Φροντίστε να διαβάσετε αυτήν την παράγραφο! Παραμετρικές εξισώσεις, φυσικά, όχι το άλφα και το ωμέγα της χωρικής γεωμετρίας, αλλά ένα μυρμήγκι εργάτη πολλών εργασιών. Επιπλέον, αυτός ο τύπος εξισώσεων χρησιμοποιείται συχνά απροσδόκητα, και, θα έλεγα, κομψά.
Εάν το σημείο που ανήκει σε μια ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας είναι γνωστά, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας δίνονται από το σύστημα:
Μίλησα για την ίδια την έννοια των παραμετρικών εξισώσεων στην τάξη Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδοΚαι Παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης.
Όλα είναι πιο απλά από τα γογγύλια στον ατμό, οπότε θα πρέπει να επιλύσετε το πρόβλημα:
Παράδειγμα 7
Λύση: Οι γραμμές δίνονται με κανονικές εξισώσεις και στο πρώτο στάδιο θα πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και στο διάνυσμα κατεύθυνσής της.
α) Από τις εξισώσεις αφαιρούμε το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης: . Μπορείτε να επιλέξετε ένα άλλο σημείο (πώς να το κάνετε αυτό περιγράφεται παραπάνω), αλλά είναι καλύτερο να πάρετε το πιο προφανές. Παρεμπιπτόντως, για να αποφύγετε λάθη, αντικαθιστάτε πάντα τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις.
Ας δημιουργήσουμε παραμετρικές εξισώσεις για αυτή τη γραμμή:
Η ευκολία των παραμετρικών εξισώσεων είναι ότι καθιστούν πολύ εύκολη την εύρεση άλλων σημείων σε μια γραμμή. Για παράδειγμα, ας βρούμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες, ας πούμε, αντιστοιχούν στην τιμή της παραμέτρου:
Ετσι:
β) Θεωρήστε τις κανονικές εξισώσεις. Η επιλογή ενός σημείου εδώ δεν είναι δύσκολη, αλλά προδοτική: (προσοχή μην μπερδέψετε τις συντεταγμένες!!!). Πώς να αφαιρέσετε το διάνυσμα οδηγού; Μπορείτε να υποθέσετε σε τι είναι παράλληλη αυτή η ευθεία ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια απλή τυπική τεχνική: η αναλογία περιέχει το "Y" και το "Z", οπότε γράφουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης και βάζουμε ένα μηδέν στο υπόλοιπο διάστημα: .
Ας συνθέσουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:
γ) Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις με τη μορφή , δηλαδή, το "zet" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Και αν υπάρχει, τότε ας, για παράδειγμα, . Έτσι, το σημείο ανήκει σε αυτή τη γραμμή. Για να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη τυπική τεχνική: στις αρχικές εξισώσεις υπάρχουν "x" και "y", και στο διάνυσμα κατεύθυνσης σε αυτά τα σημεία γράφουμε μηδενικά: . Στον υπόλοιπο χώρο βάζουμε μονάδα: . Αντί για ένα, οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν θα κάνει.
Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:
Για εκπαίδευση:
Παράδειγμα 8
Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις των παρακάτω ευθειών:
Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος. Οι απαντήσεις που λαμβάνετε μπορεί να διαφέρουν ελαφρώς από τις απαντήσεις μου, το θέμα είναι ότι Οι παραμετρικές εξισώσεις μπορούν να γραφτούν με περισσότερους από έναν τρόπους. Είναι σημαντικό τα διανύσματα κατεύθυνσης σας και το δικό μου να είναι συγγραμμικά και το σημείο σας να «ταιριάζει» στις εξισώσεις μου (καλά, ή το αντίστροφο, το σημείο μου ταιριάζει στις εξισώσεις σας).
Πώς αλλιώς μπορείτε να ορίσετε μια ευθεία γραμμή στο διάστημα; Θα ήθελα να καταλήξω σε κάτι με το κανονικό διάνυσμα. Ωστόσο, ο αριθμός δεν θα λειτουργήσει· τα κανονικά διανύσματα μιας χωρικής γραμμής μπορούν να φαίνονται σε εντελώς διαφορετικές κατευθύνσεις.
Μια άλλη μέθοδος αναφέρθηκε ήδη στο μάθημα. Επίπεδη εξίσωσηκαι στην αρχή αυτού του άρθρου.
Αφήνω μεγάλο- κάποια ευθεία γραμμή χώρου. Όπως και στην επιπεδομετρία, οποιοδήποτε διάνυσμα
ΕΝΑ =/= 0, συγγραμμική γραμμή μεγάλο, που ονομάζεται οδηγός διάνυσμααυτή η ευθεία γραμμή.
Η θέση της ευθείας στο χώρο καθορίζεται πλήρως καθορίζοντας το διάνυσμα κατεύθυνσης και το σημείο που ανήκει στη γραμμή.
Ας είναι ευθύ μεγάλομε οδηγό διάνυσμα ΕΝΑ διέρχεται από το σημείο M 0, και το M είναι ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο. Προφανώς, το σημείο Μ (Εικ. 197) ανήκει στη γραμμή μεγάλοεάν και μόνο εάν το διάνυσμα \(\overrightarrow(M_0 M)\) είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα ΕΝΑ , δηλ.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t ένα , t\(\σε\) R. (1)
Αν τα σημεία M και M 0 προσδιορίζονται από τα διανύσματα ακτίνας τους r Και r 0 (Εικ. 198) σε σχέση με κάποιο σημείο O στο διάστημα, τότε \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , και η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή
r = r 0 + t ένα , t\(\σε\) R. (2)
Οι εξισώσεις (1) και (2) λέγονται διανυσματικές-παραμετρικές εξισώσεις ευθείας γραμμής. Μεταβλητός tστις διανυσματικές-παραμετρικές εξισώσεις λέγεται η ευθεία παράμετρος.
Έστω το σημείο M 0 ευθεία γραμμή μεγάλοκαι το διάνυσμα κατεύθυνσης a δίνονται από τις συντεταγμένες τους:
M 0 ( Χ 0 ; στο 0 , z 0), ΕΝΑ = (ΕΝΑ 1 ; ΕΝΑ 2 ; ΕΝΑ 3).
Τότε αν ( Χ; y; z) - συντεταγμένες αυθαίρετου σημείου Μ ευθείας μεγάλο, Οτι
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; ε - υ 0 ; z - z 0)
Και διανυσματική εξίσωσηΤο (1) είναι ισοδύναμο με τις ακόλουθες τρεις εξισώσεις:
x - x 0 = τα 1 , ε - υ 0 = τα 2 , z - z 0 = τα 3
$$ \αρχή (περιπτώσεις) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end (περιπτώσεις) (3)$$
Οι εξισώσεις (3) λέγονται παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο διάστημα.
Εργασία 1.Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο
M 0 (-3; 2; 4) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης ΕΝΑ = (2; -5; 3).
Σε αυτήν την περίπτωση Χ 0 = -3, στο 0 = 2, z 0 = 4; ΕΝΑ 1 = 2; ΕΝΑ 2 = -5; ΕΝΑ 3 = 3. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε τύπους (3), λαμβάνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις αυτής της γραμμής
$$ \αρχή (περιπτώσεις) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end (περιπτώσεις) $$
Ας εξαιρέσουμε την παράμετρο tαπό τις εξισώσεις (3). Αυτό μπορεί να γίνει γιατί ΕΝΑ =/= 0, και επομένως μία από τις διανυσματικές συντεταγμένες ΕΝΑ είναι προφανώς διαφορετικό από το μηδέν.
Έστω πρώτα όλες οι συντεταγμένες διαφορετικές από το μηδέν. Επειτα
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
και ως εκ τούτου
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται κανονικές εξισώσεις της γραμμής .
Σημειώστε ότι οι εξισώσεις (4) σχηματίζουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις μεταβλητές x, yΚαι z.
Αν στις εξισώσεις (3) μία από τις διανυσματικές συντεταγμένες ΕΝΑ , Για παράδειγμα ΕΝΑΤο 1 ισούται με μηδέν, τότε εξαλείφοντας την παράμετρο t, παίρνουμε πάλι ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρεις μεταβλητές x, yΚαι z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται επίσης κανονικές εξισώσεις γραμμής. Για ομοιομορφία, γράφονται επίσης συμβατικά με τη μορφή (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
υποθέτοντας ότι αν ο παρονομαστής είναι μηδέν, τότε και ο αντίστοιχος αριθμητής είναι επίσης μηδέν. Αυτές οι εξισώσεις είναι οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 0 ( Χ 0 ; στο 0 , z 0) παράλληλη επίπεδο συντεταγμένων yOz, αφού το διάνυσμα κατεύθυνσής του (0; ΕΝΑ 2 ; ΕΝΑ 3).
Τέλος, αν στις εξισώσεις (3) υπάρχουν δύο διανυσματικές συντεταγμένες ΕΝΑ , Για παράδειγμα ΕΝΑ 1 και ΕΝΑΤο 2 είναι ίσο με μηδέν, τότε αυτές οι εξισώσεις παίρνουν τη μορφή
Χ = Χ 0 , y = στο 0 , z = z 0 + t ένα 3 , t\(\σε\) R.
Αυτές είναι οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 0 ( Χ 0 ; στο 0 ; z 0) παράλληλα με τον άξονα Οζ. Για μια τόσο ευθεία γραμμή Χ = Χ 0 , y = στο 0 , α z- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Και σε αυτή την περίπτωση, για ομοιομορφία, η εξίσωση της ευθείας μπορεί να γραφτεί (με την ίδια επιφύλαξη) με τη μορφή (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Έτσι, για οποιαδήποτε γραμμή στο διάστημα μπορεί κανείς να γράψει κανονικές εξισώσεις (4) και, αντιστρόφως, οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής (4) υπό τον όρο ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , ΕΝΑΤο 3 δεν είναι ίσο με μηδέν, ορίζει κάποια ευθεία γραμμή στο διάστημα.
Εργασία 2.Γράψτε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 0 (- 1; 1, 7) παράλληλο στο διάνυσμα ΕΝΑ = (1; 2; 3).
Οι εξισώσεις (4) σε αυτή την περίπτωση γράφονται ως εξής:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
Ας εξαγάγουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία M 1 ( Χ 1 ; στο 1 ; z 1) και
M2( Χ 2 ; στο 2 ; z 2). Προφανώς, μπορούμε να πάρουμε το διάνυσμα ένα = (Χ 2 - Χ 1 ; στο 2 - στο 1 ; z 2 - z 1), και πέρα από το σημείο M 0 από το οποίο διέρχεται μια ευθεία γραμμή, για παράδειγμα, το σημείο M 1. Τότε οι εξισώσεις (4) θα γραφούν ως εξής:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
Αυτές είναι οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία M 1 ( Χ 1 ; στο 1 ; z 1) και
M2( Χ 2 ; στο 2 ;z 2).
Εργασία 3.Γράψτε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 (-4; 1; -3) και M 2 (-5; 0; 3).
Σε αυτήν την περίπτωση Χ 1 = -4, στο 1 = 1, z 1 = -3, Χ 2 = -5, στο 2 = 0, z 2 = 3. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε τύπους (5), λαμβάνουμε
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
Εργασία 4.Γράψτε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 (3; -2; 1) και
Μ2 (5; -2; 1/2).
Αφού αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Μ 1 και Μ 2 στις εξισώσεις (5), παίρνουμε
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
Εξίσωση καθενός από τα κλάσματα με μια συγκεκριμένη παράμετρο στις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής t:
Λαμβάνουμε εξισώσεις που εκφράζουν τις τρέχουσες συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας μέσω της παραμέτρου t.
Έτσι, οι παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής έχουν τη μορφή:
Εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Έστω δύο σημεία M 1 (x 1 , y 1 , z 1)και Μ 2 (x 2 , y 2 , z 2). Οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία λαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο όπως μια παρόμοια εξίσωση σε ένα επίπεδο. Επομένως, παρουσιάζουμε αμέσως τη μορφή αυτής της εξίσωσης.
Μια ευθεία γραμμή στη διασταύρωση δύο επιπέδων. Γενική εξίσωσηευθεία στο διάστημα.
Αν θεωρήσουμε δύο μη παράλληλα επίπεδα, τότε η τομή τους θα είναι ευθεία.
Αν κανονικά διανύσματα 
Και 
μη γραμμικό.
Παρακάτω, όταν εξετάζουμε παραδείγματα, θα δείξουμε έναν τρόπο μετατροπής τέτοιων γραμμικών εξισώσεων σε κανονικές εξισώσεις.
5.4 Γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών.
Μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα θα ονομάζεται οποιαδήποτε από τις γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.
Έστω δύο ευθείες που ορίζονται από τις κανονικές τους εξισώσεις.
Ας πάρουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ως τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών.
ΚΑΙ 
Η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών μειώνεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και, δηλαδή, στην ισότητα του βαθμωτού γινόμενου στο μηδέν: ή σε μορφή συντεταγμένων: .
Η συνθήκη παραλληλισμού δύο ευθειών ανάγεται στην συνθήκη παραλληλισμού των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και
5.5 Αμοιβαία τακτοποίησηευθεία και επίπεδη.
Έστω οι εξισώσεις μιας ευθείας:
και αεροπλάνα. Η γωνία μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου θα ονομάζεται οποιαδήποτε από τις δύο παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από μια ευθεία γραμμή και την προβολή της στο επίπεδο (Εικόνα 5.5).
Εικ. 5.5
Αν η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας και το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο είναι συγγραμμικά. Έτσι, η συνθήκη της καθετότητας μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου ανάγεται στην συνθήκη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων
Εάν μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο είναι παράλληλα, τα παραπάνω διανύσματά τους είναι αμοιβαία κάθετα. Επομένως, η συνθήκη παραλληλισμού μιας ευθείας και ενός επιπέδου ανάγεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων. εκείνοι. το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν ή σε μορφή συντεταγμένων: .
Ακολουθούν παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με το θέμα του Κεφαλαίου 5.
Παράδειγμα 1:
Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α (1,2,4) κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση:
Λύση:
Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται δεδομένο σημείοκάθετη σε ένα δεδομένο διάνυσμα.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Ως σημείο λαμβάνουμε το σημείο Α (1,2,4), από το οποίο διέρχεται το επίπεδο σύμφωνα με την συνθήκη.
Γνωρίζοντας τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας, γνωρίζουμε το διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία.
Λόγω του γεγονότος ότι, κατά συνθήκη, η ευθεία είναι κάθετη στο επιθυμητό επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης μπορεί να ληφθεί ως το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.
Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
Παράδειγμα 2:
Βρείτε στο αεροπλάνο 4х-7у+5z-20=0ένα τέτοιο σημείο P για το οποίο το OR κάνει ίσες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων.
Λύση:
Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο. (Εικ. 5.6)
 |
στο
Εικόνα 5.6
Το κενό σημείο P έχει συντεταγμένες . Δεδομένου ότι το διάνυσμα κάνει ίσες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων, τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος είναι ίσα μεταξύ τους
Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:
τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος μπορούν εύκολα να βρεθούν.
Από την ισότητα των συνημιτόνων κατεύθυνσης προκύπτει η ισότητα:
x p =y p =z p
Εφόσον το σημείο P βρίσκεται στο επίπεδο, τότε η αντικατάσταση των συντεταγμένων αυτού του σημείου στην εξίσωση του επιπέδου το μετατρέπει σε ταυτότητα.
4x р -7х р +5х р -20=0
2x p =20
x p = 10
Αντίστοιχα: y r=10; z r=10.
Έτσι, το επιθυμητό σημείο P έχει συντεταγμένες P(10;10;10)
Παράδειγμα 3:
Δίνονται δύο σημεία Α (2,-1,-2) και Β (8,-7,5). Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Β, κάθετο στο τμήμα ΑΒ.
Λύση:
Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Ως σημείο χρησιμοποιούμε το σημείο Β (8,-7,5) και ως διάνυσμα το διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο. Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:
τότε παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6х-48-6у-42+7ζ-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
Παράδειγμα 4:
Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου παράλληλου προς τον άξονα ΟΥ και που διέρχεται από τα σημεία Κ(1,-5,1) και Μ(3,2,-2).
Λύση:
Εφόσον το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα OY, θα χρησιμοποιήσουμε την ημιτελή εξίσωση του επιπέδου.
Ax+Cz+D=0
Λόγω του γεγονότος ότι τα σημεία Κ και Μ βρίσκονται στο επίπεδο, λαμβάνουμε δύο συνθήκες.
Ας εκφράσουμε τους συντελεστές A και C από αυτές τις συνθήκες ως D.
Ας αντικαταστήσουμε τους συντελεστές που βρέθηκαν ημιτελής εξίσωσηεπίπεδο:
αφού , τότε μειώνουμε το D:
Παράδειγμα 5:
Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)
Λύση:
Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από 3 δεδομένα σημεία.
αντικατάσταση συντεταγμένων σημεία M,K,Rως πρώτο, δεύτερο και τρίτο παίρνουμε:
Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα στην 1η γραμμή.
Παράδειγμα 6:
Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) και κάθετο στο επίπεδο 3х+5у-7z-21=0
Λύση:
Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.7)
Εικόνα 5.7
Ας συμβολίσουμε το δεδομένο επίπεδο P 2 και το επιθυμητό επίπεδο P 2. . Από την εξ. δεδομένο αεροπλάνο P 1 προσδιορίζουμε την προβολή του διανύσματος κάθετα στο επίπεδο P 1.
Το διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί στο επίπεδο P2 με παράλληλη μεταφορά, αφού σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το επίπεδο P2 είναι κάθετο στο επίπεδο P1, που σημαίνει ότι το διάνυσμα είναι παράλληλο στο επίπεδο P2.
Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο P2:
τώρα έχουμε δύο διανύσματα και βρίσκονται στο επίπεδο P 2. προφανώς φορέας 
, ίσο με το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων και θα είναι κάθετο στο επίπεδο P 2, αφού είναι κάθετο και, επομένως, το κανονικό του διάνυσμα στο επίπεδο P 2.
Τα διανύσματα και ορίζονται από τις προβολές τους επομένως:
Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στο διάνυσμα. Ως σημείο, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε από τα σημεία M 1 ή M 2, για παράδειγμα M 1 (8,-3,1). Λαμβάνουμε ως κανονικό διάνυσμα το επίπεδο P2.
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
Παράδειγμα 7:
Μια ευθεία γραμμή ορίζεται από την τομή δύο επιπέδων. Βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας.
 |
Λύση:
Έχουμε την εξίσωση με τη μορφή:
Πρέπει να βρούμε το σημείο ( x 0, y 0, z 0), από την οποία διέρχεται η ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης.
Ας επιλέξουμε μια από τις συντεταγμένες αυθαίρετα. Για παράδειγμα, z=1, τότε παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:
Έτσι, βρήκαμε ένα σημείο που βρίσκεται στην επιθυμητή γραμμή (2,0,1).
Ως διάνυσμα κατεύθυνσης της επιθυμητής ευθείας παίρνουμε διανυσματικά έργα τέχνηςδιανύσματα και , τα οποία είναι κανονικά διανύσματα επειδή 
, και επομένως παράλληλη με την επιθυμητή γραμμή.
Έτσι, το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής έχει προβολές. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα:
Αυτό που ψάχνεις λοιπόν κανονική εξίσωσηέχει τη μορφή:
Παράδειγμα 8:
Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής μιας ευθείας και ενός επιπέδου 2x+3y+3z-8=0
Λύση:
Ας γράψουμε τη δεδομένη εξίσωση της ευθείας σε παραμετρική μορφή.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
κάθε σημείο της γραμμής αντιστοιχεί σε μία τιμή παραμέτρου t. Για να βρείτε την παράμετρο tπου αντιστοιχεί στο σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου, αντικαθιστούμε την έκφραση στην εξίσωση του επιπέδου x, y, zμέσω παραμέτρου t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
τότε οι συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου
το επιθυμητό σημείο τομής έχει συντεταγμένες (1;1;1).
Παράδειγμα 9:
Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από παράλληλες ευθείες.
Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.9)
 |
Εικ. 5.9
Από δεδομένες εξισώσειςευθείες και προσδιορίστε τις προβολές των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των ευθειών. Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο P και πάρουμε τα σημεία από τις κανονικές εξισώσεις των ευθειών M 1 (1,-1,2) και M 2 (0,1,-2).
Η ευθεία και το σημείο είναι σημαντικά στοιχείαγεωμετρία, με τη βοήθεια της οποίας κατασκευάζονται πολλές μορφές στο χώρο και στο επίπεδο. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς την παραμετρική καθώς και τη σχέση της με άλλους τύπους εξισώσεων για αυτό το γεωμετρικό στοιχείο.
Ευθεία γραμμή και εξισώσεις για την περιγραφή του
Μια ευθεία γραμμή στη γεωμετρία είναι μια συλλογή σημείων που συνδέουν αυθαίρετα δύο σημεία στο χώρο με ένα τμήμα του μικρότερου μήκους. Αυτό το τμήμα είναι μέρος μιας ευθείας γραμμής. Οποιεσδήποτε άλλες καμπύλες που συνδέουν δύο σταθερά σημεία στο διάστημα θα είναι μεγαλύτερες και επομένως όχι ευθείες.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει δύο μαύρες κουκκίδες. Η μπλε γραμμή που τα συνδέει είναι ευθεία και η κόκκινη γραμμή είναι καμπύλη. Είναι προφανές ότι το μήκος της κόκκινης γραμμής ανάμεσα στις μαύρες κουκκίδες είναι μεγαλύτερο από το μπλε.
Υπάρχουν διάφοροι τύποι γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια γραμμή σε τρισδιάστατο χώρο ή σε δισδιάστατο χώρο. Παρακάτω είναι τα ονόματα αυτών των εξισώσεων:
- διάνυσμα;
- παραμετρική?
- σε τμήματα?
- συμμετρική ή κανονική?
- γενικού τύπου.
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε την παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά θα την εξαγάγουμε από μια διανυσματική. Θα δείξουμε επίσης τη σύνδεση μεταξύ των παραμετρικών και συμμετρικών ή κανονικών εξισώσεων.
διανυσματική εξίσωση
Είναι σαφές ότι όλοι οι συγκεκριμένοι τύποι εξισώσεων για το υπό εξέταση γεωμετρικό στοιχείο είναι αλληλένδετοι. Ωστόσο, η διανυσματική εξίσωση είναι βασική για όλα αυτά, αφού προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της ευθείας γραμμής. Ας εξετάσουμε πώς εισάγεται στη γεωμετρία.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα σημείο στο διάστημα P(x 0 ; y 0 ; z 0). Είναι γνωστό ότι αυτό το σημείο ανήκει στη γραμμή. Πόσες γραμμές μπορούν να περάσουν μέσα από αυτό; Άπειρο πλήθος. Επομένως, για να σχεδιάσετε μια ενιαία ευθεία γραμμή, είναι απαραίτητο να καθορίσετε την κατεύθυνση της τελευταίας. Η κατεύθυνση, όπως είναι γνωστό, καθορίζεται από το διάνυσμα. Ας το συμβολίσουμε v¯(a; b; c), όπου τα σύμβολα στις αγκύλες είναι οι συντεταγμένες του. Για κάθε σημείο Q(x; y; z), που βρίσκεται στην υπό εξέταση ευθεία, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c)
Εδώ το σύμβολο α είναι μια παράμετρος που λαμβάνει απολύτως οποιαδήποτε πραγματική τιμή (ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό μπορεί να αλλάξει μόνο το μέγεθος ή την κατεύθυνσή του προς το αντίθετο). Αυτή η ισότητα ονομάζεται διανυσματική εξίσωση για μια γραμμή στον τρισδιάστατο χώρο. Αλλάζοντας την παράμετρο α, παίρνουμε όλα τα σημεία (x; y; z) που σχηματίζουν αυτή τη γραμμή.
Το διάνυσμα v¯(a; b; c) στην εξίσωση ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα. Η ευθεία δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση και το μήκος της είναι άπειρο. Αυτά τα γεγονότα σημαίνουν ότι οποιοδήποτε διάνυσμα λαμβάνεται από v¯ πολλαπλασιάζοντας με πραγματικός αριθμός, θα είναι επίσης οδηγός για την ευθεία.
Όσο για το σημείο P(x 0 ; y 0 ; z 0), τότε αντί για αυτό στην εξίσωση μπορείτε να αντικαταστήσετε ένα αυθαίρετο σημείο που βρίσκεται στην ευθεία και το τελευταίο δεν θα αλλάξει.
Το παραπάνω σχήμα δείχνει μια ευθεία γραμμή (μπλε γραμμή), η οποία ορίζεται στο χώρο μέσω ενός διανύσματος κατεύθυνσης (κόκκινο κατευθυνόμενο τμήμα).
Δεν είναι δύσκολο να επιτευχθεί παρόμοια ισότητα για τη δισδιάστατη περίπτωση. Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική καταλήγουμε στην έκφραση:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)
Βλέπουμε ότι είναι εντελώς το ίδιο με το προηγούμενο, χρησιμοποιούνται μόνο δύο συντεταγμένες αντί για τρεις για τον καθορισμό σημείων και διανυσμάτων.
Παραμετρική εξίσωση
Αρχικά, λαμβάνουμε μια παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο. Παραπάνω, όταν γράφτηκε η διανυσματική ισότητα, αναφέραμε ήδη την παράμετρο που υπάρχει σε αυτήν. Για να λάβουμε μια παραμετρική εξίσωση, αρκεί να επεκτείνουμε τη διανυσματική. Παίρνουμε:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × γ
Το σύνολο αυτών των τριών γραμμικών ισοτήτων, καθεμία από τις οποίες έχει μία μεταβλητή συντεταγμένη και παράμετρο α, ονομάζεται συνήθως παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο. Στην πραγματικότητα, δεν κάναμε κάτι νέο, αλλά απλώς καταγράψαμε ρητά τη σημασία της αντίστοιχης διανυσματικής έκφρασης. Ας σημειώσουμε μόνο ένα σημείο: ο αριθμός α, αν και αυθαίρετος, είναι ίδιος και για τις τρεις ισότητες. Για παράδειγμα, εάν α = -1,5 για την 1η ισότητα, τότε η ίδια τιμή θα πρέπει να αντικατασταθεί στη δεύτερη και τρίτη ισότητα κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του σημείου.
Η παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο είναι παρόμοια με αυτή για τη χωρική περίπτωση. Γράφεται ως:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × β
Έτσι, για να συνθέσει κανείς μια παραμετρική εξίσωση μιας γραμμής, πρέπει να γράψει ρητά τη διανυσματική εξίσωση για αυτήν.
Λήψη της κανονικής εξίσωσης
Όπως σημειώθηκε παραπάνω, όλες οι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία στο διάστημα και σε ένα επίπεδο λαμβάνονται η μία από την άλλη. Θα δείξουμε πώς να αποκτήσετε μια κανονική ευθεία γραμμή από μια παραμετρική εξίσωση. Για τη χωρική περίπτωση έχουμε:
x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × γ
Ας εκφράσουμε την παράμετρο σε κάθε ισότητα:
α = (x - x 0) / a;
α = (y - y 0) / b;
α = (z - z 0) / γ
Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές είναι ίδιες, τότε οι δεξιές πλευρές των ισοτήτων είναι επίσης ίσες μεταξύ τους:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c
Αυτή είναι η κανονική εξίσωση για μια γραμμή στο διάστημα. Η τιμή του παρονομαστή σε κάθε έκφραση είναι η αντίστοιχη συντεταγμένη Οι τιμές στον αριθμητή που αφαιρούνται από κάθε μεταβλητή είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου σε αυτήν τη γραμμή.
Η αντίστοιχη εξίσωση για την περίπτωση σε ένα επίπεδο έχει τη μορφή:
(x - x 0) / a = (y - y 0) / β
Εξίσωση ευθείας σε 2 σημεία
Είναι γνωστό ότι δύο σταθερά σημεία τόσο στο επίπεδο όσο και στο διάστημα ορίζουν μοναδικά μια ευθεία γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι δίνονται τα ακόλουθα δύο σημεία στο επίπεδο:
Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας γραμμής μέσα από αυτά; Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε το διάνυσμα κατεύθυνσης. Οι συντεταγμένες του έχουν τις ακόλουθες τιμές:
PQ¯ (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1)
Τώρα μπορείτε να γράψετε την εξίσωση σε οποιαδήποτε από τις τρεις μορφές που συζητήθηκαν στις παραπάνω παραγράφους. Για παράδειγμα, η παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής έχει τη μορφή:
x = x 1 + α × (x 2 - x 1);
y = y 1 + α × (y 2 - y 1)
Σε κανονική μορφή μπορείτε να το ξαναγράψετε ως εξής:
(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)
Μπορεί να φανεί ότι η κανονική εξίσωση περιλαμβάνει τις συντεταγμένες και των δύο σημείων και αυτά τα σημεία μπορούν να αλλάξουν στον αριθμητή. Έτσι, η τελευταία εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)
Όλες οι γραπτές εκφράσεις ονομάζονται εξισώσεις ευθείας γραμμής 2 σημείων.
Πρόβλημα τριών σημείων
Δίνονται οι συντεταγμένες των ακόλουθων τριών σημείων:
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή όχι.
Αυτό το πρόβλημα πρέπει να λυθεί με αυτόν τον τρόπο: πρώτα, δημιουργήστε μια εξίσωση ευθείας γραμμής για οποιαδήποτε δύο σημεία και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του τρίτου σε αυτήν και ελέγξτε αν ικανοποιούν την ισότητα που προκύπτει.
Συνθέτουμε μια εξίσωση ως προς τα Μ και Ν σε παραμετρική μορφή. Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τον τύπο που προκύπτει στην παραπάνω παράγραφο, τον οποίο γενικεύουμε στην τρισδιάστατη περίπτωση. Εχουμε:
x = 5 + α × (-3);
y = 3 + α × (-1);
z = -1 + α × 1
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ σε αυτές τις εκφράσεις και ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου άλφα που αντιστοιχεί σε αυτές. Παίρνουμε:
1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;
1 = 3 + α × (-1) => α = 4;
5 = -1 + α × 1 => α = -4
Βρήκαμε ότι και οι τρεις ισότητες θα ισχύουν εάν η καθεμία από αυτές λάβει διαφορετική τιμή για την παράμετρο α. Το τελευταίο γεγονός έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη της παραμετρικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, στην οποία το α πρέπει να είναι ίσο για όλες τις εξισώσεις. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Κ δεν ανήκει στην ευθεία ΜΝ, που σημαίνει ότι και τα τρία σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Πρόβλημα παραλληλισμού
Δίνονται δύο εξισώσεις ευθειών σε παραμετρική μορφή. Παρουσιάζονται παρακάτω:
x = -1 + 5 × α;
x = 2 - 6 × λ;
y = 4 - 3,6 × λ
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν οι γραμμές είναι παράλληλες. Ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιορίσετε τον παραλληλισμό δύο ευθειών είναι να χρησιμοποιήσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης. Περνώντας στον γενικό τύπο μιας παραμετρικής εξίσωσης σε δισδιάστατο χώρο, βρίσκουμε ότι τα διανύσματα κατεύθυνσης κάθε ευθείας γραμμής θα έχουν τις συντεταγμένες:
Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν ένα από αυτά μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το άλλο με κάποιο αριθμό. Ας διαιρέσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε ζεύγη, παίρνουμε:
Αυτό σημαίνει ότι:
v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯
Οι διανυσματικές κατευθύνσεις v 2 ¯ και v 1 ¯ είναι παράλληλες, πράγμα που σημαίνει ότι οι γραμμές στη δήλωση του προβλήματος είναι επίσης παράλληλες.
Ας ελέγξουμε αν είναι η ίδια γραμμή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στην εξίσωση με ένα άλλο. Ας πάρουμε το σημείο (-1; 3) και ας το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση για τη δεύτερη γραμμή:
1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;
3 = 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28
Δηλαδή οι ευθείες είναι διαφορετικές.
Πρόβλημα με την καθετότητα των γραμμών
Δίνονται οι εξισώσεις δύο ευθειών:
x = 2 + 6 × λ;
y = -2 - 4 × λ
Είναι κάθετες αυτές οι γραμμές;
Δύο ευθείες θα είναι κάθετες αν το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους είναι μηδέν. Ας γράψουμε αυτά τα διανύσματα:
Ας βρούμε το βαθμωτό προϊόν τους:
(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0
Έτσι, ανακαλύψαμε ότι οι εξεταζόμενες γραμμές είναι κάθετες. Φαίνονται στην παραπάνω εικόνα.
Έστω η ευθεία να διέρχεται από το σημείο Μ1 (x1, y1, z1) και να είναι παράλληλη με το διάνυσμα (m,n, l). Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για αυτή τη γραμμή.
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y, z) σε αυτήν την ευθεία και ας βρούμε τη σχέση μεταξύ x, y, z. Ας φτιάξουμε ένα διάνυσμα
Τα διανύσματα είναι εικονογραμμικά.
- κανονική εξίσωση ευθείας στο χώρο.
44 Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας
Επειδή Εάν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι μια παραμετρική εξίσωση της ευθείας.
Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή συντεταγμένων:
Μετασχηματίζοντας αυτό το σύστημα και εξισώνοντας τις τιμές της παραμέτρου t, λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο:
Ορισμός. Τα συνημίτονα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος, τα οποία μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Από εδώ παίρνουμε: m: n: p = cosa: cosb: cosg.
Οι αριθμοί m, n, p ονομάζονται κλίσεις της ευθείας. Δεδομένου ότι είναι μη μηδενικό διάνυσμα, τα m, n και p δεν μπορούν να είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, αλλά ένας ή δύο από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να είναι ίσοι με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση της ευθείας, οι αντίστοιχοι αριθμητές θα πρέπει να είναι ίσοι με το μηδέν.
45 Εξίσωση ευθείας στο χώρο που διέρχεται από δύο διαφορετικά δεδομένα σημεία.
Αναλυτική γεωμετρία
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Έστω M1(x1y1) και M2(x2y2) στο επίπεδο. Ας συνθέσουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα δύο σημεία και ας πάρουμε το M1M2 ως διάνυσμα κατεύθυνσης S
τρόϊκα. 
Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία (x1 y1) και (x2, y2)
Ας προχωρήσουμε τώρα στις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου στο διάστημα.
Αναλυτική γεωμετρία σε τρισδιάστατο χώρο
Παρόμοια με τη δισδιάστατη περίπτωση, οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού σε σχέση με τρεις μεταβλητές x, y, z είναι μια εξίσωση ενός επιπέδου στον χώρο Oxyz. Η γενική εξίσωση ενός επιπέδου είναι ΑX + ВY + СZ + D = 0 , όπου το διάνυσμα N=(A,B,C) είναι το κανονικό προς επίπεδο. Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M(x0,y0,z0) και έχει κανονικό N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – ποια είναι αυτή η εξίσωση;
Οι τιμές x –x0, y-y0 και z –z0 είναι οι διαφορές μεταξύ των συντεταγμένων του τρέχοντος σημείου και του σταθερού σημείου. Επομένως, το διάνυσμα a (x-x 0, y-y0, z-z0) είναι ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο περιγραφόμενο επίπεδο και το διάνυσμα N είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι είναι κάθετα μεταξύ τους.
Τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους πρέπει να ισούται με μηδέν.
Στη μορφή συντεταγμένων (N,a)=0 μοιάζει με αυτό:
A·(x-x0)+B·(y-y0)+С·(z-z0)=0
Στο διάστημα διακρίνονται δεξιά και αριστερά τριπλέτες διανυσμάτων. Ένα τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων a, b, c ονομάζεται δεξιόστροφο εάν σε έναν παρατηρητή, από την κοινή προέλευσή τους, η διέλευση των άκρων των διανυσμάτων a, b, c με την υποδεικνυόμενη σειρά φαίνεται να συμβαίνει δεξιόστροφα. Σε διαφορετική περίπτωση περίπτωση α,β,γ- αριστερά.
46 Γωνία μεταξύ ευθειών στο διάστημα
Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών στο χώρο θα ονομάζεται οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο παράλληλο στα δεδομένα.
Ας δίνονται δύο γραμμές στο διάστημα:
Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των ευθειών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και. Επειδή, χρησιμοποιώντας τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, παίρνουμε
Οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και:
Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλ. Το l1 είναι παράλληλο στο l2 αν και μόνο αν είναι παράλληλο 
.
Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: .
Να βρείτε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ1(1;2;3) παράλληλο στην ευθεία l1:
Εφόσον η επιθυμητή ευθεία l είναι παράλληλη προς την l1, τότε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας l1 μπορεί να ληφθεί ως το διάνυσμα κατεύθυνσης της επιθυμητής ευθείας l.
