Μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή , που αγγίζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα σημείο και όλα τα σημεία της βρίσκονται στη μικρότερη απόσταση από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Επομένως, η εφαπτομένη περνά εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε μια ορισμένη γωνία και πολλές εφαπτομένες σε διαφορετικές γωνίες δεν μπορούν να περάσουν από το σημείο της εφαπτομένης. Οι εφαπτομενικές και οι κανονικές εξισώσεις στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας την παράγωγο.
Η εξίσωση εφαπτομένης προκύπτει από την εξίσωση ευθείας .
Ας εξαγάγουμε την εξίσωση της εφαπτομένης και μετά την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
y = kx + σι .
Σε αυτόν κ- γωνιακός συντελεστής.
Από εδώ παίρνουμε την ακόλουθη καταχώρηση:
y - y 0 = κ(Χ - Χ 0 ) .
Παράγωγη αξία φά "(Χ 0 ) λειτουργίες y = φά(Χ) στο σημείο Χ0 ίσο με την κλίση κ= tg φ εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που διασχίζεται από ένα σημείο Μ0 (Χ 0 , y 0 ) , Οπου y0 = φά(Χ 0 ) . Αυτό είναι γεωμετρική σημασίαπαράγωγο .
Έτσι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε κεπί φά "(Χ 0 ) και πάρε τα παρακάτω εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης :
y - y 0 = φά "(Χ 0 )(Χ - Χ 0 ) .
Σε προβλήματα που αφορούν τη σύνθεση της εξίσωσης μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (και θα προχωρήσουμε σε αυτά σύντομα), απαιτείται να μειωθεί η εξίσωση που προκύπτει από τον παραπάνω τύπο σε εξίσωση ευθείας σε γενική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να μετακινήσετε όλα τα γράμματα και τους αριθμούς στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και να αφήσετε το μηδέν στη δεξιά πλευρά.
Τώρα για την κανονική εξίσωση. Κανονικός - αυτή είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Κανονική εξίσωση :
(Χ - Χ 0 ) + φά "(Χ 0 )(y - y 0 ) = 0
Για να ζεσταθείτε, σας ζητείται να λύσετε μόνοι σας το πρώτο παράδειγμα και μετά να δείτε τη λύση. Υπάρχει κάθε λόγος να ελπίζουμε ότι αυτή η εργασία δεν θα είναι ένα «κρύο ντους» για τους αναγνώστες μας.
Παράδειγμα 0.Δημιουργήστε μια εφαπτομενική εξίσωση και μια κανονική εξίσωση για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο Μ (1, 1) .
Παράδειγμα 1.Να γράψετε μια εφαπτομενική εξίσωση και μια κανονική εξίσωση για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης 
, αν η τετμημένη είναι εφαπτομένη .
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Τώρα έχουμε όλα όσα πρέπει να αντικατασταθούν στην καταχώρηση που δίνεται στη θεωρητική βοήθεια για να πάρουμε την εφαπτομενική εξίσωση. Παίρνουμε
Σε αυτό το παράδειγμα, ήμασταν τυχεροί: η κλίση αποδείχθηκε μηδενική, επομένως δεν υπήρχε ανάγκη να μειωθεί χωριστά η εξίσωση στη γενική της μορφή. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε την κανονική εξίσωση:
Στο παρακάτω σχήμα: γράφημα συνάρτησης σε μπορντώ χρώμα, εφαπτομένη Πράσινο χρώμα, πορτοκαλί κανονικό.
Το επόμενο παράδειγμα δεν είναι επίσης περίπλοκο: η συνάρτηση, όπως και στην προηγούμενη, είναι επίσης πολυώνυμο, αλλά η κλίση δεν θα είναι ίση με το μηδέν, επομένως θα προστεθεί ένα ακόμη βήμα - φέρνοντας την εξίσωση σε μια γενική μορφή.
Παράδειγμα 2.
Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
.
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:
Αντικαθιστούμε όλα τα ληφθέντα δεδομένα στον "κενό τύπο" και παίρνουμε την εφαπτομενική εξίσωση:
Φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή (συλλέγουμε όλα τα γράμματα και τους αριθμούς εκτός από το μηδέν στην αριστερή πλευρά και αφήνουμε το μηδέν στη δεξιά):
Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:
Παράδειγμα 3.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.
Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
.
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:
.
Βρίσκουμε την εφαπτομένη εξίσωση:
Πριν φέρετε την εξίσωση στη γενική της μορφή, πρέπει να την "χτενίσετε" λίγο: πολλαπλασιάστε όρο με όρο με 4. Κάνουμε αυτό και φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:
Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:
Παράδειγμα 4.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.
Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο της εφαπτομένης, δηλαδή την κλίση της εφαπτομένης:
.
Παίρνουμε την εφαπτομένη εξίσωση:
Φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:
Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση:
Ένα συνηθισμένο λάθος όταν γράφετε εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις είναι να μην παρατηρήσετε ότι η συνάρτηση που δίνεται στο παράδειγμα είναι σύνθετη και να υπολογίσετε την παράγωγό της ως παράγωγο μιας απλής συνάρτησης. Τα ακόλουθα παραδείγματα προέρχονται ήδη από σύνθετες λειτουργίες(το αντίστοιχο μάθημα θα ανοίξει σε νέο παράθυρο).
Παράδειγμα 5.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και την εξίσωση της κανονικής στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αν η τετμημένη είναι το σημείο της εφαπτομένης.
Λύση. Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου:
Προσοχή! Αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη, καθώς το όρισμα της εφαπτομένης (2 Χ) είναι η ίδια μια συνάρτηση. Επομένως, βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης ως την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Ορισμός: η κανονική στην καμπύλη y = ¦(x) στο σημείο M 0 είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο M 0 και είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο M 0 αυτής της καμπύλης.
Ας γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κανονικής, γνωρίζοντας την εξίσωση της καμπύλης και τις συντεταγμένες του σημείου Μ 0. Η εφαπτομένη έχει γωνιακό συντελεστή k = t g = ¦, (x 0). Από την αναλυτική γεωμετρία είναι γνωστό ότι μια ευθεία έχει την εξίσωση y-y 0 = k(x – x 0).
Επομένως, η εφαπτομένη εξίσωση είναι: y - y 0 = ¦, (x 0)(x – x 0); (1)
Ο γωνιακός συντελεστής της κανονικής είναι Kn = (αφού είναι κάθετοι), αλλά τότε η εξίσωση της κανονικής είναι:
y-y 0 =(-1/ ¦, (x 0)(x – x 0); (2)
Αν δεν υπάρχει παράγωγος σε ένα σημείο, τότε δεν υπάρχει εφαπτομένη σε αυτό το σημείο.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση ¦(x)=|x| στο σημείο x=0 δεν έχει παράγωγο.
lim D x ®0 (D y/ D x) = lim D x ®0 (| D x|/ D x)=
Υπάρχουν μονόπλευρα όρια, αλλά το lim D x ®0 (D y/ D x) δεν υπάρχει
Εφαπτομένη επίσης.
Αυτό το σημείο ονομάζεται γωνιακό σημείο του γραφήματος.
§4. Σχέση συνέχειας και διαφοροποίησης μιας συνάρτησης.
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.
Θεώρημα: αν μια συνάρτηση y = ¦(x) έχει πεπερασμένη παράγωγο στο σημείο x 0, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.
Απόδειξη:
Επειδή στο σημείο x 0 υπάρχει παράγωγος ¦, (x 0), δηλ. υπάρχει ένα όριο
lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦, (x 0), μετά D y/ D x= ¦, (x 0)+, όπου
B.m.v., ανάλογα με το D x. Όταν D x®0, ®0, επειδή = (D y/ D x) - ¦, (x0) ®0 σε D x®0
Άρα έχουμε: D y= ¦, (x 0) D x + D x.
Αλλά στη συνέχεια
Μια απειροελάχιστη αύξηση στο όρισμα αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση στη συνάρτηση, επομένως η ¦(x) είναι συνεχής στο σημείο x 0 .
Είναι σημαντικό να το καταλάβουμε αυτό θεώρημα αντίστροφηςδεν είναι αλήθεια!
Οχι κάθε συνεχής λειτουργίαείναι διαφοροποιήσιμο.
Άρα, ¦(x) =|x| είναι συνεχής στο σημείο x 0 =0, η γραφική παράσταση είναι μια συμπαγής γραμμή, αλλά το ¦, (0) δεν υπάρχει.
§5. Παράγωγοι συναρτήσεων σταθεράς, ημιτονοειδούς, συνημίτονου και ισχύος.
1. y= ¦(x) =c; y, = (c), = 0; (1)
Απόδειξη:
α) σε οποιοδήποτε σημείο x ¦(x) = γ
β) δώστε x την αύξηση D x, x + D x, την τιμή της συνάρτησης ¦ (x + D x) = c;
γ) ¦ (x + D x)- ¦ (x)= с- с= 0;
δ) D y/ D x = 0/ D x = 0
ε) lim D x ®0 (D y/ D x) = lim D x ®0 0 = 0
2. y= αμαρτία x; y, = (sin x), = cos x; (2)
Απόδειξη:
α) σε οποιοδήποτε σημείο x ¦(x) = sin x;
β) δώστε x την προσαύξηση των D x, x + D x, την τιμή της συνάρτησης
Θέμα : Έννοιες εφαπτομένης και κανονικής.
Εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις.
Στόχοι:
Θέμα: εισάγει τους μαθητές στις έννοιες: εφαπτομένη και κανονική σε μια καμπύλη. να παγιώσει αυτές τις έννοιες κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με τη σύνθεση εφαπτομενικών και κανονικών εξισώσεων. βρείτε ποιες ιδιότητες έχουν οι γωνιακοί συντελεστές της εφαπτομένης και της κανονικής.
Διαχυτικός: επιχειρηματολογήστε την άποψή σας, επιχειρηματολογήστε και υπερασπιστείτε τη θέση σας με μη εχθρικό τρόπο για τους αντιπάλους. να μπορούν να ακούν και να ακούν ο ένας τον άλλον.
Γνωστική : δημιουργία σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος. εκφράζουν το νόημα μιας κατάστασης χρησιμοποιώντας διάφορα μέσα (σχέδια, σύμβολα, διαγράμματα, σημάδια).
Ρυθμιστικό: αποδέχομαι γνωστικό σκοπό, το διατηρούν κατά την εκτέλεση εκπαιδευτικών δράσεων, ρυθμίζουν ολόκληρη τη διαδικασία εφαρμογής τους και πληρούν σαφώς τις απαιτήσεις της γνωστικής εργασίας.
Προσωπικός: σχηματισμός γνωστικού ενδιαφέροντος για μάθηση νέων πραγμάτων, κίνητρο για ανεξάρτητες και συλλογικές ερευνητικές δραστηριότητες.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:
1. Ενημέρωση γνώσεις υποβάθρουΦοιτητές:
(Εισαγωγή των εννοιών της εφαπτομένης και της κανονικής σε μια καμπύλη)
Γνωρίζουμε την αναλυτική και φυσική σημασία του παραγώγου: (απαντάει ο μαθητής :
η αναλυτική σημασία είναι, η φυσική σημασία είναι η ταχύτητα της διαδικασίας που καθορίζεται από τη συνάρτηση).
Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.
Για να γίνει αυτό, εισάγουμε την έννοια της εφαπτομένης σε μια καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο.
Από σχολικό μάθημαγεωμετρία, γνωρίζετε την έννοια της εφαπτομένης σε έναν κύκλο. (απαντάει ο μαθητής : μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο ορίζεται ως μια ευθεία γραμμή που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τον κύκλο και έχει ένα μόνο κοινό σημείο μαζί της).
Αλλά ένας τέτοιος ορισμός της εφαπτομένης δεν είναι εφαρμόσιμος στην περίπτωση μιας αυθαίρετης καμπύλης. Για παράδειγμα, για μια παραβολή, οι άξονες έχουν από έναν κοινό σημέιομε παραβολή. Ωστόσο, ο άξονας εφάπτεται στην παραβολή, αλλά ο άξονας δεν είναι. Ας δώσουμε γενικός ορισμόςεφαπτομένη σε καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο.
Ας είναι μερικά σημεία μιας αυθαίρετης καμπύλης μια τομή της καμπύλης. Καθώς ένα σημείο πλησιάζει κατά μήκος μιας καμπύλης, η τομή θα περιστρέφεται γύρω από το σημείο
Ορισμός. Η οριακή θέση μιας τομής για μια απεριόριστη προσέγγιση ενός σημείου κατά μήκος μιας καμπύλης ονομάζεταιεφαπτομένη γραμμή στην καμπύλη στο σημείο
Ορισμός . Κανονικός σε μια καμπύλη σε ένα σημείο είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο που είναι κάθετο στην εφαπτομένη της καμπύλης σε αυτό το σημείο.
Αν είναι εφαπτομένη στην καμπύλη σε ένα σημείο,
τότε η κάθετη θα είναι η κανονική προς την καμπύλη στο σημείο
Επεξήγηση νέου υλικού:
(Ας μάθουμε ποια είναι η γεωμετρική σημασία της παραγώγου , τι ιδιότητες έχουν οι γωνιακοί συντελεστές της εφαπτομένης και της κανονικής;
Έστω η καμπύλη το γράφημα μιας συνάρτησης. Πόντοι
βρίσκονται στο γράφημα της συνάρτησης. Μια ευθεία γραμμή εφάπτεται σε μια καμπύλη.
Εφαπτομένη γωνία
Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης που χαράσσεται στο σημείο ή την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο .
Εξίσωση εφαπτομένης προς την καμπύλη σε ένα σημείο έχει τη μορφή
Κανονική εξίσωση προς την καμπύλη σε ένα σημείο έχει τη μορφή
(3)
Προβληματικά θέματα : δείτε τις εφαπτομενικές και κανονικές εξισώσεις, ποιες είναι οι διαφορές και οι ομοιότητές τους;
Με τι ισούται το γινόμενο; Γιατί συμβαίνει αυτό?
(Οι μαθητές πρέπει να δώσουν τις ακόλουθες απαντήσεις στις ερωτήσεις: -1, αφού η εφαπτομένη και η κανονική είναι κάθετες μεταξύ τους)
Εμπέδωση θεωρητικού υλικού στην πράξη:
( Επίλυση προβλημάτων στην τάξη)
Παράδειγμα 1. Να υπολογίσετε τους γωνιακούς συντελεστές των εφαπτομένων της παραβολής στα σημεία.
Λύση. Από τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου (τύπος 1) η κλίση της εφαπτομένης.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης: .
. Ως εκ τούτου, .
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο
Ως εκ τούτου, .
Παράδειγμα 2. Οι εφαπτομένες της παραβολής σχεδιάζονται στα σημεία Βρείτε τις γωνίες κλίσης των εφαπτομένων στον άξονα Ox.
Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1)
Ας το βρούμε. .
Ας υπολογίσουμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο: .
Επομένως, και.
Το ίδιο και στο σημείο.
Επομένως, και
Παράδειγμα 3. Σε ποιο σημείο η εφαπτομένη της καμπύλης είναι κεκλιμένη στον άξονα Ox;
διαγωνίως
Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1)
; . Επομένως, και
Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση, παίρνουμε. Καταλάβαμε το νόημα.
Παράδειγμα 4. Να γράψετε μια εξίσωση για την εφαπτομένη και την κάθετη στην παραβολή σε ένα σημείο
Λύση. Η εξίσωση για μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη είναι:
Από τις προβληματικές συνθήκες. Ας βρούμε την παράγωγο.
; .
Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές στην εξίσωση παίρνουμε την εφαπτομενική εξίσωση
ή.
Ας δημιουργήσουμε μια κανονική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
ή
Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση:
1. Να βρεθεί ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης που σύρεται στην καμπύλη στο σημείο.
2. Η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση Προσδιορίστε τις γωνίες κλίσης των εφαπτομένων στη θετική κατεύθυνση του άξονα που σύρεται προς την καμπύλη σε σημεία στα σημεία με τετμημένη.
3. Βρείτε το σημείο της καμπύλης στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία.
4. Σε ποιο σημείο είναι η εφαπτομένη της καμπύλης: α) παράλληλη προς τον άξονα; β) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα;
5. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης.
6. Να βρεθεί ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης που σύρεται στην καμπύλη στο σημείο.
7. Σε ποιο σημείο η εφαπτομένη της καμπύλης σχηματίζει γωνία 30 με τον άξονα;
8. Σε ποιο σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σχηματίζει γωνία 135
με άξονα;
9. Σε ποιο σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παράλληλη στον άξονα x;
10. Σε ποια σημεία ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης μιας κυβικής παραβολής είναι ίσος με 3;
11. Να βρείτε τη γωνία κλίσης της εφαπτομένης στην καμπύλη στο σημείο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 2.
12.Να γίνει εξίσωση για την εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο με την τετμημένη
13.Να γίνει μια εξίσωση για την εφαπτομένη της υπερβολής σε ένα σημείο
14.Να γίνει μια εξίσωση για μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα σημείο.
15.Να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο με την τετμημένη.
Απαντήσεις : 1) .12 2). 45°,arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45°12) .y = -2x-113) .y = -x+214) .y=4x+615) .y = 4x-2.
Κριτήριο αξιολόγησης : "5" - 15 εργασίες
"4" - 11-14 εργασίες
"3" - 8 εργασίες
4. Περίληψη μαθήματος : βαθμολόγηση? + και – μάθημα για τον μαθητή (τι καταλάβατε και τι πρέπει ακόμα να γίνει κατανοητό;)
5. Εργασία για το σπίτι: ετοιμάστε απαντήσεις στις ερωτήσεις:
Ορίστε μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη.
Ποιο είναι το φυσιολογικό σε μια καμπύλη;
Ποια είναι η γεωμετρική σημασία μιας παραγώγου; Καταγράψτε τον τύπο.
Γράψτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης σε αυτό το σημείο.
Γράψτε την εξίσωση του κανονικού προς την καμπύλη σε αυτό το σημείο.
Επίλυση προβλημάτων 1-15 σχετικά με την επιλογή ενός κριτηρίου αξιολόγησης.επιπλέον κατόπιν αιτήματος : φτιάξτε και λύστε μια κάρτα για αυτό το θέμα.
Η κανονική εξίσωση σε γενική μορφή γράφεται ως:
Εάν η λειτουργία καθορίζεται στο παραμετρική μορφή x(t) , y(t) , τότε η κανονική εξίσωση βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
(x–x 0)x’+(y-y 0)y’=0
Σκοπός της υπηρεσίας. Αυτή η υπηρεσία έχει σχεδιαστεί για εύρεση εξισώσεις κανονικής προς καμπύλη. Η λύση συντάσσεται σε μορφή Word. Για να ληφθεί η εξίσωση, είναι απαραίτητο να επιλέξετε τον τύπο της δεδομένης συνάρτησης.
Αλγόριθμος για τη σύνθεση της εξίσωσης του κανονικού στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
- Υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης y 0 στο σημείο x 0: y 0 = f(x 0). Εάν έχει καθοριστεί η αρχική τιμή y 0, προχωρήστε στο βήμα 2.
- Εύρεση της παραγώγου y"(x).
- Υπολογισμός της τιμής της παραγώγου στο x 0.
- Γράφοντας την εξίσωση της κανονικής σε μια καμπύλη γραμμή με τη μορφή: y k = y 0 - 1/y"(y 0)(x - x 0)
Παράδειγμα Εργασία Νο. 1
Να βρείτε την εξίσωση της κανονικής προς την παραβολή y = 1/2*x 2 στο σημείο (-2;2).
Λύσηβρείτε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.
Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις σε γενική μορφή: 
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος x 0 = -2, τότε y 0 = 2
Τώρα ας βρούμε την παράγωγο:
y" = (1 / 2 x 2)" = x
ως εκ τούτου:
f"(-2) = -2 = -2
Ως αποτέλεσμα έχουμε: 
ή
y k = 1 / 2 x+3
Εργασία Νο. 2
Να γράψετε τις εξισώσεις της κανονικής προς την καμπύλη y 2 -1/2*x 3 -8 στο σημείο M 0 (0;2).
Λύση.
Εφόσον η συνάρτηση καθορίζεται σιωπηρά, αναζητούμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Για τη λειτουργία μας: 
Επειτα: 
ή
ως εκ τούτου:
F x "(0;2) = 3 / 4 0 2 /2 = 0
Ως αποτέλεσμα έχουμε: 
ή
x = 0
Εργασία Νο. 3
Γράψτε τις εξισώσεις της κανονικής προς την έλλειψη που δίνονται σε παραμετρική μορφή: x = 5*sqrt(2)*cos(t);y = 3*sqrt(2)*sin(t) στο σημείο M 0 (-5;3 ).
Λύση.
Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις για μια συνάρτηση που καθορίζεται σε παραμετρική μορφή:
(x - x 0)x" + (y - y 0)y" = 0
Αυτό το σημείο M 0 (-5;3) αντιστοιχεί στην τιμή t = 3 / 4 π
Για τη λειτουργία μας: 
ως εκ τούτου:
Ως αποτέλεσμα έχουμε:
(x +5)-5 + (y - 3)-3 = 0
ή
y k = -5x-3y-16
Πώς να βρείτε την εξίσωση του κανονικού στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε δεδομένο σημείο?
Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την εξίσωση του κανονικού προς γράφημα συνάρτησης σε ένα σημείο και δείτε πολλά παραδείγματα που σχετίζονται με αυτό το πρόβλημα. Για να αφομοιώσετε σωστά το υλικό, πρέπει να καταλάβετε γεωμετρική σημασία της παραγώγου και να μπορείτε να τα βρείτε τουλάχιστον στο επίπεδο των παρακάτω άρθρων:
Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης Και .
Τα αναφερόμενα μαθήματα θα επιτρέψουν στα «ανδρείκελα» να πλοηγηθούν γρήγορα στο θέμα και να βελτιώσουν τις δεξιότητές τους διαφοροποίησης σχεδόν από την αρχή. πλήρες μηδέν. Στην ουσία, αυτό που ακολουθεί τώρα είναι μια αναλυτική συνέχεια της παραγράφου για εφαπτομενική εξίσωση 3ο άρθρο από την παραπάνω λίστα. Γιατί συνέχεια; Η κανονική εξίσωση σχετίζεται στενά με την εφαπτομενική εξίσωση. Μεταξύ άλλων, θα εξετάσω προβλήματα σχετικά με τον τρόπο κατασκευής εξισώσεων για αυτές τις γραμμές σε καταστάσεις όπου η συνάρτηση προσδιορίζεται σιωπηρά ή παραμετρικά .
Αλλά πρώτα, ας ανανεώσουμε τις αναμνήσεις μας: εάν η λειτουργία διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο (δηλ. αν υπάρχει τελικόςπαράγωγο), τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Αυτή είναι η πιο συνηθισμένη περίπτωση που έχουμε ήδη συναντήσει στο μάθημα. Τα πιο απλά προβλήματα με τα παράγωγα . Ωστόσο, το θέμα δεν περιορίζεται σε αυτό: αν σε ένα σημείο υπάρχει άπειρη παράγωγος: , τότε η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη στον άξονα και η εξίσωσή της θα πάρει τη μορφή . Τυπικό παράδειγμα: συνάρτηση με παράγωγο που πηγαίνει στο άπειρο κοντά κρίσιμο σημείο . Η αντίστοιχη εφαπτομένη θα εκφραστεί με την εξίσωση: (άξονας τεταγμένων).
Αν το παράγωγο δεν υπάρχει (για παράδειγμα, παράγωγο του στο σημείο), τότε, φυσικά, δεν υπάρχει και κοινή εφαπτομένη .
Θα σας πω πώς να διακρίνετε τις δύο τελευταίες περιπτώσεις λίγο αργότερα, αλλά προς το παρόν ας επιστρέψουμε στο κύριο πιάτο του σημερινού μαθήματος:
Τι είναι φυσιολογικό? Κανονικός στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο καλείται ευθεία , περνώντας από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στην εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο (είναι σαφές ότι η εφαπτομένη πρέπει να υπάρχει). Εν ολίγοις, κανονική είναι μια ευθεία κάθετη στην εφαπτομένη και που διέρχεται από το σημείο της εφαπτομένης.
Πώς να βρείτε την κανονική εξίσωση? Από μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας ένας πολύ απλός αλγόριθμος προτείνεται: βρίσκουμε εφαπτομενική εξίσωση και παρουσιάστε το σε γενική εικόνα . Στη συνέχεια «αφαιρούμε» κανονικό διάνυσμα και να συνθέσετε την εξίσωση της κανονικής στο σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης.
Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αλλά στη μαθηματική ανάλυση συνηθίζεται να χρησιμοποιείται ένας έτοιμος τύπος που βασίζεται σε σχέσεις μεταξύ των γωνιακών συντελεστών των κάθετων ευθειών
. Αν υπάρχει τελικόςΚαι μη μηδενικόπαράγωγο, τότε η εξίσωση του κανονικού στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα σημείο εκφράζεται με την ακόλουθη εξίσωση: 
Σίγουρα θα εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις όταν είναι ίσο με μηδέν ή άπειρο, αλλά πρώτα, "συνηθισμένα" παραδείγματα:
Παράδειγμα 1
Να γράψετε εξισώσεις για την εφαπτομένη και την κανονική στη γραφική παράσταση μιας καμπύλης 
στο σημείο του οποίου η τετμημένη ισούται με .
Σε πρακτικές εργασίες, συχνά χρειάζεται να βρείτε και την εφαπτομένη. Ωστόσο, αυτό είναι μόνο για το χέρι - θα ήταν καλύτερα να έχετε "ένα γεμάτο χέρι" =)
Λύση: Το πρώτο μέρος της εργασίας είναι γνωστό· ας συνθέσουμε την εφαπτομενική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση: 
Ας βρούμε παράγωγο
:
Εδώ στο πρώτο βήμα μετακίνησε τη σταθερά πέρα από το πρόσημο της παραγώγου
, στο δεύτερο – μεταχειρισμένο κανόνας για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης
.
Τώρα ας υπολογίσουμε παράγωγο σε ένα σημείο :
Ελήφθη τελικός αριθμόςκαι ευχαριστεί. Ας το αντικαταστήσουμε στον τύπο:
Ας το μετακινήσουμε στην κορυφή της αριστερής πλευράς, ανοίξουμε τις αγκύλες και παρουσιάζουμε την εφαπτομένη εξίσωση σε γενική εικόνα
:
Το δεύτερο μέρος της εργασίας δεν είναι πιο δύσκολο. Ας συνθέσουμε την κανονική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Ξεφορτώνομαι τριώροφο κλάσμα
και φέρε στο μυαλό σου την εξίσωση: 
– την απαιτούμενη εξίσωση.
Απάντηση:
Εδώ μπορείτε να κάνετε μερικό έλεγχο. Πρώτον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση:
- αληθινή ισότητα.
- αληθινή ισότητα.
Και δεύτερον, κανονικά διανύσματα πρέπει να είναι ορθογώνιο. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας προϊόν με κουκκίδες : , το οποίο έπρεπε να ελεγχθεί.
Εναλλακτικά, αντί για κανονικά διανύσματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διανύσματα κατεύθυνσης ευθειών .
! Αυτός ο έλεγχος αποδεικνύεται άχρηστος εάν το παράγωγο ή/και το παράγωγο στο σημείο βρεθούν λανθασμένα. Αυτός είναι ο «αδύναμος κρίκος» της εργασίας - να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί!
Δεν απαιτείται σχέδιο, αλλά για λόγους πληρότητας: 
Είναι αστείο, αλλά στην πραγματικότητα έγινε πλήρης έλεγχος, αφού το σχέδιο έγινε με μεγάλη ακρίβεια =) Παρεμπιπτόντως, η συνάρτηση 
θέτει το πάνω τόξο έλλειψη
.
Την παρακάτω εργασία πρέπει να την λύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 2
Να γράψετε εξισώσεις για την εφαπτομένη και την κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο .
Ένα κατά προσέγγιση δείγμα της τελικής εργασίας στο τέλος του μαθήματος.
Ας δούμε τώρα δύο ειδικές περιπτώσεις:
1) Αν η παράγωγος σε ένα σημείο είναι ίση με μηδέν: , τότε η εφαπτομενική εξίσωση θα απλοποιηθεί: 
Δηλαδή, η εφαπτομένη θα είναι παράλληλη προς τον άξονα.
Αντίστοιχα, η κανονική θα περάσει από το σημείο παράλληλο προς τον άξονα, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωσή του θα πάρει τη μορφή .
2) Εάν η παράγωγος σε ένα σημείο υπάρχει, αλλά είναι άπειρη: , τότε, όπως σημειώθηκε στην αρχή του άρθρου, η εφαπτομένη θα γίνει κατακόρυφη: . Και δεδομένου ότι η κανονική διέρχεται από το σημείο παράλληλο προς τον άξονα, η εξίσωσή του θα εκφραστεί με τρόπο «καθρέφτη»:
Είναι απλό:
Παράδειγμα 3
Να γράψετε εξισώσεις για την εφαπτομένη και την κανονική σε μια παραβολή 
στο σημείο. Κάντε ένα σχέδιο.
Δεν πρόσθεσα την απαίτηση να ολοκληρώσω το σχέδιο - έτσι διατυπώθηκε η εργασία στο πρωτότυπο. Αν και αυτό είναι σπάνιο.
Λύση: ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την εφαπτομένη. Σε αυτήν την περίπτωση
Φαίνεται ότι οι υπολογισμοί είναι ασήμαντοι, αλλά είναι περισσότερο από δυνατό να μπερδευτούμε στα σημάδια: 
Ετσι: 
Αφού η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα (Υπόθεση Νο. 1), τότε η κανονική διέλευση από το ίδιο σημείο θα είναι παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων:
Ένα σχέδιο είναι, φυσικά, πρόσθετο πρόβλημα, αλλά είναι ένας καλός έλεγχος της αναλυτικής λύσης: 
Απάντηση: ,
Στα σχολικά μαθήματα μαθηματικών, συνηθίζεται ένας απλοποιημένος ορισμός της εφαπτομένης, ο οποίος διατυπώνεται κάπως έτσι: "Μια εφαπτομένη σε ένα γράφημα μιας συνάρτησης είναι μια ευθεία που έχει ένα μόνο κοινό σημείο με το δεδομένο γράφημα". Όπως μπορείτε να δείτε, στη γενική περίπτωση αυτή η δήλωση είναι εσφαλμένη. Σύμφωνα με γεωμετρική σημασία της παραγώγου , η εφαπτομένη είναι η πράσινη γραμμή, όχι η μπλε γραμμή.
Το ακόλουθο παράδειγμα είναι αφιερωμένο στην ίδια Υπόθεση Νο. 1, όταν:
Παράδειγμα 4
Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης στην καμπύλη στο σημείο.
Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος
Υπόθεση Νο 2, που σπάνια συμβαίνει στην πράξη, οπότε οι αρχάριοι δεν πρέπει να ανησυχούν πολύ και να παραλείψουν το πέμπτο παράδειγμα με ανάλαφρη καρδιά. Οι πληροφορίες με πλάγιους χαρακτήρες προορίζονται για προχωρημένους αναγνώστες που έχουν καλή κατανόηση ορισμοί παραγώγου και εφαπτομένης και επίσης να έχουν εμπειρία βρίσκοντας το παράγωγο εξ ορισμού :
Παράδειγμα 5
Να βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτομένης και της κανονικής στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο
Λύση
: Vκρίσιμο σημείο
παράγωγος παρονομαστής 
εξαφανίζεται, και ως εκ τούτου εδώ πρέπει να υπολογίσετε μονόπλευρα παράγωγα χρησιμοποιώντας τον ορισμό του παραγώγου (δείτε το τέλος του άρθρουΠαράγωγο εξ ορισμού
):
Και οι δύο παράγωγοι είναι άπειρες, επομένως, στο σημείο υπάρχει μια κοινή κάθετη εφαπτομένη:
Λοιπόν, είναι προφανές ότι ο άξονας x είναι ο κανονικός. Επίσημα, σύμφωνα με τον τύπο:
Για καλύτερη κατανόηση του προβλήματος, ακολουθεί ένα σχέδιο:
Απάντηση
:
Χαίρομαι που δεν πήγατε να σερφάρετε στο Διαδίκτυο, γιατί όλη η διασκέδαση μόλις αρχίζει! Για να κατακτήσετε το υλικό στην επόμενη παράγραφο, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε παράγωγο μιας άρρητης συνάρτησης :
Πώς να βρείτε την εφαπτομενική εξίσωση και την κανονική εξίσωση εάν η συνάρτηση καθορίζεται σιωπηρά;
Οι τύποι της εφαπτομένης και της κανονικής παραμένουν οι ίδιοι, αλλά η τεχνική λύσης αλλάζει:
Παράδειγμα 6
Να βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτομένης και της κάθετης στην καμπύλη στο σημείο.
Λύση: κρίνοντας από την εξίσωση, αυτό είναι κάποιο είδος γραμμή 3ης παραγγελίας , το οποίο ακριβώς δεν μας ενδιαφέρει καθόλου τώρα.
Υπάρχει κακόβουλο λογισμικό στην εξίσωση, και έτσι η προοπτική έκφρασης της συνάρτησης σε ρητάφαίνεται αρκετά ομιχλώδης.
Αλλά αυτό δεν απαιτείται! Υπάρχει μια πολύ πιο έξυπνη λύση. Ας συνθέσουμε την εφαπτομενική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο.
Οι τιμές είναι γνωστές από την συνθήκη· παρεμπιπτόντως, δεν βλάπτει να βεβαιωθείτε ότι ικανοποιούν πραγματικά την προτεινόμενη εξίσωση: 
Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι όλα είναι εντάξει με το σημείο.
Το μόνο που μένει είναι να υπολογιστούν. Αρχικά, χρησιμοποιώντας το τυπικό σχήμα, βρίσκουμε παράγωγο μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά
:
Ας ξαναγράψουμε το αποτέλεσμα με μια σημείωση πιο κατάλληλη για την εργασία μας: 
Στο 2ο βήμα, αντικαθιστούμε το : στην έκφραση παραγώγου που βρέθηκε:
Αυτό είναι!
Απομένει να κατανοήσουμε προσεκτικά την εξίσωση: 
Ας δημιουργήσουμε την κανονική εξίσωση: 
Απάντηση:
Ετοιμος! Και στην αρχή όλα φαίνονταν δύσκολα. Αν και το παράγωγο εδώ, φυσικά, είναι ένα ευάλωτο μέρος. Μικρογραφία για αυτολύση:
Παράδειγμα 7
Να βρείτε την εξίσωση του κανονικού σε μια ευθεία σε ένα σημείο
Αρκετά με την εφαπτομένη ήδη =)
Σε αυτή την περίπτωση είναι εύκολο να μάθετε τι είναι κύκλος
κέντρο στο σημείο ακτίνας και ακόμη και εκφράζει την επιθυμητή συνάρτηση 
. Μα γιατί?! Μετά από όλα, βρείτε την παράγωγο του άρρητη λειτουργία
πολύ ευκολότερο! Είναι σχεδόν η πιο πρωτόγονη εδώ.
Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Πώς να βρείτε την εφαπτομενική εξίσωση και την κανονική εξίσωση εάν η συνάρτηση καθορίζεται παραμετρικά;
Ακόμα πιο εύκολο. Αλλά για αυτό πρέπει να εξασκηθείτε στην εύρεση παράγωγος μιας παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης . Και αυτό είναι σχεδόν ένα δωρεάν:
Παράδειγμα 8
Να σχηματίσετε εξισώσεις για την εφαπτομένη και την κάθετη στο κυκλοειδές που σχεδιάστηκε στο σημείο για το οποίο .
Ένα σχέδιο του κυκλοειδούς μπορεί να βρεθεί στη σελίδα S και V, εάν η γραμμή καθορίζεται παραμετρικά (συμβαίνει ότι αυτό το άρθρο δημιουργήθηκε νωρίτερα). Δείχνει ακόμη και το σημείο επαφής.
Λύση: Η τετμημένη και η τεταγμένη του εφαπτομενικού σημείου υπολογίζονται απευθείας από τις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης: 
Ας βρούμε 1η παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης :
Και ας υπολογίσουμε την αξία του σε: 
Ας συνθέσουμε την εφαπτομενική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον συνηθισμένο τύπο, προσαρμοσμένο για ελαφρώς διαφορετικούς συμβολισμούς: 
Κανονική εξίσωση: 
Απάντηση:
Εν κατακλείδι, σας προτείνω να εξοικειωθείτε με μια άλλη ενδιαφέρουσα γραμμή:
Παράδειγμα 9
Γράψτε μια εξίσωση για την κανονική σε μια ημικυβική παραβολή που σχεδιάστηκε στο σημείο για το οποίο .
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι γραφήματα παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το my σχεδίαση γεωμετρική διάταξη .
Λοιπόν, το μάθημά μας έφτασε στο τέλος του και ελπίζω ότι το υλικό που παρουσιάστηκε δεν ήταν εφαπτομενικό για εσάς, αλλά κανονικό =)
Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας και καλή τύχη!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2:Λύση
Σε αυτήν την περίπτωση:
Ετσι:
Ας συνθέσουμε την κανονική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο 
:
Απάντηση
:
Παράδειγμα 4:Λύση
: ας συνθέσουμε την εφαπτομενική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτή την εργασία:
Ετσι:
Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα, άρα η αντίστοιχη κανονική εξίσωση είναι:
Απάντηση
:
Παράδειγμα 7:Λύση
: σε αυτό το πρόβλημα: .
Ας βρούμε την παράγωγο:
Ή:
Ας αντικαταστήσουμε την παράγωγο στην έκφραση:
Η απαιτούμενη κανονική εξίσωση:
Απάντηση
:
Παράδειγμα 9:Λύση
: σε αυτήν την περίπτωση:
Ας βρούμε την παράγωγο και ας υπολογίσουμε την τιμή της στο:
Κανονική εξίσωση:
Απάντηση
:
Λαμβάνεται από τον ιστότοπο http://www.mathprofi.ru
