Πώς υπολογίζεται η τετραγωνική ρίζα; Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού: πώς να τον υπολογίσετε χειροκίνητα. Εκθεσιμότητα

Ανάμεσα στις πολλές γνώσεις που είναι σημάδι αλφαβητισμού, το αλφάβητο έρχεται πρώτο. Το επόμενο, εξίσου «σημαδιακό» στοιχείο είναι οι δεξιότητες πρόσθεσης-πολλαπλασιασμού και, δίπλα τους, αλλά αντίθετες στη σημασία, αριθμητικές πράξεις αφαίρεσης-διαίρεσης. Οι δεξιότητες που μάθαμε στην παιδική ηλικία του μακρινού σχολείου εξυπηρετούν πιστά μέρα και νύχτα: τηλεόραση, εφημερίδα, SMS και παντού διαβάζουμε, γράφουμε, μετράμε, προσθέτουμε, αφαιρούμε, πολλαπλασιάζουμε. Και, πες μου, χρειάστηκες συχνά να βγάλεις ρίζες στη ζωή σου, εκτός από τη ντάτσα; Για παράδειγμα, ένα τόσο διασκεδαστικό πρόβλημα, όπως η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 12345... Υπάρχει ακόμα πυρίτιδα στις φιάλες; Μπορούμε να το χειριστούμε; Τίποτα δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό! Πού είναι η αριθμομηχανή μου... Και χωρίς αυτήν, η μάχη σώμα με σώμα είναι αδύναμη;

Αρχικά, ας διευκρινίσουμε τι είναι - η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού. Σε γενικές γραμμές, «παίρνοντας τη ρίζα ενός αριθμού» σημαίνει ότι εκτελείτε την αριθμητική πράξη αντίθετη από την αύξηση σε μια δύναμη - εδώ έχετε την ενότητα των αντιθέτων στην εφαρμογή της ζωής. Ας υποθέσουμε ότι ένα τετράγωνο είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού από μόνος του, δηλαδή, όπως διδάσκεται στο σχολείο, X * X = A ή σε άλλη σημειογραφία X2 = A, και με λέξεις - "Το X στο τετράγωνο ισούται με Α." Τότε το αντίστροφο πρόβλημα ακούγεται ως εξής: η τετραγωνική ρίζα του αριθμού Α είναι ο αριθμός Χ, ο οποίος, όταν τετραγωνιστεί, ισούται με Α.

Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα

Από σχολικό μάθημαΗ Αριθμητική γνωρίζει μεθόδους υπολογισμών «σε στήλη», οι οποίες βοηθούν στην εκτέλεση οποιωνδήποτε υπολογισμών χρησιμοποιώντας τις τέσσερις πρώτες αριθμητικές πράξεις. Αλίμονο... Για τετράγωνες, και όχι μόνο, ρίζες τέτοιοι αλγόριθμοι δεν υπάρχουν. Και σε αυτήν την περίπτωση, πώς να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα χωρίς αριθμομηχανή; Με βάση τον ορισμό τετραγωνική ρίζαΥπάρχει μόνο ένα συμπέρασμα - είναι απαραίτητο να επιλέξετε την τιμή του αποτελέσματος απαριθμώντας διαδοχικά αριθμούς των οποίων το τετράγωνο προσεγγίζει την τιμή της ριζικής έκφρασης. Αυτό είναι όλο! Πριν περάσει μια ή δύο ώρες, μπορείτε να υπολογίσετε, χρησιμοποιώντας τη γνωστή μέθοδο πολλαπλασιασμού σε μια «στήλη», οποιαδήποτε τετραγωνική ρίζα. Εάν έχετε τις δεξιότητες, αυτό θα διαρκέσει μόνο μερικά λεπτά. Ακόμη και ένας όχι και τόσο προχωρημένος χρήστης αριθμομηχανής ή υπολογιστή μπορεί να το κάνει αυτό με μια πτώση - πρόοδος.

Αλλά σοβαρά, ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας εκτελείται συχνά χρησιμοποιώντας την τεχνική "πιρούνι πυροβολικού": πρώτα πάρτε έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο αντιστοιχεί περίπου στη ριζική έκφραση. Είναι καλύτερα αν το «τετράγωνό μας» είναι ελαφρώς μικρότερο από αυτήν την έκφραση. Στη συνέχεια προσαρμόζουν τον αριθμό σύμφωνα με τη δική τους ικανότητα και κατανόηση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζουν επί δύο, και τον... τετραγωνίζουν ξανά. Αν το αποτέλεσμα περισσότερος αριθμόςκάτω από τη ρίζα, προσαρμόζοντας διαδοχικά τον αρχικό αριθμό, πλησιάζοντας σταδιακά τον "συνάδελφό" του κάτω από τη ρίζα. Όπως μπορείτε να δείτε - δεν υπάρχει αριθμομηχανή, μόνο η δυνατότητα μέτρησης "σε μια στήλη". Φυσικά, υπάρχουν πολλοί επιστημονικά αποδεδειγμένοι και βελτιστοποιημένοι αλγόριθμοι για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας, αλλά για «οικιακή χρήση» η παραπάνω τεχνική δίνει 100% εμπιστοσύνη στο αποτέλεσμα.

Ναι, σχεδόν ξέχασα, για να επιβεβαιώσουμε τον αυξημένο αλφαβητισμό μας, ας υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του προηγουμένως υποδεικνυόμενου αριθμού 12345. Το κάνουμε βήμα προς βήμα:

1. Ας πάρουμε, καθαρά διαισθητικά, Χ=100. Ας υπολογίσουμε: X * X = 10000. Η διαίσθηση είναι στα καλύτερά της - το αποτέλεσμα είναι μικρότερο από 12345.

2. Ας δοκιμάσουμε, επίσης καθαρά διαισθητικά, X = 120. Τότε: X * X = 14400. Και πάλι, η διαίσθηση είναι σε τάξη - το αποτέλεσμα είναι περισσότερο από 12345.

3. Πάνω πήραμε μια "διχάλα" 100 και 120. Ας επιλέξουμε νέους αριθμούς - 110 και 115. Παίρνουμε, αντίστοιχα, 12100 και 13225 - το πιρούνι στενεύει.

4. Ας δοκιμάσουμε το «ίσως» X=111. Λαμβάνουμε X * X = 12321. Αυτός ο αριθμός είναι ήδη αρκετά κοντά στο 12345. Σύμφωνα με την απαιτούμενη ακρίβεια, η "ταιριά" μπορεί να συνεχιστεί ή να σταματήσει στο αποτέλεσμα που προκύπτει. Αυτό είναι όλο. Όπως υποσχέθηκε - όλα είναι πολύ απλά και χωρίς αριθμομηχανή.

Λίγη ιστορία...

Σκέφτηκε να το χρησιμοποιήσει τετραγωνικές ρίζεςεπίσης Πυθαγόρειοι, μαθητές της σχολής και οπαδοί του Πυθαγόρα, 800 π.Χ. και ακριβώς εκεί, «πέσαμε» σε νέες ανακαλύψεις στον τομέα των αριθμών. Και από πού προέκυψε αυτό;

1. Η επίλυση του προβλήματος με την εξαγωγή της ρίζας δίνει το αποτέλεσμα με τη μορφή αριθμών μιας νέας κλάσης. Ονομάστηκαν παράλογα, με άλλα λόγια, «παράλογα», γιατί. δεν γράφονται ως πλήρης αριθμός. Το πιο κλασικό παράδειγμα αυτού του είδους είναι η τετραγωνική ρίζα του 2. Αυτή η περίπτωση αντιστοιχεί στον υπολογισμό της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά ίση με 1 - αυτή είναι η επιρροή της Πυθαγόρειας σχολής. Αποδείχθηκε ότι σε ένα τρίγωνο με πολύ συγκεκριμένο μοναδιαίο μέγεθος πλευρών, η υποτείνουσα έχει μέγεθος που εκφράζεται με έναν αριθμό που «δεν έχει τέλος». Έτσι εμφανίστηκαν στα μαθηματικά

2. Είναι γνωστό ότι αποδείχθηκε ότι αυτή η μαθηματική πράξη περιέχει μια άλλη σύλληψη - κατά την εξαγωγή της ρίζας, δεν γνωρίζουμε ποιος αριθμός, θετικός ή αρνητικός, είναι το τετράγωνο της ριζικής έκφρασης. Αυτή η αβεβαιότητα, ένα διπλό αποτέλεσμα από μία πράξη, καταγράφεται.

Η μελέτη των προβλημάτων που σχετίζονται με αυτό το φαινόμενο έχει γίνει μια κατεύθυνση στα μαθηματικά που ονομάζεται θεωρία μιγαδικών μεταβλητών, η οποία έχει μεγάλη πρακτική σημασία στη μαθηματική φυσική.

Είναι περίεργο ότι ο ίδιος πανταχού παρών I. Newton χρησιμοποίησε τον προσδιορισμό της ρίζας - ριζική - στην "Universal Arithmetic" του και ακριβώς η σύγχρονη μορφή σημειογραφίας της ρίζας είναι γνωστή από το 1690 από το βιβλίο του Γάλλου Rolle "Manual της Άλγεβρας».

Λοιπόν, αν λάβουμε υπόψη ότι αυτή ακριβώς η τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο του ίδιου αριθμού (δηλαδή, b = a), τότε η τετραγωνική ρίζα του εκατό θα είναι 10 (100 = 10).

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αριθμός 100 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του 25 και του 4. Και στη συνέχεια υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα και του 25 και του 4. 5 και 2. Πολλαπλασιάστε και λάβετε επίσης 10.

Όταν αρχίσαμε να μελετάμε αυτό το θέμα στο σχολείο, τετραγωνική ρίζα 100ήταν ίσως ένα από τα πιο εύκολα κατανοητά και υπολογισμούς. Συνήθως κοιτούσα έναν ζυγό (!) αριθμό μηδενικών και υπολόγιζα αμέσως ποιος αριθμός, πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό κάτω από την τετραγωνική ρίζα. Για παράδειγμα, αν ήταν 10000, τότε η τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού θα ήταν εκατό (100x100 = 10000). Εάν ο αριθμός κάτω από τ. η ρίζα είναι έξι μηδενικά, τότε η απάντηση θα περιέχει τρία μηδενικά. Και τα λοιπά.

Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχουν μόνο δύο μηδενικά στον αριθμό, που σημαίνει ότι υπήρχαν δύο δεκάδες. Ετσι, Η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10.Ελέγχουμε: 10x10 = 100

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας.

1) Πάρτε μια αριθμομηχανή ή ένα smartphone/tablet/υπολογιστή με εγκατεστημένο ένα πρόγραμμα υπολογισμού, πληκτρολογήστε τον αριθμό 100 και κάντε κλικ στο εικονίδιο της τετραγωνικής ρίζας, που μοιάζει κάπως έτσι:

2) Γνωρίστε τον πίνακα των τετραγώνων των αριθμών μέχρι το 100=25*4.

3) Με μέθοδο διαίρεσης.

4) Με τη μέθοδο της αποσύνθεσης σε πρώτους συντελεστές 100=10*10.

Θεωρητικά, αν τα κάνεις όλα σωστά, θα έχεις αποτέλεσμα 10.

Το εικονίδιο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση μιας τετραγωνικής ρίζας ονομάζεται ρίζα και μοιάζει με αυτό.

Και η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι εύκολο να εξαχθεί αν γνωρίζετε τα τετράγωνα των αριθμών. 10 Χ 10 = 100. Άρα η τετραγωνική ρίζα του 100, μετά τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, είναι 10.

Πιθανώς κάθε μαθητής γνωρίζει ότι ο αριθμός 100 είναι το γινόμενο του 10 επί 10.

Εφόσον η τετραγωνική ρίζα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, είναι ριζική έκφραση, τότε Η τετραγωνική ρίζα του εκατό είναι ίση με τον αριθμό 10.

Αν ξεχάσατε ότι 100=10*10, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των ριζών:

ρίζα του 100 = ρίζα του (25*4) = ρίζα του 25 * ρίζα του 4.

Όλοι γνωρίζουν ότι 5*5 = 25 και 2*2 = 4. Επομένως, η ρίζα του 100 = 5 * 2 = 10.

Λοιπόν, αν δεν το γνωρίζετε αυτό, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή ή πίνακες Excel, έχουν έναν ειδικό τύπο που ονομάζεται ΡΙΖΑ. Δείτε πώς φαίνονται όλα οπτικά:



Σήμερα, χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή είναι πολύ εύκολο να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού.

Μπορείτε να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του 100 από το στόμα. Άλλωστε, είναι γνωστό ότι φέρνοντας τον αριθμό x στο τετράγωνο είναι ο αριθμός x πολλαπλασιασμένος με τον αριθμό x.

Αν 10 10 = 100, τότε η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10.

Απάντηση στην ερώτηση: 10 .

Η τετραγωνική ρίζα στα μαθηματικά συμβολίζεται με ένα συμβατικό σύμβολο.

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με α. Αφού 10^2=100, η ​​τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10.

Υπάρχουν αριθμοί των οποίων οι ρίζες είναι πολύ εύκολο να θυμηθούν. Για μένα, αυτό είναι, για παράδειγμα, 25 - η ρίζα θα είναι 5, αφού 5*5=25, 625 είναι η ρίζα του 25, αφού 25*25=625.

Συμπεριλαμβάνω επίσης τον αριθμό 100 ως τέτοιους αριθμούς - η ρίζα θα είναι 10, ελέγξτε 10*10=100. Άρα είναι σωστό.

Τετραγωνική ρίζα εκατό; φαίνεται ότι θα είναι 10

Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι κάποιος θα μπήκε στο διαδίκτυο για να βρει αυτήν την απάντηση, αλλά αν φανταστούμε ότι είναι εντελώς ασύλληπτος και απρόσεκτος, τότε δίνω την απάντηση. Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 100 είναι 10 και επίσης -10. Πολλές πηγές το γράφουν έτσι.



Η τετραγωνική ρίζα του 100 έχει δύο τιμές: 10 και -10. Όσοι δεν πιστεύουν μπορούν να ελέγξουν πολλαπλασιάζοντας.

Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα χωρίς αριθμομηχανή, πρέπει να καταφύγετε στην αποσύνθεση του αριθμού κάτω από τη ρίζα στους μικρότερους παράγοντες και να προχωρήσετε από εκεί. Έτσι για τον αριθμό εκατό:

Και κατά συνέπεια, από εδώ γίνεται αμέσως σαφές ότι η τετραγωνική ρίζα του εκατό θα είναι ακριβώς 10.

Έπρεπε να θυμηθώ έναν κανόνα που θυμόμουν από το σχολείο:

Αν και η εξαγωγή της ρίζας του 100 είναι μια απλή υπόθεση που δεν απαιτεί τη χρήση αριθμομηχανών, αφού είναι ριζωμένη στη μνήμη για μια ζωή. Ο αριθμός 100 προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το 10 με το 10, άρα και τον αριθμό 10 και θα είναι η ρίζα εκατό.

Σήμερα θα καταλάβουμε σε αυτή τη σελίδα του ιστότοπού μας ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 100. Ας καταλάβουμε μαζί ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 100, αφού 1000 επιστήμονες ασχολούνται με αυτό το θέμα για πολλές δεκαετίες και πολλοί έχουν καταλήξει στο αναπόφευκτο συμπέρασμα από υπολογισμούς ότι μια τέτοια ρίζα δεν υπάρχει καθόλου και είναι απλά αδύνατο να το υπολογίσεις. Είναι επίσης πολύ σημαντικό σε αυτή την περίπτωση να κάνουμε ακριβώς τη σωστή ερώτηση για να προσδιορίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 100. Για την ακρίβεια, θα υπολογίσουμε την αριθμητική τετραγωνική ρίζα του 100, αφού στη συνηθισμένη τετραγωνική ρίζα του 100 θα καταλήξουμε σε δύο αριθμοί: 10 και - 10.

Μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα αυτών των αριθμών που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας μια απλή αριθμητική τεχνική χρησιμοποιώντας μια κατακόρυφη, γνωστή γραμμή, αριθμούς και ρίζες που είναι γραμμένες κάτω δεξιά. Εκεί θα βρούμε το τετράγωνο των μονάδων της ρίζας που χρειαζόμαστε, μετά θα πολλαπλασιάσουμε τις δεκάδες και θα βρούμε το διπλάσιο και όχι το τριπλάσιο του γινόμενου του δέκα οποιασδήποτε ρίζας ανά μονάδες. Θα πρέπει να τετραγωνίσουμε ορισμένους αριθμούς έτσι ώστε το σύνολο να γίνει διψήφιος αριθμός· αν στο τέλος πάρουμε τον αριθμό 10, τότε τα έχουμε κάνει όλα σωστά μαζί σας. Το κύριο πράγμα είναι να εξοικειωθείτε αρχικά με τα μαθηματικά και τη μαθηματική πρόοδο της σύνθεσης της τετραγωνικής ρίζας πριν ξεκινήσετε τους υπολογισμούς.

Θυμηθείτε έναν μοναδικό και βασικό κανόνα: για να εξαγάγουμε την απαραίτητη τετραγωνική ρίζα από οποιονδήποτε ακέραιο, πρώτα από όλα εξάγουμε όποια ρίζα χρειαζόμαστε από τον αριθμό των αθροισμάτων και των εκατοντάδων του. Εάν ο αριθμός είναι ίσος ή μεγαλύτερος από 100, τότε αρχίζουμε να ψάχνουμε για τη ρίζα των εκατοντάδων πραγματικών αριθμών αυτών των εκατοντάδων, μετά των δεκάδων χιλιάδων του πραγματικού αριθμού, ειδικά αν ο δεδομένος αριθμός είναι πολύ μεγαλύτερος από το 100 , τότε αναγκαστικά εξάγουμε τη ρίζα του αριθμού των εκατοντάδων δεκάδων χιλιάδων ή για να είμαστε πιο ακριβείς: από ένα εκατομμύριο ενός δεδομένου αριθμού. Υπάρχουν πολλοί κανόνες και διάφορες επιστημονικές συστάσεις για αυτό το θέμα, σχολικά προγράμματακατά την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας του 100 θα είναι πάντα η ίδια.

Αν αναλογιστούμε την πρόοδο εύρεσης της ρίζας του αριθμού 100, πρέπει να προσέξουμε το γεγονός ότι υπάρχουν τόσοι αριθμοί στη ρίζα όσοι είναι κάτω από αυτήν. πεπερασμένος αριθμόςπλευρές, ενώ η αριστερή πλευρά μπορεί να αποτελείται μόνο από ένα ψηφίο. Με βάση όλα αυτά, η πιο ακριβής τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού στον πλανήτη γη θα είναι το άθροισμα των αριθμών των οποίων το τετράγωνο ακριβώς όταν υπολογίζεται είναι ίσο με δεδομένου αριθμού. Εδώ μπορούμε να τελειώσουμε σύντομο μάθημαυπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του 100 που θα ισούται με (10) δέκα.

Κωνσταντίνοβα Βέρα

Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού

Το πρόβλημα της εύρεσης μιας ρίζας στα μαθηματικά είναι το αντίστροφο πρόβλημα της αύξησης ενός αριθμού σε δύναμη. Υπάρχουν διαφορετικές ρίζες: ρίζες του δεύτερου βαθμού, ρίζες του τρίτου βαθμού, ρίζες του τέταρτου βαθμού, και ούτω καθεξής. Εξαρτάται από την ισχύ στην οποία αυξήθηκε αρχικά ο αριθμός. Η ρίζα συμβολίζεται με το σύμβολο: √ είναι μια τετραγωνική ρίζα, δηλαδή η ρίζα του δεύτερου βαθμού· εάν η ρίζα έχει βαθμό μεγαλύτερο από τον δεύτερο, τότε ο αντίστοιχος βαθμός εκχωρείται πάνω από το σύμβολο της ρίζας. Ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι μια ριζική έκφραση. Όταν βρίσκετε μια ρίζα, υπάρχουν αρκετοί κανόνες που θα σας βοηθήσουν να μην κάνετε λάθος στην εύρεση της ρίζας:

• Ακόμη και ρίζα ισχύος (αν η ισχύς είναι 2, 4, 6, 8, κ.λπ.) του αρνητικός αριθμόςΔεν υπάρχει. Εάν η ριζική έκφραση είναι αρνητική, αλλά αναζητείται η ρίζα ενός περιττού βαθμού (3, 5, 7 κ.ο.κ.), τότε το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.
• Η ρίζα οποιασδήποτε δύναμης του ενός είναι πάντα μία: √1 = 1.
• Η ρίζα του μηδέν είναι μηδέν: √0 = 0.

Πώς να βρείτε τη ρίζα του 100

Εάν το πρόβλημα δεν λέει ποια ρίζα του βαθμού πρέπει να βρεθεί, τότε συνήθως σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί η ρίζα του δεύτερου βαθμού (τετράγωνο).
Ας βρούμε √100 = ? Πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, όταν ανυψωθεί στη δεύτερη δύναμη, δίνει τον αριθμό 100. Προφανώς, ένας τέτοιος αριθμός είναι ο αριθμός 10, αφού: 10 2 = 100. Επομένως, √100 = 10: η τετραγωνική ρίζα του 100 είναι 10.

Όταν αποφασίζει διάφορα καθήκονταΣτα μαθήματα των μαθηματικών και της φυσικής, οι μαθητές και οι φοιτητές αντιμετωπίζουν συχνά την ανάγκη να εξάγουν ρίζες του δεύτερου, του τρίτου ή του nου βαθμού. Φυσικά, στον αιώνα Τεχνολογίες πληροφορικήςΔεν θα είναι δύσκολο να λύσετε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ωστόσο, προκύπτουν καταστάσεις όταν είναι αδύνατη η χρήση του ηλεκτρονικού βοηθού.

Για παράδειγμα, πολλές εξετάσεις δεν σου επιτρέπουν να φέρεις ηλεκτρονικά. Επιπλέον, μπορεί να μην έχετε αριθμομηχανή στο χέρι. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε τουλάχιστον μερικές μεθόδους για τον χειροκίνητο υπολογισμό των ριζών.

Εύρεση τετραγωνικών ριζών χρησιμοποιώντας έναν πίνακα με τετράγωνα

Ένας από τους απλούστερους τρόπους υπολογισμού των ριζών είναι να χρησιμοποιώντας ειδικό τραπέζι. Τι είναι και πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά;

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, μπορείτε να βρείτε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού από το 10 έως το 99. Οι σειρές του πίνακα περιέχουν τις τιμές των δεκάδων και οι στήλες περιέχουν τις τιμές των μονάδων. Το κελί στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης περιέχει ένα τετράγωνο διψήφιο αριθμό. Για να υπολογίσετε το τετράγωνο του 63, πρέπει να βρείτε μια γραμμή με τιμή 6 και μια στήλη με τιμή 3. Στη διασταύρωση θα βρούμε ένα κελί με τον αριθμό 3969.

Δεδομένου ότι η εξαγωγή της ρίζας είναι η αντίστροφη λειτουργία του τετραγωνισμού, για να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια πρέπει να κάνετε το αντίθετο: πρώτα βρείτε το κελί με τον αριθμό του οποίου τη ρίζα θέλετε να υπολογίσετε και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τις τιμές της στήλης και της γραμμής για να προσδιορίσετε την απάντηση . Για παράδειγμα, σκεφτείτε να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

Βρίσκουμε ένα κελί με αυτόν τον αριθμό στον πίνακα, οριζόντια προσδιορίζουμε δεκάδες - 1, κάθετα βρίσκουμε μονάδες - 3. Απάντηση: √169 = 13.

Ομοίως, μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες του κύβου και της νης χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πίνακες.

Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η απλότητά της και η απουσία πρόσθετων υπολογισμών. Τα μειονεκτήματα είναι προφανή: η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για περιορισμένο εύρος αριθμών (ο αριθμός για τον οποίο βρίσκεται η ρίζα πρέπει να είναι στην περιοχή από 100 έως 9801). Επιπλέον, δεν θα λειτουργήσει εάν ο δεδομένος αριθμός δεν βρίσκεται στον πίνακα.

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Εάν ο πίνακας των τετραγώνων δεν είναι κοντά σας ή αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να βρείτε τη ρίζα με τη βοήθειά του, μπορείτε να δοκιμάσετε συνυπολογίστε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα σε πρώτους παράγοντες. Πρώτοι παράγοντες είναι εκείνοι που μπορούν να διαιρεθούν πλήρως (χωρίς υπόλοιπο) μόνο από τον εαυτό τους ή από έναν. Τα παραδείγματα θα μπορούσαν να είναι 2, 3, 5, 7, 11, 13 κ.λπ.

Ας δούμε τον υπολογισμό της ρίζας χρησιμοποιώντας το √576 ως παράδειγμα. Ας το αναλύσουμε σε πρωταρχικούς παράγοντες. Λαμβάνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα των ριζών √a² = a, θα απαλλαγούμε από τις ρίζες και τα τετράγωνα και στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την απάντηση: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Τι να κάνετε εάν κάποιος από τους πολλαπλασιαστές δεν έχει το δικό του ζεύγος; Για παράδειγμα, θεωρήστε τον υπολογισμό του √54. Μετά την παραγοντοποίηση, λαμβάνουμε το αποτέλεσμα με την ακόλουθη μορφή: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Το μη αφαιρούμενο τμήμα μπορεί να μείνει κάτω από τη ρίζα. Για τα περισσότερα προβλήματα γεωμετρίας και άλγεβρας, αυτή η απάντηση θα μετρηθεί ως η τελική απάντηση. Αλλά εάν υπάρχει ανάγκη να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τιμές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μεθόδους που θα συζητηθούν παρακάτω.

Η μέθοδος του Heron

Τι να κάνετε όταν πρέπει να γνωρίζετε τουλάχιστον κατά προσέγγιση τι ισούται με την εξαγόμενη ρίζα (αν είναι αδύνατο να ληφθεί μια ακέραια τιμή); Ένα γρήγορο και αρκετά ακριβές αποτέλεσμα επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Heron. Η ουσία του είναι να χρησιμοποιήσετε έναν κατά προσέγγιση τύπο:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

όπου R είναι ο αριθμός του οποίου η ρίζα πρέπει να υπολογιστεί, a είναι ο πλησιέστερος αριθμός του οποίου η ρίζα είναι γνωστή.

Ας δούμε πώς λειτουργεί η μέθοδος στην πράξη και ας αξιολογήσουμε πόσο ακριβής είναι. Ας υπολογίσουμε με τι ισούται το √111. Ο αριθμός που βρίσκεται πλησιέστερα στο 111, η ρίζα του οποίου είναι γνωστή, είναι 121. Έτσι, R = 111, a = 121. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Τώρα ας ελέγξουμε την ακρίβεια της μεθόδου:

10,55² = 111,3025.

Το σφάλμα της μεθόδου ήταν περίπου 0,3. Εάν πρέπει να βελτιωθεί η ακρίβεια της μεθόδου, μπορείτε να επαναλάβετε τα βήματα που περιγράφηκαν προηγουμένως:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Ας ελέγξουμε την ακρίβεια του υπολογισμού:

10.536² = 111.0073.

Μετά την εκ νέου εφαρμογή του τύπου, το σφάλμα έγινε εντελώς ασήμαντο.

Υπολογισμός της ρίζας με μεγάλη διαίρεση

Αυτή η μέθοδος εύρεσης της τιμής της τετραγωνικής ρίζας είναι λίγο πιο περίπλοκη από τις προηγούμενες. Ωστόσο, είναι η πιο ακριβής μεταξύ άλλων μεθόδων υπολογισμού χωρίς αριθμομηχανή.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων. Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο υπολογισμού χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός αυθαίρετου αριθμού 1308.1912.

1. Διαχωρίστε το φύλλο χαρτιού σε 2 μέρη με μια κάθετη γραμμή και, στη συνέχεια, τραβήξτε μια άλλη γραμμή από αυτό προς τα δεξιά, λίγο κάτω από την επάνω άκρη. Ας γράψουμε τον αριθμό στην αριστερή πλευρά, χωρίζοντάς τον σε ομάδες των 2 ψηφίων, κινούμενοι δεξιά και αριστερά της υποδιαστολής. Το πρώτο ψηφίο στα αριστερά μπορεί να είναι χωρίς ζεύγος. Εάν το σύμβολο λείπει στη δεξιά πλευρά του αριθμού, τότε θα πρέπει να προσθέσετε 0. Στην περίπτωσή μας, το αποτέλεσμα θα είναι 13 08.19 12.
2. Ας διαλέξουμε το καλύτερο μεγάλος αριθμός, το τετράγωνο του οποίου θα είναι μικρότερο ή ίσο με την πρώτη ομάδα ψηφίων. Στην περίπτωσή μας είναι 3. Ας το γράψουμε πάνω δεξιά. Το 3 είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος. Κάτω δεξιά υποδεικνύουμε 3×3 = 9. αυτό θα χρειαστεί για μεταγενέστερους υπολογισμούς. Από το 13 στη στήλη αφαιρούμε το 9, παίρνουμε υπόλοιπο 4.
3. Ας αντιστοιχίσουμε το επόμενο ζεύγος αριθμών στο υπόλοιπο 4. παίρνουμε 408.
4. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά με 2 και γράψτε τον κάτω δεξιά, προσθέτοντας _ x _ = σε αυτόν. Παίρνουμε 6_ x _ =.
5. Αντί για παύλες, πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό, μικρότερο ή ίσο με 408. Παίρνουμε 66 × 6 = 396. Γράφουμε 6 από πάνω δεξιά, αφού αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος. Αφαιρούμε το 396 από το 408, παίρνουμε 12.
6. Ας επαναλάβουμε τα βήματα 3-6. Δεδομένου ότι τα ψηφία που μετακινήθηκαν προς τα κάτω βρίσκονται στο κλασματικό μέρος του αριθμού, είναι απαραίτητο να τοποθετήσετε μια υποδιαστολή στην κορυφή δεξιά μετά το 6. Ας γράψουμε το διπλό αποτέλεσμα με παύλες: 72_ x _ =. Ένας κατάλληλος αριθμός θα ήταν 1: 721×1 = 721. Ας τον γράψουμε ως απάντηση. Ας αφαιρέσουμε 1219 - 721 = 498.
7. Ας εκτελέσουμε την ακολουθία ενεργειών που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο άλλες τρεις φορές για να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί χαρακτήρες για περαιτέρω υπολογισμούς, πρέπει να προσθέσετε δύο μηδενικά στον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την απάντηση: √1308.1912 ≈ 36.1689. Εάν ελέγξετε την ενέργεια χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όλα τα σημάδια αναγνωρίστηκαν σωστά.

Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας κατά bit

Η μέθοδος είναι εξαιρετικά ακριβής. Επιπλέον, είναι αρκετά κατανοητό και δεν απαιτεί απομνημόνευση τύπων ή πολύπλοκο αλγόριθμο ενεργειών, καθώς η ουσία της μεθόδου είναι να επιλέξετε το σωστό αποτέλεσμα.

Ας εξαγάγουμε τη ρίζα του αριθμού 781. Ας δούμε αναλυτικά τη σειρά των ενεργειών.

1. Ας μάθουμε ποιο ψηφίο της τιμής της τετραγωνικής ρίζας θα είναι το πιο σημαντικό. Για να γίνει αυτό, ας τετραγωνίσουμε τα 0, 10, 100, 1000 κ.λπ. και ας μάθουμε ανάμεσα σε ποιο από αυτά βρίσκεται ο ριζικός αριθμός. Παίρνουμε αυτό το 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Ας επιλέξουμε την τιμή των δεκάδων. Για να το κάνουμε αυτό, θα αυξήσουμε εναλλάξ στη δύναμη των 10, 20, ..., 90 μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από 781. Για την περίπτωσή μας, παίρνουμε 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Η τιμή του αποτελέσματος n θα είναι εντός 20< n <30.
3. Όπως και στο προηγούμενο βήμα, επιλέγεται η τιμή του ψηφίου των μονάδων. Ας τετραγωνίσουμε 21,22, ..., 29 ένα προς ένα: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 24. Παίρνουμε αυτό< n < 28.
4. Κάθε επόμενο ψηφίο (δέκατα, εκατοστά, κ.λπ.) υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως φαίνεται παραπάνω. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται μέχρι να επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.

βίντεο

Αυτό το βίντεο θα σας δείξει πώς να βρείτε τετραγωνικές ρίζες χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή.

Πριν από την αριθμομηχανή, οι μαθητές και οι δάσκαλοι υπολόγιζαν τις τετραγωνικές ρίζες με το χέρι. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού με μη αυτόματο τρόπο. Μερικά από αυτά προσφέρουν μόνο μια κατά προσέγγιση λύση, άλλα δίνουν μια ακριβή απάντηση.

Βήματα

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Συντελεστές του ριζικού αριθμού σε παράγοντες που είναι τετράγωνοι αριθμοί.Ανάλογα με τον ριζικό αριθμό, θα λάβετε μια κατά προσέγγιση ή ακριβή απάντηση. Οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι αριθμοί από τους οποίους μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα. Οι συντελεστές είναι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιαστούν, δίνουν τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι συντελεστές του αριθμού 8 είναι 2 και 4, αφού 2 x 4 = 8, οι αριθμοί 25, 36, 49 είναι τετράγωνοι αριθμοί, αφού √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Τετράγωνοι συντελεστές είναι παράγοντες , οι οποίοι είναι τετράγωνοι αριθμοί. Αρχικά, προσπαθήστε να συνυπολογίσετε τον ριζικό αριθμό σε τετράγωνους παράγοντες.

• Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 400 (με το χέρι). Πρώτα δοκιμάστε να συνυπολογίσετε το 400 σε τετράγωνους συντελεστές. Το 400 είναι πολλαπλάσιο του 100, δηλαδή διαιρείται με το 25 - αυτός είναι ένας τετράγωνος αριθμός. Η διαίρεση του 400 με το 25 δίνει 16. Ο αριθμός 16 είναι επίσης τετράγωνος αριθμός. Έτσι, το 400 μπορεί να συνυπολογιστεί στους τετράγωνους συντελεστές 25 και 16, δηλαδή 25 x 16 = 400.
• Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: √400 = √(25 x 16).

1. Η τετραγωνική ρίζα του γινόμενου ορισμένων όρων είναι ίση με το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών κάθε όρου, δηλαδή √(a x b) = √a x √b. Χρησιμοποιήστε αυτόν τον κανόνα για να πάρετε την τετραγωνική ρίζα κάθε τετραγωνικού παράγοντα και να πολλαπλασιάσετε τα αποτελέσματα για να βρείτε την απάντηση.

   • Στο παράδειγμά μας, πάρτε τη ρίζα των 25 και 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Εάν ο ριζικός αριθμός δεν συνυπολογίζεται σε δύο τετράγωνους παράγοντες (και αυτό συμβαίνει στις περισσότερες περιπτώσεις), δεν θα μπορείτε να βρείτε την ακριβή απάντηση με τη μορφή ακέραιου αριθμού. Αλλά μπορείτε να απλοποιήσετε το πρόβλημα με την αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε έναν τετράγωνο παράγοντα και έναν συνηθισμένο παράγοντα (έναν αριθμό από τον οποίο δεν μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα). Τότε θα πάρετε την τετραγωνική ρίζα του τετραγωνικού παράγοντα και θα πάρετε τη ρίζα του κοινού παράγοντα.

   • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 147. Ο αριθμός 147 δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε δύο τετραγωνικούς συντελεστές, αλλά μπορεί να παραγοντοποιηθεί στους ακόλουθους παράγοντες: 49 και 3. Λύστε το πρόβλημα ως εξής:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Εάν είναι απαραίτητο, υπολογίστε την αξία της ρίζας.Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της ρίζας (να βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή) συγκρίνοντάς την με τις τιμές των ριζών των τετραγωνικών αριθμών που είναι πιο κοντά (και στις δύο πλευρές της αριθμογραμμής) στον ριζικό αριθμό. Θα λάβετε τη ρίζα ως δεκαδικό κλάσμα, το οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό πίσω από το σύμβολο της ρίζας.

   • Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. Ο ριζικός αριθμός είναι το 3. Οι πλησιέστεροι σε αυτόν τετράγωνοι αριθμοί θα είναι οι αριθμοί 1 (√1 = 1) και 4 (√4 = 2). Έτσι, η τιμή του √3 βρίσκεται μεταξύ 1 και 2. Εφόσον η τιμή του √3 είναι πιθανώς πιο κοντά στο 2 παρά στο 1, η εκτίμησή μας είναι: √3 = 1,7. Πολλαπλασιάζουμε αυτήν την τιμή με τον αριθμό στο σύμβολο της ρίζας: 7 x 1,7 = 11,9. Εάν κάνετε τα μαθηματικά σε μια αριθμομηχανή, θα λάβετε 12,13, που είναι πολύ κοντά στην απάντησή μας.
     • Αυτή η μέθοδος λειτουργεί και με μεγάλους αριθμούς. Για παράδειγμα, εξετάστε το √35. Ο ριζικός αριθμός είναι το 35. Οι πλησιέστεροι τετράγωνοι αριθμοί σε αυτόν θα είναι οι αριθμοί 25 (√25 = 5) και 36 (√36 = 6). Έτσι, η τιμή του √35 βρίσκεται μεταξύ 5 και 6. Επειδή η τιμή του √35 είναι πολύ πιο κοντά στο 6 παρά στο 5 (επειδή το 35 είναι μόνο 1 μικρότερο από το 36), μπορούμε να πούμε ότι το √35 είναι ελαφρώς μικρότερο από το 6 Ο έλεγχος στην αριθμομηχανή μας δίνει την απάντηση 5,92 - είχαμε δίκιο.

4. Ενας άλλος τρόπος - παράγετε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες . Οι πρώτοι παράγοντες είναι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Γράψτε τους πρώτους παράγοντες σε μια σειρά και βρείτε ζεύγη πανομοιότυπων παραγόντων. Τέτοιοι παράγοντες μπορούν να αφαιρεθούν από το σημάδι της ρίζας.

   • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 45. Συνυπολογίζουμε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες: 45 = 9 x 5, και 9 = 3 x 3. Έτσι, √45 = √(3 x 3 x 5). Το 3 μπορεί να αφαιρεθεί ως σύμβολο ρίζας: √45 = 3√5. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε √5.
   • Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Λάβατε τρεις πολλαπλασιαστές του 2. πάρτε μερικά από αυτά και μετακινήστε τα πέρα ​​από το σημάδι της ρίζας.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Τώρα μπορείτε να αξιολογήσετε τα √2 και √11 και να βρείτε μια κατά προσέγγιση απάντηση.

   Χειροκίνητος υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας

   Χρήση μακράς διαίρεσης

   1. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει μια διαδικασία παρόμοια με τη μακροχρόνια διαίρεση και παρέχει μια ακριβή απάντηση.Πρώτα, σχεδιάστε μια κατακόρυφη γραμμή που χωρίζει το φύλλο σε δύο μισά και, στη συνέχεια, προς τα δεξιά και ελαφρώς κάτω από την επάνω άκρη του φύλλου, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή στην κατακόρυφη γραμμή. Τώρα διαιρέστε τον ριζικό αριθμό σε ζεύγη αριθμών, ξεκινώντας από το κλασματικό μέρος μετά την υποδιαστολή. Έτσι, ο αριθμός 79520789182.47897 γράφεται ως "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14. Σχεδιάστε δύο γραμμές (όπως φαίνεται στην εικόνα) και γράψτε τον αριθμό που δίνεται με τη μορφή «7 80, 14» επάνω αριστερά. Είναι φυσιολογικό το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά να είναι μη ζευγαρωμένο ψηφίο. Θα γράψετε την απάντηση (τη ρίζα αυτού του αριθμού) πάνω δεξιά.

   2. Για το πρώτο ζεύγος αριθμών (ή απλού αριθμού) από τα αριστερά, βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο n του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με το εν λόγω ζεύγος αριθμών (ή απλού αριθμού). Με άλλα λόγια, βρείτε τον τετράγωνο αριθμό που είναι πιο κοντά, αλλά μικρότερος από, στο πρώτο ζεύγος αριθμών (ή μεμονωμένο αριθμό) από τα αριστερά και πάρτε την τετραγωνική ρίζα αυτού του τετραγωνικού αριθμού. θα πάρετε τον αριθμό n. Γράψτε το n που βρήκατε πάνω δεξιά και γράψτε το τετράγωνο του n κάτω δεξιά.

      • Στην περίπτωσή μας, ο πρώτος αριθμός στα αριστερά θα είναι 7. Στη συνέχεια, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Αφαιρέστε το τετράγωνο του αριθμού n που μόλις βρήκατε από το πρώτο ζευγάρι αριθμών (ή μεμονωμένο αριθμό) στα αριστερά.Γράψτε το αποτέλεσμα του υπολογισμού κάτω από το υπόστρωμα (το τετράγωνο του αριθμού n).

      • Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 4 από το 7 και λάβετε 3.

   4. Αφαιρέστε το δεύτερο ζεύγος αριθμών και σημειώστε το δίπλα στην τιμή που λάβατε στο προηγούμενο βήμα.Στη συνέχεια διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με την προσθήκη "_×_=".

      • Στο παράδειγμά μας, το δεύτερο ζεύγος αριθμών είναι "80". Γράψτε "80" μετά το 3. Στη συνέχεια, διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά που δίνει το 4. Γράψτε "4_×_=" κάτω δεξιά.

   5. Συμπληρώστε τα κενά στα δεξιά.

      • Στην περίπτωσή μας, αν βάλουμε τον αριθμό 8 αντί για παύλες, τότε 48 x 8 = 384, που είναι περισσότερο από 380. Επομένως, το 8 είναι πολύ μεγάλος αριθμός, αλλά το 7 θα κάνει. Γράψε 7 αντί για παύλες και πάρε: 47 x 7 = 329. Γράψε 7 πάνω δεξιά - αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14.

   6. Αφαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.Γράψτε το αποτέλεσμα από το προηγούμενο βήμα κάτω από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά, βρείτε τη διαφορά και γράψτε το κάτω από το υπόστρωμα.

      • Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 329 από το 380, το οποίο ισούται με 51.

   7. Επαναλάβετε το βήμα 4.Εάν το ζεύγος των αριθμών που μεταφέρεται είναι το κλασματικό μέρος του αρχικού αριθμού, τότε βάλτε ένα διαχωριστικό (κόμμα) μεταξύ του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην απαιτούμενη τετραγωνική ρίζα επάνω δεξιά. Στα αριστερά, κατεβάστε το επόμενο ζεύγος αριθμών. Διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με την προσθήκη "_×_=".

      • Στο παράδειγμά μας, το επόμενο ζεύγος αριθμών που θα αφαιρεθεί θα είναι το κλασματικό μέρος του αριθμού 780.14, οπότε τοποθετήστε το διαχωριστικό του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα επάνω δεξιά. Κατεβάστε το 14 και γράψτε το κάτω αριστερά. Ο διπλάσιος αριθμός πάνω δεξιά (27) είναι 54, οπότε γράψτε "54_×_=" κάτω δεξιά.

   8. Επαναλάβετε τα βήματα 5 και 6.Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό στη θέση των παύλων στα δεξιά (αντί για τις παύλες πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό) έτσι ώστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού να είναι μικρότερο ή ίσο με τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

      • Στο παράδειγμά μας, 549 x 9 = 4941, που είναι μικρότερο από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά (5114). Γράψτε το 9 πάνω δεξιά και αφαιρέστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά: 5114 - 4941 = 173.

   9. Εάν θέλετε να βρείτε περισσότερα δεκαδικά ψηφία για την τετραγωνική ρίζα, γράψτε μερικά μηδενικά στα αριστερά του τρέχοντος αριθμού και επαναλάβετε τα βήματα 4, 5 και 6. Επαναλάβετε τα βήματα μέχρι να λάβετε την ακρίβεια της απάντησης (αριθμός δεκαδικών ψηφίων) χρειάζομαι.

   Κατανόηση της Διαδικασίας

   Για να κυριαρχήσετε αυτή τη μέθοδο, φανταστείτε τον αριθμό του οποίου η τετραγωνική ρίζα πρέπει να βρείτε ως το εμβαδόν του τετραγώνου S. Σε αυτήν την περίπτωση, θα αναζητήσετε το μήκος της πλευράς L ενός τέτοιου τετραγώνου. Υπολογίζουμε την τιμή του L έτσι ώστε L² = S.

   Δώστε ένα γράμμα για κάθε αριθμό στην απάντηση.Ας συμβολίσουμε με Α το πρώτο ψηφίο στην τιμή του L (την επιθυμητή τετραγωνική ρίζα). Το B θα είναι το δεύτερο ψηφίο, το C το τρίτο και ούτω καθεξής.

   Καθορίστε ένα γράμμα για κάθε ζεύγος πρώτων ψηφίων.Ας συμβολίσουμε με S a το πρώτο ζεύγος ψηφίων στην τιμή του S, με S b το δεύτερο ζεύγος ψηφίων κ.ο.κ.

   Κατανοήστε τη σχέση μεταξύ αυτής της μεθόδου και της μακράς διαίρεσης.Ακριβώς όπως στη διαίρεση, όπου μας ενδιαφέρει μόνο το επόμενο ψηφίο του αριθμού που διαιρούμε κάθε φορά, όταν υπολογίζουμε μια τετραγωνική ρίζα, εργαζόμαστε με ένα ζεύγος ψηφίων στη σειρά (για να πάρουμε το επόμενο ένα ψηφίο στην τιμή της τετραγωνικής ρίζας ).

   1. Θεωρήστε το πρώτο ζεύγος ψηφίων Sa του αριθμού S (Sa = 7 στο παράδειγμά μας) και βρείτε την τετραγωνική του ρίζα.Σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο A της επιθυμητής τιμής τετραγωνικής ρίζας θα είναι ένα ψηφίο του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με S a (δηλαδή, αναζητούμε ένα A έτσι ώστε η ανισότητα A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 88962 με το 7. εδώ το πρώτο βήμα θα είναι παρόμοιο: θεωρούμε το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου αριθμού 88962 (8) και επιλέγουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που, πολλαπλασιαζόμενος με το 7, δίνει τιμή μικρότερη ή ίση με 8. Δηλαδή, αναζητούμε έναν αριθμό d για τον οποίο είναι αληθής η ανίσωση: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.