UDC 517.17+517.51
ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΟΥ αθροίσματος ΔΥΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Α/Ο. Έβνιν
Το έργο λύνει πλήρως το ερώτημα ποια μπορεί να είναι η κύρια περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης, που είναι το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων με γνωστές κύριες περιόδους. Μελετάται επίσης η περίπτωση της απουσίας κύριας περιόδου για περιοδικό άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων.
Θεωρούμε συναρτήσεις πραγματικής αξίας μιας πραγματικής μεταβλητής. Στην εγκυκλοπαιδική έκδοση, στο άρθρο «Περιοδικές Συναρτήσεις», μπορείτε να διαβάσετε: «Το άθροισμα των περιοδικών συναρτήσεων με διαφορετικές περιόδους είναι περιοδικό μόνο αν οι περίοδοι τους είναι ανάλογες». Αυτή η δήλωση ισχύει για συνεχείς λειτουργίες 1, αλλά δεν εμφανίζεται στη γενική περίπτωση. Ένα αντιπαράδειγμα μιας πολύ γενικής μορφής κατασκευάστηκε στο . Σε αυτό το άρθρο ανακαλύπτουμε ποια μπορεί να είναι η κύρια περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης, που είναι το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων με γνωστές κύριες περιόδους.
Προκαταρκτικές πληροφορίες
Θυμηθείτε ότι μια συνάρτηση / λέγεται περιοδική αν για έναν ορισμένο αριθμό T F O για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού D(f) οι αριθμοί x + T και x - T ανήκουν στο D(f) και οι ισότητες f(x + T) = f( x) =f(x ~ T). Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός Г ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Θα ονομάσουμε τη μικρότερη θετική περίοδο της συνάρτησης (αν, φυσικά, υπάρχει) κύρια περίοδο. Είναι γνωστό το εξής γεγονός.
Θεώρημα 1. Εάν μια συνάρτηση έχει κύρια περίοδο To, τότε οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης έχει τη μορφή nTo, όπου n Ф 0 είναι ακέραιος.
Οι αριθμοί T\ και T2 λέγονται ότι είναι συγκρίσιμοι εάν υπάρχει ένας αριθμός T0 που ταιριάζει τόσο στο T\ όσο και στο T2 έναν ακέραιο αριθμό φορών: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Διαφορετικά, οι αριθμοί T\ και T2 είναι που ονομάζεται ασύγκριτος. Η συγκρισιμότητα (ασυμμετρισιμότητα) των περιόδων σημαίνει, επομένως, ότι ο λόγος τους είναι ένας ορθολογικός (παράλογος) αριθμός.
Από το Θεώρημα 1 προκύπτει ότι για μια συνάρτηση που έχει θεμελιώδη περίοδο, οποιεσδήποτε δύο περίοδοι είναι ανάλογες.
Ένα κλασικό παράδειγμα μιας συνάρτησης που δεν έχει τη μικρότερη περίοδο είναι η συνάρτηση Dirichlet, η οποία είναι ίση με 1 σε ρητά σημεία και μηδέν σε παράλογα σημεία. Οποιος ρητός αριθμός, διαφορετική από το μηδέν, είναι η περίοδος της συνάρτησης Dirichlet και οποιοσδήποτε άρρητος αριθμός δεν είναι η περίοδος της. Όπως βλέπουμε, και εδώ οποιεσδήποτε δύο περίοδοι είναι ανάλογες.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα μιας μη σταθερής περιοδικής συνάρτησης που έχει ασύγκριτες περιόδους.
Έστω η συνάρτηση /(x) ίση με 1 σε σημεία της μορφής /u + la/2, m, n e Z και ίση με
μηδέν. Μεταξύ των περιόδων αυτής της συνάρτησης υπάρχουν 1 και l
Περίοδος αθροίσματος συναρτήσεων με ανάλογες περιόδους
Θεώρημα 2. Έστω fug περιοδικές συναρτήσεις με κύριες περιόδους mT0 και «Αυτό, όπου ο τύπος
Αμοιβαία πρώτοι αριθμοί. Τότε η κύρια περίοδος του αθροίσματος τους (αν υπάρχει) ισούται με -
όπου k - φυσικός αριθμός, συμπρώτε τον αριθμό tn.
Απόδειξη. Έστω h = / + g. Προφανώς, ο αριθμός mnT0 είναι η περίοδος του h. Δυνάμει του
του Θεωρήματος 1, η κύρια περίοδος h έχει τη μορφή όπου k είναι κάποιος φυσικός αριθμός. Πιθανώς
Ας υποθέσουμε ότι το k δεν είναι σχετικά πρώτος με τον αριθμό m, δηλαδή, k - dku m = dm\, όπου d> 1 είναι ο περισσότερος
1 Μια όμορφη απόδειξη ότι το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένος αριθμόςΟι συνεχείς συναρτήσεις με ασύγκριτες περιόδους κατά ζεύγη είναι μη περιοδικές, που περιέχονται στο άρθρο Βλ. επίσης.
μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών m και k. Τότε η περίοδος της συνάρτησης k είναι ίση με
και η συνάρτηση f=h-g
έχει μια περίοδο mxnTo, η οποία δεν είναι πολλαπλάσιο της κύριας περιόδου mTQ. Προκύπτει μια αντίφαση με το Θεώρημα 1. Αυτό σημαίνει ότι το k είναι συμπρώτος με το m. Ομοίως, οι αριθμοί k και n είναι συμπρώτοι. □
Θεώρημα 3. Έστω m, n και k συμπρώτοι αριθμοί κατά ζεύγη και ο T0 θετικός αριθμός. Έπειτα, υπάρχουν περιοδικές συναρτήσεις fug τέτοιες ώστε οι κύριες περίοδοι f, g και (f + g) να είναι
είμαστε αντίστοιχα tT$, nTQ και -
Απόδειξη. Η απόδειξη του θεωρήματος θα είναι εποικοδομητική: θα κατασκευάσουμε απλώς ένα αντίστοιχο παράδειγμα. Ας διατυπώσουμε πρώτα το ακόλουθο αποτέλεσμα. Δήλωση. Έστω m σχετικά πρώτοι αριθμοί. Στη συνέχεια οι συναρτήσεις
fx - cos- + cos--- και f2= cos- m n m
συν- έχουν θεμελιώδη περίοδο 2ktp. Π
Απόδειξη της δήλωσης. Προφανώς, ο αριθμός 2ptn είναι η περίοδος και των δύο συναρτήσεων. Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε ότι αυτή η περίοδος είναι η κύρια για τη συνάρτηση. Ας βρούμε τους μέγιστους πόντους της.
x = 2lM, te Z.
Έχουμε = n!. Από την αμοιβαία απλότητα του τύπου προκύπτει ότι το 5 είναι πολλαπλάσιο του /r, δηλ. i = I e β. Αυτό σημαίνει ότι /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, και η απόσταση μεταξύ γειτονικών σημείων του μέγιστου της συνάρτησης /\ είναι ίση με 2ktp και η θετική περίοδος /1 δεν μπορεί να είναι μικρότερη από τον αριθμό 2 spp .
Για τη συνάρτηση, ας εφαρμόσουμε συλλογισμό διαφορετικού είδους (που είναι επίσης κατάλληλος για τη συνάρτηση but
λιγότερο στοιχειώδες). Όπως δείχνει το Θεώρημα 1, η κύρια περίοδος Γ της συνάρτησης/2 έχει τη μορφή -,
όπου k είναι κάποιος φυσικός αριθμός συμπρώτος προς πληκτρολόγηση. Ο αριθμός G θα είναι επίσης η περίοδος της συνάρτησης
(2 ^ 2 xn g t /2 + /2 = - -1 συν
όλες οι περίοδοι των οποίων έχουν τη μορφή 2pp1. Ετσι,
2nnl, δηλ. t = kl. Αφού το t και το k είναι αμοιβαία
sty, προκύπτει ότι k = 1.
Τώρα, για να αποδείξουμε το Θεώρημα 3, μπορούμε να κατασκευάσουμε το απαιτούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω m, n και k κατά ζεύγη σχετικά πρώτοι αριθμοί και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς n ή k είναι διαφορετικός από το 1. Τότε pf k και λόγω της αποδεδειγμένης δήλωσης της συνάρτησης
/ (x) = cos--- + cos- t to
Και g(x) = cos-cos - p έως
έχουν κύριες περιόδους 2 ltk και 2 tk αντίστοιχα, και το άθροισμά τους
k(x) = f(x) + = cos- + cos-
η κύρια περίοδος είναι 2 τ.π.
Αν n = k = 1, τότε ένα ζεύγος συναρτήσεων θα κάνει
f(x)-2 cos- + COS X και g(x) - COS X. m
Οι κύριες περίοδοι τους, καθώς και η περίοδος της συνάρτησης k(x) - 2, ισούνται με 2lm, 2/gi 2type, αντίστοιχα.
πόσο εύκολο είναι να το ελέγξεις.
Μαθηματικά
Ας συμβολίσουμε T = 2lx. Για αυθαίρετους συμπρωτικούς αριθμούς mn, n και k, οι συναρτήσεις f και £ υποδεικνύονται έτσι ώστε οι κύριες περίοδοι των συναρτήσεων f, g και f + g να είναι ίσες με mT, nT και
Οι συνθήκες του θεωρήματος ικανοποιούνται από τις συναρτήσεις / - n;
Περίοδος αθροίσματος συναρτήσεων με ασύγκριτες περιόδους
Η επόμενη δήλωση είναι σχεδόν προφανής.
Θεώρημα 4. Έστω fug περιοδικές συναρτήσεις με ασύμμετρες κύριες περιόδους T) και T2, και το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων h = f + g είναι περιοδικό και έχει κύρια περίοδο T. Τότε ο αριθμός T δεν είναι ασύμμετρος ούτε με το T] ούτε με το T2.
Απόδειξη. Αφενός, εάν οι αριθμοί TnT) είναι συγκρίσιμοι, τότε η συνάρτηση g = h-f έχει περίοδο ανάλογη του Γ]. Από την άλλη πλευρά, δυνάμει του Θεωρήματος 1, οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης g είναι πολλαπλάσιο του αριθμού T2. Λαμβάνουμε μια αντίφαση με το ασύγκριτο των αριθμών T\ και T2. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η ασυμμετρία των αριθμών Τ και Τ2, δ
Ένα αξιοσημείωτο, και μάλιστα κάπως εκπληκτικό, γεγονός είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο του Θεωρήματος 4. Υπάρχει μια ευρέως διαδεδομένη εσφαλμένη αντίληψη ότι το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων με ασύγκριτες περιόδους δεν μπορεί να είναι μια περιοδική συνάρτηση. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι έτσι. Επιπλέον, η περίοδος του αθροίσματος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός που ικανοποιεί τη δήλωση του Θεωρήματος 4.
Θεώρημα 5. Έστω T\, T2 και T~ είναι ασύμμετροι κατά ζεύγη θετικοί αριθμοί. Τότε υπάρχουν περιοδικές συναρτήσεις fug έτσι ώστε το άθροισμά τους h =/+ g να είναι περιοδικό, και οι κύριες περίοδοι της συνάρτησης f guh είναι ίσες με Th T2 και T, αντίστοιχα.
Απόδειξη. Η απόδειξη θα είναι και πάλι εποικοδομητική. Οι κατασκευές μας θα εξαρτηθούν σημαντικά από το εάν ο αριθμός T είναι αναπαραστάσιμος ή όχι με τη μορφή ορθολογικού συνδυασμού T = aT\ + pT2 (τα a και P είναι ρητά αριθμοί) των περιόδων T\ και T2.
Το I. T δεν είναι λογικός συνδυασμός Tg και J2-
Έστω A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) το σύνολο των ακέραιων γραμμικών συνδυασμών των αριθμών T1 T2 και T. Σημειώνουμε αμέσως ότι εάν ένας αριθμός είναι αναπαραστάσιμος με τη μορφή mT\ + nT2 + kT, τότε μια τέτοια αναπαράσταση είναι μοναδική. Πράγματι, αν mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 τότε
(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ και για k\ * k2 προκύπτει ότι το T εκφράζεται ορθολογικά μέσω των T] και T2. Αυτό σημαίνει k\ = k2. Τώρα, από την ασυμμετρία των αριθμών T\ και T2, προκύπτουν αμέσως οι ισότητες m\ = m2 και u = n2.
Ένα σημαντικό γεγονός είναι ότι τα σύνολα A και το συμπλήρωμά του A είναι κλειστά με την πρόσθεση αριθμών από το A: αν x e A και y e A, τότε x + y e A. αν x e A και y e A, τότε x + y e A.
Ας υποθέσουμε ότι σε όλα τα σημεία του συνόλου Α οι συναρτήσεις / και g είναι ίσες με μηδέν και στο σύνολο Α ορίζουμε αυτές τις συναρτήσεις ως εξής:
f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.
Εφόσον, όπως αποδείχθηκε, από τον αριθμό x e A αποκαθίστανται μοναδικά οι συντελεστές m, κορυφή του γραμμικού συνδυασμού των περιόδων T1 T2 και T, οι υποδεικνυόμενες εκχωρήσεις των συναρτήσεων / και g είναι σωστές.
Η συνάρτηση h =/ + g στο σύνολο Α είναι ίση με μηδέν και στα σημεία του συνόλου Α είναι ίση με
h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.
Με άμεση αντικατάσταση είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι ο αριθμός T\ είναι η περίοδος της συνάρτησης f, ο αριθμός T2 είναι η περίοδος του g και T~ είναι η περίοδος του h. Ας δείξουμε ότι αυτές οι περίοδοι είναι οι κύριες.
Αρχικά, σημειώνουμε ότι οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης / ανήκει στο σύνολο A. Πράγματι,
αν 0 fx στο A,y e A, τότε ox + y e A και f(x + y) = 0 *f(x). Αυτό σημαίνει ότι το y e A δεν είναι η περίοδος της συνάρτησης /
Τώρα έστω x2 άνισοι αριθμοί και f(x 1) ~f(x2). Από τον ορισμό της συνάρτησης /, παίρνουμε από εδώ ότι x\ - x2 = 1ТБ όπου I είναι κάποιος μη μηδενικός ακέραιος. Επομένως, οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης είναι πολλαπλάσιο του T\. Έτσι, το Tx είναι πραγματικά η κύρια περίοδος/
Οι δηλώσεις σχετικά με το Τ2 και το Τ ελέγχονται με τον ίδιο τρόπο.
Σχόλιο. Στο βιβλίο στη σελ. 172-173 δίνεται μια άλλη γενική κατασκευή για την περίπτωση Ι.
II. Το T είναι ένας ορθολογικός συνδυασμός T\ και T2.
Ας παρουσιάσουμε έναν ορθολογικό συνδυασμό περιόδων T\ και T2 με τη μορφή Г = - (кхТх + к2Т2), όπου кх και
Οι k2 ™ συμπρώτοι ακέραιοι, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? και d είναι φυσικοί αριθμοί. Ας εισάγουμε leZ>.
σετ ρενι Β----
Ας υποθέσουμε ότι σε όλα τα σημεία του συνόλου Β οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες με μηδέν και στο σύνολο Β ορίζουμε αυτές τις συναρτήσεις ως εξής:
^ mT\ + nT2 L I
^ mTx + nT2 L
Εδώ, ως συνήθως, τα [x] και (x) δηλώνουν τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη των αριθμών, αντίστοιχα. Η συνάρτηση k =/+ d στο σύνολο Β είναι ίση με μηδέν και στα σημεία του συνόλου Β είναι ίση με
fmTx +pT: l H
Με άμεση αντικατάσταση είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι ο αριθμός Tx είναι η περίοδος της συνάρτησης /, ο αριθμός T2 είναι η περίοδος g και T είναι η περίοδος h. Ας δείξουμε ότι αυτές οι περίοδοι είναι οι κύριες.
Οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης / ανήκει στο σύνολο B. Πράγματι, αν 0 * x e B, y e B, τότε f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Επομένως, y e B _ Μη περίοδος λειτουργίας/
Άρα, κάθε περίοδος της συνάρτησης / έχει τη μορφή Тy =
Όπου το 5i και το 52 είναι ακέραιοι. Αφήνω
x = -7] 4- -Г2, x e 5. Αν i = 0, τότε η f(i) είναι ρητός αριθμός. Τώρα από τον ορθολογισμό του αριθμού /(x + 7)) ακολουθεί η ισότητα -I - I - 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε την ισότητα 52 = Xp, όπου Χ είναι κάποιος ακέραιος αριθμός
αριθμός. Η σχέση /(x + 7)) = /(x) παίρνει τη μορφή
^P + I + I w +
Αυτή η ισότητα πρέπει να ισχύει για όλους τους ακέραιους τύπους. Στο t-n~ 0, η δεξιά πλευρά του (1) είναι ίση με
στο μηδέν. Δεδομένου ότι τα κλασματικά μέρη είναι μη αρνητικά, παίρνουμε από αυτό ότι -<0, а при
m = n = d - ] το άθροισμα των κλασματικών μερών στη δεξιά πλευρά της ισότητας (1) δεν είναι μικρότερο από το άθροισμα των κλασματικών μερών h-X
στα αριστερά. Αυτό σημαίνει ->0. Έτσι, X = 0 και 52 = 0. Επομένως, η περίοδος της συνάρτησης / έχει τη μορφή
και η ισότητα (1) γίνεται
n\ | και 52 είναι ακέραιοι. Από τις σχέσεις
th(0) = 0 = th(GA) =
βρίσκουμε ότι οι αριθμοί 51 και ^ πρέπει να είναι πολλαπλάσια του p, δηλ. για κάποιους ακέραιους Ax και A2 έχουμε 51 = A\p, E2 = A2p. Τότε η σχέση (3) μπορεί να ξαναγραφτεί ως
Από την ισότητα A2kx = k2A\ και την αμοιβαία πρώτοτητα των αριθμών k\ και k2, προκύπτει ότι το A2 διαιρείται με το k2. Από εδώ
για κάποιο ακέραιο t ισχύουν οι ισότητες A2 = k2t και Ax ~ kxt, δηλ. Θ ~-(kxTx + k2T2).
Δείχνεται ότι οποιαδήποτε περίοδος της συνάρτησης h είναι πολλαπλάσιο της περιόδου T = - (k(Gx + k2T2)9 η οποία, επομένως,
zom, είναι το κύριο. □
Χωρίς κύρια περίοδο
Θεώρημα 6. Έστω Tx και T2~ αυθαίρετοι θετικοί αριθμοί. Έπειτα, υπάρχουν περιοδικές συναρτήσεις fug έτσι ώστε οι κύριες περίοδοι τους να είναι ίσες με T\ και T2, αντίστοιχα, και το άθροισμά τους h=f+g είναι περιοδικό, αλλά δεν έχει κύρια περίοδο.
Απόδειξη. Ας εξετάσουμε δύο πιθανές περιπτώσεις.
I. Οι περίοδοι Tx και T2 είναι ασύγκριτες.
Έστω A = + nT2 +kT\ . Όπως παραπάνω, είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν ο αριθμός
μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή mTx + nT2 + kT, τότε μια τέτοια αναπαράσταση είναι μοναδική.
Ας υποθέσουμε ότι σε όλα τα σημεία του συνόλου Α οι συναρτήσεις / και g είναι ίσες με μηδέν και στο σύνολο Α ορίζουμε αυτές τις συναρτήσεις ως εξής:
/από; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.
Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι ο αριθμός Tx είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης /, ο αριθμός T2 είναι η κύρια περίοδος g, και για κάθε ορθολογικό k, ο αριθμός kT είναι η περίοδος της συνάρτησης h - f + g, η οποία, επομένως, δεν έχει τη μικρότερη περίοδο.
II. Οι περίοδοι Tx και T2 είναι συγκρίσιμες.
Έστω Tx = mT0, T2 = nT0, όπου T0 > O, m και n είναι φυσικοί αριθμοί. Ας εισαγάγουμε το σύνολο I = + υπόψη.
Ας υποθέσουμε ότι σε όλα τα σημεία του συνόλου Β οι συναρτήσεις fug είναι ίσες με μηδέν και στο σύνολο Β ορίζουμε αυτές τις συναρτήσεις ως εξής:
/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.
Η συνάρτηση h ~ / + g στο σύνολο Β είναι ίση με μηδέν και στα σημεία του συνόλου Β είναι ίση με
Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι ο αριθμός 7j = mTQ είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης /, ο αριθμός T2 ~ nT0 είναι η κύρια περίοδος του g, ενώ μεταξύ των περιόδων της συνάρτησης h~ f + g υπάρχουν όλοι οι αριθμοί της μορφή l/2kT0, όπου k είναι ένας αυθαίρετος ρητός αριθμός. □
Οι κατασκευές που αποδεικνύουν το Θεώρημα 6 βασίζονται στην ασυμμετρία των περιόδων της συνάρτησης h~ / + g με τις περιόδους των συναρτήσεων / και g. Συμπερασματικά, ας δώσουμε ένα παράδειγμα συναρτήσεων fug έτσι ώστε όλες οι περίοδοι των συναρτήσεων /, g και / + g να είναι ανάλογες μεταξύ τους, αλλά οι / και g έχουν βασικές περιόδους, ενώ οι f + g όχι.
Έστω m κάποιος σταθερός φυσικός αριθμός, M το σύνολο των μη αναγώγιμων μη ακέραιων κλασμάτων των οποίων οι αριθμητές είναι πολλαπλάσιοι του m. Ας βάλουμε
1 εάν heM; 1
εάν η mZ;
EcnuxeZXmZ; 2
O σε άλλες περιπτώσεις? 1 εάν xeMU
~, αν 2 2
[Ω κατά τα άλλα.
Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι κύριες περίοδοι των συναρτήσεων fug είναι ίσες με m και 1, αντίστοιχα, ενώ το άθροισμα / + g έχει περίοδο οποιουδήποτε αριθμού της μορφής m/n, όπου n είναι ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός συμπρώτης Μ.
Βιβλιογραφία
1. Μαθηματικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό/Κεφ. εκδ. Yu.V. Προκόροφ - Μ.: Σοβ. εγκυκλοπαίδεια, 1988.
2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Περί της περιοδικότητας του αθροίσματος των περιοδικών συναρτήσεων//Μαθηματική εκπαίδευση. - 2000. - Αρ. 2(13). - σελ. 29-33.
3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. Σχετικά με το άθροισμα των περιοδικών συναρτήσεων // Τα μαθηματικά στο σχολείο. -2002. - Νο. 1. - Σελ. 68-72.
4. Ivlev B.M. και άλλα. Συλλογή προβλημάτων άλγεβρας και αρχές ανάλυσης για τις τάξεις 9 και 10. - Μ.: Εκπαίδευση, 1978.
Στόχος: να συνοψίσει και να συστηματοποιήσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με το θέμα "Περιοδικότητα των συναρτήσεων". να αναπτύξουν δεξιότητες στην εφαρμογή των ιδιοτήτων μιας περιοδικής συνάρτησης, στην εύρεση της μικρότερης θετικής περιόδου μιας συνάρτησης, στην κατασκευή γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων. να προωθήσουν το ενδιαφέρον για τη μελέτη των μαθηματικών· καλλιεργούν την παρατηρητικότητα και την ακρίβεια.
Εξοπλισμός: υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων, κάρτες εργασιών, διαφάνειες, ρολόγια, τραπέζια με στολίδια, στοιχεία λαϊκής χειροτεχνίας
«Τα μαθηματικά είναι αυτά που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να ελέγχουν τη φύση και τον εαυτό τους».
ΕΝΑ. Κολμογκόροφ
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτικό στάδιο.
Έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα. Αναφέρετε το θέμα και τους στόχους του μαθήματος.
II. Έλεγχος εργασιών για το σπίτι.
Ελέγχουμε τις εργασίες για το σπίτι χρησιμοποιώντας δείγματα, τα περισσότερα δύσκολες στιγμέςΑς συζητήσουμε.
III. Γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης.
1. Προφορική μετωπική εργασία.
Θεωρητικά θέματα.
1) Να σχηματίσετε έναν ορισμό της περιόδου της συνάρτησης
2) Ονομάστε τη μικρότερη θετική περίοδο των συναρτήσεων y=sin(x), y=cos(x)
3). Ποια είναι η μικρότερη θετική περίοδος των συναρτήσεων y=tg(x), y=ctg(x)
4) Χρησιμοποιώντας έναν κύκλο, να αποδείξετε την ορθότητα των σχέσεων:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Πώς να σχεδιάσετε μια περιοδική συνάρτηση;
Προφορικές ασκήσεις.
1) Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις
ένα) sin(740º) = αμαρτία (20º)
σι) cos(54º) = cos(-1026º)
ντο) sin(-1000º) = αμαρτία (80º)
2. Να αποδείξετε ότι μια γωνία 540º είναι μία από τις περιόδους της συνάρτησης y= cos(2x)
3. Να αποδείξετε ότι μια γωνία 360º είναι μία από τις περιόδους της συνάρτησης y=tg(x)
4. Μετατρέψτε αυτές τις παραστάσεις έτσι ώστε οι γωνίες που περιλαμβάνονται σε αυτές να μην υπερβαίνουν τις 90º σε απόλυτη τιμή.
ένα) tg375º
σι) ctg530º
ντο) αμαρτία1268º
ρε) cos(-7363º)
5. Πού βρήκατε τις λέξεις ΠΕΡΙΟΔΟΣ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ;
Ο μαθητής απαντά: Μια περίοδος στη μουσική είναι μια δομή στην οποία παρουσιάζεται μια περισσότερο ή λιγότερο ολοκληρωμένη μουσική σκέψη. Μια γεωλογική περίοδος είναι μέρος μιας εποχής και χωρίζεται σε εποχές με περίοδο από 35 έως 90 εκατομμύρια χρόνια.
Χρόνος ημιζωής ραδιενεργού ουσίας. Περιοδικό κλάσμα. Τα περιοδικά είναι έντυπες εκδόσεις που εμφανίζονται εντός αυστηρά καθορισμένων προθεσμιών. Περιοδικός ΠίνακαςΜεντελέεφ.
6. Τα σχήματα δείχνουν μέρη των γραφημάτων περιοδικών συναρτήσεων. Προσδιορίστε την περίοδο της συνάρτησης. Προσδιορίστε την περίοδο της συνάρτησης.
Απάντηση: T=2; T=2; T=4; Τ=8.
7. Πού στη ζωή σας έχετε συναντήσει την κατασκευή επαναλαμβανόμενων στοιχείων;
Απάντηση μαθητή: Στοιχεία στολιδιών, λαϊκή τέχνη.
IV. Συλλογική επίλυση προβλημάτων.
(Επίλυση προβλημάτων σε διαφάνειες.)
Ας εξετάσουμε έναν από τους τρόπους μελέτης μιας συνάρτησης για περιοδικότητα.
Αυτή η μέθοδος αποφεύγει τις δυσκολίες που σχετίζονται με την απόδειξη ότι μια συγκεκριμένη περίοδος είναι η μικρότερη, και επίσης εξαλείφει την ανάγκη αντιμετώπισης ερωτήσεων σχετικά με αριθμητικές πράξεις σε περιοδικές συναρτήσεις και την περιοδικότητα μιας σύνθετης συνάρτησης. Ο συλλογισμός βασίζεται μόνο στον ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και στο εξής γεγονός: αν T είναι η περίοδος της συνάρτησης, τότε nT(n?0) είναι η περίοδος της.
Πρόβλημα 1. Να βρείτε τη μικρότερη θετική περίοδο της συνάρτησης f(x)=1+3(x+q>5)
Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η περίοδος Τ αυτής της συνάρτησης. Τότε f(x+T)=f(x) για όλα τα x € D(f), δηλ.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Ας βάλουμε x=-0,25 και παίρνουμε
(Τ)=0<=>T=n, n € Z
Καταλήξαμε ότι όλες οι περίοδοι της εν λόγω συνάρτησης (αν υπάρχουν) είναι μεταξύ των ακεραίων. Ας επιλέξουμε τον μικρότερο θετικό αριθμό από αυτούς τους αριθμούς. Αυτό 1 . Ας ελέγξουμε αν όντως θα είναι περίοδος 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Εφόσον (T+1)=(T) για οποιοδήποτε Τ, τότε f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), δηλ. 1 – περίοδος στ. Εφόσον το 1 είναι ο μικρότερος από όλους τους θετικούς ακέραιους, τότε T=1.
Πρόβλημα 2. Δείξτε ότι η συνάρτηση f(x)=cos 2 (x) είναι περιοδική και βρείτε την κύρια περίοδο της.
Πρόβλημα 3. Να βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Ας υποθέσουμε την περίοδο Τ της συνάρτησης, τότε για οποιαδήποτε Χισχύει η αναλογία
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Αν x=0, τότε
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Αν x=-T, τότε
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Προσθέτοντας το, παίρνουμε:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Ζ
Ας επιλέξουμε τον μικρότερο θετικό αριθμό από όλους τους «ύποπτους» αριθμούς για την περίοδο και ας ελέγξουμε αν είναι τελεία για f. Αυτός ο αριθμός
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Αυτό σημαίνει ότι αυτή είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης f.
Πρόβλημα 4. Ας ελέγξουμε αν η συνάρτηση f(x)=sin(x) είναι περιοδική
Έστω T η περίοδος της συνάρτησης f. Τότε για οποιοδήποτε x
sin|x+Т|=αμαρτία|x|
Αν x=0, τότε sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Ας υποθέσουμε. Ότι για μερικά n ο αριθμός π n είναι η περίοδος
η υπό εξέταση συνάρτηση π n>0. Τότε sin|π n+x|=sin|x|
Αυτό σημαίνει ότι το n πρέπει να είναι τόσο άρτιος όσο και περιττός αριθμός, αλλά αυτό είναι αδύνατο. Επομένως, αυτή η συνάρτηση δεν είναι περιοδική.
Εργασία 5. Ελέγξτε εάν η συνάρτηση είναι περιοδική
f(x)= 
Έστω T η περίοδος της f, λοιπόν
, άρα sinT=0, Т=π n, n € Z. Ας υποθέσουμε ότι για μερικά n ο αριθμός π n είναι όντως η περίοδος αυτής της συνάρτησης. Τότε ο αριθμός 2π n θα είναι η περίοδος
Εφόσον οι αριθμητές είναι ίσοι, οι παρονομαστές τους είναι ίσοι, επομένως
Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f δεν είναι περιοδική.
Εργασία σε ομάδες.
Εργασίες για την ομάδα 1.
Εργασίες για την ομάδα 2.
Ελέγξτε αν η συνάρτηση f είναι περιοδική και βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο της (αν υπάρχει).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Εργασίες για την ομάδα 3.
Στο τέλος της εργασίας τους οι ομάδες παρουσιάζουν τις λύσεις τους.
VI. Συνοψίζοντας το μάθημα.
Αντανάκλαση.
Ο δάσκαλος δίνει στους μαθητές κάρτες με σχέδια και τους ζητά να χρωματίσουν μέρος του πρώτου σχεδίου ανάλογα με τον βαθμό στον οποίο πιστεύουν ότι έχουν κατακτήσει τις μεθόδους μελέτης μιας συνάρτησης για περιοδικότητα και σε μέρος του δεύτερου σχεδίου - σύμφωνα με τους συμβολή στην εργασία στο μάθημα.
VII. Εργασία για το σπίτι
1). Ελέγξτε αν η συνάρτηση f είναι περιοδική και βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο της (αν υπάρχει)
σι). f(x)=x 2 -2x+4
ντο). f(x)=2tg(3x+5)
2). Η συνάρτηση y=f(x) έχει περίοδο T=2 και f(x)=x 2 +2x για x € [-2; 0]. Βρείτε την τιμή της παράστασης -2f(-3)-4f(3.5)
Βιβλιογραφία/
- Mordkovich A.G.Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης με εις βάθος μελέτη.
- Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εκδ. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Ταράσοβα Ε.Α.Άλγεβρα και ανάλυση έναρξης για τις τάξεις 10-11.
Στα συνηθισμένα σχολικές εργασίες αποδεικνύουν περιοδικότηταμιας ή της άλλης συνάρτησης συνήθως δεν είναι δύσκολη: έτσι, για να βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ είναι περιοδική, αρκεί απλώς να σημειώσετε ότι το γινόμενο $T=4\times7\ φορές το 2\pi$ είναι η περίοδός του: αν προσθέσουμε τον αριθμό T στο x, τότε αυτό το γινόμενο θα "τρώει" και τους δύο παρονομαστές και κάτω από το ημιτονικό μόνο τα ακέραια πολλαπλάσια των $2\pi$ θα είναι περιττά, τα οποία θα είναι " φαγωμένος» από το ίδιο το ημίτονο.
Αλλά απόδειξη μη περιοδικότηταςμιας ή άλλης συνάρτησης άμεσα εξ ορισμού μπορεί να μην είναι καθόλου απλή. Έτσι, για να αποδείξουμε τη μη περιοδικότητα της συνάρτησης $y=\sin x^2$ που εξετάσαμε παραπάνω, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα $sin(x+T)^2=\sin x^2$, αλλά δεν λύνουμε αυτό από συνήθεια τριγωνομετρική εξίσωση, και μαντέψτε να αντικαταστήσετε το x=0 σε αυτό, μετά το οποίο τα υπόλοιπα θα λειτουργήσουν σχεδόν αυτόματα: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, όπου k είναι κάποιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 0, δηλ. $T=\sqrt (k\pi)$, και αν τώρα υποθέσουμε ότι θα αντικαταστήσουμε το $x=\sqrt (\pi)$ σε αυτό, αποδεικνύεται ότι $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, από όπου $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, και έτσι ο αριθμός p είναι η ρίζα της εξίσωσης $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, δηλ. είναι αλγεβρικό, το οποίο δεν είναι αληθές: το $\pi$ είναι, ως γνωστόν, υπερβατικό, δηλ. δεν είναι η ρίζα οποιασδήποτε αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ωστόσο, στο μέλλον θα λάβουμε μια πολύ πιο απλή απόδειξη αυτής της δήλωσης - αλλά με τη βοήθεια μαθηματικής ανάλυσης.
Όταν αποδεικνύεται η μη περιοδικότητα των συναρτήσεων, συχνά βοηθά ένα στοιχειώδες λογικό τέχνασμα: εάν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν κάποια ιδιότητα, αλλά μια δεδομένη συνάρτηση δεν την έχει, τότε φυσικά δεν είναι περιοδική. Έτσι, μια περιοδική συνάρτηση παίρνει οποιαδήποτε τιμή άπειρες φορές, και επομένως, για παράδειγμα, η συνάρτηση $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ δεν είναι περιοδική, αφού η τιμή είναι 7 δέχεται μόνο σε δύο σημεία. Συχνά, για να αποδειχθεί η μη περιοδικότητα, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν τα χαρακτηριστικά του τομέα ορισμού, και για να βρείτε την επιθυμητή ιδιότητα των περιοδικών συναρτήσεων μερικές φορές πρέπει να δείξετε λίγη φαντασία.
Ας σημειώσουμε επίσης ότι πολύ συχνά όταν ρωτιέται κανείς τι είναι μια μη περιοδική συνάρτηση, ακούει μια απάντηση στο ύφος που μιλήσαμε σε σχέση με άρτιες και περιττές συναρτήσεις, είναι όταν $f(x+T)\neq f(x)$, το οποίο, φυσικά, είναι απαράδεκτο.
Και η σωστή απάντηση εξαρτάται από τον συγκεκριμένο ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και, με βάση τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, μπορούμε, φυσικά, να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι μη περιοδική εάν δεν έχει μία μόνο περίοδο, αλλά αυτό θα είναι ένας «κακός» ορισμός που δεν δίνει κατεύθυνση στοιχεία μη περιοδικότητας. Και αν το αποκρυπτογραφήσουμε περαιτέρω, περιγράφοντας τι σημαίνει η πρόταση "η συνάρτηση f δεν έχει μία μόνο τελεία" ή, το ίδιο, "κανένας αριθμός $T \neq 0$ δεν είναι περίοδος της συνάρτησης f", τότε παίρνουμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι περιοδική αν και μόνο αν για κάθε $T \neq 0$ υπάρχει ένας αριθμός $x\στο D(f)$ τέτοιο ώστε είτε τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $x+T$ και $ Το x-T$ δεν ανήκει στο D(f), ή στο $f(x+T)\neq f(x)$.
Μπορείτε να το πείτε με άλλο τρόπο: "Υπάρχει ένας αριθμός $x\στο D(f)$ έτσι ώστε η ισότητα $f(x+T) = f(x)$ δεν ισχύει" - αυτή η ισότητα μπορεί να μην ισχύει για δύο λόγοι: ή αυτό δεν έχει νόημα, δηλ. ένα από τα μέρη του είναι απροσδιόριστο ή - διαφορετικά, να είναι λανθασμένο. Για ενδιαφέρον, προσθέτουμε ότι το γλωσσικό αποτέλεσμα για το οποίο μιλήσαμε παραπάνω εκδηλώνεται επίσης εδώ: επειδή η ισότητα «να μην είναι αλήθεια» και «να είναι ψευδής» δεν είναι το ίδιο πράγμα - η ισότητα μπορεί να μην έχει ακόμη νόημα.
Μια λεπτομερής αποσαφήνιση των αιτιών και των συνεπειών αυτού του γλωσσικού αποτελέσματος είναι στην πραγματικότητα αντικείμενο όχι των μαθηματικών, αλλά της θεωρίας της γλώσσας, της γλωσσολογίας ή ακριβέστερα του ειδικού τμήματός της: σημασιολογία - η επιστήμη του νοήματος, όπου, ωστόσο, αυτά Οι ερωτήσεις είναι πολύ περίπλοκες και δεν έχουν ξεκάθαρη λύση. Και τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των σχολικών μαθηματικών, αναγκάζονται να τα βάλουν με αυτές τις δυσκολίες και να ξεπεράσουν γλωσσικά «προβλήματα» - ενώ και επειδή χρησιμοποιούν, μαζί με συμβολική, φυσική γλώσσα.
Το όρισμα x, τότε ονομάζεται περιοδικό αν υπάρχει αριθμός Τ τέτοιος ώστε για κάθε x F(x + T) = F(x). Αυτός ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Μπορεί να υπάρχουν αρκετές περίοδοι. Για παράδειγμα, η συνάρτηση F = const παίρνει την ίδια τιμή για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος, και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί περίοδός του.
Συνήθως σας ενδιαφέρει η μικρότερη μη μηδενική περίοδος μιας συνάρτησης. Για συντομία, ονομάζεται απλώς περίοδος.
Ένα κλασικό παράδειγμα περιοδικών συναρτήσεων είναι οι τριγωνομετρικές: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η περίοδός τους είναι ίδια και ίση με 2π, δηλαδή sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) κ.ο.κ. Ωστόσο, φυσικά τριγωνομετρικές συναρτήσεις- δεν είναι οι μόνες περιοδικές.
Για απλές, βασικές συναρτήσεις, ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστεί εάν είναι περιοδικές ή μη είναι μέσω υπολογισμού. Αλλά σύνθετες λειτουργίεςυπάρχουν ήδη αρκετές απλούς κανόνες.
Εάν η F(x) είναι με περίοδο T και ορίζεται μια παράγωγος για αυτήν, τότε αυτή η παράγωγος f(x) = F′(x) είναι επίσης περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Εξάλλου, η τιμή της παραγώγου στο σημείο Το x ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας εφαπτομένης της γραφικής παράστασης του αντιπαραγώγου του σε αυτό το σημείο στον άξονα x, και εφόσον το αντιπαράγωγο επαναλαμβάνεται περιοδικά, η παράγωγος πρέπει επίσης να επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα, η παράγωγος της συνάρτησης sin(x) είναι ίση με cos(x), και είναι περιοδική. Λαμβάνοντας την παράγωγο του cos(x) σας δίνει –sin(x). Η συχνότητα παραμένει αμετάβλητη.
Ωστόσο, δεν ισχύει πάντα το αντίθετο. Έτσι, η συνάρτηση f(x) = const είναι περιοδική, αλλά η αντιπαράγωγός της F(x) = const*x + C δεν είναι.
Αν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η G(x) = a*F(kx + b), όπου τα a, b και k είναι σταθερές και το k δεν είναι ίσο με μηδέν - είναι επίσης περιοδική συνάρτηση , και η περίοδος του είναι Τ/κ. Για παράδειγμα, η sin(2x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και η περίοδος της είναι π. Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως εξής: πολλαπλασιάζοντας το x με κάποιο αριθμό, φαίνεται να συμπιέζετε το γράφημα της συνάρτησης οριζόντια ακριβώς τόσες φορές
Αν οι F1(x) και F2(x) είναι περιοδικές συναρτήσεις και οι περίοδοι τους είναι ίσες με T1 και T2, αντίστοιχα, τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων μπορεί επίσης να είναι περιοδικό. Ωστόσο, η περίοδός του δεν θα είναι ένα απλό άθροισμα των περιόδων Τ1 και Τ2. Εάν το αποτέλεσμα της διαίρεσης T1/T2 είναι ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα των συναρτήσεων είναι περιοδικό και η περίοδος του είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των περιόδων T1 και T2. Για παράδειγμα, εάν η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 12 και η περίοδος της δεύτερης είναι 15, τότε η περίοδος του αθροίσματος τους θα είναι ίση με LCM (12, 15) = 60.
Αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως εξής: οι συναρτήσεις έρχονται με διαφορετικά "πλάτη βημάτων", αλλά εάν η αναλογία των πλάτη τους είναι ορθολογική, τότε αργά ή γρήγορα (ή μάλλον, ακριβώς μέσω του LCM των βημάτων), θα γίνουν ξανά ίσες και το άθροισμά τους θα ξεκινήσει μια νέα περίοδο.
Ωστόσο, εάν ο λόγος των περιόδων είναι παράλογος, τότε η συνολική συνάρτηση δεν θα είναι καθόλου περιοδική. Για παράδειγμα, έστω F1(x) = x mod 2 (το υπόλοιπο όταν το x διαιρείται με το 2) και F2(x) = sin(x). Το T1 εδώ θα είναι ίσο με 2 και το T2 θα είναι ίσο με 2π. Ο λόγος των περιόδων είναι ίσος με π - παράλογος αριθμός. Επομένως, η συνάρτηση sin(x) + x mod 2 δεν είναι περιοδική.
