Βασικές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων
Ποια είναι η λύση μιας εξίσωσης;
Πανομοιότυπη μεταμόρφωση. Βασικός
τύπους μετασχηματισμών ταυτότητας.
Ξένη ρίζα. Απώλεια ρίζας.
Επίλυση της εξίσωσης είναι μια διαδικασία που αποτελείται κυρίως από αντικατάσταση δεδομένη εξίσωσημια άλλη εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν . Αυτή η αντικατάσταση ονομάζεταιταυτόσημη μεταμόρφωση . Βασικός μετασχηματισμοί ταυτότηταςτο ακόλουθο:
1.
Αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη που είναι πανομοιότυπη με αυτήν. Για παράδειγμα, η εξίσωση (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 μπορεί να αντικατασταθεί από το ακόλουθο ισοδύναμο:9 Χ 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .
2.
Μεταφορά όρων μιας εξίσωσης από τη μια πλευρά στην άλλη με αντίστροφο πρόσημο. Έτσι, στην προηγούμενη εξίσωση μπορούμε να μεταφέρουμε όλους τους όρους του από τη δεξιά πλευρά προς τα αριστερά με το σύμβολο «-»: 9 Χ 2 + 12 x+ 4 – 15 Χ - 10 = 0, μετά από το οποίο παίρνουμε:9 Χ 2 – 3 Χ - 6 = 0 .
3.
Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με την ίδια έκφραση (αριθμό) εκτός από το μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατίη νέα εξίσωση μπορεί να μην είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη εάν η παράσταση που πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με μπορεί να είναι ίση με μηδέν.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η εξίσωσηΧ - Το 1 = 0 έχει μία μόνο ρίζαx = 1.
Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές μεΧ - 3 , παίρνουμε την εξίσωση
( Χ - 1)( Χ - 3) = 0, που έχει δύο ρίζες:x = 1 καιΧ = 3.
Η τελευταία τιμή δεν είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης
Χ - 1 = 0. Αυτό είναι το λεγόμενοεξωγενής ρίζα .
Αντίθετα, η διαίρεση μπορεί να οδηγήσει σεαπώλεια ρίζας . Έτσι
στην περίπτωσή μας, αν (Χ - 1 )( Χ - 3 ) = 0 είναι το πρωτότυπο
εξίσωση και μετά η ρίζαx = Το 3 θα χαθεί στη διαίρεση
και στις δύο πλευρές της εξίσωσηςΧ - 3 .
Στην τελευταία εξίσωση (στοιχείο 2), μπορούμε να διαιρέσουμε όλους τους όρους της με το 3 (όχι με το μηδέν!) και τελικά να πάρουμε:
3 Χ 2 - Χ - 2 = 0 .
Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την αρχική:
(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .
4.
Μπορώσηκώστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε περιττή ισχύ ήεξάγετε την περιττή ρίζα και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης . Πρέπει να θυμόμαστε ότι:
α) κατασκευή σεακόμη και πτυχίο μπορεί να προκαλέσειστην απόκτηση ξένων ριζών ;
σι)λανθασμένος εξαγωγήακόμη και ρίζα μπορεί να οδηγήσει σεαπώλεια ριζών .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Εξίσωση 7Χ = 35 έχει μια ενιαία ρίζαΧ = 5 .
Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, παίρνουμε
η εξίσωση:
49 Χ 2 = 1225 .
έχει δύο ρίζες:Χ = 5 ΚαιΧ = – 5. Τελευταία τιμή
είναι μια ξένη ρίζα.
Ανακριβής παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και των δύο
μέρη της εξίσωσης 49Χ 2 = 1225 αποτελέσματα σε 7Χ = 35,
και χάνουμε τις ρίζες μαςΧ = – 5.
Σωστός λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα έχει ως αποτέλεσμα
εξίσωση: | 7Χ | = 35, ΕΝΑ άρα σε δύο περιπτώσεις:
1) 7 Χ = 35, ΕπειταΧ = 5 ; 2) – 7 Χ = 35, ΕπειταΧ = – 5 .
Επομένως, ότανσωστός εξαγωγή τετραγώνου
ρίζες δεν χάνουμε τις ρίζες της εξίσωσης.
Τι σημαίνεισωστά εξαγάγετε τη ρίζα; Εδώ συναντιόμαστε
με μια πολύ σημαντική έννοιααριθμητική ρίζα
(εκ. ).
Απώλεια ριζών και ξένων ριζών κατά την επίλυση εξισώσεων
Δημοτικό εκπαιδευτικό ίδρυμα «Γυμνάσιο Νο 2 με σε βάθος μελέτημεμονωμένα είδη» της πόλης Vsevolozhsk. Ερευνητικό έργοπροετοιμάστηκε από έναν μαθητή της τάξης 11Β: Vasily Vasiliev. Υπεύθυνος έργου: Egorova Lyudmila Alekseevna.
Εξίσωση Αρχικά, ας δούμε διαφορετικούς τρόπους επίλυσης αυτής της εξίσωσης sinx+cosx =- 1
Λύση αρ. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Απάντηση: + 2
Λύση Νο. 2 sinx+cosx = - 1η Απάντηση: +2 y x 0 1 2 sincos+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2
Λύση Νο. 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Απάντηση:
sinx+cosx =-1 Λύση Αρ. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Απάντηση: - + 2 n
Ας συγκρίνουμε λύσεις Σωστές λύσεις Ας καταλάβουμε σε ποιες περιπτώσεις μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες και γιατί Νο. 2 Απάντηση: +2 Νο. 3 Απάντηση: Όχι. 4 Απάντηση: + 2 n Όχι. 1 Απάντηση: +2
Έλεγχος της λύσης Είναι απαραίτητο να γίνει έλεγχος; Πρέπει να ελέγξω τις ρίζες για παν ενδεχόμενο, για να είμαι ασφαλής; Αυτό είναι φυσικά χρήσιμο όταν είναι εύκολο να αντικατασταθεί, αλλά οι μαθηματικοί είναι λογικοί άνθρωποι και δεν κάνουν περιττά πράγματα. Ας δούμε διαφορετικές περιπτώσεις και ας θυμηθούμε πότε είναι πραγματικά απαραίτητη η επαλήθευση.
1. Οι απλούστεροι έτοιμοι τύποι c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Στις περιπτώσεις που οι ρίζες βρίσκονται χρησιμοποιώντας τους απλούστερους, έτοιμους τύπους, ο έλεγχος δεν χρειάζεται να γίνει. Ωστόσο, όταν χρησιμοποιείτε τέτοιους τύπους, θα πρέπει να θυμάστε τις συνθήκες υπό τις οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Για παράδειγμα, ο τύπος = μπορεί να χρησιμοποιηθεί υπό την προϋπόθεση a 0, -4ac 0 Και η απάντηση x= arccos2+2 για την εξίσωση cosx =2 θεωρείται χονδρό σφάλμα, αφού ο τύπος x= arccos a +2 μπορεί να είναι μόνο χρησιμοποιείται για τις ρίζες της εξίσωσης cosx =a, όπου | α | 1
2. Μετασχηματισμοί Πιο συχνά, όταν λύνετε εξισώσεις, πρέπει να πραγματοποιείτε πολλούς μετασχηματισμούς. Αν μια εξίσωση αντικατασταθεί από μια νέα που έχει όλες τις ρίζες της προηγούμενης και μετασχηματιστεί έτσι ώστε να μην υπάρξει απώλεια ή απόκτηση ριζών, τότε τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες. 1. Κατά τη μεταφορά των συνιστωσών μιας εξίσωσης από το ένα μέρος στο άλλο. 2. Όταν προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές. 3. Όταν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. 4 . Κατά την εφαρμογή ταυτοτήτων που ισχύουν στο σύνολο όλων πραγματικούς αριθμούς. Ωστόσο, δεν απαιτείται επαλήθευση!
Ωστόσο, δεν μπορεί να λυθεί κάθε εξίσωση με ισοδύναμους μετασχηματισμούς. Πιο συχνά είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείται ισοδύναμους μετασχηματισμούς. Συχνά τέτοιοι μετασχηματισμοί βασίζονται στη χρήση τύπων που δεν ισχύουν για όλες τις πραγματικές τιμές. Σε αυτήν την περίπτωση, συγκεκριμένα, αλλάζει το πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Αυτό το σφάλμα βρίσκεται στη λύση #4. Ας δούμε το λάθος, αλλά πρώτα ας δούμε ξανά τη λύση Νο. 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Το σφάλμα βρίσκεται στον τύπο sin2x= Αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αλλά θα πρέπει να ελέγξετε επιπλέον εάν οι ρίζες είναι αριθμοί της μορφής + για τους οποίους δεν ορίζεται το tg. Τώρα είναι ξεκάθαρο ότι η λύση είναι η απώλεια ριζών. Ας το δούμε μέχρι το τέλος.
Λύση Αρ. 4 i y x 0 1 Ας ελέγξουμε τους αριθμούς = + n με αντικατάσταση: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Άρα x= +2 n είναι η ρίζα της εξίσωσης Απάντηση: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n
Εξετάσαμε έναν από τους τρόπους για να χάσετε ρίζες· υπάρχουν πάρα πολλοί από αυτούς στα μαθηματικά, επομένως πρέπει να λύσετε προσεκτικά, θυμόμαστε όλους τους κανόνες. Όπως μπορείτε να χάσετε τις ρίζες μιας εξίσωσης, μπορείτε επίσης να αποκτήσετε επιπλέον κατά τη διάρκεια της επίλυσής της. Ας εξετάσουμε τη λύση Νο. 3 στην οποία έγινε ένα τέτοιο λάθος.
Λύση #3 I y x 0 1 2 2 και επιπλέον ρίζες! Οι ξένες ρίζες θα μπορούσαν να εμφανιστούν όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης ήταν στο τετράγωνο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να γίνει έλεγχος. Για n=2k έχουμε sin k+cos k=-1; cos k=-1 για k=2m-1 , Τότε n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Απάντηση: +2 Για n=2k+1 έχουμε sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 σε k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=
Έτσι, εξετάσαμε μερικές πιθανές περιπτώσεις, από τις οποίες υπάρχουν πάρα πολλές. Προσπαθήστε να μην χάνετε το χρόνο σας και να κάνετε ανόητα λάθη.
Μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση των λεγόμενων εξωγενών ριζών. Σε αυτό το άρθρο, πρώτα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τι είναι ξένες ρίζες. Δεύτερον, ας μιλήσουμε για τους λόγους της εμφάνισής τους. Και τρίτον, χρησιμοποιώντας παραδείγματα, θα εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους φιλτραρίσματος των εξωτερικών ριζών, δηλαδή τον έλεγχο των ριζών για την παρουσία εξωγενών μεταξύ τους για να τις αποκλείσουμε από την απάντηση.
Εξωτερικές ρίζες της εξίσωσης, ορισμός, παραδείγματα
ΣΕ σχολικά εγχειρίδιαΗ άλγεβρα δεν παρέχει ορισμό μιας ξένης ρίζας. Εκεί, η ιδέα μιας ξένης ρίζας σχηματίζεται περιγράφοντας την ακόλουθη κατάσταση: με τη βοήθεια ορισμένων μετασχηματισμών της εξίσωσης, γίνεται μια μετάβαση από την αρχική εξίσωση στη συνεπακόλουθη εξίσωση, βρίσκονται οι ρίζες της προκύπτουσας συνεπακόλουθης εξίσωσης , και οι ρίζες που βρέθηκαν ελέγχονται αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση, η οποία δείχνει ότι ορισμένες από τις ρίζες που βρέθηκαν δεν είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, αυτές οι ρίζες ονομάζονται εξωτερικές ρίζες για την αρχική εξίσωση.
Ξεκινώντας από αυτή τη βάση, μπορείτε να αποδεχτείτε μόνοι σας τον ακόλουθο ορισμό μιας ξένης ρίζας:
Ορισμός
Εξωτερικές ρίζες- αυτές είναι οι ρίζες της συμπερασματικής εξίσωσης που προέκυψε ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών, οι οποίοι δεν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας εξετάσουμε την εξίσωση και τη συνέπεια αυτής της εξίσωσης x·(x−1)=0, που προκύπτει αντικαθιστώντας την παράσταση με την πανομοιότυπα ίση έκφραση x·(x−1) . Η αρχική εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα 1. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού έχει δύο ρίζες 0 και 1. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι μια ξένη ρίζα για την αρχική εξίσωση.
Λόγοι για την πιθανή εμφάνιση ξένων ριζών
Εάν για να λάβετε τη συμπερασματική εξίσωση δεν χρησιμοποιείτε κανέναν «εξωτικό» μετασχηματισμό, αλλά χρησιμοποιείτε μόνο βασικούς μετασχηματισμούς εξισώσεων, τότε οι εξωτερικές ρίζες μπορούν να προκύψουν μόνο για δύο λόγους:
- λόγω της επέκτασης της ΟΔΖ και
- λόγω της αύξησης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ.
Αξίζει να υπενθυμίσουμε εδώ ότι η επέκταση του ODZ ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού της εξίσωσης συμβαίνει κυρίως
- Κατά τη μείωση των κλασμάτων.
- Κατά την αντικατάσταση ενός προϊόντος με έναν ή περισσότερους μηδενικούς συντελεστές με μηδέν.
- Όταν αντικαθιστάτε ένα κλάσμα με μηδενικό αριθμητή με μηδέν.
- Όταν χρησιμοποιείτε ορισμένες ιδιότητες δυνάμεων, ριζών, λογαρίθμων.
- Όταν χρησιμοποιείτε μερικά τριγωνομετρικούς τύπους;
- Όταν και οι δύο πλευρές μιας εξίσωσης πολλαπλασιάζονται με την ίδια έκφραση, αυτή εξαφανίζεται με το ODZ για αυτήν την εξίσωση.
- Κατά την απελευθέρωση από λογαριθμικά σημάδια στη διαδικασία λύσης.
Το παράδειγμα από την προηγούμενη παράγραφο του άρθρου επεξηγεί την εμφάνιση μιας ξένης ρίζας λόγω της επέκτασης του ODZ, η οποία συμβαίνει κατά τη μετάβαση από την εξίσωση στη συμπερασματική εξίσωση x·(x−1)=0. Το ODZ για την αρχική εξίσωση είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση το μηδέν, το ODZ για την εξίσωση που προκύπτει είναι το σύνολο R, δηλαδή το ODZ επεκτείνεται κατά τον αριθμό μηδέν. Αυτός ο αριθμός τελικά αποδεικνύεται ότι είναι μια ξένη ρίζα.
Θα δώσουμε επίσης ένα παράδειγμα της εμφάνισης μιας ξένης ρίζας λόγω της αύξησης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ. Η παράλογη εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα 4, και η συνέπεια αυτής της εξίσωσης, που προκύπτει από αυτήν τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, δηλαδή την εξίσωση 
, έχει δύο ρίζες 1 και 4. Από αυτό είναι σαφές ότι ο τετραγωνισμός και των δύο πλευρών της εξίσωσης οδήγησε στην εμφάνιση μιας ξένης ρίζας για την αρχική εξίσωση.
Σημειώστε ότι η επέκταση του ODZ και η αύξηση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ δεν οδηγεί πάντα στην εμφάνιση ξένων ριζών. Για παράδειγμα, όταν μετακινούμαστε από την εξίσωση στη συμπερασματική εξίσωση x=2, το ODZ επεκτείνεται από το σύνολο όλων των μη αρνητικών αριθμών στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, αλλά δεν εμφανίζονται ξένες ρίζες. Το 2 είναι η μόνη ρίζα τόσο της πρώτης όσο και της δεύτερης εξίσωσης. Επίσης, δεν εμφανίζονται ξένες ρίζες κατά τη μετάβαση από μια εξίσωση σε μια εξίσου συμπερασματική. Η μόνη ρίζα και της πρώτης και της δεύτερης εξίσωσης είναι x=16. Γι' αυτό δεν μιλάμε για τους λόγους εμφάνισης ξένων ριζών, αλλά για τους λόγους πιθανής εμφάνισης ξένων ριζών.
Τι είναι ο έλεγχος των ξένων ριζών;
Ο όρος «κοσκίνισμα των ξένων ριζών» μπορεί να ονομαστεί μόνο με ένα τέντωμα καθιερωμένος· δεν βρίσκεται σε όλα τα εγχειρίδια της άλγεβρας, αλλά είναι διαισθητικός, γι' αυτό και χρησιμοποιείται συνήθως. Το τι εννοείται με το κοσκίνισμα των εξωτερικών ριζών γίνεται σαφές από την ακόλουθη φράση: «... η επαλήθευση είναι ένα υποχρεωτικό βήμα για την επίλυση μιας εξίσωσης, η οποία θα βοηθήσει στον εντοπισμό ξένων ριζών, εάν υπάρχουν, και στην απόρριψή τους (συνήθως λένε «εξαλείψτε ”)”
Ετσι,
Ορισμός
Έλεγχος ξένων ριζών- αυτός είναι ο εντοπισμός και η απόρριψη ξένων ριζών.
Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε σε μεθόδους διαλογής ξένων ριζών.
Μέθοδοι για τον έλεγχο των ξένων ριζών
Έλεγχος αντικατάστασης
Ο κύριος τρόπος για να φιλτράρετε τις ξένες ρίζες είναι μια δοκιμή υποκατάστασης. Σας επιτρέπει να εξαλείψετε τις ξένες ρίζες που θα μπορούσαν να προκύψουν τόσο λόγω της επέκτασης του ODZ όσο και λόγω της αύξησης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια ομοιόμορφη ισχύ.
Το τεστ αντικατάστασης έχει ως εξής: οι ρίζες που βρέθηκαν της συνεπακόλουθης εξίσωσης αντικαθίστανται με τη σειρά τους στην αρχική εξίσωση ή σε οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν, αυτές που δίνουν τη σωστή αριθμητική ισότητα είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης και αυτές που δίνουν την λανθασμένη αριθμητική ισότητα ή έκφραση είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης χωρίς νόημα, είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.
Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα πώς να φιλτράρουμε τις ξένες ρίζες μέσω της αντικατάστασης στην αρχική εξίσωση.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πιο σκόπιμο να φιλτράρετε τις ξένες ρίζες χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους. Αυτό ισχύει κυρίως για εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο έλεγχος με αντικατάσταση σχετίζεται με σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες ή όταν η τυπική μέθοδος επίλυσης εξισώσεων συγκεκριμένου τύπου απαιτεί άλλον έλεγχο (για παράδειγμα, ο έλεγχος εξωγενών ριζών όταν η επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων πραγματοποιείται σύμφωνα με προϋπόθεση ότι ο παρονομαστής του κλάσματος δεν είναι ίσος με μηδέν). Ας δούμε εναλλακτικούς τρόπους για να εξαλείψουμε τις ξένες ρίζες.
Σύμφωνα με τον DL
Σε αντίθεση με τη δοκιμή με υποκατάσταση, το φιλτράρισμα των εξωτερικών ριζών με χρήση ODZ δεν είναι πάντα κατάλληλο. Το γεγονός είναι ότι αυτή η μέθοδος σάς επιτρέπει να φιλτράρετε μόνο τις ξένες ρίζες που προκύπτουν λόγω της επέκτασης του ODZ και δεν εγγυάται το κοσκίνισμα των ξένων ριζών που θα μπορούσαν να προκύψουν για άλλους λόγους, για παράδειγμα, λόγω ανύψωσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ . Επιπλέον, δεν είναι πάντα εύκολο να βρεθεί το OD για την εξίσωση που λύνεται. Ωστόσο, η μέθοδος κοσκίνισης ξένων ριζών χρησιμοποιώντας ODZ αξίζει να διατηρείται σε λειτουργία, καθώς η χρήση της απαιτεί συχνά λιγότερη υπολογιστική εργασία από τη χρήση άλλων μεθόδων.
Η εξάλειψη των εξωτερικών ριζών σύμφωνα με το ODZ πραγματοποιείται ως εξής: ελέγχονται όλες οι ρίζες που έχουν βρεθεί της συνακόλουθης εξίσωσης για να διαπιστωθεί εάν ανήκουν στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής για την αρχική εξίσωση ή οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν, αυτά που ανήκουν στο ODZ είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης και αυτά που ανήκουν στην ODZ είναι ρίζες της αρχικής εξίσωσης και αυτά που δεν ανήκουν στην ODZ είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.
Η ανάλυση των πληροφοριών που παρέχονται οδηγεί στο συμπέρασμα ότι είναι σκόπιμο να αφαιρεθούν οι ξένες ρίζες χρησιμοποιώντας ODZ εάν ταυτόχρονα:
- είναι εύκολο να βρεθεί το ODZ για την αρχική εξίσωση,
- ξένες ρίζες θα μπορούσαν να προκύψουν μόνο λόγω της επέκτασης του ODZ,
- Η δοκιμή υποκατάστασης συνδέεται με σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες.
Θα δείξουμε πώς πραγματοποιείται στην πράξη η απομάκρυνση των ξένων ριζών.
Σύμφωνα με τους όρους του Δ.Λ
Όπως είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο, εάν οι εξωτερικές ρίζες μπορούσαν να προκύψουν μόνο λόγω της επέκτασης του ODZ, τότε μπορούν να εξαλειφθούν χρησιμοποιώντας το ODZ για την αρχική εξίσωση. Αλλά δεν είναι πάντα εύκολο να βρείτε ODZ στη φόρμα σύνολο αριθμών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι δυνατό να εξακριβωθούν οι ξένες ρίζες όχι σύμφωνα με το ODZ, αλλά σύμφωνα με τις συνθήκες που καθορίζουν το ODZ. Ας εξηγήσουμε πώς πραγματοποιείται η απομάκρυνση των ξένων ριζών υπό τις συνθήκες του ODZ.
Οι ρίζες που βρέθηκαν αντικαθίστανται με τη σειρά τους στις συνθήκες που καθορίζουν το ODZ για την αρχική εξίσωση ή οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Αυτά που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Και όσα από αυτά δεν ικανοποιούν τουλάχιστον μία προϋπόθεση ή δίνουν μια έκφραση που δεν έχει νόημα είναι ξένες ρίζες για την αρχική εξίσωση.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα διαλογής ξένων ριζών σύμφωνα με τις συνθήκες του ODZ.
Εξάλειψη των ξένων ριζών που προκύπτουν από την ανύψωση και των δύο πλευρών της εξίσωσης σε ομοιόμορφη ισχύ
Είναι σαφές ότι η εξάλειψη των εξωτερικών ριζών που προκύπτουν από την αύξηση και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ μπορεί να γίνει αντικαθιστώντας την στην αρχική εξίσωση ή σε οποιαδήποτε εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Αλλά ένας τέτοιος έλεγχος μπορεί να περιλαμβάνει σημαντικές υπολογιστικές δυσκολίες. Σε αυτή την περίπτωση, αξίζει να γνωρίζουμε μια εναλλακτική μέθοδο για το κοσκίνισμα των ξένων ριζών, για την οποία θα μιλήσουμε τώρα.
Εξέταση εξωτερικών ριζών που μπορεί να προκύψουν όταν ανεβάζετε και τις δύο πλευρές των παράλογων εξισώσεων της μορφής στην ίδια άρτια ισχύ 
, όπου n είναι μερικά Ζυγός αριθμός, μπορεί να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με τη συνθήκη g(x)≥0. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της ρίζας ενός άρτιου βαθμού: μια ρίζα ενός άρτιου βαθμού n είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, η ν η ισχύς του οποίου είναι ίση με τον ριζικό αριθμό, από όπου 
. Έτσι, η προσέγγιση που εκφράστηκε είναι ένα είδος συμβίωσης της μεθόδου ανύψωσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης στην ίδια δύναμη και της μεθόδου επίλυσης παράλογων εξισώσεων με τον προσδιορισμό της ρίζας. Δηλαδή η εξίσωση , όπου n είναι ένας ζυγός αριθμός, λύνεται ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην ίδια άρτια ισχύ και η εξάλειψη των εξωτερικών ριζών πραγματοποιείται σύμφωνα με τη συνθήκη g(x)≥0, που λαμβάνεται από τη μέθοδο επίλυσης παράλογων εξισώσεων με προσδιορισμός της ρίζας.
§ 1. ΧΑΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΞΕΧΑΣΜΕΝΕΣ ΡΙΖΕΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ)
ΥΛΙΚΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ
1. Σε δύο θεωρήματα της § 3 Κεφάλαιο VIIσυζητήθηκε ποιες ενέργειες στις εξισώσεις δεν παραβιάζουν την ισοδυναμία τους.
2. Ας εξετάσουμε τώρα τέτοιες πράξεις σε εξισώσεις που μπορούν να οδηγήσουν σε μια νέα εξίσωση που είναι άνιση με την αρχική εξίσωση. Αντί για γενικούς προβληματισμούς, θα περιοριστούμε στην εξέταση μόνο συγκεκριμένων παραδειγμάτων.
3. Παράδειγμα 1. Δίνεται μια εξίσωση Ανοίξτε τις αγκύλες αυτής της εξίσωσης, μετακινήστε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά και λύστε τετραγωνική εξίσωση. Οι ρίζες του είναι
Εάν μειώσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν κοινό παράγοντα, θα λάβετε μια εξίσωση που είναι άνιση με την αρχική, αφού έχει μόνο μία ρίζα
Έτσι, η μείωση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν παράγοντα που περιέχει το άγνωστο μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα να χαθούν οι ρίζες της εξίσωσης.
4. Παράδειγμα 2. Δίνεται μια εξίσωση. Αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης και παίρνουμε. Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε δύο ρίζες:
Βλέπουμε ότι η νέα εξίσωση δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση.Η ρίζα είναι η ρίζα της εξίσωσης που, αφού τετραγωνιστούν και οι δύο πλευρές, οδηγεί στην εξίσωση
5. Οι ξένες ρίζες μπορούν επίσης να εμφανιστούν όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιάζονται με έναν παράγοντα που περιέχει ένα άγνωστο, εάν αυτός ο παράγοντας εξαφανιστεί για πραγματικές τιμές του x.
Παράδειγμα 3. Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τότε παίρνουμε μια νέα εξίσωση η οποία, αφού μεταφέρει τον όρο από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή και τον παραγοντοποιήσει, δίνει μια εξίσωση από
Η ρίζα δεν ικανοποιεί μια εξίσωση που έχει μόνο μία ρίζα
Από εδώ συμπεραίνουμε: όταν τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (γενικά σε άρτια ισχύ), καθώς και όταν πολλαπλασιάζουμε με έναν παράγοντα που περιέχει ένα άγνωστο και εξαφανίζεται σε πραγματικές τιμές του αγνώστου, μπορεί να εμφανιστούν εξωτερικές ρίζες.
Όλες οι σκέψεις που εκφράζονται εδώ σχετικά με το ζήτημα της απώλειας και εμφάνισης εξωτερικών ριζών μιας εξίσωσης ισχύουν εξίσου για οποιεσδήποτε εξισώσεις (αλγεβρικές, τριγωνομετρικές, κ.λπ.).
6. Μια εξίσωση ονομάζεται αλγεβρική αν ικανοποιεί μόνο το άγνωστο αλγεβρικές πράξεις- πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, εκπόνηση και εξαγωγή ρίζας με φυσικό εκθέτη (και ο αριθμός αυτών των πράξεων είναι πεπερασμένος).
Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις
είναι αλγεβρικές, και οι εξισώσεις
Στο τελευταίο μάθημα, χρησιμοποιήσαμε τρία βήματα για να λύσουμε εξισώσεις.
Το πρώτο στάδιο είναι τεχνικό. Χρησιμοποιώντας μια αλυσίδα μετασχηματισμών από την αρχική εξίσωση, φτάνουμε σε μια αρκετά απλή, την οποία λύνουμε και βρίσκουμε τις ρίζες.
Το δεύτερο στάδιο είναι η ανάλυση λύσης. Αναλύουμε τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήσαμε και διαπιστώνουμε αν είναι ισοδύναμοι.
Το τρίτο στάδιο είναι η επαλήθευση. Ο έλεγχος όλων των ριζών που βρέθηκαν αντικαθιστώντας τες στην αρχική εξίσωση είναι υποχρεωτικός όταν εκτελούνται μετασχηματισμοί που μπορούν να οδηγήσουν σε μια συνεπακόλουθη εξίσωση
Είναι πάντα απαραίτητο να διακρίνουμε τρία στάδια κατά την επίλυση μιας εξίσωσης;
Φυσικά και όχι. Όπως, για παράδειγμα, στην επίλυση αυτής της εξίσωσης. ΣΕ Καθημερινή ζωήσυνήθως δεν είναι απομονωμένοι. Αλλά όλα αυτά τα στάδια πρέπει να "κρατηθούν υπόψη" και να πραγματοποιηθούν με τη μια ή την άλλη μορφή. Είναι επιτακτική ανάγκη να αναλυθεί η ισοδυναμία των μετασχηματισμών. Και αν η ανάλυση δείξει ότι πρέπει να γίνει έλεγχος, τότε είναι υποχρεωτικός. Διαφορετικά, η εξίσωση δεν μπορεί να θεωρηθεί λυμένη σωστά.
Είναι πάντα δυνατός ο έλεγχος των ριζών μιας εξίσωσης μόνο με αντικατάσταση;
Εάν χρησιμοποιήθηκαν ισοδύναμοι μετασχηματισμοί κατά την επίλυση της εξίσωσης, τότε δεν απαιτείται επαλήθευση. Κατά τον έλεγχο των ριζών μιας εξίσωσης χρησιμοποιείται πολύ συχνά το ODZ (επιτρεπόμενο εύρος τιμών) Αν είναι δύσκολο να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας το ODZ, τότε πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στην αρχική εξίσωση.
Ασκηση 1
Λύστε την εξίσωση Τετραγωνική ρίζατου δύο x συν τρία ισούται με ένα συν x.
Λύση
Το ODZ της εξίσωσης καθορίζεται από ένα σύστημα δύο ανισώσεων: δύο x συν τρία είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν και ένα συν x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Η λύση είναι x μεγαλύτερη ή ίση με μείον ένα.
Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, μεταφέρουμε τους όρους από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη, προσθέτουμε παρόμοιους όρους και λαμβάνουμε μια τετραγωνική εξίσωση x στο τετράγωνο ίσον δύο. Οι ρίζες του είναι
x πρώτο, δεύτερο ίσον συν ή πλην την τετραγωνική ρίζα του δύο.
Εξέταση
Η τιμή του x πρώτα είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του δύο είναι η ρίζα της εξίσωσης, αφού περιλαμβάνεται στο ODZ.
Η τιμή του x δευτερολέπτου είναι ίση με μείον την τετραγωνική ρίζα του δύο δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης, γιατί δεν περιλαμβάνεται στο DZ.
Ας ελέγξουμε ότι η ρίζα x είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα δύο, αντικαθιστώντας την στην αρχική ισότητα, παίρνουμε
η ισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι το x ισούται με την τετραγωνική ρίζα του δύο είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Απάντηση: τετραγωνική ρίζα δύο.
Εργασία 2
Λύστε την εξίσωση τετραγωνική ρίζα του x μείον οκτώ ισούται με πέντε μείον x.
Λύση
Το ODZ μιας παράλογης εξίσωσης προσδιορίζεται από ένα σύστημα δύο ανισώσεων: το x μείον οκτώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν και πέντε μείον το x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Λύνοντάς το, διαπιστώνουμε ότι αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις. Η ρίζα της εξίσωσης δεν μπορεί να είναι καμία από τις τιμές της μεταβλητής x.
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
Εργασία 3
Λύστε την εξίσωση τετραγωνική ρίζα του x σε κύβους συν τέσσερα x μείον ένα μείον οκτώ τετραγωνικές ρίζεςΤο x στην τέταρτη δύναμη μείον το x είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του x σε κύβους μείον ένα συν δύο τετραγωνικές ρίζες του x.
Λύση
Η εύρεση του ODZ σε αυτή την εξίσωση είναι αρκετά δύσκολη.
Ας πραγματοποιήσουμε τον μετασχηματισμό: τετραγωνίστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης,
Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και φέρουμε όμοιους όρους, γράψουμε δύο ρίζες κάτω από έναν, πάρουμε παρόμοιες ρίζες, φέρουμε όμοιες, διαιρούμε με τον συντελεστή μείον 12 και συνυπολογίζουμε τη ριζική έκφραση, παίρνουμε μια εξίσωση στο μορφή προϊόντος δύο παραγόντων ίσων με μηδέν. Αφού το λύσουμε, βρίσκουμε τις ρίζες:
Το x πρώτο είναι ίσο με ένα, το x δεύτερο είναι ίσο με μηδέν.
Δεδομένου ότι αυξήσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε άρτια ισχύ, ο έλεγχος των ριζών είναι υποχρεωτικός.
Εξέταση
Αν το x είναι ίσο με ένα, τότε
παίρνουμε τη σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι x ίσον ένα είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Αν το x είναι μηδέν, τότε η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα είναι απροσδιόριστη.
Αυτό σημαίνει ότι το x ίσο με μηδέν είναι μια ξένη ρίζα.
Απάντηση: ένα.
Εργασία 4
Λύστε τον λογάριθμο της εξίσωσης της παράστασης x τετράγωνο συν πέντε x συν δύο βάση δύο ισούται με τρία.
Λύση
Ας βρούμε την εξίσωση ODZ. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την ανισότητα x στο τετράγωνο συν πέντε x συν δύο έναντι του μηδενός.
Λύνουμε την ανισότητα με τη μέθοδο του διαστήματος. Για να γίνει αυτό, παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά του, έχοντας προηγουμένως λύσει την τετραγωνική εξίσωση και λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της ανισότητας, προσδιορίζουμε το ODZ. Το ODZ είναι ίσο με την ένωση των ανοιχτών ακτίνων από το μείον άπειρο στο μείον το κλάσμα πέντε συν την τετραγωνική ρίζα του δεκαεπτά διαιρούμενο με δύο, και από μείον το κλάσμα πέντε μείον την τετραγωνική ρίζα του δεκαεπτά διαιρούμενο με το δύο στο συν άπειρο.
Τώρα ας αρχίσουμε να βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης. Δεδομένου ότι το τρία είναι ίσο με τον λογάριθμο του οκτώ στη βάση δύο, γράφουμε την εξίσωση ως εξής: ο λογάριθμος της παράστασης x τετράγωνο συν πέντε x συν δύο στη βάση δύο είναι ίσος με τον λογάριθμο του οκτώ στη βάση δύο. Ας δυναμώσουμε την εξίσωση, πάρουμε και λύσουμε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας.
Η διάκριση είναι σαράντα εννέα.
Υπολογίστε τις ρίζες:
Το x πρώτο είναι ίσο με μείον έξι. Το x δευτερόλεπτο είναι ίσο με ένα.
Εξέταση
Το μείον έξι ανήκει στο ODZ, το ένα ανήκει στο ODZ, που σημαίνει ότι και οι δύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης.
Απάντηση: μείον έξι? ένας.
Στο τελευταίο μάθημα εξετάσαμε το θέμα της εμφάνισης ξένων ριζών. Μπορούμε να τα εντοπίσουμε μέσω επαλήθευσης. Είναι δυνατόν να χάσετε ρίζες όταν λύνετε μια εξίσωση και πώς να το αποτρέψετε;
Κατά την εκτέλεση τέτοιων ενεργειών σε μια εξίσωση, όπως, πρώτον, η διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση ax από το x (εκτός από εκείνες τις περιπτώσεις που είναι σίγουρο ότι ο άξονας από το x δεν είναι ίσος με μηδέν για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της εξίσωσης) ;
Δεύτερον, η στένωση του OD της εξίσωσης κατά τη διαδικασία επίλυσης μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια των ριζών της εξίσωσης.
Θυμάμαι!
Η εξίσωση γράφεται ως
Το ef από το x πολλαπλασιαζόμενο με τέφρα από το x είναι ίσο με το zhe από το x πολλαπλασιασμένο με τέφρα από το x λύνεται με αυτόν τον τρόπο:
Πρέπει να παραγοντοποιήσετε βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Στη συνέχεια, εξισώστε κάθε παράγοντα με μηδέν, λαμβάνοντας έτσι δύο εξισώσεις.
Υπολογίζουμε τις ρίζες τους.
Ασκηση 1
Λύστε την εξίσωση x κύβος ίσον x.
Πρώτος τρόπος
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με το x, παίρνουμε x τετράγωνο ίσο με ένα, έχοντας ρίζες x πρώτα ίσο με ένα,
Το x δευτερόλεπτο είναι ίσο με μείον ένα.
Δεύτερος τρόπος
Ο κύβος Χ ισούται με Χ. Ας μετακινήσουμε το x στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, αφαιρούμε το x από αγκύλες και παίρνουμε: το x πολλαπλασιαζόμενο με το x στο τετράγωνο μείον το ένα ισούται με μηδέν.
Ας υπολογίσουμε τις ρίζες του:
Το Χ πρώτο είναι ίσο με μηδέν, το x δεύτερο είναι ίσο με ένα, το Χ Τρίτο είναι ίσο με μείον ένα.
Η εξίσωση έχει τρεις ρίζες.
Όταν λύναμε την πρώτη μέθοδο, χάσαμε μια ρίζα - το x ισούται με μηδέν.
Απάντηση: μείον ένα? μηδέν; ένας.
Θυμάμαι! Η μείωση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν παράγοντα που περιέχει το άγνωστο μπορεί να οδηγήσει σε χαμένες ρίζες.
Εργασία 2
Λύστε την εξίσωση: ο δεκαδικός λογάριθμος του x στο τετράγωνο είναι ίσος με δύο.
Λύση
Πρώτος τρόπος
Με τον ορισμό ενός λογάριθμου, παίρνουμε την τετραγωνική εξίσωση x τετράγωνο ισούται με εκατό.
Οι ρίζες του: x πρώτα ισούται με δέκα. Το Χ δευτερόλεπτο ισούται με μείον δέκα.
Δεύτερος τρόπος
Με την ιδιότητα των λογαρίθμων, έχουμε δύο δεκαδικούς λογάριθμους x ίσον δύο.
Η ρίζα του - x ισούται με δέκα
Με τη δεύτερη μέθοδο, η ρίζα x ισούται με μείον δέκα χάθηκε. Και ο λόγος είναι ότι εφάρμοσαν λάθος τύπο, περιορίζοντας το εύρος της εξίσωσης. Η έκφραση για τον δεκαδικό λογάριθμο του x στο τετράγωνο ορίζεται για όλα τα x εκτός από το x ίσο με μηδέν. Η έκφραση για τον δεκαδικό λογάριθμο του x είναι για το x μεγαλύτερη από το μηδέν. Σωστή φόρμουλαο δεκαδικός λογάριθμος x τετράγωνο είναι ίσος με δύο δεκαδικούς λογάριθμουςενότητα x.
Θυμάμαι! Όταν λύνετε μια εξίσωση, χρησιμοποιήστε τους διαθέσιμους τύπους με σύνεση.
