ο ηλεκτρονική αριθμομηχανήυπολογίζει το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων. Δεδομένος αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων, εισαγάγετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων

Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, ας εξετάσουμε τις έννοιες διατεταγμένη διανυσματική τριπλέτα, αριστερή διανυσματική τριπλέτα, δεξιά διανυσματική τριπλέτα.

Ορισμός 1. Λέγονται τρία διανύσματα παρήγγειλε τριπλό(ή τριπλό), εάν υποδεικνύεται ποιο από αυτά τα διανύσματα είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ποιο το τρίτο.

Ρεκόρ cba- σημαίνει - το πρώτο είναι διάνυσμα ντο, το δεύτερο είναι το διάνυσμα σικαι το τρίτο είναι το διάνυσμα ένα.

Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξί (αριστερό) εάν, όταν ανάγεται σε μια κοινή αρχή, αυτά τα διανύσματα βρίσκονται με τον ίδιο τρόπο που βρίσκονται ο μεγάλος, μη λυγισμένος δείκτης και το μεσαίο δάχτυλο του δεξιού (αριστερού) χεριού, αντίστοιχα.

Ο ορισμός 2 μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά.

Ορισμός 2". Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν ανάγεται σε κοινή αρχή, το διάνυσμα ντοβρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα έναΚαι σι, από πού είναι η συντομότερη στροφή έναΠρος την σιεκτελείται αριστερόστροφα (δεξιόστροφα).

Τρόικα των διανυσμάτων αλφάβητο, φαίνεται στο Σχ. Το 1 είναι σωστό και το τρία αλφάβητοφαίνεται στο Σχ. Το 2 είναι το αριστερό.

Εάν δύο τριάδες διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά, τότε λέγεται ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Διαφορετικά λέγεται ότι έχουν αντίθετο προσανατολισμό.

Ορισμός 3. Ένα καρτεσιανό ή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν τρία διανύσματα βάσης σχηματίζουν ένα δεξιό (αριστερό) τριπλό.

Για λόγους βεβαιότητας, σε αυτό που ακολουθεί θα εξετάσουμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων.

Ορισμός 4. Διάνυσμα έργα τέχνηςδιάνυσμα ένασε διάνυσμα σιονομάζεται διάνυσμα Με, που υποδηλώνεται με το σύμβολο c=[αβ] (ή c=[α, β], ή c=a×b) και πληρούν τις ακόλουθες τρεις απαιτήσεις:

• διανυσματικό μήκος Μείσο με το γινόμενο των διανυσματικών μηκών έναΚαι σιαπό το ημίτονο της γωνίας φ μεταξυ τους:

|ντο|=|[αβ]|=|ένα||σι|sinφ;

(1)

• διάνυσμα Μεορθογώνιο σε κάθε ένα από τα διανύσματα έναΚαι σι;
• διάνυσμα ντοσκηνοθετημένο έτσι ώστε οι τρεις αλφάβητοειναι σωστο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• [αβ]=−[βα] (αντιμεταβλητότηταπαράγοντες)·
• [(λα)σι]=λ [αβ] (συνδυασμόςσε σχέση με τον αριθμητικό παράγοντα).
• [(α+β)ντο]=[έναντο]+[σιντο] (διανεμητικότητασε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων).
• [αα]=0 για οποιοδήποτε διάνυσμα ένα.

Γεωμετρικές ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων

Θεώρημα 1. Για να είναι δύο διανύσματα συγγραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Απόδειξη. Ανάγκη. Αφήστε τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Τότε η γωνία μεταξύ τους είναι 0 ή 180° και sinφ=αμαρτία180=αμαρτία 0=0. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (1), το μήκος του διανύσματος ντοίσο με μηδέν. Επειτα ντομηδενικό διάνυσμα.

Επάρκεια. Έστω το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σιπροφανώς μηδέν: [ αβ]=0. Ας αποδείξουμε ότι τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα έναΚαι σιμηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά (αφού το μηδενικό διάνυσμα έχει απροσδιόριστη διεύθυνση και μπορεί να θεωρηθεί συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα).

Αν και τα δύο διανύσματα έναΚαι σιμη μηδενικό, τότε | ένα|>0, |σι|>0. Στη συνέχεια από [ αβ]=0 και από το (1) προκύπτει ότι sinφ=0. Επομένως τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 2. Μήκος (μέτρο) του διανυσματικού γινομένου [ αβ] ισούται με εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο κατασκευασμένο σε διανύσματα ανηγμένα σε κοινή αρχή έναΚαι σι.

Απόδειξη. Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των γειτονικών πλευρών αυτού του παραλληλογράμμου και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Ως εκ τούτου:

Τότε το διανυσματικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων έχει τη μορφή:

Επεκτείνοντας την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε την αποσύνθεση του διανύσματος α×βκατά βάση i, j, k, που ισοδυναμεί με τον τύπο (3).

Απόδειξη του Θεωρήματος 3. Ας δημιουργήσουμε όλα τα πιθανά ζεύγη διανυσμάτων βάσης i, j, kκαι να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο τους. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα διανύσματα βάσης είναι αμοιβαία ορθογώνια, σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο τριπλό και έχουν μήκος μονάδας (με άλλα λόγια, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Εγώ={1, 0, 0}, ι={0, 1, 0}, κ=(0, 0, 1)). Τότε έχουμε:

Από την τελευταία ισότητα και σχέσεις (4), λαμβάνουμε:

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα 3x3, η πρώτη σειρά του οποίου είναι τα διανύσματα βάσης i, j, k,και οι υπόλοιπες γραμμές γεμίζουν με διανυσματικά στοιχεία έναΚαι σι:

Έτσι, το αποτέλεσμα του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων έναΚαι σιθα είναι ένα διάνυσμα:

.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων [ αβ], όπου είναι το διάνυσμα ένααντιπροσωπεύεται από δύο σημεία. Σημείο εκκίνησης του διανύσματος α: , τελικό σημείο του διανύσματος ένα: , διάνυσμα σιμοιάζει με .

Λύση: Μετακινήστε το πρώτο διάνυσμα στην αρχή. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε τις συντεταγμένες του σημείου εκκίνησης από τις αντίστοιχες συντεταγμένες του τελικού σημείου:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα επεκτείνοντάς τον κατά μήκος της πρώτης σειράς. Το αποτέλεσμα αυτών των υπολογισμών είναι το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σι.

Διάνυσμα έργα τέχνηςείναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο σε ένα επίπεδο κατασκευασμένο από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «διανυσματικός πολλαπλασιασμός» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το διανυσματικό γινόμενο δεν έχει τις ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας και της συσχέτισης (είναι αντιμεταθετικό) και, σε αντίθεση με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, είναι διάνυσμα. Χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλές εφαρμογές μηχανικής και φυσικής. Για παράδειγμα, η γωνιακή ορμή και η δύναμη Lorentz γράφονται μαθηματικά ως διανυσματικό γινόμενο. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - το μέτρο του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών τους εάν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους και θεωρητικά, σε ένα χώρο οποιασδήποτε διάστασης n, μπορείτε να υπολογίσετε το γινόμενο n-1 διανυσμάτων, λαμβάνοντας έτσι ενιαίο διάνυσμα, κάθετα σε όλα αυτά. Αλλά αν το γινόμενο περιορίζεται σε μη τετριμμένα δυαδικά προϊόντα με διανυσματικά αποτελέσματα, τότε το παραδοσιακό διανυσματικό γινόμενο ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα ενός διανυσματικού γινόμενου, όπως ένα βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό των διανυσμάτων βαθμωτών γινομένων από συντεταγμένες σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διαγώνιο γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, από τη «χειρικότητά» του.

Ορισμός:
Το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος a και του διανύσματος b στον χώρο R3 είναι ένα διάνυσμα c που ικανοποιεί τις ακόλουθες απαιτήσεις:
το μήκος του διανύσματος c είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων a και b και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας φ:
|c|=|a||b|sin φ;
Το διάνυσμα c είναι ορθογώνιο σε καθένα από τα διανύσματα a και b.
Το διάνυσμα c κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων abc να είναι δεξιόστροφο.
στην περίπτωση του χώρου R7 απαιτείται η συσχέτιση του τριπλού των διανυσμάτων a, b, c.
Ονομασία:
c===a × β

Ρύζι. 1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μέτρο του διανυσματικού γινομένου

Γεωμετρικές ιδιότητες διασταυρούμενου προϊόντος:
Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Ενότητα πολλαπλών προϊόντων ισούται με εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο κατασκευασμένο σε διανύσματα ανηγμένα σε κοινή αρχή έναΚαι σι(βλ. Εικ. 1).

Αν μι- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα έναΚαι σικαι επιλέχθηκε έτσι ώστε τρεις α,β,ε- σωστά, και μικρόείναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί πάνω τους (ανάγεται σε κοινή αρχή), τότε ισχύει ο τύπος για το διανυσματικό γινόμενο:
=S e

Εικ.2. Όγκος παραλληλεπίπεδου χρησιμοποιώντας το διάνυσμα και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν τις προβολές του διανύσματος c στο a × b και του διανύσματος a στο b × c, το πρώτο βήμα είναι να βρούμε τα βαθμωτά γινόμενα

Αν ντο- κάποιο διάνυσμα, π - οποιοδήποτε επίπεδο που περιέχει αυτό το διάνυσμα, μι- μοναδιαίο διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο π και ορθογώνια προς γ, ζ- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς το επίπεδο π και κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων ecgείναι σωστό, τότε για οποιοδήποτε ψέμα στο αεροπλάνο π διάνυσμα έναο τύπος είναι σωστός:
=Pr e a |c|g
όπου Pr e a είναι η προβολή του διανύσματος e στο a
|c|-μέτρο του διανύσματος γ

Όταν χρησιμοποιείτε διανυσματικά και κλιμακωτά γινόμενα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα μειωμένα σε μια κοινή αρχή α, βΚαι ντο. Ένα τέτοιο γινόμενο τριών διανυσμάτων ονομάζεται μικτό.
V=|a (b×c)|
Το σχήμα δείχνει ότι αυτός ο όγκος μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: το γεωμετρικό αποτέλεσμα διατηρείται ακόμη και όταν τα προϊόντα "κλιμακωτή" και "διανυσματική" ανταλλάσσονται:
V=a×b c=a b×c

Το μέγεθος του εγκάρσιου γινόμενου εξαρτάται από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των αρχικών διανυσμάτων, επομένως το εγκάρσιο γινόμενο μπορεί να εκληφθεί ως ο βαθμός «καθετότητας» των διανυσμάτων, όπως το βαθμωτό γινόμενο μπορεί να θεωρηθεί ως ο βαθμός «παραλληλισμού ". Το διανυσματικό γινόμενο δύο μονάδων διανυσμάτων είναι ίσο με 1 (μοναδιαίο διάνυσμα) εάν τα αρχικά διανύσματα είναι κάθετα και ίσο με 0 (μηδενικό διάνυσμα) εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Έκφραση για το διασταυρούμενο γινόμενο σε καρτεσιανές συντεταγμένες
Αν δύο διανύσματα έναΚαι σιορίζονται από τις ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τους, ή ακριβέστερα, που αναπαριστώνται σε ορθοκανονική βάση
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
και το σύστημα συντεταγμένων είναι δεξιόστροφο, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους έχει τη μορφή
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Για να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
i =∑ε ijk a j b k
Οπου ε ijk- σύμβολο του Levi-Civita.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, μερικές φορές συμβαίνει ότι για πλήρη ευτυχία, επιπλέον κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων, απαιτούνται όλο και περισσότερα. Αυτό είναι διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να φαίνεται ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό είναι λάθος. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών υπάρχει γενικά λίγο ξύλο, εκτός ίσως από αρκετό για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - δύσκολα πιο περίπλοκο από το ίδιο κλιμακωτό προϊόν, θα υπάρχουν ακόμη λιγότερες τυπικές εργασίες. Το κυριότερο στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα πειστούν ή έχουν ήδη πειστεί, είναι ΝΑ ΜΗ ΚΑΝΟΥΜΕ ΛΑΘΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)

Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες επιλεκτικά· προσπάθησα να συγκεντρώσω την πληρέστερη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά στο πρακτική δουλειά

Τι θα σας κάνει ευτυχισμένο αμέσως; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν θα χρειαστεί να κάνετε ταχυδακτυλουργίες, αφού θα εξετάσουμε μόνο χωρικά διανύσματα , και επίπεδα διανύσματα με δύο συντεταγμένες θα παραμείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Είναι ήδη πιο εύκολο!

Αυτή η λειτουργία, όπως και το βαθμωτό προϊόν, περιλαμβάνει δύο διανύσματα. Ας είναι αυτά άφθαρτα γράμματα.

Η ίδια η δράση συμβολίζεται μεμε τον εξής τρόπο: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να δηλώνω το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.

Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποιά είναι η διαφορά? Η προφανής διαφορά είναι, πρώτα απ' όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:

Το αποτέλεσμα του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι NUMBER:

Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, από αυτό προέρχεται το όνομα της επέμβασης. Σε διάφορα εκπαιδευτική βιβλιογραφίαΟι ονομασίες μπορεί επίσης να διαφέρουν, θα χρησιμοποιήσω το γράμμα .

Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.

Ορισμός: Διανυσματικό προϊόν μη γραμμικόφορείς, ληφθεί με αυτή τη σειρά , που ονομάζεται VECTOR, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό:

Ας αναλύσουμε τον ορισμό, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα εδώ!

Έτσι, μπορούν να επισημανθούν τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:

1) Τα αρχικά διανύσματα, που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.

2) Λαμβάνονται διανύσματα με αυστηρά καθορισμένη σειρά: – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι «είναι» με «α». Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι VECTOR, το οποίο υποδεικνύεται με μπλε χρώμα. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν με αντίστροφη σειρά, λαμβάνουμε ένα διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (χρώμα βατόμουρου). Δηλαδή η ισότητα είναι αληθινή .

3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του πορφυρού διανύσματος) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο μαύρο.

Σημείωση : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του γινομένου του διανύσματος δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.

Ας θυμηθούμε ένα από τα γεωμετρικούς τύπους: Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:

Τονίζω ότι ο τύπος αφορά το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος και όχι το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι ότι σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού γινομένου:

Ας πάρουμε τον δεύτερο σημαντικό τύπο. Η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει στα δύο ίσο τρίγωνο. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

4) Ένα εξίσου σημαντικό γεγονός είναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα, δηλαδή . Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βέλος βατόμουρου) είναι επίσης ορθογώνιο με τα αρχικά διανύσματα.

5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηΕχει σωστάπροσανατολισμός. Στο μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΜίλησα με αρκετή λεπτομέρεια για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε τι είναι ο διαστημικός προσανατολισμός. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξί χέρι. Συνδυάστε διανοητικά δείκτηςμε διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε το στην παλάμη σας. Σαν άποτέλεσμα αντίχειρας– το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει. Αυτή είναι μια βάση προσανατολισμένη στα δεξιά (είναι αυτή στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαίο δάχτυλο) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Μπορεί να έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει αριστερό προσανατολισμό; "Ανάθεση" στα ίδια δάχτυλα αριστερόχειραςδιανύσματα και λάβετε την αριστερή βάση και τον αριστερό προσανατολισμό του χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά μιλώντας, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο προς τα μέσα διαφορετικές πλευρές. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο προσανατολισμός του χώρου αλλάζει από τον πιο συνηθισμένο καθρέφτη και αν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από το γυαλί", τότε στη γενική περίπτωση δεν θα είναι δυνατός ο συνδυασμός του με το "πρωτότυπο". Παρεμπιπτόντως, κρατήστε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)

...πόσο καλό είναι αυτό που ξέρεις τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις ορισμένων εισηγητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομακτικές =)

Διασταυρούμενο γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Ο ορισμός έχει συζητηθεί λεπτομερώς, μένει να μάθουμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςπαραλληλόγραμμο είναι ίσο με μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν

Έτσι, εάν , τότε Και . Σημειώστε ότι το ίδιο το διανυσματικό γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφουν ότι είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Ειδική περίπτωση– διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του:

Χρησιμοποιώντας το διασταυρούμενο γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και αυτή η εργασίαμεταξύ άλλων θα αναλύσουμε και εμείς.

Για λύσεις πρακτικά παραδείγματαμπορεί να απαιτηθεί τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.

Λοιπόν, ας ανάψουμε τη φωτιά:

Παράδειγμα 1

α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν

β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα τα ίδια τα αρχικά δεδομένα στις ρήτρες. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!

α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε μήκοςδιάνυσμα (σταυρό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Αν ερωτηθήκατε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.

β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε τετράγωνοπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του διανυσματικού γινομένου:

Απάντηση:

Σημειώστε ότι η απάντηση δεν μιλάει καθόλου για το διανυσματικό γινόμενο· μας ρωτήθηκε περιοχή του σχήματος, κατά συνέπεια, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.

Πάντα κοιτάμε ΤΙ πρέπει να βρούμε ανάλογα με την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε Σαφήαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν πολλοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία έχει πολλές πιθανότητες να επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και δεν πρόκειται για μια ιδιαίτερα τραβηγμένη κουβέντα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματα ή/και δεν έχει κατανοήσει την ουσία της εργασίας. Αυτό το σημείο πρέπει πάντα να διατηρείται υπό έλεγχο κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «en»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να είχε προσαρτηθεί επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω την καταχώρηση, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι χαρακτηρισμός για το ίδιο πράγμα.

Ένα δημοφιλές παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του διανυσματικού γινόμενου δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, η εργασία είναι πολύ συνηθισμένη· τα τρίγωνα γενικά μπορούν να σας βασανίσουν.

Για να λύσουμε άλλα προβλήματα θα χρειαστούμε:

Ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.

Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν επισημαίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.

2) – το ακίνητο συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.

3) – συνειρμικός ή προσεταιριστικήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές μπορούν εύκολα να μετακινηθούν έξω από το διανυσματικό γινόμενο. Αλήθεια, τι να κάνουν εκεί;

4) – διανομή ή διανεμητικόςνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.

Για να το αποδείξουμε, ας δούμε ένα σύντομο παράδειγμα:

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν

Λύση:Η συνθήκη απαιτεί πάλι την εύρεση του μήκους του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας:

(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, παίρνουμε τις σταθερές εκτός του πεδίου εφαρμογής του διανυσματικού γινομένου.

(2) Παίρνουμε τη σταθερά έξω από το δομοστοιχείο και η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

(3) Τα υπόλοιπα είναι ξεκάθαρα.

Απάντηση:

Ήρθε η ώρα να προσθέσουμε κι άλλα ξύλα στη φωτιά:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο . Το πρόβλημα είναι ότι τα διανύσματα «tse» και «de» παρουσιάζονται τα ίδια ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Για λόγους σαφήνειας, θα χωρίσουμε τη λύση σε τρία στάδια:

1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του γινομένου του διανύσματος, στην πραγματικότητα, ας εκφράσουμε ένα διάνυσμα ως διάνυσμα. Καμία λέξη ακόμα για το μήκος!

(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις των διανυσμάτων.

(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.

(3) Χρησιμοποιώντας συνειρμικούς νόμους, μετακινούμε όλες τις σταθερές πέρα ​​από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, τα βήματα 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.

(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω της ωραίας ιδιότητας. Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος:

(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί:

2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3:

3) Βρείτε το εμβαδόν του απαιτούμενου τριγώνου:

Τα στάδια 2-3 της λύσης θα μπορούσαν να είχαν γραφτεί σε μία γραμμή.

Απάντηση:

Το πρόβλημα που εξετάζεται είναι αρκετά κοινό σε δοκιμές, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Βρείτε αν

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

, καθορίζεται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:

Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: στην επάνω γραμμή της ορίζουσας γράφουμε τα διανύσματα συντεταγμένων, στη δεύτερη και τρίτη γραμμή «βάζουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και βάζουμε με αυστηρή σειρά– πρώτα οι συντεταγμένες του διανύσματος «ve» και μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος «double-ve». Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι σειρές πρέπει να αλλάξουν:

Παράδειγμα 10

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ΕΝΑ)
σι)

Λύση: Ο έλεγχος βασίζεται σε μία από τις προτάσεις σε αυτό το μάθημα: αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν (μηδέν διάνυσμα): .

α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Έτσι, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)

Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα εξαρτηθούν από τον ορισμό, γεωμετρική σημασίακαι μερικές φόρμουλες εργασίας.

Ένα μικτό γινόμενο διανυσμάτων είναι το γινόμενο τριών διανυσμάτων:

Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και ανυπομονούν να αναγνωριστούν.

Πρώτα, πάλι, ένας ορισμός και μια εικόνα:

Ορισμός: Μικτή εργασία μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, που ονομάζεται όγκος παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο «+» εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο «–» εάν η βάση είναι αριστερά.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με διακεκομμένες γραμμές:

Ας βουτήξουμε στον ορισμό:

2) Λαμβάνονται διανύσματα με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η αναδιάταξη των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν συμβαίνει χωρίς συνέπειες.

3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω ένα προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, ο σχεδιασμός μπορεί να είναι ελαφρώς διαφορετικός· έχω συνηθίσει να δηλώνω ένα μικτό προϊόν με , και το αποτέλεσμα των υπολογισμών με το γράμμα "pe".

Α-πριό το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο ενός δεδομένου παραλληλεπίπεδου.

Σημείωση : Το σχέδιο είναι σχηματικό.

4) Ας μην ανησυχούμε ξανά για την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, το μεικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .

Ακριβώς από τον ορισμό ακολουθεί ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα.

7.1. Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα a, b και c, λαμβανόμενα με την υποδεικνυόμενη σειρά, σχηματίζουν μια δεξιόστροφη τριάδα εάν, από το τέλος του τρίτου διανύσματος c, φαίνεται η συντομότερη στροφή από το πρώτο διάνυσμα a στο δεύτερο διάνυσμα b να είναι αριστερόστροφα, και μια αριστερόστροφη τριάδα αν είναι δεξιόστροφα (βλ. Εικ. 16).

Το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος α και του διανύσματος β ονομάζεται διάνυσμα c, το οποίο:

1. Κάθετα στα διανύσματα a και b, δηλ. c ^ a και c ^ β ;

2. Έχει μήκος αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί στα διανύσματα a καισιόπως στα πλαϊνά (βλ. Εικ. 17), δηλ.

3. Τα διανύσματα a, b και c σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο τριπλό.

Το διασταυρούμενο γινόμενο συμβολίζεται με x b ή [a,b]. Οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων απορρέουν άμεσα από τον ορισμό του γινομένου του διανύσματος, ιΚαι κ(βλ. Εικ. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Ας το αποδείξουμε, για παράδειγμα, αυτό i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, αλλά | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) διανύσματα i, j και κσχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό (βλ. Εικ. 16).

7.2. Ιδιότητες διασταυρούμενου προϊόντος

1. Κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει πρόσημο, δηλ. και xb =(b xa) (βλ. Εικ. 19).

Τα διανύσματα a xb και b xa είναι συγγραμμικά, έχουν τις ίδιες μονάδες (η περιοχή του παραλληλογράμμου παραμένει αμετάβλητη), αλλά είναι αντίθετα κατευθυνόμενα (τριπλάσια a, b, a xb και a, b, b x a αντίθετου προσανατολισμού). Αυτό είναι axb = -(b xa).

2. Το διανυσματικό γινόμενο έχει μια ιδιότητα συνδυασμού σε σχέση με τον βαθμωτό παράγοντα, δηλαδή l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Έστω l >0. Το διάνυσμα l (a xb) είναι κάθετο στα διανύσματα a και b. Διάνυσμα ( μεγάλοτσεκούρι σιείναι επίσης κάθετη στα διανύσματα a και σι(διανύσματα α, μεγάλοαλλά ξαπλώστε στο ίδιο επίπεδο). Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα μεγάλο(a xb) και ( μεγάλοτσεκούρι σισυγγραμμική. Είναι προφανές ότι οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν. Έχουν το ίδιο μήκος:

Να γιατί μεγάλο(a xb)= μεγάλοένα xb. Αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο για μεγάλο<0.

3. Δύο μη μηδενικά διανύσματα α και σιείναι συγγραμμικά αν και μόνο αν το διανυσματικό γινόμενο τους είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, δηλ. a ||b<=>και xb =0.

Συγκεκριμένα, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Το διανυσματικό γινόμενο έχει την ιδιότητα διανομής:

(α+β) xc = a xc + σι xs.

Θα δεχθούμε χωρίς αποδείξεις.

7.3. Έκφραση του διασταυρούμενου γινόμενου σε συντεταγμένες

Θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα πολλαπλών γινομένων των διανυσμάτων i, ικαι κ:

εάν η κατεύθυνση της συντομότερης διαδρομής από το πρώτο διάνυσμα στο δεύτερο συμπίπτει με την κατεύθυνση του βέλους, τότε το γινόμενο είναι ίσο με το τρίτο διάνυσμα· εάν δεν συμπίπτει, το τρίτο διάνυσμα λαμβάνεται με το σύμβολο μείον.

Έστω δύο διανύσματα a =a x i +a y ι+a z κκαι b =b x Εγώ+b y ι+b z κ. Ας βρούμε το διανυσματικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων πολλαπλασιάζοντάς τα ως πολυώνυμα (σύμφωνα με τις ιδιότητες του γινομένου του διανύσματος):

Ο προκύπτων τύπος μπορεί να γραφτεί ακόμη πιο συνοπτικά:

αφού η δεξιά πλευρά της ισότητας (7.1) αντιστοιχεί στην επέκταση της ορίζουσας τρίτης τάξης ως προς τα στοιχεία της πρώτης σειράς. Η ισότητα (7.2) είναι εύκολο να θυμόμαστε.

7.4. Μερικές εφαρμογές cross product

Καθιέρωση συγγραμμικότητας διανυσμάτων

Εύρεση του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου και ενός τριγώνου

Σύμφωνα με τον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων ΕΝΑκαι β |a xb | =|α | * |b |sin g, δηλ. S ζεύγη = |a x b |. Και, επομένως, D S =1/2|a x b |.

Προσδιορισμός της ροπής δύναμης για ένα σημείο

Έστω μια δύναμη στο σημείο Α F =ABάστο να πάει ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- κάποιο σημείο στο χώρο (βλ. Εικ. 20).

Είναι γνωστό από τη φυσική ότι στιγμή της δύναμης φά σε σχέση με το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕονομάζεται διάνυσμα Μ,που διέρχεται από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΚαι:

1) κάθετο στο επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Ο, Α, Β;

2) αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της δύναμης ανά βραχίονα

3) σχηματίζει δεξιό τριπλό με διανύσματα ΟΑ και Α Β.

Επομένως, M = OA x F.

Εύρεση γραμμικής ταχύτητας περιστροφής

Ταχύτητα vσημείο Μ ενός άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα wγύρω από έναν σταθερό άξονα, προσδιορίζεται από τον τύπο του Euler v =w xr, όπου r =OM, όπου O είναι κάποιο σταθερό σημείο του άξονα (βλ. Εικ. 21).