Οι συντετμημένοι τύποι έκφρασης χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην πράξη, επομένως καλό είναι να τους μάθετε όλους από την καρδιά. Μέχρι αυτή τη στιγμή, θα μας εξυπηρετεί πιστά, το οποίο συνιστούμε να εκτυπώνετε και να το έχετε πάντα μπροστά στα μάτια σας:
Οι πρώτοι τέσσερις τύποι από τον μεταγλωττισμένο πίνακα των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού σάς επιτρέπουν να τετραγωνίσετε και να βάλετε σε κύβο το άθροισμα ή τη διαφορά δύο παραστάσεων. Το πέμπτο προορίζεται για τον συνοπτικό πολλαπλασιασμό της διαφοράς και του αθροίσματος δύο παραστάσεων. Και ο έκτος και ο έβδομος τύπος χρησιμοποιούνται για να πολλαπλασιάσουμε το άθροισμα δύο παραστάσεων a και b με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς τους (έτσι ονομάζεται μια έκφραση της μορφής a 2 −a b+b 2) και τη διαφορά δύο παραστάσεις a και b με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους (a 2 + a·b+b 2 ) αντίστοιχα.
Αξίζει να σημειωθεί ξεχωριστά ότι κάθε ισότητα στον πίνακα είναι μια ταυτότητα. Αυτό εξηγεί γιατί οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού ονομάζονται επίσης συντετμημένες ταυτότητες πολλαπλασιασμού.
Κατά την επίλυση παραδειγμάτων, ειδικά στα οποία το πολυώνυμο είναι παραγοντοποιημένο, το FSU χρησιμοποιείται συχνά στη μορφή με την αριστερή και τη δεξιά πλευρά να εναλλάσσονται:
Οι τρεις τελευταίες ταυτότητες στον πίνακα έχουν τα δικά τους ονόματα. Ο τύπος a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) ονομάζεται τύπος διαφοράς τετραγώνων, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - τύπος αθροίσματος κύβων, ΕΝΑ a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - διαφορά του τύπου κύβων. Λάβετε υπόψη ότι δεν ονομάσαμε τους αντίστοιχους τύπους με αναδιαταγμένα μέρη από τον προηγούμενο πίνακα.
Πρόσθετοι τύποι
Δεν θα ήταν κακό να προσθέσετε μερικές ακόμη ταυτότητες στον πίνακα των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Τομείς εφαρμογής συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού (FSU) και παραδείγματα
Ο κύριος σκοπός των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού (fsu) εξηγείται από το όνομά τους, δηλαδή συνίσταται σε εν συντομία πολλαπλασιασμό εκφράσεων. Ωστόσο, το πεδίο εφαρμογής του FSU είναι πολύ ευρύτερο και δεν περιορίζεται σε σύντομο πολλαπλασιασμό. Ας απαριθμήσουμε τις κύριες κατευθύνσεις.
Αναμφίβολα, η κεντρική εφαρμογή του συντετμημένου τύπου πολλαπλασιασμού βρέθηκε στην εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών εκφράσεων. Τις περισσότερες φορές αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται στη διαδικασία απλοποιώντας εκφράσεις.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την παράσταση 9·y−(1+3·y) 2 .
Λύση.
Σε αυτήν την έκφραση, ο τετραγωνισμός μπορεί να εκτελεστεί συντομογραφικά, έχουμε 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Το μόνο που μένει είναι να ανοίξουμε τις αγκύλες και να φέρουμε παρόμοιους όρους: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Στον αριθμητή, η έκφραση είναι η διαφορά μεταξύ των κύβων δύο παραστάσεων 2 x και z 2, και στον παρονομαστή η διαφορά στα τετράγωνα αυτών των παραστάσεων. Μετά την εφαρμογή των κατάλληλων τύπων, το αρχικό κλάσμα θα πάρει τη μορφή 
. Τώρα μπορείτε να μειώσετε τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή: .
Ας συνοψίσουμε τη λύση εν συντομία: 
Απάντηση:
.
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού σας επιτρέπουν μερικές φορές να υπολογίζετε ορθολογικά τις τιμές των εκφράσεων. Για παράδειγμα, ας δείξουμε πώς μπορείτε να τετραγωνίσετε τον αριθμό 79 χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6.400−160+1=6.241. Αυτή η προσέγγιση σάς επιτρέπει να κάνετε παρόμοιους υπολογισμούς ακόμη και προφορικά.
Εν κατακλείδι, ας μιλήσουμε για έναν ακόμη σημαντικό μετασχηματισμό - τετράγωνο διώνυμο, το οποίο βασίζεται στον τύπο για συντομευμένο τετράγωνο πολλαπλασιασμού του αθροίσματος. Για παράδειγμα, η παράσταση 4 x 2 +4 x−3 μπορεί να μετατραπεί σε (2 x) 2 +2 x 2 x 1+1 2 −4 και οι τρεις πρώτοι όροι αντικαθίστανται χρησιμοποιώντας τον τύπο του τετραγώνου αθροίσματος. Άρα η παράσταση γίνεται (2 x+1) 2 −4. Τέτοιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως, για παράδειγμα, με .
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 7η τάξη γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 7η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 13η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2009. - 160 σελ.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Ένα από τα πρώτα θέματα που μελετήθηκαν σε ένα μάθημα άλγεβρας είναι οι συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Στον βαθμό 7, χρησιμοποιούνται στις απλούστερες καταστάσεις, όπου πρέπει να αναγνωρίσετε έναν από τους τύπους σε μια παράσταση και να συνυπολογίσετε ένα πολυώνυμο ή, αντίθετα, γρήγορα να τετραγωνίσετε ή να σχηματίσετε κύβο ένα άθροισμα ή διαφορά. Στο μέλλον, το FSU χρησιμοποιείται για την γρήγορη επίλυση ανισώσεων και εξισώσεων και ακόμη και για τον υπολογισμό ορισμένων αριθμητικές εκφράσειςχωρίς αριθμομηχανή.
Πώς μοιάζει μια λίστα τύπων;
Υπάρχουν 7 βασικοί τύποι που σας επιτρέπουν να πολλαπλασιάσετε γρήγορα πολυώνυμα σε αγκύλες.
Μερικές φορές αυτή η λίστα περιλαμβάνει επίσης μια επέκταση για τον τέταρτο βαθμό, η οποία προκύπτει από τις παρουσιαζόμενες ταυτότητες και έχει τη μορφή:
a4 — b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Όλες οι ισότητες έχουν ζεύγος (άθροισμα - διαφορά), εκτός από τη διαφορά των τετραγώνων. Ο τύπος για το άθροισμα των τετραγώνων δεν δίνεται.
Οι υπόλοιπες ισότητες είναι εύκολο να θυμηθούν:
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι τα FSU λειτουργούν σε κάθε περίπτωση και για οποιεσδήποτε τιμές έναΚαι σι: αυτοί μπορεί να είναι είτε αυθαίρετοι αριθμοί είτε ακέραιες εκφράσεις.
Σε μια κατάσταση όπου ξαφνικά δεν μπορείτε να θυμηθείτε ποιο πρόσημο βρίσκεται μπροστά από έναν συγκεκριμένο όρο στον τύπο, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες και να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα όπως μετά τη χρήση του τύπου. Για παράδειγμα, εάν προέκυψε πρόβλημα κατά την εφαρμογή του κύβου διαφοράς FSU, πρέπει να γράψετε την αρχική έκφραση και εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό ένα προς ένα:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Ως αποτέλεσμα, αφού φέρουμε όλους τους παρόμοιους όρους, προέκυψε το ίδιο πολυώνυμο όπως στον πίνακα. Οι ίδιοι χειρισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν με όλα τα άλλα FSU.
Εφαρμογή FSU για επίλυση εξισώσεων
Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μια εξίσωση που περιέχει πολυώνυμο βαθμού 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαθολικές μέθοδοι επίλυσης δεν λαμβάνονται υπόψη κυβικές εξισώσεις, και τέτοιες εργασίες επιλύονται συχνότερα χρησιμοποιώντας απλούστερες μεθόδους (για παράδειγμα, παραγοντοποίηση). Αν παρατηρήσουμε ότι η αριστερή πλευρά της ταυτότητας μοιάζει με τον κύβο ενός αθροίσματος, τότε η εξίσωση μπορεί να γραφτεί με απλούστερη μορφή:
(x + 1)³ = 0.
Η ρίζα μιας τέτοιας εξίσωσης υπολογίζεται προφορικά: x = -1.
Οι ανισότητες λύνονται με παρόμοιο τρόπο. Για παράδειγμα, μπορείτε να λύσετε την ανισότητα x³ – 6x² + 9x > 0.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να συνυπολογίσετε την έκφραση. Πρώτα πρέπει να στηριχθείτε Χ. Μετά από αυτό, σημειώστε ότι η έκφραση σε παρένθεση μπορεί να μετατραπεί στο τετράγωνο της διαφοράς.
Στη συνέχεια, πρέπει να βρείτε τα σημεία στα οποία βρίσκεται η έκφραση μηδενικές τιμέςκαι σημειώστε τα στην αριθμητική γραμμή. Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αυτά θα είναι 0 και 3. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, καθορίστε σε ποια διαστήματα x θα αντιστοιχούν στην συνθήκη ανισότητας.
Οι FSU μπορεί να είναι χρήσιμες κατά την εκτέλεση ορισμένοι υπολογισμοί χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Επιπλέον, με παραγοντοποίηση παραγόντων, μπορείτε εύκολα να μειώσετε τα κλάσματα και να απλοποιήσετε διάφορες αλγεβρικές εκφράσεις.
Παραδείγματα προβλημάτων για τις τάξεις 7-8
Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε και θα λύσουμε δύο εργασίες σχετικά με τη χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού στην άλγεβρα.
Εργασία 1. Απλοποιήστε την έκφραση:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Λύση. Η συνθήκη της εργασίας απαιτεί την απλοποίηση της έκφρασης, δηλαδή το άνοιγμα των παρενθέσεων, την εκτέλεση των πράξεων πολλαπλασιασμού και εκθέσεως, καθώς και τη μεταφορά όλων των παρόμοιων όρων. Ας χωρίσουμε υπό όρους την έκφραση σε τρία μέρη (ανάλογα με τον αριθμό των όρων) και ας ανοίξουμε τις αγκύλες μία προς μία, χρησιμοποιώντας FSU όπου είναι δυνατόν.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(τετράγωνο αθροίσματος);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(διαφορά τετραγώνων).
- Στον τελευταίο όρο πρέπει να πολλαπλασιάσετε: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Ας αντικαταστήσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην αρχική έκφραση:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια, θα ανοίξουμε τις αγκύλες και θα παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.
Πρόβλημα 2. Λύστε μια εξίσωση που περιέχει το άγνωστο k στην 5η δύναμη:
k5 + 4k4 + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Λύση. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε το FSU και τη μέθοδο ομαδοποίησης. Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον τελευταίο και προτελευταίο όρο στη δεξιά πλευρά της ταυτότητας.
k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Ο κοινός παράγοντας προέρχεται από τη δεξιά και την αριστερή πλευρά (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Όλα μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης έτσι ώστε το 0 να παραμένει στα δεξιά:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.
Και πάλι είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Από τον πρώτο παράγοντα που προκύπτει μπορούμε να αντλήσουμε κ. Σύμφωνα με τον σύντομο τύπο πολλαπλασιασμού, ο δεύτερος παράγοντας θα είναι πανομοιότυπα ίσος με (k+2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Εφόσον ένα γινόμενο είναι ίσο με 0 εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες του είναι μηδέν, η εύρεση όλων των ριζών της εξίσωσης δεν είναι δύσκολη:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Με βάση οπτικά παραδείγματα, μπορείτε να κατανοήσετε πώς να θυμάστε τύπους, τις διαφορές τους και επίσης να λύσετε αρκετούς πρακτικά προβλήματαχρησιμοποιώντας FSU. Οι εργασίες είναι απλές και δεν θα πρέπει να υπάρχουν δυσκολίες στην ολοκλήρωσή τους.
Στο προηγούμενο μάθημα ασχοληθήκαμε με την παραγοντοποίηση. Κατακτήσαμε δύο μεθόδους: βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων και ομαδοποίηση. Σε αυτό το μάθημα - η ακόλουθη ισχυρή μέθοδος: συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Εν ολίγοις - FSU.
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού (τετράγωνο αθροίσματος και διαφοράς, κύβος αθροίσματος και διαφοράς, διαφορά τετραγώνων, άθροισμα και διαφορά κύβων) είναι εξαιρετικά απαραίτητοι σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Χρησιμοποιούνται στην απλοποίηση παραστάσεων, στην επίλυση εξισώσεων, στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων, στη μείωση των κλασμάτων, στην επίλυση ολοκληρωμάτων κ.λπ. και ούτω καθεξής. Με λίγα λόγια, υπάρχει κάθε λόγος να ασχοληθείς μαζί τους. Κατανοήστε από πού προέρχονται, γιατί χρειάζονται, πώς να τα θυμάστε και πώς να τα εφαρμόσετε.
Καταλαβαίνουμε;)
Από πού προέρχονται οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού;
Οι ισότητες 6 και 7 δεν είναι γραμμένες με πολύ οικείο τρόπο. Είναι κάπως το αντίθετο. Αυτό γίνεται επίτηδες.) Οποιαδήποτε ισότητα λειτουργεί τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Αυτή η καταχώρηση καθιστά σαφέστερο από πού προέρχονται οι FSU.
Λαμβάνονται από τον πολλαπλασιασμό.) Για παράδειγμα:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Αυτό είναι, κανένα επιστημονικό κόλπο. Απλώς πολλαπλασιάζουμε τις αγκύλες και δίνουμε παρόμοιες. Έτσι αποδεικνύεται όλους τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Συντομογραφίαο πολλαπλασιασμός γίνεται γιατί στους ίδιους τους τύπους δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός παρενθέσεων και αναγωγή όμοιων. Συντομογραφία.) Το αποτέλεσμα δίνεται αμέσως.
Το FSU πρέπει να είναι γνωστό από καρδιάς. Χωρίς τα τρία πρώτα, δεν μπορείς να ονειρευτείς ένα Γ, χωρίς τα υπόλοιπα, δεν μπορείς να ονειρευτείς ένα Β ή το Α.)
Γιατί χρειαζόμαστε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού;
Υπάρχουν δύο λόγοι για να μάθετε, ακόμη και να απομνημονεύσετε, αυτούς τους τύπους. Το πρώτο είναι ότι μια έτοιμη απάντηση μειώνει αυτόματα τον αριθμό των σφαλμάτων. Δεν είναι όμως αυτός ο βασικός λόγος. Το δεύτερο όμως...
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Προκειμένου να απλοποιηθούν τα αλγεβρικά πολυώνυμα, υπάρχουν συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Δεν υπάρχουν τόσα πολλά από αυτά και είναι εύκολο να τα θυμάστε, αλλά πρέπει να τα θυμάστε. Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται στους τύπους μπορεί να πάρει οποιαδήποτε μορφή (αριθμός ή πολυώνυμο).
Ο πρώτος συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού ονομάζεται διαφορά τετραγώνων. Συνίσταται στην αφαίρεση του τετραγώνου ενός αριθμού από το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού, το οποίο ισούται με τη διαφορά μεταξύ αυτών των αριθμών, καθώς και το γινόμενο τους.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
Ας το δούμε για σαφήνεια:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Ο δεύτερος τύπος είναι περίπου άθροισμα τετραγώνων. Ακούγεται ότι το άθροισμα δύο μεγεθών στο τετράγωνο είναι ίσο με το τετράγωνο της πρώτης ποσότητας, το διπλάσιο γινόμενο της πρώτης ποσότητας πολλαπλασιασμένο με το δεύτερο προστίθεται σε αυτό, το τετράγωνο της δεύτερης ποσότητας προστίθεται σε αυτές.
(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2
Χάρη σε αυτόν τον τύπο, γίνεται πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί το τετράγωνο του μεγάλος αριθμός, χωρίς τη χρήση τεχνολογίας υπολογιστών.
Έτσι για παράδειγμα:το τετράγωνο του 112 θα είναι ίσο με
1) Αρχικά, ας χωρίσουμε το 112 σε αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι γνωστά σε εμάς
112 = 100 + 12
2) Εισάγουμε το αποτέλεσμα σε αγκύλες
112 2 = (100+12) 2
3) Εφαρμόζοντας τον τύπο, παίρνουμε:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Ο τρίτος τύπος είναι τετραγωνική διαφορά. Που λέει ότι δύο ποσότητες που αφαιρούνται η μία από την άλλη σε ένα τετράγωνο είναι ίσες, γιατί από την πρώτη ποσότητα στο τετράγωνο αφαιρούμε το διπλάσιο γινόμενο της πρώτης ποσότητας πολλαπλασιαζόμενο με το δεύτερο, προσθέτοντας σε αυτές το τετράγωνο της δεύτερης ποσότητας.
(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
όπου (α - β) 2 ισούται με (β - α) 2. Για να το αποδείξετε αυτό, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Ο τέταρτος τύπος για συντομευμένο πολλαπλασιασμό ονομάζεται κύβος αθροίσματος. Που ακούγεται σαν: δύο αθροιστικές ποσότητες σε έναν κύβο είναι ίσες με τον κύβο 1 ποσότητας, προστίθεται το τριπλό γινόμενο 1 ποσότητας πολλαπλασιασμένο επί τη 2η ποσότητα, σε αυτές προστίθεται το τριπλό γινόμενο 1 ποσότητας πολλαπλασιαζόμενο επί το τετράγωνο του 2 ποσότητες, συν τη δεύτερη ποσότητα σε κύβους.
(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Το πέμπτο, όπως ήδη καταλάβατε, λέγεται κύβος διαφοράς. Το οποίο βρίσκει τις διαφορές μεταξύ των ποσοτήτων, καθώς από την πρώτη σημείωση στον κύβο αφαιρούμε το τριπλό γινόμενο της πρώτης σημειογραφίας στο τετράγωνο πολλαπλασιασμένο με το δεύτερο, σε αυτές προστίθεται το τριπλό γινόμενο της πρώτης σημειογραφίας πολλαπλασιασμένο με το τετράγωνο της δεύτερης σημειογραφία, μείον τη δεύτερη σημειογραφία στον κύβο.
(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Το έκτο ονομάζεται - άθροισμα κύβων. Το άθροισμα των κύβων είναι ίσο με το γινόμενο των δύο προσθηκών πολλαπλασιασμένο με το μερικό τετράγωνο της διαφοράς, αφού δεν υπάρχει διπλή τιμή στη μέση.
a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
Ένας άλλος τρόπος για να πούμε το άθροισμα των κύβων είναι να ονομάσουμε το προϊόν σε δύο αγκύλες.
Ο έβδομος και τελευταίος ονομάζεται διαφορά των κύβων(μπορεί εύκολα να συγχέεται με τον τύπο κύβου διαφοράς, αλλά αυτά είναι διαφορετικά πράγματα). Η διαφορά των κύβων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς δύο ποσοτήτων πολλαπλασιαζόμενο με το μερικό τετράγωνο του αθροίσματος, αφού δεν υπάρχει διπλή τιμή στη μέση.
a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
Και έτσι υπάρχουν μόνο 7 τύποι για συντομευμένο πολλαπλασιασμό, είναι παρόμοιοι μεταξύ τους και θυμούνται εύκολα, το μόνο σημαντικό είναι να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Έχουν επίσης σχεδιαστεί για χρήση με αντίστροφη σειρά και τα σχολικά βιβλία περιέχουν αρκετές τέτοιες εργασίες. Να είστε προσεκτικοί και όλα θα πάνε καλά για εσάς.
Εάν έχετε ερωτήσεις σχετικά με τους τύπους, φροντίστε να τις γράψετε στα σχόλια. Θα χαρούμε να σας απαντήσουμε!
Εάν είστε σε άδεια μητρότητας, αλλά θέλετε να κερδίσετε χρήματα. Απλώς ακολουθήστε τον σύνδεσμο Internet Business με την Oriflame. Όλα είναι γραμμένα και παρουσιάζονται εκεί με μεγάλη λεπτομέρεια. Θα έχει ενδιαφέρον!
Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με τους τύπους για το τετράγωνο του αθροίσματος και του τετραγώνου της διαφοράς και θα τους εξαγάγουμε. Ας αποδείξουμε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος γεωμετρικά. Επιπλέον, θα λύσουμε πολλά διαφορετικά παραδείγματα χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους.
Εξετάστε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος:
Έτσι, αντλήσαμε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος:
Προφορικά, αυτός ο τύπος εκφράζεται ως εξής: το τετράγωνο του αθροίσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού με τον δεύτερο συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
Αυτός ο τύπος είναι εύκολο να αναπαρασταθεί γεωμετρικά.
Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά:
Εμβαδόν τετραγώνου.
Από την άλλη πλευρά, το ίδιο τετράγωνο μπορεί να αναπαρασταθεί διαφορετικά διαιρώντας την πλευρά σε a και b (Εικ. 1).
Ρύζι. 1. Τετράγωνο
Τότε το εμβαδόν του τετραγώνου μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των εμβαδών:
Εφόσον τα τετράγωνα ήταν ίδια, τα εμβαδά τους είναι ίσα, που σημαίνει:
Έτσι, έχουμε αποδείξει γεωμετρικά τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος.
Ας δούμε παραδείγματα:
Ενα σχόλιο:Το παράδειγμα λύνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του τετραγώνου αθροίσματος.
Ας εξαγάγουμε τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά:
Έτσι, αντλήσαμε τον τύπο για την τετραγωνική διαφορά:
Προφορικά, αυτός ο τύπος εκφράζεται ως εξής: το τετράγωνο της διαφοράς είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού μείον το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού κατά τον δεύτερο συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
Ας δούμε παραδείγματα:
Οι τύποι τετραγωνικού αθροίσματος και τετραγωνικής διαφοράς μπορούν να λειτουργήσουν τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Όταν χρησιμοποιούνται από αριστερά προς τα δεξιά, θα είναι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού και χρησιμοποιούνται κατά τον υπολογισμό και τη μετατροπή παραδειγμάτων. Και όταν χρησιμοποιείται από δεξιά προς τα αριστερά - τύποι παραγοντοποίησης.
Ας δούμε παραδείγματα στα οποία πρέπει να συνυπολογίσετε ένα δεδομένο πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους τύπους τετραγωνικού αθροίσματος και τετραγωνικής διαφοράς. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κοιτάξετε πολύ προσεκτικά το πολυώνυμο και να προσδιορίσετε ακριβώς πώς να το επεκτείνετε σωστά.
Ενα σχόλιο:Για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο, πρέπει να προσδιορίσετε τι αναπαρίσταται στη δεδομένη παράσταση. Βλέπουμε λοιπόν το τετράγωνο και το τετράγωνο του ενός. Τώρα πρέπει να βρείτε το διπλό προϊόν - αυτό είναι . Έτσι, όλα τα απαραίτητα στοιχεία υπάρχουν, απλά πρέπει να προσδιορίσετε αν είναι το τετράγωνο του αθροίσματος ή η διαφορά. Υπάρχει ένα σύμβολο συν μπροστά από το διπλό γινόμενο, που σημαίνει ότι έχουμε το τετράγωνο του αθροίσματος.
