Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί διανυσματικοί χώροι
Θέμα 8. Γραμμικοί διανυσματικοί χώροι
Ορισμός γραμμικός χώρος. Παραδείγματα γραμμικών χώρων
Στην §2.1 η λειτουργία της προσθήκης ελεύθερων διανυσμάτων από R 3 και τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων με πραγματικούς αριθμούς, και επίσης παραθέτει τις ιδιότητες αυτών των πράξεων. Η επέκταση αυτών των πράξεων και των ιδιοτήτων τους σε ένα σύνολο αντικειμένων (στοιχείων) αυθαίρετης φύσης οδηγεί σε γενίκευση της έννοιας ενός γραμμικού χώρου γεωμετρικών διανυσμάτων από R 3 που ορίζεται στην §2.1. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου.
Ορισμός 8.1.Ενα μάτσο Vστοιχεία Χ , στο , z ,... που ονομάζεται γραμμικό διανυσματικό χώρο, Αν:
υπάρχει ένας κανόνας ότι κάθε δύο στοιχεία Χ Και στο από Vταιριάζει με το τρίτο στοιχείο από V, που ονομάζεται ποσό Χ Και στο και ορίζεται Χ + στο ;
υπάρχει ένας κανόνας ότι κάθε στοιχείο Χ και οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμόςταιριάζει με ένα στοιχείο από V, που ονομάζεται προϊόν του στοιχείου Χανά αριθμόκαι ορίζεται Χ .
Επιπλέον, το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο στοιχείων Χ + στο Και δουλειά Χ οποιοδήποτε στοιχείο για οποιονδήποτε αριθμό πρέπει να πληροί τις ακόλουθες απαιτήσεις - αξιώματα του γραμμικού χώρου:
1°. Χ + στο = στο + Χ (ανταλλαγή της πρόσθεσης).
2°. ( Χ + στο ) + z = Χ + (στο + z ) (συνειρισμός προσθήκης).
3°. Υπάρχει ένα στοιχείο 0 , που ονομάζεται μηδέν, τέτοιο που
Χ + 0 = Χ , Χ .
4°. Για οποιονδηποτε Χ υπάρχει ένα στοιχείο (- Χ ), που ονομάζεται απέναντι για Χ , τέτοιο που
Χ + (– Χ ) = 0 .
5°. ( Χ ) = ()Χ , Χ , , R.
6°. Χ = Χ , Χ .
7°. () Χ = Χ + Χ , Χ , , R.
8°. ( Χ + στο ) = Χ + y , Χ , y , R.
Θα ονομάσουμε τα στοιχεία του γραμμικού χώρου φορείςανεξάρτητα από τη φύση τους.
Από τα αξιώματα 1°–8° προκύπτει ότι σε οποιοδήποτε γραμμικό χώρο Vισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
1) υπάρχει ένα μόνο μηδενικό διάνυσμα.
2) για κάθε διάνυσμα Χ υπάρχει μόνο ένα αντίθετο διάνυσμα (- Χ ) , και (- Χ ) = (– l) Χ ;
3) για οποιοδήποτε διάνυσμα Χ η ισότητα 0× είναι αληθής Χ = 0 .
Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την ιδιότητα 1). Ας υποθέσουμε ότι στο διάστημα Vυπάρχουν δύο μηδενικά: 0 1 και 0 2. Βάζοντας 3° στο αξίωμα Χ = 0 1 , 0 = 0 2, παίρνουμε 0 1 + 0 2 = 0 1 . Ομοίως, αν Χ = 0 2 , 0 = 0 1, λοιπόν 0 2 + 0 1 = 0 2. Λαμβάνοντας υπόψη το αξίωμα 1°, λαμβάνουμε 0 1 = 0 2 .
Ας δώσουμε παραδείγματα γραμμικών χώρων.
1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών σχηματίζει γραμμικό διάστημα R. Τα αξιώματα 1°–8° ικανοποιούνται προφανώς σε αυτό.
2. Το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο, όπως φαίνεται στην §2.1, σχηματίζει επίσης ένα γραμμικό διάστημα, που συμβολίζεται R 3. Το μηδέν αυτού του χώρου είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Το σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο και στη γραμμή είναι επίσης γραμμικοί χώροι. Θα τα υποδηλώσουμε R 1 και R 2 αντίστοιχα.
3. Γενίκευση χώρων R 1 , R 2 και R 3 εξυπηρετεί χώρο Rn, n Ν, που ονομάζεται αριθμητικός ν-διάστατος χώρος, των οποίων τα στοιχεία (διανύσματα) είναι διατεταγμένες συλλογές nαυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί ( Χ 1 ,…, x n), δηλ.
Rn = {(Χ 1 ,…, x n) | x i R, Εγώ = 1,…, n}.
Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη σημειογραφία Χ = (Χ 1 ,…, x n), όπου x iπου ονομάζεται i-η συντεταγμένη(συστατικό)διάνυσμα Χ .
Για Χ , στο RnΚαι RΟρίζουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
Χ + στο = (Χ 1 + y 1 ,…, x n+ y n);
Χ = (Χ 1 ,…, x n).
Το μηδενικό στοιχείο του χώρου Rnείναι ένας φορέας 0 = (0,…, 0). Ισότητα δύο διανυσμάτων Χ = (Χ 1 ,…, x n) Και στο = (y 1 ,…, y n) από Rn, εξ ορισμού, σημαίνει την ισότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων, δηλ. Χ = στο Û Χ 1 = y 1 &… & x n = y n.
Η εκπλήρωση των αξιωμάτων 1°–8° είναι προφανής εδώ.
4. Αφήστε ντο [ ένα ; σι] – σύνολο πραγματικών συνεχών στο διάστημα [ ένα; σι] λειτουργίες φά: [ένα; σι] R.
Άθροισμα συναρτήσεων φάΚαι σολαπό ντο [ ένα ; σι] ονομάζεται συνάρτηση η = φά + σολ, που ορίζεται από την ισότητα
η = φά + σολ Û η(Χ) = (φά + σολ)(Χ) = φά(Χ) + σολ(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].
Προϊόν μιας συνάρτησης φά Î ντο [ ένα ; σι] κατά αριθμό ένα Î Rκαθορίζεται από την ισότητα
u = φά Û u(Χ) = (φά)(Χ) = φά(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].
Έτσι, οι εισαγόμενες πράξεις της πρόσθεσης δύο συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού μιας συνάρτησης με έναν αριθμό μεταμορφώνουν το σύνολο ντο [ ένα ; σι] σε ένα γραμμικό χώρο του οποίου τα διανύσματα είναι συναρτήσεις. Τα αξιώματα 1°–8° ικανοποιούνται προφανώς σε αυτόν τον χώρο. Το μηδενικό διάνυσμα αυτού του χώρου είναι η ταυτόσημη μηδενική συνάρτηση και η ισότητα δύο συναρτήσεων φάΚαι σολσημαίνει εξ ορισμού τα εξής:
φά = σολ φά(Χ) = σολ(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].
Διάλεξη 6. Διανυσματικός χώρος.
Κύρια ερωτήματα.
1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.
2. Βάση και διάσταση του χώρου.
3. Διαστημικός προσανατολισμός.
4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά βάση.
5. Διανυσματικές συντεταγμένες.
1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.
Ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία οποιασδήποτε φύσης στο οποίο ορίζονται γραμμικές πράξεις: η πρόσθεση δύο στοιχείων και ο πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου με έναν αριθμό ονομάζονται χώρους, και τα στοιχεία τους είναι φορείςαυτό το διάστημα και συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο με τα διανυσματικά μεγέθη στη γεωμετρία: . ΔιανύσματαΤέτοιοι αφηρημένοι χώροι, κατά κανόνα, δεν έχουν τίποτα κοινό με τα συνηθισμένα γεωμετρικά διανύσματα. Στοιχεία αφηρημένων χώρων μπορεί να είναι συναρτήσεις, ένα σύστημα αριθμών, πίνακες κ.λπ., και σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, συνηθισμένα διανύσματα. Ως εκ τούτου, τέτοιοι χώροι ονομάζονται συνήθως διανυσματικοί χώροι .
Οι διανυσματικοί χώροι είναι, Για παράδειγμα, ένα σύνολο συγγραμμικών διανυσμάτων, που συμβολίζεται V1 , σύνολο συνεπίπεδων διανυσμάτων V2 , σύνολο διανυσμάτων συνηθισμένου (πραγματικού χώρου) V3 .
Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό του διανυσματικού χώρου.
Ορισμός 1.Το σύνολο των διανυσμάτων ονομάζεται διανυσματικός χώρος, εάν ένας γραμμικός συνδυασμός οποιωνδήποτε διανυσμάτων ενός συνόλου είναι επίσης διάνυσμα αυτού του συνόλου. Τα ίδια τα διανύσματα ονομάζονται στοιχείαδιανυσματικός χώρος.
Πιο σημαντική, τόσο θεωρητικά όσο και εφαρμοσμένα, είναι η γενική (αφηρημένη) έννοια του διανυσματικού χώρου.
Ορισμός 2.Ενα μάτσο Rστοιχεία, στα οποία το άθροισμα προσδιορίζεται για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και για οποιοδήποτε στοιχείο https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> που ονομάζεται διάνυσμα(ή γραμμικό) χώροςκαι τα στοιχεία του είναι διανύσματα, αν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες ( αξιώματα) :
1) η προσθήκη είναι ανταλλάξιμη, δηλαδή.gif" width="184" height="25">;
3) υπάρχει τέτοιο στοιχείο (μηδενικό διάνυσμα) που για οποιοδήποτε https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;
5) για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό λ ισχύει η ισότητα.
6) για τυχόν διανύσματα και οποιουσδήποτε αριθμούς λ
Και µ
η ισότητα είναι αληθινή: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> και τυχόν αριθμοί λ
Και µ
έκθεση 
;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.
Τα απλούστερα αξιώματα που ορίζουν έναν διανυσματικό χώρο ακολουθούν: συνέπειες :
1. Σε ένα διανυσματικό χώρο υπάρχει μόνο ένα μηδέν - το στοιχείο - το μηδενικό διάνυσμα.
2. Στον διανυσματικό χώρο, κάθε διάνυσμα έχει ένα μόνο αντίθετο διάνυσμα.
3. Για κάθε στοιχείο η ισότητα ικανοποιείται.
4. Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ και μηδενικό διάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.
5..gif" width="145" height="28">
6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> είναι ένα διάνυσμα που ικανοποιεί την ισότητα https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.
Άρα, πράγματι, το σύνολο όλων των γεωμετρικών διανυσμάτων είναι ένας γραμμικός (διανυσματικός) χώρος, αφού για τα στοιχεία αυτού του συνόλου ορίζονται οι ενέργειες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό που ικανοποιούν τα διατυπωμένα αξιώματα.
2. Βάση και διάσταση του χώρου.
Οι βασικές έννοιες ενός διανυσματικού χώρου είναι οι έννοιες της βάσης και της διάστασης.
Ορισμός.Ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, μέσω των οποίων μπορεί να εκφραστεί γραμμικά οποιοδήποτε διάνυσμα χώρου, ονομάζεται βάσηαυτόν τον χώρο. Διανύσματα. Τα συστατικά της βάσης του χώρου ονομάζονται βασικός .
Η βάση ενός συνόλου διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια αυθαίρετη γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ένα συγγραμμικό διάνυσμα σε αυτήν τη γραμμή.
Βάση στο αεροπλάνοΑς ονομάσουμε δύο μη γραμμικά διανύσματα σε αυτό το επίπεδο, που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.
Αν τα διανύσματα βάσης είναι κατά ζεύγη κάθετα (ορθογώνια), τότε καλείται η βάση ορθογώνιο, και αν αυτά τα διανύσματα έχουν μήκος ίσο με ένα, τότε καλείται η βάση ορθοκανονική .
Ο μεγαλύτερος αριθμόςονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου διάστασηαυτού του χώρου, δηλαδή η διάσταση του χώρου συμπίπτει με τον αριθμό των διανυσμάτων βάσης αυτού του χώρου.
Σύμφωνα λοιπόν με αυτούς τους ορισμούς:
1. Μονοδιάστατος χώρος V1 είναι μια ευθεία γραμμή, και η βάση αποτελείται από ένα συγγραμμικόδιάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .
3. Ο συνηθισμένος χώρος είναι ο τρισδιάστατος χώρος V3 , η βάση του οποίου αποτελείται από τρεις μη ομοεπίπεδεςφορείς
Από εδώ βλέπουμε ότι ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης σε μια ευθεία, σε ένα επίπεδο, στον πραγματικό χώρο συμπίπτει με αυτό που στη γεωμετρία συνήθως ονομάζεται αριθμός διαστάσεων (διάσταση) μιας ευθείας, επιπέδου, χώρου. Επομένως, είναι φυσικό να εισαγάγουμε έναν γενικότερο ορισμό.
Ορισμός.Διάνυσμα χώρο Rπου ονομάζεται n– διαστάσεων εάν δεν υπάρχουν περισσότερες από nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και συμβολίζεται R n. Αριθμός nπου ονομάζεται διάστασηχώρος.
Ανάλογα με τη διάσταση του χώρου χωρίζονται σε πεπερασμένων διαστάσεωνΚαι άπειρων διαστάσεων. Η διάσταση του μηδενικού χώρου θεωρείται εξ ορισμού ίση με μηδέν.
Σημείωση 1.Σε κάθε διάστημα μπορείτε να καθορίσετε όσες βάσεις θέλετε, αλλά όλες οι βάσεις ενός δεδομένου χώρου αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.
Σημείωση 2.ΣΕ n– σε έναν διανυσματικό χώρο, μια βάση είναι κάθε διατεταγμένη συλλογή nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.
3. Διαστημικός προσανατολισμός.
Αφήστε τα διανύσματα βάσης στο διάστημα V3 έχω γενική αρχήΚαι διέταξε, δηλ. υποδεικνύεται ποιο διάνυσμα θεωρείται πρώτο, ποιο δεύτερο και ποιο τρίτο. Για παράδειγμα, στη βάση τα διανύσματα ταξινομούνται σύμφωνα με την ευρετηρίαση. |
|
Γι'αυτό για να προσανατολίσετε τον χώρο, είναι απαραίτητο να θέσετε κάποια βάση και να το δηλώσετε θετικό .
Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο όλων των βάσεων του χώρου εμπίπτει σε δύο τάξεις, δηλαδή σε δύο ασύνδετα υποσύνολα.
α) όλες οι βάσεις που ανήκουν σε ένα υποσύνολο (κλάση) έχουν το ίδιοπροσανατολισμός (βάσεις με το ίδιο όνομα).
β) οποιεσδήποτε δύο βάσεις που ανήκουν σε διάφοροςυποσύνολα (τάξεις), έχουν το αντίθετοπροσανατολισμός, ( διαφορετικά ονόματαβάσεις).
Αν η μία από τις δύο κατηγορίες βάσεων ενός διαστήματος δηλωθεί θετική και η άλλη αρνητική, τότε λέγεται ότι αυτός ο χώρος προσανατολισμένη .
Συχνά, κατά τον προσανατολισμό του χώρου, καλούνται ορισμένες βάσεις σωστά, και άλλοι - αριστερά .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> καλούνται σωστά, εάν, κατά την παρατήρηση από το τέλος του τρίτου διανύσματος, η συντομότερη περιστροφή του πρώτου διανύσματος https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > πραγματοποιείται αριστερόστροφα(Εικ. 1.8, α).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">
Ρύζι. 1.8. Δεξιά βάση (α) και αριστερή βάση (β)
Συνήθως η σωστή βάση του χώρου δηλώνεται ως θετική βάση
Η δεξιά (αριστερά) βάση του χώρου μπορεί επίσης να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της «δεξιάς» («αριστεράς») βίδας ή στεγανοποίησης.
Κατ' αναλογία με αυτό, εισάγεται η έννοια του δεξιού και του αριστερού τριάριαμη ομοεπίπεδα διανύσματα που πρέπει να ταξινομηθούν (Εικ. 1.8).
Έτσι, στη γενική περίπτωση, δύο διατεταγμένες τριάδες μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (το ίδιο όνομα) στο χώρο V3 αν είναι και οι δύο δεξιοί ή και οι δύο αριστεροί, και - ο αντίθετος προσανατολισμός (αντίθετα) εάν ο ένας από αυτούς είναι δεξιός και ο άλλος αριστερά.
Το ίδιο γίνεται και στην περίπτωση του χώρου V2 (επίπεδο).
4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά βάση.
Για απλότητα του συλλογισμού, ας εξετάσουμε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου R3 .
Ας είναι https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> ένα αυθαίρετο διάνυσμα αυτού του χώρου.
Αντιστοιχεί σε τέτοιο διανυσματικό χώρο. Σε αυτό το άρθρο, ο πρώτος ορισμός θα ληφθεί ως σημείο εκκίνησης.
N (\displaystyle n)-ο διαστατικός ευκλείδειος χώρος συνήθως συμβολίζεται E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); ο συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης συχνά όταν είναι σαφές από τα συμφραζόμενα ότι ο χώρος είναι εφοδιασμένος με μια φυσική ευκλείδεια δομή.
Επίσημος ορισμός
Για να ορίσουμε τον Ευκλείδειο χώρο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβουμε ως κύρια έννοια το βαθμωτό γινόμενο. Ένας ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ορίζεται ως ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, στα ζεύγη των διανυσμάτων του οποίου καθορίζεται μια συνάρτηση με πραγματική αξία (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)έχει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:
Παράδειγμα Ευκλείδειου χώρου - χώρος συντεταγμένων R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)που αποτελείται από όλα τα πιθανά σύνολα πραγματικών αριθμών (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\lddots ,x_(n)),)κλιμακωτό προϊόν στο οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\style display (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)
Μήκη και γωνίες
Το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται στον Ευκλείδειο χώρο είναι αρκετό για εισαγωγή γεωμετρικές έννοιεςμήκος και γωνία. Διάνυσμα μήκος u (\displaystyle u)οριζεται ως (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))και ορίζεται | u | . (\displaystyle |u|.)Η θετική οριστικότητα του βαθμωτού γινόμενου εγγυάται ότι το μήκος του μη μηδενικού διανύσματος είναι μη μηδενικό και από τη διγραμμικότητα προκύπτει ότι | a u | = | α | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)δηλαδή τα μήκη των αναλογικών διανυσμάτων είναι ανάλογα.
Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων u (\displaystyle u)Και v (\displaystyle v)καθορίζεται από τον τύπο φ = arccos ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)Από το θεώρημα συνημιτόνου προκύπτει ότι για έναν δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ( Ευκλείδειο επίπεδο) αυτόν τον ορισμόγωνία συμπίπτει με τη συνηθισμένη. Τα ορθογώνια διανύσματα, όπως στον τρισδιάστατο χώρο, μπορούν να οριστούν ως διανύσματα η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση με π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)
Η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz και η ανισότητα του τριγώνου
Υπάρχει ένα κενό στον ορισμό της γωνίας που δόθηκε παραπάνω: προκειμένου να arccos ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\δεξιά))έχει οριστεί, είναι απαραίτητο ότι η ανισότητα | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \αριστερά|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Αυτή η ανισότητα ισχύει σε έναν αυθαίρετο Ευκλείδειο χώρο και ονομάζεται ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Από αυτήν την ανισότητα, με τη σειρά της, ακολουθεί η τριγωνική ανισότητα: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Η ανισότητα του τριγώνου, μαζί με τις ιδιότητες μήκους που αναφέρονται παραπάνω, σημαίνει ότι το μήκος ενός διανύσματος είναι κανόνας στον ευκλείδειο διανυσματικό χώρο και η συνάρτηση d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ορίζει τη δομή ενός μετρικού χώρου στον Ευκλείδειο χώρο (αυτή η συνάρτηση ονομάζεται Ευκλείδεια μετρική). Ειδικότερα, η απόσταση μεταξύ των στοιχείων (σημείων) x (\displaystyle x)Και y (\displaystyle y) χώρο συντεταγμένων R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))δίνεται από τον τύπο d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)
Αλγεβρικές ιδιότητες
Ορθοκανονικές βάσεις
Συζευγμένοι χώροι και τελεστές
Οποιοδήποτε διάνυσμα x (\displaystyle x)Ο Ευκλείδειος χώρος ορίζει μια γραμμική συνάρτηση x ∗ (\displaystyle x^(*))σε αυτόν τον χώρο, που ορίζεται ως x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Αυτή η σύγκριση είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ του Ευκλείδειου χώρου και του διπλού του χώρου και επιτρέπει την αναγνώρισή τους χωρίς συμβιβασμούς στους υπολογισμούς. Ειδικότερα, οι συζευγμένοι τελεστές μπορούν να θεωρηθούν ότι δρουν στον αρχικό χώρο και όχι στον διπλό του, και οι αυτοσυνδεόμενοι τελεστές μπορούν να οριστούν ως τελεστές που συμπίπτουν με τους συζυγείς τους. Σε μια ορθοκανονική βάση, η μήτρα του πρόσθετου τελεστή μεταφέρεται στη μήτρα του αρχικού τελεστή και η μήτρα του αυτοσυνημμένου τελεστή είναι συμμετρική.
Κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου
Οι κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου είναι μετασχηματισμοί που διατηρούν τη μέτρηση (ονομάζονται επίσης ισομετρίες). Παράδειγμα κίνησης - παράλληλη μετάφραση σε διάνυσμα v (\displaystyle v), που μεταφράζει το σημείο p (\displaystyle p)ακριβώς p + v (\displaystyle p+v). Είναι εύκολο να δούμε ότι οποιαδήποτε κίνηση είναι μια σύνθεση παράλληλης μετάφρασης και μετασχηματισμού που κρατά σταθερό ένα σημείο. Επιλέγοντας ένα σταθερό σημείο ως αρχή συντεταγμένων, οποιαδήποτε τέτοια κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως
4.3.1 Ορισμός γραμμικού χώρου
Αφήνω ā
,
,
-
στοιχεία κάποιου συνόλου ā
,
,
Γη λ
,
μ
-
πραγματικούς αριθμούς, λ
,
μ
R..
Το σύνολο L ονομάζεταιγραμμικός ήδιανυσματικός χώρος, εάν ορίζονται δύο λειτουργίες:
1 0 . Πρόσθεση. Κάθε ζεύγος στοιχείων αυτού του συνόλου συνδέεται με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου, που ονομάζεται άθροισμά τους
ā
+
=
2°.Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό.
Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός λ
και στοιχείο ā
μεγάλοταιριάζει με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου λ
ā
μεγάλοκαι ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:
1. ā+
=
+
ā;
2. ā+(
+
)=(ā+
)+
;
3. υπάρχει μηδενικό στοιχείο
, τέτοιο που
ā
+
=ā
;
4. υπάρχει αντίθετο στοιχείο
-
τέτοια που ā
+(-ā
)=
.
Αν λ , μ - πραγματικοί αριθμοί, τότε:
5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;
6. 1ā= ā;
7.
λ(ā
+
)=
λ ā+λ
;
8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā
Στοιχεία γραμμικού χώρου à,
,
...
ονομάζονται διανύσματα.
Ασκηση.Δείξτε στον εαυτό σας ότι αυτά τα σύνολα σχηματίζουν γραμμικούς χώρους:
1) Ένα σύνολο γεωμετρικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο.
2) Πολλά γεωμετρικά διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο.
3) Ένα σύνολο πολυωνύμων κάποιου βαθμού.
4) Ένα σύνολο πινάκων ίδιας διάστασης.
4.3.2 Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα διανύσματα. Διάσταση και βάση του χώρου
Γραμμικός συνδυασμός
φορείς
ā
1
,
ā
2 ,
…, ā
n
μεγάλοονομάζεται διάνυσμα του ίδιου χώρου της μορφής:
,
Οπου λ είμαι πραγματικοί αριθμοί.
Διανύσματα ā 1 , .. , ā n λέγονταιγραμμικά ανεξάρτητο, αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν όλα τα λΕγώ είναι ίσα με μηδέν,αυτό είναι
λ
i =0 
Αν ο γραμμικός συνδυασμός είναι μηδενικό διάνυσμα και τουλάχιστον ένα από λ
Εγώείναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένα. Το τελευταίο σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων. Πράγματι, ακόμα κι αν, για παράδειγμα, 
. Επειτα, 
, Οπου 
.
Ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται βάση χώρος μεγάλο. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται διάσταση χώρος.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε καλείται ο χώρος n-διαστατικός. Άλλα διανύσματα χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμικός συνδυασμός nδιανύσματα βάσης. Ανά βάση n- μπορεί να ληφθεί διαστασιακός χώρος όποιος nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αυτού του χώρου.
Παράδειγμα 17.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση αυτών των γραμμικών χώρων:
α) ένα σύνολο διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια γραμμή (συγγραμμικά σε κάποια γραμμή)
β) ένα σύνολο διανυσμάτων που ανήκουν στο επίπεδο
γ) ένα σύνολο διανυσμάτων τρισδιάστατου χώρου
δ) ένα σύνολο πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο.
Λύση.
ΕΝΑ)Οποιαδήποτε δύο διανύσματα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή θα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς τα διανύσματα είναι συγγραμμικά 
, Οτι 
,
λ
- βαθμωτό μέγεθος. Κατά συνέπεια, η βάση ενός δεδομένου χώρου είναι μόνο ένα (οποιοδήποτε) διάνυσμα διαφορετικό από το μηδέν.
Συνήθως ο χώρος αυτός ορίζεται R, η διάστασή του είναι 1.
σι)οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα 
θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και οποιαδήποτε τρία διανύσματα στο επίπεδο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Για οποιοδήποτε διάνυσμα 
, υπάρχουν αριθμοί
Και
τέτοια που 
. Ο χώρος ονομάζεται δισδιάστατος, που συμβολίζεται με R 2 .
Η βάση ενός δισδιάστατου χώρου σχηματίζεται από οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα.
V)Οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου R 3 .
ΣΟΛ)Ως βάση για το χώρο των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο, μπορούμε να επιλέξουμε τα ακόλουθα τρία διανύσματα: ē 1 = Χ 2 ; ē 2 = Χ; ē 3 =1 .
(Το 1 είναι πολυώνυμο ίσο με ένα). Ο χώρος αυτός θα είναι τρισδιάστατος.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ § 1. Ορισμός γραμμικού χώρου
Γενικεύοντας την έννοια του διανύσματος, γνωστό από τη σχολική γεωμετρία, θα ορίσουμε αλγεβρικές δομές (γραμμικούς χώρους) στις οποίες είναι δυνατή η κατασκευή n-διάστατης γεωμετρίας, ειδική περίπτωση της οποίας θα είναι η αναλυτική γεωμετρία.
Ορισμός 1. Δίνεται ένα σύνολο L=(a,b,c,…) και ένα πεδίο P=( ,…). Έστω L ορίζεται αλγεβρική πράξηΗ πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των στοιχείων από το L με στοιχεία του πεδίου P ορίζεται:
Το σύνολο L ονομάζεται γραμμικό διάστημα πάνω από το πεδίο P, εάν πληρούνται οι ακόλουθες απαιτήσεις (αξιώματα γραμμικού χώρου):
1. L μεταθετική ομάδα ως προς την πρόσθεση.
2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;
3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;
4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;
5. a L ισχύει η ακόλουθη ισότητα: 1 a=a (όπου 1 είναι η μονάδα του πεδίου P).
Τα στοιχεία του γραμμικού χώρου L ονομάζονται διανύσματα (σημειώνουμε για άλλη μια φορά ότι θα συμβολίζονται με τα λατινικά γράμματα a, b, c,...), και τα στοιχεία του πεδίου P ονομάζονται αριθμοί (θα τα συμβολίσουμε με τα ελληνικά γράμματα α,
Παρατήρηση 1. Βλέπουμε ότι οι γνωστές ιδιότητες των «γεωμετρικών» διανυσμάτων λαμβάνονται ως αξιώματα του γραμμικού χώρου.
Παρατήρηση 2. Ορισμένα γνωστά εγχειρίδια άλγεβρας χρησιμοποιούν διαφορετικούς συμβολισμούς για αριθμούς και διανύσματα.
Βασικά παραδείγματα γραμμικών χώρων
1. R 1 είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων σε κάποια γραμμή.
ΣΕ σε αυτό που ακολουθεί θα ονομάσουμε τέτοια διανύσματαδιανύσματα τμημάτωνσε ευθεία γραμμή. Αν πάρουμε το R ως P, τότε προφανώς το R1 είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο R.
2. R 2 , R3 – διανύσματα τμημάτων στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι εύκολο να δούμε ότι τα R2 και R3 είναι γραμμικοί χώροι πάνω από το R.
3. Έστω P ένα αυθαίρετο πεδίο. Θεωρήστε το σύνολο P(ιδ) όλα τα διατεταγμένα σύνολα n στοιχείων του πεδίου P:
P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .
Το σύνολο a=(α1,α2,…,αn) θα ονομαστεί n-διάστατο διάνυσμα σειράς.Οι αριθμοί i θα ονομάζονται συστατικά στοιχεία
διάνυσμα α.
Για διανύσματα από P(n) , κατ' αναλογία με τη γεωμετρία, εισάγουμε φυσικά τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό, υποθέτοντας ότι οποιαδήποτε (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) και (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :
(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ), |
|
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R. |
Από τον ορισμό της προσθήκης διανυσμάτων σειρών είναι σαφές ότι εκτελείται κατά συνιστώσες. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι το P(n) είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P.
Το διάνυσμα 0=(0,…,0) είναι το μηδενικό διάνυσμα (a+0=a a P(n)), και το διάνυσμα -a=(-α1,-α2,…,-αn) είναι το αντίθετο του a (αφού .a+(-a)=0).
Γραμμικός χώρος ΠΤο (n) ονομάζεται ο ν-διάστατος χώρος των διανυσμάτων σειρών ή ν-διάστατος αριθμητικός χώρος.
Παρατήρηση 3. Μερικές φορές θα δηλώνουμε και με P(n) τον n-διάστατο αριθμητικό χώρο των διανυσμάτων στηλών, ο οποίος διαφέρει από το P(n) μόνο στον τρόπο εγγραφής των διανυσμάτων.
4. Θεωρήστε το σύνολο M n (P) όλων των πινάκων νης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P. Αυτός είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P, όπου ο μηδενικός πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά.
5. Θεωρήστε το σύνολο P[x] όλων των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές από το πεδίο P. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι το P[x] είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P. Ας το ονομάσουμεχώρος πολυωνύμων.
6. Έστω P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από n μαζί με
0. Είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P. P n [x] θα καλέσουμε χώρος πολυωνύμων βαθμού το πολύ n.
7. Ας συμβολίσουμε με Ф το σύνολο όλων των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής με το ίδιο πεδίο ορισμού. Τότε Ф είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το R.
ΣΕ Σε αυτόν τον χώρο μπορεί κανείς να βρει άλλους γραμμικούς χώρους, για παράδειγμα τον χώρο γραμμικές συναρτήσειςδιαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, συνεχείς λειτουργίεςκαι ούτω καθεξής.
8. Κάθε πεδίο είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από τον εαυτό του.
Μερικά συμπεράσματα από τα αξιώματα του γραμμικού χώρου
Συμπέρασμα 1. Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P. Το L περιέχει το μηδενικό στοιχείο 0 και ένα L (-a) L (αφού το L είναι μια ομάδα πρόσθεσης).
ΣΕ Στη συνέχεια, το μηδενικό στοιχείο του πεδίου P και ο γραμμικός χώρος L θα συμβολίζονται πανομοιότυπα με
0. Αυτό συνήθως δεν προκαλεί σύγχυση.
Συμπέρασμα 2. 0 a=0 a L (0 P στην αριστερή πλευρά, 0 L στη δεξιά πλευρά).
Απόδειξη. Ας θεωρήσουμε α a, όπου α είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το P. Έχουμε: α a=(α+0)a=α a+0 a, από όπου 0 a= α a +(-α a)=0.
Συμπέρασμα 3. α 0=0 α Π.
Απόδειξη. Θεωρήστε α a=α(a+0)=α a+α 0; άρα α 0=0. Συμπέρασμα 4. α a=0 εάν και μόνο εάν είτε α=0 είτε a=0.
Απόδειξη. Επάρκεια αποδεικνύεται στα συμπεράσματα 2 και 3.
Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα. Έστω α a=0 (2). Ας υποθέσουμε ότι α 0. Τότε, αφού α P, τότε υπάρχει α-1 P. Πολλαπλασιάζοντας το (2) με α-1, παίρνουμε:
α-1 (α α)=α-1 0. Κατά συνέπεια 2 α-1 0=0, δηλ. α-1 (α α)=0. (3)
Από την άλλη, χρησιμοποιώντας τα αξιώματα 2 και 5 του γραμμικού χώρου, έχουμε: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.
Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι a=0. Η έρευνα έχει αποδειχθεί.
Παρουσιάζουμε τις παρακάτω δηλώσεις χωρίς απόδειξη (η εγκυρότητά τους επαληθεύεται εύκολα).
Συμπέρασμα 5. (-α) a=-α a α P, a L. Συμπέρασμα 6. α (-a)=-α a α P, a L. Συμπέρασμα 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.
§ 2. Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων
Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και a1 ,a2 ,…ως (1) είναι κάποιο πεπερασμένο σύνολο διανυσμάτων από το L.
Το σύνολο a1 ,a2 ,…όπως θα ονομαστεί σύστημα διανυσμάτων.
Αν b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs ως , (αi P), τότε λένε ότι το διάνυσμα b εκφράζεται γραμμικάμέσω του συστήματος (1), ή είναι γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα του συστήματος (1).
Όπως και στην αναλυτική γεωμετρία, στον γραμμικό χώρο μπορεί κανείς να εισαγάγει τις έννοιες των γραμμικά εξαρτημένων και γραμμικά ανεξάρτητων συστημάτων διανυσμάτων. Ας το κάνουμε αυτό με δύο τρόπους.
Ορισμός I. Το πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων (1) για το s 2 ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο,αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματά του είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Διαφορετικά (δηλαδή όταν κανένα από τα διανύσματά του δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων), ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη.
Ορισμός II. Το πεπερασμένο σύστημα των διανυσμάτων (1) ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχει ένα σύνολο αριθμών α1 ,α2 ,…,αs , αi P, τουλάχιστον ένας από τους οποίους δεν είναι ίσος με 0 (ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται μη μηδενικό), τότε ισχύει η ισότητα: α1 a1 +…+ αs ως =0 (2).
Από τον Ορισμό ΙΙ μπορούμε να λάβουμε πολλά ισοδύναμους ορισμούςγραμμικά ανεξάρτητο σύστημα:
Ορισμός 2.
α) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, αν από το (2) προκύπτει ότι α1 =…=αs =0.
β) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, αν η ισότητα (2) ικανοποιείται μόνο για όλα τα αi =0 (i=1,…,s).
γ) σύστημα (1) γραμμικά ανεξάρτητη, εάν κάποιος μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων αυτού του συστήματος είναι διαφορετικός από το 0, δηλ. αν β1 , …,βs είναι οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο αριθμών, τότε β1 a1 +…βs ως 0.
Θεώρημα 1. Για s 2 ορισμούς γραμμική εξάρτησηΤο I και το II είναι ισοδύναμα.
Απόδειξη.
I) Έστω το (1) γραμμικά εξαρτώμενο από τον ορισμό I. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι ως =α1 a1 +…+αs-1 ως-1 . Ας προσθέσουμε το διάνυσμα (-ως) και στις δύο πλευρές αυτής της ισότητας. Παίρνουμε:
0= α1 a1 +…+αs-1 ως-1 +(-1) ως (3) (από το συμπέρασμα 5
(–ως ) =(-1) ως ). Στην ισότητα (3) ο συντελεστής (-1) είναι 0, και επομένως το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά και εξ ορισμού
II) Έστω το σύστημα (1) γραμμικά εξαρτώμενο από τον ορισμό II, δηλ. υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο α1 ,…,αs, που ικανοποιεί το (2). Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι α ως 0. Στο (2) προσθέτουμε (-α ως) και στις δύο πλευρές. Παίρνουμε:
α1 a1 +α2 a2 +…+αs ως - αs ως = -α ως , από όπου α1 a1 +…+αs-1 ως-1 = -αs ως . |
Επειδή αs 0, τότε υπάρχει αs -1 P. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (4) με (-αs -1 ) και ας χρησιμοποιήσουμε μερικά αξιώματα του γραμμικού χώρου. Παίρνουμε:
(-αs -1 ) (-αs ως )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), που ακολουθεί: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 ως-1 =ως.
Ας εισάγουμε τον συμβολισμό β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Στη συνέχεια, η ισότητα που προκύπτει παραπάνω θα ξαναγραφεί ως εξής:
ως = β1 a1 +…+ βs-1 ως-1 .
Από το s 2, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα ai στη δεξιά πλευρά. Βρήκαμε ότι το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά από τον ορισμό I.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Δυνάμει του Θεωρήματος 1, εάν είναι απαραίτητο, για το s 2 μπορούμε να εφαρμόσουμε οποιονδήποτε από τους παραπάνω ορισμούς της γραμμικής εξάρτησης.
Παρατήρηση 1. Εάν το σύστημα αποτελείται από ένα μόνο διάνυσμα a1, τότε μόνο ο ορισμός ισχύει για αυτό
Έστω a1 =0; τότε 1a1 =0. Επειδή 1 0, τότε το a1 =0 είναι ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.
Έστω a1 0; τότε α1 a1 ≠0, για οποιοδήποτε α1 0. Αυτό σημαίνει ότι το μη μηδενικό διάνυσμα a1 είναι γραμμικά ανεξάρτητο
Υπάρχει σημαντικές συνδέσειςμεταξύ της γραμμικής εξάρτησης ενός συστήματος διανυσμάτων και των υποσυστημάτων του.
Θεώρημα 2. Εάν κάποιο υποσύστημα (δηλαδή μέρος) ενός πεπερασμένου συστήματος διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, τότε ολόκληρο το σύστημα εξαρτάται γραμμικά.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος δεν είναι δύσκολο να γίνει μόνος σας. Μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο άλγεβρας ή αναλυτικής γεωμετρίας.
Συμπέρασμα 1. Όλα τα υποσυστήματα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Λήφθηκε από το Θεώρημα 2 με αντίφαση.
Παρατήρηση 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι τα γραμμικά εξαρτώμενα συστήματα μπορούν να έχουν υποσυστήματα τόσο γραμμικά
Συμπέρασμα 2. Εάν ένα σύστημα περιέχει 0 ή δύο αναλογικά (ίσα) διανύσματα, τότε είναι γραμμικά εξαρτώμενο (καθώς ένα υποσύστημα 0 ή δύο αναλογικών διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά).
§ 3. Μέγιστα γραμμικά ανεξάρτητα υποσυστήματα
Ορισμός 3. Έστω a1, a2,…,ak,…. Το (1) είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύστημα διανυσμάτων του γραμμικού χώρου L. Το πεπερασμένο υποσύστημά του ai1, ai2, …, αέρας (2) ονομάζεται βάση του συστήματος (1)ή μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημααυτό το σύστημα εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:
1) το υποσύστημα (2) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.
2) εάν οποιοδήποτε διάνυσμα αj του συστήματος (1) εκχωρηθεί στο υποσύστημα (2), τότε λαμβάνουμε μια γραμμικά εξαρτημένη
σύστημα ai1, ai2, …, αέρας, aj (3).
Παράδειγμα 1. Στο διάστημα Pn [x], θεωρήστε το σύστημα των πολυωνύμων 1,x1 , …, xn (4). Ας αποδείξουμε ότι η (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητη. Έστω α0, α1,…, αn αριθμοί από το P έτσι ώστε α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Τότε, με τον ορισμό της ισότητας των πολυωνύμων, α0 =α1 =…=αn =0. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα των πολυωνύμων (4) είναι γραμμικά ανεξάρτητο.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι το σύστημα (4) είναι η βάση του γραμμικού χώρου Pn [x].
Για κάθε f(x) Pn [x] έχουμε: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; Επομένως, το f(x) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων (4). τότε το σύστημα 1,x1 , …, xn ,f(x) εξαρτάται γραμμικά (εξ ορισμού I). Έτσι, το (4) είναι μια βάση του γραμμικού χώρου Pn [x].
Παράδειγμα 2. Στο Σχ. 1 a1, a3 και a2, a3 – βάσεις του συστήματος των διανυσμάτων a1,a2,a3.
Θεώρημα 3. Υποσύστημα (2) ai1 ,…, αέρας πεπερασμένου ή άπειρου συστήματος (1) a1 , a2 ,…,καθώς ,… είναι ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα (βάση) του συστήματος (1) εάν και μόνο εάν
α) (2) γραμμικά ανεξάρτητο. β) οποιοδήποτε διάνυσμα από το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2).
Αναγκαιότητα. Έστω (2) ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος (1). Τότε ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις από τον ορισμό 3:
1) (2) γραμμικά ανεξάρτητο.
2) Για οποιοδήποτε διάνυσμα α j από (1) το σύστημα ai1 ,…, ais ,aj (5) εξαρτάται γραμμικά. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι οι προτάσεις α) και β) είναι αληθείς.
Η συνθήκη α) συμπίπτει με 1). επομένως, α) είναι ικανοποιημένος.
Περαιτέρω, δυνάμει του 2) υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο α1 ,...,αr ,β P (6) τέτοιο ώστε α1 ai1 +…+αr αέρας +βaj =0 (7). Ας αποδείξουμε ότι β 0 (8). Ας υποθέσουμε ότι β=0 (9). Τότε από την (7) παίρνουμε: α1 ai1 +…+αr αέρα =0 (10). Από το γεγονός ότι το σύνολο (6) είναι μη μηδενικό και β=0 προκύπτει ότι το α1 ,...,αr είναι ένα μη μηδενικό σύνολο. Και μετά από το (10) προκύπτει ότι η (2) είναι γραμμικά εξαρτημένη, πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη α). Αυτό αποδεικνύει (8).
Προσθέτοντας το διάνυσμα (-βaj) και στις δύο πλευρές των ισοτήτων (7), παίρνουμε: -βaj = α1 ai1 +…+αr αέρα. Αφού β 0 λοιπόν
υπάρχει β-1 Ρ; πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )αέρας =aj . Ας εισαγάγουμε
σημειογραφία: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; Έτσι, πήραμε: 1 ai1 +…+ r αέρας =aj ; επομένως, έχει αποδειχθεί η πληρότητα της συνθήκης β).
Η ανάγκη έχει αποδειχθεί.
Επάρκεια. Έστω ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις α) και β) από το Θεώρημα 3. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις 1) και 2) από τον ορισμό 3.
Εφόσον η συνθήκη α) συμπίπτει με τη συνθήκη 1), τότε το 1) ικανοποιείται.
Ας αποδείξουμε ότι το 2) ισχύει. Με τη συνθήκη β), οποιοδήποτε διάνυσμα aj (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Συνεπώς, το (5) εξαρτάται γραμμικά (από τον ορισμό 1), δηλ. 2) εκπληρώνεται.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Σχόλιο. Δεν έχει κάθε γραμμικός χώρος μια βάση. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει βάση στο διάστημα P[x] (διαφορετικά, οι μοίρες όλων των πολυωνύμων στο P[x] θα ήταν, όπως προκύπτει από την παράγραφο β) του Θεωρήματος 3, συλλογικά οριοθετημένες).
§ 4. Το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση. Οι συνέπειές του
Ορισμός 4. Έστω δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων γραμμικού χώρου L:a1 ,a2 ,…,al (1) και
b1 ,b2 ,…,bs (2).
Αν κάθε διάνυσμα του συστήματος (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2), τότε θα λέμε ότι το σύστημα (1)
εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Παραδείγματα:
1. Οποιοδήποτε υποσύστημα ενός συστήματος 1 ,…,ai ,…,ak εκφράζεται γραμμικά σε ολόκληρο το σύστημα, επειδή
ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ακ .
2. Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων τμήματος από το R2 εκφράζεται γραμμικά μέσω ενός συστήματος που αποτελείται από δύο μη γραμμικά επίπεδα διανύσματα.
Ορισμός 5. Αν δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους, τότε ονομάζονται ισοδύναμα.
Σημείωση 1. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε δύο ισοδύναμα συστήματα μπορεί να είναι διαφορετικός, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα.
3. Κάθε σύστημα είναι ισοδύναμο με τη βάση του (αυτό προκύπτει από το Θεώρημα 3 και το Παράδειγμα 1).
4. Οποιαδήποτε δύο συστήματαΤα διανύσματα τμήματος από το R2, καθένα από τα οποία περιέχει δύο μη συγγραμμικά διανύσματα, είναι ισοδύναμα.
Το παρακάτω θεώρημα είναι μια από τις πιο σημαντικές προτάσεις στη θεωρία των γραμμικών χώρων. Βασικό θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση.Έστω σε ένα γραμμικό διάστημα L πάνω από ένα πεδίο P δίνονται δύο
διανυσματικά συστήματα:
a1 ,a2 ,…,al (1) και b1 ,b2 ,…,bs (2), και (1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γραμμικά εκφράζεται μέσω του (2). Τότε l s (3). Απόδειξη. Πρέπει να αποδείξουμε την ανισότητα (3). Ας υποθέσουμε το αντίθετο, έστω l>s (4).
Κατά συνθήκη, κάθε διάνυσμα ai από το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (2):
a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs
…………………... (5)
al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .
Ας κάνουμε την ακόλουθη εξίσωση: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), όπου xi είναι άγνωστοι που παίρνουν τιμές από το πεδίο P (i=1,…,s).
Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε μία από τις ισότητες (5), αντίστοιχα, με x1,x2,…,xl, αντικαταστήσουμε στην (6) και βάλουμε μαζί τους όρους που περιέχουν b1, μετά b2 και, τέλος, bs. Παίρνουμε:
x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1 |
+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0. |
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε μια μη μηδενική λύση |
εξίσωση (6). Για να γίνει αυτό, ας εξισώσουμε με μηδέν όλα |
συντελεστές για bi (i=1, 2,…,s) και συνθέστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: |
|
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0 |
|
α12 x1 +α22 x2 +…+αλ2 xl =0 |
|
……………………. |
|
α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.
(8) ομοιογενές σύστημα s εξισώσεων για αγνώστους x 1,…,xl. Είναι πάντα συνεργάσιμη.
ΣΕ λόγω της ανισότητας (4) σε αυτό το σύστημα ο αριθμός των αγνώστων περισσότερος αριθμόςεξισώσεις, και επομένως, όπως προκύπτει από τη μέθοδο Gauss, ανάγεται σε τραπεζοειδή μορφή. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν μη μηδενικά
λύσεις στο σύστημα (8). Ας συμβολίσουμε ένα από αυτά με x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).
Αντικαθιστώντας τους αριθμούς (9) στην αριστερή πλευρά του (7), παίρνουμε: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)
Άρα, η (9) είναι μια μη μηδενική λύση της εξίσωσης (6). Επομένως, το σύστημα (1) εξαρτάται γραμμικά και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Επομένως, η υπόθεση μας (4) είναι λανθασμένη και l s.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συμπεράσματα από το κύριο θεώρημα της γραμμικής εξάρτησης Συμπέρασμα 1. Δύο πεπερασμένα ισοδύναμα γραμμικά ανεξάρτητα διανυσματικά συστήματα αποτελούνται από
τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.
Απόδειξη. Έστω τα συστήματα των διανυσμάτων (1) και (2) ισοδύναμα και γραμμικά ανεξάρτητα. Για να το αποδείξουμε αυτό, εφαρμόζουμε το κύριο θεώρημα δύο φορές.
Επειδή Το σύστημα (2) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και γραμμικά εκφράζεται μέσω του (1), μετά από το κύριο θεώρημα l s (11).
Από την άλλη πλευρά, το (1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο και εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2) και από το κύριο θεώρημα s l (12).
Από τις (11) και (12) προκύπτει ότι s=l. Η δήλωση έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα 2. Αν σε κάποιο σύστημα διανυσμάτων a1 ,…,ως ,… (13) (πεπερασμένα ή άπειρα) υπάρχουν δύο βάσεις, τότε αυτές αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.
Απόδειξη. Έστω ai1 ,…,ail (14) και aj1 ,..ajk (15) οι βάσεις του συστήματος (13). Ας δείξουμε ότι είναι ισοδύναμα.
Σύμφωνα με το Θεώρημα 3, κάθε διάνυσμα του συστήματος (13) εκφράζεται γραμμικά μέσω της βάσης του (15), ειδικότερα, οποιοδήποτε διάνυσμα του συστήματος (14) εκφράζεται γραμμικά μέσω του συστήματος (15). Ομοίως, το σύστημα (15) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (14). Αυτό σημαίνει ότι τα συστήματα (14) και (15) είναι ισοδύναμα και από το συμπέρασμα 1 έχουμε: l=k.
Η δήλωση έχει αποδειχθεί.
Ορισμός 6. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε μια αυθαίρετη βάση ενός πεπερασμένου (άπειρου) συστήματος διανυσμάτων ονομάζεται κατάταξη αυτού του συστήματος (αν δεν υπάρχουν βάσεις, τότε η κατάταξη του συστήματος δεν υπάρχει).
Σύμφωνα με το συμπέρασμα 2, εάν το σύστημα (13) έχει τουλάχιστον μία βάση, η κατάταξή του είναι μοναδική.
Παρατήρηση 2. Εάν ένα σύστημα αποτελείται μόνο από μηδενικά διανύσματα, τότε υποθέτουμε ότι η κατάταξή του είναι 0. Χρησιμοποιώντας την έννοια της κατάταξης, μπορούμε να ενισχύσουμε το κύριο θεώρημα.
Συμπέρασμα 3. Δίνονται δύο πεπερασμένα συστήματα διανυσμάτων (1) και (2), και το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Τότε ο βαθμός του συστήματος (1) δεν υπερβαίνει τον βαθμό του συστήματος (2).
Απόδειξη . Ας υποδηλώσουμε την κατάταξη του συστήματος (1) με r1, την κατάταξη του συστήματος (2) με r2. Αν r1 =0, τότε η πρόταση είναι αληθής.
Έστω r1 0. Τότε r2 0, γιατί Το (1) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (2). Αυτό σημαίνει ότι τα συστήματα (1) και (2) έχουν βάσεις.
Έστω a1 ,…,ar1 (16) η βάση του συστήματος (1) και b1 ,…,br2 (17) η βάση του συστήματος (2). Είναι γραμμικά ανεξάρτητα από τον ορισμό της βάσης.
Επειδή Το (16) είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το κύριο θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί στο ζεύγος συστημάτων (16), (17). Με αυτό
θεώρημα r1 r2 . Η δήλωση έχει αποδειχθεί.
Συμπέρασμα 4. Δύο πεπερασμένα ισοδύναμα συστήματα διανυσμάτων έχουν τις ίδιες τάξεις. Για να αποδείξουμε αυτή τη δήλωση, πρέπει να εφαρμόσουμε το συμπέρασμα 3 δύο φορές.
Παρατήρηση 3. Σημειώστε ότι η κατάταξη ενός γραμμικά ανεξάρτητου συστήματος διανυσμάτων είναι ίση με τον αριθμό των διανυσμάτων του (αφού σε ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα η μόνη βάση του συμπίπτει με το ίδιο το σύστημα). Επομένως, το συμπέρασμα 1 είναι ειδική περίπτωσηΣυμπέρασμα 4. Αλλά χωρίς απόδειξη της συγκεκριμένης περίπτωσης, δεν θα μπορούσαμε να αποδείξουμε το συμπέρασμα 2, να εισαγάγουμε την έννοια της κατάταξης ενός συστήματος διανυσμάτων και να λάβουμε το συμπέρασμα 4.
§ 5. Πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι
Ορισμός 7. Ένας γραμμικός χώρος L πάνω από ένα πεδίο P ονομάζεται πεπερασμένος αν υπάρχει τουλάχιστον μία βάση στο L.
Βασικά παραδείγματα γραμμικών χώρων πεπερασμένων διαστάσεων:
1. Διανυσματικά τμήματα σε ευθεία γραμμή, επίπεδο και σε χώρο (γραμμικοί χώροι R1, R2, R3).
2. n-διάστατος αριθμητικός χώρος P(n) . Ας δείξουμε ότι στο P(n) υπάρχει η εξής βάση: e1 =(1,0,…,0)
e2 =(0,1,…,0) (1)
en =(0,0,…1).
Ας αποδείξουμε πρώτα ότι το (1) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας δημιουργήσουμε την εξίσωση x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).
Χρησιμοποιώντας τη μορφή των διανυσμάτων (1), ξαναγράφουμε την εξίσωση (2) ως εξής: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).
Από τον ορισμό της ισότητας των διανυσμάτων σειρών, προκύπτει:
x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Επομένως, το (1) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Ας αποδείξουμε ότι η (1) είναι μια βάση του χώρου P(n) χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3 στις βάσεις.
Για κάθε a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn έχουμε:
α=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .
Αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε διάνυσμα στον χώρο P(n) μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω του (1). Κατά συνέπεια, το (1) είναι μια βάση του χώρου P(n), και επομένως το P(n) είναι ένας πεπερασμένος-διάστατος γραμμικός χώρος.
3. Γραμμικός χώρος Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).
Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η βάση του χώρου Pn [x] είναι το σύστημα των πολυωνύμων 1,x,…,xn. Άρα Πν
[Χ] είναι ένας πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικός χώρος.
4. Γραμμικός χώρος Μ n(P). Μπορεί να επαληθευτεί ότι το σύνολο των πινάκων της μορφής Eij στους οποίους το μόνο μη μηδενικό στοιχείο 1 βρίσκεται στο διασταύρωση του ι-ουΟι γραμμές και η jη στήλη (i,j=1,…,n) αποτελούν τη βάση Mn (P).
Συμπεράσματα από το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση για πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικούς χώρους
Μαζί με τα συμπεράσματα του βασικού θεωρήματος γραμμικής εξάρτησης 1-4, πολλές άλλες σημαντικές δηλώσεις μπορούν να ληφθούν από αυτό το θεώρημα.
Συμπέρασμα 5. Οποιεσδήποτε δύο βάσεις ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.
Αυτή η πρόταση είναι μια ειδική περίπτωση του Συμπεράσματος 2 από το θεώρημα της κύριας γραμμικής εξάρτησης που εφαρμόζεται σε ολόκληρο τον γραμμικό χώρο.
Ορισμός 8. Ο αριθμός των διανυσμάτων σε μια αυθαίρετη βάση ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L ονομάζεται διάσταση αυτού του χώρου και συμβολίζεται με αμυδρό L.
Σύμφωνα με το συμπέρασμα 5, κάθε πεπερασμένος-διάστατος γραμμικός χώρος έχει μια μοναδική διάσταση. Ορισμός 9. Εάν ένας γραμμικός χώρος L έχει διάσταση n, τότε ονομάζεται n-διάστατος
γραμμικός χώρος. Παραδείγματα:
1. αμυδρό R1 =1;
2. dimR 2 =2;
3. dimP (n) =n, δηλ. Το P(n) είναι ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος, επειδή παραπάνω, στο παράδειγμα 2 φαίνεται ότι το (1) είναι η βάση
P(n);
4. dimP n [x]=(n+1), επειδή, όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί, το 1,x,x2 ,…,xn είναι μια βάση n+1 διανυσμάτων αυτού του χώρου.
5. dimM n (P)=n2, επειδή υπάρχουν ακριβώς n2 πίνακες της μορφής Eij που υποδεικνύονται στο παράδειγμα 4.
Συμπέρασμα 6. Σε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο L, οποιαδήποτε n+1 διανύσματα a1 ,a2 ,…,an+1 (3) συνιστούν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα.
Απόδειξη. Εξ ορισμού της διάστασης του χώρου σε L, υπάρχει βάση n διανυσμάτων: e1 ,e2 ,…,en (4). Ας εξετάσουμε ένα ζεύγος συστημάτων (3) και (4).
Ας υποθέσουμε ότι η (3) είναι γραμμικά ανεξάρτητη. Επειδή Το (4) είναι μια βάση του L, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου L μπορεί να εκφραστεί γραμμικά μέσω του (4) (από το Θεώρημα 3 από την §3). Συγκεκριμένα, το σύστημα (3) εκφράζεται γραμμικά μέσω του (4). Με την υπόθεση (3) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. τότε το κύριο θεώρημα για τη γραμμική εξάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί στο ζεύγος των συστημάτων (3) και (4). Παίρνουμε: n+1 n, το οποίο είναι αδύνατο. Η αντίφαση αποδεικνύει ότι η (3) εξαρτάται γραμμικά.
Η έρευνα έχει αποδειχθεί.
Παρατήρηση 1. Από το συμπέρασμα 6 και το θεώρημα 2 από την §2 προκύπτει ότι σε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο κάθε πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων που περιέχει περισσότερα από n διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.
Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει
Συμπέρασμα 7. Σε έναν γραμμικό χώρο n διαστάσεων, οποιοδήποτε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα περιέχει το πολύ n διανύσματα.
Παρατήρηση 2. Χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ορισμένοι γραμμικοί χώροι δεν είναι πεπερασμένων διαστάσεων.
Παράδειγμα. Ας εξετάσουμε τον χώρο των πολυωνύμων P[x] και ας αποδείξουμε ότι δεν είναι πεπερασμένων διαστάσεων. Ας υποθέσουμε ότι dim P[x]=m, m N. Θεωρούμε 1, x,…, xm – ένα σύνολο (m+1) διανυσμάτων από το P[x]. Αυτό το σύστημα διανυσμάτων, όπως σημειώθηκε παραπάνω, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι η διάσταση του P[x] είναι ίση με m.
Είναι εύκολο να ελεγχθεί (χρησιμοποιώντας P[x]) ότι οι πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι δεν είναι οι χώροι όλων των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, οι χώροι των συνεχών συναρτήσεων κ.λπ.
Συμπέρασμα 8. Οποιοδήποτε πεπερασμένο γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων a1 , a2 ,…,ak (5) ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L μπορεί να συμπληρωθεί στη βάση αυτού του χώρου.
Απόδειξη. Έστω n=dim L. Ας εξετάσουμε δύο πιθανές περιπτώσεις.
1. Αν k=n, τότε το a 1 , a2 ,…,ak είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα n διανυσμάτων. Σύμφωνα με το συμπέρασμα 7, για οποιοδήποτε b L το σύστημα a1 , a2 ,…,ak , b εξαρτάται γραμμικά, δηλ. (5) – βάση L.
2.
Έστω k n. Τότε το σύστημα (5) δεν είναι βάση του L, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα α k+1 L, ότι a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Αν (k+1) Με το συμπέρασμα 7, αυτή η διαδικασία τελειώνει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Λαμβάνουμε μια βάση a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an του γραμμικού χώρου L, που περιέχει (5). Η έρευνα έχει αποδειχθεί. Από το συμπέρασμα 8 προκύπτει Συμπέρασμα 9. Οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L περιέχεται σε κάποια βάση L (καθώς ένα τέτοιο διάνυσμα είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα). Έπεται ότι αν το P είναι άπειρο πεδίο, τότε σε έναν πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο πάνω από το πεδίο P υπάρχουν άπειρες βάσεις (αφού στο L υπάρχουν άπειρα διανύσματα της μορφής a, a 0, P\0). § 6. Ισομορφισμός γραμμικών χώρων Ορισμός 10. Δύο γραμμικοί χώροι L και L` σε ένα πεδίο P ονομάζονται ισόμορφοι εάν υπάρχει διχοτόμηση: L L` που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L, 2. (α)= (α) P, a L. Μια τέτοια χαρτογράφηση από μόνη της ονομάζεται ισομορφισμός ή ισομορφική χαρτογράφηση. Ιδιότητες ισομορφισμών. 1. Με τον ισομορφισμό, το μηδενικό διάνυσμα γίνεται μηδέν. Απόδειξη. Έστω ένα L και: L L` ισομορφισμός. Αφού a=a+0, τότε (a)= (a+0)= (a)+ (0). Επειδή (L)=L` τότε από την τελευταία ισότητα είναι σαφές ότι το (0) (το συμβολίζουμε με 0`) είναι το μηδενικό διάνυσμα από 2. Με τον ισομορφισμό, ένα γραμμικά εξαρτημένο σύστημα μετατρέπεται σε γραμμικά εξαρτημένο σύστημα. Απόδειξη. Έστω a1 , a2 ,…,ως (2) κάποιο γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα από το L. Τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο αριθμών 1 ,…, s (3) από το P, έτσι ώστε 1 a1 +…+ s ως =0. Ας υποβάλουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας σε μια ισομορφική χαρτογράφηση. Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του ισομορφισμού, παίρνουμε: 1 (a1 )+…+ s (ως )= (0)=0` (χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα 1). Επειδή Το σύνολο (3) είναι μη μηδενικό, τότε από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι (1),..., (s) είναι ένα γραμμικά εξαρτημένο σύστημα. 3. Αν: L L` είναι ισομορφισμός, τότε -1 : L` L είναι επίσης ισομορφισμός. Απόδειξη. Αφού είναι bijection, τότε υπάρχει bijection -1 : L` L. Πρέπει να αποδείξουμε ότι αν a`, Εφόσον πρόκειται για ισομορφισμό, τότε a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Αυτό υπονοεί: a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)). Από (5) και (6) έχουμε -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`). Ομοίως, ελέγχεται ότι -1 (a`)= -1 (a`). Άρα, το -1 είναι ισομορφισμός. Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί. 4. Με τον ισομορφισμό, ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα μετατρέπεται σε γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απόδειξη. Έστω: L L` είναι ισομορφισμός και a1, a2,…,ως (2) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα. Απαιτείται να αποδείξετε ότι τα (a1), (a2),…, (as) (7) είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητη. Ας υποθέσουμε ότι η (7) εξαρτάται γραμμικά. Στη συνέχεια, όταν εμφανίζει -1, μπαίνει στο σύστημα a1,...,ως. Με την ιδιότητα 3 -1 είναι ένας ισομορφισμός, και κατόπιν με την ιδιότητα 2, το σύστημα (2) θα είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Επομένως, η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη. Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί. 5. Με τον ισομορφισμό, η βάση οποιουδήποτε συστήματος διανυσμάτων πηγαίνει στη βάση του συστήματος των εικόνων του. Απόδειξη. Έστω a1 , a2 ,…,as ,… (8) ένα πεπερασμένο ή άπειρο σύστημα γραμμικών διανυσμάτων χώρος L, : L L` είναι ισομορφισμός. Έστω ότι το σύστημα (8) έχει βάση ai1 , …, αέρας (9). Ας δείξουμε ότι το σύστημα (a1),…, (ak),… (10) έχει βάση (ai1),…, (air) (11). Εφόσον η (9) είναι γραμμικά ανεξάρτητη, τότε από την ιδιότητα 4 το σύστημα (11) είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ας αντιστοιχίσουμε στο (11) οποιοδήποτε διάνυσμα από το (10). παίρνουμε: (ai1), …, (αέρας), (aj) (12). Θεωρήστε το σύστημα ai1 , …,air , aj (13). Εξαρτάται γραμμικά, αφού η (9) είναι η βάση του συστήματος (8). Όμως το (13) υπό ισομορφισμό μετατρέπεται σε (12). Εφόσον η (13) εξαρτάται γραμμικά, τότε από την ιδιότητα 2 το σύστημα (12) εξαρτάται επίσης γραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι το (11) είναι η βάση του συστήματος (10). Εφαρμόζοντας την ιδιότητα 5 σε ολόκληρο τον πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο L, λαμβάνουμε Δήλωση 1. Έστω L ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P, : L L` ισομορφισμός. Τότε το L` είναι επίσης πεπερασμένος-διάστατος χώρος και το dim L`= dim L = n. Ειδικότερα, ισχύει η πρόταση 2. Αν οι πεπερασμένες διαστάσεις γραμμικοί χώροι είναι ισόμορφοι, τότε οι διαστάσεις τους είναι ίσες. Σχόλιο. Στην §7 θα διαπιστωθεί και η εγκυρότητα του αντίστροφου αυτής της δήλωσης. § 7. Διανυσματικές συντεταγμένες Έστω L ένας πεπερασμένος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και e1 ,...,en (1) είναι κάποια βάση του L. Ορισμός 11. Έστω ένα L. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα a διαμπερής βάση (1), δηλ. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Καλείται η στήλη (1,…, n)t (3). στήλη συντεταγμένωνδιάνυσμα α στη βάση (1). Η στήλη συντεταγμένων του διανύσματος a στη βάση e συμβολίζεται επίσης με [a], [a]e ή [1,.., n]. Όπως και στην αναλυτική γεωμετρία, αποδεικνύεται η μοναδικότητα της διανυσματικής έκφρασης μέσω της βάσης, δηλ. τη μοναδικότητα της στήλης συντεταγμένων του διανύσματος σε μια δεδομένη βάση. Σημείωση 1. Σε ορισμένα σχολικά βιβλία, αντί για στήλες συντεταγμένων, λαμβάνονται υπόψη οι γραμμές συντεταγμένων (για παράδειγμα, στο βιβλίο). Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι που λαμβάνονται εκεί στη γλώσσα των στηλών συντεταγμένων φαίνονται διαφορετικοί. Θεώρημα 4. Έστω L ένας n-διάστατος γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και (1) κάποια βάση του L. Εξετάστε την αντιστοίχιση: a (1,..., n)t, που συνδέει οποιοδήποτε διάνυσμα a από το L με τη στήλη συντεταγμένων του στη βάση (1). Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός των χώρων L και P(n) (P(n) είναι ένας n-διάστατος αριθμητικός χώρος διανυσμάτων στηλών). Απόδειξη . Η αντιστοίχιση είναι μοναδική λόγω της μοναδικότητας των διανυσματικών συντεταγμένων. Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι είναι bijection και (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Αυτό σημαίνει ισομορφισμός. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Συμπέρασμα 1. Ένα σύστημα διανυσμάτων a1 ,a2 ,…,ως ενός πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικού χώρου L είναι γραμμικά εξαρτώμενο εάν και μόνο εάν το σύστημα που αποτελείται από τις στήλες συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων σε κάποια βάση του χώρου L εξαρτάται γραμμικά. Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από το Θεώρημα 1 και τις δεύτερες και τέταρτες ιδιότητες του ισομορφισμού. Παρατήρηση 2. Το συμπέρασμα 1 μας επιτρέπει να μελετήσουμε το ζήτημα της γραμμικής εξάρτησης συστημάτων διανυσμάτων σε σε έναν πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικό χώρο μπορεί να αναχθεί στην επίλυση της ίδιας ερώτησης για τις στήλες ενός συγκεκριμένου πίνακα. Θεώρημα 5 (κριτήριο ισομορφισμού πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικών χώρων). Δύο πεπερασμένων διαστάσεων γραμμικοί χώροι L και L` σε ένα πεδίο P είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση. Ανάγκη. Έστω L L` Δυνάμει της Πρότασης 2 από την §6, η διάσταση του L συμπίπτει με τη διάσταση του L1. Επάρκεια. Έστω dim L = dim L`= n. Τότε, με το Θεώρημα 4, έχουμε: L P(n) και L` P(n) . Από εδώ δεν είναι δύσκολο να ληφθεί ότι το L L`. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Σημείωση. Σε αυτό που ακολουθεί, συχνά θα υποδηλώνουμε έναν n-διάστατο γραμμικό χώρο με Ln. § 8. Πίνακας μετάβασης Ορισμός 12. Έστω στο γραμμικό διάστημα Ln δίνονται δύο βάσεις: e= (е1,...еn) και e`=(e1`,...,e`n) (παλιό και νέο). Ας επεκτείνουμε τα διανύσματα της βάσης e` στη βάση e: e`1 =t11 e1 +…+tn1 en ………………….. e`n =t1n e1 +…+tnn en . t11………t1n Τ= ……………… tn1………tnn που ονομάζεται μήτρα μετάβασηςαπό τη βάση ε στη βάση ε». Σημειώστε ότι είναι βολικό να γράψετε τις ισότητες (1) σε μορφή πίνακα ως εξής: e` = eT (2). Αυτή η ισότητα είναι ισοδύναμη με τον ορισμό του πίνακα μετάβασης. Παρατήρηση 1. Ας διατυπώσουμε έναν κανόνα για την κατασκευή ενός πίνακα μετάβασης: για την κατασκευή ενός πίνακα μετάβασης από τη βάση e στη βάση e», είναι απαραίτητο όλα τα διανύσματα ej» της νέας βάσης e» να βρουν τις στήλες συντεταγμένων τους στο παλιά βάση e και γράψτε τις ως τις αντίστοιχες στήλες του πίνακα T. Σημείωση 2. Στο βιβλίο, ο πίνακας μετάβασης συντάσσεται σειρά προς σειρά (από τις σειρές συντεταγμένων των διανυσμάτων της νέας βάσης στην παλιά). Θεώρημα 6. Ο πίνακας μετάβασης από τη μία βάση του n-διάστατου γραμμικού χώρου Ln πάνω από το πεδίο P στην άλλη βάση του είναι ένας μη εκφυλισμένος πίνακας νης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P. Απόδειξη. Έστω T ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e στη βάση e`. Οι στήλες του πίνακα T, εξ ορισμού 12, είναι οι στήλες συντεταγμένων των διανυσμάτων της βάσης e` στη βάση e. Εφόσον το e` είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα, τότε από το συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 4 οι στήλες του πίνακα T είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επομένως |T|≠0. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια. Θεώρημα 7. Οποιοσδήποτε μη εκφυλισμένος τετραγωνικός πίνακας nης τάξης με στοιχεία από το πεδίο P χρησιμεύει ως μεταβατικός πίνακας από μια βάση του n-διάστατου γραμμικού χώρου Ln πάνω από το πεδίο P σε κάποια άλλη βάση Ln. Απόδειξη . Έστω η βάση e = (e1, ..., en) του γραμμικού χώρου L και ενός μη ενικού τετραγώνου πίνακα Т= t11………t1n tn1………tnn nη τάξη με στοιχεία από το πεδίο P. Στον γραμμικό χώρο Ln, θεωρήστε ένα διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων e`=(e1 `,…,e`n), για το οποίο οι στήλες του πίνακα T είναι στήλες συντεταγμένων στη βάση e . Το σύστημα των διανυσμάτων e` αποτελείται από n διανύσματα και, δυνάμει του Συμπερασματικού 1 του Θεωρήματος 4, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού οι στήλες ενός μη ενικού πίνακα T είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, αυτό το σύστημα είναι η βάση του γραμμικού χώρου Ln, και λόγω της επιλογής των διανυσμάτων συστήματος e` ισχύει η ισότητα e`=eT. Αυτό σημαίνει ότι το T είναι ο πίνακας μετάβασης από τη βάση e στη βάση e`. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Σχέση μεταξύ των συντεταγμένων του διανύσματος a σε διαφορετικές βάσεις Έστω οι βάσεις e=(е1,...еn) και e`=(e1`,...,e`n) στον γραμμικό χώρο Ln με τον πίνακα μετάβασης T από τη βάση e στη βάση e` , δηλ. (2) είναι αλήθεια. Το διάνυσμα a έχει συντεταγμένες στις βάσεις e και e` [a]e =(1 ,…, n)T και [a]e` =(1 `,…, n `)T , δηλ. a=e[a]e και a=e`[a]e` . Στη συνέχεια, από τη μια πλευρά, a=e[a]e , και από την άλλη a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (χρησιμοποιήσαμε η ισότητα (2)). Από αυτές τις ισότητες παίρνουμε: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Ως εκ τούτου, λόγω της μοναδικότητας της επέκτασης του διανύσματος στη βάση Αυτό συνεπάγεται την ισότητα [a]e =Т[a]e` (3), ή n`. Οι σχέσεις (3) και (4) ονομάζονται τύποι μετασχηματισμού συντεταγμένωνόταν αλλάζει η βάση του γραμμικού χώρου. Εκφράζουν τις παλιές διανυσματικές συντεταγμένες ως προς τις νέες. Αυτοί οι τύποι μπορούν να επιλυθούν σε σχέση με τις νέες συντεταγμένες του διανύσματος πολλαπλασιάζοντας το (4) στα αριστερά με το T-1 (υπάρχει ένας τέτοιος πίνακας, αφού το T είναι ένας μη ενικός πίνακας). Τότε παίρνουμε: [a]e` =T-1 [a]e . Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του διανύσματος στην παλιά βάση e του γραμμικού χώρου Ln, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του στη νέα βάση, e`. § 9. Υποχώροι γραμμικού χώρου Ορισμός 13. Έστω L ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο P και H L. Εάν το H είναι επίσης ένας γραμμικός χώρος πάνω από το P ως προς τις ίδιες πράξεις με το L, τότε το H καλείται υποχώροςγραμμικός χώρος L. Δήλωση 1. Ένα υποσύνολο H ενός γραμμικού χώρου L πάνω από ένα πεδίο P είναι ένας υποχώρος του L εάν πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1. h1 +h2H για οποιοδήποτε h1, h2H; 2.
h H για οποιαδήποτε h H και P. Απόδειξη. Εάν οι συνθήκες 1 και 2 ικανοποιούνται στο H, τότε η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός με στοιχεία του πεδίου P καθορίζονται στο H. Η εγκυρότητα των περισσότερων αξιωμάτων γραμμικού χώρου για το H προκύπτει από την εγκυρότητά τους για το L. Ας ελέγξουμε μερικά από αυτά: α) 0 h=0 H (λόγω συνθήκης 2); β) h H έχουμε: (-h)=(-1)h H (λόγω συνθήκης 2). Η δήλωση έχει αποδειχθεί. 1.
Οι υποχώροι οποιουδήποτε γραμμικού χώρου L είναι 0 και L. 2. R 1 – υποχώρος του χώρου R2 διανυσμάτων τμήματος στο επίπεδο. 3.
Ο χώρος των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής έχει, ειδικότερα, τους ακόλουθους υποχώρους: α) γραμμικές συναρτήσεις της μορφής ax+b. β) συνεχείς συναρτήσεις. γ) διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις. Ένας παγκόσμιος τρόπος αναγνώρισης υποχώρων οποιουδήποτε γραμμικού χώρου συνδέεται με την έννοια του γραμμικού κύτους. Ορισμός 14. Έστω a1 ,…as (1) ένα αυθαίρετο πεπερασμένο σύστημα διανυσμάτων στον γραμμικό χώρο L. Ας καλέσουμε γραμμικό κέλυφοςαυτού του συνόλου συστήματος ( 1 a1 +…+ s ως | i P) = Θεώρημα 8. Το γραμμικό κύτος H οποιουδήποτε πεπερασμένου συστήματος διανυσμάτων (1) ενός γραμμικού χώρου L είναι ένας πεπερασμένος υποχώρος του γραμμικού χώρου L. Η βάση του συστήματος (1) είναι επίσης βάση του H, και η διάσταση του Η ισούται με τον βαθμό του συστήματος (1). Απόδειξη. Έστω H= Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Παρατήρηση 1. Εάν το H είναι ένας πεπερασμένος υποχώρος ενός γραμμικού χώρου L και το h1 ,...,hm είναι βάση του H, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι H=
. Αυτό σημαίνει ότι τα γραμμικά κελύφη είναι ένας καθολικός τρόπος για την κατασκευή πεπερασμένων διαστάσεων υποχώρων γραμμικών χώρων.
Ορισμός 15. Έστω Α και Β δύο υποχώροι ενός γραμμικού διαστήματος L πάνω από ένα πεδίο P. Ας ονομάσουμε το άθροισμά τους A+B το ακόλουθο σύνολο: A+B=(a+b| a A, b B).
Παράδειγμα. Το R2 είναι το άθροισμα των υποχώρων OX (διανύσματα άξονα OX) και OY. Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς το εξής
Δήλωση 2. Το άθροισμα και η τομή δύο υποχώρων ενός γραμμικού χώρου L είναι υποχώροι του L (αρκεί να ελέγξουμε την ικανοποίηση των συνθηκών 1 και 2 της Πράξης 1).
Εκθεση
Θεώρημα 9. Αν τα Α και Β είναι δύο πεπερασμένων διαστάσεων υποχώροι ενός γραμμικού χώρου L, τότε dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.
Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, στο.
Παρατήρηση 2. Έστω Α και Β δύο πεπερασμένων διαστάσεων υποχώροι ενός γραμμικού χώρου L. Για να βρούμε το άθροισμά τους Α+Β, είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό των Α και Β ως γραμμικά κύτη. Έστω A=
