάρτηση y = f(x) δεν είναι θετική στο [a; b], τότε η περιοχή ενός καμπυλωμένου τραπεζοειδούς μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Παράδειγμα 1.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές y = x 3. y = 1; x = 2.

Λύση.

Οι δεδομένες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα ABC, το οποίο φαίνεται με την εκκόλαψη ρύζι. 2.

Το απαιτούμενο εμβαδόν ισούται με τη διαφορά μεταξύ των περιοχών του κυρτού τραπεζοειδούς DACE και του τετραγώνου DABE.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), βρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, λύνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

(y = x 3,
(y = 1.

Έτσι, έχουμε x 1 = 1 – το κατώτερο όριο και x = 2 – το ανώτερο όριο.

Άρα, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: 11/4 τ. μονάδες

Παράδειγμα 2.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = √x. y = 2; x = 9.

Λύση.

Οι δοθείσες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα ABC, το οποίο περιορίζεται παραπάνω από το γράφημα της συνάρτησης

y = √x, και παρακάτω είναι μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2. Το σχήμα που προκύπτει εμφανίζεται με εκκόλαψη σε ρύζι. 3.

Η απαιτούμενη περιοχή είναι S = ʃ a b (√x – 2). Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης: b = 9, για να βρούμε το a, λύνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

(y = √x,
(y = 2.

Έτσι, έχουμε ότι x = 4 = a - αυτό είναι το κατώτερο όριο.

Άρα, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: S = 2 2/3 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 3.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 3 – 4x. y = 0; x ≥ 0.

Λύση.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x 3 – 4x για x ≥ 0. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την παράγωγο y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 σε x = ±2/√3 ≈ 1,1 – κρίσιμα σημεία.

Αν σχεδιάσουμε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμητική ευθεία και τακτοποιήσουμε τα πρόσημα της παραγώγου, διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση μειώνεται από το μηδέν στο 2/√3 και αυξάνεται από το 2/√3 στο συν άπειρο. Τότε x = 2/√3 είναι το ελάχιστο σημείο, η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Ας προσδιορίσουμε τα σημεία τομής του γραφήματος με τους άξονες συντεταγμένων:

αν x = 0, τότε y = 0, που σημαίνει ότι το A(0; 0) είναι το σημείο τομής με τον άξονα Oy.

αν y = 0, τότε x 3 – 4x = 0 ή x(x 2 – 4) = 0, ή x(x – 2)(x + 2) = 0, από όπου x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (δεν είναι κατάλληλο, γιατί x ≥ 0).

Τα σημεία A(0; 0) και B(2; 0) είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Ox.

Οι δεδομένες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα OAB, το οποίο φαίνεται με την εκκόλαψη ρύζι. 4.

Αφού η συνάρτηση y = x 3 – 4x παίρνει (0; 2) αρνητικό νόημα, Οτι

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Έχουμε: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, από όπου S = 4 τετρ. μονάδες

Απάντηση: S = 4 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 4.

Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από την παραβολή y = 2x 2 – 2x + 1, τις ευθείες x = 0, y = 0 και την εφαπτομένη αυτής της παραβολής στο σημείο με την τετμημένη x 0 = 2.

Λύση.

Αρχικά, ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την εφαπτομένη της παραβολής y = 2x 2 – 2x + 1 στο σημείο με την τετμημένη x₀ = 2.

Εφόσον η παράγωγος y’ = 4x – 2, τότε για x 0 = 2 παίρνουμε k = y’(2) = 6.

Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομένου σημείου: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Επομένως, η εφαπτομενική εξίσωση έχει τη μορφή: y – 5 = 6 (x ∙ – 2) ή y = 6x – 7.

Ας φτιάξουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – παραβολή. Σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων: A(0; 1) – με τον άξονα Oy. με τον άξονα Ox - δεν υπάρχουν σημεία τομής, γιατί η εξίσωση 2x 2 – 2x + 1 = 0 δεν έχει λύσεις (Δ< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, δηλαδή η κορυφή του σημείου της παραβολής Β έχει συντεταγμένες B(1/2; 1/2).

Έτσι, το σχήμα του οποίου το εμβαδόν πρέπει να προσδιοριστεί εμφανίζεται με εκκόλαψη ρύζι. 5.

Έχουμε: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Δ από την συνθήκη:

6x – 7 = 0, δηλ. x = 7/6, που σημαίνει DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Βρίσκουμε την περιοχή του τριγώνου DBC χρησιμοποιώντας τον τύπο S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Ετσι,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 τετρ. μονάδες

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (τετρ. μονάδες).

Τελικά παίρνουμε: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​· = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: S = 1 1/4 τετρ. μονάδες

Εξετάσαμε παραδείγματα βρίσκοντας τα εμβαδά των σχημάτων που οριοθετούνται από δεδομένες γραμμές. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάζετε γραμμές και γραφήματα συναρτήσεων σε ένα επίπεδο, να βρίσκετε τα σημεία τομής των γραμμών, να εφαρμόζετε έναν τύπο για να βρείτε την περιοχή, που υποδηλώνει τη δυνατότητα υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας;


Η γνώση και η ικανότητα υπολογισμού των περιοχών διαφόρων σχημάτων είναι απαραίτητη όχι μόνο για την επίλυση απλών γεωμετρικά προβλήματα. Δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτή τη γνώση όταν συντάσσετε ή ελέγχετε εκτιμήσεις για επισκευές χώρων, υπολογίζοντας την ποσότητα των απαραίτητων αναλώσιμων. Ας δούμε λοιπόν πώς να βρούμε τις περιοχές των διαφορετικών σχημάτων.

Το τμήμα του επιπέδου που περιέχεται σε ένα κλειστό περίγραμμα ονομάζεται περιοχή αυτού του επιπέδου. Το εμβαδόν εκφράζεται με τον αριθμό των τετραγωνικών μονάδων που περιέχονται σε αυτό.

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν των βασικών γεωμετρικών σχημάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον σωστό τύπο.

Εμβαδόν τριγώνου

Ονομασίες:

  1. Εάν τα h, a είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του απαιτούμενου τριγώνου προσδιορίζεται ως το γινόμενο των μηκών της πλευράς και του ύψους του τριγώνου που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά, διαιρούμενο στο μισό: S=(a h)/2
  2. Εάν τα a, b, c είναι γνωστά, τότε το απαιτούμενο εμβαδόν υπολογίζεται με τον τύπο του Heron: η τετραγωνική ρίζα που λαμβάνεται από το γινόμενο της μισής περιμέτρου του τριγώνου και τρεις διαφορές της μισής περιμέτρου και κάθε πλευράς του τριγώνου: S = √ (ρ (ρ - α) (ρ - β)·(ρ - γ)).
  3. Εάν τα a, b, γ είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του τριγώνου προσδιορίζεται ως το μισό του γινόμενου 2 πλευρών, πολλαπλασιαζόμενο με την τιμή του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών: S=(a b sin γ)/2
  4. Εάν τα a, b, c, R είναι γνωστά, τότε το απαιτούμενο εμβαδόν προσδιορίζεται ως διαίρεση του γινόμενου των μηκών όλων των πλευρών του τριγώνου με τέσσερις ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου: S=(a b c)/4R
  5. Εάν τα p, r είναι γνωστά, τότε η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της περιμέτρου με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό: S=p·r

Τετράγωνη έκταση

Ονομασίες:

  1. Εάν η πλευρά είναι γνωστή, τότε το εμβαδόν ενός δεδομένου σχήματος καθορίζεται ως το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του: S=a 2
  2. Αν το d είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του τετραγώνου προσδιορίζεται ως το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγώνιου του: S=d 2 /2

Εμβαδόν ορθογωνίου

Ονομασίες:

  • S - καθορισμένη περιοχή,
  • α, β - μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.
  1. Αν τα α, β είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν ενός δεδομένου ορθογωνίου καθορίζεται από το γινόμενο των μηκών των δύο πλευρών του: S=a b
  2. Εάν τα μήκη των πλευρών είναι άγνωστα, τότε η περιοχή του ορθογωνίου πρέπει να χωριστεί σε τρίγωνα. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν ενός ορθογωνίου προσδιορίζεται ως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων που το αποτελούν.

Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Ονομασίες:

  • S είναι η απαιτούμενη περιοχή,
  • α, β - μήκη πλευρών,
  • h είναι το μήκος του ύψους ενός δεδομένου παραλληλογράμμου,
  • d1, d2 - μήκη δύο διαγωνίων,
  • α είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών,
  • γ είναι η γωνία μεταξύ των διαγωνίων.
  1. Εάν τα a, h είναι γνωστά, τότε η απαιτούμενη επιφάνεια προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη της πλευράς και το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά: S=a h
  2. Εάν τα a, b, α είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών: S=a b sin α
  3. Εάν τα d 1 , d 2 , γ είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου προσδιορίζεται ως το μισό του γινόμενου των μηκών των διαγωνίων και του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ αυτών των διαγωνίων: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Περιοχή ρόμβου

Ονομασίες:

  • S είναι η απαιτούμενη περιοχή,
  • ένα- μήκος πλευράς,
  • h - μήκος ύψους,
  • α είναι η μικρότερη γωνία μεταξύ των δύο πλευρών,
  • d1, d2 - μήκη δύο διαγωνίων.
  1. Εάν είναι γνωστά τα a, h, τότε το εμβαδόν του ρόμβου προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς με το μήκος του ύψους που χαμηλώνει σε αυτήν την πλευρά: S=a h
  2. Εάν τα α, α είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν του ρόμβου προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας το τετράγωνο του μήκους της πλευράς με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των πλευρών: S=a 2 sin α
  3. Αν τα d 1 και d 2 είναι γνωστά, τότε το απαιτούμενο εμβαδόν προσδιορίζεται ως το μισό γινόμενο των μηκών των διαγωνίων του ρόμβου: S=(d 1 d 2)/2

Περιοχή τραπεζοειδούς

Ονομασίες:

  1. Εάν τα a, b, c, d είναι γνωστά, τότε η απαιτούμενη περιοχή καθορίζεται από τον τύπο: S= (a+b) /2 *√.
  2. Με γνωστά a, b, h, το απαιτούμενο εμβαδόν προσδιορίζεται ως το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του τραπεζοειδούς: S=(a+b)/2 h

Εμβαδόν κυρτού τετράπλευρου

Ονομασίες:

  1. Εάν τα d 1 , d 2 , α είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν ενός κυρτού τετράπλευρου καθορίζεται ως το μισό του γινόμενου των διαγωνίων του τετραπλεύρου, πολλαπλασιαζόμενο με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διαγωνίων: S=(d 1 · δ 2 · αμαρτία α)/2
  2. Για τα γνωστά p, r, το εμβαδόν ενός κυρτού τετράπλευρου καθορίζεται ως το γινόμενο της ημιπεριμέτρου του τετράπλευρου και της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό το τετράπλευρο: S=p r
  3. Εάν τα a, b, c, d, θ είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν ενός κυρτού τετράπλευρου καθορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του γινομένου της διαφοράς στην ημιπερίμετρο και το μήκος κάθε πλευράς μείον το γινόμενο του μήκη όλων των πλευρών και το τετράγωνο του συνημιτόνου του μισού του αθροίσματος δύο απέναντι γωνιών: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Περιοχή κύκλου

Ονομασίες:

Εάν το r είναι γνωστό, τότε το απαιτούμενο εμβαδόν προσδιορίζεται ως το γινόμενο του αριθμού π και της τετραγωνικής ακτίνας: S=π r 2

Εάν το d είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του κύκλου προσδιορίζεται ως το γινόμενο του αριθμού π με το τετράγωνο της διαμέτρου διαιρούμενο με τέσσερα: S=(π d 2)/4

Περιοχή σύνθετου σχήματος

Τα σύνθετα πράγματα μπορούν να αναλυθούν σε απλά γεωμετρικά σχήματα. Το εμβαδόν ενός μιγαδικού σχήματος ορίζεται ως το άθροισμα ή η διαφορά των περιοχών που το αποτελούν. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα δαχτυλίδι.

Ονομασία:

  • S - περιοχή δακτυλίου,
  • R, r - ακτίνες του εξωτερικού και του εσωτερικού κύκλου, αντίστοιχα,
  • D, d είναι οι διάμετροι των εξωτερικών και εσωτερικών κύκλων, αντίστοιχα.

Για να βρείτε την περιοχή του δακτυλίου, πρέπει να αφαιρέσετε την περιοχή από την περιοχή του μεγαλύτερου κύκλου μικρότερο κύκλο. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Έτσι, εάν τα R και r είναι γνωστά, τότε η περιοχή του δακτυλίου καθορίζεται ως η διαφορά στα τετράγωνα των ακτίνων των εξωτερικών και εσωτερικών κύκλων, πολλαπλασιαζόμενη με το pi: S=π(R 2 -r 2).

Εάν τα D και d είναι γνωστά, τότε η περιοχή του δακτυλίου καθορίζεται ως το ένα τέταρτο της διαφοράς στα τετράγωνα των διαμέτρων των εξωτερικών και εσωτερικών κύκλων, πολλαπλασιαζόμενη με το pi: S= (1/4)(D 2 -δ 2) π.

Περιοχή μπαλώματος

Ας υποθέσουμε ότι μέσα σε ένα τετράγωνο (Α) υπάρχει ένα άλλο (Β) (μικρότερου μεγέθους) και πρέπει να βρούμε τη σκιασμένη κοιλότητα μεταξύ των σχημάτων "Α" και "Β". Ας πούμε, το «κάδρο» μιας μικρής πλατείας. Για αυτό:

  1. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος "A" (υπολογισμένο χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός τετραγώνου).
  2. Ομοίως, βρίσκουμε την περιοχή του σχήματος "Β".
  3. Αφαιρέστε το εμβαδόν «Β» από το εμβαδόν «Α». Και έτσι παίρνουμε την περιοχή της σκιασμένης φιγούρας.

Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε τις περιοχές διαφορετικών σχημάτων.

Εάν σχεδιάζετε να κάνετε μόνοι σας την ανακαίνιση, τότε θα χρειαστεί να κάνετε μια εκτίμηση για τα υλικά κατασκευής και φινιρίσματος. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή του δωματίου στο οποίο σκοπεύετε να πραγματοποιήσετε εργασίες ανακαίνισης. Ο κύριος βοηθός σε αυτό είναι μια ειδικά αναπτυγμένη φόρμουλα. Η περιοχή του δωματίου, δηλαδή ο υπολογισμός του, θα σας επιτρέψει να εξοικονομήσετε πολλά χρήματα οικοδομικά υλικάκαι να κατευθύνουν τους αποδεσμευθέντες οικονομικούς πόρους σε πιο κατάλληλη κατεύθυνση.

Γεωμετρικό σχήμα του δωματίου

Ο τύπος για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός δωματίου εξαρτάται άμεσα από το σχήμα του. Τα πιο χαρακτηριστικά για τα οικιακά κτίρια είναι τα ορθογώνια και τετράγωνα δωμάτια. Ωστόσο, κατά την ανάπλαση, η τυπική φόρμα μπορεί να παραμορφωθεί. Τα δωμάτια είναι:

  • Ορθογώνιος.
  • Τετράγωνο.
  • Σύνθετη διαμόρφωση (για παράδειγμα, στρογγυλή).
  • Με κόγχες και προβολές.

Κάθε ένα από αυτά έχει τα δικά του χαρακτηριστικά υπολογισμού, αλλά, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος. Η περιοχή ενός δωματίου οποιουδήποτε σχήματος και μεγέθους, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, μπορεί να υπολογιστεί.

Ορθογώνιο ή τετράγωνο δωμάτιο

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου δωματίου, απλώς θυμηθείτε τα μαθήματα γεωμετρίας του σχολείου σας. Επομένως, δεν πρέπει να είναι για εσάς ειδική εργασίακαθορίστε την περιοχή του δωματίου. Ο τύπος υπολογισμού μοιάζει με:

S δωμάτια=A*B, όπου

Α είναι το μήκος του δωματίου.

B είναι το πλάτος του δωματίου.

Για να μετρήσετε αυτές τις τιμές θα χρειαστείτε μια κανονική μεζούρα. Για να έχετε τους πιο ακριβείς υπολογισμούς, αξίζει να μετρήσετε τον τοίχο και στις δύο πλευρές. Εάν οι τιμές δεν συμφωνούν, λάβετε ως βάση τον μέσο όρο των δεδομένων που προκύπτουν. Αλλά να θυμάστε ότι οποιοιδήποτε υπολογισμοί έχουν τα δικά τους σφάλματα, επομένως το υλικό πρέπει να αγοραστεί με αποθεματικό.

Ένα δωμάτιο με πολύπλοκη διαμόρφωση

Εάν το δωμάτιό σας δεν ταιριάζει με τον ορισμό του «τυπικού», π.χ. έχει σχήμα κύκλου, τριγώνου, πολυγώνου, τότε μπορεί να χρειαστείτε διαφορετικό τύπο για τους υπολογισμούς. Μπορείτε να προσπαθήσετε να διαιρέσετε κατά προσέγγιση την περιοχή ενός δωματίου με αυτό το χαρακτηριστικό σε ορθογώνια στοιχεία και να κάνετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας την τυπική μέθοδο. Εάν δεν έχετε αυτήν την ευκαιρία, χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες μεθόδους:

  • Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός κύκλου:

S room=π*R 2, όπου

R είναι η ακτίνα του δωματίου.

  • Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός τριγώνου:

S δωμάτιο = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), όπου

P είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Α, Β, Γ είναι τα μήκη των πλευρών του.

Επομένως P=A+B+C/2

Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες κατά τη διαδικασία υπολογισμού, τότε είναι καλύτερα να μην βασανίζετε τον εαυτό σας και να απευθυνθείτε σε επαγγελματίες.

Περιοχή του δωματίου με προβολές και κόγχες

Συχνά οι τοίχοι είναι διακοσμημένοι με διακοσμητικά στοιχεία με τη μορφή διαφόρων κόγχων ή προεξοχών. Επίσης, η παρουσία τους μπορεί να οφείλεται στην ανάγκη να κρύψετε κάποια αντιαισθητικά στοιχεία του δωματίου σας. Η παρουσία προεξοχών ή κόγχων στον τοίχο σας σημαίνει ότι ο υπολογισμός πρέπει να πραγματοποιείται σταδιακά. Εκείνοι. Αρχικά, βρίσκεται η περιοχή ενός επίπεδου τμήματος του τοίχου και στη συνέχεια προστίθεται η περιοχή της κόγχης ή της προεξοχής.

Η περιοχή του τοίχου βρίσκεται με τον τύπο:

S τοίχοι = P x C, όπου

P - περίμετρος

Γ - ύψος

Πρέπει επίσης να λάβετε υπόψη την παρουσία παραθύρων και θυρών. Το εμβαδόν τους πρέπει να αφαιρεθεί από την τιμή που προκύπτει.

Δωμάτιο με οροφή πολλαπλών επιπέδων

Ένα ανώτατο όριο πολλαπλών επιπέδων δεν περιπλέκει τους υπολογισμούς όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Εάν έχει απλό σχεδιασμό, τότε οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με βάση την αρχή της εύρεσης της περιοχής των τοίχων που περιπλέκονται από κόγχες και προβολές.

Ωστόσο, εάν το σχέδιο της οροφής σας έχει τοξωτά και κυματοειδή στοιχεία, τότε είναι πιο κατάλληλο να προσδιορίσετε την έκτασή του χρησιμοποιώντας την επιφάνεια του δαπέδου. Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε:

  1. Βρείτε τις διαστάσεις όλων των ευθύγραμμων τμημάτων των τοίχων.
  2. Βρείτε την περιοχή του δαπέδου.
  3. Πολλαπλασιάστε το μήκος και το ύψος των κάθετων τμημάτων.
  4. Αθροίστε την προκύπτουσα τιμή με την επιφάνεια του δαπέδου.

Βήμα προς βήμα οδηγίες για τον προσδιορισμό του γενικού

χώρο δωματίου

  1. Καθαρίστε το δωμάτιο από περιττά πράγματα. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μέτρησης, θα χρειαστείτε δωρεάν πρόσβαση σε όλους τους χώρους του δωματίου σας, επομένως πρέπει να απαλλαγείτε από οτιδήποτε μπορεί να παρεμβαίνει σε αυτό.
  2. Διαχωρίστε οπτικά το δωμάτιο σε τμήματα των σωστών και ακανόνιστο σχήμα. Εάν το δωμάτιό σας έχει αυστηρά τετράγωνο ή ορθογώνιο σχήμα, τότε μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα.
  3. Κάντε μια τυχαία διάταξη του δωματίου. Αυτό το σχέδιο είναι απαραίτητο ώστε όλα τα δεδομένα να είναι πάντα διαθέσιμα. Επίσης, δεν θα σας δώσει την ευκαιρία να μπερδευτείτε σε πολλές μετρήσεις.
  4. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνονται πολλές φορές. Αυτό σημαντικός κανόναςγια την εξάλειψη σφαλμάτων στους υπολογισμούς. Επίσης, εάν το χρησιμοποιείτε, βεβαιωθείτε ότι η δοκός βρίσκεται επίπεδη στην επιφάνεια του τοίχου.
  5. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του δωματίου. Τύπος συνολική έκτασηδωμάτιο είναι να βρείτε το άθροισμα όλων των περιοχών των επιμέρους τμημάτων του δωματίου. Εκείνοι. S σύνολο = S τοίχοι+S δάπεδο+S οροφή

Στην προηγούμενη ενότητα για την ανάλυση γεωμετρική σημασία οριστικό ολοκλήρωμα, λάβαμε έναν αριθμό τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς:

S (G) = ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη θετική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ] .

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για επίλυση απλές εργασίες. Στην πραγματικότητα, συχνά θα πρέπει να δουλέψουμε με πιο σύνθετα στοιχεία. Από αυτή την άποψη, θα αφιερώσουμε αυτήν την ενότητα σε μια ανάλυση αλγορίθμων για τον υπολογισμό του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από συναρτήσεις σε ρητή μορφή, δηλ. όπως y = f(x) ή x = g(y).

Θεώρημα

Έστω οι συναρτήσεις y = f 1 (x) και y = f 2 (x) καθορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [ a ; b ] , και f 1 (x) ≤ f 2 (x) για οποιαδήποτε τιμή x από [ a ; β ] . Τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος G, οριοθετημένος από τις ευθείες x = a, x = b, y = f 1 (x) και y = f 2 (x) θα μοιάζει με S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Ένας παρόμοιος τύπος θα ισχύει για την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = c, y = d, x = g 1 (y) και x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Απόδειξη

Ας δούμε τρεις περιπτώσεις για τις οποίες θα ισχύει ο τύπος.

Στην πρώτη περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα της προσθετικότητας της περιοχής, το άθροισμα των εμβαδών του αρχικού σχήματος G και του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς G 1 είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος G 2. Αυτό σημαίνει ότι

Επομένως, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Μπορούμε να εκτελέσουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την τρίτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Στη δεύτερη περίπτωση, η ισότητα είναι αληθής: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:

Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι μη θετικές, παίρνουμε: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της γενικής περίπτωσης όταν y = f 1 (x) και y = f 2 (x) τέμνουν τον άξονα O x.

Σημειώνουμε τα σημεία τομής ως x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Αυτά τα σημεία χωρίζουν το τμήμα [a; b ] σε n μέρη x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, όπου α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ως εκ τούτου,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Μπορούμε να κάνουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Ας δείξουμε τη γενική περίπτωση στο γράφημα.

Ο τύπος S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x μπορεί να θεωρηθεί αποδεδειγμένος.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση παραδειγμάτων υπολογισμού του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από τις γραμμές y = f (x) και x = g (y).

Θα ξεκινήσουμε την εξέταση οποιουδήποτε από τα παραδείγματα κατασκευάζοντας ένα γράφημα. Η εικόνα θα μας επιτρέψει να αναπαραστήσουμε πολύπλοκα σχήματα ως ενώσεις απλούστερων σχημάτων. Εάν η κατασκευή γραφημάτων και σχημάτων σε αυτά είναι δύσκολη για εσάς, μπορείτε να μελετήσετε την ενότητα για τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τον γεωμετρικό μετασχηματισμό γραφημάτων συναρτήσεων, καθώς και την κατασκευή γραφημάτων κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από την παραβολή y = - x 2 + 6 x - 5 και τις ευθείες γραμμές y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στο τμήμα [ 1 ; 4 ] η γραφική παράσταση της παραβολής y = - x 2 + 6 x - 5 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = - 1 3 x - 1 2. Από αυτή την άποψη, για να λάβουμε την απάντηση χρησιμοποιούμε τον τύπο που λήφθηκε νωρίτερα, καθώς και τη μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Απάντηση: S(G) = 13

Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x + 2, y = x, x = 7.

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μόνο μία ευθεία που βρίσκεται παράλληλα στον άξονα x. Αυτό είναι x = 7. Αυτό απαιτεί να βρούμε μόνοι μας το δεύτερο όριο ένταξης.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα και ας σχεδιάσουμε πάνω του τις γραμμές που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Έχοντας το γράφημα μπροστά στα μάτια μας, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης θα είναι η τετμημένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της ευθείας y = x και της ημιπαραβολής y = x + 2. Για να βρούμε την τετμημένη χρησιμοποιούμε τις ισότητες:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Αποδεικνύεται ότι η τετμημένη του σημείου τομής είναι x = 2.

Εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι στο γενικό παράδειγμαστο σχέδιο οι ευθείες y = x + 2, y = x τέμνονται στο σημείο (2; 2), οπότε αυτές λεπτομερείς υπολογισμούςμπορεί να φαίνεται περιττό. Έχουμε δώσει μια τόσο λεπτομερή λύση εδώ μόνο γιατί σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςη λύση μπορεί να μην είναι τόσο προφανής. Αυτό σημαίνει ότι είναι πάντα καλύτερο να υπολογίζουμε αναλυτικά τις συντεταγμένες της τομής των γραμμών.

Στο διάστημα [ 2 ; 7] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 2. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το εμβαδόν:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Απάντηση: S (G) = 59 6

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τα γραφήματα των συναρτήσεων y = 1 x και y = - x 2 + 4 x - 2.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα.

Ας ορίσουμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραμμών εξισώνοντας τις παραστάσεις 1 x και - x 2 + 4 x - 2. Με την προϋπόθεση ότι το x δεν είναι μηδέν, η ισότητα 1 x = - x 2 + 4 x - 2 γίνεται ισοδύναμη με την εξίσωση τρίτου βαθμού - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Για να ανανεώσετε τη μνήμη σας σχετικά με τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορούμε να ανατρέξουμε στην ενότητα «Επίλυση κυβικών εξισώσεων».

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Διαιρώντας την παράσταση - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 με το διώνυμο x - 1, παίρνουμε: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Μπορούμε να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες από την εξίσωση x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Βρήκαμε το διάστημα x ∈ 1; 3 + 13 2, στο οποίο το σχήμα G περιέχεται πάνω από τη μπλε και κάτω από την κόκκινη γραμμή. Αυτό μας βοηθά να προσδιορίσουμε την περιοχή του σχήματος:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Απάντηση: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το εμβαδόν του σχήματος, το οποίο περιορίζεται από τις καμπύλες y = x 3, y = - log 2 x + 1 και τον άξονα της τετμημένης.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε όλες τις γραμμές στο γράφημα. Μπορούμε να πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - log 2 x + 1 από τη γραφική παράσταση y = log 2 x αν την τοποθετήσουμε συμμετρικά γύρω από τον άξονα x και την μετακινήσουμε μία μονάδα προς τα πάνω. Η εξίσωση του άξονα x είναι y = 0.

Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (0; 0). Αυτό συμβαίνει επειδή x = 0 είναι η μόνη πραγματική ρίζα της εξίσωσης x 3 = 0.

x = 2 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης - log 2 x + 1 = 0, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = - log 2 x + 1 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (2; 0).

x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης x 3 = - log 2 x + 1 . Από αυτή την άποψη, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = - log 2 x + 1 τέμνονται στο σημείο (1; 1). Η τελευταία πρόταση μπορεί να μην είναι προφανής, αλλά η εξίσωση x 3 = - log 2 x + 1 δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, καθώς η συνάρτηση y = x 3 είναι αυστηρά αύξουσα και η συνάρτηση y = - log 2 x + 1 είναι αυστηρά φθίνουσα.

Η περαιτέρω λύση περιλαμβάνει πολλές επιλογές.

Επιλογή 1

Μπορούμε να φανταστούμε το σχήμα G ως το άθροισμα δύο καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται παρακάτω μέση γραμμήστο τμήμα x ∈ 0; 1, και το δεύτερο είναι κάτω από την κόκκινη γραμμή στο τμήμα x ∈ 1. 2. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή θα είναι ίση με S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Επιλογή Νο. 2

Το σχήμα G μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο σχημάτων, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα x και κάτω από την μπλε γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 2, και το δεύτερο μεταξύ των κόκκινων και μπλε γραμμών στο τμήμα x ∈ 1; 2. Αυτό μας επιτρέπει να βρούμε την περιοχή ως εξής:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε την περιοχή θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο της μορφής S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Στην πραγματικότητα, οι γραμμές που δέσμευαν το σχήμα μπορούν να αναπαρασταθούν ως συναρτήσεις του ορίσματος y.

Ας λύσουμε τις εξισώσεις y = x 3 και - log 2 x + 1 ως προς το x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Παίρνουμε την απαιτούμενη περιοχή:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Απάντηση: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Λύση

Θα σχεδιάσουμε μια γραμμή στο γράφημα με μια κόκκινη γραμμή, δίνεται από τη συνάρτηση y = x. Σχεδιάζουμε τη γραμμή y = - 1 2 x + 4 με μπλε χρώμα και τη γραμμή y = 2 3 x - 3 με μαύρο.

Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής.

Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Έλεγχος: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 όχι Είναι η λύση της εξίσωσης x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (4; 2) σημείο τομής i y = x και y = - 1 2 x + 4

Ας βρούμε το σημείο τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Έλεγχος: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (9 ; 3) σημείο a s y = x και y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση

Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) σημείο τομής y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3

Μέθοδος Νο. 1

Ας φανταστούμε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος ως το άθροισμα των εμβαδών των μεμονωμένων σχημάτων.

Τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Μέθοδος Νο. 2

Το εμβαδόν του αρχικού σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο άλλων σχημάτων.

Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση της γραμμής σε σχέση με το x και μόνο μετά από αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιοχής του σχήματος.

y = x ⇒ x = y 2 κόκκινη γραμμή y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 μαύρη γραμμή y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Η περιοχή λοιπόν είναι:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Όπως μπορείτε να δείτε, οι τιμές είναι οι ίδιες.

Απάντηση: S (G) = 11 3

Αποτελέσματα

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από δεδομένες γραμμές, πρέπει να κατασκευάσουμε γραμμές σε ένα επίπεδο, να βρούμε τα σημεία τομής τους και να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε την περιοχή. Σε αυτήν την ενότητα, εξετάσαμε τις πιο συνηθισμένες παραλλαγές εργασιών.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter