Πίνακας τετραγώνων ακεραίων από το 1 έως το 100
1 2 = 1
| 21 2 = 441
| 41 2 = 1681
| 61 2 = 3721
| 81 2 = 6561
|
Πίνακας τετραγώνων ακεραίων από 1 έως 999 και κλασματικοί αριθμοίαπό 1,1 έως 9,99.
Η σειρά αναζήτησης κλασματικών αριθμών:
Για παράδειγμα, θέλετε να βρείτε το τετράγωνο του 1,26.
Βρείτε τον αριθμό 1.2 στην αριστερή κάθετη στήλη και βρείτε τον αριθμό 6 στην επάνω οριζόντια σειρά.
Η τομή των αριθμών 1,2 και 6 είναι το επιθυμητό αποτέλεσμα: 1
,2
6
2
= 1,5876
Σειρά αναζήτησης για ακέραιους αριθμούς:
Απλώς αφαιρέστε το κόμμα και λάβετε το τετράγωνο του επιθυμητού ακέραιου αριθμού.
Παράδειγμα 1 (για διψήφιους αριθμούς): Πρέπει να βρούμε το τετράγωνο του αριθμού 36.
Να βρείτε το τετράγωνο του αριθμού 3.6. Αυτός ο αριθμός είναι 12,96. Αυτό σημαίνει 36 2 = 1296 (όλα τα κόμματα αφαιρέθηκαν).
Παράδειγμα 2 (για τριψήφιους αριθμούς): Πρέπει να βρούμε το τετράγωνο του αριθμού 592.
Βρίσκουμε την τομή των αριθμών 5,9 και 2. Αυτός ο αριθμός είναι 35,0464. Άρα, 592 2 = 350464.
Σημείωση:
1) τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού μονοψήφιων και διψήφιων αριθμών βρίσκονται στην πρώτη στήλη (κάτω από 0).
2) να βρεις τετράγωνο τριψήφιος αριθμόςμε ένα μηδέν στο τέλος, απλά πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά στο τετράγωνο ενός διψήφιου αριθμού. Για παράδειγμα, 560 2 = 3136 00
(Το 00 προστέθηκε στο 3136 και αφαιρέθηκαν τα κόμματα). Τα αποτελέσματα αυτών των ενεργειών βρίσκονται επίσης στην πρώτη στήλη (κάτω από 0).
6 | ||||||||||
1,2 | 1,5876 | |||||||||
Πίνακας τετραγώνων ακεραίων από το 0 έως το 99.
| Χ 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τον αριθμό των δεκάδων κάθετα, τον αριθμό των μονάδων οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, 3 8 2 = 1444.
2
Πίνακας κύβων ακεραίων από το 0 έως το 99.
| Χ 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 |
| 2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
| 3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
| 4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
| 5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
| 6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
| 7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
| 8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
| 9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τον αριθμό των δεκάδων κάθετα, τον αριθμό των μονάδων οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, 1 2 3 = 1728.
Έντυπο για τον υπολογισμό άλλων τιμών:
3
Τραπέζι τετραγωνικές ρίζεςακέραιοι από 0 έως 99, στρογγυλεμένοι στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο.
| √ Χ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,41421 | 1,73205 | 2 | 2,23607 | 2,44949 | 2,64575 | 2,82843 | 3 |
| 1 | 3,16228 | 3,31662 | 3,4641 | 3,60555 | 3,74166 | 3,87298 | 4 | 4,12311 | 4,24264 | 4,3589 |
| 2 | 4,47214 | 4,58258 | 4,69042 | 4,79583 | 4,89898 | 5 | 5,09902 | 5,19615 | 5,2915 | 5,38516 |
| 3 | 5,47723 | 5,56776 | 5,65685 | 5,74456 | 5,83095 | 5,91608 | 6 | 6,08276 | 6,16441 | 6,245 |
| 4 | 6,32456 | 6,40312 | 6,48074 | 6,55744 | 6,63325 | 6,7082 | 6,78233 | 6,85565 | 6,9282 | 7 |
| 5 | 7,07107 | 7,14143 | 7,2111 | 7,28011 | 7,34847 | 7,4162 | 7,48331 | 7,54983 | 7,61577 | 7,68115 |
| 6 | 7,74597 | 7,81025 | 7,87401 | 7,93725 | 8 | 8,06226 | 8,12404 | 8,18535 | 8,24621 | 8,30662 |
| 7 | 8,3666 | 8,42615 | 8,48528 | 8,544 | 8,60233 | 8,66025 | 8,7178 | 8,77496 | 8,83176 | 8,88819 |
| 8 | 8,94427 | 9 | 9,05539 | 9,11043 | 9,16515 | 9,21954 | 9,27362 | 9,32738 | 9,38083 | 9,43398 |
| 9 | 9,48683 | 9,53939 | 9,59166 | 9,64365 | 9,69536 | 9,74679 | 9,79796 | 9,84886 | 9,89949 | 9,94987 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τον αριθμό των δεκάδων κάθετα, τον αριθμό των μονάδων οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, √ 1 0 ≈ 3,16228 .
Έντυπο για τον υπολογισμό άλλων τιμών:
√
Πίνακας κυβικών ριζών ακεραίων αριθμών από το 0 έως το 99, στρογγυλεμένο στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο.
| 3 √ Χ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,25992 | 1,44225 | 1,5874 | 1,70998 | 1,81712 | 1,91293 | 2 | 2,08008 |
| 1 | 2,15443 | 2,22398 | 2,28943 | 2,35133 | 2,41014 | 2,46621 | 2,51984 | 2,57128 | 2,62074 | 2,6684 |
| 2 | 2,71442 | 2,75892 | 2,80204 | 2,84387 | 2,8845 | 2,92402 | 2,9625 | 3 | 3,03659 | 3,07232 |
| 3 | 3,10723 | 3,14138 | 3,1748 | 3,20753 | 3,23961 | 3,27107 | 3,30193 | 3,33222 | 3,36198 | 3,39121 |
| 4 | 3,41995 | 3,44822 | 3,47603 | 3,5034 | 3,53035 | 3,55689 | 3,58305 | 3,60883 | 3,63424 | 3,65931 |
| 5 | 3,68403 | 3,70843 | 3,73251 | 3,75629 | 3,77976 | 3,80295 | 3,82586 | 3,8485 | 3,87088 | 3,893 |
| 6 | 3,91487 | 3,9365 | 3,95789 | 3,97906 | 4 | 4,02073 | 4,04124 | 4,06155 | 4,08166 | 4,10157 |
| 7 | 4,12129 | 4,14082 | 4,16017 | 4,17934 | 4,19834 | 4,21716 | 4,23582 | 4,25432 | 4,27266 | 4,29084 |
| 8 | 4,30887 | 4,32675 | 4,34448 | 4,36207 | 4,37952 | 4,39683 | 4,414 | 4,43105 | 4,44796 | 4,46475 |
| 9 | 4,4814 | 4,49794 | 4,51436 | 4,53065 | 4,54684 | 4,5629 | 4,57886 | 4,5947 | 4,61044 | 4,62607 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τον αριθμό των δεκάδων κάθετα, τον αριθμό των μονάδων οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, 3 √ 2 8 ≈ 3,03659 .
Έντυπο για τον υπολογισμό άλλων τιμών:
3 √
Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) τυπικών ορισμάτων.
| π |
| π |
| π |
| 2π |
| 3π |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τη συνάρτηση κάθετα, την τιμή του ορίσματος οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, αμαρτία 90° = 1.
Έντυπο για τον υπολογισμό άλλων τιμών:
αμαρτία cos tg ctg °
Πίνακας αντίστροφων τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (τοξίνη, αρκοσίνη, τοξοεφαπτομένη, τόξο εφαπτομένη) τυπικών ορισμάτων σε ακτίνια.
| τόξο(Χ) | 0 | 1 | -1 | 1 / 2 | - 1 / 2 | √ 2 / 2 | - √ 2 / 2 | √ 3 / 2 | - √ 3 / 2 | √ 3 | -√ 3 | 1 / √ 3 | - 1 / √ 3 |
| τόξο( Χ) | 0 | π/2 | - π/2 | π/6 | - π/6 | π/4 | - π/4 | π/3 | - π/3 | - | - | 0.6155 | -0.6155 |
| τόξο( Χ) | π/2 | 0 | π | π/3 | 2π/3 | π/4 | 3π/4 | π/6 | 5π/6 | - | - | 0,9553 | 2,1863 |
| arctg( Χ) | 0 | π/4 | - π/4 | 0.4636 | -0.4636 | 0.6155 | -0.6155 | 0.7137 | -0.7137 | π/3 | - π/3 | π/6 | - π/6 |
| arcctg( Χ) | π/2 | π/4 | 3π/4 | 1.1071 | 2.0344 | 0.9553 | 2.1863 | 0.8571 | 2.2845 | π/6 | 5π/6 | π/3 | 2π/3 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τη συνάρτηση κάθετα, την τιμή του ορίσματος οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, τόξο -1 = π.
Έντυπο για τον υπολογισμό άλλων τιμών (αποτέλεσμα σε βαθμούς):
arcsin arccos arctg °
Τραπέζι φυσικούς λογάριθμουςακέραιοι από 0 έως 99, στρογγυλεμένοι στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο.
| ln( Χ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | -INF | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,3979 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,2581 | 3,29584 | 3,3322 | 3,3673 |
| 3 | 3,4012 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,7612 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,8712 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,2485 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
Για να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα, επιλέξτε τον αριθμό των δεκάδων κάθετα, τον αριθμό των μονάδων οριζόντια και στη διασταύρωση θα δείτε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, ln 4 2 = 3,73767.
*τετράγωνα έως εκατοντάδες
Προκειμένου να μην τετραγωνίσετε άσκοπα όλους τους αριθμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να απλοποιήσετε την εργασία σας όσο το δυνατόν περισσότερο με τους ακόλουθους κανόνες.
Κανόνας 1 (κόβει 10 αριθμούς)
Για αριθμούς που τελειώνουν σε 0.
Εάν ένας αριθμός τελειώνει σε 0, ο πολλαπλασιασμός του δεν είναι πιο δύσκολος από έναν μονοψήφιο αριθμό. Απλά πρέπει να προσθέσετε μερικά μηδενικά.
70 * 70 = 4900.
Σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στον πίνακα.
Κανόνας 2 (κόβει 10 αριθμούς)
Για αριθμούς που τελειώνουν σε 5.
Στο τετράγωνο διψήφιος αριθμόςπου τελειώνει σε 5, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο ψηφίο (x) επί (x+1) και να προσθέσετε το "25" στο αποτέλεσμα.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Σημειώνεται με πράσινο χρώμα στον πίνακα.
Κανόνας 3 (κόβει 8 αριθμούς)
Για αριθμούς από 40 έως 50.
XX * XX = 1500 + 100 * δεύτερο ψηφίο + (10 - δεύτερο ψηφίο)^2
Αρκετά δύσκολο, σωστά; Ας δούμε ένα παράδειγμα:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Στον πίνακα σημειώνονται με ανοιχτό πορτοκαλί χρώμα.
Κανόνας 4 (κόβει 8 αριθμούς)
Για αριθμούς από 50 έως 60.
XX * XX = 2500 + 100 * δεύτερο ψηφίο + (δεύτερο ψηφίο)^2
Είναι επίσης αρκετά δύσκολο να το καταλάβεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Στον πίνακα σημειώνονται με σκούρο πορτοκαλί.
Κανόνας 5 (κόβει 8 αριθμούς)
Για αριθμούς από 90 έως 100.
XX * XX = 8000+ 200 * δεύτερο ψηφίο + (10 - δεύτερο ψηφίο)^2
Παρόμοιο με τον κανόνα 3, αλλά με διαφορετικούς συντελεστές. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Στον πίνακα σημειώνονται με σκούρο σκούρο πορτοκαλί.
Κανόνας Νο. 6 (κόβει 32 αριθμούς)
Πρέπει να απομνημονεύσετε τα τετράγωνα των αριθμών μέχρι το 40. Ακούγεται τρελό και δύσκολο, αλλά στην πραγματικότητα οι περισσότεροι γνωρίζουν τα τετράγωνα μέχρι το 20. 25, 30, 35 και 40 επιδέχονται τύπους. Και απομένουν μόνο 16 ζεύγη αριθμών. Μπορούμε ήδη να τα θυμόμαστε χρησιμοποιώντας μνημονικά (για τα οποία θέλω επίσης να μιλήσω αργότερα) ή με οποιοδήποτε άλλο μέσο. Σαν πίνακας πολλαπλασιασμού :)
Σημειώνεται με μπλε χρώμα στον πίνακα.
Μπορείτε να θυμάστε όλους τους κανόνες ή μπορείτε να θυμάστε επιλεκτικά· σε κάθε περίπτωση, όλοι οι αριθμοί από το 1 έως το 100 υπακούουν σε δύο τύπους. Οι κανόνες θα βοηθήσουν, χωρίς τη χρήση αυτών των τύπων, να υπολογίσετε γρήγορα περισσότερο από το 70% των επιλογών. Εδώ είναι οι δύο τύποι:
Τύποι (απομένουν 24 ψηφία)
Για αριθμούς από 25 έως 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Για παράδειγμα:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369
Για αριθμούς από 50 έως 100
XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2
Για παράδειγμα:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489
Φυσικά, μην ξεχνάτε τον συνήθη τύπο για την αποσύνθεση του τετραγώνου ενός αθροίσματος ( ειδική περίπτωσηΔιώνυμο του Νεύτωνα):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.
Το τετράγωνο μπορεί να μην είναι το πιο χρήσιμο πράγμα στο αγρόκτημα. Δεν θα θυμάστε αμέσως μια περίπτωση που μπορεί να χρειαστεί να τετραγωνίσετε έναν αριθμό. Αλλά η ικανότητα να λειτουργείς γρήγορα με αριθμούς και να εφαρμόζεις τους κατάλληλους κανόνες για κάθε αριθμό αναπτύσσει τέλεια τη μνήμη και τις «υπολογιστικές ικανότητες» του εγκεφάλου σου.
Παρεμπιπτόντως, νομίζω ότι όλοι οι αναγνώστες του Habra γνωρίζουν ότι 64^2 = 4096 και 32^2 = 1024.
Πολλά τετράγωνα αριθμών απομνημονεύονται σε συνειρμικό επίπεδο. Για παράδειγμα, θυμήθηκα εύκολα το 88^2 = 7744 λόγω των ίδιων αριθμών. Το καθένα πιθανότατα θα έχει τα δικά του χαρακτηριστικά.
Βρήκα για πρώτη φορά δύο μοναδικούς τύπους στο βιβλίο «13 βήματα προς τη νοοτροπία», το οποίο έχει ελάχιστη σχέση με τα μαθηματικά. Το γεγονός είναι ότι προηγουμένως (ίσως ακόμα και τώρα) οι μοναδικές υπολογιστικές ικανότητες ήταν ένας από τους αριθμούς στη μαγεία του σταδίου: ένας μάγος έλεγε μια ιστορία για το πώς έλαβε υπερδυνάμεις και, ως απόδειξη αυτού, τετραγωνίζει αμέσως αριθμούς έως και εκατό. Το βιβλίο δείχνει επίσης μεθόδους κατασκευής κύβου, μεθόδους αφαίρεσης ριζών και ριζών κύβου.
Αν το θέμα της γρήγορης καταμέτρησης είναι ενδιαφέρον, θα γράψω περισσότερα.
Γράψτε σχόλια σχετικά με λάθη και διορθώσεις στο PM, ευχαριστώ εκ των προτέρων.
