ΣΕ σχολικό μάθημαΣτη στερεομετρία, ένα από τα πιο απλά σχήματα, που έχει μη μηδενικές διαστάσεις κατά μήκος τριών χωρικών αξόνων, είναι ένα τετράγωνο πρίσμα. Ας εξετάσουμε στο άρθρο τι είδους σχήμα είναι αυτό, από ποια στοιχεία αποτελείται και επίσης πώς μπορείτε να υπολογίσετε την επιφάνεια και τον όγκο του.
Η έννοια του πρίσματος
Στη γεωμετρία, ένα πρίσμα είναι ένα χωρικό σχήμα που σχηματίζεται από δύο για τους ίδιους λόγουςκαι πλευρικές επιφάνειες που συνδέουν τις πλευρές αυτών των βάσεων. Σημειώστε ότι και οι δύο βάσεις μεταφέρονται μεταξύ τους χρησιμοποιώντας την πράξη της παράλληλης μεταφοράς σε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα. Αυτός ο ορισμός ενός πρίσματος οδηγεί στο γεγονός ότι όλες οι πλευρές του είναι πάντα παραλληλόγραμμες.
Ο αριθμός των πλευρών της βάσης μπορεί να είναι αυθαίρετος, ξεκινώντας από τρεις. Καθώς αυτός ο αριθμός τείνει στο άπειρο, το πρίσμα μετατρέπεται ομαλά σε κύλινδρο, αφού η βάση του γίνεται κύκλος και τα πλευρικά παραλληλόγραμμα, που συνδέονται, σχηματίζουν μια κυλινδρική επιφάνεια.
Όπως κάθε πολύεδρο, ένα πρίσμα χαρακτηρίζεται από πλευρές (επίπεδα που περιορίζουν το σχήμα), ακμές (τμήματα κατά μήκος των οποίων τέμνονται οποιαδήποτε δύο πλευρές) και κορυφές (σημεία συνάντησης τριών πλευρών, για ένα πρίσμα δύο από αυτές είναι πλευρικές και η τρίτη είναι η βάση). Οι ποσότητες των τριών ονομαζόμενων στοιχείων του σχήματος σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη έκφραση:
Εδώ τα P, C και B είναι ο αριθμός των ακμών, των πλευρών και των κορυφών, αντίστοιχα. Αυτή η έκφραση είναι μια μαθηματική αναπαράσταση του θεωρήματος του Euler.
Πάνω είναι μια εικόνα που δείχνει δύο πρίσματα. Στη βάση ενός από αυτά (Α) βρίσκεται ένα κανονικό εξάγωνο, και οι πλευρικές πλευρές είναι κάθετες στις βάσεις. Το σχήμα Β δείχνει ένα άλλο πρίσμα. Οι πλευρές του δεν είναι πλέον κάθετες στις βάσεις, και η βάση είναι κανονικό πεντάγωνο.
τετράπλευρος?
Όπως είναι σαφές από την παραπάνω περιγραφή, ο τύπος του πρίσματος καθορίζεται κυρίως από τον τύπο του πολυγώνου που σχηματίζει τη βάση (και οι δύο βάσεις είναι ίδιες, επομένως μπορούμε να μιλήσουμε για μία από αυτές). Εάν αυτό το πολύγωνο είναι παραλληλόγραμμο, τότε παίρνουμε ένα τετράγωνο πρίσμα. Άρα όλες οι πλευρές αυτού είναι παραλληλόγραμμα. Ένα τετράπλευρο πρίσμα έχει το δικό του όνομα - παραλληλεπίπεδο.
Ο αριθμός των πλευρών ενός παραλληλεπίπεδου είναι έξι, με κάθε πλευρά να έχει ένα παράλληλο παραλληλεπίπεδο παρόμοιο με αυτό. Δεδομένου ότι οι βάσεις του παραλληλεπιπέδου είναι δύο πλευρές, οι υπόλοιπες τέσσερις είναι πλευρικές.
Ο αριθμός των κορυφών ενός παραλληλεπίπεδου είναι οκτώ, κάτι που είναι εύκολο να το δεις αν θυμηθείς ότι οι κορυφές ενός πρίσματος σχηματίζονται μόνο στις κορυφές των βασικών πολυγώνων (4x2=8). Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Euler, λαμβάνουμε τον αριθμό των ακμών:
P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12
Από τις 12 νευρώσεις, μόνο οι 4 σχηματίζονται ανεξάρτητα από τις πλευρικές πλευρές. Τα υπόλοιπα 8 βρίσκονται στα επίπεδα των βάσεων του σχήματος.
Τύποι παραλληλεπίπεδων
Ο πρώτος τύπος ταξινόμησης έγκειται στα χαρακτηριστικά του παραλληλογράμμου που βρίσκεται στη βάση. Μπορεί να μοιάζει με αυτό:
- συνηθισμένο, του οποίου οι γωνίες δεν είναι ίσες με 90 o.
- ορθογώνιο παραλληλόγραμμο;
- ένα τετράγωνο είναι ένα κανονικό τετράπλευρο.
Ο δεύτερος τύπος ταξινόμησης είναι η γωνία στην οποία η πλευρά τέμνει τη βάση. Εδώ υπάρχουν δύο διαφορετικές περιπτώσεις:
- αυτή η γωνία δεν είναι ορθή, τότε το πρίσμα ονομάζεται λοξό ή κεκλιμένο.
- η γωνία είναι 90 o, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι ορθογώνιο ή απλά ευθύ.
Ο τρίτος τύπος ταξινόμησης σχετίζεται με το ύψος του πρίσματος. Αν το πρίσμα είναι ορθογώνιο και έχει είτε τετράγωνο είτε ορθογώνιο στη βάση του, τότε ονομάζεται κυβοειδές. Αν υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση, το πρίσμα είναι ορθογώνιο και το ύψος του είναι ίσο με το μήκος της πλευράς του τετραγώνου, τότε παίρνουμε το γνωστό σχήμα ενός κύβου.
Επιφάνεια και εμβαδόν πρίσματος
Το σύνολο όλων των σημείων που βρίσκονται στις δύο βάσεις του πρίσματος (παραλληλόγραμμα) και στις πλευρές του (τέσσερα παραλληλόγραμμα) σχηματίζουν την επιφάνεια του σχήματος. Το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό του εμβαδού της βάσης και αυτής της τιμής για την πλευρική επιφάνεια. Τότε το άθροισμά τους θα δώσει την επιθυμητή τιμή. Μαθηματικά γράφεται ως εξής:
Εδώ τα S o και S b είναι η περιοχή της βάσης και της πλευρικής επιφάνειας, αντίστοιχα. Εμφανίζεται ο αριθμός 2 πριν από το S o γιατί υπάρχουν δύο βάσεις.
Σημειώστε ότι ο γραπτός τύπος ισχύει για οποιοδήποτε πρίσμα, και όχι μόνο για την περιοχή ενός τετράπλευρου πρίσματος.
Είναι χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου S p υπολογίζεται με τον τύπο:
Όπου τα σύμβολα a και h δηλώνουν το μήκος μιας από τις πλευρές του και το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά, αντίστοιχα.
Εμβαδόν ορθογώνιου πρίσματος με τετράγωνη βάση
Η βάση είναι ένα τετράγωνο. Για λόγους βεβαιότητας, ας υποδηλώσουμε την πλευρά του με το γράμμα α. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος, πρέπει να γνωρίζετε το ύψος του. Σύμφωνα με τον ορισμό για αυτήν την τιμή, ισούται με το μήκος της καθέτου που πέφτει από τη μια βάση στην άλλη, δηλαδή ίση με την απόσταση μεταξύ τους. Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα η. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις βάσεις για τον τύπο του πρίσματος που εξετάζουμε, το ύψος ενός κανονικού τετράγωνου πρίσματος θα είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής του.
Ο γενικός τύπος για την επιφάνεια ενός πρίσματος έχει δύο όρους. Η περιοχή της βάσης σε αυτή την περίπτωση είναι εύκολο να υπολογιστεί, είναι ίση με:
Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας, συλλογιζόμαστε ως εξής: αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται από 4 ίδια ορθογώνια. Επιπλέον, οι πλευρές καθενός από αυτά είναι ίσες με a και h. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή S b θα είναι ίση με:
Σημειώστε ότι το γινόμενο 4*a είναι η περίμετρος της τετραγωνικής βάσης. Εάν γενικεύσουμε αυτήν την έκφραση στην περίπτωση μιας αυθαίρετης βάσης, τότε για ένα ορθογώνιο πρίσμα η πλευρική επιφάνεια μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Όπου P o είναι η περίμετρος της βάσης.
Επιστρέφοντας στο πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος, μπορούμε να γράψουμε τον τελικό τύπο:
S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)
Εμβαδόν λοξού παραλληλεπίπεδου
Είναι κάπως πιο δύσκολο να υπολογιστεί από ότι για ένα ορθογώνιο. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν της βάσης ενός τετράπλευρου πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο. Οι αλλαγές αφορούν τη μέθοδο προσδιορισμού της πλάγιας επιφάνειας.
Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον ίδιο τύπο μέσω της περιμέτρου όπως δίνεται στην παραπάνω παράγραφο. Μόνο που τώρα θα έχει ελαφρώς διαφορετικούς πολλαπλασιαστές. Ο γενικός τύπος για το S b στην περίπτωση ενός λοξού πρίσματος είναι:
Εδώ c είναι το μήκος του πλευρικού άκρου του σχήματος. Η τιμή P sr είναι η περίμετρος της ορθογώνιας κοπής. Αυτό το περιβάλλον είναι κατασκευασμένο ως εξής: είναι απαραίτητο να τέμνονται όλες οι πλευρικές όψεις με ένα επίπεδο έτσι ώστε να είναι κάθετο σε όλες. Το παραλληλόγραμμο που προκύπτει θα είναι η επιθυμητή κοπή.
Το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα λοξού παραλληλεπιπέδου. Το σκιασμένο τμήμα του με τις πλευρές σχηματίζει ορθές γωνίες. Η περίμετρος του τμήματος είναι P sr. Σχηματίζεται από τέσσερα ύψη πλευρικών παραλληλογραμμών. Για αυτό το τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.
Διαγώνιο μήκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου
Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν έχουν κοινές πλευρές που τις σχηματίζουν. Οποιοδήποτε τετράγωνο πρίσμα έχει μόνο τέσσερις διαγώνιους. Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ένα ορθογώνιο στη βάση του, τα μήκη όλων των διαγωνίων είναι ίσα μεταξύ τους.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει το αντίστοιχο σχήμα. Το κόκκινο τμήμα είναι η διαγώνιος του.
D = √(A 2 + B 2 + C 2)
Εδώ D είναι το μήκος της διαγωνίου. Τα υπόλοιπα σύμβολα είναι τα μήκη των πλευρών του παραλληλεπίπεδου.
Πολλοί μπερδεύουν τη διαγώνιο ενός παραλληλεπίπεδου με τις διαγώνιες των πλευρών του. Παρακάτω είναι ένα σχέδιο όπου οι διαγώνιοι των πλευρών του σχήματος απεικονίζονται σε χρωματιστά τμήματα.
Το μήκος καθενός από αυτά καθορίζεται επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα και είναι ίσο με τετραγωνική ρίζααπό το άθροισμα των τετραγώνων των αντίστοιχων μηκών των πλευρών.
Όγκος πρίσματος
Εκτός από την περιοχή ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος ή άλλων τύπων πρισμάτων, για να λύσετε μερικά γεωμετρικά προβλήματαθα πρέπει επίσης να γνωρίζετε τον όγκο τους. Αυτή η τιμή για απολύτως οποιοδήποτε πρίσμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Εάν το πρίσμα είναι ορθογώνιο, τότε αρκεί να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του και να το πολλαπλασιάσετε με το μήκος της πλευρικής ακμής για να λάβετε τον όγκο του σχήματος.
Εάν το πρίσμα είναι κανονικό τετράγωνο, τότε ο όγκος του θα είναι ίσος με:
Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτός ο τύπος μετατρέπεται σε έκφραση για τον όγκο ενός κύβου εάν το μήκος της πλευρικής ακμής h είναι ίσο με την πλευρά της βάσης a.
Πρόβλημα με ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
Για να εμπεδώσουμε το υλικό που μελετήσαμε, θα λύσουμε το εξής πρόβλημα: υπάρχει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, οι πλευρές του οποίου είναι 3 εκ., 4 εκ. και 5 εκ. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το εμβαδόν της επιφάνειας, το μήκος της διαγώνιας και ο όγκος του.
S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2
Για να προσδιορίσετε το μήκος της διαγωνίου και τον όγκο του σχήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απευθείας τις παραπάνω εκφράσεις:
D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm;
V = 3*4*5 = 60 cm3.
Πρόβλημα λοξού παραλληλεπιπέδου
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα λοξό πρίσμα. Οι πλευρές του είναι ίσες: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm. Είναι απαραίτητο να βρείτε την επιφάνεια αυτού του σχήματος.
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε την περιοχή της βάσης. Από το σχήμα είναι σαφές ότι αιχμηρή γωνίαίσο με 50 ο. Τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με:
S o = h*a = sin(50 o)*b*a
Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας, βρείτε την περίμετρο του σκιασμένου ορθογωνίου. Οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου είναι a*sin(45 o) και b*sin(60 o). Τότε η περίμετρος αυτού του ορθογωνίου είναι:
P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))
Η συνολική επιφάνεια αυτού του παραλληλεπίπεδου είναι:
S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))
Αντικαθιστούμε τα δεδομένα από τις συνθήκες του προβλήματος με τα μήκη των πλευρών του σχήματος και παίρνουμε την απάντηση:
Από τη λύση αυτού του προβλήματος είναι σαφές ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των περιοχών των πλάγιων σχημάτων.
ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣε ένα μάθημα στερεομετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - το πολύεδρο ενός πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσο πολύγωνο, που βρίσκεται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογωνίων, αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).
Πώς μοιάζει ένα πρίσμα;
Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Άλλο όνομα για αυτό γεωμετρικό σχήμα- ευθύ παραλληλεπίπεδο.
Ένα σχέδιο που δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα φαίνεται παρακάτω.
Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα ουσιαστικά στοιχεία, από το οποίο αποτελείται γεωμετρικό σώμα . Αυτά περιλαμβάνουν:
Μερικές φορές σε προβλήματα γεωμετρίας μπορείτε να συναντήσετε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν σε ένα επίπεδο κοπής. Η τομή μπορεί να είναι κάθετη (τέμνει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), περνώντας από 2 ακμές και τις διαγώνιες της βάσης.
Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.
Για να βρεθούν τα μειωμένα πρισματικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες σχέσεις και τύποι. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).
Επιφάνεια και όγκος
Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:
V = Sbas h
Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:
V = a²·h
Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:
Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την ανάπτυξή του.
Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:
Πλευρά = Posn h
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:
Πλευρά = 4a h
Για τον κύβο:
Πλευρά = 4a²
Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος, πρέπει να προσθέσετε 2 βασικές περιοχές στην πλευρική περιοχή:
Sfull = Πλαϊνό + 2 Smain
Σε σχέση με ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος μοιάζει με:
Σύνολο = 4a h + 2a²
Για την επιφάνεια ενός κύβου:
Πλήρης = 6a²
Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.
Εύρεση στοιχείων πρίσματος
Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι τύποι μπορούν να προκύψουν:
- μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
- ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
- περιοχή βάσης: Sbas = V / h;
- περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.
Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει το διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:
Sdiag = ah√2
Για να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός πρίσματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:
dprize = √(2a² + h²)
Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις δεδομένες σχέσεις, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε πολλές απλές εργασίες.
Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις
Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που βρέθηκαν σε κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.
Ασκηση 1.
Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποιο θα είναι το επίπεδο της άμμου αν το μετακινήσετε σε δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με βάση διπλάσια;
Θα πρέπει να αιτιολογηθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να υποδηλώσετε το μήκος της βάσης με ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο ο όγκος της ουσίας θα είναι:
V1 = ha² = 10a²
Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:
V2 = h (2a)² = 4ha²
Επειδή η V1 = V2, μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις:
10a² = 4ha²
Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:
Ως αποτέλεσμα, το νέο επίπεδο άμμου θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.
Εργασία 2.
Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα σωστό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.
Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.
Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη βάση υπάρχει ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει το ίδιο μέγεθος, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.
Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από μια γνωστή διαγώνιο:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν κύβο:
Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216
Εργασία 3.
Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;
Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.
Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.
Ο χώρος θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².
Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50·30 = 1500ρούβλια
Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.
Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου
Το πρίσμα είναι ένα γεωμετρικό τρισδιάστατο σχήμα, τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του οποίου μελετώνται στα λύκεια. Κατά κανόνα, κατά τη μελέτη του λαμβάνονται υπόψη ποσότητες όπως ο όγκος και η επιφάνεια. Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε μια ελαφρώς διαφορετική ερώτηση: θα παρουσιάσουμε μια μέθοδο για τον προσδιορισμό του μήκους των διαγωνίων ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τετραγωνικού σχήματος.
Ποιο σχήμα ονομάζεται πρίσμα;
Στη γεωμετρία, δίνεται ο ακόλουθος ορισμός του πρίσματος: είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα που οριοθετείται από δύο πολυγωνικές όμοιες πλευρές που είναι παράλληλες μεταξύ τους και έναν ορισμένο αριθμό παραλληλογραμμών. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα πρίσματος που αντιστοιχεί σε αυτόν τον ορισμό.
Βλέπουμε ότι τα δύο κόκκινα πεντάγωνα είναι ίσα μεταξύ τους και βρίσκονται σε δύο παράλληλα επίπεδα. Πέντε ροζ παραλληλόγραμμα συνδέουν αυτά τα πεντάγωνα σε ένα στερεό αντικείμενο - ένα πρίσμα. Τα δύο πεντάγωνα ονομάζονται βάσεις του σχήματος και τα παραλληλόγραμμά του είναι οι πλευρικές όψεις.
Τα πρίσματα μπορεί να είναι ίσια ή λοξά, που ονομάζονται επίσης ορθογώνια ή λοξά. Η διαφορά μεταξύ τους έγκειται στις γωνίες μεταξύ της βάσης και των πλευρικών άκρων. Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, όλες αυτές οι γωνίες είναι ίσες με 90 o.
Με βάση τον αριθμό των πλευρών ή των κορυφών του πολυγώνου στη βάση, μιλούν για τριγωνικά, πενταγωνικά, τετράγωνα πρίσματα κ.ο.κ. Επιπλέον, εάν αυτό το πολύγωνο είναι κανονικό και το ίδιο το πρίσμα είναι ευθύ, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται κανονικό.
Το πρίσμα που φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα είναι πενταγωνικό κεκλιμένο. Παρακάτω υπάρχει ένα πεντάγωνο δεξιό πρίσμα, το οποίο είναι κανονικό.
Είναι βολικό να εκτελούνται όλοι οι υπολογισμοί, συμπεριλαμβανομένης της μεθόδου για τον προσδιορισμό των διαγωνίων ενός πρίσματος, ειδικά για τα σωστά σχήματα.
Ποια στοιχεία χαρακτηρίζουν ένα πρίσμα;
Τα στοιχεία μιας φιγούρας είναι τα συστατικά που τη σχηματίζουν. Ειδικά για ένα πρίσμα, διακρίνονται τρεις κύριοι τύποι στοιχείων:
- άριστος;
- άκρες ή πλευρές?
- παϊδάκια
Ως όψεις θεωρούνται οι βάσεις και τα πλευρικά επίπεδα, που αντιπροσωπεύουν παραλληλόγραμμα στη γενική περίπτωση. Σε ένα πρίσμα, κάθε πλευρά είναι πάντα ένας από τους δύο τύπους: είτε είναι πολύγωνο είτε παραλληλόγραμμο.
Οι άκρες ενός πρίσματος είναι εκείνα τα τμήματα που περιορίζουν κάθε πλευρά του σχήματος. Όπως και οι όψεις, οι άκρες διατίθενται επίσης σε δύο τύπους: αυτές που ανήκουν στη βάση και την πλευρική επιφάνεια ή αυτές που ανήκουν μόνο στην πλευρική επιφάνεια. Υπάρχουν πάντα διπλάσια από τα πρώτα από τα δεύτερα, ανεξάρτητα από το είδος του πρίσματος.
Οι κορυφές είναι τα σημεία τομής τριών άκρων του πρίσματος, δύο από τα οποία βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης και η τρίτη ανήκει στις δύο πλευρικές όψεις. Όλες οι κορυφές του πρίσματος βρίσκονται στα επίπεδα των βάσεων του σχήματος.
Οι αριθμοί των περιγραφόμενων στοιχείων συνδέονται σε μια ενιαία ισότητα, η οποία έχει την ακόλουθη μορφή:
P = B + C - 2.
Εδώ P είναι ο αριθμός των ακμών, B - κορυφές, C - πλευρές. Αυτή η ισότητα ονομάζεται θεώρημα του Euler για το πολύεδρο.
Το σχήμα δείχνει ένα τριγωνικό κανονικό πρίσμα. Ο καθένας μπορεί να μετρήσει ότι έχει 6 κορυφές, 5 πλευρές και 9 ακμές. Αυτά τα στοιχεία είναι συνεπή με το θεώρημα του Euler.
Διαγώνιοι πρίσματος
Μετά από ιδιότητες όπως ο όγκος και το εμβαδόν επιφάνειας, σε προβλήματα γεωμετρίας συναντάμε συχνά πληροφορίες για το μήκος μιας συγκεκριμένης διαγωνίου του εν λόγω σχήματος, οι οποίες είτε δίνονται είτε πρέπει να βρεθούν χρησιμοποιώντας άλλες γνωστές παραμέτρους. Ας εξετάσουμε τι διαγώνιες έχει ένα πρίσμα.
Όλες οι διαγώνιοι μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους:
- Ξαπλωμένο στο επίπεδο των προσώπων. Συνδέουν μη γειτονικές κορυφές είτε ενός πολυγώνου στη βάση ενός πρίσματος είτε ενός παραλληλογράμμου στην πλευρική επιφάνεια. Η τιμή των μηκών τέτοιων διαγωνίων καθορίζεται με βάση τη γνώση των μηκών των αντίστοιχων ακμών και των γωνιών μεταξύ τους. Για τον προσδιορισμό των διαγωνίων των παραλληλογραμμών, χρησιμοποιούνται πάντα οι ιδιότητες των τριγώνων.
- Πρίσματα που βρίσκονται μέσα στον τόμο. Αυτές οι διαγώνιες συνδέουν τις ανόμοιες κορυφές δύο βάσεων. Αυτές οι διαγώνιοι βρίσκονται εντελώς μέσα στο σχήμα. Τα μήκη τους είναι κάπως πιο δύσκολο να υπολογιστούν σε σχέση με τον προηγούμενο τύπο. Η μέθοδος υπολογισμού περιλαμβάνει τη λήψη υπόψη των μηκών των νευρώσεων και της βάσης και των παραλληλόγραμμων. Για ευθεία και κανονικά πρίσματα ο υπολογισμός είναι σχετικά απλός καθώς πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Διαγώνιες πλευρών τετράπλευρου ορθού πρίσματος
Το παραπάνω σχήμα δείχνει τέσσερα ίδια ευθύγραμμα πρίσματα και δίνονται οι παράμετροι των άκρων τους. Στα πρίσματα Διαγώνιος Α, Διαγώνιος Β και Διαγώνιος Γ, η διακεκομμένη κόκκινη γραμμή δείχνει τις διαγώνιες τριών διαφορετικών όψεων. Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι μια ευθεία γραμμή με ύψος 5 cm και η βάση του αντιπροσωπεύεται από ένα ορθογώνιο με πλευρές 3 cm και 2 cm, δεν είναι δύσκολο να βρείτε τις σημειωμένες διαγώνιες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το μήκος της διαγωνίου της βάσης του πρίσματος (Διαγώνιος Α) είναι ίσο με:
D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3.606 cm.
Για την πλευρική όψη του πρίσματος, η διαγώνιος είναι ίση (βλ. Διαγώνιο Β):
D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.
Τέλος, το μήκος μιας άλλης πλευρικής διαγωνίου είναι (βλ. Διαγώνιο C):
D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5.385 cm.
Εσωτερικό διαγώνιο μήκος
Τώρα ας υπολογίσουμε το μήκος της διαγωνίου του τετραγωνικού πρίσματος, το οποίο φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα (Διαγώνιος D). Αυτό δεν είναι τόσο δύσκολο να γίνει αν παρατηρήσετε ότι είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου στο οποίο τα σκέλη θα είναι το ύψος του πρίσματος (5 cm) και η διαγώνιος D A που φαίνεται στο σχήμα πάνω αριστερά (Διαγώνιος Α). Τότε παίρνουμε:
D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.
Κανονικό τετράγωνο πρίσμα
Η διαγώνιος ενός κανονικού πρίσματος, του οποίου η βάση είναι ένα τετράγωνο, υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Ο αντίστοιχος τύπος είναι:
D = √(2*a 2 +c 2).
Όπου a και c είναι τα μήκη της πλευράς της βάσης και της πλευρικής ακμής, αντίστοιχα.
Σημειώστε ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε μόνο το Πυθαγόρειο θεώρημα. Να προσδιορίσετε τα μήκη των διαγωνίων των κανονικών πρισμάτων με ένας μεγάλος αριθμόςκορυφές (πενταγωνικές, εξαγωνικές και ούτω καθεξής) είναι ήδη απαραίτητο να εφαρμοστούν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Η στερεομετρία είναι ένα σημαντικό κομμάτι γενική πορείαγεωμετρία, η οποία εξετάζει τα χαρακτηριστικά των χωρικών μορφών. Ένα τέτοιο σχήμα είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα. Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε λεπτομερέστερα το ερώτημα πώς να υπολογίσουμε τον όγκο ενός τετραγωνικού πρίσματος.
Τι είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα;
Προφανώς, πριν δώσουμε τον τύπο για τον όγκο ενός τετραγωνικού πρίσματος, είναι απαραίτητο να δώσουμε έναν σαφή ορισμό αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Με ένα τέτοιο πρίσμα εννοούμε ένα τρισδιάστατο πολύεδρο, το οποίο περιορίζεται από δύο αυθαίρετα πανομοιότυπα τετράγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και τέσσερα παραλληλόγραμμα.
Τα σημειωμένα τετράπλευρα παράλληλα μεταξύ τους ονομάζονται βάσεις του σχήματος και τα τέσσερα παραλληλόγραμμα είναι οι πλευρές. Εδώ θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι και τα παραλληλόγραμμα είναι τετράπλευρα, αλλά οι βάσεις δεν είναι πάντα παραλληλόγραμμες. Ένα παράδειγμα ακανόνιστου τετράπλευρου, που μπορεί κάλλιστα να είναι η βάση ενός πρίσματος, φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Οποιοδήποτε τετράπλευρο πρίσμα αποτελείται από 6 πλευρές, 8 κορυφές και 12 ακμές. Υπάρχουν τετράπλευρα πρίσματα ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ. Για παράδειγμα, ένα σχήμα μπορεί να είναι λοξό ή ίσιο, ακανόνιστο και κανονικό. Αργότερα στο άρθρο θα δείξουμε πώς μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός τετραγωνικού πρίσματος, λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο του.
Κεκλιμένο πρίσμα με λανθασμένη βάση
Αυτός είναι ο πιο ασύμμετρος τύπος τετράπλευρου πρίσματος, επομένως ο υπολογισμός του όγκου του θα είναι σχετικά δύσκολος. Η ακόλουθη έκφραση σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε τον όγκο ενός σχήματος:
Το σύμβολο So εδώ υποδηλώνει την περιοχή της βάσης. Εάν αυτή η βάση είναι ρόμβος, παραλληλόγραμμο ή ορθογώνιο, τότε ο υπολογισμός της τιμής του So είναι εύκολος. Άρα, για έναν ρόμβο και ένα παραλληλόγραμμο ισχύει ο τύπος:
όπου a είναι η πλευρά της βάσης, ha είναι το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά από την κορυφή της βάσης.
Εάν η βάση είναι ένα ακανόνιστο πολύγωνο (βλ. παραπάνω), τότε το εμβαδόν του πρέπει να χωριστεί σε απλούστερα σχήματα (για παράδειγμα, τρίγωνα), να υπολογίσετε το εμβαδόν τους και να βρείτε το άθροισμά τους.
Στον τύπο για τον όγκο, το σύμβολο h υποδηλώνει το ύψος του πρίσματος. Αντιπροσωπεύει το μήκος του κάθετου τμήματος μεταξύ δύο βάσεων. Εφόσον το πρίσμα είναι κεκλιμένο, το ύψος h θα πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το μήκος της πλευρικής ακμής b και τις δίεδρες γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης.
Το σωστό σχήμα και ο όγκος του
Εάν η βάση ενός τετράγωνου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο και το ίδιο το σχήμα είναι ίσιο, τότε ονομάζεται κανονικό. Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι ευθύ πρίσμα ονομάζεται όταν όλες οι πλευρές του είναι ορθογώνιες και κάθε μία από αυτές είναι κάθετη στις βάσεις. Το σωστό σχήμα φαίνεται παρακάτω.
Ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο με τον όγκο ενός ακανόνιστου σχήματος. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του υπολογίζεται απλά:
Το ύψος του πρίσματος h είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής b (πλευρά του ορθογωνίου). Στη συνέχεια, ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Ένα κανονικό πρίσμα με τετράγωνη βάση ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Εάν οι πλευρές a και b είναι ίσες, αυτό το παραλληλεπίπεδο γίνεται κύβος. Ο όγκος του τελευταίου υπολογίζεται ως εξής:
Οι γραπτοί τύποι για τον όγκο V υποδεικνύουν ότι όσο μεγαλύτερη είναι η συμμετρία του σχήματος, τόσο λιγότερες γραμμικές παράμετροι απαιτούνται για τον υπολογισμό αυτής της τιμής. Έτσι, στην περίπτωση ενός κανονικού πρίσματος, ο απαιτούμενος αριθμός παραμέτρων είναι δύο, και στην περίπτωση ενός κύβου - μία.
Το πρόβλημα με το σωστό σχήμα
Έχοντας εξετάσει το θέμα της εύρεσης του όγκου ενός τετράπλευρου πρίσματος από θεωρητική άποψη, θα εφαρμόσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στην πράξη.
Είναι γνωστό ότι ένα κανονικό παραλληλεπίπεδο έχει διαγώνιο βάσης 12 εκ. Το διαγώνιο μήκος της πλευράς του είναι 20 εκ. Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του όγκου του παραλληλεπίπεδου.
Ας συμβολίσουμε τη διαγώνιο της βάσης με το σύμβολο da και τη διαγώνιο της πλευρικής όψης με το σύμβολο db. Για τη διαγώνιο da ισχύουν οι ακόλουθες εκφράσεις:
Όσον αφορά την τιμή db, είναι η διαγώνιος ενός ορθογωνίου με πλευρές a και b. Για αυτό μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες:
db2 = a2 + b2 =>
b = √(db2 - a2)
Αντικαθιστώντας την έκφραση που βρέθηκε για a στην τελευταία ισότητα, παίρνουμε:
b = √(db2 - da2/2)
Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε τους προκύπτοντες τύπους στην έκφραση για τον όγκο του κανονικού σχήματος:
V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)
Αντικαθιστώντας τα da και db με τους αριθμούς από τη δήλωση προβλήματος, καταλήγουμε στην απάντηση: V ≈ 1304 cm3.
Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε την περιοχή της βάσης του πρίσματος, θα πρέπει να καταλάβετε τι τύπο έχει.
Γενική θεωρία
Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν σχήμα παραλληλογράμμου. Επιπλέον, η βάση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύεδρο - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτό που δεν ισχύει για τις πλαϊνές όψεις είναι ότι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.
Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν συναντάται μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος. Μπορεί να απαιτεί γνώση της πλάγιας επιφάνειας, δηλαδή όλων των όψεων που δεν είναι βάσεις. Πλήρης επιφάνειαθα υπάρχει ήδη μια ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.
Μερικές φορές τα προβλήματα περιλαμβάνουν ύψος. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.
Τριγωνικό πρίσμα
Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να είναι διαφορετικό. Αν ναι, αρκεί να θυμάστε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.
Ο μαθηματικός συμβολισμός μοιάζει με αυτό: S = ½ av.
Για να μάθετε το εμβαδόν της βάσης γενικά, οι τύποι είναι χρήσιμοι: Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά καταλαμβάνεται από το ύψος που τραβιέται σε αυτό.
Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Αυτή η σημείωση περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.
Δεύτερον: S = ½ n a * a.
Εάν θέλετε να μάθετε το εμβαδόν της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, το οποίο είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Υπάρχει ένας τύπος για αυτό: S = ¼ a 2 * √3.
Τετράγωνο πρίσμα
Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράγωνα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.
Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = ab, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.
Όταν πρόκειται για ένα τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στα θεμέλια. S = a 2.
Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S = a * n a. Συμβαίνει να δίνονται η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου και μία από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: n a = b * sin A. Επιπλέον, η γωνία Α είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία.
Εάν υπάρχει ένας ρόμβος στη βάση του πρίσματος, τότε για να προσδιορίσετε το εμβαδόν του θα χρειαστείτε τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο (αφού είναι ειδική περίπτωση του). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.
Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα
Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό κορυφών.
Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.
Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα
Χρησιμοποιώντας την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο της βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο που θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.
Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 a 2 * √3.
Καθήκοντα
Νο. 1. Δεδομένης μιας κανονικής ευθείας γραμμής, η διαγώνιος της είναι 22 εκ., το ύψος του πολυέδρου είναι 14 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.
Λύση.Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του είναι άγνωστη. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 = d 2 - n 2. Από την άλλη πλευρά, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 = a 2 + a 2. Έτσι αποδεικνύεται ότι a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 cm. Τώρα απλά μάθετε την περιοχή της βάσης: 12 * 12 = 144 cm 2.
Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε δύο φορές την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυεδρικού και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. συνολική έκτασηΗ επιφάνεια του πρίσματος αποδεικνύεται ότι είναι 960 cm 2.
Απάντηση.Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 144 cm 2. Ολόκληρη η επιφάνεια είναι 960 cm 2.
Νο 2. Δίνεται Στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρά 6 εκ. Στην περίπτωση αυτή, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 εκ. Υπολογίστε τα εμβαδά: τη βάση και την πλάγια επιφάνεια.
Λύση.Εφόσον το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με το 6 στο τετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο με το ¼ και την τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.
Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 εκ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, απλώς πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τραύματος αποδεικνύεται ότι είναι 180 cm 2.
Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.
